Tai, kas vadinama šoniniu prizmės paviršiumi. Viskas, ką reikia žinoti apie prizmę (2019 m.)

Prizmės šoninio paviršiaus plotas. Sveiki! Šiame leidinyje analizuosime stereometrijos užduočių grupę. Apsvarstykite kūnų derinį – prizmę ir cilindrą. Šiuo metu šis straipsnis užbaigia visą straipsnių, susijusių su stereometrijos užduočių tipų svarstymu, seriją.

Jei užduočių banke atsiras naujų užduočių, tai, žinoma, ateityje tinklaraštis bus papildytas. Tačiau to, kas jau yra, pakanka, kad egzamino metu galėtumėte išmokti išspręsti visas problemas trumpu atsakymu. Medžiagos užteks metams į priekį (matematikos programa statiška).

Pateiktos užduotys yra susijusios su prizmės ploto apskaičiavimu. Atkreipiu dėmesį, kad žemiau mes laikome tiesią prizmę (ir, atitinkamai, tiesų cilindrą).

Nežinodami jokių formulių suprantame, kad šoninis prizmės paviršius yra visi jos šoniniai paviršiai. Tiesioje prizmėje šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Tokios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus visų jos šoninių paviršių (tai yra stačiakampių) plotų sumai. Jeigu mes kalbame apie taisyklingąją prizmę, kurioje įrašytas cilindras, tai aišku, kad visos šios prizmės paviršiai yra LYGŪS stačiakampiai.

Formaliai taisyklingos prizmės šoninis paviršiaus plotas gali būti išreikštas taip:

27064. Taisyklinga keturkampė prizmė apibrėžiama apie cilindrą, kurio pagrindo spindulys ir aukštis lygus 1. Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą.

Šios prizmės šoninis paviršius susideda iš keturių vienodo ploto stačiakampių. Paviršiaus aukštis yra 1, prizmės pagrindo kraštas yra 2 (tai yra du cilindro spinduliai), taigi šoninio paviršiaus plotas yra:

Šoninio paviršiaus plotas:

73023. Raskite taisyklingosios trikampės prizmės, apribotos apie cilindrą, kurio pagrindo spindulys √0,12, o aukštis 3, šoninio paviršiaus plotą.

Šios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus trijų šoninių paviršių (stačiakampių) plotų sumai. Norėdami rasti šoninio paviršiaus plotą, turite žinoti jo aukštį ir pagrindo krašto ilgį. Aukštis yra trys. Raskite pagrindo krašto ilgį. Apsvarstykite projekciją (vaizdas iš viršaus):

Turime taisyklingąjį trikampį, į kurį įrašytas apskritimas, kurio spindulys √0,12. Iš dešiniojo trikampio AOC galime rasti AC. Ir tada AD (AD=2AC). Pagal liestinės apibrėžimą:

Taigi AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Taigi, šoninio paviršiaus plotas yra lygus:

27066. Raskite taisyklingos šešiakampės prizmės, apribotos apie cilindrą, kurio pagrindo spindulys yra √75, o aukštis yra 1, šoninio paviršiaus plotą.

Norimas plotas lygus visų šoninių paviršių plotų sumai. Taisyklingos šešiakampės prizmės šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.

Norėdami rasti veido plotą, turite žinoti jo aukštį ir pagrindo krašto ilgį. Aukštis žinomas, lygus 1.

Raskite pagrindo krašto ilgį. Apsvarstykite projekciją (vaizdas iš viršaus):

Turime taisyklingą šešiakampį, į kurį įrašytas √75 spindulio apskritimas.

Apsvarstykite statųjį trikampį ABO. Žinome koją OB (tai yra cilindro spindulys). galime nustatyti ir kampą AOB, jis lygus 300 (trikampis AOC yra lygiakraštis, OB – pusiaukampis).

Naudokime stačiojo trikampio liestinės apibrėžimą:

AC \u003d 2AB, nes OB yra mediana, tai yra, dalija AC per pusę, o tai reiškia AC \u003d 10.

Taigi šoninio paviršiaus plotas yra 1∙10=10, o šoninio paviršiaus plotas:

76485. Raskite taisyklingos trikampės prizmės, įbrėžtos į cilindrą, kurio pagrindo spindulys yra 8√3, o aukštis 6, šoninio paviršiaus plotą.

Trijų vienodo dydžio paviršių (stačiakampių) nurodytos prizmės šoninio paviršiaus plotas. Norėdami rasti plotą, turite žinoti prizmės pagrindo krašto ilgį (žinome aukštį). Jei atsižvelgsime į projekciją (vaizdą iš viršaus), tada turime taisyklingą trikampį, įrašytą į apskritimą. Šio trikampio kraštinė išreiškiama spinduliu taip:

Išsami informacija apie šiuos santykius. Taigi jis bus lygus

Tada šoninio paviršiaus plotas lygus: 24∙6=144. Ir reikalingas plotas:

245354. Taisyklinga keturkampė prizmė apibrėžiama šalia cilindro, kurio pagrindo spindulys lygus 2. Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus 48. Raskite cilindro aukštį.

Viskas paprasta. Turime keturis šoninius paviršius, kurių plotas yra lygus, taigi vieno paviršiaus plotas yra 48:4 = 12. Kadangi cilindro pagrindo spindulys yra 2, tai prizmės pagrindo kraštas bus ankstyvas 4 - jis lygus cilindro skersmeniui (tai yra du spinduliai). Žinome veido ir vieno krašto plotą, antrasis aukštis bus lygus 12:4=3.

27065. Raskite taisyklingos trikampės prizmės, apribotos apie cilindrą, kurio pagrindo spindulys √3, o aukštis 2, šoninio paviršiaus plotą.

Pagarbiai Aleksandras.

Daugiakampis

Pagrindinis stereometrijos tyrimo objektas yra trimačiai kūnai. kūnas yra erdvės dalis, apribota kokiu nors paviršiumi.

daugiakampis Vadinamas kūnas, kurio paviršius susideda iš baigtinio skaičiaus plokštuminių daugiakampių. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra kiekvieno plokščio daugiakampio, esančio jo paviršiuje, plokštumos vienoje pusėje. Tokios plokštumos ir daugiakampio paviršiaus bendroji dalis vadinama kraštas. Išgaubto daugiakampio paviršiai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio briaunos, ir viršūnes daugiakampio viršūnės.

Pavyzdžiui, kubas susideda iš šešių kvadratų, kurie yra jo veidai. Jame yra 12 kraštinių (kvadratų kraštinės) ir 8 viršūnės (kvadratų viršūnės).

Paprasčiausios daugiakampės yra prizmės ir piramidės, kurias toliau tyrinėsime.

Prizmė

Prizmės apibrėžimas ir savybės

prizmė vadinamas daugiakampiu, susidedančiu iš dviejų lygiagrečiose plokštumose esančių plokščių daugiakampių, sujungtų lygiagrečiu vertimu, ir visų atkarpų, jungiančių atitinkamus šių daugiakampių taškus. Daugiakampiai vadinami prizmių pagrindai, o atkarpos, jungiančios atitinkamas daugiakampių viršūnes, yra šoniniai prizmės kraštai.

Prizmės aukštis vadinamas atstumu tarp jo pagrindų plokštumų (). Vadinamas segmentas, jungiantis dvi prizmės viršūnes, nepriklausančias tam pačiam paviršiui prizmės įstrižainė(). Prizmė vadinama n-anglys jei jo pagrindas yra n-kampis.

Bet kuri prizmė turi šias savybes, kylančias iš to, kad prizmės pagrindai sujungiami lygiagrečiu vertimu:

1. Prizmės pagrindai lygūs.

2. Prizmės šoninės briaunos lygiagrečios ir lygios.

Prizmės paviršių sudaro pagrindai ir šoninis paviršius. Prizmės šoninis paviršius susideda iš lygiagretainių (tai išplaukia iš prizmės savybių). Prizmės šoninio paviršiaus plotas yra šoninių paviršių plotų suma.

tiesi prizmė

Prizmė vadinama tiesiai jeigu jo šoninės briaunos statmenos pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama įstrižas.

Tiesios prizmės paviršiai yra stačiakampiai. Tiesios prizmės aukštis lygus jos šoniniams paviršiams.

pilnos prizmės paviršius yra šoninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų suma.

Teisinga prizmė vadinama stačiąja prizme, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis.

13.1 teorema. Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus prizmės perimetro ir aukščio sandaugai (arba lygiaverčiai šoniniam kraštui).

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, kurių pagrindai yra prizmės pagrinduose esančių daugiakampių kraštinės, o aukščiai yra prizmės šoniniai kraštai. Tada pagal apibrėžimą šoninio paviršiaus plotas yra:

kur yra tiesios prizmės pagrindo perimetras.

Lygiagretaus vamzdžio

Jei prizmės pagrinduose yra lygiagretainiai, tai vadinama gretasienis. Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai. Šiuo atveju priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.

13.2 teorema. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, o susikirtimo taškas dalijamas pusiau.

Įrodymas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, dvi savavališkas įstrižaines ir . Nes gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, tada ir , o tai reiškia, kad pagal T apie dvi tieses, lygiagrečias trečiajai . Be to, tai reiškia, kad linijos ir yra toje pačioje plokštumoje (plokštumoje). Ši plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas ir išilgai lygiagrečių linijų ir . Taigi, keturkampis yra lygiagretainis, o pagal lygiagretainio savybę jo įstrižainės ir susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas per pusę, o tai turėjo būti įrodyta.

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis. Visi stačiakampio formos paviršiai yra stačiakampiai. Stačiakampio gretasienio nelygiagrečių kraštinių ilgiai vadinami jo tiesiniais matmenimis (matavimais). Yra trys dydžiai (plotis, aukštis, ilgis).

13.3 teorema. Statute bet kurios įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai (įrodyta du kartus pritaikius Pitagoro T).

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.

Užduotys

13.1 Kiek įstrižainių yra n- anglies prizmė

13.2 Pasvirusioje trikampėje prizmėje atstumai tarp šoninių kraštų yra 37, 13 ir 40. Raskite atstumą tarp didesnio šoninio paviršiaus ir priešingo šoninio krašto.

13.3 Per taisyklingos trikampės prizmės apatinio pagrindo kraštą nubrėžiama plokštuma, kuri kerta šoninius paviršius išilgai segmentų, kampas tarp kurių yra . Raskite šios plokštumos pasvirimo kampą į prizmės pagrindą.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio 1-13 užduotys USE matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindinį USE. Jeigu norite išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei šimtabalsis studentas, nei humanistas.

Visa reikalinga teorija. Greiti sprendimai, spąstai ir egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos aktualios 1 dalies užduotys iš FIPI užduočių banko. Kursas visiškai atitinka USE-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai egzamino užduočių. Tekstinės problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Gudrios gudrybės sprendžiant, naudingi lapeliai, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio – prie 13 užduoties. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Pagrindas sudėtingiems II egzamino dalies uždaviniams spręsti.

"Pitagoro teoremos pamoka" - Pitagoro teorema. Nustatykite keturkampio KMNP tipą. Apšilimas. Įvadas į teoremą. Nustatykite trikampio tipą: Pamokos planas: Istorinis nukrypimas. Paprastų problemų sprendimas. Ir susiraskite 125 pėdų ilgio kopėčias. Apskaičiuokite trapecijos ABCD aukštį CF. Įrodymas. Rodomos nuotraukos. Teoremos įrodymas.

„Prizmės tūris“ – prizmės sąvoka. tiesioginė prizmė. Pradinės prizmės tūris lygus sandaugai S · h. Kaip rasti tiesios prizmės tūrį? Prizmė gali būti padalinta į tiesias trikampes prizmes, kurių aukštis h. Nubrėžkite trikampio ABC aukštį. Problemos sprendimas. Pamokos tikslai. Pagrindiniai tiesioginės prizmės teoremos įrodinėjimo žingsniai? Prizmės tūrio teoremos tyrimas.

„Prizmės daugiakampis“ – apibrėžkite daugiakampį. DABC yra tetraedras, išgaubtas daugiakampis. Prizmių naudojimas. Kur naudojamos prizmės? ABCDMP yra oktaedras, sudarytas iš aštuonių trikampių. ABCDA1B1C1D1 yra gretasienis, išgaubtas daugiakampis. Išgaubtas daugiakampis. Daugiakampio samprata. Daugiakampis A1A2..AnB1B2..Bn yra prizmė.

„10 prizmės klasė“ – prizmė yra daugiakampis, kurio paviršiai yra lygiagrečiose plokštumose. Prizmės naudojimas kasdieniame gyvenime. Sside = P pagrindu. + h Tiesiai prizmei: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Pasviręs. Teisingai. Tiesiai. Prizmė. Formulės, kaip rasti sritį. Prizmės panaudojimas architektūroje. Sp.p \u003d S pusė + 2 S pagrindu.

„Pitagoro teoremos įrodymas“ – geometrinis įrodymas. Pitagoro teoremos prasmė. Pitagoro teorema. Euklido įrodymas. "Stačiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai." Teoremos įrodymai. Teoremos reikšmė ta, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti didžiąją dalį geometrijos teoremų.

Mokyklinėje kietosios geometrijos kurso programoje trimačių figūrų studijos dažniausiai pradedamos nuo paprasto geometrinio kūno – prizmės daugiakampio. Jo pagrindų vaidmenį atlieka 2 lygūs daugiakampiai, esantys lygiagrečiose plokštumose. Ypatingas atvejis yra taisyklinga keturkampė prizmė. Jo pagrindai yra 2 vienodi taisyklingi keturkampiai, kurių kraštinės yra statmenos, turintys lygiagretainių (arba stačiakampių, jei prizmė nepakrypusi) formą.

Kaip atrodo prizmė

Taisyklinga keturkampė prizmė yra šešiakampis, kurio pagrinduose yra 2 kvadratai, o šoniniai paviršiai pavaizduoti stačiakampiais. Kitas šios geometrinės figūros pavadinimas yra tiesus gretasienis.

Paveikslas, kuriame pavaizduota keturkampė prizmė, parodyta žemiau.

Taip pat galite pamatyti nuotraukoje svarbiausi elementai, sudarantys geometrinį kūną. Jie paprastai vadinami:

Kartais geometrijos uždaviniuose galite rasti sekcijos sąvoką. Apibrėžimas skambės taip: pjūvis yra visi tūrinio kūno taškai, priklausantys pjovimo plokštumai. Pjūvis statmenas (kerta figūros kraštus 90 laipsnių kampu). Stačiakampei prizmei taip pat atsižvelgiama į įstrižainę pjūvį (maksimalus galimų pastatyti 2 sekcijų skaičius), einantis per 2 briaunas ir pagrindo įstrižaines.

Jei pjūvis nubrėžtas taip, kad pjovimo plokštuma nebūtų lygiagreti nei pagrindams, nei šoniniams paviršiams, gaunama nupjauta prizmė.

Redukuotiems prizminiams elementams rasti naudojami įvairūs santykiai ir formulės. Kai kurie iš jų žinomi iš planimetrijos eigos (pavyzdžiui, norint rasti prizmės pagrindo plotą, pakanka prisiminti kvadrato ploto formulę).

Paviršiaus plotas ir tūris

Norėdami nustatyti prizmės tūrį pagal formulę, turite žinoti jos pagrindo ir aukščio plotą:

V = Sprim h

Kadangi taisyklingos tetraedrinės prizmės pagrindas yra kvadratas su kraštine a, Galite parašyti formulę detalesne forma:

V = a² h

Jei mes kalbame apie kubą - taisyklingą prizmę, kurios ilgis, plotis ir aukštis yra vienodi, tūris apskaičiuojamas taip:

Norėdami suprasti, kaip rasti prizmės šoninį paviršiaus plotą, turite įsivaizduoti jos šluotą.

Iš brėžinio matyti, kad šoninis paviršius sudarytas iš 4 vienodų stačiakampių. Jo plotas apskaičiuojamas kaip pagrindo perimetro ir figūros aukščio sandauga:

Sside = poz. h

Kadangi kvadrato perimetras yra P = 4a, formulė įgauna tokią formą:

Pusė = 4a h

Dėl kubo:

Šonas = 4a²

Norėdami apskaičiuoti bendrą prizmės paviršiaus plotą, prie šoninio ploto pridėkite 2 bazinius plotus:

Pilnas = Sside + 2Sbase

Taikant keturkampę taisyklingąją prizmę, formulė turi tokią formą:

Pilnas = 4a h + 2a²

Kubo paviršiaus plotui:

Visas = 6a²

Žinodami tūrį arba paviršiaus plotą, galite apskaičiuoti atskirus geometrinio kūno elementus.

Prizmės elementų paieška

Neretai iškyla problemų, kai nurodomas tūris arba žinoma šoninio paviršiaus ploto reikšmė, kai reikia nustatyti pagrindo kraštinės ilgį arba aukštį. Tokiais atvejais galima gauti formules:

pagrindo šono ilgis: a = Pusė / 4h = √(V / h);
aukštis arba šoninės briaunos ilgis: h = Sside / 4a = V / a²;
bazinis plotas: Prim = V / h;
šoninė veido sritis: Šoninė gr = Sside / 4.

Norėdami nustatyti, kiek ploto turi įstrižainė, turite žinoti įstrižainės ilgį ir figūros aukštį. Už kvadratą d = a√2. Todėl:

Sdiag = ah√2

Apskaičiuojant prizmės įstrižainę, naudojama formulė:

dprize = √(2a² + h²)

Norėdami suprasti, kaip taikyti aukščiau nurodytus santykius, galite praktikuotis ir išspręsti keletą paprastų užduočių.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

Štai keletas užduočių, atsirandančių valstybiniuose matematikos egzaminuose.

1 pratimas.

Smėlis pilamas į įprastos keturkampės prizmės formos dėžutę. Jo lygio aukštis 10 cm Koks bus smėlio lygis, jei jį perkelsite į tokios pat formos, bet 2 kartus ilgesnio pagrindo indą?

Reikėtų argumentuoti taip. Smėlio kiekis pirmame ir antrame konteineriuose nepakito, t.y., jo tūris juose yra vienodas. Pagrindo ilgį galite apibrėžti kaip a. Tokiu atveju pirmame langelyje medžiagos tūris bus:

V₁ = ha² = 10a²

Antrosios dėžutės pagrindo ilgis yra 2a, bet smėlio lygio aukštis nežinomas:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Nes V₁ = V₂, posakius galima sulyginti:

10a² = 4ha²

Sumažinus abi lygties puses a², gauname:

Dėl to naujas smėlio lygis bus h = 10/4 = 2,5 cm.

2 užduotis.

ABCDA₁B₁C₁D₁ yra taisyklinga prizmė. Yra žinoma, kad BD = AB₁ = 6√2. Raskite bendrą kūno paviršiaus plotą.

Kad būtų lengviau suprasti, kurie elementai yra žinomi, galite nupiešti figūrą.

Kadangi kalbame apie taisyklingąją prizmę, galime daryti išvadą, kad pagrindas yra kvadratas, kurio įstrižainė yra 6√2. Šoninio paviršiaus įstrižainė turi tą pačią reikšmę, todėl šoninis paviršius taip pat turi kvadrato formą, lygią pagrindui. Pasirodo, visi trys matmenys – ilgis, plotis ir aukštis – yra lygūs. Galime daryti išvadą, kad ABCDA₁B₁C₁D₁ yra kubas.

Bet kurio krašto ilgis nustatomas per žinomą įstrižainę:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Bendras paviršiaus plotas randamas pagal kubo formulę:

Visas = 6a² = 6 6² = 216

3 užduotis.

Kambarys remontuojamas. Yra žinoma, kad jo grindys yra kvadrato formos, kurios plotas yra 9 m². Kambario aukštis – 2,5 m. Kiek mažiausia kainuoja kambario tapetavimas, jei 1 m² kainuoja 50 rublių?

Kadangi grindys ir lubos yra kvadratai, tai yra taisyklingi keturkampiai, o jų sienos statmenos horizontaliems paviršiams, galime daryti išvadą, kad tai taisyklinga prizmė. Būtina nustatyti jo šoninio paviršiaus plotą.

Kambario ilgis yra a = √9 = 3 m.

Aikštė bus išklijuota tapetais Šonas = 4 3 2,5 = 30 m².

Mažiausia šio kambario tapetų kaina bus 50 30 = 1500 rublių.

Taigi, norint išspręsti stačiakampės prizmės uždavinius, pakanka mokėti apskaičiuoti kvadrato ir stačiakampio plotą ir perimetrą, taip pat žinoti tūrio ir paviršiaus ploto nustatymo formules.