Veiksmai su nuolatiniu susidomėjimu. Nuolatinės palūkanos: kaupimas, diskontavimas, diskrečiųjų ir nuolatinių palūkanų santykis Paskolos termino ir palūkanų normos nustatymas

Pakartotinai kaupiant paprastas palūkanas, kaupimas atliekamas atsižvelgiant į pradinę sumą ir kiekvieną kartą yra ta pati vertė. Kitaip tariant,

P - pradinė suma;

S - sukaupta suma (pradinė suma kartu su priskaičiuotomis palūkanomis);

i - palūkanų norma, išreikšta akcijomis;

n yra kaupimo laikotarpių skaičius.

Šiuo atveju kalbama apie paprastą palūkanų normą.

Kai įkraunama kelis kartus sudėtinės palūkanos kiekvieną kartą, kai kaupimas atliekamas atsižvelgiant į sumą su jau anksčiau sukauptomis palūkanomis. Kitaip tariant, S= (1 + i) nP

Šiuo atveju kalbama apie sudėtinė palūkanų norma.

Dažnai svarstoma tokia situacija. Metinė palūkanų norma yra j, o palūkanos kaupiamos m kartų per metus, kai sudėtinė palūkanų norma lygi j / m (pavyzdžiui, kas ketvirtį, tada m = 4 arba kas mėnesį, tada m = 12). Tada sukauptos sumos formulė atrodys taip:

Šiuo atveju kalbama apie nominali palūkanų norma.

Kartais pagalvoti apie vadinamųjų situaciją nuolat kaupiamos palūkanos, tai yra, metinis kaupimo laikotarpių skaičius m linkęs į begalybę. Palūkanų norma žymima δ, o sukauptos sumos formulė yra tokia:

Šiuo atveju vadinama nominali palūkanų norma δ augimo stiprumas.

Realios ir nominalios normos

Atskirkite nominaliąsias ir realiąsias palūkanų normas.

Reali palūkanų norma yra palūkanų norma, pakoreguota atsižvelgiant į infliaciją. Santykis su tikruoju nominali norma o infliacija bendruoju atveju apibūdinama tokia (apytikslė) formule:

i r = i n − π

i n - nominali palūkanų norma; i r - reali palūkanų norma;

π yra numatomas arba planuojamas infliacijos lygis.

Irvingas Fišeris pasiūlė tikslesnį tikrosios, nominalios normos ir infliacijos santykio modelį, išreikštą jo vardu pavadinta Fišerio formule:

Esant mažoms infliacijos normos π reikšmėms, rezultatai mažai skiriasi, tačiau jei infliacija yra didelė, reikia taikyti Fišerio formulę.

Sudėtinių palūkanų formulė

Finansinėje praktikoje didelė skaičiavimų dalis atliekama naudojant sudėtinių palūkanų schemą.

Sudėtinių palūkanų schemą patartina naudoti tais atvejais, kai:

Palūkanos mokamos ne susikaupus, o pridedamos prie pradinės skolos sumos. Sukauptų palūkanų prijungimas prie skolos sumos, kuri yra jų apskaičiavimo pagrindas, vadinamas didžiųjų raidžių rašymas procentų.

Jei palūkanos sumokamos ne iš karto, kai jos kaupiasi, o pridedamos prie pradinės skolos sumos, tokiu būdu skola padidinama nesumokėta palūkanų suma, o vėliau kaupiamos palūkanos nuo padidėjusios skolos sumos. :

S= P+ aš = P + P i = P (1 + i) - vienam kaupimo laikotarpiui;

S = (P + aš) (1 + i) = P ( 1 + i) ( 1 + i) = P (1 + i) 2

- už du kaupimo laikotarpius; iš čia, už n kaupimo laikotarpiais formulė bus tokia: S =P (1 + i)n= P kn, Kur

S- susikaupusią skolos sumą;

P- pradinė skolos suma;

i- palūkanų norma kaupimo laikotarpiu;

n- kaupimo laikotarpių skaičius;

k n– sudėtinių palūkanų kaupimo koeficientas (daugiklis).

Ši formulė vadinama sudėtinių palūkanų formule.

Skirtumas tarp paprastųjų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo jų skaičiavimo pagrindu. Jeigu nuo tos pačios pradinės skolos sumos visą laiką skaičiuojamos paprastosios palūkanos, t.y. tada kaupimo bazė yra pastovi vertė sudėtinės palūkanos sukaupta pagal bazę, kuri didėja su kiekvienu kaupimo laikotarpiu. Taigi paprastas palūkanas iš prigimties yra absoliutus augimas, o paprastoji palūkanų formulė yra panaši į formulę, leidžiančią nustatyti tiriamo reiškinio išsivystymo lygį su nuolatiniu absoliučiu augimu. Sudėtinės palūkanos apibūdina pradinės sumos augimo procesą esant stabiliems augimo tempams, kartu paspartindamos jos absoliučią vertę, todėl sudėtinių palūkanų formulė gali būti laikoma nustatančia lygį pagal stabilius augimo tempus.

Pagal bendroji teorija statistiką, norint gauti bazinį augimo tempą, reikia padauginti grandinės augimo tempus. Kadangi laikotarpio palūkanų norma yra grandinės augimo tempas, grandinės augimo tempas yra: (1 + i).

Tada bazinis augimo tempas visam laikotarpiui, pagrįstas pastoviu augimo tempu, yra: (1 + i)n.

Pagrindiniai augimo tempai arba kaupimo veiksniai (daugikliai), priklausomai nuo palūkanų normos ir kaupimo laikotarpių skaičiaus, yra surašyti ir pateikti 2 priede. Kaupimo daugiklio ekonominė reikšmė yra ta, kad jis parodo, kam bus lygus vienas piniginis vienetas (vienas). rublis, vienas doleris ir pan.) per n laikotarpiais už tam tikrą palūkanų normą i.

Trumpalaikių paskolų atveju pirmenybė teikiama paprastųjų palūkanų kaupimui, o ne sudėtinėms palūkanoms; su vienerių metų terminu skirtumo nėra, bet su vidutinės trukmės ir ilgalaikėmis paskolomis sukaupta suma, skaičiuojama sudėtinėms palūkanoms, yra daug didesnė nei paprastoms.

Bet kuriam i,

jei 0< n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

Jeigu n> 1, tada (1 + ni) < (1 + i)n ;

Jeigu n= 1, tada (1 + ni) = (1 + i)n .

Taigi skolintojams:

Paprasta palūkanų schema yra pelningesnė, jei paskolos terminas trumpesnis nei metai (palūkanos skaičiuojamos vieną kartą metų pabaigoje);

Sudėtinių palūkanų schema yra pelningesnė, jei paskolos terminas viršija vienerius metus;

Abi schemos duoda tą patį rezultatą su vienerių metų laikotarpiu ir vienu palūkanų skaičiavimu.

1 pavyzdys 2000 rublių suma paskolinama 2 metams su 10% metinių palūkanų norma.Nustatykite palūkanas ir grąžintiną sumą.

Sprendimas:

Sukaupta suma

S =P (1 + i)n\u003d 2 "000 (1 + 0,1) 2 \u003d 2" 420 rublių.

S =Pk n\u003d 2 "000 1,21 \u003d 2" 420 rublių,

Kur k n = 1,21

Sukauptų palūkanų suma

aš =S-P\u003d 2 "420 - 2" 000 \u003d 420 rublių.

Taigi po dvejų metų reikia grąžinti visą 2420 rublių sumą, iš kurių 2000 rublių. yra skola, ir 420 rublių. – „skolos kaina“.

Gana dažnai finansinės sutartys sudaromos ne keliems metams, o kitam laikotarpiui.

Tuo atveju, kai terminas finansinis sandoris išreikštas trupmeniniu metų skaičiumi, palūkanas galima apskaičiuoti dviem būdais:

– generolas Metodas susideda iš tiesioginio apskaičiavimo naudojant sudėtinių palūkanų formulę:

S =P (1 + i)n, n=+b,

Kur n- sandorio laikotarpis;

a yra sveikasis metų skaičius;

b yra trupmeninė metų dalis.

-mišrus Skaičiavimo metodas daro prielaidą, kad visam palūkanų skaičiavimo laikotarpio metų skaičiui naudojama sudėtinių palūkanų formulė, o dalinei metų daliai – paprasta palūkanų formulė:

S =P (1 + i)a (1 + bi).

Nes b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, todėl naudojant mišrią schemą sukaupta suma bus didesnė.

2 pavyzdys Bankas gavo 9,5% metinę paskolą 250 tūkstančių rublių. subręsta per dvejus metus ir 9 mėnesius. Nustatykite grąžintiną sumą pasibaigus paskolos terminui dviem būdais.

Sprendimas:

Bendras metodas:

S= P (1 + i)n= 250 (1 + 0,095) 2,9 = 320,87 tūkst.

mišrus metodas:

S= P (1 + i)a (1 + bi) =

250 (1 + 0,095) 2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 tūkstančio rublių

Taigi pagal bendrą metodą paskolos palūkanos bus

I = S - P= 320,87 - 250,00 = 70,84 tūkst. rublių,

ir mišriu būdu

I = S - P= 321,11 - 250,00 = 71,11 tūkstančio rublių.

Matyt, mišri schema yra palankesnė kreditoriui.

Dėl nuolatinių palūkanų palūkanų normos ir diskonto normos nėra skirtumo, nes augimo jėga yra universalus indikatorius. Tačiau kartu su nuolatinė jėga augimą, galima naudoti kintamą palūkanų normą, kurios reikšmė kinta pagal duotą dėsnį (matematinę funkciją).

Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip pagrindimas ir atranka investiciniai sprendimai. Darbo vertinimas finansų įstaiga, kai mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, pagrįsta manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų skaičiavimą.

Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, buvo atskiros palūkanos, nes jos skaičiuojamos tam tikrais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis kaupimo koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:

k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:

Kur e≈ 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.

Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:

FV = PV e j n = P e δn

Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).

Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:

a) kartą per metus;

b) kasdien;

c) nuolat.

Sprendimas:

Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:

kaupiamas kartą per metus

FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;

dienos palūkanų skaičiavimas

FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD

nuolatinis susidomėjimas

FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolerio.

12. Paskolos termino apskaičiavimas:

Bet kurioje paprasčiausioje finansinėje operacijoje visada yra keturios vertės: dabartinė vertė ( PV), sukaupta arba būsima vertė ( FV), palūkanų norma ( i) ir laikas ( n).

Kartais kuriant finansinės operacijos sąlygas ar ją analizuojant iškyla būtinybė spręsti problemas, susijusias su trūkstamų parametrų, tokių kaip finansinės operacijos terminas ar palūkanų normos lygis, nustatymu.

Paprastai terminai, datos, palūkanų kaupimo laikotarpiai būtinai nustatomi finansinėse sutartyse, nes laiko veiksnys vaidina svarbų vaidmenį finansiniuose ir komerciniuose skaičiavimuose. Tačiau pasitaiko situacijų, kai finansinės operacijos terminas nėra tiesiogiai nurodytas finansinės operacijos sąlygose arba kai šis parametras nustatomas rengiant finansinės operacijos sąlygas.

Paprastai finansinės operacijos terminas nustatomi tais atvejais, kai palūkanų norma ir palūkanų dydis yra žinomi.

Jei laikotarpis yra metais, tada

n = (FV-PV) : (PV i),

ir jei sandorio terminas turi būti nustatytas dienomis, tai laiko bazė pasirodo kaip veiksnys:

t = [(FV-PV) : (PV i)] T.

Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:

paskolos terminas:

n = / = / ;

sudėtinė palūkanų norma:

Taigi, indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.

13. Paskolos termino apskaičiavimas:

14. Palūkanų normos skaičiavimas:

- kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą,

- kai kaupiama nominalia norma % m kartus per metus,

- kai didėja nuolatinė jėga augimas.

15. Palūkanų normos skaičiavimas:

- kai diskontuojama sudėtine metine kaina nuolaidos dydis,

- kai diskontuojama nominalia diskonto norma m kartų per metus.

2.2.3. Kintama palūkanų norma

Reikėtų pažymėti, kad pagrindinė sudėtinių palūkanų formulė apima nuolatinis palūkanų norma per visą palūkanų laikotarpį. Tačiau teikdami ilgalaikę paskolą jie dažnai taiko sudėtines palūkanų normas, kurios laikui bėgant kinta, tačiau yra iš anksto nustatytos kiekvienam laikotarpiui. Naudojimo atveju kintamieji palūkanų normos, augimo formulė yra tokia:

Kur ik– nuoseklios palūkanų normos vertės laike;

nk– laikotarpių, kuriais naudojami atitinkami tarifai, trukmė.

Pavyzdys.Įmonė gavo 100 000 USD paskolą iš banko 5 metų laikotarpiui Paskolos palūkanų norma pirmiems metams yra 10%, 2 metams taikomas priedas nuo palūkanų normos. 1,5%, vėlesniems metams 1% Nustatykite skolos sumą paskolos termino pabaigoje.

Sprendimas:

Kintamoms palūkanų normoms naudojame formulę:

FV = PV (1 + i 1)n 1 (1 + i 2)n 2 … (1 + ik)nk =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174" 632,51 USD

Taigi, paskolos termino pabaigoje mokėtina suma bus 174 632,51 USD, iš kurių 100 000 USD yra tiesiogiai skolinga, o 74 632,51 USD yra palūkanos už skolą.

2.2.4. Nuolatinis palūkanų skaičiavimas

kn = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:

Kur e≈ 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.

Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:

FV = PV e j n = P e δ n

Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).

Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:

a) kartą per metus;

b) kasdien;

c) nuolat.

Sprendimas:

Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:

kaupiamas kartą per metus

FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;

dienos palūkanų skaičiavimas

FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD

nuolatinis susidomėjimas

FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolerio.

Grafiškai sukauptos sumos pokytis, priklausomai nuo kaupimo dažnumo, yra tokia:

Atskirai kaupiant, kiekvienas „žingsnis“ apibūdina pagrindinės skolos sumos padidėjimą dėl kito palūkanų kaupimo. Atkreipkite dėmesį, kad „laiptelių“ aukštis nuolat didėja.

Per vienerius metus vienas „žingsnis“ kairiajame grafike atitinka du „žingsnius“ mažesnio dydžio viduriniame grafike, tačiau iš viso jie viršija vieno kaupimo „žingsnio“ aukštį. Dar greičiau kaupimas vyksta nuolat skaičiuojant palūkanas, kaip parodyta diagramoje dešinėje.

Taigi, priklausomai nuo palūkanų kaupimo dažnumo, pradinė suma kaupiama skirtingais tarifais, o didžiausias galimas kaupimas – neribotai dalijant metinį intervalą.

Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip investicinių sprendimų pagrindimas ir parinkimas. Vertinant finansų įstaigos, kurioje mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, darbą, pagrįsta manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų skaičiavimą.

2.2.5. Paskolos termino ir palūkanų normos nustatymas

Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:

paskolos terminas:

n = / = / ;

sudėtinė palūkanų norma:

Taigi, indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.

2.3. Įkainių lygiavertiškumas ir mokėjimų pakeitimas

2.3.1. Palūkanų normos lygiavertiškumas

Gana dažnai praktikoje susidaro situacija, kai tenka palyginti įvairių finansinių operacijų ir komercinių sandorių sąlygas pelningumo požiūriu. Finansinių ir komercinių sandorių sąlygos gali būti labai įvairios ir tiesiogiai nepalyginamos. Alternatyvių pasirinkimo galimybių palyginimui sutarčių sąlygose naudojami įkainiai yra suvienodinti.

Lygiavertė palūkanų norma- tai kursas, kuris atitinkamos finansinės operacijos atveju duos lygiai tokį patį piniginį rezultatą (sukauptą sumą), kaip ir šioje operacijoje naudojamas kursas.

Klasikinis lygiavertiškumo pavyzdys yra nominalusis ir efektyvi norma procentai:

i = (1 + j / m)m - 1.

j = m[(1 + i) 1 / m - 1].

Efektyvi norma matuoja santykines pajamas, kurias galima gauti per visus metus, t.y. visiškai abejinga, ar taikyti tarifą j skaičiuojant palūkanas m kartą per metus arba metinį tarifą i, – abu įkainiai finansiškai lygiaverčiai.

Todėl visiškai nesvarbu, kuris iš nurodytų kursų yra nurodytas finansinėse sąlygose, nes juos naudojant gaunama ta pati sukaupta suma. JAV praktiniuose skaičiavimuose naudojama nominali norma, o Europos šalyse pirmenybė teikiama efektyviai palūkanų normai.

Jei dvi nominalios normos nustato tą pačią efektyvią palūkanų normą, tada jos vadinamos lygiavertėmis.

Pavyzdys. Kokios būtų nominalios palūkanų normos su pusmetinėmis ir mėnesinėmis palūkanomis, jei atitinkama efektyvi norma būtų lygi 25%?

Sprendimas:

Pusmečio palūkanų skaičiavimo nominalią normą randame:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Mes randame nominalią mėnesinių palūkanų normą:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Taigi nominalios normos 23,61 % su pusmetinėmis palūkanomis ir 22,52 % su mėnesinėmis palūkanomis yra lygiavertės.

Išvedant lygybes, jungiančias ekvivalentinius tarifus, kaupimo daugikliai prilyginami vienas kitam, todėl galima naudoti paprastų ir sudėtingų normų ekvivalentiškumo formules:

paprasta palūkanų norma:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n;

sudėtinė palūkanų norma:

Pavyzdys. Manoma, kad kapitalas 4 metams bus taikomas 20% metinių sudėtinių palūkanų norma su pusmetinėmis palūkanomis arba paprasta 26% metinių palūkanų norma. Raskite geriausią variantą.

Sprendimas:

Raskite lygiavertę paprastą sudėtinės palūkanų normos normą:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Taigi paprastoji palūkanų norma, atitinkanti sudėtinę palūkanų normą pagal pirmąjį variantą, yra 28,59% per metus, o tai yra didesnė už siūlomą paprastąją 26% per metus pagal antrąjį variantą, todėl pelningiau kapitalą įtraukti pagal pirmas variantas, t.y. po 20% per metus su pusmetinėmis palūkanomis.

Praktinėse finansinėse ir kredito operacijose nuolat didėja, t.y. kaupimasis per begalinį mažą laikotarpį naudojamas itin retai. Žymiai svarbiau nuolatinis augimas turi sudėtingų finansinių problemų analizę, pavyzdžiui, investicinių sprendimų pagrindimą ir atranką.

Sukaupta suma atskiri procentai nustatoma pagal formulę

S=P(1+j/m) mn ,

Kur j yra nominali palūkanų norma ir m yra palūkanų laikotarpių skaičius per metus.

Daugiau m, tuo trumpesni laiko intervalai tarp palūkanų skaičiavimo momentų. Palūkanų skaičiavimo dažnumo didinimas ( m) fiksuota nominalios palūkanų normos verte j padidina kaupimo daugiklį, kuris, nuolat skaičiuojant palūkanas ( m) pasiekia ribinę vertę

Yra žinoma, kad

Kur e yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Naudodami šią ribą išraiškoje (2.5), galiausiai gauname sukauptą sumą pagal normą j yra lygus

S=Pe jn .

Nuolatinė palūkanų norma vadinama augimo jėga ir žymima simboliu  . Tada

S=Pe  n . (2.6)

Augimo stiprumas yra nominali palūkanų norma m.

Nepertraukiamo palūkanų skaičiavimo kaupimo dėsnis (2.6) pagal formą sutampa su (2.2) tuo skirtumu, kad (2.2) laikas diskretiškai keičiasi žingsniu 1/ m, o (2.6) jis yra tęstinis.

Nesunku parodyti, kad diskretiškas ir nuolatiniai tarifai plėtiniai yra funkciškai priklausomi. Iš kaupiamųjų daugiklių lygybės galime gauti formulę ekvivalentiškam perėjimui nuo vieno kurso prie kito:

(1+i) n =e  n ,

iš kur seka:

=ln(1+ i), i=e  -1.

Pavyzdys 20 . Suma, nuo kurios skaičiuojamos nuolatinės palūkanos 5 metus, yra 2000 den. vienetų, augimo jėga 10 proc. Sukaupta suma bus S= 2000 e 0,1 5 \u003d 2000 1,6487 \u003d 3297,44 den. vienetų

Nuolatinis 10 % didinimas yra lygus metinės sudėtinės atskirosios palūkanų padidėjimui per tą patį laikotarpį. i. Mes randame:

i=e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

Kaip rezultatas, mes gauname S\u003d 2000 (1 + 0,10517) 5 \u003d 3297,44 den. vienetų

Diskontavimas pagal augimo stiprumą atliekamas pagal formulę

P=Se -  n

21 pavyzdys. Dabartinę mokėjimo vertę nustatykime pagal 17 pavyzdį, su sąlyga, kad diskontavimas pagrįstas 15% augimo tempu.

Sprendimas. Už skolą gauta suma (šiuolaikinė vertė) lygi

P= 5000 e-0,15 5 \u003d 5000 0,472366 \u003d 2361,83 den. vienetų

Taikydami tokio paties dydžio diskrečiąją kompleksinę diskonto normą, gavome vertę (žr. 17 pavyzdį) P=2218,53 den. vienetų

2.5. Paskolos termino ir palūkanų normų skaičiavimas

Daugelyje praktinių užduočių pradinė (P) ir galutinė (S) sumos yra nurodytos sutartyje ir reikalaujama nustatyti mokėjimo terminą arba palūkanų normą, kuri šiuo atveju gali būti palyginimo priemonė. su rinkos rodikliais ir operacijos pelningumo skolintojui charakteristika. Šias vertes nesunku rasti iš pradinių kaupimo ir nuolaidų formulių (paprastoms palūkanoms šios problemos aptariamos 1.8 pastraipoje).

Paskolos terminas. Apsvarstykite skaičiavimo problemą n skirtingoms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms.

i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad

kur logaritmas gali būti paimtas bet kuriuo pagrindu, nes jis yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.

j m

d f m

;

Padidinus pastovią augimo jėgą, remiantis (2.6) formule, gauname:

22 pavyzdys. Kuriam metų laikotarpiui suma lygi 75 tūkst.den. vienetų, sieks 200 tūkst. vienetų kai skaičiuojamos palūkanos taikant sudėtinę 12% palūkanų normą kartą per metus ir kas ketvirtį?

Sprendimas. Pagal termino skaičiavimo formules, kai kaupiama iki kompleksiniai tarifai prieaugius gauname:

n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 metų;

n=(log(200/75)/(4 log(1+0,12/4))=3,429 metų;

Palūkanų normų skaičiavimas. Iš tų pačių pradinių formulių, kaip ir aukščiau, gauname formules, skirtas apskaičiuoti normas įvairiomis palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygomis.

Kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad

i=(S/P) 1/ n –1=
.

Kai kaupiama pagal nominalią palūkanų normą m kartą per metus iš (2.2) formulės gauname:

j=m((S/P) 1/ mn –1)=
.

Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d ir nominalia diskonto norma f m kartą per metus iš (2.3) ir (2.4) formulių atitinkamai gauname:

d =1– (P/S) 1/ n =
;

f = m(1– (P/S) 1/ mn =
.

Padidinus pastovią augimo jėgą, remiantis (2.6) formule, gauname:

23 pavyzdys. Taupymo lakštas pirktas už 100 tūkst.den. vnt., jo išpirkimo suma – 160 tūkst.den. vnt., terminas 2,5 metų. Kokia yra investicijos grąžos norma metinės sudėtinės palūkanų normos forma?

Sprendimas. Naudojant gautą formulę metinė norma i, mes gauname: i=(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, t.y. 20,684%.

24 pavyzdys. Vekselio terminas – 2 metai. Nuolaida jos apskaitoje buvo 30 proc. Kokią sudėtinę metinę diskonto normą atitinka ši nuolaida?

Sprendimas. Pagal užduotį P/S=0,7. Tada d=1–
=0,16334, t.y. 16,334%.

Naudojant atskirą nominalią normą, sukaupta suma nustatoma pagal formulę:

Pereinant prie nuolatinių procentų gauname:

Kaupimo daugiklis nuolatiniam palūkanų kapitalizavimui.

Nurodydami augimo jėgą, gauname:

nes diskretieji ir tęstiniai rodikliai yra funkciškai susiję vienas su kitu, tada galime parašyti kaupimo daugiklių lygybę

Dėl pradinio kapitalas 500 tūkstančių rublių. priskaičiuotos sudėtinės palūkanos – 8% per metus 4 metus. Nustatykite sukauptą sumą, jei palūkanos kaupiamos nuolat.

Nuolaida, pagrįsta nuolatinėmis palūkanų normomis

Formulėje (4.21) galima nustatyti šiuolaikinę reikšmę

Nuolatinė palūkanų norma, naudojama diskontuojant, vadinama diskonto galia. Jis lygus augimo stiprumui, t.y. naudojami diskontavimo arba augimo jėgos sumažinimui, todėl gaunamas toks pats rezultatas.

Apibrėžkite dabartinė mokėjimo vertė, darant prielaidą, kad diskontuojama taikant 12 % augimo tempą ir taikant tokio pat dydžio atskirą sudėtinę diskonto normą.

Kintamasis augimo stiprumas

Naudojantis šia charakteristika, modeliuojami pinigų sumų didėjimo procesai su besikeičiančia palūkanų norma. Jei augimo jėgą apibūdina kai kurie nuolatinė funkcija laiko, tada formulės galioja.

Už sukauptą sumą:

Šiuolaikinė vertė:

1) Tegul augimo jėga keičiasi diskretiškai ir paimkite tokias reikšmes: laiko intervalais, tada paskolos termino pabaigoje sukaupta suma bus:

Jei kaupimo laikotarpis yra n, o vidutinė augimo reikšmė: , tada

Nustatykite nuolatinio palūkanų kaupimo 5 metus kaupimo daugiklį. Jei augimo stiprumas kinta diskretiškai ir atitinka: 1 metus - 7%, 2 ir 3 - 8%, paskutinius 2 metus - 10%.

2) Augimo jėga nuolat kinta laike ir apibūdinama lygtimi:

kur yra pradinė augimo jėga (at)

a – metinis padidėjimas arba sumažėjimas.

Apskaičiuokite padidėjimo daugiklio laipsnį:

Pradinė vertė augimo jėga 8%, palūkanų norma yra nuolatinė ir linijinė.

Metų augimas -2%, kaupimo laikotarpis - 5 metai. Raskite augimo faktorių.

3) Pasikeičia augimo stiprumas geometrinė progresija, Tada