Taisyklingosios prizmės šoninio paviršiaus formulė. Teorema apie tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotą

Skirtingos prizmės skiriasi viena nuo kitos. Tuo pačiu metu jie turi daug bendro. Norėdami rasti prizmės pagrindo plotą, turite išsiaiškinti, kokia ji atrodo.

Bendroji teorija

Prizmė yra bet koks daugiakampis, kurio kraštinės yra lygiagretainio pavidalo. Be to, bet koks daugiakampis gali būti jo pagrindu - nuo trikampio iki n kampo. Be to, prizmės pagrindai visada yra lygūs vienas kitam. Kas netinka šoniniams paviršiams – jų dydis gali labai skirtis.

Sprendžiant problemas susiduriama ne tik su prizmės pagrindo plotu. Gali prireikti žinoti šoninį paviršių, tai yra, visus veidus, kurie nėra pagrindai. Visas paviršius jau bus visų prizmę sudarančių veidų sąjunga.

Kartais užduotyse atsiranda aukščių. Jis yra statmenas pagrindams. Daugiakampio įstrižainė yra atkarpa, kuri poromis jungia bet kurias dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui.

Reikėtų pažymėti, kad tiesios arba pasvirusios prizmės pagrindo plotas nepriklauso nuo kampo tarp jų ir šoninių paviršių. Jei jų viršutinėje ir apatinėje pusėje yra vienodos figūros, jų plotai bus vienodi.

trikampė prizmė

Jo apačioje yra figūra su trimis viršūnėmis, tai yra, trikampis. Yra žinoma, kad yra kitaip. Jei tada pakanka prisiminti, kad jo plotą lemia pusė kojų sandaugos.

Matematinis žymėjimas atrodo taip: S = ½ vid.

Norint sužinoti pagrindo plotą bendra forma, naudingos formulės: garnys ir ta, kurioje pusė šono paimama į aukštį, nubrėžtą prie jo.

Pirmoji formulė turėtų būti parašyta taip: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Šiame įraše yra pusperimetras (p), ty trijų kraštinių suma, padalyta iš dviejų.

Antra: S = ½ n a * a.

Jei norite sužinoti trikampės prizmės pagrindo plotą, kuris yra taisyklingas, tada trikampis pasirodo lygiakraštis. Jis turi savo formulę: S = ¼ a 2 * √3.

keturkampė prizmė

Jo pagrindas yra bet kuris iš žinomų keturkampių. Tai gali būti stačiakampis arba kvadratas, gretasienis arba rombas. Kiekvienu atveju, norint apskaičiuoti prizmės pagrindo plotą, jums reikės savo formulės.

Jei pagrindas yra stačiakampis, tai jo plotas nustatomas taip: S = av, kur a, b yra stačiakampio kraštinės.

Kalbant apie keturkampę prizmę, įprastos prizmės pagrindo plotas apskaičiuojamas naudojant kvadrato formulę. Nes būtent jis guli bazėje. S \u003d a 2.

Tuo atveju, kai pagrindas yra gretasienis, reikės šios lygybės: S \u003d a * n a. Pasitaiko, kad duota gretasienio kraštinė ir vienas iš kampų. Tada, norėdami apskaičiuoti aukštį, turėsite naudoti papildomą formulę: na \u003d b * sin A. Be to, kampas A yra greta šono "b", o aukštis yra na priešingas šiam kampui.

Jei prizmės pagrinde yra rombas, tada jo plotui nustatyti reikės tos pačios formulės, kaip ir lygiagretainio (nes tai ypatingas jo atvejis). Bet galite naudoti ir šį: S = ½ d 1 d 2. Čia d 1 ir d 2 yra dvi rombo įstrižainės.

Taisyklinga penkiakampė prizmė

Šiuo atveju daugiakampis padalinamas į trikampius, kurių plotus lengviau sužinoti. Nors pasitaiko, kad figūros gali būti su skirtingu viršūnių skaičiumi.

Kadangi prizmės pagrindas yra taisyklingas penkiakampis, ją galima padalyti į penkis lygiakraščius trikampius. Tada prizmės pagrindo plotas lygus vieno tokio trikampio plotui (formulę galima pamatyti aukščiau), padaugintam iš penkių.

Taisyklinga šešiakampė prizmė

Pagal penkiakampės prizmės principą galima padalyti pagrindo šešiakampį į 6 lygiakraščius trikampius. Tokios prizmės pagrindo ploto formulė yra panaši į ankstesnę. Tik jame reikėtų padauginti iš šešių.

Formulė atrodys taip: S = 3/2 ir 2 * √3.

Užduotys

Nr.1.Duota taisyklinga tiesė.Jos įstrižainė 22cm,daugiakampio aukštis 14cm.Apskaičiuokite prizmės pagrindo ir viso paviršiaus plotą.

Sprendimas. Prizmės pagrindas yra kvadratas, tačiau jo kraštinė nežinoma. Jo reikšmę galite rasti iš kvadrato įstrižainės (x), kuri yra susijusi su prizmės įstriža (d) ir jos aukščiu (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Kita vertus, ši atkarpa "x" yra trikampio, kurio kojos yra lygios kvadrato kraštinei, hipotenuzė. Tai yra, x 2 \u003d a 2 + a 2. Taigi paaiškėja, kad a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Vietoj d pakeiskite skaičių 22, o „n“ pakeiskite jo reikšme - 14, paaiškėja, kad kvadrato kraštinė yra 12 cm. Dabar nesunku sužinoti pagrindo plotą: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Norėdami sužinoti viso paviršiaus plotą, turite pridėti du kartus didesnę už pagrindo plotą ir keturis kartus padidinti šoną. Pastarąjį nesunku rasti pagal stačiakampio formulę: padauginkite daugiakampio aukštį ir pagrindo kraštinę. Tai yra, 14 ir 12, šis skaičius bus lygus 168 cm 2. Nustatyta, kad bendras prizmės paviršiaus plotas yra 960 cm 2 .

Atsakymas. Prizmės pagrindo plotas 144 cm2. Visas paviršius - 960 cm 2 .

Nr. 2. Dana Prie pagrindo guli trikampis, kurio kraštinė yra 6 cm. Šiuo atveju šoninio paviršiaus įstrižainė yra 10 cm Apskaičiuokite plotus: pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Sprendimas. Kadangi prizmė yra taisyklinga, jos pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Todėl pasirodo, kad jo plotas lygus 6 kvadrato karto ¼, o kvadratinė šaknis iš 3. Paprastas skaičiavimas leidžia gauti rezultatą: 9√3 cm 2. Tai yra vieno prizmės pagrindo plotas.

Visi šoniniai paviršiai yra vienodi ir yra stačiakampiai, kurių kraštinės yra 6 ir 10 cm. Norint apskaičiuoti jų plotus, pakanka šiuos skaičius padauginti. Tada padauginkite juos iš trijų, nes prizmė turi lygiai tiek šoninių paviršių. Tada šoninio paviršiaus plotas suvyniotas 180 cm 2 .

Atsakymas. Plotas: pagrindas - 9√3 cm 2, šoninis prizmės paviršius - 180 cm 2.

Prizmė. Lygiagretaus vamzdžio

prizmė vadinamas daugiakampiu, kurio dvi briaunos yra lygios n kampams (pagrindas) , esantis lygiagrečiose plokštumose, o likusieji n paviršiai yra lygiagretainiai (šoniniai veidai) . Šoninis šonkaulis prizmė yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui.

Vadinama prizmė, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms tiesiai prizmė (1 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindų plokštumoms, vadinasi prizmė įstrižas . teisinga Prizmė yra tiesi prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Aukštis prizmė vadinama atstumu tarp pagrindų plokštumų. Įstrižainė Prizmė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui. įstrižainė Vadinamas prizmės pjūvis plokštumos, einančios per du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui. Statmenas pjūvis vadinamas prizmės pjūvis plokštuma, statmena prizmės šoninei briaunai.

Šoninio paviršiaus plotas prizmė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas vadinama visų prizmės paviršių plotų suma (t. y. šoninių paviršių ir pagrindų plotų suma).

Savavališkai prizmei formulės yra teisingos:

kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P

K

S pusė

S pilnas

S pagrindinis yra pagrindų plotas;

V yra prizmės tūris.

Tiesiai prizmei galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis.

Lygiagretaus vamzdžio Vadinama prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Vadinamas gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindams tiesioginis (2 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindams, vadinasi gretasienis įstrižas . Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampio formos. Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.

Vadinami gretasienio paviršiai, neturintys bendrų viršūnių priešingas . Vadinami briaunų ilgiai, išeinantys iš vienos viršūnės matavimai gretasienis. Kadangi dėžutė yra prizmė, pagrindiniai jos elementai apibrėžiami taip pat, kaip ir prizmėms.

Teoremos.

1. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalija jį pusiau.

2. Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai:

3. Visos keturios stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai.

Savavališkam gretasieniui galioja šios formulės:

kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P yra statmenos pjūvio perimetras;

K– statmenos pjūvio plotas;

S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;

S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;

S pagrindinis yra pagrindų plotas;

V yra prizmės tūris.

Dešiniajam gretasieniui galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H yra dešiniojo gretasienio aukštis.

Stačiakampio gretasienio atveju galioja šios formulės:

(3)

kur p- pagrindo perimetras;

H- aukštis;

d- įstrižainė;

a,b,c– gretasienio išmatavimai.

Teisingos kubo formulės yra šios:

kur a yra šonkaulio ilgis;

d yra kubo įstrižainė.

1 pavyzdys Stačiakampio stačiakampio stačiakampio įstrižainė yra 33 dm, o jos išmatavimai susieti kaip 2:6:9. Raskite stačiakampio išmatavimus.

Sprendimas. Norėdami rasti gretasienio matmenis, naudojame formulę (3), t.y. tai, kad stačiakampio kampo kvadratas yra lygus jo matmenų kvadratų sumai. Pažymėti k proporcingumo koeficientas. Tada gretasienio matmenys bus lygūs 2 k, 6k ir 9 k. Problemos duomenims rašome formulę (3):

Sprendžiant šią lygtį k, mes gauname:

Vadinasi, gretasienio matmenys yra 6 dm, 18 dm ir 27 dm.

Atsakymas: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2 pavyzdys Raskite pasvirusios trikampės prizmės, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 8 cm, tūrį, jei šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei ir yra pasvirusi 60º kampu į pagrindą.

Sprendimas . Padarykime piešinį (3 pav.).

Norint rasti pasvirusios prizmės tūrį, reikia žinoti jos pagrindo plotą ir aukštį. Šios prizmės pagrindo plotas yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 8 cm, plotas. Apskaičiuokime:

Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų. Nuo viršaus BET 1 viršutinio pagrindo nuleidžiame statmeną apatinio pagrindo plokštumai BET 1 D. Jo ilgis bus prizmės aukštis. Apsvarstykite D BET 1 REKLAMA: kadangi tai yra šoninio šonkaulio pasvirimo kampas BET 1 BETį bazinę plokštumą BET 1 BET= 8 cm.. Iš šio trikampio randame BET 1 D:

Dabar apskaičiuojame tūrį pagal formulę (1):

Atsakymas: 192 cm3.

3 pavyzdys Taisyklingos šešiakampės prizmės šoninis kraštas yra 14 cm. Didžiausios įstrižainės pjūvio plotas yra 168 cm 2. Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (4 pav.)

Didžiausia įstrižainė dalis yra stačiakampis AA 1 DD 1 , nuo įstrižainės REKLAMA taisyklingas šešiakampis ABCDEF yra didžiausias. Norint apskaičiuoti prizmės šoninio paviršiaus plotą, būtina žinoti pagrindo kraštą ir šoninio briaunelės ilgį.

Žinodami įstrižainės pjūvio (stačiakampio) plotą, randame pagrindo įstrižainę.

Nes tada

Nuo tada AB= 6 cm.

Tada pagrindo perimetras yra:

Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą:

Įprasto šešiakampio, kurio kraštinė yra 6 cm, plotas yra:

Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą:

Atsakymas:

4 pavyzdys Dešiniojo gretasienio pagrindas yra rombas. Įstrižainių pjūvių plotai yra 300 cm 2 ir 875 cm 2. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.).

Pažymėkite rombo kraštą a, rombo įstrižainės d 1 ir d 2, dėžutės aukštis h. Norint rasti tiesaus gretasienio šoninio paviršiaus plotą, pagrindo perimetrą reikia padauginti iš aukščio: (2 formulė). Bazinis perimetras p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, nes ABCD- rombas. H = AA 1 = h. Tai. Reikia surasti a ir h.

Apsvarstykite įstrižaines dalis. AA 1 SS 1 - stačiakampis, kurio viena kraštinė yra rombo įstrižainė AC = d 1 , antrasis šoninis kraštas AA 1 = h, tada

Panašiai ir skyriui BB 1 DD 1 gauname:

Naudodami lygiagretainio savybę, kad įstrižainių kvadratų suma būtų lygi visų jo kraštinių kvadratų sumai, gauname lygybę Gauname taip.

Apibrėžimas. Prizmė- tai daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose, o tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, ir visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumos lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Susidaro visi šoniniai veidai šoninis prizmės paviršius .

Visi prizmės šoniniai paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmė įstrižainė vadinama atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra viename iš jos paviršių (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia apėjimo tvarka nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viršūnės yra viename pagrinde yra žymimi raidėmis be rodyklės, o kitoje - su rodykle)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, esančioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle pagrindas yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet kadangi tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai yra prizmės pagrindai, 5 paviršiai yra lygiagretainiai, yra jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria tam tikras tipas: įprastos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Įprastos prizmės visi šoniniai paviršiai yra vienodi stačiakampiai. Ypatingas prizmės atvejis yra gretasienis.

Lygiagretaus vamzdžio

Lygiagretaus vamzdžio- Tai keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis (įstrižas gretasienis). Dešinysis gretasienis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms.

stačiakampis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

Kai kurios gretasienio savybės yra panašios į gerai žinomas lygiagretainio savybes Stačiakampis gretasienis, kurio matmenys vienodi, vadinamas kubas .Kubo visi krašteliai lygūs kvadratams.Įstrižainės kvadratas lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai

,

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a - aikštės pusė.

Prizmės idėją pateikia:

• įvairios architektūrinės konstrukcijos;
• Vaikiški žaislai;
• pakavimo dėžės;
• dizainerių dirbiniai ir kt.

Bendras ir šoninis prizmės paviršiaus plotas

Bendras prizmės paviršiaus plotas yra visų jos veidų plotų suma Šoninio paviršiaus plotas vadinama jo šoninių paviršių plotų suma. prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai, tada jų plotai lygūs. Štai kodėl

S pilnas \u003d S pusė + 2S pagrindinis,

kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S pagrindinis- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė\u003d P pagrindinis * h,

kur S pusė yra tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h yra tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Apibrėžimas 1. Prizminis paviršius
1 teorema. Prizminio paviršiaus lygiagrečiose pjūviuose
Apibrėžimas 2. Prizminio paviršiaus statmenas pjūvis
Apibrėžimas 3. Prizmė
Apibrėžimas 4. Prizmės aukštis
Apibrėžimas 5. Tiesioginė prizmė
2 teorema. Prizmės šoninio paviršiaus plotas

Lygiagretaus vamzdis:
Apibrėžimas 6. Lygiagretainis
3 teorema. Apie gretasienio įstrižainių sankirtą
Apibrėžimas 7. Dešinysis gretasienis
Apibrėžimas 8. Stačiakampis gretasienis
Apibrėžimas 9. Gretasienio matmenys
Apibrėžimas 10. Kubas
Apibrėžimas 11. Romboedras
4 teorema. Stačiakampio gretasienio įstrižainėse
5 teorema. Prizmės tūris
6 teorema. Tiesiosios prizmės tūris
7 teorema. Stačiakampio gretasienio tūris

prizmė vadinamas daugiakampis, kurio du paviršiai (pagrindai) guli lygiagrečiose plokštumose, o briaunos, kurios nėra šiose paviršiuose, yra lygiagrečios viena kitai.
Vadinami veidai, išskyrus pagrindus šoninis.
Šoninių paviršių ir pagrindų šonai vadinami prizmės briaunos, kraštinių galai vadinami prizmės viršūnės. Šoniniai šonkauliai vadinamos briaunomis, kurios nepriklauso pagrindams. Šoninių veidų sąjunga vadinama šoninis prizmės paviršius, o visų veidų sąjunga vadinama visas prizmės paviršius. Prizmės aukštis vadinamas statmenu, nuleistu nuo viršutinio pagrindo taško iki apatinio pagrindo plokštumos arba šio statmens ilgio. tiesi prizmė vadinama prizme, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms. teisinga vadinama tiesia prizme (3 pav.), kurios pagrindu yra taisyklingas daugiakampis.

Pavadinimai:
l - šoninis šonkaulis;
P - bazinis perimetras;
S o - bazinis plotas;
H - aukštis;
P ^ - statmenos pjūvio perimetras;
S b - šoninio paviršiaus plotas;
V - tūris;
S p - viso prizmės paviršiaus plotas.

V=SH S p \u003d S b + 2S o S b = P^l

1 apibrėžimas . Prizminis paviršius yra figūra, sudaryta iš kelių plokštumų dalių, lygiagrečių vienai tiesei, ribojama tomis tiesėmis, išilgai kurių šios plokštumos paeiliui kerta viena kitą *; šios linijos yra lygiagrečios viena kitai ir vadinamos prizminio paviršiaus briaunos.
*Daroma prielaida, kad kas dvi iš eilės einančios plokštumos susikerta, o paskutinė plokštuma kerta pirmąją.

1 teorema . Prizminio paviršiaus atkarpos plokštumose, lygiagrečiomis viena kitai (bet ne lygiagrečiomis jo kraštinėms), yra lygūs daugiakampiai.
Tegu ABCDE ir A"B"C"D"E yra prizminio paviršiaus atkarpos dviem lygiagrečiomis plokštumomis. Norint patikrinti, ar šie du daugiakampiai yra lygūs, pakanka parodyti, kad trikampiai ABC ir A"B"C yra lygūs ir turi tą pačią sukimosi kryptį ir ta pati galioja trikampiams ABD ir A"B"D", ABE ir A"B"E. Bet atitinkamos šių trikampių kraštinės yra lygiagrečios (pavyzdžiui, AC lygiagreti A "C"), kaip tam tikros plokštumos susikirtimo su dviem lygiagrečiomis plokštumomis linijos; iš to išplaukia, kad šios kraštinės yra lygios (pavyzdžiui, AC lygi A"C") kaip priešingos lygiagretainio kraštinės, o šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs ir turi tą pačią kryptį.

2 apibrėžimas . Prizminio paviršiaus statmena pjūvis – tai šio paviršiaus pjūvis plokštuma, statmena jo kraštams. Remiantis ankstesne teorema, visos statmenos to paties prizminio paviršiaus atkarpos bus lygūs daugiakampiai.

3 apibrėžimas . Prizmė yra daugiakampis, kurį riboja prizminis paviršius ir dvi lygiagrečios viena kitai plokštumos (bet ne lygiagrečios prizminio paviršiaus kraštams).
Šiose paskutinėse plokštumose gulintys veidai vadinami prizmių pagrindai; veidai, priklausantys prizminiam paviršiui - šoniniai veidai; prizminio paviršiaus kraštai - šoniniai prizmės kraštai. Remiantis ankstesne teorema, prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai. Visi šoniniai prizmės paviršiai lygiagretainiai; visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam.
Akivaizdu, kad jei prizmės ABCDE pagrindas ir viena iš kraštinių AA" yra pateikti pagal dydį ir kryptį, tai galima sukonstruoti prizmę nubrėžus briaunas BB", CC", .., lygias ir lygiagrečias su jai. kraštas AA".

4 apibrėžimas . Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų plokštumų (HH").

5 apibrėžimas . Prizmė vadinama tiesia linija, jei jos pagrindai yra statmenos prizminio paviršiaus atkarpos. Šiuo atveju prizmės aukštis, žinoma, yra jos šoninis šonkaulis; šoniniai kraštai bus stačiakampiai.
Prizmės gali būti klasifikuojamos pagal šoninių paviršių skaičių, lygų daugiakampio, kuris yra jo pagrindas, kraštinių skaičiui. Taigi prizmės gali būti trikampės, keturkampės, penkiakampės ir kt.

2 teorema . Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus šoninio krašto ir statmenos pjūvio perimetro sandaugai.
Tegul ABCDEA"B"C"D"E" yra duotoji prizmė, o abcde - statmena jos pjūvis, kad atkarpos ab, bc, .. būtų statmenos jos šoninėms briaunoms. Paviršius ABA"B" yra lygiagretainis, jo plotas yra lygus bazės AA sandaugai iki aukščio, kuris atitinka ab; paviršiaus plotas BCV "C" yra lygus pagrindo BB sandaugai iš aukščio bc ir kt. Todėl šoninis paviršius (t. y. šoninių paviršių plotų suma) yra lygus. lygus šoninės briaunos sandaugai, kitaip tariant, bendram atkarpų ilgiui AA", BB", .., suma ab+bc+cd+de+ea.

Bendra informacija apie tiesią prizmę

Prizmės šoninis paviršius (tiksliau – šoninis paviršiaus plotas) vadinamas sumašoninių veido sričių. Bendras prizmės paviršius lygus šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų sumai.

19.1 teorema. Tiesios prizmės šoninis paviršius lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai, t.y. šoninės briaunos ilgiui.

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai. Šių stačiakampių pagrindai yra prizmės pagrinde gulinčio daugiakampio kraštinės, o aukščiai lygūs šoninių kraštinių ilgiui. Iš to išplaukia, kad šoninis prizmės paviršius lygus

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kur a 1 ir n yra pagrindo briaunų ilgiai, p yra prizmės pagrindo perimetras, o I yra šoninių briaunų ilgis. Teorema įrodyta.

Praktinė užduotis

Užduotis (22) . Pasvirusioje prizmėje skyrius, statmenai šoniniams kraštams ir kertančius visus šoninius kraštus. Raskite prizmės šoninį paviršių, jei pjūvio perimetras p, o šoninės briaunos l.

Sprendimas. Nubraižytos pjūvio plokštuma dalija prizmę į dvi dalis (411 pav.). Vieną iš jų pritaikykime lygiagrečiam vertimui, sujungiančiam prizmės pagrindus. Tokiu atveju gauname tiesią prizmę, kurioje pradinės prizmės pjūvis tarnauja kaip pagrindas, o šoninės briaunos lygios l. Šios prizmės šoninis paviršius yra toks pat kaip ir originalioji. Taigi pradinės prizmės šoninis paviršius lygus pl.

Temos apibendrinimas

O dabar pabandykime su jumis apibendrinti prizmės temą ir prisiminti, kokias savybes turi prizmė.

Prizmės savybės

Pirma, prizmei visi jos pagrindai yra lygūs daugiakampiai;
Antra, prizmei visi jos šoniniai paviršiai yra lygiagretainiai;
Trečia, tokioje daugialypėje figūroje kaip prizmė visos šoninės briaunos yra lygios;

Be to, reikia atsiminti, kad daugiakampės, tokios kaip prizmės, gali būti tiesios ir pasvirusios.

Kas yra tiesi prizmė?

Jei prizmės šoninė briauna yra statmena jos pagrindo plokštumai, tai tokia prizmė vadinama tiesia linija.

Nebus nereikalinga prisiminti, kad tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Kas yra įstrižoji prizmė?

Bet jei šoninis prizmės kraštas nėra statmenas jos pagrindo plokštumai, galime drąsiai teigti, kad tai yra pasvirusi prizmė.

Kokia yra teisinga prizmė?

Jei tiesios prizmės pagrindu yra taisyklingas daugiakampis, tai tokia prizmė yra taisyklinga.

Dabar prisiminkime įprastos prizmės savybes.

Taisyklingosios prizmės savybės

Pirma, taisyklingi daugiakampiai visada tarnauja kaip taisyklingos prizmės pagrindas;
Antra, jei atsižvelgsime į taisyklingos prizmės šoninius paviršius, tai jie visada yra lygūs stačiakampiai;
Trečia, jei palyginsime šoninių briaunų dydžius, tada teisingoje prizmėje jie visada yra lygūs.
Ketvirta, taisyklinga prizmė visada yra tiesi;
Penkta, jei taisyklingoje prizmėje šoniniai paviršiai yra kvadratų formos, tada tokia figūra, kaip taisyklė, vadinama pusiau taisyklingu daugiakampiu.

Prizmės skyrius

Dabar pažiūrėkime į prizmės skerspjūvį:

Namų darbai

O dabar pabandykime nagrinėtą temą įtvirtinti spręsdami problemas.

Nubraižykime pasvirusią trikampę prizmę, kurioje atstumas tarp jos kraštų bus: 3 cm, 4 cm ir 5 cm, o šios prizmės šoninis paviršius bus lygus 60 cm2. Su šiais parametrais raskite duotosios prizmės šoninę briauną.

Ar žinote, kad geometrinės figūros mus nuolat supa ne tik geometrijos pamokose, bet ir kasdieniame gyvenime atsiranda daiktų, kurie primena vieną ar kitą geometrinę figūrą.

Kiekvienuose namuose, mokykloje ar darbe yra kompiuteris, kurio sisteminis blokas yra tiesios prizmės formos.

Jei paimsite paprastą pieštuką, pamatysite, kad pagrindinė pieštuko dalis yra prizmė.

Eidami pagrindine miesto gatve matome, kad po mūsų kojomis guli plytelė, turinti šešiakampės prizmės formą.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms