Abortas

Sudėtinės ir nuolat kaupiamos palūkanos. Ryšys tarp diskrečiųjų ir nuolatinių palūkanų normų

Diskretus ir nenutrūkstamas bendravimas palūkanų normos
Diskretinės ir nepertraukiamos palūkanų normos yra funkciniame ryšyje, kurio dėka galima pereiti nuo nuolatinių prie diskrečiųjų palūkanų skaičiavimo ir atvirkščiai. Lygiaverčio perėjimo iš vienos normos į kitą formulę galima gauti prilyginus atitinkamus kaupimo daugiklius
(1+i)n=eSn.

13 pavyzdys
metinė norma sudėtinės palūkanos lygus 15%, tai yra lygiavertė augimo jėga,
Sprendimas.
Mes naudojame formulę (50)
q=N(1+^=N(1+0,15)=0,t76,
tie. lygiavertė augimo jėga yra 13,976%.
Paskolos termino ir palūkanų normų skaičiavimas
Daugelyje praktinių užduočių pradinė (P) ir galutinė (B) sumos yra nurodytos sutartyje ir reikalaujama nustatyti mokėjimo terminą arba palūkanų normą, kuri šiuo atveju gali būti palyginimo priemonė. su rinkos rodikliais ir operacijos pelningumo skolintojui charakteristika. Šias reikšmes nesunku rasti pagal pradines prieaugio arba nuolaidų formules. Tiesą sakant, abiem atvejais atvirkštinė problema yra išspręsta tam tikra prasme.
Paskolos terminas
Kuriant sutarties parametrus ir įvertinant norimo rezultato pasiekimo laiką, per likusius sandorio parametrus reikia nustatyti operacijos trukmę (paskolos terminą). Panagrinėkime šį klausimą išsamiau.
A) Statant kompleksą metinė norma i. Iš pradinės augimo formulės
5=P(1+i)n
seka tuo
n \u003d 1o (B / R) (52)
1(1+1)'
kur logaritmas gali būti paimtas bet kuriuo pagrindu, nes jis yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.

5=P(1+j/m)mn
mes gauname
n =
t ios (1 + y I t)
C) Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d. Iš formulės
P=S(1d)n
turime n = 1o(P 15). (54)
1st(1 - ^
D) Kai diskontuojama nominalia diskonto norma m kartų per metus. Nuo
P=S(1f/m)mn
mes pasiekiame formulę
n \u003d 1o8 (P 15). (55)
t 1o§(1 - /1 t)
Statant nuolatinė jėga augimas. Remiantis
B = Rv3p
mes gauname
ip(B/P)=bp.
Palūkanų normos skaičiavimas
Iš tų pačių pradinių formulių, kaip ir aukščiau, gauname palūkanų normų išraiškas.
A) Kuriant kompleksine metine norma I. Iš pradinės kaupimo formulės
B=P(1+1)n
seka tuo
""i."1
B) Didinant nominalia palūkanų norma t kartą per metus iš formulės
B=P(1+]/m)m
C) Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d. Iš formulės
P \u003d B (1-as) p
turime e = 1 – (§). (59)
D) Kai diskontuojama nominalia diskonto norma t kartą per metus. Nuo
P=B(1//t)tp
mes pasiekiame formulę
1 / (tp)
E) Kai remiamasi nuolatine augimo jėga. Remiantis
mes gauname
Palūkanos ir infliacija
Infliacijos pasekmė – pinigų perkamosios galios kritimas, kuris laikotarpiui P apibūdinamas indeksu Jn. Perkamosios galios indeksas lygus kainų indekso Jp atvirkštinei dydžiui, t.y.
Jn 1/Jp¦
Kainų indeksas parodo, kiek kartų kainos pakilo per tam tikrą laikotarpį.
Paprastų palūkanų kaupimas
Jei per n metų sukaupta pinigų suma yra S, o kainų indeksas lygus Jp, tai faktiškai sukaupta pinigų suma, atsižvelgiant į jų perkamąją galią, yra lygi
C=S/Jp.
Tegul numatoma vidutinė metinė infliacija (būdinga kainų padidėjimui per metus) lygi b. Tada metinis kainų indeksas bus (1 + b.).
Jei P metų kaupimas atliekamas naudojant paprastą normą, tada tikrasis kaupimas esant infliacijos lygiui b bus
c \u003d p (1 + w)
kur apskritai
P
JP \u003d P (1 + K),
r = 1
ir ypač esant pastoviam kainų augimo tempui h,
Jp=(1+h)n. (66)
Palūkanų norma, kuri kompensuoja infliaciją, kai skaičiuojamos paprastosios palūkanos, yra
71
i = P1. (67)
P
Vienas iš būdų kompensuoti pinigų nuvertėjimą – padidinti palūkanų normą vadinamosios infliacinės premijos dydžiu. Taip pakoreguota norma vadinama bendruoju tarifu. Bendroji norma, kurią žymėsime simboliu Г, randama iš infliacijos pakoreguoto bendrosios normos kaupimo daugiklio lygybės su kaupimo daugikliu, esant realiajai palūkanų normai.
1 + pg = 1 + nі, (68)
-R
kur
r = (1 + ti)P 1. (69)
P
Sudėtinių palūkanų padidėjimas
Sudėtinių palūkanų suma iki paskolos termino pabaigos, atsižvelgiant į pinigų perkamosios galios sumažėjimą (t. y. pastoviais rubliais), bus
C \u003d P (1 + 01, (70)
kur kainų indeksas nustatomas pagal (65) arba (66) išraišką, priklausomai nuo infliacijos lygio kintamumo arba pastovumo.
Šiuo atveju pinigų perkamosios galios kritimas kompensuojamas kursu i=h, kuris užtikrina lygybę C=P.
Skaičiuojant sudėtines palūkanas, nuostolius dėl pinigų perkamosios galios sumažėjimo galima kompensuoti dviem būdais.
A) Palūkanų normos, kuriai taikomas kaupimas, koregavimas pagal infliacijos priemokos dydį. Palūkanų norma, padidinta infliacijos priedu, vadinama bruto norma. Pažymėsime simboliu r. Darant prielaidą, kad metinė infliacijos norma lygi b, galime užrašyti atitinkamų kaupimo koeficientų lygybę
- = 1 + /, (71)
1 + ir
kur i yra tikrasis kursas.
Iš čia gauname Fišerio formulę
r=i+h+ih. (72)
Tai yra, infliacijos priemoka lygi h+ih.
B) Pradinės sumos P indeksavimas. Šiuo atveju suma P koreguojama pagal iš anksto nustatyto indekso judėjimą. Tada
S=PJp(1+i)n. (73)
Nesunku pastebėti, kad tiek A), tiek B) atveju gauname tą pačią augimo formulę (73). Jame pirmieji du faktoriai dešinėje atspindi pradinės sumos indeksavimą, o du paskutiniai – palūkanų normos koregavimą.
Matavimas realus kursas procentų
Praktiškai reikia išspręsti ir atvirkštinę problemą – rasti realią palūkanų normą pagal infliaciją. Iš tų pačių santykio tarp kaupimo daugiklių nesunku išvesti formules, kurios nustato tikrąją normą i tam tikrai (arba deklaruotai) bruto normai r.
Skaičiuojant paprastas palūkanas, metinė realioji palūkanų norma lygi
(l \
1 + psl
1
R
Skaičiuojant sudėtines palūkanas, reali palūkanų norma nustatoma pagal tokią išraišką
1 + Y Y - I / YYYH
I=1=. (75)
1+I 1+I
Praktiniai teorijos pritaikymai
Panagrinėkime kai kuriuos praktinius šios teorijos pritaikymus. Parodykime, kaip aukščiau gautos formulės taikomos sprendžiant realias kai kurių finansinių operacijų efektyvumo skaičiavimo problemas, palyginkite įvairių metodų skaičiavimai.
Valiutos konvertavimas ir palūkanų skaičiavimas
Apsvarstykite valiutos konvertavimo (keitimo) ir paprastų palūkanų kaupimo derinį, palyginkite rezultatus, gautus tiesiogiai padėjus turimas lėšas į indėlius arba po išankstinio keitimo kita valiuta. Iš viso yra 4 palūkanų kaupimo galimybės:
1. Jokio konvertavimo. Lėšos užsienio valiuta dedamos kaip indėlis užsienio valiuta, pradinė suma didinama pagal užsienio valiutos kursą, tiesiogiai taikant paprastą palūkanų formulę.
2. Su konversija. Pradinės valiutos lėšos konvertuojamos į rublius, kaupiama pagal rublio kursą, operacijos pabaigoje rublio suma konvertuojama atgal į pradinę valiutą.
3. Jokio konvertavimo. Rublio suma dedama į rublio indėlį, už kurį pagal paprastą palūkanų formulę kaupiamos palūkanos pagal rublio kursą.
4. Su konversija. Rublio suma konvertuojama į konkrečią valiutą, kuri investuojama į indėlį užsienio valiuta. Palūkanos skaičiuojamos pagal užsienio valiutos kursą. Sukaupta suma operacijos pabaigoje paverčiama atgal į rublius.?
Operacijos be konvertavimo nėra sudėtingos. Dvigubo konvertavimo kaupimo operacijoje yra du pajamų šaltiniai: palūkanų kaupimas ir valiutos kurso pokytis. Be to, palūkanų skaičiavimas yra besąlyginis šaltinis (norma fiksuota, infliacija kol kas neatsižvelgiama). Valiutos kurso pokytis gali būti arba į vieną, ir į kitą pusę, ir tai gali būti ir papildomų pajamų šaltinis, ir lemti nuostolius. Toliau mes sutelksime dėmesį į dvi parinktis (2 ir 4), kurios numato dvigubą konversiją.
Pirmiausia pristatykime šį žymėjimą:
Pv – indėlio suma užsienio valiuta,
Pr yra indėlio suma rubliais,
Sv - sukaupta suma valiuta,
Sr - sukaupta suma rubliais,
^ - valiutos kursas operacijos pradžioje (keitimo kursas rubliais)
^ - valiutos kursas operacijos pabaigoje, P - indėlio terminas,
І – rublio sumų kaupimo norma (dešimtainės trupmenos pavidalu),
j yra konkrečios valiutos kaupimo norma.
PASIRINKIMAS: DĖL VALIUTOS RUBLIŲ ^ RUBLIAI ^VALIUTA Operaciją sudaro trys etapai: valiutos keitimas į rublius, rublio sumos kaupimas, atvirkštinis rublio sumos konvertavimas į pradinę valiutą. Sandorio pabaigoje gauta sukaupta suma užsienio valiuta bus
= RuK- (1 + pi)!.
k1
Kaip matote, trys operacijos etapai šioje formulėje atsispindi trijų veiksnių pavidalu.
Padidėjimo daugiklis, atsižvelgiant į dvigubą konversiją, yra lygus
K0 „, h 1 + pі 1 + pі,
į
K o
kur k=Kl/Ko – valiutos kurso augimo kursas operacijos metu.?
Matome, kad augimo faktorius m yra susijęs su tiesinė priklausomybė su kursu I ir atvirkščiai su valiutos kursu operacijos K pabaigoje (arba su kurso k augimo greičiu).
Teoriškai išnagrinėkime dvigubos konvertavimo operacijos bendro pelningumo pagal schemą VALIUTA ^ RUBLIAI ^ RUBLIS ^ VALIUTA priklausomybę nuo galutinio ir pradinio valiutų kursų santykio k.
Paprastoji metinė palūkanų norma, kuri apibūdina visos operacijos pelningumą, yra lygi
/ = ^P,.
*") TMTM
* Rp
Šioje formulėje pakeiskite anksčiau parašytą Bu išraišką
-(1 + m)1
K1 1 (1 + m) 1?
1 IŠVADA: Jei numatomos k arba K1 reikšmės viršija jų kritines reikšmes, operacija yra aiškiai nuostolinga
Zeff Dabar apibrėžiame maksimumą leistina vertė valiutos kursas operacijos pabaigoje Ki, kuriam esant efektyvumas bus lygus dabartinis kursas indėlių užsienio valiuta, o dvigubo konvertavimo naudojimas nesuteikia jokios papildomos naudos. Norėdami tai padaryti, sulyginame dviejų alternatyvių operacijų prieaugio koeficientus
į
1 + nj = mm(1 + ni)
K1
Iš rašytinės lygybės išplaukia, kad
iki 1 + ni
maks. K1 = K0
1 + nj
arba
K, 1 + ni
maksimalus k = -L =
K o 1 + nj
2 IŠVADA: valiutos indėlis konvertuojant į rublius yra pelningesnis nei užsienio valiutos indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus mažesnis nei max K1.
PASIRINKIMAS: RUBLIAI ^ VALIUTA ^ VALIUTA ^ RUBLIAI
Dabar panagrinėkime dvigubo konvertavimo variantą, kai yra pradinė suma rubliais. Šiuo atveju trys operacijos etapai atitinka tris toliau pateiktos sukauptos sumos išraiškos veiksnius
P K
S = K(1 + nj)K 1 = Pr (1 + nj)L
K0 K0
Čia taip pat kaupimo daugiklis tiesiškai priklauso nuo statymo, bet dabar nuo užsienio valiutos kursas proc. Tai taip pat tiesiškai priklauso nuo galutinio valiutos kurso.
Išleiskime teorinė analizėšios operacijos efektyvumą su dviguba konversija ir nustatyti kritinius taškus.?
Visos operacijos pelningumas nustatomas pagal formulę
«¦ =.
1 "tmgm"
E Rgp
Taigi, pakeitę išraišką Sr, gauname
Į
(1 + n])1. \u003d Ko "\u003d * (1 + n]) 1
"E11
P
Efektyvumo rodiklio ieff priklausomybė nuo k yra tiesinė, ji parodyta fig. 3
Jei k=1 ізф=/", kai k>1 ізф>;", к Raskime kritinę k* reikšmę, kai bff=0. Pasirodo lygus
k* =^^ arba k*1 = K^~.
1 + n 1 + n
3 IŠVADA: Jei tikėtinos reikšmės k arba ^ yra mažesnės už jų kritines vertes, tada operacija yra aiškiai nuostolinga
(ІЗФФ Minimali leistina vertė k (valiutos kurso augimo kursas per visą operacijos laikotarpį), užtikrinantis tokį patį pelningumą kaip ir tiesioginis indėlis rubliais, nustatomas
alternatyvių operacijų daugiklių ir prieaugių lyginimo temos (arba iš lygybės ieff=i)
į
- L(1 + nj) = 1 + ni,
K0
1 + ni 1 + ni iš kur mm k = arba mm k = K
1 + nj 1 0 1 + nj
4 IŠVADA: Rublių sumų indėlis konvertuojant valiutą yra pelningesnis nei rublio indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus didesnis nei min K1.
Dabar apsvarstykite valiutos konvertavimo ir sudėtinių palūkanų kaupimo derinį. Apsiribosime vienu variantu.
PARINKTIS: VALIUTA ^ RUBLIS ^ RUBLIS ^ VALIUTA
Trys operacijos etapai surašyti vienoje sukauptos sumos formulėje
sv = PVK 0(1+i) nK"
Ki
kur i yra sudėtinė palūkanų norma.
Kaupimo daugiklis
nKо _ (1 + i) n
K1 k
7 K
čia k = – valiutos kurso augimo kursas operacijos laikotarpiu. K 0
Nustatykime visos operacijos pelningumą metinės sudėtinės palūkanų normos forma, ty.
Iš sudėtinių palūkanų kaupimo formulės
S=P(1+i)n
seka tuo
I.-n
]Pv
Į šią formulę pakeitę BU reikšmę, gauname
P(1 + Opgg,.
b = g, ^1 = 1+11.
Iš šios išraiškos matyti, kad didėjant augimo greičiui k, efektyvumas mažėja. Tai parodyta grafike pav. keturi.
Ryžiai. keturi.
Analizė rodo, kad k = 1 1e = I, k > 1 1e I.
Kritinė k reikšmė, kuriai esant operacijos efektyvumas lygus nuliui, t.y. b = 0,
apibrėžiamas kaip k* = (1 + 1)p, o tai reiškia, kad vidutinis metinis valiutos kurso augimo tempas yra lygus metiniam augimo tempui pagal rublio kursą: Vk = 1 + r.
5 IŠVADA: Jei tikėtinos k arba K reikšmės yra didesnės už jų kritines reikšmes, tai nagrinėjama operacija su dviguba konversija yra aiškiai nepelninga (b . 4) randama iš atitinkamų augimo faktorių lygybės.
(1 +1) i
(1 + L)n =
kt?
kur
P
1 +1
arba maksimalus k = K
1 l (
1 + Y, 1 "VI + Y,
6 IŠVADA: valiutos indėlis konvertuojant į rublius yra pelningesnis nei užsienio valiutos indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus mažesnis nei maks.
Skolos grąžinimas dalimis Grandinė finansinis sandoris
Finansinės arba kredito operacijos apima investicijų ir grąžos balansą. Pusiausvyros sąvoką galima paaiškinti grafike. a)
AT
aš,.
T
b)
Ryžiai. 5.
Tegul išduodama Bo dydžio paskola laikotarpiui T. Per šį laikotarpį atliekami du tarpiniai mokėjimai K ir Kr skolai padengti, o laikotarpio pabaigoje sumokamas skolos K3 likutis, sumuojant. padidinti operacijos balansą.
Laiko intervalu th skola padidėja iki Bb B reikšmės šiuo metu, o skola sumažėja iki reikšmės K1=B1K1 ir kt. Operacija baigiasi kreditoriui gavus skolos Kz likutį. Šiuo metu skola yra visiškai grąžinta.
B) tipo grafiką vadinkime finansinės operacijos kontūru. Subalansuota operacija būtinai turi uždarą kilpą, t.y. paskutinis mokėjimas visiškai padengia skolos likutį. Sandorio kontūrai dažniausiai taikomi apmokant skolą daliniais mokėjimais.
Iš eilės dalinių mokėjimų pagalba kartais grąžinami trumpalaikiai įsipareigojimai. Šiuo atveju yra du palūkanų skaičiavimo ir skolos likučio nustatymo būdai. Pirmasis vadinamas aktuariniu ir daugiausia naudojamas sandoriams, kurių laikotarpis yra ilgesnis nei metai. Antrasis metodas vadinamas prekybininko taisykle. Jį dažniausiai naudoja komercinės įmonės, sudarydamos sandorius, kurių terminas ne ilgesnis nei metai.
Pastaba: skaičiuojant palūkanas, paprastai naudojamos paprastos palūkanos su apytiksliu laikotarpių dienų skaičiumi.
aktuarinis metodas
Aktuarinis metodas apima nuoseklų palūkanų už faktinę skolos sumą apskaičiavimą. Dalinis mokėjimas pirmiausia skirtas grąžinti mokėjimo dieną sukauptas palūkanas. Jei įmokos suma viršija priskaičiuotų palūkanų sumą, skirtumas skiriamas pagrindinei skolos sumai grąžinti. Neapmokėtas skolos likutis yra pagrindas skaičiuojant kito laikotarpio palūkanas ir kt. Jei dalinis mokėjimas yra mažesnis už sukauptą
proc., tuomet skolos sumos įskaitymai neatliekami. Šios pajamos pridedamos prie kito mokėjimo.
Atvejui, parodytam fig. 5 b), gauname tokias skaičiavimo formules skolos likučiui nustatyti:
K1=Bo(1+b1)K1; K2=Kb(1+b21)K2; K2(1+bz1)Kz=0,
kur laikotarpiai bb, b2, bz pateikti metais, o palūkanų norma I yra metinė.
Prekybininko taisyklė
Prekybininko taisyklė yra kitas būdas skaičiuoti įmokas. Čia galimos dvi situacijos.
1) Jeigu paskolos terminas neviršija, skolos suma su priskaičiuotomis palūkanomis už visą terminą lieka nepakitusi iki visiško grąžinimo. Tuo pačiu metu kaupiasi daliniai mokėjimai su už juos priskaičiuotomis palūkanomis iki termino pabaigos.
2) Tuo atveju, kai terminas viršija metus, aukščiau pateikti skaičiavimai atliekami metiniam skolos laikotarpiui. Metų pabaigoje iš skolos sumos atimama sukaupta sukauptų dalinių įmokų suma. Likusi dalis išmokama kitais metais.
Su bendru paskolos terminu T m
S \u003d D - K \u003d P (l + L) -? RJ (1 + tJi),
]=1
kur E yra skolos likutis termino pabaigoje,
B - sukaupta skolos suma,
K - sukaupta mokėjimų suma,
U - dalinės įmokos suma,
b) - laiko intervalas nuo mokėjimo momento iki termino pabaigos, t - dalinių (tarpinių) mokėjimų skaičius.
Kintama sąskaitos suma ir palūkanų skaičiavimas
Apsvarstykite situaciją, kai banke atidaroma taupomoji sąskaita, o saugojimo laikotarpiu keičiasi sąskaitos suma: grynaisiais pinigais yra atšaukiami, įmokami papildomi įnašai. Tada bankų praktikoje, skaičiuodami palūkanas, jie dažnai naudoja skaičiavimo metodą su vadinamųjų procentinių skaičių skaičiavimu. Kiekvieną kartą pasikeitus sąskaitos likučiui, apskaičiuojamas procentas Cj per praėjusį laikotarpį ], per kurį sąskaitos likutis nepasikeitė, naudojant formulę
Su. = R.,
prie 100
čia ^ yra ]-ojo laikotarpio trukmė dienomis.
Norint nustatyti per visą terminą sukauptų palūkanų sumą, visi palūkanų skaičiai sumuojami ir jų suma dalijama iš pastovaus daliklio D:
B = K,
kur K yra laiko bazė (dienų skaičius per metus, t. y. 360 arba 365 arba 366), i yra metinė paprastoji palūkanų norma (%).
Kai sąskaita uždaroma, savininkas gaus sumą, lygią paskutinė vertė sąskaitos likutis ir palūkanos.
14 pavyzdys
Tarkime, vasario 20 d. buvo atidaryta pareikalavimo sąskaita P1=3000 rublių, indėlio palūkanų norma buvo lygi r=20% per metus. Papildomas įnašas į sąskaitą siekė Rl=2000 rublių. ir buvo padaryta rugpjūčio 15 d. Išėmimas iš sąskaitos R2=4000 rublių. užfiksuota spalio 1 d., o lapkričio 21 dieną sąskaita buvo uždaryta. Būtina nustatyti palūkanų dydį ir bendrą sumą, kurią indėlininkas gavo uždarant sąskaitą.
Sprendimas.
Skaičiavimas bus atliktas pagal schemą (360/360). Yra trys laikotarpiai, per kuriuos suma sąskaitoje išliko nepakitusi: nuo vasario 20 iki rugpjūčio 15 d
^1 = 3000, u = 10 + 5*30 + 15 = 175),?
nuo rugpjūčio 15 iki spalio 1 d
(P2 = P1 + R1 = 3000 + 2000 = 5000 rublių, b = 15 + 30 + 1 = 46), nuo spalio 1 d. iki lapkričio 21 d.
(Pz = P2 + R2 = 5000 - 4000 = 1000 rublių, bz = 29 + 21 = 50). Raskite procentus
R * D 3000 C. \u003d -k \u003d \u003d 5250,
1 1L 1L
=2300,
pastovus daliklis
B=K/1=360/20=18.
Palūkanų suma yra
I \u003d (C, + C2 + C3) / B \u003d 5250 + 2300 + 500 \u003d 447 rubliai. 22 kop.
18
Suma, sumokėta uždarant sąskaitą, yra lygi
Rz + I \u003d 1000 + 447,22 \u003d 1447 rubliai. 22 kop.
Dabar parodysime šios technikos ryšį su paprasta palūkanų formule. Apsvarstykite aukščiau pateiktą pavyzdį algebrine forma.
Sumokėtą sumą uždarant sąskaitą randame taip
RL, + (P + O V 2 + (P + P. + 02 ^3 /
P3 +1 \u003d P + R1 + P2 + ^-^ 1 "2 V 1 1 ^ 3 _
100 tūkst
t1 +2 +13 I 1, o (, 2 +13 I 1, o (l, t3 I
= P.1 1 +1 2 ^ 1 + O 1 + ^ ^ 1 + P2| 1 +31 ^ K 100) ^ 100 K) ^ 100 K
Taigi, mes gavome išraišką, iš kurios matyti, kad kiekvienam pridėtam arba pašalintam kiekiui
nuo sąskaitos, palūkanos skaičiuojamos nuo atitinkamos operacijos atlikimo momento iki sąskaitos uždarymo. Ši schema atitinka prekybininko taisyklę, aptartą 6.2 skyriuje.
Sutarties sąlygų keitimas
Praktikoje dažnai iškyla būtinybė keisti sutarties sąlygas: pavyzdžiui, skolininkas gali prašyti atidėti skolos grąžinimo terminą arba, priešingai, išreikšti norą ją grąžinti anksčiau laiko, kai kuriais atvejais. gali kilti poreikis sujungti (konsoliduoti) kelis skolinius įsipareigojimus į vieną ir pan. Visais šiais atvejais taikomas senų (pakeistų) ir naujų (pakeistų) įsipareigojimų finansinio lygiavertiškumo principas. Sutarties sąlygų keitimo problemoms spręsti sukuriama vadinamoji lygiavertiškumo lygtis, kurioje pakaitinių įmokų suma, sumažinta iki bet kurio momento, yra lygi įmokų sumai už naują įsipareigojimą, sumažinta. iki tos pačios datos. Trumpalaikėms sutartims taikomos paprastos palūkanų normos, o vidutinės trukmės ir ilgalaikėms – sudėtinės palūkanų normos.

Naudojant atskirą nominalią normą, sukaupta suma nustatoma pagal formulę:

Pereinant prie nuolatinių procentų gauname:

Kaupimo daugiklis nuolatiniam palūkanų kapitalizavimui.

Nurodydami augimo jėgą, gauname:

nes diskretiškas ir nuolatiniai tarifai yra funkciškai susiję vienas su kitu, tada galime užrašyti augimo faktorių lygybę

Dėl pradinio kapitalas 500 tūkstančių rublių. priskaičiuotos sudėtinės palūkanos – 8% per metus 4 metus. Nustatykite sukauptą sumą, jei palūkanos kaupiamos nuolat.

Nuolaida, pagrįsta nuolatinėmis palūkanų normomis

Formulėje (4.21) galima nustatyti šiuolaikinę reikšmę

Nuolatinė palūkanų norma, naudojama diskontuojant, vadinama diskonto galia. Jis lygus augimo stiprumui, t.y. naudojami diskontavimo arba augimo jėgos sumažinimui, todėl gaunamas toks pats rezultatas.

Apibrėžkite dabartinė mokėjimo vertė, darant prielaidą, kad diskontuojama taikant 12 % augimo tempą ir taikant tokio pat dydžio atskirą sudėtinę diskonto normą.

Kintamasis augimo stiprumas

Naudojant šią charakteristiką, modeliuojami pinigų sumų didėjimo procesai su besikeičiančia palūkanų norma. Jei augimo jėgą apibūdina kai kurie nuolatinė funkcija laiko, tada formulės galioja.

Už sukauptą sumą:

Šiuolaikinė vertė:

1) Tegul augimo jėga keičiasi diskretiškai ir paimkite tokias reikšmes: laiko intervalais, tada paskolos termino pabaigoje sukaupta suma bus:

Jei kaupimo laikotarpis yra n, o vidutinė augimo reikšmė: , tada

Nustatykite nuolatinio palūkanų kaupimo 5 metus kaupimo daugiklį. Jei augimo stiprumas kinta diskretiškai ir atitinka: 1 metus - 7%, 2 ir 3 - 8%, paskutinius 2 metus - 10%.

2) Augimo jėga nuolat kinta laike ir apibūdinama lygtimi:

kur yra pradinė augimo jėga (at)

a – metinis padidėjimas arba sumažėjimas.

Apskaičiuokite padidėjimo daugiklio laipsnį:

Pradinė vertė augimo jėga 8%, palūkanų norma yra nuolatinė ir linijinė.

Metų augimas -2%, kaupimo laikotarpis - 5 metai. Raskite augimo faktorių.

3) Pasikeičia augimo stiprumas geometrinė progresija, tada

Dėl nuolatinių palūkanų nėra skirtumo tarp procentų ir diskonto normos, nes augimo jėga yra universalus indikatorius. Tačiau kartu su nuolatinė jėga augimą, galima naudoti kintamą palūkanų normą, kurios reikšmė kinta pagal duotą dėsnį (matematinę funkciją).

Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip pagrindimas ir atranka investiciniai sprendimai. Darbo vertinimas finansų įstaiga, kai mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, pagrįsta manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinis kaupimas procentų.

Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, buvo atskiros palūkanos, nes jos skaičiuojamos tam tikrais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis kaupimo koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:

k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:

kur e? 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.

Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:

FV = PV * e j * n = P * e q * n

Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami d, priešingai nei norma diskrečiųjų procentų (j).

Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:

a) kartą per metus;

b) kasdien;

c) nuolat.

Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:

kaupiamas kartą per metus

FV\u003d 100 "000 * (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;

dienos palūkanų skaičiavimas

FV= 100 "000 * (1 + 0,08 / 365) 365 * 3 = 127" 121,6 USD

nuolatinis susidomėjimas

FV\u003d 100 "000 * e 0,08 * 3 \u003d 127" 124,9 USD.

14. Paskolos terminas. Formulės, reikalingos paskolos trukmei apskaičiuoti metais ir dienomis

terminas metais

laikotarpis dienomis (prisiminkite tai n = t/K, kur K- laikinoji bazė)

Palūkanų normos vertė. Poreikis apskaičiuoti palūkanų normą iškyla nustatant finansinis efektyvumas sandorius ir lyginant sutartis pagal jų pajamingumą tais atvejais, kai palūkanų normos nėra aiškiai nurodytos. Išsprendę išraiškas (1.1) ir (1.8) atžvilgiu i arba d, mes gauname

Mokėjimo terminas.Čia pateikiamos skaičiavimo formulės P skirtingoms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms. Kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą i ir nominalia norma j atitinkamai gauname:

. (2.23) (2.24)

Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d ir nominalia diskonto norma f

. (2.25) (2.26)

Didėjant pastoviajai augimo jėgai δ ir augimo jėgai kintant pastoviu greičiu

Palūkanų normos vertė. Čia pateikiamos normų skaičiavimo formulės i, j, d, f, δ skirtingoms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms. Jie gaunami sprendžiant lygtis, kurios nustato S ir R, apie norimus tarifus.

Kai kaupiama taikant sudėtinę metinę palūkanų normą ir taikant nominalią palūkanų normą t kartą per metus randame

. (2.29) (2.30)

Kai diskontuojama taikant sudėtinę diskonto normą ir taikant nominalią diskonto normą

. (2.31) (2.32)

Didėjant nuolatinei augimo jėgai

. (2.33)

Didėjant augimo jėgai, keičiantis pastoviu greičiu

15. Paprastųjų palūkanų apskaičiavimas pagal infliaciją . Grįžkime prie pinigų nuvertėjimo, kai jie auga, problemos. Apskritai dabar galime rašyti:

Jei padidinimas atliekamas paprastu kursu, turime:

(2.43)

Kaip matote, sukauptos sumos didinimas, atsižvelgiant į pinigų perkamosios galios išsaugojimą, vyksta tik tada, kai 1 + ni > J p .

Pavyzdys. Tarkime, už 1,5 milijono rublių sumą. per tris mėnesius priskaičiuojamos paprastosios palūkanos, kurių dydis yra 50% per metus ( K= 360). Sukaupta suma yra 1,6875 milijono rublių. Jei mėnesinė infliacija apibūdinama 2.22, b pavyzdyje nurodytais tarifais, tada, atsižvelgiant į nusidėvėjimą, sukaupta suma bus tik 1,6875 / 1,77 = 0,9534 milijono rublių.

16. Sudėtinės palūkanos pagal infliaciją. Dabar pereikime prie sudėtinių palūkanų. Į (2.42) formulę pakeičiant reikšmes S ir J p , rasti

(2.44)

Kiekiai, kuriuos reikia padauginti iš R formulėse (2.43) ir (2.44) yra infliacijos daugikliai. Pavyzdys. Raskime realią sudėtinę palūkanų normą tokioms sąlygoms: metinė infliacija 120%, bruto norma 150%:

\u003d 0,1364, arba 13,68% (pagal supaprastintą formulę 30%).

Kitas infliacijos kompensavimo būdas – pradinės įmokos sumos indeksavimas. R.Šiuo atveju ši suma periodiškai koreguojama naudojant iš anksto nustatytą indeksą. Šis metodas yra priimtas JK. Pagal apibrėžimą

C = PJp(1 + i)n.

17. Realiosios palūkanų normos apskaičiavimas pagal infliaciją. Dabar pereikime prie atvirkštinės problemos sprendimo – prie matavimo realią palūkanų normą, tie. infliacija pakoreguota grąža – apibrėžimas i pagal nurodytą bruto tarifo vertę. Jeigu r- deklaruota grąžos norma (bruto norma), tada norima grąžos norma metinės palūkanų normos forma i galima apibrėžti skaičiuojant paprastas palūkanas remiantis (2.43) as

. (2.48)

Realus pajamingumas, kaip matome, čia priklauso nuo palūkanų kaupimo laikotarpio. Prisiminkite, kad į šią formulę įtrauktas kainų indeksas apima visą palūkanų laikotarpį.

Panašaus turinio rodiklį, bet padidėjus sudėtinėms palūkanoms, rasime pagal (2.44) formulę.

Nuolatinėms palūkanoms palūkanų normos ir diskonto normos nesiskiria, nes augimo stiprumas yra universalus rodiklis. Tačiau kartu su nuolatine augimo jėga gali būti naudojama kintamoji palūkanų norma, kurios reikšmė kinta pagal duotą dėsnį (matematinė funkcija).

Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip investicinių sprendimų pagrindimas ir parinkimas. Vertinant finansų įstaigos, kurioje mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, darbą, pagrįsta manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų skaičiavimą.

k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:

kur e≈ 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.

Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:

FV = PV e j n = P e δn

Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).

Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:

a) kartą per metus;

b) kasdien;

c) nuolat.

Sprendimas:

Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:

kaupiamas kartą per metus

FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;

dienos palūkanų skaičiavimas

FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD

nuolatinis susidomėjimas

FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolerio.

12. Paskolos termino apskaičiavimas:

Bet kurioje paprasčiausioje finansinėje operacijoje visada yra keturios vertės: dabartinė vertė ( PV), sukaupta arba būsima vertė ( FV), palūkanų norma ( i) ir laikas ( n).

Kartais, kuriant finansinės operacijos sąlygas ar ją analizuojant, iškyla būtinybė spręsti problemas, susijusias su trūkstamų parametrų, tokių kaip finansinės operacijos terminas ar palūkanų normos lygis, nustatymu.

Paprastai terminai, datos, palūkanų kaupimo laikotarpiai būtinai nustatomi finansinėse sutartyse, nes laiko veiksnys vaidina svarbų vaidmenį finansiniuose ir komerciniuose skaičiavimuose. Tačiau pasitaiko situacijų, kai finansinės operacijos terminas nėra tiesiogiai nurodytas finansinės operacijos sąlygose arba kai šis parametras nustatomas rengiant finansinės operacijos sąlygas.

Paprastai finansinės operacijos terminas nustatomi tais atvejais, kai palūkanų norma ir palūkanų dydis yra žinomi.

Jei laikotarpis yra metais, tada

n = (FV-PV) : (PV i),

ir jei sandorio terminas turi būti nustatytas dienomis, tai laiko bazė pasirodo kaip veiksnys:

t = [(FV-PV) : (PV i)] T.

Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:

paskolos terminas:

n = / = / ;

sudėtinė palūkanų norma:

Taigi, indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.

13. Paskolos termino apskaičiavimas:

14. Palūkanų normos skaičiavimas:

- kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą,

- kai kaupiama nominalia norma % m kartus per metus,

- didėjant nuolatiniam augimo stiprumui.

15. Palūkanų normos skaičiavimas:

- kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą,

- kai diskontuojama nominalia diskonto norma m kartų per metus.

Pakartotinai kaupiant paprastas palūkanas, kaupimas atliekamas atsižvelgiant į pradinę sumą ir kiekvieną kartą yra ta pati vertė. Kitaip tariant,

P - pradinė suma;

S - sukaupta suma (pradinė suma kartu su priskaičiuotomis palūkanomis);

i - palūkanų norma, išreikšta akcijomis;

n yra kaupimo laikotarpių skaičius.

Šiuo atveju kalbama apie paprastą palūkanų normą.

Kai įkraunama kelis kartus sudėtinės palūkanos kiekvieną kartą, kai kaupimas atliekamas atsižvelgiant į sumą su jau anksčiau sukauptomis palūkanomis. Kitaip tariant, S= (1 + i) nP

Šiuo atveju kalbama apie sudėtinė palūkanų norma.

Dažnai svarstoma tokia situacija. Metinė palūkanų norma yra j, o palūkanos kaupiamos m kartų per metus, kai sudėtinė palūkanų norma lygi j / m (pavyzdžiui, kas ketvirtį, tada m = 4 arba kas mėnesį, tada m = 12). Tada sukauptos sumos formulė atrodys taip:

Šiuo atveju kalbama apie nominali palūkanų norma.

Kartais pagalvoti apie vadinamųjų situaciją nuolat kaupiamos palūkanos, tai yra, metinis kaupimo laikotarpių skaičius m linkęs į begalybę. Palūkanų norma žymima δ, o sukauptos sumos formulė yra tokia:

Šiuo atveju vadinama nominali palūkanų norma δ augimo stiprumas.

Realios ir nominalios normos

Atskirkite nominaliąsias ir realiąsias palūkanų normas.

Reali palūkanų norma yra palūkanų norma, pakoreguota atsižvelgiant į infliaciją. Santykis tarp realios, nominalios normos ir infliacijos paprastai apibūdinamas tokia (apytikslė) formule:

i r = i n − π

i n - nominali palūkanų norma; i r - reali palūkanų norma;

π yra numatomas arba planuojamas infliacijos lygis.

Irvingas Fisheris pasiūlė tikslesnį santykių tarp tikrojo, nominalios normos ir infliacija, išreikšta jo vardu pavadinta Fišerio formule:

Esant mažoms infliacijos normos π reikšmėms, rezultatai mažai skiriasi, tačiau jei infliacija yra didelė, reikia taikyti Fišerio formulę.

Sudėtinių palūkanų formulė

Finansinėje praktikoje didelė skaičiavimų dalis atliekama naudojant sudėtinių palūkanų schemą.

Sudėtinių palūkanų schemą patartina naudoti tais atvejais, kai:

Palūkanos mokamos ne susikaupus, o pridedamos prie pradinės skolos sumos. Sukauptų palūkanų prijungimas prie skolos sumos, kuri yra jų apskaičiavimo pagrindas, vadinamas didžiųjų raidžių rašymas procentų.

Jei palūkanos sumokamos ne iš karto, kai jos kaupiasi, o pridedamos prie pradinės skolos sumos, tokiu būdu skola padidinama nesumokėta palūkanų suma, o vėliau kaupiamos palūkanos nuo padidėjusios skolos sumos. :

S= P+ aš = P + P i = P (1 + i) - vienam kaupimo laikotarpiui;

S = (P + aš) (1 + i) = P ( 1 + i) ( 1 + i) = P (1 + i) 2

- už du kaupimo laikotarpius; iš čia, už n kaupimo laikotarpiais formulė bus tokia: S =P (1 + i)n= P kn, kur

S- susikaupusią skolos sumą;

P- pradinė skolos suma;

i- palūkanų norma kaupimo laikotarpiu;

n- kaupimo laikotarpių skaičius;

k n– sudėtinių palūkanų kaupimo koeficientas (daugiklis).

Ši formulė vadinama sudėtinių palūkanų formule.

Skirtumas tarp paprastųjų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo jų skaičiavimo pagrindu. Jeigu nuo tos pačios pradinės skolos sumos visą laiką skaičiuojamos paprastosios palūkanos, t.y. kaupimo bazė yra pastovi vertė, tada sudėtinės palūkanos kaupiamos pagal bazę, kuri didėja su kiekvienu kaupimo laikotarpiu. Taigi paprastas palūkanas iš prigimties yra absoliutus augimas, o paprastoji palūkanų formulė yra panaši į formulę, leidžiančią nustatyti tiriamo reiškinio išsivystymo lygį su nuolatiniu absoliučiu augimu. Sudėtinės palūkanos apibūdina pradinės sumos augimo procesą esant stabiliems augimo tempams, kartu paspartindamos jos absoliučią vertę, todėl sudėtinių palūkanų formulė gali būti laikoma nustatančia lygį pagal stabilius augimo tempus.

Pagal bendroji teorija statistiką, norint gauti bazinį augimo tempą, reikia padauginti grandinės augimo tempus. Kadangi laikotarpio palūkanų norma yra grandinės augimo tempas, grandinės augimo tempas yra: (1 + i).

Tada bazinis augimo tempas visam laikotarpiui, pagrįstas pastoviu augimo tempu, yra: (1 + i)n.

Pagrindiniai augimo tempai arba kaupimo veiksniai (daugikliai), priklausomai nuo palūkanų normos ir kaupimo laikotarpių skaičiaus, yra surašyti ir pateikti 2 priede. Kaupimo daugiklio ekonominė reikšmė yra ta, kad jis parodo, kam bus lygus vienas piniginis vienetas (vienas). rublis, vienas doleris ir pan.) per n laikotarpiais už tam tikrą palūkanų normą i.

Trumpalaikių paskolų atveju pirmenybė teikiama paprastųjų palūkanų kaupimui, o ne sudėtinėms palūkanoms; su vienerių metų terminu skirtumo nėra, bet su vidutinės trukmės ir ilgalaikėmis paskolomis sukaupta suma, skaičiuojama sudėtinėms palūkanoms, yra daug didesnė nei paprastoms.

Bet kuriam i,

jei 0< n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

jeigu n> 1, tada (1 + ni) < (1 + i)n ;

jeigu n= 1, tada (1 + ni) = (1 + i)n .

Taigi skolintojams:

Paprasta palūkanų schema yra pelningesnė, jei paskolos terminas trumpesnis nei metai (palūkanos skaičiuojamos vieną kartą metų pabaigoje);

Sudėtinių palūkanų schema yra pelningesnė, jei paskolos terminas viršija vienerius metus;

Abi schemos duoda tą patį rezultatą su vienerių metų laikotarpiu ir vienu palūkanų skaičiavimu.

1 pavyzdys 2000 rublių suma paskolinama 2 metams su 10% metinių palūkanų norma.Nustatykite palūkanas ir grąžintiną sumą.

Sprendimas:

Sukaupta suma

S =P (1 + i)n\u003d 2 "000 (1 + 0,1) 2 \u003d 2" 420 rublių.

S =Pk n\u003d 2 "000 1,21 \u003d 2" 420 rublių,

kur k n = 1,21

Sukauptų palūkanų suma

aš =S-P\u003d 2 "420 - 2" 000 \u003d 420 rublių.

Taigi po dvejų metų reikia grąžinti visą 2420 rublių sumą, iš kurių 2000 rublių. yra skola, ir 420 rublių. – „skolos kaina“.

Gana dažnai finansinės sutartys sudaromos ne keliems metams, o kitam laikotarpiui.

Tuo atveju, kai finansinės operacijos terminas išreiškiamas trupmeniniu metų skaičiumi, palūkanos gali būti skaičiuojamos dviem būdais:

– generolas Metodas susideda iš tiesioginio apskaičiavimo naudojant sudėtinių palūkanų formulę:

S =P (1 + i)n, n=+b,

kur n- sandorio laikotarpis;

a yra sveikasis metų skaičius;

b yra trupmeninė metų dalis.

-mišrus Skaičiavimo metodas daro prielaidą, kad visam palūkanų skaičiavimo laikotarpio metų skaičiui naudojama sudėtinių palūkanų formulė, o dalinei metų daliai – paprasta palūkanų formulė:

S =P (1 + i)a (1 + bi).

Nes b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, todėl naudojant mišrią schemą sukaupta suma bus didesnė.

2 pavyzdys Bankas gavo 9,5% metinę paskolą 250 tūkstančių rublių. subręsta per dvejus metus ir 9 mėnesius. Nustatykite grąžintiną sumą pasibaigus paskolos terminui dviem būdais.

Sprendimas:

Bendras metodas:

S= P (1 + i)n= 250 (1 + 0,095) 2,9 = 320,87 tūkst.

mišrus metodas:

S= P (1 + i)a (1 + bi) =

250 (1 + 0,095) 2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 tūkstančio rublių

Taigi pagal bendrą metodą paskolos palūkanos bus

I = S - P= 320,87 - 250,00 = 70,84 tūkst. rublių,

ir mišriu būdu

I = S - P= 321,11 - 250,00 = 71,11 tūkstančio rublių.

Matyt, mišri schema yra palankesnė kreditoriui.