Nuolatinis susidomėjimas su nuolatine augimo jėga. Veiksmai su nuolatiniu susidomėjimu
2.2.3. Kintama palūkanų norma
Reikėtų pažymėti, kad pagrindinė sudėtinių palūkanų formulė apima nuolatinis palūkanų norma per visą palūkanų laikotarpį. Tačiau teikdami ilgalaikę paskolą jie dažnai taiko sudėtines palūkanų normas, kurios kinta laikui bėgant, tačiau yra iš anksto nustatytos kiekvienam laikotarpiui. Naudojimo atveju kintamieji palūkanų normos, kaupimo formulė yra tokia:
kur ik– nuoseklios palūkanų normų reikšmės laike;
nk– laikotarpių, kuriais naudojami atitinkami tarifai, trukmė.
Pavyzdys.Įmonė gavo paskolą iš banko 100 000 USD 5 metų laikotarpiui Paskolos palūkanų norma 1 metus yra 10%, 2 metus taikomas priedas nuo palūkanų normos. 1,5%, vėlesniems metams 1% Nustatykite skolos sumą paskolos termino pabaigoje.
Sprendimas:
Kintamoms palūkanų normoms naudojame formulę:
FV = PV (1 + i 1)n 1 (1 + i 2)n 2 … (1 + ik)nk =
100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =
174" 632,51 USD
Taigi, paskolos termino pabaigoje mokėtina suma bus 174 632,51 USD, iš kurių 100 000 USD yra tiesiogiai skolinga, o 74 632,51 USD yra palūkanos už skolą.
2.2.4. Nuolatinis palūkanų skaičiavimas
Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, buvo atskiros palūkanos, nes jos skaičiuojamos tam tikrais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis kaupimo koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:
kn = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365
Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:
|
|
kur e≈ 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.
Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:
FV = PV e j n = P e δ n
Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).
Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:
a) kartą per metus;
b) kasdien;
c) nuolat.
Sprendimas:
Mes naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:
kaupiamas kartą per metus
FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;
dienos palūkanų skaičiavimas
FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD
nuolatinis susidomėjimas
FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolerio.
Grafiškai sukauptos sumos pokytis, priklausomai nuo kaupimo dažnumo, turi tokią formą:
Atskirai kaupiant, kiekvienas „žingsnis“ apibūdina pagrindinės skolos sumos padidėjimą dėl kito palūkanų kaupimo. Atkreipkite dėmesį, kad „laiptelių“ aukštis nuolat didėja.
Per vienerius metus vienas „žingsnis“ kairiajame grafike atitinka du mažesnio dydžio vidurinio grafiko „žingsnius“, tačiau iš viso jie viršija vieno kaupimo „žingsnio“ aukštį. Dar greičiau kaupimas vyksta nuolat skaičiuojant palūkanas, kaip parodyta diagramoje dešinėje.
Taigi, priklausomai nuo palūkanų kaupimo dažnumo, pradinė suma kaupiama skirtingais tarifais, o didžiausias galimas kaupimas – neribotai dalijant metinį intervalą.
Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip investicinių sprendimų pagrindimas ir parinkimas. Vertinant finansų įstaigos, kurioje mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, darbą, patartina manyti, kad kaupiama suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų skaičiavimą.
2.2.5. Paskolos termino ir palūkanų normos nustatymas
Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:
paskolos terminas:
n = / = / ;
sudėtinė palūkanų norma:
Taigi, indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.
2.3. Įkainių lygiavertiškumas ir mokėjimų pakeitimas
2.3.1. Palūkanų normos lygiavertiškumas
Gana dažnai praktikoje susidaro situacija, kai tenka palyginti įvairių finansinių operacijų ir komercinių sandorių sąlygas pelningumo požiūriu. Finansinių ir komercinių sandorių sąlygos gali būti labai įvairios ir tiesiogiai nepalyginamos. Alternatyvių pasirinkimo galimybių palyginimui sutarčių sąlygose naudojami įkainiai yra suvienodinti.
Lygiavertė palūkanų norma- tai kursas, kuris atitinkamos finansinės operacijos atveju duos lygiai tokį patį piniginį rezultatą (sukauptą sumą), kaip ir šioje operacijoje naudojamas kursas.
Klasikinis lygiavertiškumo pavyzdys yra nominali ir efektyvi palūkanų norma:
i = (1 + j / m)m - 1.
j = m[(1 + i) 1 / m - 1].
Efektyvi norma matuoja santykines pajamas, kurias galima gauti per visus metus, t.y. visiškai abejinga, ar taikyti tarifą j skaičiuojant palūkanas m kartą per metus arba metinį tarifą i, – abu įkainiai finansiškai lygiaverčiai.
Todėl visiškai nesvarbu, kuris iš nurodytų kursų yra nurodytas finansinėse sąlygose, nes juos naudojant gaunama ta pati sukaupta suma. JAV praktiniuose skaičiavimuose naudojama nominali norma, o Europos šalyse pirmenybė teikiama efektyviai palūkanų normai.
Jei dvi nominalios normos nustato tą pačią efektyvią palūkanų normą, tada jos vadinamos lygiavertėmis.
Pavyzdys. Kokios būtų nominalios palūkanų normos su pusmetinėmis ir mėnesinėmis palūkanomis, jei atitinkama efektyvi norma būtų lygi 25%?
Sprendimas:
Pusmečio palūkanų skaičiavimo nominalią normą randame:
j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.
Mes randame nominalią mėnesinių palūkanų normą:
j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.
Taigi nominalios normos 23,61% su pusmetinėmis palūkanomis ir 22,52% su mėnesinėmis palūkanomis yra lygiavertės.
Išvedant lygybes, susiejančias ekvivalentinius tarifus, kaupimo daugikliai prilyginami vienas kitam, todėl galima naudoti paprastų ir sudėtingų normų ekvivalentiškumo formules:
paprasta palūkanų norma:
i = [(1 + j / m)m n - 1] / n;
sudėtinė palūkanų norma:
|
|
Pavyzdys. Manoma, kad kapitalas 4 metams bus taikomas taikant sudėtines 20 % metines palūkanas su pusmetinėmis palūkanomis arba taikant paprastą 26 % metinę palūkanų normą. Raskite geriausią variantą.
Sprendimas:
Raskite lygiavertę paprastą sudėtinės palūkanų normos normą:
i = [(1 + j / m)m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.
Taigi paprastoji palūkanų norma, atitinkanti sudėtinę palūkanų normą pagal pirmąjį variantą, yra 28,59% per metus, o tai yra didesnė už siūlomą paprastąją 26% per metus pagal antrąjį variantą, todėl pelningiau kapitalą įtraukti pagal pirmas variantas, t.y. po 20% per metus su pusmetinėmis palūkanomis.
Praktinėse finansinėse ir kredito operacijose nuolat didėja, t.y. kaupimasis per begalinį mažą laikotarpį naudojamas itin retai. Daug svarbesnis yra nuolatinis kaupimas analizuojant sudėtingas finansines problemas, pavyzdžiui, pagrindžiant ir atrenkant investicinius sprendimus.
Sukaupta suma su atskiromis palūkanomis nustatoma pagal formulę
S=P(1+j/m) mn ,
kur j yra nominali palūkanų norma ir m yra palūkanų laikotarpių skaičius per metus.
Daugiau m, tuo trumpesni laiko intervalai tarp palūkanų skaičiavimo momentų. Palūkanų skaičiavimo dažnumo didinimas ( m) fiksuota nominalios palūkanų normos verte j padidina kaupimo daugiklį, kuris, nuolat skaičiuojant palūkanas ( m) pasiekia ribinę vertę
Yra žinoma, kad
kur e yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.
Naudodami šią ribą išraiškoje (2.5), galiausiai gauname sukauptą sumą pagal normą j yra lygus
S=Pe jn .
Nuolatinė palūkanų norma vadinama augimo jėga ir žymima simboliu . Tada
S=Pe n . (2.6)
Augimo stiprumas yra nominali palūkanų norma m.
Nepertraukiamo palūkanų skaičiavimo kaupimo dėsnis (2.6) pagal formą sutampa su (2.2) tuo skirtumu, kad (2.2) laikas diskretiškai kinta žingsniu 1/ m, o (2.6) jis yra tęstinis.
Nesunku parodyti, kad diskrečios ir nuolatinės kaupimo normos yra funkciniuose santykiuose. Iš kaupiamųjų daugiklių lygybės galime gauti formulę ekvivalentiškam perėjimui nuo vieno kurso prie kito:
(1+i) n =e n ,
iš kur seka:
=ln(1+ i), i=e -1.
Pavyzdys 20 . Suma, nuo kurios skaičiuojamos nuolatinės palūkanos 5 metus, yra 2000 den. vienetų, augimo jėga 10 proc. Sukaupta suma bus S= 2000 e 0,1 5 \u003d 2000 1,6487 \u003d 3297,44 den. vienetų
Nuolatinis 10 % didinimas yra lygus metinės sudėtinės atskirosios palūkanų padidėjimui per tą patį laikotarpį. i. Mes randame:
i=e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.
Kaip rezultatas, mes gauname S\u003d 2000 (1 + 0,10517) 5 \u003d 3297,44 den. vienetų
Diskontavimas pagal augimo stiprumą atliekamas pagal formulę
P=Se - n
21 pavyzdys. Dabartinę mokėjimo vertę nustatykime pagal 17 pavyzdį, su sąlyga, kad diskontavimas pagrįstas 15% augimo tempu.
Sprendimas. Už skolą gauta suma (šiuolaikinė vertė) lygi
P= 5000 e-0,15 5 \u003d 5000 0,472366 \u003d 2361,83 den. vienetų
Taikydami tokio paties dydžio diskrečiąją kompleksinę diskonto normą, gavome vertę (žr. 17 pavyzdį) P=2218,53 den. vienetų
2.5. Paskolos termino ir palūkanų normų skaičiavimas
Daugelyje praktinių užduočių pradinė (P) ir galutinė (S) sumos yra nurodytos sutartyje ir reikia nustatyti mokėjimo terminą arba palūkanų normą, kuri šiuo atveju gali būti palyginimo priemonė. su rinkos rodikliais ir operacijos pelningumo skolintojui charakteristika. Šias vertes nesunku rasti iš pradinių kaupimo ir nuolaidų formulių (paprastoms palūkanoms šios problemos aptariamos 1.8 pastraipoje).
Paskolos terminas. Apsvarstykite skaičiavimo problemą n skirtingoms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms.
i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad
,
kur logaritmas gali būti paimtas bet kuriuo pagrindu, nes jis yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.
j m
.
d f m
;
.
Padidinus pastovią augimo jėgą, remiantis (2.6) formule, gauname:
.
22 pavyzdys. Kokiam metų laikotarpiui suma lygi 75 tūkst.den. vienetų, sieks 200 tūkst. vienetų kai skaičiuojamos palūkanos taikant sudėtinę 12% palūkanų normą kartą per metus ir kas ketvirtį?
Sprendimas. Pagal termino apskaičiavimo formules, kai kaupiamos sudėtingos kaupimo normos, gauname:
n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 metų;
n=(log(200/75)/(4 log(1+0,12/4))=3,429 metų;
Palūkanų normų skaičiavimas. Iš tų pačių pradinių formulių, kaip ir aukščiau, gauname formules, skirtas apskaičiuoti normas įvairiomis palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygomis.
Kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad
i=(S/P) 1/ n
–1=
.
Kai kaupiama pagal nominalią palūkanų normą m kartą per metus iš (2.2) formulės gauname:
j=m((S/P) 1/ mn
–1)=
.
Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d ir nominalia diskonto norma f m kartą per metus iš (2.3) ir (2.4) formulių atitinkamai gauname:
d
=1–
(P/S) 1/ n =
;
f
=
m(1–
(P/S) 1/ mn =
.
Padidinus pastovią augimo jėgą, remiantis (2.6) formule, gauname:
.
23 pavyzdys. Taupymo lakštas pirktas už 100 tūkst.den. vienetų, jo išpirkimo suma – 160 tūkst.den. vnt., terminas 2,5 metų. Kokia yra investicijų grąžos norma metinės sudėtinės palūkanų normos forma?
Sprendimas. Naudojant gautą metinės normos formulę i, mes gauname: i=(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, t.y. 20,684%.
24 pavyzdys. Vekselio terminas – 2 metai. Nuolaida jos apskaitoje buvo 30%. Kokią sudėtinę metinę diskonto normą atitinka ši nuolaida?
Sprendimas. Pagal užduotį P/S=0,7. Tada d=1–
=0,16334, t.y. 16,334%.
Nuolatinėms palūkanoms palūkanų normos ir diskonto normos nesiskiria, nes augimo stiprumas yra universalus rodiklis. Tačiau kartu su nuolatine augimo jėga gali būti naudojama kintamoji palūkanų norma, kurios reikšmė kinta pagal duotą dėsnį (matematinė funkcija).
Nuolatinis palūkanų skaičiavimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip investicinių sprendimų pagrindimas ir parinkimas. Vertinant finansų įstaigos, kurioje mokėjimai už laikotarpį gaunami pakartotinai, darbą, pagrįsta manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų kaupimą.
Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, buvo atskiros palūkanos, nes jos skaičiuojamos fiksuotais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis kaupimo koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:
k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365
Bet kadangi palūkanos kaupiamos nuolat, tada m linkęs į begalybę, o kaupimo koeficientas (daugiklis) linkęs e j:
kur e≈ 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.
Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:
FV = PV e j n = P e δn
Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra simbolizuojami δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).
Pavyzdys. 100 tūkstančių dolerių paskola buvo gauta 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei bus kaupiamos palūkanos:
a) kartą per metus;
b) kasdien;
c) nuolat.
Sprendimas:
Mes naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:
kaupiamas kartą per metus
FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolerio;
dienos palūkanų skaičiavimas
FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD
nuolatinis susidomėjimas
FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolerio.
12. Paskolos termino apskaičiavimas:
Bet kurioje paprasčiausioje finansinėje operacijoje visada yra keturios vertės: dabartinė vertė ( PV), sukaupta arba būsima vertė ( FV), palūkanų norma ( i) ir laikas ( n).
Kartais, kuriant finansinės operacijos sąlygas ar ją analizuojant, iškyla poreikis spręsti problemas, susijusias su trūkstamų parametrų, tokių kaip finansinės operacijos terminas ar palūkanų normos lygis, nustatymu.
Paprastai terminai, datos, palūkanų kaupimo laikotarpiai būtinai nustatomi finansinėse sutartyse, nes laiko veiksnys vaidina svarbų vaidmenį finansiniuose ir komerciniuose skaičiavimuose. Tačiau pasitaiko situacijų, kai finansinės operacijos terminas nėra tiesiogiai nurodytas finansinės operacijos sąlygose arba kai šis parametras nustatomas rengiant finansinės operacijos sąlygas.
Paprastai finansinės operacijos terminas nustatomi tais atvejais, kai yra žinoma palūkanų norma ir palūkanų dydis.
Jei laikotarpis yra metais, tada
n = (FV-PV) : (PV i),
ir jei sandorio terminas turi būti nustatytas dienomis, tai laiko bazė pasirodo kaip veiksnys:
t = [(FV-PV) : (PV i)] T.
Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:
- paskolos terminas:
n = / = / ;
- sudėtinė palūkanų norma:
Taigi, indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.
13. Paskolos termino apskaičiavimas:
14. Palūkanų normos skaičiavimas:
- kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą,
- kai kaupiama nominalia norma % m kartus per metus,
- didėjant nuolatiniam augimo stiprumui.
15. Palūkanų normos skaičiavimas:
- kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą,
- kai diskontuojama nominalia diskonto norma m kartų per metus.
Nuolatinis palūkanas yra teorinės ekonomikos terminas, reiškiantis nuolatinį, sistemingą palūkanų skaičiavimą. Jei gilinatės į ekonomikos teorijos pagrindus, nuolatinės palūkanos skaičiuojamos intervalais, kurie linkę į mažiausią skaičių. Tai yra, nenutrūkstamos palūkanos skaičiuojamos nuolat, tačiau skaičiavimo patogumui verslininkai ar ekonomistai sako, kad ta ar kita suma imama už sekundę, valandą ar dieną. Pavyzdžiui, Billo Gateso pajamas galima vadinti pajamomis nuolatinių palūkanų forma. Teoretikai apskaičiavo, kad Billas Gatesas, vienas turtingiausių pasaulio žmonių, kas minutę uždirba apie 6600 USD – į tokią sumą paverčiamos nuolatinės jo verslo ir investicijų palūkanos.
Nuolatinio domėjimosi teorine ir praktine ekonomika svarba
Kalbant apie nuolatinių palūkanų svarbą, pirmiausia reikėtų pažymėti, kad jie yra pagrindinė pasyvių pajamų forma. Tiesą sakant, pasyvios pajamos susideda iš dviejų teorinių komponentų: turto, kuris veikia be verslininko įsikišimo, ir nuolatinių palūkanų, kurias jis duoda už į jį investuotą sumą. Pavyzdžiui, aš nusipirkau butą už 10 000 000 rublių ir nuomoju jį už 40 000 rublių per mėnesį - tai pasyvios pajamos. Metinės pajamos sieks 480 000 rublių, iš dešimties milijonų – 4,8 proc. Pasirodo, verslininkas nuolat gauna 4,8 procento per metus nuo investuotos sumos, tai yra jo metinės palūkanos.
Antroji reikšmė – nuolatiniai procentai rodo stabilią įmonės plėtros situaciją. Jei tai nuolat kelia susidomėjimą, tai veikia gerai. Sustabdžius palūkanų gavimą, galima spręsti apie problemų atsiradimą įmonės darbe. Jei palūkanos kyla, tada krenta - tai taip pat kalba apie vidines įmonės problemas. Todėl ekonominės analizės teorijoje nuolatinis domėjimasis yra labai svarbus.
Trečia vertybė, į kurią atkreipsime dėmesį – investicijų grąža. Nuolat gaunamų palūkanų sumavimas ilgainiui lems, kad investicijos į verslą ar verslą atsipirks šimtu procentų, tai yra, verslininkas atgaus investuotas lėšas ir jam beliks tik gauti. Ekonomikos teorijoje yra daug raginimų analizuoti įvairius ekonominio gyvenimo veiksnius (infliacijos lygį ir pan.) ir palyginti rezultatus su nuolatiniais procentais. Gali pasirodyti, kad pajamos iš įmonės, išreikštos procentais, bus mažesnės nei pinigų nuvertėjimo procentas ir panašiai. Jei, pavyzdžiui, žmogus per metus iš indėlio banke gauna penkis procentus ir prilygsta aštuoniems procentams, tai galiausiai indėlininkas praranda tris procentus savo kapitalo. Dauguma žmonių į tai nekreipia dėmesio, o tai yra didžiausia ekonominė klaida ir daugelio bankrotų priežastis. Tai ypač svarbu ekonomikos restruktūrizavimo ir kataklizmų laikotarpiais.
Gaukite naujausią informaciją apie visus svarbius United Traders įvykius – užsiprenumeruokite mūsų
Ryšys tarp diskrečiųjų ir nuolatinių palūkanų normų
Diskretinės ir nepertraukiamos palūkanų normos yra funkciniame ryšyje, kurio dėka galima atlikti perėjimą nuo nuolatinių prie diskrečiųjų palūkanų skaičiavimo ir atvirkščiai. Lygiaverčio perėjimo iš vienos normos į kitą formulę galima gauti prilyginus atitinkamus kaupimo daugiklius
(1+i)n=eSn.
13 pavyzdys
Metinė sudėtinė palūkanų norma yra 15%, tai yra lygiavertė augimo norma,
Sprendimas.
Mes naudojame formulę (50)
q=N(1+^=N(1+0,15)=0,t76,
tie. lygiavertė augimo jėga yra 13,976%.
Paskolos termino ir palūkanų normų skaičiavimas
Daugelyje praktinių užduočių pradinė (R) ir galutinė (B) sumos yra nurodytos sutartyje ir reikia nustatyti mokėjimo terminą arba palūkanų normą, kuri šiuo atveju gali būti palyginimo priemonė. su rinkos rodikliais ir operacijos pelningumo skolintojui charakteristika. Šias reikšmes nesunku rasti pagal pradines prieaugio arba nuolaidų formules. Tiesą sakant, abiem atvejais atvirkštinė problema yra išspręsta tam tikra prasme.
Paskolos terminas
Kuriant sutarties parametrus ir įvertinant norimo rezultato pasiekimo laiką, per likusius sandorio parametrus reikia nustatyti operacijos trukmę (paskolos terminą). Panagrinėkime šį klausimą išsamiau.
A) Kai kaupiama pagal sudėtinę metinę normą i. Iš pradinės augimo formulės
5=P(1+i)n
seka tuo
n \u003d 1o (B / R) (52)
1(1+1)'
kur logaritmas gali būti paimtas bet kuriuo pagrindu, nes jis yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.
5=P(1+j/m)mn
mes gauname
n =
t ios (1 + y I t)
C) Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d. Iš formulės
P=S(1d)n
turime n = 1o(P 15). (54)
1(1 - ^
D) Kai diskontuojama nominalia diskonto norma m kartų per metus. Iš
P=S(1f/m)mn
mes pasiekiame formulę
n \u003d 1o8 (P 15). (55)
t 1o§(1 - /1 t)
Kai remiamasi nuolatine augimo jėga. Remiantis
B = Rv3p
mes gauname
ip(B/P)=bp.
Palūkanų normos skaičiavimas
Iš tų pačių pradinių formulių, kaip ir aukščiau, gauname palūkanų normų išraiškas.
A) Kuriant kompleksine metine norma I. Iš pradinės kaupimo formulės
B=P(1+1)n
seka tuo
""i."1
B) Didinant nominalia palūkanų norma t kartą per metus iš formulės
B=P(1+]/m)m
C) Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d. Iš formulės
P \u003d B (1-as) p
turime e = 1 – (§). (59)
D) Kai diskontuojama nominalia diskonto norma t kartą per metus. Iš
P=B(1//t)tp
mes pasiekiame formulę
1 / (tp)
E) Kai remiamasi nuolatine augimo jėga. Remiantis
mes gauname
Palūkanos ir infliacija
Infliacijos pasekmė – pinigų perkamosios galios kritimas, kuris laikotarpiui P apibūdinamas indeksu Jn. Perkamosios galios indeksas lygus kainų indekso Jp atvirkštinei dydžiui, t.y.
Jn 1/Jp¦
Kainų indeksas parodo, kiek kartų kainos pakilo per tam tikrą laikotarpį.
Paprastų palūkanų kaupimas
Jei per n metų sukaupta pinigų suma yra S, o kainų indeksas lygus Jp, tai faktiškai sukaupta pinigų suma, atsižvelgiant į jų perkamąją galią, yra lygi
C=S/Jp.
Tegul numatoma vidutinė metinė infliacija (būdinga kainų padidėjimui per metus) lygi b. Tada metinis kainų indeksas bus (1 + b.).
Jei P metų kaupimas atliekamas naudojant paprastą normą, tada tikrasis kaupimas esant infliacijos lygiui b bus
c \u003d p (1 + w)
kur apskritai
P
JP \u003d P (1 + K),
r=1
ir ypač esant pastoviam kainų augimo tempui h,
Jp=(1+h)n. (66)
Palūkanų norma, kuri kompensuoja infliaciją, kai skaičiuojamos paprastosios palūkanos, yra
71
i = P1. (67)
P
Vienas iš būdų kompensuoti pinigų nuvertėjimą – padidinti palūkanų normą vadinamosios infliacinės premijos dydžiu. Taip pakoreguota norma vadinama bendruoju tarifu. Bendroji norma, kurią žymėsime simboliu G, randama iš infliacijos pakoreguoto bendrosios normos kaupimo daugiklio lygybės su kaupimo daugikliu, esant realiajai palūkanų normai.
1 + pg = 1 + nі, (68)
-R
kur
r = (1 + ti)P 1. (69)
P
Sudėtinių palūkanų padidėjimas
Sudėtinių palūkanų suma iki paskolos termino pabaigos, atsižvelgiant į pinigų perkamosios galios sumažėjimą (t. y. pastoviais rubliais), bus lygi.
C \u003d P (1 + 01, (70)
kur kainų indeksas nustatomas pagal (65) arba (66) išraišką, priklausomai nuo infliacijos lygio kintamumo arba pastovumo.
Šiuo atveju pinigų perkamosios galios kritimas kompensuojamas kursu i=h, kas užtikrina lygybę C=P.
Skaičiuojant sudėtines palūkanas, nuostolius dėl pinigų perkamosios galios sumažėjimo galima kompensuoti dviem būdais.
A) Palūkanų normos, kuriai taikomas kaupimas, koregavimas pagal infliacijos priemokos dydį. Palūkanų norma, padidinta infliacijos priedu, vadinama bruto norma. Pažymėsime simboliu r. Darant prielaidą, kad metinė infliacijos norma lygi b, galime užrašyti atitinkamų kaupimo koeficientų lygybę
- = 1 + /, (71)
1 + ir
kur i yra tikrasis kursas.
Iš čia gauname Fišerio formulę
r=i+h+ih. (72)
Tai yra, infliacijos priemoka lygi h+ih.
B) Pradinės sumos P indeksavimas. Šiuo atveju suma P koreguojama pagal iš anksto nustatyto indekso judėjimą. Tada
S=PJp(1+i)n. (73)
Nesunku pastebėti, kad tiek A), tiek B) atveju gauname tą pačią augimo formulę (73). Jame pirmieji du faktoriai dešinėje atspindi pradinės sumos indeksavimą, o du paskutiniai – palūkanų normos koregavimą.
Realiosios palūkanų normos matavimas
Praktiškai reikia išspręsti ir atvirkštinę problemą – rasti realią palūkanų normą pagal infliaciją. Iš tų pačių santykio tarp kaupimo daugiklių nesunku išvesti formules, kurios nustato realią normą i tam tikrai (arba deklaruotai) bruto normai r.
Skaičiuojant paprastas palūkanas, metinė realioji palūkanų norma lygi
(l \
1 + psl
1
R
Skaičiuojant sudėtines palūkanas, reali palūkanų norma nustatoma pagal tokią išraišką
1 + Y Y - I / YYYH
I=1=. (75)
1+I 1+I
Praktiniai teorijos pritaikymai
Panagrinėkime kai kuriuos praktinius šios teorijos pritaikymus. Parodykime, kaip aukščiau gautos formulės naudojamos sprendžiant realias kai kurių finansinių operacijų efektyvumo skaičiavimo problemas, ir palyginkime skirtingus skaičiavimo būdus.
Valiutos konvertavimas ir palūkanų skaičiavimas
Apsvarstykite valiutos konvertavimo (keitimo) ir paprastų palūkanų kaupimo derinį, palyginkite rezultatus, gautus tiesiogiai padėjus turimas lėšas į indėlius arba po išankstinio keitimo į kitą valiutą. Iš viso yra 4 palūkanų kaupimo galimybės:
1. Jokio konvertavimo. Lėšos užsienio valiuta dedamos kaip indėlis užsienio valiuta, pradinė suma didinama pagal užsienio valiutos kursą, tiesiogiai taikant paprastą palūkanų formulę.
2. Su konversija. Pradinės valiutos lėšos konvertuojamos į rublius, kaupiama pagal rublio kursą, operacijos pabaigoje rublio suma konvertuojama atgal į pradinę valiutą.
3. Jokio konvertavimo. Rublio suma dedama į rublio indėlį, už kurį pagal paprastą palūkanų formulę kaupiamos palūkanos pagal rublio kursą.
4. Su konversija. Rublio suma konvertuojama į konkrečią valiutą, kuri investuojama į indėlį užsienio valiuta. Palūkanos skaičiuojamos pagal užsienio valiutos kursą. Sukaupta suma operacijos pabaigoje paverčiama atgal į rublius.?
Operacijos be konvertavimo nėra sudėtingos. Dvigubo konvertavimo kaupimo operacijoje yra du pajamų šaltiniai: palūkanų kaupimas ir valiutos kurso pokytis. Be to, palūkanų skaičiavimas yra besąlyginis šaltinis (norma fiksuota, infliacija kol kas neatsižvelgiama). Valiutos kurso pokytis gali būti tiek į vieną, tiek į kitą pusę, gali būti ir papildomų pajamų šaltinis, ir lemti nuostolius. Toliau mes sutelksime dėmesį į dvi parinktis (2 ir 4), kurios numato dvigubą konversiją.
Pirmiausia pristatykime šį žymėjimą:
Pv – indėlio suma užsienio valiuta,
Pr yra indėlio suma rubliais,
Sv - sukaupta suma valiuta,
Sr - sukaupta suma rubliais,
^ - valiutos kursas operacijos pradžioje (keitimo kursas rubliais)
^ - valiutos kursas operacijos pabaigoje, P - indėlio terminas,
І – rublio sumų kaupimo norma (dešimtainės trupmenos pavidalu),
j yra konkrečios valiutos kaupimo kursas.
PASIRINKIMAS: DĖL VALIUTOS RUBLIŲ ^ RUBLIAI ^VALIUTA Operaciją sudaro trys etapai: valiutos keitimas į rublius, rublio sumos kaupimas, atvirkštinis rublio sumos konvertavimas į pradinę valiutą. Sandorio pabaigoje gauta sukaupta suma užsienio valiuta bus
= RuK- (1 + pi)!.
k1
Kaip matote, trys operacijos etapai šioje formulėje atsispindi trijų veiksnių pavidalu.
Padidėjimo daugiklis, atsižvelgiant į dvigubą konversiją, yra lygus
K0 „, h 1 + pі 1 + pі,
į
K o
kur k=Kl/Ko – valiutos kurso augimo kursas operacijos metu.?
Matome, kad kaupimo koeficientas m yra tiesiškai susijęs su kursu I ir atvirkščiai – su valiutos kursu operacijos K pabaigoje (arba su valiutos kurso k augimo greičiu).
Teoriškai išnagrinėkime dvigubos konvertavimo operacijos bendro pelningumo pagal schemą VALIUTA ^ RUBLIAI ^ RUBLIS ^ VALIUTA priklausomybę nuo galutinio ir pradinio valiutų kursų santykio k.
Paprastoji metinė palūkanų norma, kuri apibūdina visos operacijos pelningumą, yra lygi
/ = ^P,.
*") TMTM
* Rp
Šioje formulėje pakeiskite anksčiau parašytą Bu išraišką
-(1 + m)1
K1 1 (1 + m) 1?
1 IŠVADA: Jei numatomos k arba K1 reikšmės viršija jų kritines reikšmes, operacija yra aiškiai nuostolinga
Ceff Dabar nustatykime maksimalią leistiną valiutos kurso vertę operacijos Ki pabaigoje, kuriai esant efektyvumas bus lygus esamam indėlių kursui valiuta, o dvigubo konvertavimo naudojimas neduoda jokios papildomos naudos. Norėdami tai padaryti, sulyginame dviejų alternatyvių operacijų prieaugio koeficientus
į
1 + nj = mm(1 + ni)
K1
Iš rašytinės lygybės išplaukia, kad
iki 1 + ni
maks. K1 = K0
1 + nj
arba
K, 1 + ni
maksimalus k = -L =
K o 1 + nj
2 IŠVADA: valiutos indėlis konvertuojant į rublius yra pelningesnis nei užsienio valiutos indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus mažesnis nei max K1.
PASIRINKIMAS: RUBLIAI ^ VALIUTA ^ VALIUTA ^ RUBLIAI
Dabar panagrinėkime dvigubo konvertavimo variantą, kai yra pradinė suma rubliais. Šiuo atveju trys operacijos etapai atitinka tris toliau pateiktos sukauptos sumos išraiškos veiksnius
P K
S = K(1 + nj)K 1 = Pr (1 + nj)L
K0 K0
Čia taip pat kaupimo koeficientas tiesiškai priklauso nuo kurso, o dabar nuo valiutos palūkanų normos. Tai taip pat tiesiškai priklauso nuo galutinio valiutos kurso.
Atlikime šios operacijos su dviguba konversija efektyvumo teorinę analizę ir nustatykime kritinius taškus.?
Visos operacijos pelningumas nustatomas pagal formulę
«¦ =.
1 "tmgm"
E Rgp
Taigi, pakeitę išraišką Sr, gauname
Į
(1 + n])1. \u003d Ko "\u003d * (1 + n]) 1
„E11
P
Efektyvumo rodiklio ieff priklausomybė nuo k yra tiesinė, parodyta fig. 3
Jei k=1 ізф=/", kai k>1 ізф>;", к Raskime kritinę k* reikšmę, kai bff=0. Pasirodo lygus
k* =^^ arba k*1 = K^~.
1 + n 1 + n
3 IŠVADA: Jei tikėtinos reikšmės k arba ^ yra mažesnės už jų kritines vertes, tai operacija yra aiškiai nuostolinga
(ІЗФФ Minimali leistina vertė k (valiutos kurso augimo kursas per visą operacijos laikotarpį), užtikrinantis tokį patį pelningumą kaip ir tiesioginis indėlis rubliais, nustatomas
alternatyvių operacijų daugiklių ir prieaugių lyginimo temos (arba iš lygybės ieff=i)
į
- L(1 + nj) = 1 + ni,
K0
1 + ni 1 + ni iš kur mm k = arba mm k = K
1 + nj 1 0 1 + nj
4 IŠVADA: Rublių sumų indėlis konvertuojant valiutą yra pelningesnis nei rublio indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus didesnis nei min K1.
Dabar apsvarstykite valiutos konvertavimo ir sudėtinių palūkanų kaupimo derinį. Apsiribosime vienu variantu.
PASIRINKIMAS: VALIUTA ^ RUBLIS ^ RUBLIS ^ VALIUTA
Vienoje sukauptos sumos formulėje surašyti trys operacijos etapai
sv = PVK 0(1+i) nK"
Ki
kur i yra sudėtinė palūkanų norma.
Kaupimo daugiklis
nKо _ (1 + i) n
K1 k
7 K
čia k = – valiutos kurso augimo kursas operacijos laikotarpiu. K 0
Nustatykime visos operacijos pelningumą metinės sudėtinės palūkanų normos forma, ty.
Iš sudėtinių palūkanų kaupimo formulės
S=P(1+i)n
seka tuo
I.-n
]Pv
Į šią formulę pakeitę BU reikšmę, gauname
P(1 + Opgg,.
b = g, ^1 = 1+11.
Iš šios išraiškos matyti, kad didėjant augimo greičiui k, efektyvumas mažėja. Tai parodyta grafike pav. keturi.
Ryžiai. keturi.
Analizė rodo, kad k = 1 1e = I, k > 1 1e I.
Kritinė k reikšmė, kuriai esant operacijos efektyvumas lygus nuliui, t.y. b = 0,
apibrėžiamas kaip k* = (1 + 1)p, o tai reiškia, kad vidutinis metinis valiutos kurso augimo tempas yra lygus metiniam rublio kurso augimo tempui: Vk = 1 + r.
5 IŠVADA: Jei numatomos k arba K reikšmės yra didesnės už jų kritines reikšmes, tai nagrinėjamas sandoris su dvigubu konvertavimu yra aiškiai nepelningas (b . 4) nustatomas iš atitinkamų augimo faktorių lygybės.
(1 +1) i
(1 + L)n =
kt?
kur
P
1 +1
arba maksimalus k = K
1 l (
1 + Y, 1 "VI + Y,
6 IŠVADA: valiutos indėlis konvertuojant į rublius yra pelningesnis nei užsienio valiutos indėlis, jei tikimasi, kad valiutos kursas operacijos pabaigoje bus mažesnis nei maks.
Skolos grąžinimas dalimis Finansinės operacijos metmenys
Finansinės ar kredito operacijos apima investicijų ir grąžos balansą. Pusiausvyros sąvoką galima paaiškinti grafike. a)
AT
aš,.
T
b)
Ryžiai. 5.
Tegul išduodama Bo dydžio paskola laikotarpiui T. Per šį laikotarpį atliekami du tarpiniai mokėjimai K ir Kr skolai padengti, o laikotarpio pabaigoje sumokamas skolos K3 likutis, sumuojant. padidinti operacijos balansą.
Laiko intervalu th skola padidėja iki Bb B reikšmės šiuo metu, o skola sumažėja iki reikšmės K1=B1K1 ir kt. Operacija baigiasi kreditoriui gavus skolos Kz likutį. Šiuo metu skola yra visiškai grąžinta.
B) tipo grafiką vadinkime finansinės operacijos kontūru. Subalansuota operacija būtinai turi uždarą kilpą, t.y. paskutinis mokėjimas visiškai padengia skolos likutį. Sandorio metmenys dažniausiai taikomi apmokant skolą daliniais mokėjimais.
Iš eilės dalinių mokėjimų pagalba kartais grąžinami trumpalaikiai įsipareigojimai. Šiuo atveju yra du palūkanų skaičiavimo ir skolos likučio nustatymo būdai. Pirmasis vadinamas aktuariniu ir dažniausiai naudojamas sandoriams, kurių laikotarpis yra ilgesnis nei metai. Antrasis metodas vadinamas prekybininko taisykle. Jį dažniausiai naudoja komercinės įmonės, sudarydamos sandorius, kurių terminas ne ilgesnis kaip metai.
Pastaba: skaičiuojant palūkanas, paprastai naudojamos paprastos palūkanos su apytiksliu laikotarpių dienų skaičiumi.
aktuarinis metodas
Aktuarinis metodas apima nuoseklų palūkanų už faktinę skolos sumą apskaičiavimą. Dalinis mokėjimas visų pirma skirtas mokėjimo dieną sukauptoms palūkanoms grąžinti. Jeigu įmokos suma viršija priskaičiuotų palūkanų sumą, tuomet skirtumas skiriamas pagrindinei skolos sumai grąžinti. Neapmokėtas skolos likutis yra pagrindas skaičiuojant kito laikotarpio palūkanas ir kt. Jei dalinis mokėjimas yra mažesnis už sukauptą
procentų, tada skolos sumai nedaromi įskaitymai. Šios pajamos pridedamos prie kito mokėjimo.
Fig. parodytam atvejui. 5 b), gauname tokias skaičiavimo formules skolos likučiui nustatyti:
K1=Bo(1+b1)K1; K2=Kb(1+b21)K2; K2(1+bz1)Kz=0,
kur laikotarpiai bb, b2, bz pateikti metais, o palūkanų norma I yra metinė.
Prekybininko taisyklė
Prekybininko taisyklė yra kitas būdas skaičiuoti įmokas. Čia galimos dvi situacijos.
1) Jeigu paskolos terminas neviršija, skolos suma su priskaičiuotomis palūkanomis už visą terminą lieka nepakitusi iki visiško grąžinimo. Tuo pačiu metu kaupiasi daliniai mokėjimai su už juos priskaičiuotomis palūkanomis iki termino pabaigos.
2) Tuo atveju, kai terminas viršija metus, aukščiau pateikti skaičiavimai atliekami metiniam skolos laikotarpiui. Metų pabaigoje iš skolos sumos atimama sukaupta sukauptų dalinių įmokų suma. Likusi dalis išmokama kitais metais.
Su bendru paskolos terminu T m
S \u003d D - K \u003d P (l + L) -? RJ (1 + tJi),
]=1
kur E yra skolos likutis termino pabaigoje,
B - sukaupta skolos suma,
K - sukaupta mokėjimų suma,
U - dalinės įmokos suma,
b) - laiko intervalas nuo mokėjimo momento iki termino pabaigos, t - dalinių (tarpinių) mokėjimų skaičius.
Kintamoji sąskaitos suma ir palūkanų skaičiavimas
Apsvarstykite situaciją, kai banke atidaroma kaupiamoji sąskaita, o saugojimo laikotarpiu keičiasi sąskaitos suma: išimamos lėšos, įmokami papildomi įnašai. Tada bankų praktikoje, skaičiuodami palūkanas, jie dažnai naudoja skaičiavimo metodą su vadinamųjų procentinių skaičių skaičiavimu. Kiekvieną kartą pasikeitus sąskaitos likučiui, apskaičiuojamas procentas Cj per praėjusį laikotarpį ], per kurį sąskaitos likutis nepakito, naudojant formulę
Su. = R.,
prie 100
kur ^ yra ]-ojo laikotarpio trukmė dienomis.
Norint nustatyti per visą terminą sukauptų palūkanų sumą, visi palūkanų skaičiai sumuojami ir jų suma dalijama iš pastovaus daliklio D:
B = K,
kur K yra laiko bazė (dienų skaičius per metus, t. y. 360 arba 365 arba 366), i yra metinė paprastoji palūkanų norma (%).
Uždarydamas sąskaitą savininkas gaus sumą, lygią paskutinei sąskaitoje esančios sumos vertei ir palūkanų sumą.
14 pavyzdys
Tarkime, vasario 20 d. buvo atidaryta pareikalavimo sąskaita P1=3000 rublių, indėlio palūkanų norma buvo lygi r=20% per metus. Papildomas įnašas į sąskaitą siekė Rl=2000 rublių. ir buvo padaryta rugpjūčio 15 d. Išėmimas iš sąskaitos R2=4000 rublių. užfiksuota spalio 1 d., o lapkričio 21 dieną sąskaita uždaryta. Būtina nustatyti palūkanų dydį ir bendrą sumą, kurią indėlininkas gavo uždarant sąskaitą.
Sprendimas.
Skaičiavimas bus atliktas pagal schemą (360/360). Yra trys laikotarpiai, per kuriuos suma sąskaitoje išliko nepakitusi: nuo vasario 20 iki rugpjūčio 15 d
^1 = 3000, u = 10 + 5*30 + 15 = 175),?
nuo rugpjūčio 15 iki spalio 1 d
(P2 = P1 + R1 = 3000 + 2000 = 5000 rublių, b = 15 + 30 + 1 = 46), nuo spalio 1 d. iki lapkričio 21 d.
(Pz = P2 + R2 = 5000 - 4000 = 1000 rublių, bz = 29 + 21 = 50). Raskite procentus
R * D 3000 C. \u003d -k \u003d \u003d 5250,
1 1L 1L
=2300,
pastovus daliklis
B=K/1=360/20=18.
Palūkanų suma yra
I \u003d (C, + C2 + C3) / B \u003d 5250 + 2300 + 500 \u003d 447 rubliai. 22 kop.
18
Suma, sumokėta uždarant sąskaitą, yra lygi
Rz + I \u003d 1000 + 447,22 \u003d 1447 rubliai. 22 kop.
Dabar parodysime šios technikos ryšį su paprasta palūkanų formule. Apsvarstykite aukščiau pateiktą pavyzdį algebrine forma.
Sumokėtą sumą uždarant sąskaitą randame taip
RL, + (P + O V 2 + (P + P. + 02 ^3 /
P3 +1 \u003d P + R1 + P2 + ^-^ 1 "2 V 1 1 ^ 3 _
100 tūkst
t1 +2 +13 I 1, o (, 2 +13 I 1, o (l, t3 I
= P.1 1 +1 2 ^ 1 + O 1 + ^ ^ 1 + P2| 1 +31 ^ K 100) ^ 100 K) ^ 100 K
Taigi, mes gavome išraišką, iš kurios matyti, kad kiekvienam pridėtam arba pašalintam kiekiui
nuo sąskaitos, palūkanos skaičiuojamos nuo atitinkamos operacijos atlikimo momento iki sąskaitos uždarymo. Ši schema atitinka prekybininko taisyklę, aptartą 6.2 skyriuje.
Sutarties sąlygų keitimas
Praktikoje dažnai iškyla būtinybė keisti sutarties sąlygas: pavyzdžiui, skolininkas gali prašyti atidėti skolos grąžinimo terminą arba, priešingai, išreikšti norą ją grąžinti anksčiau laiko, kai kuriais atvejais. gali kilti poreikis sujungti (konsoliduoti) kelis skolinius įsipareigojimus į vieną ir pan. Visais šiais atvejais taikomas senų (pakeistų) ir naujų (pakeistų) įsipareigojimų finansinio lygiavertiškumo principas. Sutarties sąlygų keitimo problemoms spręsti sukuriama vadinamoji lygiavertiškumo lygtis, kurioje pakaitinių įmokų suma, sumažinta iki bet kurio momento, yra lygi įmokų sumai už naują įsipareigojimą, sumažinta. iki tos pačios datos. Trumpalaikėms sutartims taikomos paprastos palūkanų normos, o vidutinės trukmės ir ilgalaikėms – sudėtinės palūkanų normos.