Planavimas 

Nuolatinė norma. Ryšys tarp diskrečiųjų ir nuolatinių palūkanų normų

Federalinė agentūrašvietime ir moksle

valstybė švietimo įstaiga aukštesnė

profesinį išsilavinimą

Tambovskis Valstijos universitetas pavadintas G.R. Deržavina


tema: „Veiksmai su nuolatiniu susidomėjimu“


Atlikta

5 kurso studentas, 502 grupė

Dieninis išsilavinimas Geghamyan M.A.


Tambovas 2013 m


1.Nuosekli augimo jėga<#"justify">1. Nuolatinė augimo jėga


Naudojant diskrečiąją nominalią normą<#"55" src="doc_zip1.jpg" />


Pereinant prie nuolatinių procentų gauname:

Augimo daugiklis<#"20" src="doc_zip4.jpg" />, mes gauname:

nes diskretieji ir nuolatiniai rodikliai yra funkciškai susiję vienas su kitu, tada galime parašyti prieaugio daugiklių lygybę

Pradiniam kapitalui 500 tūkstančių rublių. sudėtines palūkanas – 8% per metus 4 metus. Nustatykite sukauptą sumą, jei palūkanos kaupiamos nuolat.


Nuolaida pagrįsta nuolatine palūkanų normos

Formulėje (4.21) galime nustatyti šiuolaikinę reikšmę

Nuolatinė palūkanų norma, naudojama diskontuojant, vadinama diskonto norma. Ji lygi augimo jėgai, t.y. naudojamas diskontavimo arba augimo jėgai sumažinti<#"justify">Pavyzdys

Nustatykite šiuolaikinę mokėjimo kainą, jei diskontavimas atliekamas 12% augimo tempu ir to paties dydžio atskira kompleksine diskonto norma.

Kintamoji augimo jėga


Naudojant šią charakteristiką, modeliuojami pinigų sumų didėjimo procesai su besikeičiančia palūkanų norma. Jei augimo jėgą apibūdina kai kurie nuolatinė funkcija laiko, tada formulės galioja.

Už sukauptą sumą:<#"47" src="doc_zip13.jpg" />


Šiuolaikinės išlaidos:

) Tegul augimo galia<#"25" src="doc_zip15.jpg" />tam tikrais laiko tarpais, tada, pasibaigus paskolos terminui, sukaupta suma bus:


Jei augimo periodas lygus n, o vidutinė augimo reikšmė: , tada

Nustatykite kaupimo daugiklį nuolatiniam palūkanų sudėjimui 5 metus. Jei augimo jėga kinta diskretiškai ir atitinka: 1 metus - 7%, 2 ir 3 - 8%, paskutinius 2 metus - 10%.

2)Augimo jėga laikui bėgant nuolat kinta ir apibūdinama lygtimi:


kur yra pradinė augimo jėga (at)

a – metinis padidėjimas arba sumažėjimas.

Apskaičiuokime padidėjimo daugiklio laipsnį:

Pradinė augimo jėgos reikšmė yra 8%, palūkanų norma yra nuolatinė ir kinta tiesiškai.

Prieaugis per metus – 2%, augimo laikotarpis – 5 metai. Raskite augimo faktorių.

) Keičiasi augimo jėga geometrinė progresija, Tada


Augimo daugiklis:<#"50" src="doc_zip29.jpg" />


Nustatykite augimo daugiklį nuolatiniam palūkanų sudėjimui 5 metus, jei pradinis augimo tempas yra 10%, o palūkanų norma kasmet didėja 3%.


Paskolos terminas nustatomas pagal formules:

kai didėja pastoviu greičiu

kai didėja kintančiu greičiu, kai keičiasi geometrine progresija

Nustatykite laikotarpį, kurio reikia norint padidinti pradinę normą 3 kartus, kai kaupiama nuolatinė palūkanų norma, kuri kinta su pastoviu augimo tempu, jei pradinė norma yra 15%, o metinė augimo norma yra 1,05

Palūkanų normos lygiavertiškumas


Finansinių pasekmių lygiavertiškumą užtikrinantys tarifai vadinami lygiaverčiais arba santykiniais.

Finansinių pasekmių lygiavertiškumas gali būti užtikrintas, jei yra lygūs padidėjimo daugikliai<#"23" src="doc_zip36.jpg" />;


2) padidinta suma<#"41" src="doc_zip37.jpg" />


Jei, tada prieaugio koeficientai yra lygūs



Jei paskolos terminas yra trumpesnis nei metai, tada lygiavertiškumas nustatomas dviem vienodų laiko bazių ir skirtingų laiko bazių atvejais.

Jei laiko bazės yra vienodos (), tada formulės atrodo taip:

Jei palūkanos skaičiuojamos taikant i normą, kurios bazė yra 365, ir taikant d normą, kai bazė yra 360, tada teisinga:


Vekselis buvo diskontuotas banke taikant 8% diskonto normą jo apyvartos termino pasibaigimo dieną = 200 (k=360). Nustatykite šios operacijos pelningumą naudojant paprastą palūkanų normą (k=365).

Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų normų lygiavertiškumas

Kai palūkanos skaičiuojamos kartą per metus, jos nustatomos pagal formules:


Paprastas statymas:

sudėtingas statymas:


Kokia sudėtinė metinė norma gali pakeisti paprastąją 18% normą (k=365), nekeičiant finansinių pasekmių. Operacijos trukmė – 580 dienų.

Paprastos palūkanų normos ir sudėtinės normos ekvivalentiškumas.

Skaičiuojant m kartų per metus, jis nustatomas pagal formulę:


Rengdamos sutarties sąlygas šalys susitarė, kad paskolos pajamingumas turi būti 24 proc. Kokio dydžio turėtų būti nominali norma, kai palūkanos skaičiuojamos kas mėnesį, kas ketvirtį.

Paprastos diskonto normos ir normos lygiavertiškumas sudėtinės palūkanos nustatoma pagal formulę:

Nominaliosios sudėtinės palūkanų normos ekvivalentiškumas, kai palūkanos skaičiuojamos m kartų per metus ir paprasta diskonto norma, nustatoma pagal formules:

Kompleksinių statymų lygiavertiškumas nustatomas pagal formules:


Sudėtinės diskonto normos ir nominalios sudėtinės palūkanų normos ekvivalentiškumas, kai palūkanos skaičiuojamos m kartų per metus, nustatomas pagal formules:

Tolydžios ir lygiavertiškumas atskiri tarifai:

Augimo jėgos ir vardinio greičio ekvivalentas:

Esant atskiram ir tiesiniam jėgos augimo pokyčiui, taip pat jei jis kinta pastovia norma, ekvivalentinį ryšį su sudėtinėmis palūkanų normomis galima išreikšti formulėmis:

Stiprumo lygiavertiškumas<#"41" src="doc_zip68.jpg" />


Dėl sudėtingos nuolaidos normos:


komentuoti. Naudojant diskrečiųjų ir tęstinių normų ekvivalentiškumo formules, galima pateikti nuolatinių palūkanų taikymo rezultatus visuotinai priimtų charakteristikų forma.


Vidutinės vertės finansiniuose skaičiavimuose


Dėl kelių palūkanų normų<#"63" src="doc_zip72.jpg" />


Per metus įmonė gavo 2 vienodo dydžio paskolas po 500 tūkst. kas. 1 paskola 3 mėnesiams su 10% per metus. 2 paskola - 9 mėnesiams su 16% per metus. Nustatykite vidutinę palūkanų normą, patikrinkite rezultatą apskaičiuodami sukauptas sumas.

Gaunant skirtingo dydžio paskolas, išduotas skirtingomis palūkanomis, vidutinė norma taip pat apskaičiuojama pagal svertinio vidurkio formulę, kurios svoriai lygūs gautų paskolų sumų ir jų išdavimo terminų sandaugai.

Vidutinės paprastosios diskonto normos apskaičiavimas<#"67" src="doc_zip78.jpg" />


Vidutinė sudėtinė palūkanų norma<#"37" src="doc_zip79.jpg" />


Analizuojant kredito įstaigų darbą, skaičiuojami šie rodikliai: vidutinis paskolos dydis, vidutinė jos trukmė, vidutinis paskolų apyvartų skaičius ir kiti rodikliai.

Vidutinis vienos paskolos dydis, neįskaitant apyvartų per metus, apskaičiuojamas pagal formulę:

Atsižvelgiant į apsisukimų skaičių per metus pagal formulę:

kur yra apsisukimų skaičius,

Laikotarpio trukmė

K – klientų, gavusių paskolas, skaičius.

Vidutinis visų paskolų dydis, atsižvelgiant į apyvartų skaičių per metus, parodo visų metų negrąžintą paskolų likutį. Jis lygus vidutiniam vienos paskolos dydžiui, atsižvelgiant į apyvartą per metus, padaugintam iš paskolą gavusių klientų skaičiaus:


kur yra bendra apyvarta, t.y. laikotarpiu grąžintų paskolų sumos.

Vidutinis visų paskolų likutis, atsižvelgiant į apyvartų skaičių per metus, nustatomas pagal vidutinių chronologinių momentų eilutės formulę pagal paskolą išdavusios kredito įstaigos mėnesio balansus pagal formulę:

kur yra išduotų paskolų mėnesio likutis.

Atskirų paskolų apyvartų skaičius, atsižvelgiant į jų nuolatinę apyvartą tiriamuoju laikotarpiu, nustatomas kaip laikotarpio trukmės dalijimo iš paskolos termino koeficientas.

Vidutinis visų laikotarpio paskolų apyvartų skaičius, su sąlyga, kad jų apyvarta vyksta nuolat, apskaičiuojamas pagal formulę, pagrįstą turimais duomenimis.

Vidutinis paskolos terminas atskiroms paskoloms arba visų paskolų visumai apskaičiuojamas naudojant įvairias formules

ekvivalentiškumo konvertavimo diskonto norma


Finansinis įsipareigojimų lygiavertiškumas ir mokėjimų konvertavimas


Vienos piniginės prievolės pakeitimas kitu arba kelių mokėjimų sujungimas į vieną grindžiamas prievolių finansinio lygiavertiškumo principu.

Lygiaverčiais mokėjimais laikomi mokėjimai, kurie, pervedus į tą patį momentą, tampa lygūs. Tai išplaukia iš kaupimo ir diskontavimo formulių. Dvi sumos laikomos lygiomis, jei jų šiuolaikinės vertės vienu metu yra vienodos; didėjant palūkanų normai, šiuolaikinių verčių dydžiai mažėja. Greitis, kuriam esant, vadinamas kritiniu arba barjeru. Jis kilęs iš lygybės.

Sudėtinės palūkanų normos atveju barjerinė norma apskaičiuojama pagal formules:

Finansinio lygiavertiškumo principas taikomas įvairiems piniginių sumų mokėjimo sąlygų pasikeitimams. Bendras tokių problemų sprendimo būdas yra sukurti lygiavertiškumo lygtį, kurioje pakeistų mokėjimų suma, sumažinta iki tam tikro laiko momento, yra prilyginama mokėjimų sumai pagal naują įsipareigojimą, sumažintą iki tos pačios datos. Trumpalaikiams įsipareigojimams naudojamas paprastas, vidutinės trukmės ir ilgalaikis - sudėtingas.

Vienas iš dažnų sutarčių sąlygų keitimo atvejų yra konsolidavimas, t.y. mokėjimų konsolidavimas. Yra 2 galimos problemos formuluotės:

)Duotas terminas ir reikia rasti mokėjimo sumą;

)Nurodomas konsoliduotos išmokos dydis, būtina nustatyti jos terminą.

Sujungiant kelis mokėjimus į vieną, jeigu naujo mokėjimo terminas yra ilgesnis nei anksčiau nustatytas terminas, lygiavertiškumo lygtis rašoma taip:

Kur yra sukaupta konsoliduoto mokėjimo suma,

Konsoliduojami mokėjimai

Laiko intervalai tarp ir:

Apskritai konsoliduoto mokėjimo suma atrodys taip:

Kombinuotų mokėjimų sumos, kurių grąžinimo terminai yra mažesni už pirmąjį terminą; - kombinuotų mokėjimų sumos, kurių terminai viršija naujas terminas.

Konsoliduojant sąskaitas<#"27" src="doc_zip115.jpg" />


Konsoliduojant mokėjimus naudojant sudėtinę palūkanų normą, konsoliduota suma randama pagal formules:

Jeigu yra žinoma konsoliduoto mokėjimo suma ir būtina nustatyti jos konsolidavimo laikotarpį, laikantis lygiavertiškumo principo:

kur yra konsoliduota šiuolaikinio mokėjimo suma. Jei partneriai susitaria konsoliduoti mokėjimus nekeičiant bendros mokėjimų sumos, tada konsoliduoto mokėjimo terminas:

Konsoliduotų mokėjimų mokėjimo terminui apskaičiuoti gali būti naudojamos diskonto normos,<#"45" src="doc_zip122.jpg" />


Naudojant sudėtines palūkanas, formulės atrodo taip:

Bibliografija


1.Kochovic E. Finansų matematika: finansinių ir bankinių skaičiavimų teorija ir praktika. - M.: Finansai ir statistika, 2004 m

2.Krasina F.A. Finansinė kompiuterija – finansinė kompiuterija: pamoka/ F. A. Krasina. – Tomskas: „El Content“, 2011 m.

3.Selezneva N.N., Ionova A.F. Finansų valdymas. Užduotys, situacijos, testai, schemos: Proc. vadovas universitetams. - M.: VIENYBĖ-DANA, 2004. - 176 p.


Nuolatinis susidomėjimas yra terminas teorinė ekonomika, o tai reiškia nuolatinį, sistemingą palūkanų kaupimą. Jei įsigilinsite į pagrindus ekonomikos teorija, tada nuolatinės palūkanos kaupiamos mažiausiais intervalais. Tai yra, nuolatinės palūkanos skaičiuojamos nuolat, tačiau skaičiavimo patogumui verslininkai ar ekonomistai sako, kad tokia ar kita suma priskaičiuojama per sekundę, valandą ar dieną. Pavyzdžiui, Billo Gateso pajamas galima vadinti nuolatinėmis palūkanų pajamomis. Teoriniai ekonomistai apskaičiavo, kad Billas Gatesas, vienas turtingiausių pasaulio žmonių, kas minutę uždirba maždaug 6600 USD – tai yra nuolatinių palūkanų iš jo verslo ir investicijų suma, į kurią konvertuojama.

Nuolatinio domėjimosi teorine ir praktine ekonomika prasmė

Kalbant apie nuolatinių palūkanų svarbą, pirmiausia reikėtų pažymėti, kad jie yra pagrindinė pasyvių pajamų forma. Iš esmės pasyvios pajamos susideda iš dviejų teorinių komponentų: turto, kuris veikia be verslininko įsikišimo, ir nuolatinių palūkanų, kurias jis duoda už į jį investuotą sumą. Pavyzdžiui, aš nusipirkau butą už 10 000 000 rublių ir nuomoju jį už 40 000 rublių per mėnesį - tai pasyvios pajamos. Metinės pajamos bus 480 000 rublių, nuo dešimties milijonų tai yra 4,8 proc. Pasirodo, verslininkas nuolat gauna 4,8 procento per metus nuo investuotos sumos, tai yra jo metinės palūkanos.

Antroji reikšmė yra ta, kad nuolatiniai procentai rodo stabilią konkrečios įmonės plėtros situaciją. Jei tai nuolat kelia susidomėjimą, vadinasi, veikia normaliai. Sustabdžius palūkanų gavimą, galima spręsti, kad įmonėje iškilo problemų. Jei palūkanų normos kyla ir mažėja, tai taip pat rodo vidinių problemųįmonių. Todėl teoriškai ekonominė analizė nuolatiniai procentai yra labai svarbūs.

Trečia vertybė, į kurią atkreipsime dėmesį, yra investicijų grąža. Nuolat gaunamų palūkanų sumavimas galiausiai lems tai, kad investicijos į verslą atsipirks šimtu procentų, tai yra, verslininkas atgaus investuotas lėšas ir turės tik gauti. Ekonomikos teorijoje yra daug raginimų analizuoti įvairius ekonominio gyvenimo veiksnius (infliacijos tempus ir pan.) ir palyginti rezultatus su nuolatiniais procentais. Gali pasirodyti, kad pajamos iš įmonės, išreikštos procentais, bus mažesnės nei pinigų nuvertėjimo procentas ir panašiai. Jei, pavyzdžiui, žmogus per metus iš indėlio banke gauna penkis procentus, o suma lygi aštuoniems procentams, tai galiausiai indėlininkas praranda tris procentus savo kapitalo. Dauguma žmonių į tai nekreipia dėmesio, o tai yra didelė ekonominė klaida ir daugelio bankrotų priežastis. Tai ypač svarbu ekonomikos restruktūrizavimo ir nelaimių laikotarpiais.

Sekite naujienas su visais svarbius įvykius United Traders – užsiprenumeruokite mūsų

2.2.3. Kintama palūkanų norma

Reikėtų pažymėti, kad pagrindinė sudėtinių palūkanų formulė daro prielaidą pastovus palūkanų norma per visą palūkanų kaupimo laikotarpį. Tačiau teikiant ilgalaikę paskolą dažnai naudojamos sudėtinės palūkanų normos, kurios laikui bėgant kinta, tačiau iš anksto nustatomos kiekvienam laikotarpiui. Naudojimo atveju kintamieji palūkanų normos, kaupimo formulė yra tokia:

Kur ik– laike pastovias palūkanų normas;

nk– laikotarpių, kuriais naudojami atitinkami tarifai, trukmė.

Pavyzdys.Įmonė gavo banko paskolą 100 000 USD 5 metų laikotarpiui Paskolos palūkanos 1 metams nustatyta 10 proc., 2 metams numatytas palūkanų normos padidinimas. 1,5%, vėlesniems metams 1%.Nustatykite skolos sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje.

Sprendimas:

Kintamoms palūkanų normoms naudojame formulę:

FV = PV (1 + i 1)n 1 (1 + i 2)n 2 … (1 + ik)nk =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174 "632,51 dolerio

Taigi, paskolos termino pabaigoje grąžintina suma bus 174 632,51 USD, iš kurių 100 000 USD yra tiesioginė skolos suma, o 74 632,51 USD – palūkanos už skolą.

2.2.4. Nuolatinis palūkanų kaupimas

Visos situacijos, kurias mes nagrinėjome iki šiol, yra susijusios su diskrečiomis palūkanomis, nes jos skaičiuojamos fiksuotais laikotarpiais (metai, ketvirtis, mėnuo, diena, valanda). Tačiau praktikoje dažnai pasitaiko atvejų, kai palūkanos kaupiamos nuolat, savavališkai trumpą laiką. Jei palūkanos būtų kaupiamos kasdien, metinis sudėtinis koeficientas (daugiklis) atrodytų taip:

kn = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Bet kadangi palūkanos kaupiasi nuolat, tada m linkęs į begalybę, o padidėjimo koeficientas (daugiklis) linkęs ej:

Kur e≈ 2,718281, vadinamas Eilerio skaičiumi ir yra viena iš svarbiausių matematinės analizės konstantų.

Iš čia galime parašyti sukauptos sumos formulę n metai:

F.V. = PV e j n = P e δ n

Nepertraukiama palūkanų norma vadinama susidomėjimo jėga ir yra pažymėtas simboliu δ , priešingai nei atskira palūkanų norma ( j).

Pavyzdys. Buvo gauta 100 tūkstančių JAV dolerių paskola 3 metų laikotarpiui su 8% per metus. Nustatykite sumą, kurią reikia grąžinti paskolos termino pabaigoje, jei kaupiasi palūkanos:

a) kartą per metus;

b) kasdien;

c) nuolat.

Sprendimas:

Naudojame atskirų ir tęstinių procentų formules:

kaupiamas kartą per metus

F.V.= 100 "000 (1 + 0,08) 3 = 125" 971,2 dolerio;

dienos palūkanų kaupimas

F.V.= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 dol.

nuolatinis palūkanų kaupimas

F.V.= 100 "000 e 0,08 3 = 127" 124,9 dolerio.

Grafiškai sukauptos sumos pokytis priklausomai nuo kaupimo dažnumo yra tokia forma:

Atskirai kaupiant, kiekvienas „žingsnis“ apibūdina pagrindinės skolos sumos padidėjimą dėl kito sukauptų palūkanų. Atkreipkite dėmesį, kad „laiptelių“ aukštis nuolat didėja.

Per vienerius metus vienas „žingsnis“ kairėje diagramoje atitinka du mažesnius „žingsnius“ vidurinėje diagramoje, tačiau iš viso jie viršija vieno kaupimo „žingsnio“ aukštį. Didėjimas vyksta dar sparčiau nuolat kaupiant palūkanas, o tai rodo diagrama dešinėje.

Taigi, priklausomai nuo palūkanų kaupimo dažnumo, pradinė suma didinama skirtingais tarifais, o didžiausias galimas padidinimas atliekamas neribotai dalijant metinį intervalą.

Nuolatinis derinimas naudojamas analizuojant sudėtingas finansines problemas, tokias kaip investicinių sprendimų pagrindimas ir atranka. Vertinant finansų įstaigos, kurioje mokėjimai gaunami kelis kartus per laikotarpį, darbą, patartina manyti, kad sukaupta suma laikui bėgant nuolat kinta ir taikyti nuolatinį palūkanų skaičiavimą.

2.2.5. Paskolos termino ir palūkanų normos nustatymas

Kaip ir paprastoms palūkanoms, taip ir sudėtinėms palūkanoms reikia turėti formules, kurios leistų nustatyti trūkstamus finansinės operacijos parametrus:

    paskolos terminas:

n = / = / ;

    sudėtinė palūkanų norma:

Taigi indėlio padidinimas tris kartus per trejus metus prilygsta 44,3% metinei palūkanų normai, todėl dėti pinigus 46% per metus bus pelningiau.

2.3. Įkainių lygiavertiškumas ir mokėjimo pakeitimas

2.3.1. Palūkanų normos lygiavertiškumas

Gana dažnai praktikoje susidaro situacija, kai reikia palyginti įvairių finansinių sandorių ir komercinių sandorių sąlygų pelningumą. Finansinių ir komercinių sandorių sąlygos gali būti labai įvairios ir tiesiogiai nepalyginamos. Norint palyginti alternatyvias galimybes, sutarčių sąlygose naudojami tarifai sudaro vienodą skaičių.

Lygiavertė palūkanų norma– tai kursas, kuris atitinkamos finansinės operacijos atveju duos lygiai tokį patį piniginį rezultatą (sukauptą sumą), kaip ir šiai operacijai taikomas kursas.

Klasikinis lygiavertiškumo pavyzdys yra nominalusis ir efektyvi norma procentai:

i = (1 + j / m)m - 1.

j = m[(1 + i) 1 / m - 1].

Efektyvi norma matuoja santykines pajamas, kurias galima gauti už visus metus, t.y. visiškai jokio skirtumo ar taikyti tarifą j skaičiuojant palūkanas m kartą per metus arba metinį tarifą i, – abu įkainiai finansiškai lygiaverčiai.

Todėl visiškai nesvarbu, kuris iš nurodytų įkainių nurodytas finansinėse sąlygose, nes naudojant juos gaunama ta pati sukaupta suma. JAV praktiniuose skaičiavimuose naudojama nominali norma, o Europos šalyse pirmenybė teikiama efektyviai palūkanų normai.

Jei dvi nominalios normos nustato tą pačią efektyviąją palūkanų normą, jos laikomos lygiavertėmis.

Pavyzdys. Kokios būtų lygiavertės nominalios palūkanų normos sudėjus pusmetį ir kas mėnesį, jei jų atitinkama efektyvi norma būtų 25 %?

Sprendimas:

Mes nustatome nominalią pusmetinių palūkanų normą:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Raskite nominalią mėnesinių palūkanų normą:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Taigi nominalios 23,61% palūkanų normos, sudėtos kas pusmetį ir 22,52% kas mėnesį, yra lygiavertės.

Išvedant lygybes, jungiančias lygiaverčius statymus, prieaugio daugikliai yra prilyginami vienas kitam, todėl paprastiems ir sudėtingiems statymams galima naudoti lygiavertiškumo formules:

paprasta palūkanų norma:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n;

sudėtinė palūkanų norma:

Pavyzdys. Kapitalą 4 metams siūloma sudėti taikant 20 % metinę sudėtinę palūkanų normą, sudedant pusmetį, arba taikant paprastąsias 26 % metines palūkanas. Raskite geriausią variantą.

Sprendimas:

Mes randame lygiavertę paprastą sudėtinės palūkanų normos normą:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Taigi paprastoji palūkanų norma, atitinkanti sudėtinę palūkanų normą pagal pirmąjį variantą, yra 28,59% per metus, o tai yra didesnė už siūlomą paprastąją 26% per metus pagal antrąjį variantą, todėl pelningiau kapitalą įtraukti pagal pirmas variantas, t.y. 20 % per metus, sumaišant pusmetį.

Praktinėse finansinėse ir kredito operacijose nuolat didėja, t.y. augimas per begalinį mažą laikotarpį naudojamas itin retai. Nuolatinis augimas turi daug didesnę reikšmę analizuojant sudėtingas finansines problemas, pavyzdžiui, pagrindžiant ir atrenkant investiciniai sprendimai.

Sukaupta suma atskiri procentai nustatoma pagal formulę

S=P(1+j/m) mn ,

Kur j yra nominali palūkanų norma ir m– palūkanų laikotarpių skaičius per metus.

Daugiau m, tuo trumpesni laiko intervalai tarp dominančių taškų kaupimosi. Palūkanų skaičiavimo dažnumo didinimas ( m) fiksuota nominalios palūkanų normos verte j padidina kaupimo daugiklį, kuris, nuolat kaupiant palūkanas ( m) pasiekia ribinę vertę

Yra žinoma, kad

Kur e– natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Naudodami šią ribą išraiškoje (2.5), galiausiai gauname sukauptą sumą pagal normą j lygus

S=Pe jn .

Nuolatinė palūkanų norma vadinama augimo jėga ir žymima simboliu . Tada

S=Pe n . (2.6)

Augimo galia reiškia nominalią palūkanų normą m.

Kaupimo dėsnis nuolatiniam palūkanų skaičiavimui (2.6) pagal formą sutampa su (2.2) tuo skirtumu, kad (2.2) laikas diskretiškai kinta žingsniu 1/ m, o (2.6) – nuolat.

Nesunku parodyti, kad diskretūs ir nuolatiniai prieaugio rodikliai yra funkciškai priklausomi. Iš prieaugio daugiklių lygybės galime gauti lygiaverčio perėjimo iš vieno statymo į kitą formulę:

(1+i) n =e n ,

iš kurios seka:

=ln(1+ i), i=e  -1.

Pavyzdys 20 . Suma, nuo kurios 5 metus skaičiuojamos nuolatinės palūkanos, yra 2000 den. vienetų, augimo jėga 10 proc. Padidinta suma bus S=2000· e 0,1·5 =2000·1,6487=3297,44 den. vienetų

Nuolatinis 10 % didinimas yra lygus sudėtinių diskrečiųjų palūkanų padidėjimui per tą patį laikotarpį. metinė norma i. Mes randame:

i=e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

Kaip rezultatas, mes gauname S=2000·(1+0,10517) 5 =3297,44 den. vienetų

Diskontavimas pagal augimo jėgą atliekamas pagal formulę

P=Se - n

21 pavyzdys. Šiuolaikinę mokėjimo kainą nustatykime pagal 17 pavyzdį, jei diskontavimas atliekamas pagal 15% augimo tempą.

Sprendimas. Už skolą gauta suma (šiuolaikinė vertė) lygi

P=5000· e-0,15·5 =5000·0,472366=2361,83 den. vienetų

Taikydami tokio paties dydžio diskrečiąją kompleksinę diskonto normą, gavome vertę (žr. 17 pavyzdį) P=2218,53 den. vienetų

2.5. Paskolos termino ir palūkanų normų skaičiavimas

Daugeliu praktinių problemų pradinė (P) ir galutinė (S) sumos yra nurodytos sutartyje ir būtina nustatyti mokėjimo laikotarpį arba palūkanų normą, kuri šiuo atveju gali būti palyginimo priemonė. su rinkos rodikliais ir operacijos pelningumo skolintojui charakteristika. Nurodytas vertes galima lengvai rasti iš pradinių sudėties ir diskontavimo formulių (paprastiems interesams šios problemos aptariamos 1.8 pastraipoje).

Paskolos terminas. Apsvarstykite skaičiavimo problemą nįvairioms palūkanų kaupimo ir diskontavimo sąlygoms.

i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad

,

kur logaritmas gali būti paimtas į bet kurį pagrindą, nes jis yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.

j m

.

d f m

;

.

Didinant pastovia augimo jėga, remiantis (2.6) formule, gauname:

.

22 pavyzdys. Kuriam metų laikotarpiui suma lygi 75 tūkst.den. vienetų, sieks 200 tūkst. vienetų kai palūkanos skaičiuojamos taikant sudėtinę 12% palūkanų normą kartą per metus ir kas ketvirtį?

Sprendimas. Naudojant periodo skaičiavimo formules, kai didėja sunkūs statymai gauname tokius priedus:

n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 metų;

n=(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 metų;

Palūkanų normų skaičiavimas. Iš tų pačių pradinių formulių, kaip ir aukščiau, gauname formules, kaip apskaičiuoti normas įvairiomis sąlygomis didinant palūkanas ir diskontavimą.

Didinant kompleksine metine norma i iš pradinės augimo formulės (2.1) išplaukia, kad

i=(S/P) 1/ n –1=
.

Kai didėja nominali norma proc m kartą per metus iš (2.2) formulės gauname:

j=m((S/P) 1/ mn –1)=
.

Kai diskontuojama pagal sudėtinę metinę diskonto normą d ir nominalia diskonto norma f m kartą per metus iš (2.3) ir (2.4) formulių atitinkamai gauname:

d =1– (P/S) 1/ n =
;

f = m(1– (P/S) 1/ mn =
.

Didinant pastovia augimo jėga, remiantis (2.6) formule, gauname:

.

23 pavyzdys. Taupymo lakštą pirko už 100 tūkst. vnt., jo išpirkimo suma – 160 tūkst.den. vienetų, laikotarpis 2,5 metų. Kokia yra investicijų grąžos norma, išreikšta metinėmis sudėtinėmis palūkanomis?

Sprendimas. Naudojant gautą metinės normos formulę i, mes gauname: i=(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, t.y. 20,684%.

24 pavyzdys. Vekselio terminas 2 metai. Atsižvelgiant į tai, nuolaida buvo 30%. Kokia sudėtinė metinė diskonto norma atitinka šią nuolaidą?

Sprendimas. Pagal užduotį P/S=0,7. Tada d=1–
=0,16334, t.y. 16,334%.

Praktinėse finansinėse ir kredito operacijose nuolat didėja, t.y. augimas per begalinį mažą laikotarpį naudojamas itin retai. Iš esmės didesnę vertę nuolatinis augimas vyksta analizuojant sudėtingas finansines problemas, pavyzdžiui, pagrindžiant ir atrenkant investicinius sprendimus, finansiniame projekte.

Nuolat didėjant palūkanoms, naudojama speciali palūkanų normos rūšis – augimo galia.

Augimo galia apibūdina santykinį sukauptos sumos padidėjimą per be galo mažą laikotarpį. Jis gali būti pastovus arba keistis laikui bėgant.

Norėdami atskirti nuolatinį greitį nuo diskrečiojo, augimo jėgą žymime kaip δ . Tada sukaupta suma pagal nuolatinį tarifą bus:

Diskretūs ir nuolatiniai prieaugio rodikliai yra funkciškai priklausomi. Iš augimo faktorių lygybės

taip: ,

.

Pavyzdys: Suma, nuo kurios kaupiamos nuolatinės palūkanos, lygi 2 milijonams rublių, augimo tempas yra 10%, terminas yra 5 metai. Nustatykite sukauptą sumą.

Nuolatinis didinimas, kai norma = 10 %, yra tolygus atskirų sudėtinių palūkanų padidėjimui per tą patį laikotarpį pagal metinę normą:

Rezultate gauname:

Nuolaidos formulė:

.

Nuolaidos koeficientas yra.

Pavyzdys: Nustatykite dabartinę mokėjimo kainą, jei sukauptos išlaidos yra lygios 5000 tūkstančių rublių. taikoma nuolaida, pagrįsta 12% augimo tempu. Atsiskaitymo terminas – 5 metai.