Ši funkcija arba didėja, arba mažėja. Funkcija didėjanti ir mažėjanti
Norėdami suprasti šią temą, apsvarstykite grafike rodomą funkciją // Parodykime, kaip funkcijos grafikas leidžia nustatyti jos savybes.
Funkcijos savybes analizuojame naudodami pavyzdį
Funkcijos apimtis yra yavl. intervalas [ 3,5; 5.5].
Funkcijos yavl diapazonas. intervalas [ 1; 3].
1. Kai x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, funkcijos reikšmė lygi nuliui.
Argumento reikšmė, kuriai esant funkcijos reikšmė lygi nuliui, vadinama funkcijos nuliu.
//tie. šiai funkcijai skaičiai -3;-1;1,5; 4,5 yra nuliai.
2. Ant intervalų [ 4,5; 3) ir (1; 1.5) ir (4.5; 5.5] funkcijos f grafikas yra virš abscisių ašies, o intervalais (-3; -1) ir (1.5; 4.5) po abscisių ašimi, tai yra paaiškinama taip - intervaluose [ 4.5; 3) ir (1; 1.5) ir (4.5; 5.5] funkcija įgauna teigiamas reikšmes, o intervaluose (-3; -1) ir ( 1.5; 4.5) yra neigiamos.
Kiekvienas iš nurodytų intervalų (kai funkcija įgauna to paties ženklo reikšmes) vadinamas funkcijos pastovaus ženklo intervalu f.//t.y. pavyzdžiui, jei imsime intervalą (0; 3), tai tai nėra duotosios funkcijos pastovaus ženklo intervalas.
Matematikoje, ieškant funkcijos pastovaus ženklo intervalų, įprasta nurodyti didžiausio ilgio intervalus. //Tie. intervalas (2; 3) yra pastovumo intervalas funkcija f, bet atsakyme turi būti intervalas [ 4,5; 3) turintis intervalą (2; 3).
3. Jei judėsite išilgai x ašies nuo 4,5 iki 2, pastebėsite, kad funkcijos grafikas krenta žemyn, tai yra, funkcijos reikšmės mažėja. //Matematikoje įprasta sakyti, kad intervale [ 4,5; 2] funkcija mažėja.
Kai x didėja nuo 2 iki 0, funkcijos grafikas kyla aukštyn, t.y. funkcijų reikšmės didėja. //Matematikoje įprasta sakyti, kad intervale [ 2; 0] funkcija didėja.
Funkcija f iškviečiama, jei bet kurioms dviem argumento x1 ir x2 reikšmėms iš šio intervalo, kad x2 > x1 tenkinama nelygybė f (x2) > f (x1). // arba Funkcija iškviečiama didėja per tam tikrą intervalą, jei kurioms argumento reikšmėms iš šio intervalo didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.//t.y. kuo daugiau x, tuo daugiau y.
Funkcija vadinama mažėja per tam tikrą intervalą, jei bet kurioms dviem argumento x1 ir x2 reikšmėms iš šio intervalo, kad x2 > x1, nelygybė f(x2) mažėja tam tikru intervalu, jei bet kurioms argumento reikšmėms iš šio intervalo yra didesnė argumentas atitinka mažesnę funkcijos reikšmę. //tie. kuo daugiau x, tuo mažiau y.
Jei funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje, tada ji vadinama didėja.
Jei funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje, tada ji vadinama silpsta.
1 pavyzdys atitinkamai didėjančių ir mažėjančių funkcijų grafikas.
2 pavyzdys
Apibrėžkite yavl. tiesinė funkcija f(x) = 3x + 5 didėja ar mažėja?
Įrodymas. Naudokime apibrėžimus. Tegul x1 ir x2 yra savavališkos argumento reikšmės, o x1< x2., например х1=1, х2=7
Funkcijų kraštutinumai
2 apibrėžimas
Taškas $x_0$ vadinamas funkcijos $f(x)$ maksimumo tašku, jei yra šio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\le f(x_0 )$ patenkintas.
3 apibrėžimas
Taškas $x_0$ vadinamas funkcijos $f(x)$ maksimumo tašku, jei yra šio taško kaimynystė, kad visiems $x$ iš šios apylinkės nelygybė $f(x)\ge f(x_0 )$ patenkintas.
Funkcijos ekstremumo sąvoka glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibrėžimą.
4 apibrėžimas
$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:
1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.
Ekstremo sąvokai galima suformuluoti teoremas dėl pakankamų ir būtinų jo egzistavimo sąlygų.
2 teorema
Pakankama ekstremalių būklė
Tegul taškas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja išvestinė $f"(x)$ ir laikykite pastovų ženklą. Tada:
1) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\ dešinėje)
2) Jei išvestinė $f"\left(x\right)0$ yra intervale $(a,x_0)$, tai taškas $x_0$ yra mažiausias šios funkcijos taškas.
3) Jei ir intervale $(a,x_0)$ ir intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\right) >0$ arba išvestinė $f"\left(x \dešinė)
Ši teorema pavaizduota 1 paveiksle.
1 pav. Pakankama sąlyga ekstremumams egzistuoti
Kraštutinybių pavyzdžiai (2 pav.).
2 pav. Ekstremumo taškų pavyzdžiai
Ekstremo funkcijos tyrimo taisyklė
2) Raskite išvestinę $f"(x)$;
7) Pagal 2 teoremą padarykite išvadas apie maksimumų ir minimumų buvimą kiekviename intervale.
Funkcija didėjanti ir mažėjanti
Pirmiausia pristatykime didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimus.
5 apibrėžimas
Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama didėjančia, jei bet kuriuose $x_1 taškuose $x_1,x_2\in X$
6 apibrėžimas
Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, vadinama mažėjančia, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ taškuose $x_1,x_2\in X$.
Didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimas
Galite ištirti didinimo ir mažinimo funkcijas naudodami išvestinę.
Norėdami ištirti didėjimo ir mažėjimo intervalų funkciją, turite atlikti šiuos veiksmus:
1) Raskite funkcijos $f(x)$ sritį;
2) Raskite išvestinę $f"(x)$;
3) Raskite taškus, kur lygybė $f"\left(x\right)=0$;
4) Raskite taškus, kuriuose $f"(x)$ nėra;
5) Koordinačių tiesėje pažymėkite visus rastus taškus ir duotosios funkcijos sritį;
6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename gautame intervale;
7) Padarykite išvadą: intervaluose, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija didėja.
Didinimo, mažinimo ir ekstremalių taškų buvimo funkcijų tyrimo problemų pavyzdžiai
1 pavyzdys
Ištirkite didinimo ir mažėjimo funkciją bei maksimumų ir minimumų taškų buvimą: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Kadangi pirmieji 6 taškai yra vienodi, juos ištrauksime pirmiausia.
1) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;
5) Koordinačių linija:
3 pav
6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename intervale:
\ \ jei bet kuriai taškų porai X ir X", a ≤ x, nelygybė f(x) ≤ f (x"), o griežtai didinant – jei nelygybė f (x) f(x"). Funkcijos sumažėjimas ir griežtas sumažėjimas apibrėžiami panašiai. Pavyzdžiui, funkcija adresu = X 2 (ryžių. , a) griežtai didėja segmente , ir
(ryžių. , b) šiame segmente griežtai mažėja. Žymimos didėjančios funkcijos f (x), ir mažėja f (x)↓. Siekiant diferencijuojamos funkcijos f (x) didėjo per intervalą [ a, b], būtina ir pakanka, kad jos išvestinė f"(x) buvo ne neigiamas [ a, b].
Kartu su funkcijos padidėjimu ir sumažėjimu atkarpoje atsižvelgiama į funkcijos padidėjimą ir sumažėjimą taške. Funkcija adresu = f (x) vadinamas didėjančiu taške x 0, jei yra toks intervalas (α, β), kuriame yra taškas x 0, kuris bet kuriam taškui X iš (α, β), x> x 0, nelygybė f (x 0) ≤ f (x) ir bet kuriam taškui X iš (α, β), x 0 , nelygybė f (x) ≤ f (x 0). Griežtas funkcijos padidėjimas taške apibrėžiamas panašiai x 0 . Jeigu f"(x 0) > 0, tada funkcija f(x) taške griežtai didėja x 0 . Jeigu f (x) didėja kiekviename intervalo taške ( a, b), tada per šį intervalą jis didėja.
S. B. Stechkinas.
Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .
Pažiūrėkite, kas yra „didinanti ir mažinanti funkcija“ kituose žodynuose:
Matematinės analizės sampratos. Funkcija f(x) vadinama didėjančia segmente GYVENTOJŲ AMŽIAUS STRUKTŪRA, skirtingų gyventojų amžiaus grupių skaičiaus santykis. Priklauso nuo gimstamumo ir mirtingumo, žmonių gyvenimo trukmės... Didysis enciklopedinis žodynas
Matematinės analizės sampratos. Funkcija f(x) vadinama didėjančia intervale, jei bet kuriai taškų porai x1 ir x2 a≤x1 ... enciklopedinis žodynas
Matematikos sąvokos. analizė. Iškviesta funkcija f(x). didėja atkarpoje [a, b], jei bet kuriai taškų porai x1 ir x2, ir<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
Matematikos šaka, tirianti funkcijų išvestines ir diferencialus bei jų taikymą funkcijoms tirti. D. registracija ir. į savarankišką matematinę discipliną siejama su I. Newtono ir G. Leibnizo vardais (17 antroji pusė ... Didžioji sovietinė enciklopedija
Matematikos šaka, kurioje tiriamos išvestinės ir diferencialo sąvokos ir kaip jos taikomos funkcijoms tirti. D. raidą ir. glaudžiai susiję su integralinio skaičiavimo raida. Neatsiejama ir jų turinys. Kartu jie sudaro pagrindą... Matematinė enciklopedija
Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. funkciją. Užklausa „Rodyti“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes ... Vikipedija
Aristotelis ir peripatetikai– Aristotelinis klausimas Aristotelio gyvenimas Aristotelis gimė 384/383 m. pr. Kr e. Stagiroje, Makedonijos pasienyje. Jo tėvas, vardu Nikomachas, buvo Makedonijos karaliaus Amynto, Pilypo tėvo, gydytojas. Kartu su šeima jaunasis Aristotelis ...... Vakarų filosofija nuo jos ištakų iki šių dienų
- (QCD), stipraus kvarkų ir gliuonų poveikio kvantinio lauko teorija, sukurta kvantinio įvaizdyje. elektrodinamika (QED), pagrįsta "spalvos" matuoklio simetrija. Skirtingai nuo QED, fermionai QCD turi papildymą. laisvės laipsnio kvantas. numeris,…… Fizinė enciklopedija
I Širdis Širdis (lot. cor, graik. cardia) – tuščiaviduris fibromuskulinis organas, kuris, veikdamas kaip siurblys, užtikrina kraujo judėjimą kraujotakos sistemoje. Anatomija Širdis yra priekiniame tarpuplautyje (tarpuplautyje) perikarde tarp ... Medicinos enciklopedija
Augalo, kaip ir bet kurio kito gyvo organizmo, gyvenimas yra sudėtingas tarpusavyje susijusių procesų rinkinys; reikšmingiausias iš jų, kaip žinoma, yra medžiagų mainai su aplinka. Aplinka yra šaltinis, iš kurio ...... Biologinė enciklopedija
Funkcija y=f(x) per intervalą mažėja X, jei kam ir 
nelygybę 
. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
| 17) Funkcija y \u003d x n, kur n yra natūralusis skaičius, vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu. Jei n = 1, gauname funkciją y = x. Jei n \u003d 2, gauname funkciją y \u003d x 2. Atkreipkite dėmesį, kad dėl natūralių n galios funkcija apibrėžiama sveikojo skaičiaus ašyje. Savavališkai realiai n tai neįmanoma, todėl galios funkcija su realiu eksponentu apibrėžiama tik teigiamam x. Funkcija y \u003d x 2. Išvardijame funkcijos y \u003d x 2 savybes. 1) Funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė. 2) y \u003d x 2 - lyginė funkcija (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)). 3) Funkcija mažėja intervale (jei x 1< x 2 ≤ 0, то х 1 2 >x 2 2 , o tai reiškia, kad funkcija mažėja). Funkcijos y \u003d x 2 grafikas yra parabolė (žr. pav.). |
 |
| kai n = 3, gauname funkciją y = x 3. Funkcija y \u003d x 3. Išvardijame funkcijos y \u003d x 3 savybes. 1) Funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė. 2) y \u003d x 3 - nelyginė funkcija (f (- x) \u003d (- x) 3 \u003d - x 3 \u003d - f (x)) 3) Funkcija y \u003d x 3 didėja visoje tikra linija. Funkcijos y \u003d x 3 grafikas parodytas paveikslėlyje. Ji vadinama kubine parabole. |
 17) Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas · Funkcija, kurios forma y=a x, kur a>0, a≠1, x yra bet koks skaičius, vadinama eksponentine funkcija. · Eksponentinės funkcijos sritis: D (y)=R yra visų realiųjų skaičių aibė. · Eksponentinės funkcijos diapazonas: E (y)=R + – visų teigiamų skaičių aibė. · Eksponentinė funkcija y=a x didėja, kai a>1. Eksponentinė funkcija y=a x mažėja ties 0   |
18) Funkcija formos y = log a (x), kur a bet koks teigiamas skaičius, nelygus vienetui, vadinamas logaritmine funkcija su baze a. Čia ir toliau, norėdami pažymėti logaritmą, naudosime tokį žymėjimą: log a (b) – šis žymėjimas žymės b logaritmą bazei a.
Pagrindinės logaritminės funkcijos savybės:
1. Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis bus visa teigiamų realiųjų skaičių aibė. Dėl trumpumo jis taip pat vadinamas R+. Akivaizdi savybė, nes kiekvienas teigiamas skaičius turi logaritmą bazei a.
2. Logaritminės funkcijos reikšmės sritis bus visa realiųjų skaičių rinkinys.
3. Jei logaritminės funkcijos bazė a>1, tai ji didėja visoje funkcijos srityje. Jei logaritminės funkcijos bazė tenkina šią nelygybę 0 4. Logaritminės funkcijos grafikas visada eina per tašką (1; 0). 5. Didėjanti logaritminė funkcija, bus teigiama, kai x>1, ir neigiama, kai yra 0<х<1. Šis paveikslas yra mažėjančios logaritminės funkcijos grafikas - (0 7. Funkcija nėra lyginė ar nelyginė. Logaritminė funkcija yra bendroji funkcija. 8. Funkcija neturi maksimalaus ir mažiausio taškų. sinuso funkcija kosinuso funkcija Tangento funkcija Funkcijų reikšmių rinkinys- visa skaičių eilutė, t.y. tangentas – funkcija neribotas. Funkcija nelyginė: tg(-x)=-tg x Periodinė funkcija su mažiausiu teigiamu periodu π
, t.y. tg(x+ π·
k) = taksas, k ∈ Z visiems x iš apibrėžimo srities. kotangentinė funkcija Funkcijų reikšmių rinkinys- visa skaičių eilutė, t.y. kotangentas – funkcija neribotas. Funkcija nelyginė: ctg(-x)=-ctg x visiems x domene. Periodinė funkcija su mažiausiu teigiamu periodu π
, t.y. ctg(x+ π·
k)=ctgx, k ∈ Z visiems x iš apibrėžimo srities. 21)) Skaičių rinkinys, kurių kiekvienas turi savo numerį P
(P
= 1, 2, 3, ...) vadinama skaičių seka. Atskiri sekos skaičiai vadinami jos nariais ir paprastai žymimi taip: pirmasis narys a
1, antra a
2 , .... P
narys a
n tt Pažymima visa skaitinė seka a 1 , a
2 , a
3 , ... , a
n, ... arba ( a
n}. 22) Aritmetinė progresija. Skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridedamas pastoviu šios sekos skaičiumi d, vadinamas aritmetinė progresija. Skaičius d paskambino progresavimo skirtumas. Bet kuris aritmetinės progresijos narys apskaičiuojamas pagal formulę: a n = a 1 + d (n - 1) .
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojamas kaip: Geometrinė progresija. Skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padauginta iš pastovaus šios sekos skaičiaus q, vadinamas geometrinis progresija. Skaičius q paskambino progresijos vardiklis. Bet kuris geometrinės progresijos narys apskaičiuojamas pagal formulę: b n = b 1 qn - 1 .
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma apskaičiuojamas kaip: Be galo mažėjanti geometrinė progresija yra begalinė geometrinė progresija, kurios vardiklis atitinka sąlygą . Neribotai padidinus, suma ) Funkcijos f(x), f′(x) išvestinė pati yra funkcija. Vadinasi, galime rasti jos išvestinę. Pavadinkime f′(x) pirmosios eilės funkcijos f(x) išvestine. Funkcijos f(x) išvestinė vadinama antros eilės išvestine (arba antrąja). išvestinė). Išvestinės geometrinė reikšmė. Išvestinė taške x 0 lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui y = f(x) Šiuo atveju. Funkcijos grafiko liestinės lygtis: y \u003d f (a) + f "(a) (x - a) y \u003d f (a) + f "(a) (x - a) Išvestinio fizinė reikšmė. Jei taškas juda išilgai x ašies ir jo koordinatė keičiasi pagal x(t) dėsnį, tai momentinis taško greitis: 24)) Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė Funkcijų algebrinės sumos išvestinė išreiškiama tokia teorema. Sumos išvestinė (skirtumas) dvi diferencijuojamos funkcijos yra lygios šių funkcijų išvestinių sumai (skirtumui): Diferencijuojamų funkcijų baigtinės algebrinės sumos išvestinė lygi tai pačiai algebrinei išvestinių terminų sumai. Pavyzdžiui,
6. Mažėjanti logaritminė funkcija bus neigiama, kai x>1, ir teigiama, jei 0 
Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R. Funkcijos reikšmių rinkinys yra segmentas [-1; 1], t.y. sinuso funkcija yra ribota. Funkcija nelyginė: sin(−x)=−sin x visiems x ∈ R. Funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu. 2 periodinė funkcija π
: sin(x+2 π·
k) = sin x, kur k ∈ Z visiems x ∈ R. sin x = 0, kai x = π k, k ∈ Z. sin x > 0 (teigiamas) visiems x ∈ ( 2π k, π+2π k), k ∈ Z. sin x< 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π k, 2π+2π k), k ∈ Z.
Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R. Funkcijos reikšmių rinkinys yra segmentas [-1; 1], t.y. kosinuso funkcija yra ribojama. Funkcija yra lyginė: cos(-x)=cos x visiems x ∈ R. Funkcija yra periodinė su mažiausiu teigiamu periodu 2 π
: cos(x+2 π·
k) = cos x, kur k∈ Z visiems x ∈ R.
cos x = 0 at
cos x > 0 visiems
cos x< 0для всех
Funkcija didėja nuo –1 iki 1 intervalais:
Funkcija mažėja nuo –1 iki 1 intervalais:
Didžiausia funkcijos sin x = 1 reikšmė taškuose:
Mažiausia funkcijos sin x = −1 reikšmė taškuose:
Funkcijos grafikas yra simetriškas OY ašiai.
Funkcijos grafikas yra simetriškas OY ašiai.20) Bendras funkcijos vaizdas Transformacijos
y = f(x - b)
Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai x ašies ant | b | vienetų
y = f(x + b)
y = f(x) + m
Lygiagretus grafiko vertimas išilgai y ašies ties | m | vienetų
Grafiko atspindys
y = f(- x)
ordinatės
y = - f(x)
Simetriškas grafiko atspindys apie ašį abscisė.
Grafiko susitraukimas ir ištempimas
y = f(kx)
y = kf(x)
Grafų transformacijos su moduliu
y = | f(x) |
y = f(| x |)
pirmieji be galo mažėjančios geometrinės progresijos nariai linkę į skaičių, kuris vadinamas be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma.
