Vadinami bet kurie du tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Vektorių sistemos tiesinė priklausomybė

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieškome bendro lygčių sistemos sprendimo

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema atrodo taip: (r A = 2, n= 3). Sistema yra nuosekli ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Ne nulio privataus sprendimo buvimas, pavyzdžiui, , rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys

Sužinokite, ar pateikta vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite homogeninę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėsta (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, tada jis turi unikalų sprendimą. Vienalytės sistemos atveju nulinis (trivialus) sprendimas. Vadinasi, šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Sistemos degeneracijos patikrinimas:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 yra tiesiškai nepriklausomi.

Užduotys. Sužinokite, ar pateikta vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.

Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičių , tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Jei ši lygybė galioja tik tada, jei visi , tada vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas.

Teorema. Vektorių sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.

1 pavyzdys Polinomas yra tiesinis daugianario derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą, nes https polinomas: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2 pavyzdys Matricos sistema , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.

Sprendimas.

Sukurkite tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Sulyginus vienodų vektorių vienodų pavadinimų koordinates, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Pagaliau gauname

Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija yra lygi nuliui tik tada, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Todėl ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

4 pavyzdys Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorių sistemos

a).;

b).?

Sprendimas.

a). Sudarykite tiesinį derinį ir prilyginkite jį nuliui

Naudodami operacijų su vektoriais linijinėje erdvėje savybes, paskutinę lygybę perrašome į formą

Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">

Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą .

Nuo lygybės (*) vykdoma tik https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausoma;

b). Sudarykite lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Taikydami panašius samprotavimus gauname

Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname

arba

Paskutinėje sistemoje yra begalė sprendimų https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra ne nulinis koeficientų rinkinys, kurio lygybė (**) . Todėl vektorių sistema yra tiesiškai priklausomas.

5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Lygybėje (***) . Iš tiesų, sistema būtų tiesiškai priklausoma.

Iš santykio (***) mes gauname arba Pažymėti .

Gauk

Savarankiško sprendimo užduotys (klasėje)

1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Vieno vektoriaus sistema a, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.

3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).

4. Jei vektorius pridedamas prie tiesiškai priklausomos sistemos, tada gaunama tiesiškai priklausoma sistema.

5. Jei vektorius pašalinamas iš tiesiškai nepriklausomos sistemos, tai gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

6. Jei sistema S tiesiškai nepriklausomas, bet tampa tiesiškai priklausomas, kai pridedamas vektorius b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.

c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.

10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite šių vektorių sistemų tiesinę nepriklausomybę:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius

c).a+b, a+c, b+c.

11. Leisti a,b,c yra trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima sudaryti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?

12. Duoti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Paimkite dar du 4D vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .

Apibrėžimas. Tiesinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n nebanalus, jei bent vienas iš koeficientų x 1 , ..., x n nėra lygus nuliui.

tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nuliniam vektoriui .

Tai reiškia, kad vektoriai a 1 , ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.

Apibrėžimas. Vektoriai a 1 , ..., a n vadinami tiesiškai priklausomas, jei egzistuoja netrivialus šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui .

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:

2 ir 3 dimensijų vektoriams.

Du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. (Kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.) .

3 dimensijų vektoriams.

Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys koplanariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

N matmenų vektoriams.
n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės užduočių pavyzdžiai:

1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .

Sprendimas:

Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.

2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1 , x 2 , x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad tiesinė vektorių a , b , c kombinacija būtų lygi nulinis vektorius, pavyzdžiui:

A + b + c = 0

o tai reiškia, kad vektoriai a , b , c yra tiesiškai priklausomi.

Atsakymas: vektoriai a , b , c yra tiesiškai priklausomi.

3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Šią vektorinę lygtį galima parašyti kaip tiesinių lygčių sistemą

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Šią sistemą išsprendžiame Gauso metodu

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmąjį iš trečios eilutės:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės.

Vektoriai, jų savybės ir veiksmai su jais

Vektoriai, veiksmai su vektoriais, tiesinė vektorinė erdvė.

Vektoriai yra riboto skaičiaus realiųjų skaičių sutvarkyta rinkinys.

Veiksmai: 1. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus: lambda * vektorius x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21) )

2. Vektorių (jie priklauso tai pačiai vektorių erdvei) sudėjimas vektorius x + vektorius y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektorius 0=(0,0…0)---n E n – n matmenų (tiesinės erdvės) vektorius x + vektorius 0 = vektorius x

Teorema. Kad n vektorių sistema n matmenų tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad vienas iš vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

Teorema. Bet kuri n+ 1-ojo n-matės tiesinės erdvės yavl vektorių aibė. tiesiškai priklausomas.

Vektorių sudėjimas, vektorių dauginimas iš skaičių. Vektorių atėmimas.

Dviejų vektorių suma yra vektorius, nukreiptas nuo vektoriaus pradžios iki vektoriaus pabaigos, su sąlyga, kad pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga. Jei vektoriai pateikiami pagal jų plėtimąsi baziniais vektoriais, tada sudėjus vektorius gaunamos atitinkamos jų koordinatės.

Panagrinėkime tai naudodami Dekarto koordinačių sistemos pavyzdį. Leisti

Parodykime tai

3 paveikslas tai rodo

Bet kurio baigtinio skaičiaus vektorių sumą galima rasti taikant daugiakampio taisyklę (4 pav.): norint sudaryti baigtinio skaičiaus vektorių sumą, pakanka kiekvieno sekančio vektoriaus pradžią suderinti su ankstesnio vektoriaus pabaiga. ir sukurti vektorių, jungiantį pirmojo vektoriaus pradžią su paskutinio pabaiga.

Vektorių sudėjimo operacijos ypatybės:

Šiose išraiškose m, n yra skaičiai.

Vektorių skirtumas vadinamas vektoriumi.Antrasis narys – vektorius, priešingas vektoriui kryptimi, bet lygus jam ilgio.

Taigi vektorių atėmimo operacija pakeičiama sudėjimo operacija

Vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžioje, o pabaiga taške A (x1, y1, z1), vadinamas taško A spindulio vektoriumi ir žymimas arba tiesiog. Kadangi jo koordinatės sutampa su taško A koordinatėmis, jo išplėtimas vektoriais turi formą

Vektorius, prasidedantis taške A(x1, y1, z1) ir besibaigiantis taške B(x2, y2, z2), gali būti parašytas kaip

čia r 2 yra taško B spindulio vektorius; r 1 - taško A spindulio vektorius.

Todėl vektoriaus išplėtimas ortų atžvilgiu turi formą

Jo ilgis lygus atstumui tarp taškų A ir B

PAdauginimas

Taigi plokščiosios problemos atveju vektoriaus sandauga iš a = (ax; ay) ir skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b)

1 pavyzdys Raskite vektoriaus a = (1; 2) sandaugą iš 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Taigi erdvinės problemos atveju vektoriaus a = (ax; ay; az) ir skaičiaus b sandauga randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b; az b)

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus a = (1; 2; -5) sandaugą iš 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Taškinė vektorių sandauga ir kur yra kampas tarp vektorių ir ; jei bet kuri, tada

Iš skaliarinio sandaugos apibrėžimo matyti, kad

kur, pavyzdžiui, yra vektoriaus projekcijos į vektoriaus kryptį reikšmė.

Vektoriaus skaliarinis kvadratas:

Taškinio produkto savybės:

Taškų sandauga koordinatėse

Jeigu tada

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp vektorių – kampas tarp šių vektorių krypčių (mažiausias kampas).

Vektorinė sandauga (dviejų vektorių vektorinė sandauga.)- yra pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų faktorių, kuris yra dvejetainės operacijos „vektoriaus dauginimas“ vektoriuose trimatėje euklidinėje erdvėje rezultatas. Produktas nėra nei komutacinis, nei asociatyvus (jis yra antikomutacinis) ir skiriasi nuo vektorių taškinės sandaugos. Daugelyje inžinerijos ir fizikos problemų būtina mokėti sukurti vektorių statmeną dviem esamiems – vektorinė sandauga suteikia tokią galimybę. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos ilgis lygus jų ilgių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Vektorinis produktas apibrėžiamas tik trimatėse ir septynių matmenų erdvėse. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinės sandaugos apskaičiavimo iš vektorių koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, vektorinės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Vektorių kolineariškumas.

Du nuliniai (nelygūs 0) vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse arba toje pačioje tiesėje. Leidžiame, bet nerekomenduojame, sinonimą – „lygiagretus“ vektorius. Kolineariniai vektoriai gali būti nukreipti ta pačia kryptimi („bendrai nukreipti“) arba priešingai (pastaruoju atveju jie kartais vadinami „antikolineariniais“ arba „antilygiagrečiais“).

Mišrus vektorių sandauga( a, b, c)- vektoriaus a skaliarinė sandauga ir vektorių b ir c vektorinė sandauga:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

kartais jis vadinamas vektorių trigubu tašku sandauga, matyt, dėl to, kad rezultatas yra skaliarinis (tiksliau pseudoskaliarinis).

Geometrinė reikšmė: mišrios sandaugos modulis yra skaitiniu būdu lygus vektorių suformuoto gretasienio tūriui (a, b, c) .

Savybės

Mišrus produktas yra simetriškas visų savo argumentų atžvilgiu: tai yra, e. bet kurių dviejų veiksnių permutacija pakeičia gaminio ženklą. Iš to išplaukia, kad mišrus sandauga dešinėje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos determinantui, sudarytai iš vektorių ir:

Mišrus sandauga kairiojoje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos, sudarytos iš vektorių ir paimtos su minuso ženklu, determinantui:

Visų pirma,

Jei bet kurie du vektoriai yra lygiagretūs, tada su bet kuriuo trečiuoju vektoriumi jie sudaro mišrią sandaugą, lygią nuliui.

Jei trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi (t. y. vienodo plokštumos, yra toje pačioje plokštumoje), tada jų mišrus sandauga yra nulis.

Geometrinė reikšmė – mišrus sandauga absoliučia verte yra lygus gretasienio tūriui (žr. pav.), kurį sudaro vektoriai ir; ženklas priklauso nuo to, ar šis vektorių trigubas yra dešinysis ar kairysis.

Vektorių panašumas.

Trys vektoriai (ar daugiau) vadinami koplanariniais, jei jie, redukuoti iki bendros pradžios, yra toje pačioje plokštumoje

Lyginimo savybės

Jei bent vienas iš trijų vektorių yra lygus nuliui, tai trys vektoriai taip pat laikomi lygiagrečiais.

Trigubas vektorių, turinčių kolinearinių vektorių porą, yra koplanarinis.

Mišrus koplanarinių vektorių sandauga. Tai yra trijų vektorių koplanarumo kriterijus.

Bendraplaniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tai taip pat yra koplanarumo kriterijus.

Trimatėje erdvėje 3 nevienaplaniai vektoriai sudaro pagrindą

Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Tiesiškai priklausomos ir nepriklausomos vektorių sistemos.Apibrėžimas. Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra bent vienas netrivialus tiesinis šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui. Priešingu atveju, t.y. jei tik trivialus tiesinis duotųjų vektorių derinys yra lygus nuliniam vektoriui, vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus). Kad vektorių sistema tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad bent vienas iš šių vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

1) Jei tarp vektorių yra bent vienas nulinis vektorius, tai visa vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, , tai, darant prielaidą , turime netrivialią tiesinę kombinaciją .▲

2) Jei kai kurie vektoriai sudaro tiesiškai priklausomą sistemą, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, tegul vektoriai , yra tiesiškai priklausomi. Vadinasi, egzistuoja netrivialus tiesinis derinys, lygus nuliniam vektoriui. Bet tada, darant prielaidą , taip pat gauname netrivialią tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui.

2. Pagrindas ir matmenys. Apibrėžimas. Tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema vektorinė erdvė vadinama pagrinduši erdvė, jei kurį nors vektorių iš galima pavaizduoti kaip šios sistemos vektorių tiesinę kombinaciją, t.y. kiekvienam vektoriui yra realieji skaičiai tokia, kad galioja lygybė.. Ši lygybė vadinama vektoriaus skaidymas pagal pagrindą ir skaičius paskambino vektoriaus koordinatės, palyginti su pagrindu(arba pagrindu) .

Teorema (dėl išplėtimo unikalumo pagrindo atžvilgiu). Kiekvienas erdvės vektorius gali būti išplėstas pagal pagrindą unikaliu būdu, t.y. kiekvieno pagrindo vektoriaus koordinates yra apibrėžti vienareikšmiškai.

1 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Vektorių sistema bus apibrėžta sistemos matrica, kurios stulpelius sudaro vektorių koordinatės.

Sprendimas. Tegul linijinis derinys lygus nuliui. Užrašę šią lygybę koordinatėmis, gauname tokią lygčių sistemą:

Tokia lygčių sistema vadinama trikampe. Ji turi vienintelį sprendimą. . Taigi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

2 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (žr. 1 uždavinį). Įrodykime, kad vektorius yra tiesinis vektorių derinys . Vektorių plėtimosi koeficientai yra nustatomi iš lygčių sistemos

Ši sistema, kaip ir trikampė, turi unikalų sprendimą.

Todėl vektorių sistema tiesiškai priklausomas.

komentuoti. Tokios matricos kaip 1 uždavinyje yra vadinamos trikampis o 2 uždavinyje – laiptuotas trikampis . Vektorių sistemos tiesinės priklausomybės klausimas lengvai išsprendžiamas, jei iš šių vektorių koordinačių sudaryta matrica yra laipsniškai trikampė. Jei matrica neturi specialios formos, tada naudokite elementariosios stygų transformacijos , išsaugant tiesinius ryšius tarp stulpelių, jį galima redukuoti į laiptuotą trikampę formą.

Elementariosios stygų transformacijos matricos (EPS) vadinamos šiomis matricos operacijomis:

1) linijų permutacija;

2) eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;

3) prie eilutės pridėjus kitą eilutę, padaugintą iš savavališko skaičiaus.

3 užduotis. Raskite didžiausią tiesiškai nepriklausomą posistemę ir apskaičiuokite vektorių sistemos rangą

Sprendimas. Sumažinkime sistemos matricą EPS pagalba į laiptuotą trikampę formą. Norint paaiškinti procedūrą, eilutė su transformuojamos matricos numeriu bus pažymėta simboliu . Stulpelyje po rodyklės rodomi veiksmai, kuriuos reikia atlikti su konvertuotos matricos eilutėmis, norint gauti naujos matricos eilutes.

Akivaizdu, kad pirmosios dvi gautos matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, trečiasis yra jų linijinis derinys, o ketvirtasis nepriklauso nuo pirmųjų dviejų. Vektoriai vadinami pagrindiniais. Jie sudaro didžiausią tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , o sistemos rangas yra trys.

Pagrindas, koordinatės

4 užduotis. Raskite vektorių bazę ir koordinates šiame pagrinde geometrinių vektorių aibėje, kurių koordinatės tenkina sąlygą .

Sprendimas. Aibė yra plokštuma, einanti per pradžią. Savavališkas pagrindas plokštumoje susideda iš dviejų nekolinearinių vektorių. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės nustatomos sprendžiant atitinkamą tiesinių lygčių sistemą.

Yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, kai galite rasti pagrindą pagal koordinates.

Koordinatės erdvės nėra koordinatės plokštumoje, nes jos yra susijusios ryšiu ty jie nėra nepriklausomi. Nepriklausomi kintamieji ir (jie vadinami laisvaisiais) vienareikšmiškai nustato vektorių plokštumoje, todėl juos galima pasirinkti kaip koordinates . Tada pagrindas susideda iš vektorių, esančių ir atitinkančių laisvųjų kintamųjų aibes ir , tai yra .

5 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų erdvėje esančių vektorių aibėje, kurių nelyginės koordinatės yra lygios viena kitai.

Sprendimas. Mes pasirenkame, kaip ir ankstesniame uždavinyje, koordinates erdvėje.

Nes , tada laisvieji kintamieji vienareikšmiškai apibrėžia vektorių iš ir todėl yra koordinatės. Atitinkamas pagrindas susideda iš vektorių .

6 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų formos matricų aibėje , kur yra savavališki skaičiai.

Sprendimas. Kiekviena matrica iš gali būti unikaliai pavaizduota kaip:

Šis ryšys yra vektoriaus išplėtimas iš pagrindo
su koordinatėmis .

7 užduotis. Raskite vektorių sistemos tiesinio intervalo matmenį ir pagrindą

Sprendimas. Naudodami EPS, transformuojame matricą iš sistemos vektorių koordinačių į laiptuotą trikampę formą.

stulpelius paskutinės matricos yra tiesiškai nepriklausomos, o stulpeliai per juos išreiškiami tiesiškai. Taigi vektoriai sudaryti pagrindą , ir .

komentuoti. Pagrindas į pasirinkta dviprasmiškai. Pavyzdžiui, vektoriai taip pat sudaro pagrindą .