Koks yra tiesios prizmės plotas? Prizmės šoninio paviršiaus plotas

Apibrėžimas 1. Prizminis paviršius
Teorema 1. Prizminio paviršiaus lygiagrečiose pjūviuose
Apibrėžimas 2. Prizminio paviršiaus statmenas pjūvis
Apibrėžimas 3. Prizmė
Apibrėžimas 4. Prizmės aukštis
5 apibrėžimas. Dešinioji prizmė
2 teorema. Prizmės šoninio paviršiaus plotas

Lygiagretaus vamzdis:
Apibrėžimas 6. Lygiagretainis
3 teorema. Apie gretasienio įstrižainių sankirtą
Apibrėžimas 7. Dešinysis gretasienis
Apibrėžimas 8. Stačiakampis gretasienis
Apibrėžimas 9. Lygiagretainio vamzdžio matavimai
Apibrėžimas 10. Kubas
Apibrėžimas 11. Romboedras
4 teorema. Stačiakampio gretasienio įstrižainėse
5 teorema. Prizmės tūris
6 teorema. Tiesiosios prizmės tūris
7 teorema. Stačiakampio gretasienio tūris

Prizmė yra daugiabriaunis, kurio du paviršiai (pagrindai) yra lygiagrečiose plokštumose, o briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios viena kitai.
Vadinami veidai, išskyrus pagrindus šoninis.
Šoninių paviršių ir pagrindų šonai vadinami prizmės šonkauliai, kraštinių galai vadinami prizmės viršūnių. Šoniniai šonkauliai vadinamos pagrindams nepriklausančios briaunos. Šoninių veidų sąjunga vadinama šoninis prizmės paviršius, o visų veidų sąjunga vadinama viso prizmės paviršiaus. Prizmės aukštis vadinamas statmenu, nuleistu nuo viršutinio pagrindo taško iki apatinio pagrindo plokštumos arba šio statmens ilgio. Tiesioginė prizmė vadinama prizme, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms. Teisingai vadinama tiesia prizme (3 pav.), kurios pagrindu yra taisyklingas daugiakampis.

Pavadinimai:
l - šoninis šonkaulis;
P - bazinis perimetras;
S o - bazinis plotas;
H - aukštis;
P^ - statmenos pjūvio perimetras;
S b - šoninio paviršiaus plotas;
V - tūris;
S p - plotas viso paviršiaus prizmės.

V=SH
S p = S b + 2S o
S b = P ^ l

1 apibrėžimas . Prizminis paviršius – tai figūra, sudaryta iš kelių vienai tiesei lygiagrečių plokštumų dalių, apribota tų tiesių, išilgai kurių šios plokštumos paeiliui kerta viena kitą*; šios linijos yra lygiagrečios viena kitai ir vadinamos prizminio paviršiaus briaunos.
*Daroma prielaida, kad kas dvi nuoseklios plokštumos susikerta, o paskutinė plokštuma kerta pirmąją

1 teorema . Prizminio paviršiaus atkarpos plokštumose, lygiagrečiomis viena kitai (bet ne lygiagrečiomis jo kraštams), yra lygūs daugiakampiai.
Tegu ABCDE ir A"B"C"D"E yra prizminio paviršiaus atkarpos dviem lygiagrečiomis plokštumomis. Kad įsitikintumėte, jog šie du daugiakampiai yra lygūs, pakanka parodyti, kad trikampiai ABC ir A"B"C" yra vienodi ir turi tą pačią sukimosi kryptį ir tas pats galioja trikampiams ABD ir A"B"D", ABE ir A"B"E. Bet atitinkamos šių trikampių kraštinės yra lygiagrečios (pavyzdžiui, AC lygiagreti AC) kaip tam tikros plokštumos susikirtimo su dviem lygiagrečiomis plokštumomis linija; iš to išplaukia, kad šios kraštinės yra lygios (pavyzdžiui, AC lygi A"C"), kaip ir priešingos lygiagretainio kraštinės, ir kad šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs ir vienodos krypties.

2 apibrėžimas . Prizminio paviršiaus statmena pjūvis – tai šio paviršiaus pjūvis plokštuma, statmena jo kraštams. Remiantis ankstesne teorema, visos statmenos to paties prizminio paviršiaus atkarpos bus lygūs daugiakampiai.

3 apibrėžimas . Prizmė yra daugiakampis, kurį riboja prizminis paviršius ir dvi lygiagrečios viena kitai plokštumos (bet ne lygiagrečios prizminio paviršiaus kraštams).
Šiose paskutinėse plokštumose gulintys veidai vadinami prizmių pagrindai; prizminiam paviršiui priklausantys veidai - šoniniai veidai; prizminio paviršiaus kraštai - šoniniai prizmės šonkauliai. Remiantis ankstesne teorema, prizmės pagrindas yra lygūs daugiakampiai. Visi šoniniai prizmės paviršiai - lygiagretainiai; visi šoniniai šonkauliai yra lygūs vienas kitam.
Akivaizdu, kad jei yra nurodytas prizmės ABCDE pagrindas ir viena iš kraštinių AA" pagal dydį ir kryptį, tai galima sukonstruoti prizmę nubrėžiant briaunas BB", CC", ... lygias ir lygiagrečias kraštinei AA" .

4 apibrėžimas . Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų plokštumų (HH").

5 apibrėžimas . Prizmė vadinama tiesia, jei jos pagrindai yra statmenos prizminio paviršiaus atkarpos. Šiuo atveju prizmės aukštis, žinoma, yra jos šoninis šonkaulis; šoniniai kraštai bus stačiakampiai.
Prizmės gali būti klasifikuojamos pagal šoninių paviršių skaičių, vienodas skaičius daugiakampio, kuris yra jo pagrindas, kraštinės. Taigi prizmės gali būti trikampės, keturkampės, penkiakampės ir kt.

2 teorema . Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus šoninio krašto ir statmenos pjūvio perimetro sandaugai.
Tegul ABCDEA"B"C"D"E" yra duotoji prizmė ir abcde jos statmena pjūvis, kad atkarpos ab, bc, .. būtų statmenos jos šoninėms briaunoms. Paviršius ABA"B" yra lygiagretainis; jo plotas yra lygus bazės AA sandaugai iki aukščio, kuris sutampa su ab; veido plotas ВСВ "С" yra lygus pagrindo ВВ sandaugai iš aukščio bc ir tt. šoninis paviršius(t. y. šoninių paviršių plotų suma) yra lygi šoninės briaunos sandaugai, kitaip tariant, bendram atkarpų AA", BB", .. ilgiui, sumai ab+bc+cd. +de+ea.

Skirtingos prizmės skiriasi viena nuo kitos. Tuo pačiu metu jie turi daug bendro. Norėdami rasti prizmės pagrindo plotą, turėsite suprasti, kokio tipo ji yra.

Bendroji teorija

Prizmė yra bet koks daugiakampis pusės kurios turi lygiagretainio formą. Be to, jo pagrindas gali būti bet koks daugiakampis - nuo trikampio iki n kampo. Be to, prizmės pagrindai visada yra lygūs vienas kitam. Šoniniams paviršiams netinka tai, kad jų dydis gali labai skirtis.

Sprendžiant problemas susiduriama ne tik su prizmės pagrindo plotu. Tam gali prireikti žinių apie šoninį paviršių, tai yra, visus veidus, kurie nėra pagrindai. Visas paviršius bus visų prizmę sudarančių veidų sąjunga.

Kartais problemos yra susijusios su ūgiu. Jis yra statmenas pagrindams. Daugiakampio įstrižainė yra atkarpa, kuri poromis jungia bet kurias dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Reikėtų pažymėti, kad tiesios arba pasvirusios prizmės pagrindo plotas nepriklauso nuo kampo tarp jų ir šoninių paviršių. Jei jų viršuje ir apačioje yra vienodos figūros, tada jų plotai bus vienodi.

Trikampė prizmė

Jo pagrinde yra figūra su trimis viršūnėmis, tai yra, trikampis. Kaip žinote, gali būti kitaip. Jei taip, pakanka prisiminti, kad jo plotą lemia pusė kojų sandaugos.

Matematinis žymėjimas atrodo taip: S = ½ vid.

Norėdami sužinoti bazės plotą bendras vaizdas, pravers formulės: Garnys ir ta, kurioje pusė šono paimama į jam nubrėžtą aukštį.

Pirmąją formulę reikia parašyti taip: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Šiame žymėjime yra pusiau perimetras (p), ty trijų kraštinių suma, padalyta iš dviejų.

Antra: S = ½ n a * a.

Jei norite sužinoti trikampės prizmės pagrindo plotą, kuris yra taisyklingas, tada trikampis pasirodo lygiakraštis. Tam yra formulė: S = ¼ a 2 * √3.

Keturkampė prizmė

Jo pagrindas yra bet kuris iš žinomų keturkampių. Tai gali būti stačiakampis arba kvadratas, gretasienis arba rombas. Kiekvienu atveju, norint apskaičiuoti prizmės pagrindo plotą, jums reikės savo formulės.

Jei pagrindas yra stačiakampis, tai jo plotas nustatomas taip: S = ab, kur a, b yra stačiakampio kraštinės.

Kada mes kalbame apie apie keturkampę prizmę, tada taisyklingos prizmės pagrindo plotas apskaičiuojamas naudojant kvadrato formulę. Nes būtent jis guli prie pamatų. S = a 2.

Tuo atveju, kai pagrindas yra gretasienis, reikės tokios lygybės: S = a * n a. Pasitaiko, kad duota gretasienio kraštinė ir vienas iš kampų. Tada, norėdami apskaičiuoti aukštį, turėsite naudoti papildomą formulę: n a = b * sin A. Be to, kampas A yra greta „b“ kraštinės, o aukštis n yra priešingas šiam kampui.

Jei prizmės pagrinde yra rombas, tada jo plotui nustatyti reikės tos pačios formulės kaip ir lygiagretainiam (nes tai ypatingas atvejis). Bet galite naudoti ir tai: S = ½ d 1 d 2. Čia d 1 ir d 2 yra dvi rombo įstrižainės.

Taisyklinga penkiakampė prizmė

Šiuo atveju daugiakampis yra padalintas į trikampius, kurių plotus lengviau sužinoti. Nors pasitaiko, kad figūros gali turėti skirtingą viršūnių skaičių.

Kadangi prizmės pagrindas yra taisyklingas penkiakampis, ją galima padalyti į penkis lygiakraščius trikampius. Tada prizmės pagrindo plotas lygus vieno tokio trikampio plotui (formulę galima pamatyti aukščiau), padaugintam iš penkių.

Taisyklinga šešiakampė prizmė

Taikant penkiakampei prizmei aprašytą principą, pagrindo šešiakampį galima padalyti į 6 lygiakraščius trikampius. Tokios prizmės pagrindo ploto formulė yra panaši į ankstesnę. Tik ją reikėtų padauginti iš šešių.

Formulė atrodys taip: S = 3/2 a 2 * √3.

Užduotys

Nr. 1. Duota taisyklinga tiesė, jos įstrižainė 22 cm, daugiakampio aukštis 14 cm. Apskaičiuokite prizmės pagrindo ir viso paviršiaus plotą.

Sprendimas. Prizmės pagrindas yra kvadratas, bet jo kraštinė nežinoma. Jo reikšmę galite rasti iš kvadrato įstrižainės (x), kuri yra susijusi su prizmės įstriža (d) ir jos aukščiu (h). x 2 = d 2 – n 2. Kita vertus, ši atkarpa „x“ yra trikampio, kurio kojos yra lygios kvadrato kraštinei, hipotenuzė. Tai yra, x 2 = a 2 + a 2. Taigi išeina, kad a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Vietoj d pakeiskite skaičių 22, o "n" pakeiskite jo reikšme - 14, paaiškėja, kad kvadrato kraštinė yra 12 cm. Dabar tiesiog sužinokite pagrindo plotą: 12 * 12 = 144 cm 2.

Norėdami sužinoti viso paviršiaus plotą, turite pridėti du kartus pagrindinį plotą ir keturis kartus padidinti šoninį plotą. Pastarąjį nesunkiai galima rasti naudojant stačiakampio formulę: padauginkite daugiakampio aukštį ir pagrindo kraštinę. Tai yra, 14 ir 12, šis skaičius bus lygus 168 cm 2. Pasirodo, kad bendras prizmės paviršiaus plotas yra 960 cm2.

Atsakymas. Prizmės pagrindo plotas yra 144 cm2. Visas paviršius yra 960 cm2.

Nr. 2. Duota Prie pagrindo yra trikampis, kurio kraštinė yra 6 cm. Šiuo atveju šoninio paviršiaus įstrižainė yra 10 cm Apskaičiuokite plotus: pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Sprendimas. Kadangi prizmė yra taisyklinga, jos pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Todėl jo plotas yra lygus 6 kvadratui, padaugintam iš ¼ ir kvadratinės šaknies iš 3. Paprastas skaičiavimas leidžia gauti rezultatą: 9√3 cm 2. Tai yra vieno prizmės pagrindo plotas.

Visi šoniniai paviršiai yra vienodi ir yra stačiakampiai, kurių kraštinės yra 6 ir 10 cm. Norėdami apskaičiuoti jų plotus, tiesiog padauginkite šiuos skaičius. Tada padauginkite juos iš trijų, nes prizmė turi lygiai tiek šoninių paviršių. Tada žaizdos šoninio paviršiaus plotas yra 180 cm 2.

Atsakymas. Plotas: pagrindas - 9√3 cm 2, šoninis prizmės paviršius - 180 cm 2.

Apibrėžimas. Prizmė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose ir tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, o visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Susidaro visi šoniniai veidai šoninis prizmės paviršius .

Visi šoniniai prizmės paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmės įstrižainė yra atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia, eilės tvarka, nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viename pagrinde esančios viršūnės. raidėmis be rodyklės, o kitoje - su rodykle)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, gulinčioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle prie pagrindo yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet todėl tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai - prizmės pagrindai, 5 paviršiai - lygiagretainiai, - jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria tam tikras tipas: įprastos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Įprastos prizmės visi šoniniai paviršiai yra vienodi stačiakampiai. Ypatingas prizmės atvejis yra gretasienis.

Lygiagretaus vamzdžio

Lygiagretaus vamzdžio yra keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis (pasviręs gretasienis). Dešinysis gretasienis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms.

Stačiakampis gretasienis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

Kai kurios gretasienio savybės yra panašios į žinomas lygiagretainio stačiakampis gretasienis, kurio matmenys yra vienodi, vadinamas kubas .Kubas turi visus vienodus kvadratus.Įstrižainės kvadratas, lygi sumai jo trijų matmenų kvadratai

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a yra kvadrato kraštinė.

Prizmės idėją pateikia:

įvairių architektūrinės konstrukcijos;
Vaikų žaislai;
pakavimo dėžės;
dizainerių dirbiniai ir kt.

Prizmės viso ir šoninio paviršiaus plotas

Bendras prizmės paviršiaus plotas yra visų jos veidų plotų suma Šoninio paviršiaus plotas vadinama jo šoninių paviršių plotų suma. Prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai, tada jų plotai lygūs. Štai kodėl

S pilnas = S pusė + 2S pagrindinis,

Kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S bazė- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė= P pagrindinis * h,

Kur S pusė- tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h – tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Prizmės pagrindas gali būti bet koks daugiakampis – trikampis, keturkampis ir kt. Abu pagrindai yra visiškai identiški ir atitinkamai, su kuriais lygiagrečių kraštų kampai yra sujungti vienas su kitu, visada yra lygiagrečiai. Taisyklingosios prizmės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, ty toks, kurio visos kraštinės yra lygios. Tiesioje prizmėje briaunos tarp šoninių paviršių yra statmenos pagrindui. Šiuo atveju tiesios prizmės pagrinde gali būti daugiakampis su bet kokiu kampų skaičiumi. Prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis, vadinama gretasieniu. Stačiakampis yra ypatingas lygiagretainio atvejis. Jei ši figūra yra prie pagrindo, o šoniniai paviršiai yra stačiu kampu į pagrindą, gretasienis vadinamas stačiakampiu. Antrasis šio geometrinio kūno pavadinimas yra stačiakampis.

Kaip ji atrodo

Apsuptos stačiakampės prizmės šiuolaikinis žmogus gana daug. Tai, pavyzdžiui, įprastas kartonas batams, kompiuterių komponentams ir kt. Apsižvalgyti. Net ir kambaryje tikriausiai pamatysite daug stačiakampių prizmių. Tai yra kompiuterio dėklas, knygų spinta, šaldytuvas, drabužių spinta ir daug kitų daiktų. Forma ypač populiari, nes leidžia maksimaliai išnaudoti erdvę, nesvarbu, ar dekoruojate interjerą, ar pakuojate daiktus į kartoną prieš kraustydami.

Stačiakampės prizmės savybės

Stačiakampė prizmė turi keletą specifinių savybių. Bet kuri veidų pora gali būti naudojama, nes visi gretimi paviršiai yra išdėstyti tuo pačiu kampu vienas kito atžvilgiu ir šis kampas yra 90°. Stačiakampės prizmės tūrį ir paviršiaus plotą apskaičiuoti lengviau nei bet kurį kitą. Paimkite bet kurį objektą, kuris turi stačiakampės prizmės formą. Išmatuokite jo ilgį, plotį ir aukštį. Norėdami sužinoti garsumą, tiesiog padauginkite šiuos matavimus. Tai yra, formulė atrodo taip: V=a*b*h, kur V – tūris, a ir b – pagrindo kraštinės, h – aukštis, sutampantis su šio geometrinio kūno šonine briauna. Bazinis plotas apskaičiuojamas pagal formulę S1=a*b. Šoniniam paviršiui pirmiausia reikia apskaičiuoti pagrindo perimetrą pagal formulę P=2(a+b), o tada padauginti iš aukščio. Gauta formulė yra S2=P*h=2(a+b)*h. Norėdami apskaičiuoti bendrą stačiakampės prizmės paviršiaus plotą, du kartus pridėkite pagrindo plotą ir šoninio paviršiaus plotą. Formulė yra S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

IN mokyklos mokymo programa stereometrijos kurso studija tūrinės figūros dažniausiai prasideda nuo paprasto geometrinio kūno – prizmės daugiakampio. Jo pagrindų vaidmenį atlieka 2 lygūs daugiakampiai, esantys lygiagrečiose plokštumose. Ypatingas atvejis yra taisyklinga keturkampė prizmė. Jo pagrindai yra 2 vienodi taisyklingi keturkampiai, kurių kraštinės yra statmenos, turintys lygiagretainių (arba stačiakampių, jei prizmė nėra pasvirusi) formą.

Kaip atrodo prizmė?

Taisyklinga keturkampė prizmė yra šešiakampis, kurio pagrindai yra 2 kvadratai, o šoniniai paviršiai pavaizduoti stačiakampiais. Kitas pavadinimas tam geometrinė figūra- tiesus gretasienis.

Žemiau pateiktas brėžinys, kuriame pavaizduota keturkampė prizmė.

Taip pat galite pamatyti nuotraukoje esminiai elementai, iš kurio jis susideda geometrinis kūnas . Jie apima:

Kartais geometrijos uždaviniuose galite susidurti su sekcijos sąvoka. Apibrėžimas skambės taip: sekcija yra visi taškai tūrinis korpusas, priklausantis pjovimo plokštumai. Pjūvis gali būti statmenas (kerta figūros kraštus 90 laipsnių kampu). Stačiakampei prizmei taip pat atsižvelgiama į įstrižainę ( maksimali suma sekcijos, kurias galima statyti - 2), einančios per 2 pagrindo kraštus ir įstrižaines.

Jei pjūvis nubrėžtas taip, kad pjovimo plokštuma nebūtų lygiagreti nei pagrindams, nei šoniniams paviršiams, gaunama nupjauta prizmė.

Norint rasti redukuotus prizminius elementus, naudojami įvairūs ryšiai ir formulės. Kai kurie iš jų žinomi iš planimetrijos kurso (pavyzdžiui, norint rasti prizmės pagrindo plotą, pakanka prisiminti kvadrato ploto formulę).

Paviršiaus plotas ir tūris

Norėdami nustatyti prizmės tūrį pagal formulę, turite žinoti jos pagrindo ir aukščio plotą:

V = Sbas h

Kadangi taisyklingos tetraedrinės prizmės pagrindas yra kvadratas su kraštine a, Galite parašyti formulę detalesne forma:

V = a²·h

Jei mes kalbame apie kubą - taisyklingą prizmę, kurios ilgis, plotis ir aukštis yra vienodi, tūris apskaičiuojamas taip:

Norėdami suprasti, kaip rasti prizmės šoninį paviršiaus plotą, turite įsivaizduoti jo raidą.

Iš brėžinio matyti, kad šoninis paviršius sudarytas iš 4 vienodų stačiakampių. Jo plotas apskaičiuojamas kaip pagrindo perimetro ir figūros aukščio sandauga:

Sside = Posn h

Atsižvelgiant į tai, kad aikštės perimetras yra lygus P = 4a, formulė įgauna tokią formą:

Pusė = 4a h

Dėl kubo:

Šonas = 4a²

Norėdami apskaičiuoti bendrą prizmės paviršiaus plotą, prie šoninio ploto turite pridėti 2 bazinius plotus:

Pilnas = Sside + 2Smain

Keturkampės taisyklingosios prizmės atžvilgiu formulė atrodo taip:

Iš viso = 4a h + 2a²

Kubo paviršiaus plotui:

Visas = 6a²

Žinodami tūrį arba paviršiaus plotą, galite apskaičiuoti atskirus geometrinio kūno elementus.

Prizmės elementų paieška

Neretai iškyla problemų, kai nurodomas tūris arba žinoma šoninio paviršiaus ploto reikšmė, kai reikia nustatyti pagrindo kraštinės ilgį arba aukštį. Tokiais atvejais formulės gali būti išvestos:

pagrindo šono ilgis: a = Pusė / 4h = √(V / h);
aukštis arba šoninės briaunos ilgis: h = Sside / 4a = V / a²;
bazinis plotas: Sbas = V / h;
šoninė veido sritis: Šoninė gr = Sside / 4.

Norėdami nustatyti, kiek ploto turi įstrižainė, turite žinoti įstrižainės ilgį ir figūros aukštį. Už kvadratą d = a√2. Todėl:

Sdiag = ah√2

Norėdami apskaičiuoti prizmės įstrižainę, naudokite formulę:

dprize = √(2a² + h²)

Norėdami suprasti, kaip pritaikyti pateiktus ryšius, galite praktikuotis ir išspręsti keletą paprastų užduočių.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

Štai keletas užduočių, rastų per matematikos valstybinius baigiamuosius egzaminus.

1 pratimas.

Smėlis pilamas į įprastos keturkampės prizmės formos dėžutę. Jo lygio aukštis 10 cm Koks bus smėlio lygis, jei jį perkelsite į tokios pat formos, bet dvigubai ilgesnio pagrindo indą?

Tai turėtų būti motyvuota taip. Smėlio kiekis pirmame ir antrame konteineriuose nepakito, t.y. jo tūris juose yra vienodas. Pagrindo ilgį galite pažymėti a. Tokiu atveju pirmame langelyje medžiagos tūris bus:

V₁ = ha² = 10a²

Antrosios dėžutės pagrindo ilgis yra 2a, bet smėlio lygio aukštis nežinomas:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Nes V₁ = V₂, galime sulyginti posakius:

10a² = 4ha²

Sumažinus abi lygties puses a², gauname:

Kaip rezultatas naujas lygis smėlio bus h = 10/4 = 2,5 cm.

2 užduotis.

ABCDA₁B₁C₁D₁ yra teisinga prizmė. Yra žinoma, kad BD = AB₁ = 6√2. Raskite bendrą kūno paviršiaus plotą.

Kad būtų lengviau suprasti, kurie elementai yra žinomi, galite nupiešti figūrą.

Kadangi kalbame apie taisyklingąją prizmę, galime daryti išvadą, kad prie pagrindo yra kvadratas, kurio įstrižainė yra 6√2. Šoninio paviršiaus įstrižainė yra tokio pat dydžio, todėl šoninis kraštas taip pat turi kvadrato formą, lygią pagrindui. Pasirodo, visi trys matmenys – ilgis, plotis ir aukštis – yra lygūs. Galime daryti išvadą, kad ABCDA₁B₁C₁D₁ yra kubas.

Bet kurio krašto ilgis nustatomas per žinomą įstrižainę:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Bendras paviršiaus plotas randamas naudojant kubo formulę:

Visas = 6a² = 6 6² = 216

3 užduotis.

Kambarys remontuojamas. Yra žinoma, kad jo grindys yra kvadrato formos, kurios plotas yra 9 m². Kambario aukštis – 2,5 m. Kiek mažiausia kainuoja kambario tapetavimas, jei 1 m² kainuoja 50 rublių?

Kadangi grindys ir lubos yra kvadratai, tai yra taisyklingi keturkampiai, o jų sienos statmenos horizontaliems paviršiams, galime daryti išvadą, kad tai taisyklinga prizmė. Būtina nustatyti jo šoninio paviršiaus plotą.

Kambario ilgis yra a = √9 = 3 m.

Teritorija bus išklijuota tapetais Šonas = 4 3 2,5 = 30 m².

Mažiausia šio kambario tapetų kaina bus 50·30 = 1500 rublių

Taigi, norint išspręsti uždavinius, susijusius su stačiakampe prizme, pakanka mokėti apskaičiuoti kvadrato ir stačiakampio plotą ir perimetrą, taip pat žinoti tūrio ir paviršiaus ploto nustatymo formules.