Paskirstymo funkcijos radimas. Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis

Norint rasti atsitiktinių dydžių ir jų kintamųjų pasiskirstymo funkcijas, būtina ištirti visas šios žinių srities ypatybes. Yra keletas skirtingų metodų, kaip rasti atitinkamas reikšmes, įskaitant kintamojo keitimą ir momento generavimą. Paskirstymas yra sąvoka, pagrįsta tokiais elementais kaip dispersija, variacijos. Tačiau jie apibūdina tik sklaidos diapazono laipsnį.

Svarbesnės atsitiktinių dydžių funkcijos yra susijusios ir nepriklausomos bei tolygiai paskirstytos. Pavyzdžiui, jei X1 yra atsitiktinai atrinkto individo iš vyrų populiacijos svoris, X2 yra kito, ..., o Xn yra kito asmens iš vyrų populiacijos svoris, tuomet turime žinoti, kaip atsitiktinė funkcija X yra paskirstyta. Šiuo atveju taikoma klasikinė teorema, vadinama centrine ribine teorema. Tai leidžia mums parodyti, kad didelėms n funkcijai būdingi standartiniai skirstiniai.

Vieno atsitiktinio dydžio funkcijos

Centrinė ribinė teorema skirta apytiksliai apytiksliai apytiksliai apskaičiuojant diskrečias reikšmes, tokias kaip dvinario ir Puasono. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijos visų pirma nagrinėjamos paprastomis vieno kintamojo reikšmėmis. Pavyzdžiui, jei X yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis, turintis savo tikimybių skirstinį. Šiuo atveju mes tiriame, kaip rasti Y tankio funkciją naudojant du skirtingus metodus, būtent pasiskirstymo funkcijos metodą ir kintamojo pokytį. Pirma, atsižvelgiama tik į „vienas su vienu“ reikšmes. Tada reikia modifikuoti kintamojo keitimo techniką, kad rastumėte jo tikimybę. Galiausiai reikia išmokti, kaip kaupiamasis skirstinys gali padėti modeliuoti atsitiktinius skaičius, kurie atitinka tam tikrus nuoseklius modelius.

Nagrinėjamų reikšmių paskirstymo būdas

Atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcijos metodas taikomas jo tankiui rasti. Taikant šį metodą, apskaičiuojama kaupiamoji vertė. Tada, diferencijuodami jį, galite gauti tikimybių tankį. Dabar, kai turime paskirstymo funkcijos metodą, galime pažvelgti į dar kelis pavyzdžius. Tegu X yra nenutrūkstamas atsitiktinis dydis su tam tikru tikimybių tankiu.

Kokia yra x2 tikimybės tankio funkcija? Jei pažiūrėsite arba pavaizduosite funkciją (viršuje ir dešinėje) y \u003d x2, galite pastebėti, kad tai didėjantis X ir 0

Paskutiniame pavyzdyje labai atsargiai buvo indeksuojamos kumuliacinės funkcijos ir tikimybės tankis su X arba Y, kad būtų nurodyta, kuriam atsitiktiniam kintamajam jos priklauso. Pavyzdžiui, radę kaupiamojo skirstinio funkciją Y, gavome X. Jeigu reikia rasti atsitiktinį kintamąjį X ir jo tankį, tai tereikia jį diferencijuoti.

Kintamųjų keitimo technika

Tegu X yra nuolatinis atsitiktinis dydis, duotas skirstinio funkcijos, turinčios bendrą vardiklį f(x). Šiuo atveju, jei y reikšmę įdedate į X = v (Y), tada gausite x reikšmę, pavyzdžiui, v (y). Dabar turime gauti ištisinio atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkciją. Pirmoji ir antroji lygybė vyksta pagal kaupiamojo Y apibrėžimą. Trečioji lygybė galioja, nes funkcijos dalis, kuriai u (X) ≤ y yra taip pat tiesa, kad X ≤ v (Y ). O pastaroji atliekama norint nustatyti tikimybę ištisiniame atsitiktiniame kintamajame X. Dabar turime paimti FY (y) išvestinę, kaupiamąją Y skirstinio funkciją, kad gautume Y tikimybės tankį.

Apibendrinimas sumažinimo funkcijai

Tegu X yra nuolatinis atsitiktinis dydis, kurio bendras f(x) yra apibrėžtas virš c1

Norint išspręsti šią problemą, galima rinkti kiekybinius duomenis ir naudoti empirinę kaupiamojo pasiskirstymo funkciją. Turėdami šią informaciją ir apeliuodami į ją, turite sujungti priemonių pavyzdžius, standartinius nuokrypius, laikmenos duomenis ir pan.

Panašiai net gana paprastas tikimybinis modelis gali duoti daugybę rezultatų. Pavyzdžiui, jei monetą išverčiate 332 kartus. Tada apvertimų rezultatų skaičius yra didesnis nei google (10100) – skaičius, bet ne mažiau nei 100 kvintilijonų kartų didesnis už elementariąsias daleles žinomoje visatoje. Nedomina analizė, kuri duoda atsakymą į visus galimus rezultatus. Reikėtų paprastesnės sąvokos, pvz., galvų skaičiaus arba ilgiausio uodegų brūkštelėjimo. Norint sutelkti dėmesį į dominančius klausimus, priimamas konkretus rezultatas. Apibrėžimas šiuo atveju yra toks: atsitiktinis dydis yra reali funkcija su tikimybių erdve.

Atsitiktinių dydžių diapazonas S kartais vadinamas būsenos erdve. Taigi, jei X yra nagrinėjama reikšmė, tai N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ir pan. Paskutinis iš jų, apvalinant X iki artimiausio sveikojo skaičiaus, vadinamas grindų funkcija.

Paskirstymo funkcijos

Nustačius dominančią atsitiktinio kintamojo x pasiskirstymo funkciją, paprastai kyla klausimas: „Kokia tikimybė, kad X pateks į kokį nors B reikšmių poaibį? Pavyzdžiui, B = (nelyginiai skaičiai), B = (daugiau nei 1) arba B = (tarp 2 ir 7), kad nurodytumėte tuos rezultatus, kurių A poaibyje yra X, atsitiktinio dydžio reikšmė. Pavyzdžiui, įvykius galite apibūdinti taip.

(X yra nelyginis skaičius), (X yra didesnis nei 1) = (X > 1), (X yra nuo 2 iki 7) = (2)

Atsitiktiniai dydžiai ir pasiskirstymo funkcijos

Taigi galima apskaičiuoti tikimybę, kad atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo funkcija įims reikšmes intervale atėmus. Reikia apsvarstyti pasekmių įtraukimą arba neįtraukimą.

Atsitiktinį kintamąjį vadinsime diskrečiu, jei jis turi baigtinę arba skaičiuojamai begalinę būsenų erdvę. Taigi X yra galvų skaičius trijuose nepriklausomuose pakreiptos monetos, kuri didėja su tikimybe p, skaičius. Turime rasti diskretiškojo atsitiktinio kintamojo FX kaupiamąją pasiskirstymo funkciją X. Tegul X yra trijų kortų rinkinio smailių skaičius. Tada Y = X3 per FX. FX prasideda nuo 0, baigiasi 1 ir nemažėja, kai x reikšmės didėja. Diskretaus atsitiktinio dydžio X kaupiamoji FX pasiskirstymo funkcija yra pastovi, išskyrus šuolius. Šokinėjant FX yra nuolatinis. Teiginį apie teisingą pasiskirstymo funkcijos tęstinumą galima įrodyti iš tikimybės savybės, naudojant apibrėžimą. Tai skamba taip: pastovus atsitiktinis kintamasis turi kaupiamąjį FX, kuris yra diferencijuojamas.

Norėdami parodyti, kaip tai gali atsitikti, galime pateikti pavyzdį: taikinį, kurio spindulys yra vienetas. Tikėtina. smiginis tolygiai paskirstomas nurodytoje srityje. Kai kuriems λ> 0. Taigi nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijos didėja sklandžiai. FX turi paskirstymo funkcijos savybes.

Vyras laukia autobuso stotelėje, kol atvažiuos autobusas. Pats nusprendęs, kad atsisakys, kai laukimas pasieks 20 minučių. Čia reikia rasti kaupiamąją paskirstymo funkciją T. Laikas, kada žmogus dar bus autobusų stotyje arba neišvyks. Nepaisant to, kad kiekvienam atsitiktiniam dydžiui apibrėžiama kumuliacinė skirstinio funkcija. Nepaisant to, gana dažnai bus naudojamos kitos charakteristikos: diskretinio kintamojo masė ir atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankio funkcija. Paprastai vertė išvedama per vieną iš šių dviejų reikšmių.

Masinės funkcijos

Į šias vertes atsižvelgiama pagal šias bendro (masinio) pobūdžio savybes. Pirmasis pagrįstas tuo, kad tikimybės nėra neigiamos. Antrasis išplaukia iš stebėjimo, kad aibė visiems x=2S, būsenos erdvė X, sudaro X tikimybinės laisvės skaidinį. Pavyzdys: išmesti šališką monetą, kurios rezultatai yra nepriklausomi. Galite ir toliau atlikti tam tikrus veiksmus, kol sulauksite galvos. Tegu X žymi atsitiktinį kintamąjį, nurodantį uodegų skaičių prieš pirmąją galvutę. Ir p reiškia bet kurio veiksmo tikimybę.

Taigi masės tikimybės funkcija turi tokias charakteristikas. Kadangi terminai sudaro skaitinę seką, X vadinamas geometriniu atsitiktiniu dydžiu. Geometrinė schema c, cr, cr2,. , crn turi sumą. Ir todėl sn turi ribą kaip n 1. Šiuo atveju begalinė suma yra riba.

Aukščiau pateikta masės funkcija sudaro geometrinę seką su santykiu. Todėl natūralieji skaičiai a ir b. Pasiskirstymo funkcijos reikšmių skirtumas yra lygus masės funkcijos reikšmei.

Nagrinėjamos tankio reikšmės turi tokį apibrėžimą: X yra atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymas FX turi išvestinę. FX, tenkinanti Z xFX (x) = fX (t) dt-1, vadinama tikimybės tankio funkcija. O X vadinamas nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu. Pagrindinėje skaičiavimo teoremoje tankio funkcija yra skirstinio išvestinė. Tikimybes galite apskaičiuoti apskaičiuodami apibrėžtuosius integralus.

Kadangi duomenys renkami iš kelių stebėjimų, norint modeliuoti eksperimentines procedūras, vienu metu reikia atsižvelgti į daugiau nei vieną atsitiktinį kintamąjį. Todėl šių reikšmių rinkinys ir bendras jų pasiskirstymas dviem kintamiesiems X1 ir X2 reiškia įvykių peržiūrą. Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams apibrėžiamos jungtinės tikimybinės masės funkcijos. Nepertraukiamiems laikomi fX1, X2, kur tenkinamas jungties tikimybės tankis.

Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai

Du atsitiktiniai dydžiai X1 ir X2 yra nepriklausomi, jei su jais susiję du įvykiai yra vienodi. Žodžiu, tikimybė, kad du įvykiai (X1 2 B1) ir (X2 2 B2) įvyks vienu metu, y, yra lygi aukščiau pateiktų kintamųjų sandaugai, kad kiekvienas iš jų įvyksta atskirai. Nepriklausomiems diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams yra bendra tikimybinė masės funkcija, kuri yra ribinio jonų tūrio sandauga. Ištisinių atsitiktinių dydžių, kurie yra nepriklausomi, jungtinė tikimybės tankio funkcija yra ribinio tankio verčių sandauga. Galiausiai nagrinėjami n nepriklausomi stebėjimai x1, x2. , xn, atsirandantis dėl nežinomos tankio arba masės funkcijos f. Pavyzdžiui, nežinomas parametras eksponentinio atsitiktinio kintamojo funkcijose, apibūdinančiose magistralės laukimo laiką.

Atsitiktinių dydžių modeliavimas

Pagrindinis šios teorinės krypties tikslas – suteikti priemones, reikalingas išvadinėms procedūroms, pagrįstoms patikimais statistikos mokslo principais, sukurti. Taigi vienas labai svarbus programinės įrangos naudojimo atvejis yra galimybė generuoti pseudoduomenis, imituojančius tikrąją informaciją. Tai leidžia išbandyti ir tobulinti analizės metodus prieš naudojant juos tikrose duomenų bazėse. Tai reikalinga norint ištirti duomenų savybes modeliuojant. Daugeliui dažniausiai naudojamų atsitiktinių kintamųjų šeimų R pateikia komandas jiems generuoti. Kitomis aplinkybėmis reikės modeliuoti nepriklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių bendrą pasiskirstymą, sekos modeliavimo metodus.

Diskretieji atsitiktiniai kintamieji ir pavyzdinė komanda. Pavyzdžių komanda naudojama paprastiems ir stratifikuotiems atsitiktiniams pavyzdžiams sukurti. Dėl to, jei įvedama seka x, pavyzdys (x, 40) atrenka 40 įrašų iš x taip, kad visų 40 dydžio pasirinkimų tikimybė būtų tokia pati. Tai naudoja numatytąją R komandą, kad būtų galima gauti be pakeitimo. Taip pat gali būti naudojamas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių modeliavimui. Norėdami tai padaryti, turite pateikti būsenos erdvę vektoriuje x ir masės funkciją f. Raginimas pakeisti = TRUE rodo, kad atranka vyksta pakeitus. Tada, norint gauti imtį iš n nepriklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių bendrą masės funkciją f, naudojama imtis (x, n, pakeisti = TRUE, prob = f).

Nustatyta, kad 1 yra mažiausia pateikta reikšmė, o 4 yra didžiausia iš visų. Jei komanda prob = f praleista, tada pavyzdys bus tolygiai paimtas iš vektoriaus x reikšmių. Galite patikrinti modeliavimą pagal masės funkciją, kuri sugeneravo duomenis, žiūrėdami į dvigubą lygybės ženklą ==. Ir perskaičiuojant stebėjimus, kurie ima visas įmanomas x reikšmę. Galite padaryti stalą. Pakartokite tai 1000 ir palyginkite modeliavimą su atitinkama masės funkcija.

Tikimybių transformacijos iliustravimas

Pirmiausia sumodeliuokite atsitiktinių dydžių u1, u2, homogenines pasiskirstymo funkcijas. , un ant intervalo . Maždaug 10 % skaičių turėtų būti . Tai atitinka 10 % modeliavimą atsitiktiniam dydžiui su parodyta FX pasiskirstymo funkcija. Panašiai apie 10 % atsitiktinių skaičių turėtų būti intervale . Tai atitinka 10 % modeliavimą atsitiktinių kintamųjų intervale su pasiskirstymo funkcija FX. Šias reikšmes x ašyje galima gauti imant atvirkštinę vertę iš FX. Jei X yra nenutrūkstamas atsitiktinis kintamasis, kurio tankis fX teigiamas visur jo srityje, tada pasiskirstymo funkcija griežtai didėja. Šiuo atveju FX turi atvirkštinę FX-1 funkciją, vadinamą kvantiline funkcija. FX (x) u tik tada, kai x FX-1 (u). Tikimybių transformacija išplaukia iš atsitiktinio dydžio U = FX(X) analizės.

FX diapazonas yra nuo 0 iki 1. Jis negali turėti reikšmių, mažesnių nei 0, nei didesnės nei 1. Jei u reikšmės yra nuo 0 iki 1. Jei U galima modeliuoti, būtina imituoti atsitiktinį kintamąjį su FX pasiskirstymu. per kvantinę funkciją. Paimkite išvestinę, kad pamatytumėte, kad tankis u kinta 1 ribose. Kadangi atsitiktinis dydis U turi pastovų tankį per jo galimų reikšmių intervalą, jis vadinamas vienodu intervale. Jis modeliuojamas R su runif komanda. Tapatybė vadinama tikimybine transformacija. Kaip tai veikia, galite pamatyti smiginio lentos pavyzdyje. X tarp 0 ir 1, pasiskirstymo funkcija u = FX(x) = x2, taigi ir kvantilės funkcija x = FX-1(u). Galima modeliuoti nepriklausomus atstumo nuo smiginio skydelio centro stebėjimus, generuojant vienodus atsitiktinius dydžius U1, U2,. , Un. Paskirstymo funkcija ir empirinė funkcija yra pagrįstos 100 smiginio lentos pasiskirstymo modeliavimų. Eksponentinio atsitiktinio dydžio atveju tikriausiai u = FX (x) = 1 - exp (- x), taigi x = - 1 ln (1 - u). Kartais logika susideda iš lygiaverčių teiginių. Šiuo atveju turite sujungti dvi argumento dalis. Sankirtos tapatybė yra panaši visiems 2 (S i i) S, o ne tam tikra reikšmė. Sąjunga Ci lygi būsenos erdvei S ir kiekviena pora yra viena kitą paneigianti. Kadangi Bi - yra padalintas į tris aksiomas. Kiekvienas patikrinimas pagrįstas atitinkama tikimybe P. Bet kuriam poaibiui. Tapatybės naudojimas siekiant įsitikinti, kad atsakymas nepriklauso nuo to, ar įtraukti intervalo galutiniai taškai.

Eksponentinė funkcija ir jos kintamieji

Kiekvienam visų įvykių rezultatui galiausiai naudojama antroji tikimybių tęstinumo savybė, kuri laikoma aksiomatine. Atsitiktinio dydžio funkcijos pasiskirstymo dėsnis rodo, kad kiekvienas turi savo sprendimą ir atsakymą.

Tikimybių skirstinio funkcija ir jos savybės.

Atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo funkcija F(x) taške x yra tikimybė, kad dėl eksperimento atsitiktinis dydis įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x)=P(X< х}.
Apsvarstykite funkcijos F(x) savybes.

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Iš tiesų pagal apibrėžimą F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, nes pagal apibrėžimą F(∞)=P(X)< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis paims reikšmę iš intervalo [Α Β], yra lygi tikimybių pasiskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale. P(Α ≤ X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), jei x 2, > x 1, t.y. tikimybių pasiskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija.

5. Tikimybių skirstinio funkcija yra ištisinė kairėje. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) x → x o

Diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių tikimybių skirstinio funkcijų skirtumus gerai iliustruoja grafikai. Tegu, pavyzdžiui, diskretiškasis atsitiktinis dydis turi n galimų reikšmių, kurių tikimybės yra P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Jei x ≤ x 1, tada F(X)=0, nes kairėje nuo x nėra galimų atsitiktinio dydžio reikšmių. Jei x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Vadinasi, F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Kai x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Apsvarstykite tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Jei F(x) taške x turi netolydumą, tada tikimybė P(X=x) bus lygi funkcijos šuoliui tame taške. Taigi, bet kokios galimos tolydaus dydžio reikšmės atsiradimo tikimybė yra lygi nuliui. Išraiška P(X=x)=0 turėtų būti suprantama kaip tikimybės, kad atsitiktinis kintamasis pateks į be galo mažą taško x kaimynystę, ribą, kai P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Diskretiesiems kintamiesiems šios tikimybės nėra vienodos tuo atveju, kai intervalo Α ir (arba) Β ribos sutampa su galimomis atsitiktinių dydžių reikšmėmis. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui būtina griežtai atsižvelgti į nelygybės tipą formulėje P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

Atsitiktinis kintamasis yra kintamasis, kuris, priklausomai nuo įvairių aplinkybių, gali įgyti tam tikras reikšmes ir atsitiktinis kintamasis vadinamas nuolatiniu , jei jis gali gauti bet kokią reikšmę iš tam tikro riboto arba neapriboto intervalo. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui neįmanoma nurodyti visų įmanomų reikšmių, todėl žymimi šių reikšmių intervalai, susieti su tam tikromis tikimybėmis.

Ištisinių atsitiktinių dydžių pavyzdžiai yra: detalės skersmuo, pasuktas į nurodytą dydį, žmogaus ūgis, sviedinio nuotolis ir kt.

Kadangi nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams funkcija F(x), Skirtingai nei diskretieji atsitiktiniai dydžiai, niekur neturi šuolių, tada bet kurios vienos ištisinio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybė lygi nuliui.

Tai reiškia, kad nenutrūkstamo atsitiktinio kintamojo atveju nėra prasmės kalbėti apie tikimybių pasiskirstymą tarp jo reikšmių: kiekvienas iš jų turi nulinę tikimybę. Tačiau tam tikra prasme tarp nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių yra „daugiau ir mažiau tikėtinų“. Pavyzdžiui, vargu ar kas nors suabejos, kad atsitiktinio dydžio reikšmė – atsitiktinai sutikto žmogaus ūgis – 170 cm – labiau tikėtina nei 220 cm, nors praktikoje gali pasitaikyti ir viena, ir kita reikšmė.

Ištisinio atsitiktinio dydžio ir tikimybių tankio pasiskirstymo funkcija

Kaip pasiskirstymo dėsnis, turintis prasmę tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, įvedama pasiskirstymo tankio arba tikimybių tankio sąvoka. Priartėkime prie to, palygindami pasiskirstymo funkcijos reikšmę nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui ir diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui.

Taigi, atsitiktinio dydžio (ir diskrečiojo, ir tolydžio) pasiskirstymo funkcija arba integrali funkcija vadinama funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinio dydžio reikšmė X mažesnė arba lygi ribinei vertei X.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui jo reikšmių taškuose x1 , x 2 , ..., x aš,... koncentruotos tikimybių masės p1 , p 2 , ..., p aš,..., o visų masių suma lygi 1. Perkelkime šią interpretaciją į nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejį. Įsivaizduokite, kad masė, lygi 1, nėra sutelkta atskiruose taškuose, o nuolat „tepama“ išilgai x ašies Jautis su tam tikru netolygiu tankiu. Tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį bet kurioje vietoje Δ x bus aiškinamas kaip šiai atkarpai priskiriama masė, o vidutinis tankis šioje atkarpoje – kaip masės ir ilgio santykis. Mes ką tik pristatėme svarbią tikimybių teorijos sąvoką: pasiskirstymo tankį.

Tikimybių tankis f(x) nuolatinio atsitiktinio dydžio yra jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė:

.

Žinodami tankio funkciją, galime rasti tikimybę, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmė priklauso uždaram intervalui [ a; b]:

tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X paims bet kokią reikšmę iš intervalo [ a; b], yra lygus tam tikram jo tikimybės tankio integralui intervale nuo a prieš b:

.

Šiuo atveju bendroji funkcijos formulė F(x) ištisinio atsitiktinio dydžio, kurį galima naudoti, jei tankio funkcija yra žinoma, tikimybių skirstinys f(x) :

.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio grafikas vadinamas jo pasiskirstymo kreive (pav. žemiau).

Figūros plotas (paveikslėlyje tamsintas), apribotas kreivės, tiesių linijų, nubrėžtų iš taškų a Ir b statmenai abscisių ašiai ir ašiai Oi, grafiškai rodo tikimybę, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmė X yra diapazone a prieš b.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcijos savybės

1. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis paims bet kokią reikšmę iš intervalo (ir figūros ploto, kurį riboja funkcijos grafikas f(x) ir ašis Oi) yra lygus vienetui:

2. Tikimybių tankio funkcija negali turėti neigiamų verčių:

o už skirstinio egzistavimo ribų jo reikšmė lygi nuliui

Pasiskirstymo tankis f(x), taip pat paskirstymo funkcija F(x), yra viena iš skirstinio dėsnio formų, tačiau skirtingai nuo pasiskirstymo funkcijos, ji nėra universali: pasiskirstymo tankis egzistuoja tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Paminėsime du praktikoje svarbiausius nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tipus.

Jei pasiskirstymo tankio funkcija f(x) nuolatinis atsitiktinis kintamasis tam tikrame baigtiniame intervale [ a; b] įgauna pastovią reikšmę C, o už intervalo ribų įgyja reikšmę, lygią nuliui, tada tai pasiskirstymas vadinamas vienodu .

Jei pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas yra simetriškas centrui, vidutinės reikšmės koncentruojasi netoli centro, o tolstant nuo centro renkamos labiau skirtingos nuo vidurkių (funkcijos grafikas primena pjūvį varpas), tada tai pasiskirstymas vadinamas normaliu .

1 pavyzdys Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės pasiskirstymo funkcija yra žinoma:

Raskite funkciją f(x) ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankis. Nubraižykite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 4 iki 8: .

Sprendimas. Tikimybių tankio funkciją gauname radę tikimybių pasiskirstymo funkcijos išvestinę:

Funkcijų grafikas F(x) – parabolė:

Funkcijų grafikas f(x) - tiesi linija:

Raskime tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 4 iki 8:

2 pavyzdys Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija pateikiama taip:

Apskaičiuokite koeficientą C. Raskite funkciją F(x) ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys. Nubraižykite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 0 iki 5: .

Sprendimas. Koeficientas C naudodamiesi tikimybės tankio funkcijos savybe 1 randame:

Taigi ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija yra:

Integruodami randame funkciją F(x) tikimybių skirstiniai. Jeigu x < 0 , то F(x) = 0. Jei 0< x < 10 , то

.

x> 10 tada F(x) = 1 .

Taigi visas tikimybių pasiskirstymo funkcijos įrašas yra:

Funkcijų grafikas f(x) :

Funkcijų grafikas F(x) :

Raskime tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 0 iki 5:

3 pavyzdys Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankis X yra pateikta lygybė , o . Rasti koeficientą BET, tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X paima kokią nors reikšmę iš intervalo ]0, 5[, nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos X.

Sprendimas. Pagal sąlygą pasiekiame lygybę

Todėl iš kur. Taigi,

.

Dabar randame tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X paims bet kokią reikšmę iš intervalo ]0, 5[:

Dabar gauname šio atsitiktinio dydžio paskirstymo funkciją:

4 pavyzdys Raskite ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankį X, kuris ima tik neneigiamas reikšmes, ir jo paskirstymo funkciją .

Tema #11

Praktikoje skirstymo funkcija dažniausiai naudojama bendrosios formos atsitiktiniams dydžiams nurodyti.

Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis Xįgis tam tikrą reikšmę x 0, išreikštą per skirstymo funkciją pagal formulę

R (X = x 0) \u003d F (x 0 +0) - F (x 0).(3)

Visų pirma, jei taške x = x 0 funkcija F(x) yra ištisinė, tada

R (X = x 0) \u003d 0.

Atsitiktinė vertė X su paskirstymu p(A) vadinama diskrečiąja, jei realioje tiesėje egzistuoja baigtinė arba skaičiuojama aibė W R(W,) = 1.

Tegu W = ( x 1, x 2,…) Ir pi= p({x i}) = p(x = x i), i= 1,2,… Tada bet kokiam Borel rinkiniui BET tikimybė p(A) yra vienareikšmiškai nustatoma pagal formulę

Įvedus šią formulę A = (x i / x i< x}, x Î R , gauname paskirstymo funkcijos formulę F(x) diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X:

F(x) = p(x < x) =. (5)

Funkcijų grafikas F(x) yra laiptuota linija. Funkcinės žirgų lenktynės F(x) taškuose x \u003d x 1, x 2 ... (x 1 lygios atitinkamoms tikimybėms p 1, p 2, ....

1 pavyzdys. Raskite paskirstymo funkciją

diskrečiųjų atsitiktinių dydžių x iš 1 pavyzdžio 13 paragrafo.

Naudodamiesi paskirstymo funkcija, apskaičiuokite

įvykio tikimybė: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)

0 x 1 x 2 x 3 x 4 X

Sprendimas. Naudodami duomenis iš lentelės,

gautas § 13 ir formulėje (5), gauname

paskirstymo funkcija:

Pagal formulę (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

p(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x 3 £) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

2 pavyzdys. Duota funkcija

Ar funkcija F(x) yra kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija? Jei taip, susirask . Nubraižykite funkciją F(x).

Sprendimas. Tam, kad iš anksto nustatyta funkcija F(x) būtų kokio nors atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo funkcija, būtina ir pakanka, kad būtų tenkinamos šios sąlygos (būdingos pasiskirstymo funkcijos savybės):

1. F(x) yra nemažėjanti funkcija.

3. Bet kuriam x О R F( x– 0) = F( x).

Tam tikros funkcijos F(x) vykdymas

šios sąlygos yra aiškios. Reiškia,

F(x) yra pasiskirstymo funkcija.

Tikimybė apskaičiuoti pagal

(2) formulė:

Funkcijos F( x) parodyta 13 paveiksle.

3 pavyzdys. Tegul F 1 ( x) ir F 2 ( x) yra atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijos X 1 ir X 2 atitinkamai, bet 1 ir bet 2 yra neneigiami skaičiai, kurių suma yra 1.

Įrodykite, kad F( x) = a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) yra kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X.

Sprendimas. 1) Nuo F 1 ( x) ir F 2 ( x) yra nemažėjančios funkcijos ir bet 1³ 0, bet 2³ 0, tada a 1 F 1 ( x) Ir a 2 F 2 ( x) yra nemažėjantys, taigi jų suma F( x) taip pat nemažėja.

3) Bet kokiam x О R F( x - 0) = a 1 F 1 ( x - 0) + a 2 F 2 ( x - 0)= a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) = F( x).

4 pavyzdys. Duota funkcija

Ar F(x) yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija?

Sprendimas. Nesunku pastebėti, kad F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Todėl F( x) yra nemažėjantis, taigi nėra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Atminkite, kad šiai funkcijai galioja kitos dvi savybės.

Kontrolės užduotis Nr.11

1. Diskretusis atsitiktinis dydis X

x) ir naudodamiesi juo raskite įvykių tikimybes: a) –2 £ X < 1; б) ½X£½ 2. Nubraižykite pasiskirstymo funkciją.

3. Diskretusis atsitiktinis dydis X pateikta paskirstymo lentelėje:

x i
pi	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Raskite paskirstymo funkciją F( x) ir raskite šių įvykių tikimybes: a) x < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X£4; d) 1< x£4; e) X = 2,5.

4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio skirstymo funkciją X, lygus taškų, išmestų per vieną kauliuko metimą, skaičiui. Raskite tikimybę, kad pasiskirstys bent 5, naudodamiesi paskirstymo funkcija.

5. Atliekami nuoseklūs 5 įrenginių patikimumo testai. Kiekvienas paskesnis įrenginys išbandomas tik tuo atveju, jei ankstesnis pasirodė patikimas. Sudarykite paskirstymo lentelę ir suraskite atsitiktinio skaičiaus įrenginių testų pasiskirstymo funkciją, jei kiekvieno įrenginio testo išlaikymo tikimybė yra 0,9.

6. Pateikta diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X:

a) Raskite įvykio tikimybę £1 X£3.

b) Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo lentelę X.

7. Pateikta diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X:

Sudarykite šio atsitiktinio dydžio paskirstymo lentelę.

8. Metama moneta n kartą. Sudarykite pasiskirstymo lentelę ir suraskite herbo pasiskirstymo skaičių. Nubraižykite paskirstymo funkciją n = 5.

9. Moneta metama tol, kol iškrenta herbas. Sudarykite pasiskirstymo lentelę ir raskite skaitmens pasiskirstymo skaičių.

10. Snaiperis šaudo į taikinį iki pirmojo smūgio. Tikimybė nepataikyti vienu šūviu lygi R. Raskite praleidimų skaičiaus paskirstymo funkciją.

Universalus pasiskirstymo dėsnio patikslinimo būdas, tinkantis tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, yra pasiskirstymo funkcija.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X vadinama funkcija F(x), kuris nustato kiekvienai vertei x tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis Xįgyja mažesnę vertę nei x, t.y

F(x) = P(X < x).

Pagrindinės skirstymo funkcijos savybės F(x) :

1. Kadangi pagal apibrėžimą F(x) yra lygi įvykio tikimybei, visos galimos pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso intervalui :

0 £ F(x) 1 £.

2. Jei , tai , tai yra F(x) yra nemažėjanti jo argumento funkcija.

3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, priklausančią pusės intervalui [ a, b), yra lygus paskirstymo funkcijos padidėjimui šiame intervale:

P(a £ X < b) = F(b) - F(a).

4. Jei visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui [ a, b], tada

F(x) = 0, at x £ a; F(x) = 1, at x > b.

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkciją galima nustatyti pagal formulę

. (15)

Jei yra žinoma diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio eilutė, nesunku apskaičiuoti ir sukonstruoti jo pasiskirstymo funkciją. Mes parodysime, kaip tai daroma, naudodami 23 pavyzdį.

25 pavyzdys. Apskaičiuokite ir sukurkite paskirstymo funkciją diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymo dėsnis yra tokia:

x i	0,1	1,2	2,3	4,5
pi	0,1	0,2	0,6	0,1

Sprendimas. Apibrėžkime funkcijos reikšmes F(x) = P(X < x) visoms galimoms reikšmėms x:

adresu xн (- ¥; 0,1] nėra vienos atsitiktinio dydžio reikšmės X, mažesnės nei nurodytos vertės x, tai yra, sumoje (15) nėra nė vieno termino:

F(x) = 0;

adresu xн (0,1; 1,2] tik viena galima reikšmė ( X= 0,1) yra mažesnės nei nagrinėjamos vertės x. Tai yra, prie xО (0,1; 1,2] F(x) = P(X = 0,1) = 0,1;

adresu xн (1,2; 2,3] dvi reikšmės ( X= 0,1 ir X= 1,2) mažiau nei šios vertės x, Vadinasi, F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

adresu xн (2,3; 4,5] trys reikšmės ( X = 0,1, X= 1,2 ir X= 2,3) mažiau nei šios vertės x, Vadinasi, F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

adresu xО (4,5, ¥) visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X bus mažesnės už šias vertes x, Ir F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) +

+ P(X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

Šiuo būdu,

Funkcijų grafikas F(x) parodyta 8 paveiksle.

Apskritai paskirstymo funkcija F(x) diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X yra nenutrūkstamo žingsnio funkcija, ištisinė kairėje, kurios šuoliai vyksta taškuose, atitinkančiuose galimas reikšmes X 1 , X 2 , … atsitiktinis dydis X ir yra lygūs tikimybėms p 1 , p 2 , … šios reikšmės.

Ištisinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcija. Dabar galime pateikti tikslesnį nuolatinių atsitiktinių dydžių apibrėžimą: atsitiktinis kintamasis X paskambino tęstinis jeigu jo paskirstymo funkcija F(x) visoms vertybėms x yra tęstinis ir, be to, turi išvestinę visur, išskyrus galbūt atskirus taškus.

Nuo funkcijos tęstinumo F(x) seka tai kiekvienos atskiros nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybė lygi nuliui.

Kadangi kiekvienos individualios nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybė yra 0, tai 3 pasiskirstymo funkcijos savybė nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui bus

P(a £ X < b) = P(a £ X £ b) = P(a < X £ b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a).

26 pavyzdys. Tikimybės pataikyti į taikinį kiekvienam iš dviejų šaulių atitinkamai yra: 0,7; 0.6. Atsitiktinė vertė X- nepataikymų skaičių, jei kiekvienas šaulys paleido vieną šūvį. Sudarykite atsitiktinio dydžio skirstinio seką X, sukurkite juostinę diagramą ir paskirstymo funkciją.

Sprendimas. Galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės X: 0, 1, 2. Problemos sąlyga gali būti laikoma serija n= 2 nepriklausomi bandymai. Šiuo atveju, norint apskaičiuoti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybes X galite naudoti nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių padauginimo teoremas:

Pažymime įvykius:

A aš = ( išaulys pataikė į taikinį) i = 1, 2.

Pagal sąlygą įvykio tikimybė A 1 P(A 1) = 0,7, įvykio tikimybė A 2 - P(A 2) = 0,6 . Tada priešingų įvykių tikimybės: , .

Apibrėžiame visus šio atsitiktinio eksperimento elementarius įvykius ir atitinkamas tikimybes:

Pradiniai renginiai	Vystymai	Tikimybės
Iš viso

(Patikrinkim tai ).

Duoto atsitiktinio dydžio skirstinio serija X turi formą

x i				Iš viso
pi	0,42	0,46	0,12

Šią paskirstymo seriją atitinkanti juostinė diagrama parodyta 9 paveiksle.

Apskaičiuokime šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją:

:

adresu x Î (- ¥, 0] ;

adresu xО (0, 1] ;

adresu xО (1, 2] ;

adresu xО (2, +¥);

Taigi nagrinėjamo atsitiktinio dydžio paskirstymo funkcija yra tokia:

Funkcijų grafikas F(x) parodyta 10 paveiksle.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija.

Tikimybių tankis nuolatinis atsitiktinis dydis X taške x vadinama jos pasiskirstymo funkcijos išvestine šiame taške:

f(x) = F¢( x).

Pagal savo reikšmę – funkcijos prasmė f(x) yra proporcingi tikimybei, kad tiriamas atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę kažkur arti taško x.

Pasiskirstymo tankio funkcija f(x), taip pat paskirstymo funkcija F(x), yra viena iš skirstinio dėsnio patikslinimo formų, tačiau ji taikoma tik ištisiniams atsitiktiniams dydžiams. Tikimybių tankio funkcija f(x) taip pat vadinamas diferencinio paskirstymo funkcija, o paskirstymo funkcija F(x) vadinami atitinkamai kaupiamoji pasiskirstymo funkcija.

Pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas f(x) vadinamas pasiskirstymo kreivė.

Apsvarstykite savybes, kurias turi ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankio funkcija.

1 nuosavybė. Tikimybių pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija:

f(x) ³ 0

(geometriškai: pasiskirstymo kreivė yra ne žemiau x ašies).

2 nuosavybė. Tikimybė pataikyti į atsitiktinio dydžio reikšmę srityje nuo a iki b nustatoma pagal formulę

;

(geometriškai:ši tikimybė yra lygi kreivinės trapecijos, kurią riboja kreivė, plotui f(x), ašis Oi ir tiesioginis x= a ir x= b).

3 nuosavybė.

(geometriškai: figūros plotas, apribotas pasiskirstymo kreivės ir x ašies, yra lygus vienetui).

Visų pirma, jei visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui [ a, b], tada

4 nuosavybė. paskirstymo funkcija F(x) galima rasti iš žinomos pasiskirstymo tankio funkcijos taip:

.

27 pavyzdys. Ištisinis atsitiktinis dydis pateikiamas pasiskirstymo funkcija

Nustatykite diferencinio pasiskirstymo tankio funkciją.

Sprendimas. Apibrėžkime diferencinio pasiskirstymo tankio funkciją

28 pavyzdys. Ar kiekviena iš šių funkcijų yra kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis?

Klausimai savikontrolei

1. Kas vadinama atsitiktiniu dydžiu?

2. Kokie dydžiai vadinami diskretiniais? nuolatinis?

3. Kas vadinamas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu?

4. Kokiais būdais galima pateikti diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį? nuolatinis?

5. Kas apibūdina pasiskirstymo funkciją F(x) atsitiktinis kintamasis?

6. Kaip naudojant skirstymo funkciją nustatyti tikimybę, kad tam tikrame intervale pataikys į atsitiktinio dydžio reikšmę?

7. Kas apibūdina atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankio funkciją? Nurodykite jo tikimybinę reikšmę.

8. Kokiems dydžiams apibrėžta pasiskirstymo tankio funkcija?

9. Ar pasiskirstymo tankio funkcija gali turėti neigiamas reikšmes?

10. Kaip susijusios funkcijos F(x) Ir f(x)?

11. Kokie atsitiktiniai dydžiai vadinami tęstiniais?

12. Koks yra figūros plotas, kurį riboja pasiskirstymo kreivė ir x ašis?

13. Kaip naudojant pasiskirstymo tankio funkciją nustatyti tikimybę, kad tam tikrame intervale pataikys į nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmę?