Aritmetinės geometrinės progresijos pavyzdžiai. Geometrinės progresijos pavyzdžiai
Instrukcija
10, 30, 90, 270...
Būtina rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:
1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.
Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.
Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.
Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:
Pakeiskite duomenis iš užduoties į formulę. Gaukite:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.
Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš kažkokio skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.
Instrukcija
Jei žinomi du gretimi geometrinių b(n+1) ir b(n) nariai, norint gauti vardiklį, skaičių su dideliu skaičiumi reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n) +1)/b(n). Tai išplaukia iš progreso apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga yra ta, kad pirmasis progresijos narys ir vardiklis nėra lygūs nuliui, kitaip jis laikomas neapibrėžtu.
Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Pagal formulę b(n)=b1 q^(n-1) galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kuriame žinomi vardiklis q ir narys b1. Be to, kiekvienas progresijos modulis yra lygus gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, taigi progresija gavo savo .
Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausia eksponentinė funkcija y=a^x, kur x yra eksponente, a yra koks nors skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmė gali būti suprantama kaip n-asis progresijos narys, jei argumentas x imamas natūraliuoju skaičiumi n (skaitiklis).
Kita svarbi geometrinės progresijos savybė, kuri davė geometrinę progresiją
Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė yra labai paprastas dalykas. Ir prasme, ir apskritai. Bet n-to nario formulei kyla visokių problemų – nuo labai primityvių iki gana rimtų. O pažinties procese tikrai apsvarstysime abu. Na, susitikime?)
Taigi, pradedantiesiems, iš tikrųjų formulęn
Štai ji:
b n = b 1 · q n -1
Formulė kaip formulė, nieko antgamtiško. Jis atrodo dar paprastesnis ir kompaktiškesnis nei panaši formulė . Formulės prasmė taip pat paprasta, kaip veltinio batas.
Ši formulė leidžia rasti bet kurį geometrinės progresijos narį PAGAL JO SKAIČIŲ " n".
Kaip matote, prasmė yra visiška analogija su aritmetine progresija. Žinome skaičių n – pagal šį skaičių galime apskaičiuoti ir terminą. Ko mes norime. Nedauginama iš eilės iš "q" daug kartų. Tai yra visa esmė.)
Suprantu, kad tokiame darbo su progresijomis lygmenyje jums jau turėtų būti aiškūs visi į formulę įtraukti kiekiai, bet manau, kad mano pareiga yra kiekvieną iššifruoti. Dėl viso pikto.
Taigi eikime:
b 1 – Pirmas geometrinės progresijos narys;
q – ;
n– nario numeris;
b n – nth (nth) geometrinės progresijos narys.
Ši formulė susieja keturis pagrindinius bet kurios geometrinės progresijos parametrus - bn, b 1 , q Ir n. Ir apie šias keturias pagrindines figūras sukasi visos vykdomos užduotys.
"O kaip tai rodoma?"– Išgirstu smalsų klausimą... Elementarus! Žiūrėk!
Kas yra lygus antra progresijos narys? Jokiu problemu! Mes rašome tiesiogiai:
b 2 = b 1 q
O trečias narys? Taip pat ne problema! Antrąjį terminą padauginame vėl įjungtaq.
Kaip šitas:
B 3 \u003d b 2 q
Prisiminkite, kad antrasis narys, savo ruožtu, yra lygus b 1 q ir pakeiskite šią išraišką į mūsų lygybę:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Mes gauname:
B 3 = b 1 q 2
Dabar paskaitykime mūsų įrašą rusų kalba: trečioji terminas yra lygus pirmajam nariui, padaugintam iš q in antra laipsnį. Ar supranti? Dar ne? Gerai, dar vienas žingsnis.
Kas yra ketvirtas terminas? Visi vienodi! Padauginti ankstesnis(t. y. trečiasis terminas) ant q:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Iš viso:
B 4 = b 1 q 3
Ir vėl verčiame į rusų kalbą: ketvirta terminas yra lygus pirmajam nariui, padaugintam iš q in trečias laipsnį.
ir kt. Taigi kaip yra? Ar pagavote modelį? Taip! Bet kuriam terminui su bet kokiu skaičiumi lygių koeficientų q skaičius (t. y. vardiklio galia) visada bus vienu mažiau nei pageidaujamo nario skaičiusn.
Todėl mūsų formulė be parinkčių bus tokia:
b n =b 1 · q n -1
Tai viskas.)
Na, išspręskime problemas, ar ne?)
Užduočių sprendimas pagal formulęngeometrinės progresijos narys.
Pradėkime, kaip įprasta, nuo tiesioginio formulės taikymo. Čia yra tipiška problema:
Eksponentiškai žinoma, kad b 1 = 512 ir q = -1/2. Raskite dešimtąjį progresijos narį.
Žinoma, šią problemą galima išspręsti ir be jokių formulių. Visai kaip geometrinė progresija. Bet reikia apšilti su n-to termino formule, tiesa? Čia mes išsiskiriame.
Mūsų formulės taikymo duomenys yra tokie.
Pirmasis terminas žinomas. Tai 512.
b 1 = 512.
Taip pat žinomas progreso vardiklis: q = -1/2.
Belieka tik išsiaiškinti, kam yra lygus termino n skaičius. Jokiu problemu! Ar mus domina dešimtoji kadencija? Taigi bendrojoje formulėje vietoj n pakeičiame dešimt.
Ir atidžiai apskaičiuokite aritmetiką:
Atsakymas: -1
Kaip matote, dešimtasis progresijos terminas pasirodė su minusu. Nieko keisto: progresijos vardiklis yra -1/2, t.y. neigiamas numerį. Ir tai mums sako, kad mūsų progresavimo požymiai keičiasi, taip.)
Čia viskas paprasta. Ir čia yra panaši problema, tik šiek tiek sudėtingesnė skaičiavimų prasme.
Geometrinėje progresijoje žinome, kad:
b 1 = 3
Raskite tryliktąjį progresijos narį.
Viskas tas pats, tik šį kartą progreso vardiklis - neracionalus. Šaknis iš dviejų. Na, nieko didelio. Formulė yra universalus dalykas, ji susidoroja su bet kokiais skaičiais.
Dirbame tiesiogiai pagal formulę:
Formulė, žinoma, veikė taip, kaip turėtų, bet... štai kur kai kurie kabės. Ką toliau daryti su šaknimi? Kaip pakelti šaknį iki dvyliktos galios?
Kaip-kaip... Jūs turite suprasti, kad bet kokia formulė, žinoma, yra geras dalykas, tačiau visos ankstesnės matematikos žinios nėra atšauktos! Kaip pakelti? Taip, atsiminkite laipsnių savybes! Pakeiskime šaknį į trupmeninis laipsnis ir – galios pakėlimo į galią formule.
Kaip šitas:
Atsakymas: 192
Ir viskas.)
Koks yra pagrindinis sunkumas tiesiogiai taikant n-ojo termino formulę? Taip! Pagrindinis sunkumas yra dirbti su laipsniais! Būtent neigiamų skaičių, trupmenų, šaknų ir panašių konstrukcijų eksponencija. Taigi tiems, kurie turi problemų su tuo, skubus prašymas pakartoti laipsnius ir jų savybes! Priešingu atveju jūs sulėtėsite šioje temoje, taip ...)
Dabar išspręskime įprastas paieškos problemas vienas iš formulės elementų jei visi kiti duoti. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, receptas yra vienas ir paprastas iki siaubo - parašyti formulęnnarys apskritai! Tiesiai sąsiuvinyje prie būklės. Ir tada iš sąlygos išsiaiškiname, kas mums duota, o ko nepakanka. O norimą reikšmę išreiškiame iš formulės. Viskas!
Pavyzdžiui, tokia nekenksminga problema.
Penktasis geometrinės progresijos narys, kurio vardiklis yra 3, yra 567. Raskite pirmąjį šios progresijos narį.
Nieko sudėtingo. Dirbame tiesiogiai pagal burtažodį.
Rašome n-ojo nario formulę!
b n = b 1 · q n -1
Kas mums duota? Pirma, pateikiamas progreso vardiklis: q = 3.
Be to, mums duota penktas narys: b 5 = 567 .
Viskas? Ne! Mums taip pat duotas skaičius n! Tai yra penketukas: n = 5.
Tikiuosi, jau supratote, kas yra įraše b 5 = 567 du parametrai yra paslėpti vienu metu - tai pats penktasis narys (567) ir jo skaičius (5). Panašioje pamokoje apie tai jau kalbėjau, bet manau, kad tai nėra nereikalinga čia priminti.)
Dabar mes pakeičiame savo duomenis į formulę:
567 = b 1 3 5-1
Mes svarstome aritmetiką, supaprastiname ir gauname paprastą tiesinę lygtį:
81 b 1 = 567
Mes išsprendžiame ir gauname:
b 1 = 7
Kaip matote, ieškant pirmojo nario problemų nėra. Tačiau ieškant vardiklio q ir skaičiai n gali būti netikėtumų. Ir jūs taip pat turite būti pasirengę jiems (staigmenoms), taip.)
Pavyzdžiui, tokia problema:
Penktasis geometrinės progresijos narys su teigiamu vardikliu yra 162, o pirmasis šios progresijos narys yra 2. Raskite progresijos vardiklį.
Šį kartą mums suteikiamas pirmasis ir penktasis nariai ir prašoma surasti progreso vardiklį. Štai ir pradedame.
Rašome formulęnnarys!
b n = b 1 · q n -1
Mūsų pradiniai duomenys bus tokie:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nepakanka vertės q. Jokiu problemu! Suraskime dabar.) Viską, ką žinome, pakeičiame į formulę.
Mes gauname:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Paprasta ketvirto laipsnio lygtis. Bet dabar - atsargiai!Šiame sprendimo etape daugelis studentų iš karto džiaugsmingai ištraukia šaknį (ketvirtojo laipsnio) ir gauna atsakymą q=3 .
Kaip šitas:
4 k. = 81
q = 3
Tačiau apskritai tai yra nebaigtas atsakymas. O tiksliau, nepilnas. Kodėl? Esmė ta, kad atsakymas q = -3 taip pat tinka: (-3) 4 taip pat būtų 81!
Taip yra dėl galios lygties x n = a visada turi dvi priešingos šaknys adresu netn . Pliusas ir minusas:
Abu tinka.
Pavyzdžiui, sprendžiant (t.y. antra laipsniai)
x2 = 9
Kažkodėl nesistebi pamatęs dušaknys x=±3? Čia tas pats. Ir su bet kuriuo kitu net laipsnis (ketvirtas, šeštas, dešimtas ir kt.) bus toks pat. Detalės – temoje apie
Taigi teisingas sprendimas būtų:
q 4 = 81
q= ±3
Gerai, mes išsiaiškinome ženklus. Kuris teisingas – pliusas ar minusas? Na, ieškodami dar kartą perskaitėme problemos sąlygą Papildoma informacija.Žinoma, jos gali ir nebūti, tačiau šioje problemoje tokia informacija prieinama. Mūsų būsenoje tiesiogiai nurodoma, kad progresija suteikiama su teigiamas vardiklis.
Taigi atsakymas akivaizdus:
q = 3
Čia viskas paprasta. Kaip manote, kas nutiktų, jei problemos teiginys būtų toks:
Penktasis geometrinės progresijos narys yra 162, o pirmasis šios progresijos narys yra 2. Raskite progresijos vardiklį.
Koks skirtumas? Taip! Būklė nieko vardiklio neužsimenama. Nei tiesiogiai, nei netiesiogiai. Ir čia jau būtų problema du sprendimai!
q = 3 Ir q = -3
Taip taip! Ir su pliusu ir minusu.) Matematiškai šis faktas reikštų, kad yra dvi progresijos kurie atitinka užduotį. Ir kiekvienam – savo vardiklį. Kad būtų smagu, praktikuokite ir užsirašykite pirmuosius penkis kiekvieno termino terminus.)
Dabar pasitreniruokime ieškant nario numerio. Tai yra sunkiausia, taip. Bet ir kūrybiškesnis.
Pateikta geometrinė progresija:
3; 6; 12; 24; …
Koks skaičius yra 768 šioje progresijoje?
Pirmasis žingsnis yra tas pats: parašyti formulęnnarys!
b n = b 1 · q n -1
Ir dabar, kaip įprasta, į jį pakeičiame mums žinomus duomenis. Hm... netinka! Kur pirmasis narys, kur vardiklis, kur visa kita?!
Kur, kur... Kam mums reikalingos akys? Plečiančios blakstienos? Šį kartą progresas mums pateikiamas tiesiogiai formoje sekos. Ar galime pamatyti pirmąjį terminą? Mes matome! Tai trigubas (b 1 = 3). O vardiklis? Kol kas nematome, bet suskaičiuoti labai paprasta. Jei, žinoma, supranti.
Čia mes svarstome. Tiesiogiai pagal geometrinės progresijos reikšmę: paimame bet kurį jos narį (išskyrus pirmąjį) ir padalijame iš ankstesnio.
Bent jau taip:
q = 24/12 = 2
Ką dar žinome? Taip pat žinome tam tikrą šios progresijos narį, lygų 768. Pagal tam tikrą skaičių n:
b n = 768
Mes nežinome jo numerio, bet mūsų užduotis yra būtent jį surasti.) Taigi mes ieškome. Mes jau atsisiuntėme visus reikiamus duomenis pakeitimui į formulę. Nepastebimai.)
Čia mes pakeičiame:
768 = 3 2n -1
Darome elementarius - abi dalis dalijame iš trijų ir perrašome lygtį įprasta forma: nežinomasis kairėje, žinomas dešinėje.
Mes gauname:
2 n -1 = 256
Štai įdomi lygtis. Turime rasti „n“. Kas neįprasta? Taip, aš nesiginčiju. Tiesą sakant, tai yra paprasčiausia. Jis taip vadinamas, nes nežinomas (šiuo atveju tai yra skaičius n) stovi indikatorius laipsnį.
Susipažinimo su geometrine progresija stadijoje (tai devinta klasė) eksponentinės lygtys nemokamos spręsti, taip... Tai gimnazijos tema. Bet nieko baisaus. Net jei nežinote, kaip tokios lygtys išsprendžiamos, pabandykime surasti mūsų n vadovaujasi paprasta logika ir sveiku protu.
Pradedame diskutuoti. Kairėje pusėje turime deuce iki tam tikro laipsnio. Mes dar nežinome, kas tiksliai yra šis laipsnis, bet tai nėra baisu. Tačiau, kita vertus, mes tvirtai žinome, kad šis laipsnis yra lygus 256! Taigi mes prisimename, kiek dvikova mums suteikia 256. Prisimeni? Taip! IN aštuntasis laipsnių!
256 = 2 8
Jei neprisiminėte arba neatpažinote problemos laipsnių, tai taip pat gerai: mes tiesiog paeiliui keliame du į kvadratą, į kubą, į ketvirtą laipsnį, penktą ir pan. Tiesą sakant, pasirinkimas, bet šiuo lygiu, yra gana sudėtingas.
Vienaip ar kitaip gausime:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Taigi 768 yra devintas mūsų progreso narys. Štai viskas, problema išspręsta.)
Atsakymas: 9
Ką? Nuobodu? Pavargote nuo elementarių dalykų? Sutinku. Aš taip pat. Pereikime į kitą lygį.)
Sudėtingesnės užduotys.
O dabar galvosūkius sprendžiame staigiau. Ne itin šaunu, bet reikia šiek tiek padirbėti, kad gautumėte atsakymą.
Pavyzdžiui, šitaip.
Raskite antrąjį geometrinės progresijos narį, jei jos ketvirtasis narys yra -24, o septintasis narys yra 192.
Tai žanro klasika. Yra žinomi du skirtingi progreso nariai, tačiau reikia rasti dar vieną narį. Be to, visi nariai NĖRA kaimynai. Kas iš pradžių glumina, taip...
Kaip ir , mes svarstome du tokių problemų sprendimo būdus. Pirmasis būdas yra universalus. Algebrinė. Nepriekaištingai veikia su bet kokiais šaltinio duomenimis. Taigi nuo to ir pradėsime.)
Kiekvieną terminą dažome pagal formulę nnarys!
Viskas lygiai taip pat, kaip ir su aritmetine progresija. Tik šį kartą dirbame su kitas bendroji formulė. Tai viskas.) Bet esmė ta pati: imame ir savo ruožtu savo pradinius duomenis pakeičiame n-ojo nario formule. Kiekvienam nariui – savo.
Ketvirtajam terminui rašome:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Yra. Viena lygtis baigta.
Septintam terminui rašome:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Iš viso gautos dvi lygtys ta pati progresija .
Iš jų surenkame sistemą:
Nepaisant nuostabios išvaizdos, sistema yra gana paprasta. Akivaizdžiausias sprendimo būdas yra įprastas pakeitimas. Mes išreiškiame b 1 iš viršutinės lygties ir pakeiskite į apatinę:
Šiek tiek varginus su žemesne lygtimi (sumažinus eksponentus ir padalinus iš -24) gaunama:
q 3 = -8
Beje, tą pačią lygtį galima pasiekti paprastesniu būdu! Ką? Dabar aš jums parodysiu dar vieną slaptą, bet labai gražų, galingą ir naudingą būdą tokioms sistemoms išspręsti. Tokios sistemos, kurių lygtyse jie sėdi tik veikia. Bent jau viename. paskambino termino padalijimo metodas viena lygtis su kita.
Taigi mes turime tokią sistemą:
Abiejose lygtyse kairėje - dirbti, o dešinėje yra tik skaičius. Tai labai geras ženklas.) Paimkime ir... padalinkime, tarkime, apatinę lygtį iš viršutinės! Ką reiškia, padalinti vieną lygtį iš kitos? Labai paprasta. Mes imame kairė pusė viena lygtis (žemesnė) ir dalinamės ji ant kairė pusė kita lygtis (viršutinė). Dešinė pusė panaši: dešinioji pusė viena lygtis dalinamės ant dešinioji pusė kitas.
Visas padalijimo procesas atrodo taip:
Dabar, sumažinę viską, kas sumažinta, gauname:
q 3 = -8
Kuo šis metodas yra geras? Taip, nes tokio padalijimo procese viską, kas bloga ir nepatogu, galima saugiai sumažinti ir lieka visiškai nekenksminga lygtis! Štai kodėl taip svarbu turėti tik daugyba bent vienoje iš sistemos lygčių. Nėra daugybos – nėra ką mažinti, taip...
Apskritai šis metodas (kaip ir daugelis kitų nebanalių sistemų sprendimo būdų) nusipelno net atskiros pamokos. Tikrai pažiūrėsiu atidžiau. Kažkada…
Tačiau nesvarbu, kaip išspręsite sistemą, bet kuriuo atveju dabar turime išspręsti gautą lygtį:
q 3 = -8
Jokių problemų: ištraukiame šaknį (kubinį) ir - padaryta!
Atkreipkite dėmesį, kad ištraukiant čia nereikia dėti pliuso / minuso. Mes turime nelyginę (trečiojo) laipsnio šaknį. Ir atsakymas yra tas pats, taip.
Taigi, rastas progresijos vardiklis. Minus du. gerai! Procesas vyksta.)
Pirmajam terminui (tarkim iš viršutinės lygties) gauname:
gerai! Žinome pirmąjį terminą, žinome vardiklį. Ir dabar turime galimybę rasti bet kurį progreso narį. Įskaitant antrąjį.)
Antram nariui viskas gana paprasta:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Atsakymas: -6
Taigi, mes sutvarkėme algebrinį problemos sprendimo būdą. Sunku? Nedaug, sutinku. Ilgai ir nuobodžiai? Taip, būtinai. Tačiau kartais galite žymiai sumažinti darbo kiekį. Tam yra grafiniu būdu. Senas geras ir mums pažįstamas.)
Nubrėžkime problemą!
Taip! Būtent. Vėlgi, mes pavaizduojame savo progresą skaičių ašyje. Nebūtinai liniuote, nebūtina išlaikyti vienodų intervalų tarp narių (kurie, beje, nebus vienodi, nes progresija yra geometrinė!), Bet tiesiog schematiškai nubrėžkite mūsų seką.
Gavau taip:
Dabar pažiūrėkite į paveikslėlį ir pagalvokite. Kiek vienodų koeficientų „q“ dalijasi ketvirta Ir septintoji nariai? Teisingai, trys!
Todėl mes turime visas teises rašyti:
-24q 3 = 192
Iš čia dabar lengva rasti q:
q 3 = -8
q = -2
Puiku, vardiklis jau kišenėje. O dabar dar kartą pažiūrime į paveikslėlį: kiek tarp tokių vardiklių yra antra Ir ketvirta nariai? Du! Todėl norėdami užfiksuoti ryšį tarp šių narių, pakelsime vardiklį kvadratu.
Čia rašome:
b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2
Mes pakeisime savo rastą vardiklį į b 2 išraišką, suskaičiuojame ir gauname:
Atsakymas: -6
Kaip matote, viskas yra daug paprasčiau ir greičiau nei per sistemą. Be to, čia mums net nereikėjo skaičiuoti pirmos kadencijos! Iš viso.)
Štai toks paprastas ir vizualus būdas-šviesa. Tačiau jis taip pat turi rimtą trūkumą. Atspėjote? Taip! Tai tinka tik labai trumpiems progreso gabalams. Tokių, kur atstumai tarp mus dominančių narių nėra labai dideli. Bet visais kitais atvejais jau sunku nupiešti paveikslą, taip... Tada problemą sprendžiame analitiškai, per sistemą.) O sistemos yra universalus dalykas. Susitvarkykite su bet kokiu numeriu.
Dar vienas epinis:
Antrasis geometrinės progresijos narys yra 10 daugiau nei pirmasis, o trečiasis narys yra 30 didesnis nei antrasis. Raskite progresijos vardiklį.
Kas puiku? Visai ne! Visi vienodi. Uždavinio sąlygą vėl paverčiame grynąja algebra.
1) Kiekvieną terminą nudažome pagal formulę nnarys!
Antrasis narys: b 2 = b 1 q
Trečias terminas: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Užrašome narių santykius iš problemos sąlygos.
Skaitant sąlygą: "Antrasis geometrinės progresijos narys yra 10 daugiau nei pirmasis." Sustok, tai vertinga!
Taigi rašome:
b 2 = b 1 +10
Ir mes verčiame šią frazę į gryną matematiką:
b 3 = b 2 +30
Gavome dvi lygtis. Sujungiame juos į sistemą:
Sistema atrodo paprasta. Tačiau yra daugybė skirtingų raidžių indeksų. Vietoj antrojo ir trečiojo jų išraiškos narių pakeiskime pirmąjį narį ir vardiklį! Veltui, ar ką, mes juos dažėme?
Mes gauname:
Bet tokia sistema nebėra dovana, taip... Kaip tai išspręsti? Deja, universalus slaptas rašybos išspręsti sudėtingas nelinijinis Matematikoje sistemų nėra ir negali būti. Tai fantastiška! Tačiau pirmas dalykas, kuris turėtų ateiti į galvą bandant sulaužyti tokį kietą riešutą, yra išsiaiškinti Bet ar viena iš sistemos lygčių nėra redukuota į gražią formą, kuri palengvina, pavyzdžiui, vieną iš kintamųjų išreikšti kitu?
Spėkime. Pirmoji sistemos lygtis yra aiškiai paprastesnė už antrąją. Mes jį kankinsime.) Kodėl nepabandžius iš pirmos lygties kažkas išreikšti per kažkas? Kadangi norime rasti vardiklį q, tada mums būtų naudingiausia išreikšti b 1 skersai q.
Taigi pabandykime atlikti šią procedūrą su pirmąja lygtimi, naudodami senas geras:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Viskas! Čia mes išreiškėme nereikalingas mums kintamąjį (b 1) per būtina(q). Taip, ne pati paprasčiausia išraiška. Kažkokia trupmena... Bet mūsų sistema yra tinkamo lygio, taip.)
Tipiškas. Ką daryti – žinome.
Rašome ODZ (būtinai!) :
q ≠ 1
Viską padauginame iš vardiklio (q-1) ir sumažiname visas trupmenas:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Viską padaliname iš dešimties, atidarome skliaustus, surenkame viską kairėje:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Išsprendžiame gautą rezultatą ir gauname dvi šaknis:
q 1 = 1
q 2 = 3
Yra tik vienas galutinis atsakymas: q = 3 .
Atsakymas: 3
Kaip matote, daugelio geometrinės progresijos n-ojo nario formulės uždavinių sprendimas visada yra tas pats: skaitome atsargiai uždavinio sąlygą ir, naudodami n-ojo nario formulę, visą naudingą informaciją paverčiame grynąja algebra.
Būtent:
1) Rašome atskirai kiekvieną užduotyje pateiktą narį pagal formulęnnarys.
2) Iš uždavinio sąlygos ryšį tarp narių verčiame į matematinę formą. Sudarome lygtį arba lygčių sistemą.
3) Išsprendžiame gautą lygtį arba lygčių sistemą, randame nežinomus progresijos parametrus.
4) Dviprasmiško atsakymo atveju atidžiai perskaitome problemos sąlygą, ieškodami papildomos informacijos (jei yra). Taip pat patikriname gautą atsakymą su ODZ sąlygomis (jei yra).
O dabar išvardijame pagrindines problemas, kurios dažniausiai sukelia klaidas sprendžiant geometrinės progresijos uždavinius.
1. Elementarioji aritmetika. Veiksmai su trupmenomis ir neigiamais skaičiais.
2. Jei bent vienas iš šių trijų punktų yra problema, tuomet šioje temoje neišvengiamai klysite. Deja... Tad nepatingėkite ir pakartokite tai, kas buvo minėta aukščiau. Ir sekite nuorodas – pirmyn. Kartais tai padeda.)
Modifikuotos ir pasikartojančios formulės.
O dabar pažvelkime į keletą tipiškų egzamino problemų su mažiau pažįstamu būsenos pristatymu. Taip, taip, jūs atspėjote! Tai modifikuotas Ir pasikartojantis n-ojo nario formules. Mes jau susidūrėme su tokiomis formulėmis ir dirbome aritmetine progresija. Čia viskas panašiai. Esmė ta pati.
Pavyzdžiui, tokia problema iš OGE:
Geometrinė progresija pateikiama pagal formulę b n = 32 n . Raskite pirmojo ir ketvirtojo narių sumą.
Šį kartą progresas mums duotas ne visai kaip įprastai. Kažkokia formulė. Tai kas? Ši formulė yra taip pat formulėnnarys! Visi žinome, kad n-ojo nario formulę galima parašyti ir bendra forma, ir raidėmis, ir už specifinė progresija. NUO specifinis pirmasis terminas ir vardiklis.
Mūsų atveju mums iš tikrųjų yra suteikta bendroji geometrinės progresijos termino formulė su šiais parametrais:
b 1 = 6
q = 2
Patikrinkime?) Parašykime n-ojo nario formulę bendra forma ir pakeiskime į ją b 1 Ir q. Mes gauname:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Mes supaprastiname, naudodami faktorizavimo ir galios savybes, ir gauname:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n
Kaip matote, viskas yra sąžininga. Tačiau mūsų tikslas su jumis nėra parodyti konkrečios formulės išvedimą. Taip yra, lyrinis nukrypimas. Grynai dėl supratimo.) Mūsų tikslas yra išspręsti problemą pagal formulę, kuri mums pateikta sąlygoje. Ar supratote?) Taigi mes dirbame tiesiogiai su pakeista formule.
Skaičiuojame pirmą terminą. Pakaitalas n=1 į bendrą formulę:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Kaip šitas. Beje, aš netingiu ir dar kartą atkreipsiu jūsų dėmesį į tipišką klaidą skaičiuojant pirmą terminą. NEŽIŪRĖKITE į formulę b n= 32n, tuoj pat skubėk rašyti, kad pirmasis narys yra trejetas! Tai didelė klaida, taip...)
Mes tęsiame. Pakaitalas n=4 ir apsvarstykite ketvirtą terminą:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Ir galiausiai apskaičiuojame reikiamą sumą:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Atsakymas: 54
Kita problema.
Geometrinė progresija nustatoma pagal sąlygas:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Raskite ketvirtąjį progresijos narį.
Čia progresija pateikiama pasikartojimo formule. Na, gerai.) Kaip dirbti su šia formule - mes taip pat žinome.
Čia mes veikiame. Žingsnis po žingsnio.
1) skaičiuojant du paeiliui progresijos narys.
Pirmas terminas mums jau suteiktas. Minus septyni. Tačiau kitą, antrąjį terminą galima nesunkiai apskaičiuoti naudojant rekursinę formulę. Jei suprantate, kaip tai veikia, žinoma.)
Čia mes svarstome antrąjį terminą pagal garsųjį pirmąjį:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Svarstome progresijos vardiklį
Taip pat jokių problemų. Tiesiai, dalinkitės antra vargti Pirmas.
Mes gauname:
q = -21/(-7) = 3
3) Parašykite formulęnnarį įprasta forma ir apsvarstykite norimą narį.
Taigi, mes žinome pirmąjį terminą, taip pat vardiklį. Čia rašome:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Atsakymas: -189
Kaip matote, darbas su tokiomis geometrinės progresijos formulėmis iš esmės nesiskiria nuo aritmetinės progresijos. Tik svarbu suprasti bendrą šių formulių esmę ir prasmę. Na, geometrinės progresijos reikšmę irgi reikia suprasti, taip.) Ir tada nebus kvailų klaidų.
Na, spręskime patys?)
Gana elementarios užduotys apšilimui:
1. Duota geometrinė progresija, kurioje b 1 = 243 ir q = -2/3. Raskite šeštąjį progresijos narį.
2. Bendrasis geometrinės progresijos narys pateikiamas formule b n = 5∙2 n +1 . Raskite šios progresijos paskutinio triženklio nario numerį.
3. Geometrinė progresija pateikiama pagal sąlygas:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Raskite penktąjį progresijos narį.
Šiek tiek sudėtingiau:
4. Pateikta geometrinė progresija:
b 1 =2048; q =-0,5
Koks yra šeštasis neigiamas jo terminas?
Kas atrodo labai sunku? Visai ne. Išgelbės logika ir geometrinės progresijos reikšmės supratimas. Na, žinoma, n-to termino formulė.
5. Trečiasis geometrinės progresijos narys yra -14, o aštuntasis narys yra 112. Raskite progresijos vardiklį.
6. Geometrinės progresijos pirmojo ir antrojo narių suma lygi 75, o antrojo ir trečiojo narių suma lygi 150. Raskite šeštąjį progresijos narį.
Atsakymai (netvarkingai): 6; -3888; - vienas; 800; -32; 448.
Tai beveik viskas. Belieka tik išmokti skaičiuoti geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma taip atrasti be galo mažėjanti geometrinė progresija ir jo suma. Beje, labai įdomus ir neįprastas dalykas! Daugiau apie tai vėlesnėse pamokose.)
Geometrinė progresija ne mažiau svarbus matematikoje nei aritmetikoje. Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina progresavimo augimo ar mažėjimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti
Norint visiškai priskirti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir monotoniškai didėja kada. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus
Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę
Panagrinėkime klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausio suprantamo.
1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.
Sprendimas: Formoje įrašome uždavinio sąlygą
Skaičiavimams naudojame n-ojo geometrinės progresijos nario formulę
Remdamiesi juo, randame nežinomus progresijos narius
Kaip matote, geometrinės progresijos terminus apskaičiuoti nėra sunku. Pati progresija atrodys taip
2 pavyzdys. Pateikiami pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir septintą narį.
Sprendimas: apskaičiuojame geometrinės progresijos vardiklį pagal jo apibrėžimą
Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę
Ši užduotis išspręsta.
3 pavyzdys. Geometrinę progresiją pateikia du jos nariai 
. Raskite dešimtąjį progresijos narį.
Sprendimas:
Pateiktas reikšmes užrašykime per formules
Pagal taisykles reiktų rasti vardiklį, o tada ieškoti norimos reikšmės, bet dešimtam kadencijai turime
Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos kadenciją padaliname iš kitos, kaip rezultatas, gauname
Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą
Taigi, tokioms problemoms greitai, paprastų transformacijų pagalba galite rasti tinkamą sprendimą.
4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis
Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.
Sprendimas:
Pateiktus duomenis užrašome lygčių sistemos forma
Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios
Raskite pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties
Apskaičiuokite šiuos penkis terminus, kad surastumėte geometrinės progresijos sumą
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausią šaltinį
Skaitmeninė seka
Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:
Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.
Pavyzdžiui, mūsų sekai:
Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.
Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .
Mūsų atveju:
Labiausiai paplitę progresijos tipai yra aritmetiniai ir geometriniai. Šioje temoje kalbėsime apie antrą rūšį - geometrinė progresija.
Kodėl mums reikia geometrinės progresijos ir jos istorijos.
Net senovėje italų matematikas, vienuolis Leonardo iš Pizos (geriau žinomas kaip Fibonacci), sprendė praktinius prekybos poreikius. Vienuolis susidūrė su užduotimi nustatyti, koks yra mažiausias svarelių skaičius, kuriuo galima sverti prekes? Savo raštais Fibonačis įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: Tai viena pirmųjų situacijų, kai žmonėms teko susidurti su geometrine progresija, apie kurią tikriausiai girdėjote ir bent bendrai įsivaizduojate. Kai visiškai suprasite temą, pagalvokite, kodėl tokia sistema yra optimali?
Šiuo metu gyvenimo praktikoje, investuojant pinigus į banką, pasireiškia geometrinė progresija, kai už praėjusį laikotarpį sąskaitoje sukauptą sumą nuskaičiuojamos palūkanos. Kitaip tariant, jei įdėsite pinigus į terminuotąjį indėlį į taupomąjį kasą, tai per metus indėlis padidės nuo pradinės sumos, t.y. nauja suma bus lygi įnašui, padaugintam iš. Kitais metais ši suma padidės, t.y. tuo metu gauta suma vėl dauginama iš ir pan. Panaši situacija aprašoma skaičiavimo problemose vadinamosiose sudėtinės palūkanos- procentas kiekvieną kartą imamas nuo sumos, kuri yra sąskaitoje, atsižvelgiant į ankstesnes palūkanas. Apie šias užduotis pakalbėsime šiek tiek vėliau.
Yra daug daugiau paprastų atvejų, kai taikoma geometrinė progresija. Pavyzdžiui, gripo plitimas: vienas žmogus užkrėtė žmogų, jie savo ruožtu užkrėtė kitą žmogų, taigi ir antroji užsikrėtimo banga – žmogų, o jie savo ruožtu užkrėtė kitą... ir taip toliau. .
Beje, finansinė piramidė, ta pati MMM, yra paprastas ir sausas skaičiavimas pagal geometrinės progresijos savybes. Įdomus? Išsiaiškinkime.
Geometrinė progresija.
Tarkime, kad turime skaičių seką:
Iš karto atsakysite, kad tai lengva ir tokios sekos pavadinimas yra su jos narių skirtumu. O kaip kažkas panašaus:
Jei atimsite ankstesnį skaičių iš kito skaičiaus, pamatysite, kad kiekvieną kartą gausite naują skirtumą (ir pan.), tačiau seka tikrai egzistuoja ir ją lengva pastebėti – kiekvienas kitas skaičius yra kelis kartus didesnis už ankstesnį!
Šis sekos tipas vadinamas geometrinė progresija ir yra pažymėtas.
Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Apribojimai, kad pirmasis narys ( ) nėra lygus ir nėra atsitiktiniai. Tarkime, kad jų nėra, o pirmasis narys vis tiek yra lygus, o q yra, hmm .. tegul, tada paaiškėja:
Sutikite, kad tai nėra progresas.
Kaip suprantate, gausime tuos pačius rezultatus, jei tai yra bet koks skaičius, išskyrus nulį, bet. Tokiais atvejais progreso tiesiog nebus, nes visa skaičių serija bus arba visi nuliai, arba vienas skaičius, o visi likę nuliai.
Dabar pakalbėkime išsamiau apie geometrinės progresijos vardiklį, tai yra, apie.
Pakartokime: - tai skaičius, kiek kartų keičiasi kiekvienas paskesnis terminas geometrinė progresija.
Kaip manai, kas tai galėtų būti? Tai tiesa, teigiama ir neigiama, bet ne nulis (apie tai kalbėjome šiek tiek aukščiau).
Tarkime, turime teigiamą. Tegul mūsų atveju a. Kas yra antrasis terminas ir? Galite lengvai atsakyti:
Gerai. Atitinkamai, jei, tada visi paskesni progresavimo nariai turi tą patį ženklą - jie teigiamas.
O jei tai neigiama? Pavyzdžiui, a. Kas yra antrasis terminas ir?
Tai visiškai kitokia istorija
Pabandykite suskaičiuoti šios progresijos terminą. Kiek gavai? Aš turiu. Taigi, jei, tada geometrinės progresijos narių ženklai pakaitomis. Tai yra, jei matote progresą su kintamaisiais ženklais jos nariuose, tada jo vardiklis yra neigiamas. Šios žinios gali padėti išbandyti save sprendžiant problemas šia tema.
Dabar šiek tiek pasitreniruokime: pabandykite nustatyti, kurios skaitinės sekos yra geometrinė, o kurios – aritmetinė:
Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:
- Geometrinė progresija – 3, 6.
- Aritmetinė progresija – 2, 4.
- Tai nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija – 1, 5, 7.
Grįžkime prie paskutinės progresijos ir pabandykime rasti jos terminą taip pat, kaip ir aritmetikoje. Kaip jau spėjote, yra du būdai jį rasti.
Kiekvieną terminą paeiliui padauginame iš.
Taigi aprašytos geometrinės progresijos --asis narys yra lygus.
Kaip jau spėjote, dabar jūs patys išvesite formulę, kuri padės rasti bet kurį geometrinės progresijos narį. O gal jau iškėlėte tai sau, aprašydami, kaip etapais rasti antrąjį narį? Jei taip, patikrinkite savo samprotavimų teisingumą.
Paaiškinkime tai pavyzdžiu, kaip rasti --ąjį šios progresijos narį:
Kitaip tariant:
Raskite tam tikros geometrinės progresijos nario vertę.
Įvyko? Palyginkite mūsų atsakymus:
Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai padauginome iš kiekvieno ankstesnio geometrinės progresijos nario.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – suformuluosime ją į bendrą formą ir gausime:
Išvestinė formulė tinka visoms reikšmėms - tiek teigiamoms, tiek neigiamoms. Patikrinkite patys, apskaičiuodami geometrinės progresijos sąlygas su šiomis sąlygomis: , a.
Ar skaičiavai? Palyginkime rezultatus:
Sutikite, kad progresijos narį būtų galima rasti taip pat, kaip ir narį, tačiau yra galimybė klaidingai paskaičiuoti. Ir jei jau radome geometrinės progresijos a-tąjį narį, kas gali būti lengviau nei naudoti „sutrumpintą“ formulės dalį.
Be galo mažėjanti geometrinė progresija.
Visai neseniai kalbėjome apie tai, kas gali būti didesnė arba mažesnė už nulį, tačiau yra specialių verčių, kurioms vadinama geometrinė progresija. be galo mažėja.
Kaip manai, kodėl jis turi tokį pavadinimą?
Pirmiausia užsirašykime geometrinę progresiją, kurią sudaro nariai.
Tarkime, tada:
Matome, kad kiekvienas paskesnis terminas yra mažesnis už ankstesnį kartą, bet ar bus koks nors skaičius? Iš karto atsakai – „ne“. Štai kodėl be galo mažėjantis – mažėja, mažėja, bet niekada netampa nuliu.
Norėdami aiškiai suprasti, kaip tai atrodo vizualiai, pabandykime nubraižyti savo progreso grafiką. Taigi mūsų atveju formulė yra tokia:
Diagramose esame įpratę kurti priklausomybę nuo:
Išraiškos esmė nepasikeitė: pirmajame įraše parodėme geometrinės progresijos nario reikšmės priklausomybę nuo eilės skaičiaus, o antrame įraše tiesiog paėmėme geometrinės progresijos nario reikšmę, ir eilės numeris buvo nurodytas ne kaip, o kaip. Belieka nubraižyti grafiką.
Pažiūrėkime, ką gavai. Štai diagramą, kurią gavau:
Matyti? Funkcija mažėja, linkusi į nulį, bet niekada jos nekerta, todėl be galo mažėja. Pažymėkime savo taškus grafike ir tuo pačiu ką reiškia koordinatė ir:
Pabandykite schematiškai pavaizduoti geometrinės progresijos grafiką, jei jo pirmasis narys taip pat lygus. Išanalizuokite, kuo skiriasi ankstesnė diagrama?
Ar susitvarkei? Štai diagramą, kurią gavau:
Dabar, kai visiškai supratote geometrinės progresijos temos pagrindus: žinote, kas tai yra, žinote, kaip rasti jos terminą, taip pat žinote, kas yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, pereikime prie pagrindinės jos savybės.
geometrinės progresijos savybė.
Ar prisimenate aritmetinės progresijos narių savybę? Taip, taip, kaip rasti tam tikro progresijos skaičiaus reikšmę, kai yra ankstesnės ir vėlesnės šios progresijos narių reikšmės. Prisiminėte? Tai:
Dabar susiduriame su lygiai tuo pačiu klausimu dėl geometrinės progresijos sąlygų. Norėdami gauti tokią formulę, pradėkime piešti ir samprotauti. Pamatysi, tai labai lengva, o jei pamirši, galėsi ir pats išsinešti.
Paimkime dar vieną paprastą geometrinę progresiją, kurioje žinome ir. Kaip rasti? Su aritmetine progresija tai lengva ir paprasta, bet kaip čia yra? Tiesą sakant, geometrijoje taip pat nėra nieko sudėtingo – tereikia nupiešti kiekvieną mums pateiktą reikšmę pagal formulę.
Klausiate, o ką dabar su tuo daryti? Taip, labai paprasta. Pirmiausia pavaizduokime šias formules paveiksle ir pabandykime su jomis atlikti įvairias manipuliacijas, kad gautume vertę.
Mes abstrahuojamės nuo mums pateiktų skaičių, sutelksime dėmesį tik į jų išraišką formule. Turime rasti oranžine spalva paryškintą reikšmę, žinodami šalia jos esančius terminus. Pabandykime su jais atlikti įvairius veiksmus, kurių pasekoje galime gauti.
Papildymas.
Pabandykime pridėti dvi išraiškas ir gausime:
Iš šios išraiškos, kaip matote, niekaip nepavyks išreikšti, todėl bandysime kitą variantą – atimtį.
Atimtis.
Kaip matote, iš to irgi negalime išreikšti, todėl pabandysime šiuos posakius padauginti vienas iš kito.
Daugyba.
Dabar atidžiai pažiūrėkite, ką turime, padaugindami mums pateiktos geometrinės progresijos terminus, palyginti su tuo, ką reikia rasti:
Atspėk apie ką aš kalbu? Teisingai, norėdami jį rasti, turime paimti kvadratinę šaknį iš geometrinės progresijos skaičių, esančių šalia norimo skaičiaus, padaugintų vieną iš kito:
Štai jums. Jūs pats išvedėte geometrinės progresijos savybę. Pabandykite parašyti šią formulę bendra forma. Įvyko?
Pamiršote būklę kada? Pagalvokite, kodėl tai svarbu, pavyzdžiui, pabandykite tai apskaičiuoti patys, adresu. Kas atsitinka šiuo atveju? Teisingai, visiška nesąmonė, nes formulė atrodo taip:
Todėl nepamirškite šio apribojimo.
Dabar paskaičiuokime, kas yra
Teisingas atsakymas - ! Jei skaičiuodami nepamiršote antrosios galimos reikšmės, tada esate puikus kolega ir galite iškart pereiti į mokymą, o jei pamiršote, perskaitykite, kas analizuojama žemiau ir atkreipkite dėmesį, kodėl atsakyme turi būti parašytos abi šaknys .
Nubraižykime abi savo geometrines progresijas – vieną su reikšme, o kitą su reikšme ir patikrinkime, ar abi turi teisę egzistuoti:
Norint patikrinti, ar tokia geometrinė progresija egzistuoja, ar ne, reikia išsiaiškinti, ar ji yra vienoda tarp visų jos pateiktų narių? Apskaičiuokite q pirmajam ir antrajam atvejui.
Sužinok, kodėl turime parašyti du atsakymus? Nes reikiamo termino ženklas priklauso nuo to, teigiamas ar neigiamas! Ir kadangi mes nežinome, kas tai yra, turime rašyti abu atsakymus su pliusu ir minusu.
Dabar, kai įsisavinote pagrindinius dalykus ir išvedėte geometrinės progresijos savybės formulę, suraskite, žinokite ir
Palyginkite savo atsakymus su teisingais:
Ką manote, o jei mums būtų pateiktos ne geometrinės progresijos narių reikšmės, esančios šalia norimo skaičiaus, o vienodu atstumu nuo jo. Pavyzdžiui, mums reikia rasti, ir duota ir. Ar šiuo atveju galime naudoti formulę, kurią išvedėme? Pabandykite patvirtinti arba paneigti šią galimybę tuo pačiu būdu, apibūdindami, iš ko susideda kiekviena reikšmė, kaip tai padarėte išvedant formulę nuo pat pradžių.
Ką tu gavai?
Dabar dar kartą atidžiai pažiūrėkite.
ir atitinkamai:
Iš to galime daryti išvadą, kad formulė veikia ne tik su kaimynais su norimais geometrinės progresijos nariais, bet ir su vienodu atstumu iš ko nariai ieško.
Taigi mūsų pradinė formulė tampa:
Tai yra, jei pirmuoju atveju taip sakėme, dabar sakome, kad jis gali būti lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui, kuris yra mažesnis. Svarbiausia, kad abu nurodyti skaičiai būtų vienodi.
Praktikuokite su konkrečiais pavyzdžiais, tik būkite labai atsargūs!
- , . Rasti.
- , . Rasti.
- , . Rasti.
Nusprendė? Tikiuosi, buvote labai dėmesingi ir pastebėjote nedidelį laimikį.
Mes lyginame rezultatus.
Pirmaisiais dviem atvejais ramiai taikome aukščiau pateiktą formulę ir gauname šias reikšmes:
Trečiuoju atveju, atidžiai apsvarstę mums duotų numerių eilės numerius, suprantame, kad jie nėra vienodai nutolę nuo mūsų ieškomo numerio: tai ankstesnis numeris, bet išimtas į vietą, todėl tai neįmanoma. taikyti formulę.
Kaip tai išspręsti? Iš tikrųjų tai nėra taip sunku, kaip atrodo! Užrašykime su jumis, iš ko susideda kiekvienas mums duotas skaičius ir norimas skaičius.
Taigi mes turime ir. Pažiūrėkime, ką galime su jais padaryti. Siūlau skirstytis. Mes gauname:
Mes pakeičiame savo duomenis į formulę:
Kitas žingsnis, kurį galime rasti - tam turime paimti gauto skaičiaus kubo šaknį.
Dabar dar kartą pažiūrėkime, ką turime. Turime, bet turime rasti, ir tai, savo ruožtu, yra lygi:
Radome visus skaičiavimui reikalingus duomenis. Pakeiskite formulę:
Mūsų atsakymas: .
Pabandykite patys išspręsti kitą problemą:
Duota: ,
Rasti:
Kiek gavai? Aš turiu - .
Kaip matote, iš tikrųjų jums reikia prisimink tik vieną formulę- . Visa kita galite be jokių sunkumų bet kuriuo metu atsiimti patys. Norėdami tai padaryti, tiesiog užrašykite paprasčiausią geometrinę progresiją ant popieriaus lapo ir užrašykite, kam pagal aukščiau pateiktą formulę yra lygus kiekvienas jos skaičius.
Geometrinės progresijos narių suma.
Dabar apsvarstykite formules, leidžiančias greitai apskaičiuoti geometrinės progresijos terminų sumą tam tikrame intervale:
Norėdami gauti baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulę, visas aukščiau pateiktos lygties dalis padauginame iš. Mes gauname:
Atidžiai pažiūrėkite: ką bendro turi paskutinės dvi formulės? Taip, pavyzdžiui, bendri nariai ir pan., išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį narį. Pabandykime atimti 1-ąją lygtį iš 2-osios. Ką tu gavai?
Dabar išreikškite geometrinės progresijos nario formulę ir pakeiskite gautą išraišką paskutine formule:
Grupuokite išraišką. Turėtumėte gauti:
Viskas, ką reikia padaryti, tai išreikšti:
Atitinkamai, šiuo atveju.
Kas, jeigu? Kokia formulė tada veikia? Įsivaizduokite geometrinę progresiją ties. Kokia ji? Teisingai identiškų skaičių serija, atitinkamai, formulė atrodys taip:
Kaip ir su aritmetine ir geometrine progresija, yra daug legendų. Viena jų – legenda apie Setą, šachmatų kūrėją.
Daugelis žmonių žino, kad šachmatų žaidimas buvo išrastas Indijoje. Kai induistų karalius ją sutiko, jis džiaugėsi jos sąmoju ir galimų joje pozicijų įvairove. Sužinojęs, kad jį sugalvojo vienas iš jo pavaldinių, karalius nusprendė jam asmeniškai atlyginti. Jis pasikvietė išradėją ir liepė jo prašyti, ko tik nori, pažadėdamas išpildyti net sumaniausią norą.
Seta paprašė laiko pagalvoti, o kai kitą dieną Seta pasirodė karaliui, jis nustebino karalių neprilygstamu savo prašymo kuklumu. Prašė kviečių grūdo pirmam šachmatų lentos langeliui, kviečių – antram, trečiam, ketvirtam ir t.t.
Karalius supyko ir išvijo Setą, sakydamas, kad tarno prašymas nevertas karališkojo dosnumo, tačiau pažadėjo, kad tarnas gaus savo grūdus už visas lentos ląsteles.
O dabar kyla klausimas: naudodamiesi geometrinės progresijos narių sumos formule apskaičiuokite, kiek grūdelių turėtų gauti Setas?
Pradėkime diskutuoti. Kadangi pagal sąlygą Setas prašė kviečio grūdo pirmai šachmatų lentos ląstelei, antrai, trečiai, ketvirtai ir t.t., matome, kad problema susijusi su geometrine progresija. Kas šiuo atveju yra lygu?
Teisingai.
Iš viso šachmatų lentos langelių. Atitinkamai,. Turime visus duomenis, belieka tik pakeisti formulę ir apskaičiuoti.
Norėdami bent apytiksliai pavaizduoti tam tikro skaičiaus „masteles“, transformuojame naudodami laipsnio savybes:
Žinoma, jei norite, galite paimti skaičiuotuvą ir paskaičiuoti, kokiu skaičiumi atsidursite, o jei ne, teks patikėti mano žodžiu: galutinė išraiškos reikšmė bus.
T.y:
kvintilijonas kvadrilijonas trilijonas milijardų milijonų tūkstančių tūkstančių.
Fuh) Jei norite įsivaizduoti šio skaičiaus milžinišką dydį, įvertinkite, kokio dydžio tvartas būtų reikalingas visam grūdų kiekiui sutalpinti.
Esant m tvarto aukščiui ir m pločiui, jo ilgis turėtų nusitęsti iki km, t.y. du kartus toliau nei nuo Žemės iki Saulės.
Jei karalius būtų stiprus matematikoje, jis galėtų pasiūlyti pačiam mokslininkui suskaičiuoti grūdus, nes norint suskaičiuoti milijoną grūdų, jam reikėtų bent paros nenuilstamo skaičiavimo, o atsižvelgiant į tai, kad reikia skaičiuoti kvintilijonus, grūdus tektų skaičiuoti visą gyvenimą.
O dabar išspręsime paprastą uždavinį dėl geometrinės progresijos narių sumos.
Vasya, 5 klasės mokinė, susirgo gripu, bet toliau lanko mokyklą. Kiekvieną dieną Vasya užkrečia du žmones, kurie savo ruožtu užkrečia dar du žmones ir pan. Tik vienas žmogus klasėje. Po kiek dienų visa klasė susirgs gripu?
Taigi pirmasis geometrinės progresijos narys yra Vasja, tai yra, žmogus. geometrinės progresijos narys, tai yra du žmonės, kuriuos jis užkrėtė pirmąją savo atvykimo dieną. Bendra pažangos narių suma lygi mokinių skaičiui 5A. Atitinkamai, mes kalbame apie progresą, kuriame:
Pakeiskime savo duomenis į geometrinės progresijos terminų sumos formulę:
Visa klasė susirgs per kelias dienas. Netikite formulėmis ir skaičiais? Pabandykite patys pavaizduoti mokinių „užsikrėtimą“. Įvyko? Pažiūrėkite, kaip man atrodo:
Paskaičiuokite patys, kiek dienų mokiniai susirgtų gripu, jei visi užkrėstų žmogų, o klasėje buvo žmogus.
Kokią vertę gavai? Paaiškėjo, kad po paros visi pradėjo sirgti.
Kaip matote, tokia užduotis ir jai skirtas piešinys primena piramidę, į kurią kiekviena sekanti „atneša“ naujų žmonių. Tačiau anksčiau ar vėliau ateina momentas, kai pastarasis negali nieko patraukti. Mūsų atveju, jei įsivaizduojame, kad klasė yra izoliuota, asmuo iš uždaro grandinę (). Taigi, jei asmuo būtų įtrauktas į finansinę piramidę, kurioje pinigai buvo duodami, jei atsineštumėte dar du dalyvius, tai asmuo (ar apskritai) niekam neatsivestų, atitinkamai prarastų viską, ką investavo į šią finansinę aferą. .
Viskas, kas buvo pasakyta aukščiau, reiškia mažėjančią arba didėjančią geometrinę progresiją, tačiau, kaip prisimenate, turime ypatingą rūšį – be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip apskaičiuoti jos narių sumą? Ir kodėl tokio tipo progresas turi tam tikrų savybių? Išsiaiškinkime tai kartu.
Taigi, pradedantiesiems, dar kartą pažvelkime į šį be galo mažėjančios geometrinės progresijos paveikslėlį iš mūsų pavyzdžio:
O dabar pažiūrėkime į geometrinės progresijos sumos formulę, gautą kiek anksčiau:
arba
Ko mes siekiame? Tiesa, diagrama rodo, kad ji linkusi į nulį. Tai yra, kai jis bus beveik lygus, atitinkamai, skaičiuodami išraišką, gausime beveik. Šiuo atžvilgiu manome, kad skaičiuojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, į šį skliaustą galima nepaisyti, nes jis bus lygus.
- formulė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.
SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti sumą begalinis narių skaičius.
Jei nurodytas konkretus skaičius n, tai naudojame formulę n narių sumai, net jei arba.
O dabar pasitreniruokime.
- Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą su ir.
- Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumą su ir.
Tikiuosi, buvai labai atsargus. Palyginkite mūsų atsakymus:
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją ir laikas pereiti nuo teorijos prie praktikos. Dažniausiai per egzaminą aptinkamos eksponentinės problemos yra sudėtinės palūkanų problemos. Būtent apie juos ir kalbėsime.
Sudėtinių palūkanų skaičiavimo problemos.
Jūs tikriausiai girdėjote apie vadinamąją sudėtinių palūkanų formulę. Ar supranti, ką ji turi omenyje? Jei ne, tai išsiaiškinkime, nes supratę patį procesą iš karto suprasite, ką geometrinė progresija turi su tuo.
Visi einame į banką ir žinome, kad indėlių sąlygos yra skirtingos: ir terminas, ir papildoma priežiūra, ir palūkanos su dviem skirtingais jų apskaičiavimo būdais – paprastas ir sudėtingas.
NUO paprastas palūkanas viskas daugmaž aišku: palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai yra, jei mes kalbame apie 100 rublių per metus, tada jie bus įskaityti tik metų pabaigoje. Atitinkamai, iki indėlio pabaigos gausime rublių.
Sudėtinės palūkanos yra variantas, kuriame palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų skaičiavimas ne nuo pradinės, o nuo sukauptos indėlio sumos. Didžiosios raidės nevyksta nuolat, o tam tikru periodiškumu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.
Tarkime, mes įdedame visus tuos pačius rublius per metus, bet su mėnesine indėlio kapitalizacija. Ką mes gauname?
Ar tu čia viską supranti? Jei ne, eikime žingsnis po žingsnio.
Į banką atnešėme rublių. Iki mėnesio pabaigos sąskaitoje turėtų būti suma, kurią sudaro mūsų rubliai ir jų palūkanos, tai yra:
Sutinku?
Galime jį išimti iš laikiklio ir tada gauname:
Sutikite, ši formulė jau panašesnė į tą, kurią rašėme pradžioje. Belieka susitvarkyti su procentais
Problemos sąlygomis mums pasakojama apie met. Kaip žinote, mes nedauginame iš - konvertuojame procentus į dešimtaines dalis, tai yra:
Tiesa? Dabar klausiate, iš kur toks skaičius? Labai paprasta!
Kartoju: problemos būklė sako apie METINIS priskaičiuotos palūkanos MĖNESIO. Kaip žinia, atitinkamai per metus mėnesių bankas iš mūsų priskaičiuos dalį metinių palūkanų per mėnesį:
Supratau? Dabar pabandykite parašyti, kaip atrodytų ši formulės dalis, jei sakyčiau, kad palūkanos skaičiuojamos kasdien.
Ar susitvarkei? Palyginkime rezultatus:
Šauniai padirbėta! Grįžkime prie savo užduoties: užsirašykite, kiek bus įskaityta į mūsų sąskaitą antrą mėnesį, atsižvelgiant į tai, kad nuo sukauptos indėlio sumos skaičiuojamos palūkanos.
Štai kas man atsitiko:
Arba, kitaip tariant:
Manau, kad jūs jau pastebėjote modelį ir matėte geometrinę progresiją visame tame. Parašykite, kam bus lygus jo narys, arba, kitaip tariant, kiek pinigų gausime mėnesio pabaigoje.
Padaryta? Tikrinama!
Kaip matote, jei įdėsite pinigus į banką metams su paprastomis palūkanomis, tada gausite rublius, o jei padėsite pagal sudėtinį, gausite rublius. Nauda nedidelė, bet tai atsitinka tik per metus, tačiau ilgesniam laikotarpiui kapitalizacija yra daug pelningesnė:
Apsvarstykite kitą sudėtinių palūkanų problemų tipą. Po to, ką sugalvojai, tau bus elementaru. Taigi užduotis yra tokia:
„Zvezda“ pradėjo investuoti į pramonę 2000 m., turėdama dolerio kapitalą. Nuo 2001 metų kiekvienais metais uždirbo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Kiek pelno Zvezda gaus 2003 metų pabaigoje, jei pelnas nebus išimtas iš apyvartos?
Įmonės „Zvezda“ kapitalas 2000 m.
- Zvezda įmonės kapitalas 2001 m.
- Zvezda įmonės kapitalas 2002 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2003 m.
Arba galime trumpai parašyti:
Mūsų atveju:
2000, 2001, 2002 ir 2003 m.
Atitinkamai:
rublių
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje mes neturime padalijimo nei pagal, nei pagal, nes procentas pateikiamas METAIS ir skaičiuojamas KASmet. Tai yra, skaitydami sudėtinių palūkanų problemą, atkreipkite dėmesį į tai, koks procentas yra nurodytas ir kokiu laikotarpiu jis imamas, ir tik tada pereikite prie skaičiavimų.
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją.
Treniruotės.
- Raskite geometrinės progresijos narį, jei žinoma, kad ir
- Raskite geometrinės progresijos pirmųjų narių sumą, jei žinoma, kad ir
- MDM Capital pradėjo investuoti į pramonę 2003 m. su dolerio kapitalu. Nuo 2004 metų kiekvienais metais ji uždirbo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Bendrovė „MSK Cash Flows“ į pramonę pradėjo investuoti 2005 metais 10 000 USD, 2006 metais pradėdama nešti pelną. Kiek dolerių vienos įmonės kapitalas viršija kitos įmonės kapitalą 2007 m. pabaigoje, jei pelnas nebūtų išimtas iš apyvartos?
Atsakymai:
- Kadangi uždavinio sąlyga nesako, kad progresija yra begalinė ir reikia rasti konkretaus jos narių skaičiaus sumą, skaičiuojama pagal formulę:
Įmonė "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007 m.
- padidėja 100%, tai yra 2 kartus.
Atitinkamai:
rublių
MSK pinigų srautai:2005, 2006, 2007 m.
- padidėja, tai yra, kartus.
Atitinkamai:
rublių
rublių
Apibendrinkime.
1) Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
2) Geometrinės progresijos narių lygtis -.
3) gali turėti bet kokią reikšmę, išskyrus ir.
- jei, tai visi paskesni progresijos nariai turi tą patį ženklą – jie teigiamas;
- jei, tai visi tolesni progresijos nariai alternatyvūs ženklai;
- kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.
4) , at - geometrinės progresijos savybė (gretimi nariai)
arba
, esant (vienodo atstumo terminai)
Kai surasi, nepamiršk turėtų būti du atsakymai..
Pavyzdžiui,
5) Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę:
arba
arba
SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti begalinio skaičiaus narių sumą.
6) Sudėtinių palūkanų užduotys taip pat apskaičiuojamos pagal geometrinės progresijos nario formulę, jei lėšos nebuvo išimtos iš apyvartos:
GEOMETRINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ
Geometrinė progresija( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis numeris vadinamas geometrinės progresijos vardiklis.
Geometrinės progresijos vardiklis gali turėti bet kokią reikšmę, išskyrus ir.
- Jei, tada visi tolesni progresijos nariai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami;
- jei, tada visi paskesni progresavimo nariai keičia ženklus;
- kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.
Geometrinės progresijos narių lygtis - .
Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojamas pagal formulę:
arba
Jei progresas be galo mažėja, tada:
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Kam?
Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.
Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...
Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.
Egzamine jums nebus klausiama teorijos.
Jums reikės laiku išspręsti problemas.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.
Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.
Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai
Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.
Apibendrinant...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir spręskite!
Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.
Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas
Geometrinė progresija.
Be aritmetinės progresijos užduočių, matematikos stojamuosiuose testuose taip pat dažnai atliekamos užduotys, susijusios su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia žinoti geometrinės progresijos ypatybes ir turėti gerų įgūdžių jomis naudotis.
Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai, pasiskolintas iš matematikos stojamųjų testų užduočių.
Preliminariai atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime svarbiausias formules ir teiginius, susijusi su šia koncepcija.
Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas jos skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.
Geometrinei progresijaiformulės galioja
, (1)
kur . Formulė (1) vadinama geometrinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) yra pagrindinė geometrinės progresijos savybė: kiekvienas progresijos narys sutampa su savo gretimų narių geometriniu vidurkiu ir .
Pastaba kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.
Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:
, (3)
Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas geometrinės progresijos nariaitaikoma formulė
Jei paskirsime
kur . Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.
Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė
. (7)
Pavyzdžiui , naudojant formulę (7), galima parodyti, ką
kur . Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).
Teorema. Jei tada
Įrodymas. Jei tada ,
Teorema įrodyta.
Pereikime prie uždavinių sprendimo pavyzdžių svarstymo tema „Geometrinė progresija“.
1 pavyzdys Atsižvelgiant: , ir . Rasti .
Sprendimas. Jei taikoma (5) formulė, tada
Atsakymas:.
2 pavyzdys Leiskite ir. Rasti .
Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą
Jeigu antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia . Panagrinėkime du atvejus.
1. Jei , tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.
2. Jei , tada .
3 pavyzdys Tegul , ir . Rasti .
Sprendimas. Iš (2) formulės matyti, kad arba . Nuo tada arba .
Pagal sąlygą. Tačiau todėl . Nes ir, tada čia turime lygčių sistemą
Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .
Kadangi lygtis turi vieną tinkamą šaknį. Šiuo atveju pirmoji sistemos lygtis reiškia .
Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.
Atsakymas:.
4 pavyzdys Duota: ir . Rasti .
Sprendimas. Nuo tada .
Nes tada arba
Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .
Tačiau pagal sąlygą .
5 pavyzdys Yra žinoma, kad. Rasti .
Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes
Nuo tada arba . Nes tada.
Atsakymas:.
6 pavyzdys Duota: ir . Rasti .
Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname
Nuo tada . Nuo , ir tada .
7 pavyzdys Leiskite ir. Rasti .
Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti
Todėl mes turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .
Atsakymas:.
8 pavyzdys Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei
Ir .
Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygos gauname lygčių sistemą
Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname
Arba .
Atsakymas:.
9 pavyzdys Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.
Sprendimas. Tegul , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .
Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .
Patikrinkime: jei, tada , ir ; jei , tada ir .
Pirmuoju atveju turime ir , o antrajame - ir .
Atsakymas: ,.
10 pavyzdysišspręsti lygtį
, (11)
kur ir.
Sprendimas. Kairioji (11) lygties pusė yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , su sąlyga: ir .
Iš (7) formulės išplaukia, ką . Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . tinkama šaknis kvadratinė lygtis yra
Atsakymas:.
11 pavyzdys. P teigiamų skaičių sekasudaro aritmetinę progresiją, bet - geometrinė progresija, ką tai turi bendro su . Rasti .
Sprendimas. Nes aritmetinė seka, tada (pagrindinė aritmetinės progresijos savybė). Tiek, kiek, tada arba . Tai reiškia, kad geometrinė progresija yra. Pagal (2) formulę, tada mes tai rašome.
Nuo ir tada . Tokiu atveju išraiškaįgauna formą arba . Pagal sąlygą, taigi iš lygtiesgauname unikalų nagrinėjamos problemos sprendimą, t.y. .
Atsakymas:.
12 pavyzdys. Apskaičiuokite sumą
. (12)
Sprendimas. Abi lygybės (12) puses padauginkite iš 5 ir gaukite
Jei iš gautos išraiškos atimsime (12)., tada
arba .
Norėdami apskaičiuoti, pakeičiame reikšmes į (7) formulę ir gauname . Nuo tada .
Atsakymas:.
Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai bus naudingi stojantiesiems ruošiantis stojamiesiems egzaminams. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija, galite naudoti vadovėlius iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.
1. Matematikos užduočių rinkinys stojantiesiems į technikos universitetus / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas atliekant užduotis ir pratybas. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
Ar turite kokių nors klausimų?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.