Kokie kampai trumpai vadinami gretimais. Kokie kampai vadinami gretimi? Kokia yra dviejų gretimų kampų suma

Klausimas 1. Kokie kampai vadinami gretimi?
Atsakymas. Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra viena kitą papildančios pusės linijos.
31 paveiksle kampai (a 1 b) ir (a 2 b) yra gretimi. Jie turi bendrą kraštinę b, o pusės a 1 ir a 2 yra papildomos pusės linijos.

2 klausimas.Įrodykite, kad gretimų kampų suma yra 180°.
Atsakymas. 2.1 teorema. Gretimų kampų suma yra 180°.
Įrodymas. Tegu kampui (a 1 b) ir kampui (a 2 b) pateikti gretimi kampai (žr. 31 pav.). Spindulys b eina tarp išvysto kampo kraštinių a 1 ir a 2. Todėl kampų (a 1 b) ir (a 2 b) suma yra lygi išvystytam kampui, ty 180 °. Q.E.D.

3 klausimas.Įrodykite, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir šalia jų esantys kampai yra lygūs.
Atsakymas.

Iš teoremos 2.1 Iš to išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir šalia jų esantys kampai yra lygūs.
Tarkime, kampai (a 1 b) ir (c 1 d) yra lygūs. Turime įrodyti, kad kampai (a 2 b) ir (c 2 d) taip pat yra lygūs.
Gretimų kampų suma yra 180°. Iš to išplaukia, kad a 1 b + a 2 b = 180° ir c 1 d + c 2 d = 180°. Vadinasi, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ir c 2 d = 180 ° - c 1 d. Kadangi kampai (a 1 b) ir (c 1 d) yra lygūs, gauname, kad a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Pagal lygybės ženklo tranzityvumo savybę išplaukia, kad a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

4 klausimas. Koks kampas vadinamas stačiu (smailiu, buku)?
Atsakymas. Kampas, lygus 90°, vadinamas stačiu kampu.
Kampas, mažesnis nei 90°, vadinamas smailiuoju kampu.
Didesnis nei 90° ir mažesnis nei 180° kampas vadinamas buku kampu.

5 klausimas.Įrodykite, kad kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.
Atsakymas. Iš gretimų kampų sumos teoremos išplaukia, kad kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiakampis: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

6 klausimas. Kokie yra vertikalūs kampai?
Atsakymas. Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra papildomos kito kraštinių pusės linijos.

7 klausimas.Įrodykite, kad vertikalūs kampai yra lygūs.
Atsakymas. 2.2 teorema. Vertikalūs kampai lygūs.
Įrodymas. Tegu (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) pateikti vertikalūs kampai (34 pav.). Kampas (a 1 b 2) yra greta kampo (a 1 b 1) ir kampo (a 2 b 2). Iš čia pagal gretimų kampų sumos teoremą darome išvadą, kad kiekvienas iš kampų (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) papildo kampą (a 1 b 2) iki 180 °, t.y. kampai (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) yra lygūs. Q.E.D.

8 klausimas.Įrodykite, kad jei dviejų tiesių sankirtoje vienas iš kampų yra stačiakampis, tai kiti trys kampai taip pat yra statūs.
Atsakymas. Tarkime, kad tiesės AB ir CD kerta viena kitą taške O. Tarkime, kad kampas AOD yra 90°. Kadangi gretimų kampų suma yra 180°, gauname, kad AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB kampas yra vertikalus AOD kampui, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas COB = 90°. COA yra vertikalus BDS, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas BOD = 90°. Taigi visi kampai yra lygūs 90 °, tai yra, jie yra tinkami. Q.E.D.

9 klausimas. Kurios linijos vadinamos statmenomis? Koks ženklas naudojamas linijų statmenumui nurodyti?
Atsakymas. Dvi tiesės vadinamos statmenomis, jei jos susikerta stačiu kampu.
Linijų statmenumas žymimas \(\perp\). Įrašas \(a\perp b\) yra toks: "Tiesija a yra statmena linijai b".

10 klausimas.Įrodykite, kad per bet kurį tiesės tašką galima nubrėžti jam statmeną tiesę ir tik vieną.
Atsakymas. 2.3 teorema. Per kiekvieną eilutę galite nubrėžti jai statmeną liniją ir tik vieną.
Įrodymas. Tegul a yra duotoji tiesė, o A yra duotasis jos taškas. Pažymėkite a 1 vieną iš pustiesių tiese a su pradžios tašku A (38 pav.). Nuo pusės linijos a 1 atidėkite kampą (a 1 b 1), lygų 90 °. Tada linija, kurioje yra spindulys b 1, bus statmena tiesei a.

Tarkime, kad yra kita tiesė, kuri taip pat eina per tašką A ir yra statmena tiesei a. Pažymėkite c 1 šios tiesės pusliniją, esančią toje pačioje pusplokštumoje su spinduliu b 1 .
Kampai (a 1 b 1) ir (a 1 c 1), kiekvienas lygus 90°, yra išdėstyti vienoje pusiau plokštumoje nuo pustiesės a 1 . Tačiau nuo pusės linijos a 1 šioje pusiau plokštumoje galima atskirti tik vieną 90 ° kampą. Todėl negali būti kitos tiesės, einančios per tašką A ir statmenos tiesei a. Teorema įrodyta.

11 klausimas. Kas yra statmenas tiesei?
Atsakymas. Statmena duotai tiesei yra statmena duotajai tiesei atkarpa, kurios vienas iš galų yra jų susikirtimo taške. Šis segmento galas vadinamas pagrindu statmenai.

12 klausimas. Paaiškinkite, kas yra įrodinėjimas prieštaravimu.
Atsakymas.Įrodinėjimo metodas, kurį naudojome 2.3 teoremoje, vadinamas įrodinėjimu prieštaravimu. Šis įrodinėjimo būdas susideda iš to, kad pirmiausia darome prielaidą, priešingą tam, kas teigiama teoremoje. Tada, samprotaudami, remdamiesi aksiomomis ir įrodytomis teoremomis, darome išvadą, kuri prieštarauja arba teoremos sąlygai, arba vienai iš aksiomų, arba anksčiau įrodytai teoremai. Tuo remiantis darome išvadą, kad mūsų prielaida buvo klaidinga, o tai reiškia, kad teoremos tvirtinimas yra teisingas.

13 klausimas. Kas yra kampo bisektorius?
Atsakymas. Kampo bisektorius yra spindulys, kuris ateina iš kampo viršūnės, eina tarp jo kraštinių ir dalija kampą pusiau.

Kaip rasti gretimą kampą?

Matematika yra seniausias tikslusis mokslas, kurį privaloma mokytis mokyklose, kolegijose, institutuose ir universitetuose. Tačiau pagrindinės žinios visada įdedamos mokykloje. Kartais vaikui pateikiamos gana sunkios užduotys, o tėvai negali padėti, nes tiesiog pamiršo kai kuriuos dalykus iš matematikos. Pavyzdžiui, kaip rasti gretimą kampą pagal pagrindinio kampo reikšmę ir pan. Užduotis paprasta, tačiau ją išspręsti gali būti sunku, nes nežinote, kurie kampai vadinami gretimi ir kaip juos rasti.

Pažvelkime atidžiau į gretimų kampų apibrėžimą ir savybes, taip pat kaip juos apskaičiuoti pagal užduotyje pateiktus duomenis.

Gretimų kampų apibrėžimas ir savybės

Du spinduliai, sklindantys iš to paties taško, sudaro figūrą, vadinamą „plokščiu kampu“. Šiuo atveju šis taškas vadinamas kampo viršūne, o spinduliai yra jo kraštinės. Jei vienas iš spindulių tęsiasi toliau nei pradinis taškas išilgai tiesės, susidaro kitas kampas, vadinamas gretimu. Kiekvienas kampas šiuo atveju turi du gretimus kampus, nes kampo kraštinės yra lygiavertės. Tai yra, visada yra gretimas 180 laipsnių kampas.

Pagrindinės gretimų kampų savybės apima

• Gretimi kampai turi bendrą viršūnę ir vieną pusę;
• Gretutinių kampų suma visada yra 180 laipsnių arba pi, jei skaičiuojama radianais;
• Gretimų kampų sinusai visada lygūs;
• Gretimų kampų kosinusai ir liestinės yra lygūs, bet turi priešingus ženklus.

Kaip rasti gretimus kampus

Paprastai gretimų kampų vertei rasti pateikiami trys uždavinių variantai

• Pateikiama pagrindinio kampo reikšmė;
• Pateikiamas pagrindinio ir gretimo kampo santykis;
• Pateikiama vertikalaus kampo reikšmė.

Kiekviena problemos versija turi savo sprendimą. Apsvarstykime juos.

Atsižvelgiant į pagrindinio kampo vertę

Jei užduotyje nurodyta pagrindinio kampo reikšmė, tada gretimą kampą rasti labai paprasta. Norėdami tai padaryti, pakanka iš 180 laipsnių atimti pagrindinio kampo vertę ir gausite gretimo kampo vertę. Šis sprendimas kyla iš gretimo kampo savybės – gretimų kampų suma visada yra 180 laipsnių.

Jei pagrindinio kampo reikšmė pateikta radianais, o užduotyje reikia rasti gretimą kampą radianais, tada iš skaičiaus Pi reikia atimti pagrindinio kampo reikšmę, nes viso kampo reikšmė 180 laipsnių yra lygus skaičiui Pi.

Atsižvelgiant į pagrindinio ir gretimo kampo santykį

Uždavinyje vietoj pagrindinio kampo dydžio laipsnių ir radianų galima pateikti pagrindinio ir gretimo kampo santykį. Šiuo atveju sprendimas atrodys kaip proporcijų lygtis:

1. Pagrindinio kampo proporciją žymime kaip kintamąjį "Y".
2. Proporcija, susijusi su gretimu kampu, žymima kintamuoju "X".
3. Kiekvienos proporcijos laipsnių skaičių žymime, pavyzdžiui, „a“.
4. Bendra formulė atrodys taip – ​​a*X+a*Y=180 arba a*(X+Y)=180.
5. Bendrąjį lygties "a" koeficientą randame pagal formulę a=180/(X+Y).
6. Tada gautą bendro koeficiento „a“ reikšmę padauginame iš kampo, kurį reikia nustatyti, dalies.

Tokiu būdu galime rasti gretimo kampo reikšmę laipsniais. Tačiau, jei jums reikia rasti reikšmę radianais, tereikia laipsnius konvertuoti į radianus. Norėdami tai padaryti, padauginkite kampą laipsniais iš pi ir padalinkite iš 180 laipsnių. Gauta vertė bus išreikšta radianais.

Atsižvelgiant į vertikalaus kampo vertę

Jei uždavinyje nepateikta pagrindinio kampo reikšmė, o pateikta vertikalaus kampo reikšmė, tai gretimą kampą galima apskaičiuoti naudojant tą pačią formulę kaip ir pirmoje pastraipoje, kur pateikiama pagrindinio kampo reikšmė. .

Vertikalus kampas yra kampas, kuris kyla iš to paties taško, kaip ir pagrindinis, tačiau tuo pat metu yra nukreiptas tiksliai priešinga kryptimi. Dėl to susidaro veidrodinis vaizdas. Tai reiškia, kad vertikalus kampas yra lygus pagrindiniam kampui. Savo ruožtu gretimas vertikalaus kampo kampas yra lygus gretimo pagrindinio kampo kampui. Dėl to galima apskaičiuoti gretimą pagrindinio kampo kampą. Norėdami tai padaryti, tiesiog atimkite vertikalės vertę iš 180 laipsnių ir gaukite gretimo pagrindinio kampo kampo vertę laipsniais.

Jei vertė pateikiama radianais, tada iš skaičiaus Pi reikia atimti vertikalaus kampo reikšmę, nes viso 180 laipsnių kampo vertė yra lygi skaičiui Pi.

Taip pat galite perskaityti mūsų naudingus straipsnius ir.

Geometrija yra labai daugialypis mokslas. Tai lavina logiką, vaizduotę ir intelektą. Žinoma, dėl savo sudėtingumo ir daugybės teoremų bei aksiomų tai ne visada patinka moksleiviams. Be to, reikia nuolat įrodyti savo išvadas taikant visuotinai priimtus standartus ir taisykles.

Gretimi ir vertikalūs kampai yra neatsiejama geometrijos dalis. Žinoma, daugelis moksleivių juos tiesiog dievina dėl to, kad jų savybės yra aiškios ir lengvai įrodomos.

Kampų formavimas

Bet koks kampas susidaro susikirtus dviem tiesėms arba nubrėžus du spindulius iš vieno taško. Jie gali būti vadinami viena arba trimis raidėmis, kurios iš eilės nurodo kampo konstrukcijos taškus.

Kampai matuojami laipsniais ir (priklausomai nuo jų vertės) gali būti vadinami skirtingai. Taigi, yra stačiu kampu, aštriu, buku ir išdėstytu. Kiekvienas iš pavadinimų atitinka tam tikro laipsnio matą arba jo intervalą.

Smailusis kampas yra kampas, kurio matmenys neviršija 90 laipsnių.

Bukus kampas yra kampas, didesnis nei 90 laipsnių.

Kampas vadinamas tiesiuoju, kai jo matas yra 90.

Tuo atveju, kai jį sudaro viena ištisinė tiesė, o jos laipsnio matas yra 180, jis vadinamas dislokuotu.

Kampai, turintys bendrą kraštinę, kurios antroji pusė tęsiasi viena kitą, vadinami gretimais. Jie gali būti aštrūs arba buki. Tiesės susikirtimas sudaro gretimus kampus. Jų savybės yra šios:

1. Tokių kampų suma bus lygi 180 laipsnių (yra tai įrodanti teorema). Todėl vieną iš jų galima nesunkiai apskaičiuoti, jei kitas žinomas.
2. Iš pirmojo taško matyti, kad gretimų kampų negali sudaryti du bukieji arba du smailieji kampai.

Dėl šių savybių visada galima apskaičiuoti kampo laipsnį, atsižvelgiant į kito kampo reikšmę arba bent jau santykį tarp jų.

Vertikalūs kampai

Kampai, kurių kraštinės yra viena kitos tęsinys, vadinami vertikaliais. Bet kuri iš jų veislių gali veikti kaip tokia pora. Vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam.

Jie susidaro susikertant linijoms. Kartu su jais visada yra gretimų kampų. Kampas gali būti ir gretimas vienam, ir vertikalus kitam.

Kertant savavališką liniją, atsižvelgiama ir į dar kelis kampų tipus. Tokia linija vadinama sekantu ir sudaro atitinkamus, vienpusius ir kryžminius kampus. Jie yra lygūs vienas kitam. Į juos galima žiūrėti atsižvelgiant į vertikalių ir gretimų kampų savybes.

Taigi kampų tema atrodo gana paprasta ir suprantama. Visas jų savybes lengva prisiminti ir įrodyti. Spręsti uždavinius nėra sunku, kol kampai atitinka skaitinę reikšmę. Jau toliau, kai prasidės nuodėmės ir cos tyrimas, turėsite įsiminti daugybę sudėtingų formulių, jų išvadų ir pasekmių. Iki tol galite tiesiog mėgautis lengvais galvosūkiais, kuriuose jums reikia rasti gretimus kampus.

Šioje pamokoje mes apsvarstysime ir patys suprasime gretimų kampų sąvoką. Apsvarstykite su jais susijusią teoremą. Supažindinkime su „vertikalių kampų“ sąvoka. Apsvarstykite pagrindžiančius faktus apie šiuos kampus. Toliau mes suformuluojame ir įrodome dvi pasekmes apie kampą tarp vertikalių kampų bisektorių. Pamokos pabaigoje apsvarstysime keletą šiai temai skirtų problemų.

Pamoką pradėkime nuo „gretimų kampų“ sąvokos. 1 paveiksle parodytas išvystytas kampas ∠AOC ir spindulys OB, kuris padalija šį kampą į 2 kampus.

Ryžiai. 1. Kampas ∠AOC

Apsvarstykite kampus ∠AOB ir ∠BOC. Visiškai akivaizdu, kad jie turi bendrą VO pusę, o AO ir OS pusės yra priešingos. OA ir OS spinduliai papildo vienas kitą, o tai reiškia, kad jie yra toje pačioje tiesioje linijoje. Kampai ∠AOB ir ∠BOC yra gretimi.

Apibrėžimas: Jei du kampai turi bendrą kraštinę, o kitos dvi kraštinės yra vienas kitą papildantys spinduliai, tada šie kampai vadinami susijęs.

1 teorema: gretimų kampų suma lygi 180 o.

Ryžiai. 2. 1 teoremos brėžinys

∠MOL + ∠LON = 180o. Šis teiginys yra teisingas, nes spindulys OL padalija tiesųjį kampą ∠MON į du gretimus kampus. Tai yra, mes nežinome nė vieno gretimo kampo laipsnio matų, bet žinome tik jų sumą – 180 o.

Apsvarstykite dviejų linijų sankirtą. Paveikslėlyje parodyta dviejų tiesių sankirta taške O.

Ryžiai. 3. Vertikalūs kampai ∠BOA ir ∠COD

Apibrėžimas: Jei vieno kampo kraštinės yra antrojo kampo tęsinys, tada tokie kampai vadinami vertikaliais. Štai kodėl paveiksle pavaizduotos dvi vertikalių kampų poros: ∠AOB ir ∠COD, taip pat ∠AOD ir ∠BOC.

2 teorema: vertikalūs kampai lygūs.

Naudokime 3 pav. Panagrinėkime išvystytą kampą ∠AOC. ∠AOB \u003d ∠AOC – ∠BOC \u003d 180 o – β. Apsvarstykite išvystytą kampą ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.

Remdamiesi šiais svarstymais darome išvadą, kad ∠AOB = ∠COD = α. Panašiai ∠AOD = ∠BOC = β.

1 išvada: kampas tarp gretimų kampų bisektorių yra 90°.

Ryžiai. 4. 1 pasekmės brėžinys

Kadangi OL yra kampo ∠BOA bisektorius, tai kampas ∠LOB = , panašiai kaip ∠BOK = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Kampų α + β suma lygi 180 o, kadangi šie kampai yra gretimi.

2 išvada: kampas tarp vertikalių kampų įstrižainių yra 180°.

Ryžiai. 5. 2 pasekmės brėžinys

KO yra ∠AOB pusiausvyra, LO yra ∠COD pusiausvyra. Akivaizdu, kad ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Kampų α + β suma lygi 180 o, kadangi šie kampai yra gretimi.

Panagrinėkime keletą užduočių:

Raskite kampą, esantį greta ∠AOC, jei ∠AOC = 111 o.

Padarykime užduoties piešinį:

Ryžiai. 6. Brėžinys, pavyzdžiui, 1

Kadangi ∠AOC = β ir ∠COD = α yra gretimi kampai, tai α + β = 180 o. Tai yra, 111 o + β \u003d 180 o.

Vadinasi, β = 69 o.

Šio tipo uždaviniai išnaudoja gretimų kampų sumos teoremą.

Vienas iš gretimų kampų yra stačiakampis, kuris (smailus, bukas ar dešinysis) yra kitas kampas?

Jei vienas iš kampų yra tiesus, o dviejų kampų suma yra 180°, tai kitas kampas taip pat yra teisingas. Šia užduotimi tikrinamos žinios apie gretimų kampų sumą.

Ar tiesa, kad jei gretimi kampai yra lygūs, tai jie yra stačiakampiai?

Padarykime lygtį: α + β = 180 o, bet kadangi α = β, tai β + β = 180 o, vadinasi, β = 90 o.

Atsakymas: Taip, teiginys yra teisingas.

Duoti du vienodi kampai. Ar tiesa, kad greta jų esantys kampai taip pat bus lygūs?

Ryžiai. 7. Pavyzdžiui 4 piešinys

Jei du kampai lygūs α, tai atitinkami jų gretimi kampai bus 180 o - α. Tai yra, jie bus lygūs vienas kitam.

Atsakymas: teiginys yra teisingas.

1. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. tt Geometrija 7. - M.: Nušvitimas.
2. Atanasjanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B. ir kt., Geometrija 7. 5 leidimas. - M.: Švietimas.
3. \Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolovas, redagavo V.A. Sadovnichy. - M.: Švietimas, 2010 m.

1. Segmentų matavimas ().
2. Bendroji geometrijos pamoka 7 klasėje ().
3. Tiesi linija, segmentas ().

1. Nr. 13, 14. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolovas, redagavo V.A. Sadovnichy. - M.: Švietimas, 2010 m.
2. Raskite du gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 4 kartus didesnis už kitą.
3. Duotas kampas. Sukurkite gretimus ir vertikalius kampus. Kiek tokių kampelių galima pastatyti?
4. * Kokiu atveju gaunama daugiau vertikalių kampų porų: kai trys tiesės susikerta viename taške ar trijuose taškuose?

1. Gretimi kampai.

Jei tęsiame kokio nors kampo kraštinę už jo viršūnės, gauname du kampus (72 pav.): ∠ABC ir ∠CBD, kuriuose viena BC kraštinė yra bendra, o kitos dvi, AB ir BD, sudaro tiesią liniją. .

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (neguli ant duotosios tiesės), tai gauname gretimus kampus.

Pavyzdžiui, ∠ADF ir ∠FDВ yra gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų suma lygi 180°

Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų reikšmę, galime rasti kito gretimo kampo reikšmę.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 54°, tada antrasis kampas bus:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalūs kampai.

Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 paveiksle kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.

Tegul ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (76 pav.). ∠2 šalia jo bus lygus 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.y. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra ∠3 ir ∠4.

∠3 = 180° – 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (77 pav.).

Matome, kad ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.

Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti įrodymu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

∠a +∠c= 180°;

∠b +∠c= 180°;

(kadangi gretimų kampų suma yra 180°).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(kadangi kairioji šios lygties pusė yra 180°, o dešinė taip pat yra 180°).

Ši lygybė apima tą patį kampą Su.

Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: ∠a = ∠b, t.y., vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 brėžinyje ∠1, ∠2, ∠3 ir ∠4 yra toje pačioje linijos pusėje ir turi bendrą viršūnę šioje tiesėje. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Brėžinyje 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ir ∠5 turi bendrą viršūnę. Šie kampai sudaro visą kampą, t. y. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Kitos medžiagos