Ovuliacija 

Logaritmo įrašas. Kas yra logaritminė funkcija? Apibrėžimas, savybės, problemų sprendimas

Instrukcijos

Parašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada parašykite išraišką: ln b – natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, reikia iš dividendo, padauginto iš daliklio funkcijos, sandaugos atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš dividendo funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jei duota sudėtinga funkcija, tada reikia padauginti išvestinę iš vidinė funkcija o išorinio išvestinė. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau gautais rezultatais, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat kyla problemų apskaičiuojant išvestinę priemonę taške. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Video tema

Naudingas patarimas

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Tai žymiai sutaupys laiko.

Šaltiniai:

  • konstantos išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po ženklu kvadratinė šaknis, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcijos

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių konstravimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra atsikratyti ženklo. Šis metodas nėra techniškai sudėtingas, tačiau kartais jis gali sukelti problemų. Pavyzdžiui, lygtis yra v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Išspręsti tokią lygtį nėra sunku; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vieną. Dešinėje ir kairėje pusėse bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Ši vertė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos pusių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

Apsvarstykite kitą.
2х+vх-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkelti junginius lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet ir kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vх=y. Atitinkamai gausite 2y2+y-3=0 formos lygtį. Tai yra įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vх=1; vх=-3/2. Antroji lygtis neturi šaknų; iš pirmosios matome, kad x = 1. Nepamirškite patikrinti šaknų.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas užsibrėžtas tikslas. Taigi, naudojant paprastus aritmetinius veiksmus, iškeltas uždavinys bus išspręstas.

Jums reikės

  • - popierius;
  • - rašiklis.

Instrukcijos

Paprasčiausias iš tokių transformacijų yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos kubas (skirtumas)). Be to, yra daug trigonometrinių formulių, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo sandauga iš antrojo ir pridėjus antrojo kvadratą, tai yra (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės ar aukštosios matematikos vadovėlio, kas yra apibrėžtasis integralas. Kaip žinoma, apibrėžtojo integralo sprendimas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinamas antidariniu. Remiantis šiuo principu, konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando tipą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurios argumentas yra polinomas, pabandykite naudoti kintamųjų keitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi ryšiu tarp naujų ir senų kintamųjų, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi jūs gausite naujos rūšies ankstesnio integralo, artimas ar net atitinkantis bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrosios rūšies integralas, vektorinė integralo forma, tuomet turėsite naudoti perėjimo nuo šių integralų prie skaliarinių taisyklių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektoriaus funkcijos rotoriaus srauto prie trigubo integralo per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą skaičių. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą iš apatinės ribos, į antidarinį. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinę funkciją, reikia pereiti prie ribos ir rasti, į ką linksta išraiška.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tada integralo ribas turėsite pavaizduoti geometriškai, kad suprastumėte, kaip įvertinti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

Visuomenei vystantis ir gamybai vis sudėtingėjant, vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprastos apskaitos naudojant sudėjimo ir atimties metodus, juos kartojant, priėjome prie daugybos ir dalybos sampratos. Pakartotinės daugybos operacijos mažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.

Istorinis eskizas

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai labai pasitarnavo. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis Pirmą vietą užėmė matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido formoje naudoti lenteles ne tik laipsniams pirminiai skaičiai, bet ir savavališkai racionaliems.

1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.

Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias sėkmingai naudojo mokslininkai tris šimtmečius. Anksčiau praėjo daug laiko nauja operacija algebroje įgavo pilną formą. Pateiktas logaritmo apibrėžimas ir ištirtos jo savybės.

Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė XIII amžių.

Šiandien vadiname b logaritmu, pagrįstu a skaičiumi x, kuris yra a galia sudaryti b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).

Pavyzdžiui, log 3(9) būtų lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.

Taigi suformuluotas apibrėžimas nustato tik vieną apribojimą: skaičiai a ir b turi būti tikri.

Logaritmų tipai

Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Variantas a = 1 yra ribinis ir nėra įdomus. Dėmesio: 1 bet kuriai galiai yra lygus 1.

Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tada, kai bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti atsižvelgiant į jų bazės dydį:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).

Kaip šio teiginio variantas bus: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficiento funkcija lygi funkcijų skirtumui.

Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).

Kitos savybės apima:

komentuoti. Nedarykite dažnos klaidos – sumos logaritmas nėra lygi sumai logaritmus.

Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Naudojo matematikai gerai žinoma formulė logaritminė daugianario plėtimosi teorija:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.

Kadangi šis metodas yra labai daug darbo jėgos ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinamas, naudojome iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios gerokai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sukurti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta keliuose taškuose, leidžia naudoti įprastą liniuotę, norint rasti funkcijos reikšmę bet kuriame kitame taške. Inžinieriai ilgas laikasŠiems tikslams buvo naudojamas vadinamasis grafinis popierius.

XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios 19-tas amžiusįgavo užbaigtą išvaizdą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant prietaiso paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.

Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, bet kokių kitų prietaisų naudojimas tapo beprasmis.

Lygtys ir nelygybės

Norint išspręsti įvairias lygtis ir nelygybes naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:

  • Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Dėl ankstesnės parinkties: log a(b) = 1 / log b(a).

Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:

  • Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
  • Jei logaritmo funkcija taikoma nelygybės dešinėje ir kairėje pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitaip pasikeičia.

Pavyzdinės problemos

Panagrinėkime keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:

Apsvarstykite galimybę logaritmą įdėti į laipsnį:

  • 3 uždavinys. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: problemos sąlygomis įrašas panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra lygi 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.

Praktinis naudojimas

Atrodo, kad tai yra grynai matematinė priemonė Tikras gyvenimas kad logaritmas staiga įgijo didelę reikšmę apibūdinti realaus pasaulio objektus. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtinėms, bet ir humanitarinėms žinių sritims.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pat metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateiksime tik du fizinių dėsnių apibūdinimo logaritmu pavyzdžius.

Tokio sudėtingo dydžio kaip raketos greitis apskaičiavimo problemą galima išspręsti naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:

V = I * ln (M1/M2), kur

  • V – galutinis orlaivio greitis.
  • I – specifinis variklio impulsas.
  • M 1 – pradinė raketos masė.
  • M 2 – galutinė masė.

Kitas svarbus pavyzdys - tai panaudota kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri skirta termodinamikos pusiausvyros būsenai įvertinti.

S = k * ln (Ω), kur

  • S – termodinaminė savybė.
  • k – Boltzmanno konstanta.
  • Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.

Chemija

Mažiau akivaizdu, kad chemijoje naudojamos formulės, kuriose yra logaritmų santykis. Pateiksime tik du pavyzdžius:

  • Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
  • Tokios konstantos kaip autolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas taip pat negali būti apskaičiuojamos be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir visai neaišku, ką su tuo susijusi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.

Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama biologijoje. Apie logaritmines spirales atitinkančias biologines formas būtų galima parašyti ištisus tomus.

Kitos sritys

Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai susiję su gamtos dėsniais geometrinė progresija. Verta užsukti į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos principus, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą dauginimą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio turi būti padidinta bazė „a“, kad galiausiai būtų gauta reikšmė „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.

Logaritmų tipai

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiros rūšys logaritminės išraiškos:

  1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
  2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
  3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti lygiosios šaknies neigiami skaičiai. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

  • Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
  • jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikės laipsnių lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės yra vienodos: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokia išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė „x“ yra po logaritminiu ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių atsakymų. skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybės apibrėžiamos kaip regionas priimtinos vertės, ir šios funkcijos lūžio taškai. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių radimo užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau apžvelgsime lygčių pavyzdžius; pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.

  1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
  2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
  3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

  1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Vieningo valstybinio egzamino užduotys

Logaritmai dažnai randami stojamieji egzaminai, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.

  • Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
  • Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

  1. žurnalas a x+ žurnalas a y= žurnalas a (x · y);
  2. žurnalas a x− žurnalas a y= žurnalas a (x : y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Pastaba: pagrindinis momentasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Tai lengva pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

[Paveikslo antraštė]

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinė akimirka dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

[Paveikslo antraštė]

Visų pirma, jei įdėtume c = x, mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

[Paveikslo antraštė]

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

[Paveikslo antraštė]

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

[Paveikslo antraštė]

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

  1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
  2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Logaritmo apibrėžimas

B logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b.

Skaičius e matematikoje įprasta žymėti ribą, iki kurios išsireiškimas siekia

Skaičius e yra neracionalus skaičius- skaičius, nesuderinamas su vienu, jo negalima tiksliai išreikšti nei sveikuoju skaičiumi, nei trupmena racionalus numerį.

Laiškas e- pirmoji lotyniško žodžio raidė exponere- pasipuikuoti, iš čia ir toks pavadinimas matematikoje eksponentinis- eksponentinė funkcija.

Skaičius e plačiai naudojami matematikoje ir visuose moksluose, kurie vienaip ar kitaip savo reikmėms naudoja matematinius skaičiavimus.

Logaritmai. Logaritmų savybės

Apibrėžimas: teigiamo skaičiaus b logaritmas iki jo bazės yra eksponentas c, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių b.

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

7) Persikėlimo į naują bazę formulė:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Uždaviniai ir testai tema „Logaritmai. Logaritmų savybės"

  • Logaritmai - Svarbios temos už Vieningo valstybinio matematikos egzamino kartojimą

Norėdami sėkmingai atlikti užduotis šia tema, turite žinoti logaritmo apibrėžimą, logaritmų savybes, pagrindinę logaritminę tapatybę, dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų apibrėžimus. Pagrindinės šios temos problemų rūšys yra logaritminių išraiškų skaičiavimo ir transformavimo problemos. Panagrinėkime jų sprendimą naudodamiesi šiais pavyzdžiais.

Sprendimas: Pasinaudoję logaritmų savybėmis gauname

Sprendimas: Naudodamiesi laipsnių savybėmis gauname

1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 =25

Logaritmų, formuluočių ir įrodymų savybės.

Logaritmai turi keletą būdingų savybių. Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinius logaritmų savybės. Čia pateiksime jų formuluotes, surašysime logaritmų savybes formulių pavidalu, parodysime jų taikymo pavyzdžius, taip pat pateiksime logaritmų savybių įrodymą.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės logaritmų savybės, formulės

Kad būtų lengviau atsiminti ir naudoti, įsivaizduokime Pagrindinės logaritmų savybės formulių sąrašo pavidalu. Kitoje pastraipoje pateiksime jų formuluotes, įrodymus, naudojimo pavyzdžius ir būtinus paaiškinimus.

  • Vienybės logaritmo savybė: log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1.
  • Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas: loga a a=1, kai a>0, a≠1.
  • Pagrindo laipsnio logaritmo savybė: log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p yra bet koks realusis skaičius.
  • Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    ir n teigiamų skaičių sandaugos logaritmo savybė: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
  • Dalinio logaritmo savybė: , kur a>0, a≠1, x>0, y>0.
  • Skaičiaus laipsnio logaritmas: log a b p =p·log a |b| , kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.
  • Pasekmė: , kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0.
  • 1 išvada: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
  • 2 išvada: , a>0, a≠1, b>0, p ir q yra realieji skaičiai, q≠0, ypač jei b=a .

    • Savybių formuluotės ir įrodymai

    Mes pereiname prie logaritmų rašytinių savybių formulavimo ir įrodymo. Visos logaritmų savybės yra įrodytos remiantis logaritmo apibrėžimu ir iš jo išplaukiančiu pagrindiniu logaritminiu tapatumu, taip pat laipsnio savybėmis.

    Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.

    Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .

    Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.

    Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.

    Skaičiaus, lygaus logaritmo pagrindui, laipsnio logaritmas yra lygus eksponentui. Ši logaritmo savybė atitinka formos formulę log a a p =p, kur a>0, a≠1 ir p – bet koks realusis skaičius. Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš logaritmo apibrėžimo. Atkreipkite dėmesį, kad tai leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, jei skaičių po logaritmo ženklu galima pavaizduoti kaip bazės laipsnį; plačiau apie tai kalbėsime straipsnyje apie logaritmų skaičiavimą.

    Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir .

    Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tada log a x ·a log a y =x· y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.

    Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir .

    Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Šią lygybę galima be problemų įrodyti naudojant matematinės indukcijos metodą.

    Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.

    Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybė atitinka formos formulę , kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi , tada pagal logaritmo apibrėžimą .

    Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: .

    Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.

    Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.

    Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , iš kur log a b p =p·log a |b| .

    Pavyzdžiui, ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai iš radikalios išraiškos logaritmo, tai yra, kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0 .

    Įrodymas pagrįstas lygybe (žr. eksponento su trupmeniniu rodikliu apibrėžimą), kuri galioja bet kuriam teigiamam b, ir eksponento logaritmo savybe: .

    Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: .

    Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė tipo . Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b·log c a . Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad taip pat įrodyta perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė .

    Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir .

    Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pakeisti natūraliuosius arba dešimtainius logaritmus, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.

    Dažnai naudojamas specialus perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulės atvejis, kai formos c=b. Tai rodo, kad log a b ir log b a yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai. Pvz., .

    Taip pat dažnai naudojama formulė, kuri yra patogu ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Mes turime . Norėdami įrodyti formulę, pakanka naudoti formulę, skirtą pereiti prie naujos logaritmo bazės a: .

    Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

    Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 2 ir 0 1 log a 1 b≤log a 2 b yra teisinga. Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip Ir atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1 2. Tai užbaigia įrodymą.

    Pagrindinės logaritmų savybės

    • Medžiaga pamokai
    • Parsisiųsti visas formules

      • Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

      Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

      Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

      Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

      Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

      Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 6 4 + log 6 9.

      Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

      Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
      log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

      Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
      log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

      Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

      Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

    • log a x n = n · log a x ;

      • Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

      Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

      Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
      log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

      Užduotis. Raskite posakio prasmę:

      [Paveikslo antraštė]

      Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

      [Paveikslo antraštė]

      Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

      Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

      Perėjimas prie naujo pagrindo

      Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

      Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

      Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

      [Paveikslo antraštė]

      Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

      [Paveikslo antraštė]

      Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

      Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

      Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

      Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

      Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

      [Paveikslo antraštė]

      Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

      Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

      Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

      [Paveikslo antraštė]

      Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

      [Paveikslo antraštė]

      Pagrindinė logaritminė tapatybė

      Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

    1. n = log a a n

    2. Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

      Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

      Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

      Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

      [Paveikslo antraštė]

      Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 - mes tiesiog paėmėme kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

      [Paveikslo antraštė]

      Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

      Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

      Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

      1. log a a = 1 yra logaritminis vienetas. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
      2. log a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

      Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

      Logaritmas. Logaritmo savybės (sudėti ir atimti).

      Logaritmo savybės išplaukia iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b remiantis A apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

      Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui a x =b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b remiantis a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmų tema yra glaudžiai susijusi su galių tema.

      Su logaritmais, kaip ir su bet kuriais skaičiais, galite tai padaryti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau dėl to, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savos specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

      Logaritmų pridėjimas ir atėmimas.

      Paimkime du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: užsirašyk x Ir log a y. Tada galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:

      Kaip matome, logaritmų suma lygus sandaugos logaritmui ir skirtumas logaritmus- koeficiento logaritmas. Be to, tai tiesa, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1.

      Svarbu pažymėti, kad pagrindinis šių formulių aspektas yra tos pačios bazės. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės netaikomos!

      Logaritmų su tais pačiais pagrindais sudėties ir atėmimo taisyklės skaitomos ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai. Dėl to turime sandaugos logaritmo ir koeficiento logaritmo teoremas.

      Produkto logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs jų logaritmų sumai ; perfrazuodami šią teoremą gauname taip, jei skaičiai A, x Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:

      Dalinio logaritmas du teigiami skaičiai yra lygūs skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų. Kitaip tariant, jei skaičiai A, X Ir adresu teigiamas ir a ≠ 1, Tai:

      Sprendimui pritaikykime aukščiau pateiktas teoremas pavyzdžių:

      Jei skaičiai x Ir adresu tada yra neigiami produkto logaritmo formulė tampa beprasmis. Todėl draudžiama rašyti:

      nes išraiškos log 2 (-8) ir log 2 (-4) iš viso neapibrėžtos (logaritminė funkcija adresu= 2 žurnalas X apibrėžta tik teigiamas vertes argumentas X).

      Produkto teorema taikomas ne tik dviem, bet ir neribotam skaičiui veiksnių. Tai reiškia, kad kiekvienam natūraliam k ir bet kokie teigiami skaičiai x 1 , x 2 , . . . ,x n yra tapatybė:

      Iš logaritmo koeficiento teorema Galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Visiems žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl

      Tai reiškia, kad yra lygybė:

      Dviejų grįžtamųjų skaičių logaritmai dėl tos pačios priežasties vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:

      Logaritmas. Logaritmų savybės

      Logaritmas. Logaritmų savybės

      Pasvarstykime apie lygybę. Leiskite mums žinoti ir vertes ir mes norime rasti vertę.

      Tai yra, mes ieškome eksponento, pagal kurį turime jį pakelti, kad gautume .

      Leisti kintamasis gali įgyti bet kokią realią reikšmę, tada kintamiesiems taikomi šie apribojimai: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

      Jei žinome ir reikšmes ir susiduriame su užduotimi rasti nežinomybę, tai tam tikslui įvedamas matematinis veiksmas, kuris vadinamas logaritmas.

      Norėdami rasti vertę, kurią gauname skaičiaus logaritmas Autorius pagrindu :

      Skaičiaus logaritmas iki jo bazės yra eksponentas, iki kurio jis turi būti padidintas, kad gautų .

      Tai yra pagrindinė logaritminė tapatybė:

      o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

      yra iš esmės matematinis žymėjimas logaritmo apibrėžimai.

      Matematinis logaritmo veiksmas yra atvirkštinis eksponencijos veiksmas, taigi logaritmų savybės yra glaudžiai susiję su laipsnio savybėmis.

      Išvardinkime pagrindinius logaritmų savybės:

      (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

      4.

      5.

      Ši savybių grupė leidžia pavaizduoti išraiškos eksponentą po logaritmo ženklu arba stovint logaritmo pagrindu koeficiento pavidalu prieš logaritmo ženklą:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Kita formulių grupė leidžia pereiti nuo logaritmo su duota baze prie logaritmo su savavališka baze ir yra vadinama perėjimo prie naujos bazės formulės:

      10.

      12. (11 nuosavybės pasekmė)

      Šios trys savybės nėra gerai žinomos, tačiau jos dažnai naudojamos sprendžiant logaritmines lygtis arba supaprastinant logaritmų turinčias išraiškas:

      13.

      14.

      15.

      Ypatingi atvejai:

      — dešimtainis logaritmas

      — natūralusis logaritmas

      Supaprastinant išraiškas, kuriose yra logaritmų, naudojamas bendras metodas:

      1. Pristatome po kablelio paprastų pavidalu.

      2. Mišrius skaičius pavaizduojame kaip netinkamąsias trupmenas.

      3. Skaičius logaritmo pagrindu ir po logaritmo ženklu išskaidome į paprastus veiksnius.

      4. Visus logaritmus stengiamės sumažinti iki tos pačios bazės.

      5. Taikyti logaritmų savybes.

      Pažvelkime į logaritmų turinčių išraiškų supaprastinimo pavyzdžius.

      1 pavyzdys.

      Apskaičiuoti:

      Supaprastinkime visus laipsnius: mūsų užduotis yra sumažinti juos iki logaritmų, kurių bazė yra tokia pati kaip ir eksponento bazė.

      ==(pagal 7 savybę)=(pagal 6 savybę) =

      Pakeiskime rodiklius, kuriuos gavome į pradinę išraišką. Mes gauname:

      Atsakymas: 5.25

      2 pavyzdys. Apskaičiuokite:

      Sumažinkime visus logaritmus iki 6 bazės (šiuo atveju logaritmai iš trupmenos vardiklio „perkels“ į skaitiklį):

      Išskaidykime skaičius po logaritmo ženklu į paprastus veiksnius:

      Taikykime 4 ir 6 savybes:

      Pristatome pakaitalą

      Mes gauname:

      Atsakymas: 1

      Logaritmas . Pagrindinė logaritminė tapatybė.

      Logaritmų savybės. Dešimtainis logaritmas. Natūralus logaritmas.

      Logaritmas teigiamas skaičius N į bazę (b > 0, b 1) yra eksponentas x, iki kurio b reikia pakelti, kad gautume N .

      Šis įrašas atitinka šį: b x = N .

      Pavyzdžiai: log 3 81 = 4, nes 3 4 = 81;

      log 1/3 27 = – 3, nes (1/3) – 3 = 3 3 = 27.

      Aukščiau pateiktas logaritmo apibrėžimas gali būti parašytas kaip tapatybė:

      Pagrindinės logaritmų savybės.

      2) log 1 = 0, nes b 0 = 1 .

      3) Produkto logaritmas yra lygus faktorių logaritmų sumai:

      4) Dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų:

      5) Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui:

      Šios nuosavybės pasekmės yra šios: šaknies logaritmas lygus logaritmui radikalus skaičius, padalytas iš šaknies galios:

      6) Jei logaritmo pagrindas yra laipsnis, tada reikšmė atvirkštinį rodiklį galima paimti kaip loginį rimą:

      Paskutinės dvi savybės gali būti sujungtos į vieną:

      7) Perėjimo modulio formulė (t. y. perėjimas iš vienos logaritmo bazės į kitą):

      Ypatingu atveju, kai N=a mes turime:

      Dešimtainis logaritmas paskambino bazinis logaritmas 10. Žymima lg, t.y. žurnalas 10 N= žurnalas N. Skaičių 10, 100, 1000, logaritmai. p yra atitinkamai 1, 2, 3, …, t.y. turi tiek daug teigiamo

      vienetų, kiek nulių yra logaritminiame skaičiuje po vieneto. Skaičių logaritmai 0,1, 0,01, 0,001, . p yra atitinkamai –1, –2, –3, …, t.y. turėti tiek neigiamų, kiek logaritminiame skaičiuje prieš vieną yra nulių (įskaitant nulius sveikųjų skaičių). Kitų skaičių logaritmai turi trupmeninę dalį, vadinamą mantisa. Sveikoji logaritmo dalis vadinama charakteristika. Praktiniam naudojimui dešimtainiai logaritmai patogiausia.

      Natūralus logaritmas paskambino bazinis logaritmas e. Ji žymima ln, t.y. žurnalas e N= žurnalas N. Skaičius e yra neracionalus, jo apytikslė reikšmė yra 2,718281828. Tai riba, iki kurios linkęs skaičius (1 + 1 / n) n su neribotu padidėjimu n(cm. pirmoji nuostabi riba puslapyje „Skaičių sekos ribos“).
      Kad ir kaip būtų keista, natūralūs logaritmai pasirodė labai patogūs atliekant įvairaus pobūdžio operacijas, susijusias su funkcijų analize. Logaritmų skaičiavimas į bazę e atlikti daug greičiau nei dėl bet kokios kitos priežasties.

    • Ko šiandien reikia norint įvaikinti vaiką Rusijoje? Įvaikinimas Rusijoje, išskyrus atsakingą asmeninis sprendimas, apima daugybę procedūrų valstybinis patikrinimas kandidatai. Sunkus pasirinkimas paruošiamasis etapas prisideda prie daugiau […]
    • Nemokama informacija apie TIN arba OGRN iš mokesčių registro visoje Rusijoje - internetu Vieningame mokesčių paslaugų portale galite gauti informacijos apie valstybinė registracija juridiniai asmenys, individualūs verslininkai, […]
    • Bausmė už vairavimą be dokumentų (vairuotojo pažymėjimas, draudimas, STS) Kartais dėl užmaršumo vairuotojai sėda prie vairo neturėdami teisės ir gauna baudą už vairavimą be dokumentų. Primename, kad automobilių entuziastas privalo turėti […]
    • Gėlės vyrams. Kokias gėles galite padovanoti vyrui? Kokias gėles galite padovanoti vyrui? „Vyriškų“ gėlių nėra daug, tačiau yra tokių, kurios dovanojamos vyrams. Prieš jus mažas gėlių sąrašas: Chrizantemos. Rožės. Gvazdikai. […]
    • Paslaugos atmintinė yra speciali dokumento forma, naudojama įmonės vidinėje aplinkoje ir skirta greitai išspręsti esamas gamybos problemas. Paprastai šis dokumentas yra parengtas siekiant supažindinti su kai kuriais […]
    • Kada ir kaip gauti finansuojamą pensijos dalį iš „Sberbank“? „Sberbank“ yra valstybinio pensijų fondo bankas partneris. Remiantis tuo, piliečiai, užsiregistravę gauti pensijų kaupimą, galėjo pervesti kaupiamąją dalį […]
    • Išmokos vaikams Uljanovske ir Uljanovsko srityje 2018 Be to, federaliniais teisės aktais patvirtintos programos veikia visuose regionuose. Pažiūrėkime, kas gali tikėtis kokios naudos. Kaip regioninės valdžios institucijos […]
    • Išsamus vadovas kaip surašyti įgaliojimą atstovauti interesams individualus teisme Civiliniame ar arbitražiniame ieškinyje, administracinėje ar baudžiamojoje byloje tiek ieškovo, tiek atsakovo interesams gali atstovauti advokatas: […]