Nuolatinė palūkanų normos formulė. Nuolatinis susidomėjimas
Federalinė agentūrašvietime ir moksle
valstybė švietimo įstaiga aukštesnė
Tambovskis Valstijos universitetas pavadintas G.R. Deržavina
tema: „Veiksmai su nuolatinis susidomėjimas»
Atlikta
5 kurso studentas, 502 grupė
Dieninis išsilavinimas Geghamyan M.A.
Tambovas 2013 m
1.Nuosekli augimo jėga<#"justify">1. Nuolatinė augimo jėga
Naudojant diskrečiąją nominalią normą<#"55" src="doc_zip1.jpg" />
Pereinant prie nuolatinių procentų gauname:
Augimo daugiklis<#"20" src="doc_zip4.jpg" />, mes gauname:
nes diskretieji ir nuolatiniai rodikliai yra funkciškai susiję vienas su kitu, tada galime parašyti prieaugio daugiklių lygybę
Pradiniam kapitalui 500 tūkstančių rublių. sudėtines palūkanas – 8% per metus 4 metus. Nustatykite sukauptą sumą, jei palūkanos kaupiamos nuolat.
Nuolaida, pagrįsta nuolatinėmis palūkanų normomis
Formulėje (4.21) galime nustatyti šiuolaikinę reikšmę
Nuolatinė palūkanų norma, naudojama diskontuojant, vadinama diskonto norma. Ji lygi augimo jėgai, t.y. naudojamas diskontavimo arba augimo jėgai sumažinti<#"justify">Pavyzdys
Nustatykite šiuolaikinę mokėjimo kainą, jei diskontavimas atliekamas pagal 12% augimo jėgą ir pagal atskirą kompleksą nuolaidos dydis tokio pat dydžio.
Kintamoji augimo jėga
Naudojant šią charakteristiką, modeliuojami pinigų sumų didėjimo procesai su besikeičiančia palūkanų norma. Jei augimo jėgą apibūdina kai kurie nuolatinė funkcija laiko, tada formulės galioja.
Už sukauptą sumą:<#"47" src="doc_zip13.jpg" />
Šiuolaikinės išlaidos:
) Tegul augimo galia<#"25" src="doc_zip15.jpg" />tam tikrais laiko tarpais, tada, pasibaigus paskolos terminui, sukaupta suma bus:
Jei augimo periodas lygus n, o vidutinė augimo reikšmė: , tada
Nustatykite kaupimo daugiklį nuolatiniam palūkanų sudėjimui 5 metus. Jei augimo jėga kinta diskretiškai ir atitinka: 1 metus - 7%, 2 ir 3 - 8%, paskutinius 2 metus - 10%.
2)Augimo jėga laikui bėgant nuolat kinta ir apibūdinama lygtimi:
kur yra pradinė augimo jėga (at)
a – metinis padidėjimas arba sumažėjimas.
Apskaičiuokime padidėjimo daugiklio laipsnį:
Pradinė augimo jėgos reikšmė yra 8%, palūkanų norma yra nuolatinė ir kinta tiesiškai.
Prieaugis per metus – 2%, augimo laikotarpis – 5 metai. Raskite augimo faktorių.
) Keičiasi augimo jėga geometrinė progresija, Tada
Augimo daugiklis:<#"50" src="doc_zip29.jpg" />
Nustatykite augimo daugiklį nuolatiniam palūkanų sudėjimui 5 metus, jei pradinis augimo tempas yra 10%, o palūkanų norma kasmet didėja 3%.
Paskolos terminas nustatomas pagal formules:
kai didėja pastovi norma
kai didėja kintančiu greičiu, kai keičiasi geometrine progresija
Nustatykite laikotarpį, kurio reikia norint padidinti pradinę normą 3 kartus, kai kaupiama nuolatinė palūkanų norma, kuri kinta su pastoviu augimo tempu, jei pradinė norma yra 15%, o metinė augimo norma yra 1,05
Palūkanų normos lygiavertiškumas
Finansinių pasekmių lygiavertiškumą užtikrinantys tarifai vadinami lygiaverčiais arba santykiniais.
Finansinių pasekmių lygiavertiškumas gali būti užtikrintas, jei yra lygūs padidėjimo daugikliai<#"23" src="doc_zip36.jpg" />;
2) padidinta suma<#"41" src="doc_zip37.jpg" />
Jei, tada prieaugio koeficientai yra lygūs
Jei paskolos terminas yra trumpesnis nei metai, tada lygiavertiškumas nustatomas dviem vienodų laiko bazių ir skirtingų laiko bazių atvejais.
Jei laiko bazės yra vienodos (), tada formulės atrodo taip:
Jei palūkanos skaičiuojamos taikant i normą, kurios bazė yra 365, ir taikant d normą, kai bazė yra 360, tada teisinga:
Vekselis buvo diskontuotas banke taikant 8% diskonto normą jo apyvartos termino pasibaigimo dieną = 200 (k=360). Nustatykite šios operacijos pelningumą naudojant paprastą palūkanų normą (k=365).
Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų normų lygiavertiškumas
Kai palūkanos skaičiuojamos kartą per metus, jos nustatomos pagal formules:
Paprastas statymas:
sudėtingas statymas:
Kokia sudėtinė metinė norma gali pakeisti paprastąją 18% normą (k=365), nekeičiant finansinių pasekmių. Operacijos trukmė – 580 dienų.
Lygiavertiškumas paprastas palūkanų norma ir sudėtingas statymas.
Skaičiuojant m kartų per metus, jis nustatomas pagal formulę:
Rengdamos sutarties sąlygas šalys susitarė, kad paskolos pajamingumas turi būti 24 proc. Kokio dydžio turėtų būti nominali norma, kai palūkanos skaičiuojamos kas mėnesį, kas ketvirtį.
Paprastosios diskonto normos ir sudėtinės palūkanų normos lygiavertiškumas nustatomas pagal formulę:
Nominaliosios sudėtinės palūkanų normos ekvivalentiškumas, kai palūkanos skaičiuojamos m kartų per metus ir paprasta diskonto norma, nustatoma pagal formules:
Lygiavertiškumas kompleksiniai statymai nustatoma pagal formules:
Sudėtinės diskonto normos ir nominalios sudėtinės palūkanų normos ekvivalentiškumas, kai palūkanos skaičiuojamos m kartų per metus, nustatomas pagal formules:
Tolydžios ir lygiavertiškumas atskiri tarifai:
Augimo jėgos ir vardinio greičio ekvivalentas:
Esant atskiram ir tiesiniam jėgos augimo pokyčiui, taip pat jei jis kinta pastovia norma, ekvivalentinį ryšį su sudėtinėmis palūkanų normomis galima išreikšti formulėmis:
Stiprumo lygiavertiškumas<#"41" src="doc_zip68.jpg" />
Dėl sudėtingos nuolaidos normos:
komentuoti. Naudojant diskrečiųjų ir tęstinių normų ekvivalentiškumo formules, galima pateikti nuolatinių palūkanų taikymo rezultatus visuotinai priimtų charakteristikų forma.
Vidutinės vertės finansiniuose skaičiavimuose
Dėl kelių palūkanų normų<#"63" src="doc_zip72.jpg" />
Per metus įmonė gavo 2 vienodo dydžio paskolas po 500 tūkst. kas. 1 paskola 3 mėnesiams su 10% per metus. 2 paskola - 9 mėnesiams su 16% per metus. Nustatykite vidutinę palūkanų normą, patikrinkite rezultatą apskaičiuodami sukauptas sumas.
Gaunant skirtingo dydžio paskolas, išduotas skirtingomis palūkanomis, vidutinė norma taip pat apskaičiuojama pagal svertinio vidurkio formulę, kurios svoriai lygūs gautų paskolų sumų ir jų išdavimo terminų sandaugai.
Vidutinės paprastosios diskonto normos apskaičiavimas<#"67" src="doc_zip78.jpg" />
Vidutinė norma už sudėtinės palūkanos <#"37" src="doc_zip79.jpg" />
Analizuojant kredito įstaigų darbą, skaičiuojami šie rodikliai: vidutinis paskolos dydis, vidutinė jos trukmė, vidutinis paskolų apyvartų skaičius ir kiti rodikliai.
Vidutinis vienos paskolos dydis, neįskaitant apyvartų per metus, apskaičiuojamas pagal formulę:
Atsižvelgiant į apsisukimų skaičių per metus pagal formulę:
kur yra apsisukimų skaičius,
Laikotarpio trukmė
K – klientų, gavusių paskolas, skaičius.
Vidutinis visų paskolų dydis, atsižvelgiant į apyvartų skaičių per metus, parodo visų metų negrąžintą paskolų likutį. Jis lygus vidutiniam vienos paskolos dydžiui, atsižvelgiant į apyvartą per metus, padaugintam iš paskolą gavusių klientų skaičiaus:
kur yra bendra apyvarta, t.y. laikotarpiu grąžintų paskolų sumos.
Vidutinis visų paskolų likutis, atsižvelgiant į apyvartų skaičių per metus, nustatomas pagal vidutinių chronologinių momentų eilutės formulę pagal paskolą išdavusios kredito įstaigos mėnesio balansus pagal formulę:
kur yra išduotų paskolų mėnesio likutis.
Atskirų paskolų apyvartų skaičius, atsižvelgiant į jų nuolatinę apyvartą tiriamuoju laikotarpiu, nustatomas kaip laikotarpio trukmės dalijimo iš paskolos termino koeficientas.
Vidutinis visų laikotarpio paskolų apyvartų skaičius, su sąlyga, kad jų apyvarta vyksta nuolat, apskaičiuojamas pagal formulę, pagrįstą turimais duomenimis.
Vidutinis paskolos terminas atskiroms paskoloms arba visų paskolų visumai apskaičiuojamas naudojant įvairias formules
ekvivalentiškumo konvertavimo diskonto norma
Finansinis įsipareigojimų lygiavertiškumas ir mokėjimų konvertavimas
Vienos piniginės prievolės pakeitimas kitu arba kelių mokėjimų sujungimas į vieną grindžiamas prievolių finansinio lygiavertiškumo principu.
Lygiaverčiais mokėjimais laikomi mokėjimai, kurie, pervedus į tą patį momentą, tampa lygūs. Tai išplaukia iš kaupimo ir diskontavimo formulių. Dvi sumos laikomos lygiomis, jei jų šiuolaikinės vertės vienu metu yra vienodos; didėjant palūkanų normai, šiuolaikinių verčių dydžiai mažėja. Greitis, kuriam esant, vadinamas kritiniu arba barjeru. Jis kilęs iš lygybės.
Sudėtinės palūkanų normos atveju barjerinė norma apskaičiuojama pagal formules:
Finansinio lygiavertiškumo principas taikomas įvairiems piniginių sumų mokėjimo sąlygų pasikeitimams. Bendras tokių problemų sprendimo būdas yra sukurti lygiavertiškumo lygtį, kurioje pakeistų mokėjimų suma, sumažinta iki tam tikro laiko momento, yra prilyginama mokėjimų sumai pagal naują įsipareigojimą, sumažintą iki tos pačios datos. Trumpalaikiams įsipareigojimams naudojamas paprastas, vidutinės trukmės ir ilgalaikis - sudėtingas.
Vienas iš dažnų sutarčių sąlygų keitimo atvejų yra konsolidavimas, t.y. mokėjimų konsolidavimas. Yra 2 galimos problemos formuluotės:
)Duotas terminas ir reikia rasti mokėjimo sumą;
)Nurodomas konsoliduotos išmokos dydis, būtina nustatyti jos terminą.
Sujungiant kelis mokėjimus į vieną, jeigu naujo mokėjimo terminas yra ilgesnis nei anksčiau nustatytas terminas, lygiavertiškumo lygtis rašoma taip:
Kur yra sukaupta konsoliduoto mokėjimo suma,
Konsoliduojami mokėjimai
Laiko intervalai tarp ir:
Apskritai konsoliduoto mokėjimo suma atrodys taip:
Kombinuotų mokėjimų sumos, kurių grąžinimo terminai yra mažesni už pirmąjį terminą; - kombinuotų mokėjimų sumos, kurių terminai viršija naujas terminas.
Konsoliduojant sąskaitas<#"27" src="doc_zip115.jpg" />
Konsoliduojant mokėjimus naudojant sudėtinę palūkanų normą, konsoliduota suma randama pagal formules:
Jeigu yra žinoma konsoliduoto mokėjimo suma ir būtina nustatyti jos konsolidavimo laikotarpį, laikantis lygiavertiškumo principo:
kur yra konsoliduota šiuolaikinio mokėjimo suma. Jei partneriai susitaria konsoliduoti mokėjimus nekeičiant bendros mokėjimų sumos, tada konsoliduoto mokėjimo terminas:
Konsoliduotų mokėjimų mokėjimo terminui apskaičiuoti gali būti naudojamos diskonto normos,<#"45" src="doc_zip122.jpg" />
Naudojant sudėtines palūkanas, formulės atrodo taip:
Bibliografija
1.Kochovic E. Finansų matematika: finansinių ir bankinių skaičiavimų teorija ir praktika. - M.: Finansai ir statistika, 2004 m
2.Krasina F.A. Finansinė kompiuterija – finansinė kompiuterija: pamoka/ F. A. Krasina. – Tomskas: „El Content“, 2011 m.
3.Selezneva N.N., Ionova A.F. Finansų valdymas. Užduotys, situacijos, testai, schemos: Proc. vadovas universitetams. - M.: VIENYBĖ-DANA, 2004. - 176 p.
Naudojant atskirą nominalią normą, sukaupta suma nustatoma pagal formulę:
Pereinant prie nuolatinių procentų gauname:
Padidinkite daugiklį nuolatiniam palūkanų kapitalizavimui.
Nurodydami augimo jėgą, gauname:
nes diskretieji ir nuolatiniai rodikliai yra funkciškai susiję vienas su kitu, tada galime parašyti prieaugio daugiklių lygybę
Į pradinį kapitalas 500 tūkstančių rublių. sudėtines palūkanas – 8% per metus 4 metus. Nustatykite sukauptą sumą, jei palūkanos kaupiamos nuolat.
Nuolaida, pagrįsta nuolatinėmis palūkanų normomis
Formulėje (4.21) galime nustatyti šiuolaikinę reikšmę
Nuolatinė palūkanų norma, naudojama diskontuojant, vadinama diskonto norma. Ji lygi augimo jėgai, t.y. naudojamos diskontavimui, nuolaidų jėgos arba augimo jėgos lemia tą patį rezultatą.
Apibrėžkitešiuolaikinė mokėjimo kaina, su sąlyga, kad diskontavimas atliekamas 12% augimo tempu ir to paties dydžio atskira kompleksine diskonto norma.
Kintamoji augimo jėga
Naudojant šią charakteristiką, modeliuojami pinigų sumų didėjimo procesai su besikeičiančia palūkanų norma. Jeigu augimo jėga apibūdinama kokia nors ištisine laiko funkcija, tai formulės galioja.
Už sukauptą sumą:
Šiuolaikinės išlaidos:
1) Tegul augimo jėga keičiasi diskretiškai ir paimkite reikšmes: laiko intervalais, tada paskolos laikotarpio pabaigoje sukaupta suma bus:
Jei augimo periodas lygus n, o vidutinė augimo reikšmė: , tada
Nustatykite kaupimo daugiklį nuolatiniam palūkanų sudėjimui 5 metus. Jei augimo jėga kinta diskretiškai ir atitinka: 1 metus - 7%, 2 ir 3 - 8%, paskutinius 2 metus - 10%.
2) Augimo jėga laikui bėgant nuolat kinta ir apibūdinama lygtimi:
kur yra pradinė augimo jėga (at)
a – metinis padidėjimas arba sumažėjimas.
Apskaičiuokime padidėjimo daugiklio laipsnį:
Pradinė vertė augimo jėga yra 8%, palūkanų norma yra nuolatinė ir kinta tiesiškai.
Prieaugis per metus – 2%, augimo laikotarpis – 5 metai. Raskite augimo faktorių.
3) Tada augimo jėga keičiasi eksponentiškai
Nuolatinėms palūkanoms nėra skirtumo tarp palūkanų normos ir diskonto normos, nes augimo jėga yra universalus indikatorius. Tačiau kartu su nuolatinė jėga augimą, galima naudoti kintamą palūkanų normą, kurios reikšmė kinta pagal duotą dėsnį (matematinę funkciją).
Nuolatinis sujungimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip pagrindimas ir atranka investiciniai sprendimai. Darbo vertinimas finansų įstaiga, kai mokėjimai už laikotarpį gaunami kelis kartus, patartina manyti, kad sukaupta suma nuolat keičiasi laikui bėgant ir taikyti nuolatinis kaupimas proc.
Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, yra susijusios su diskrečiomis palūkanomis, nes jos skaičiuojamos fiksuotais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis sudėtinis koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:
k n = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365
Bet kadangi palūkanos kaupiasi nuolat, tada m linkęs į begalybę, o padidėjimo koeficientas (daugiklis) linkęs e j:
Kur e? 2,718281 vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.
Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:
FV = PV * e j * n = P * e d * n
Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra pažymėtas simboliu d, skirtingai nei kursas atskiri procentai (j).
Pavyzdys. Buvo gauta 100 tūkstančių JAV dolerių paskola 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei kaupiasi palūkanos:
a) kartą per metus;
b) kasdien;
c) nuolat.
Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:
kaupiamas kartą per metus
F.V.= 100 "000 * (1 + 0,08) 3 = 125" 971,2 dolerio;
dienos palūkanų kaupimas
F.V.= 100 "000 * (1 + 0,08 / 365) 365 * 3 = 127" 121,6 dol.
nuolatinis palūkanų kaupimas
F.V.= 100 "000 * e 0,08 * 3 = 127" 124,9 dolerio.
14. Paskolos terminas. Formulės, reikalingos paskolos trukmei apskaičiuoti metais ir dienomis
laikotarpis metais
laikotarpis dienomis (atminkite, kad n = t/K, Kur K- laikinoji bazė)
.
Palūkanų norma. Poreikis apskaičiuoti palūkanų normą iškyla nustatant finansinis efektyvumas sandorius ir lyginant sutartis pagal jų pelningumą tais atvejais, kai palūkanų normos nėra aiškiai nurodytos. Išsprendę (1.1) ir (1.8) išraiškas už i arba d,mes gauname
Mokėjimo terminas.Čia pateikiamos skaičiavimo formulės Pįvairioms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms. Kuriant kompleksą metinė norma i ir pagal nominali norma j atitinkamai gauname:
. (2.23) (2.24)
Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d ir nominalia diskonto norma f
. (2.25) (2.26)
Didėjant pastovia augimo jėga δ ir augimo jėga, besikeičiančia pastoviu greičiu
.
Palūkanų norma. Čia pateikiamos normų skaičiavimo formulės i, j, d, f, δįvairioms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms. Jie buvo gauti sprendžiant lygtis, kurios lemia S Ir R, palyginti su norimais tarifais.
Kai sukaupta taikant sudėtinę metinę palūkanų normą ir taikant nominalią palūkanų normą T randame kartą per metus
. (2.29) (2.30)
Kai diskontuojama kompleksine diskonto norma ir nominalia diskonto norma
. (2.31) (2.32)
Didinant nuolatine augimo jėga
. (2.33)
Kai auga pagal augimo jėgą, besikeičiančią pastoviu greičiu
.
15. Paprastųjų palūkanų skaičiavimas infliacijos sąlygomis . Grįžkime prie pinigų nuvertėjimo problemos, kai jis didėja. Apskritai dabar galime rašyti:
Jei padidinimas atliekamas paprastu kursu, turime:
(2.43)
Kaip matome, sukauptos sumos padidėjimas, atsižvelgiant į pinigų perkamosios galios išsaugojimą, atsiranda tik tada, kai 1 + ni > Jp.
Pavyzdys. Tarkime, 1,5 milijono rublių. už tris mėnesius skaičiuojamos paprastosios palūkanos, kurių dydis yra 50 procentų per metus ( K= 360). Padidinta suma yra lygi 1,6875 milijono rublių. Jei mėnesinė infliacija apibūdinama 2.22, b pavyzdyje nurodytais tarifais, tada, atsižvelgiant į nusidėvėjimą, sukaupta suma bus tik 1,6875 / 1,77 = 0,9534 milijono rublių.
16. Sudėtinių palūkanų skaičiavimas infliacijos sąlygomis. Dabar pereikime prie sudėtinių palūkanų sudėties. Į (2.42) formulę pakeičiant reikšmes S Ir Jp, mes randame
(2.44)
Kiekiai, iš kurių jis padauginamas R(2.43) ir (2.44) formulėse pavaizduokite augimo veiksnius atsižvelgiant į infliaciją. Pavyzdys. Raskime realią sudėtinę palūkanų normą tokioms sąlygoms: metinė infliacija 120%, bruto norma 150%:
= 0,1364, arba 13,68% (pagal supaprastintą formulę 30%).
Kitas infliacijos kompensavimo būdas – pradinės įmokos sumos indeksavimas R.Šiuo atveju ši suma periodiškai koreguojama naudojant iš anksto sutartą indeksą. Šis metodas yra priimtas JK. A-prioras
C = PJ p(1 + i)n.
17. Realiosios palūkanų normos apskaičiavimas infliacijos sąlygomis. Dabar pereikime prie atvirkštinės problemos sprendimo – prie matavimo realus kursas procentai, tie. pelningumas atsižvelgiant į infliaciją – apibrėžimas i esant tam tikrai bendrojo kurso vertei. Jeigu r- deklaruota grąžos norma (bruto norma), tada norima grąžos norma metinės palūkanų normos forma i gali būti nustatytas skaičiuojant paprastas palūkanas remiantis (2.43) as
. (2.48)
Realus pelningumas, kaip matome, čia priklauso nuo palūkanų kaupimo laikotarpio. Prisiminkime, kad šioje formulėje esantis kainų indeksas apima visą palūkanų kaupimo laikotarpį.
Pagal (2.44) formulę galima rasti panašaus turinio rodiklį, bet su sudėtinėmis palūkanomis.