6 išspręskite diferencialinę lygtį. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Kai kuriose fizikos problemose neįmanoma nustatyti tiesioginio ryšio tarp dydžių, apibūdinančių procesą. Tačiau galima gauti lygybę, kurioje yra tiriamų funkcijų išvestinės. Taip atsiranda diferencialinės lygtys ir poreikis jas išspręsti, norint rasti nežinomą funkciją.

Šis straipsnis skirtas tiems, kurie susiduria su diferencialinės lygties, kurioje nežinoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija, sprendimo problema. Teorija sudaryta taip, kad neturėdami žinių apie diferencialines lygtis, galite susidoroti su savo užduotimi.

Kiekvienas tipas diferencialines lygtis sprendimo metodas buvo suderintas su išsamiais paaiškinimais ir sprendimais tipiniai pavyzdžiai ir užduotis. Tereikia nustatyti savo problemos diferencialinės lygties tipą, rasti panašų analizuotą pavyzdį ir atlikti panašius veiksmus.

Norint sėkmingai išspręsti diferencialines lygtis, taip pat reikės gebėjimo rasti įvairių funkcijų antidarinių (neapibrėžtų integralų) rinkinius. Jei reikia, rekomenduojame peržiūrėti skyrių.

Pirmiausia apsvarstysime įprastų pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima išspręsti išvestinės atžvilgiu, tada pereisime prie antros eilės ODE, tada apsistosime ties aukštesnės eilės lygtimis ir baigsime sistemomis diferencialines lygtis.

Prisiminkite, kad jei y yra argumento x funkcija.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys.

Paprasčiausios formos pirmos eilės diferencialinės lygtys.

Užsirašykime kelis tokio nuotolinio valdymo pulto pavyzdžius .

Diferencialinės lygtys Išvestinės atžvilgiu galima išspręsti abi lygybės puses padalijus iš f(x) . Šiuo atveju gauname lygtį, kuri bus lygiavertė pradinei f(x) ≠ 0. Tokių ODE pavyzdžiai yra .

Jei yra argumento x reikšmės, kuriose funkcijos f(x) ir g(x) vienu metu išnyksta, atsiranda papildomų sprendimų. Papildomi lygties sprendiniai pateiktos x yra bet kokios funkcijos, apibrėžtos šioms argumentų reikšmėms. Tokių diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

Antros eilės diferencialinės lygtys.

Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

LDE su pastoviais koeficientais yra labai dažnas diferencialinės lygties tipas. Jų sprendimas nėra ypač sunkus. Pirmiausia randamos charakteristikos lygties šaknys . Skirtingiems p ir q galimi trys atvejai: charakteringos lygties šaknys gali būti tikrosios ir skirtingos, tikrosios ir sutampančios arba kompleksiniai konjugatai. Atsižvelgiant į charakteristikos lygties šaknų reikšmes, bendras diferencialinės lygties sprendimas rašomas taip , arba , arba atitinkamai.

Pavyzdžiui, apsvarstykite tiesinę vienalytę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Jai būdingos lygties šaknys yra k 1 = -3 ir k 2 = 0. Šaknys yra tikros ir skirtingos, todėl bendras LODE sprendimas su pastoviais koeficientais turi formą

Antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

Bendras antros eilės LDDE sprendimas su pastoviais koeficientais y ieškomas atitinkamo LDDE bendrojo sprendinio sumos pavidalu o konkretus sprendimas originaliam nėra vienalytė lygtis, tai yra, . Ankstesnė pastraipa skirta rasti bendrą homogeninės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą. O konkretus sprendimas nustatomas arba neapibrėžtųjų koeficientų metodu tam tikrai funkcijos f(x) formai dešinėje pradinės lygties pusėje, arba savavališkų konstantų keitimo metodu.

Pateikiame antros eilės LDDE su pastoviais koeficientais pavyzdžius

Norėdami suprasti teoriją ir susipažinti su išsamiais pavyzdžių sprendimais, puslapyje siūlome tiesines nehomogenines antros eilės diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais.

Tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys (LODE) ir antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys (LNDE).

Ypatingas tokio tipo diferencialinių lygčių atvejis yra LODE ir LDDE su pastoviais koeficientais.

Bendras LODE sprendinys tam tikrame segmente pavaizduotas dviejų tiesiškai nepriklausomų šios lygties dalinių sprendinių y 1 ir y 2 tiesine kombinacija, ty .

Pagrindinis sunkumas yra būtent ieškant tiesiškai nepriklausomų dalinių šio tipo diferencialinės lygties sprendimų. Paprastai tam tikri sprendimai pasirenkami iš šių tiesiškai nepriklausomų funkcijų sistemų:

Tačiau konkretūs sprendimai ne visada pateikiami tokia forma.

LOD pavyzdys yra .

Bendras LDDE sprendimas ieškomas formoje , kur yra atitinkamo LDDE bendras sprendimas ir yra konkretus pradinės diferencialinės lygties sprendimas. Mes ką tik kalbėjome apie jo radimą, tačiau jį galima nustatyti naudojant savavališkų konstantų keitimo metodą.

Galima pateikti LNDU pavyzdį .

Aukštesnių laipsnių diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygtys, leidžiančios sumažinti eilę.

Diferencialinės lygties tvarka , kurioje nėra norimos funkcijos ir jos išvestinių iki k-1 eilės, galima sumažinti iki n-k pakeičiant .

Tokiu atveju pradinė diferencialinė lygtis bus sumažinta iki . Radus jos sprendimą p(x), belieka grįžti prie pakeitimo ir nustatyti nežinomą funkciją y.

Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis po pakeitimo ji taps lygtimi su atskiriamais kintamaisiais, o jos tvarka bus sumažinta iš trečios į pirmą.

Diferencialinių lygčių sprendimas. Mūsų internetinės paslaugos dėka galite išspręsti bet kokio tipo ir sudėtingumo diferencialines lygtis: nehomogenines, vienarūšes, netiesines, tiesines, pirmos, antros eilės, su atskiriamais ar neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Jūs gaunate diferencialinių lygčių sprendimą analitine forma su Išsamus aprašymas. Daugelis žmonių domisi: kodėl diferencialines lygtis reikia spręsti internetu? Tokio tipo lygtys yra labai paplitusios matematikoje ir fizikoje, kur nebus įmanoma išspręsti daugelio problemų neapskaičiavus diferencialinės lygties. Diferencialinės lygtys taip pat paplitusios ekonomikos, medicinos, biologijos, chemijos ir kituose moksluose. Tokios lygties sprendimas internetu labai supaprastina jūsų užduotis, suteikia galimybę geriau suprasti medžiagą ir išbandyti save. Diferencialinių lygčių sprendimo privalumai internetu. Šiuolaikinė matematinių paslaugų svetainė leidžia spręsti diferencialines lygtis internete bet koks sunkumų. Kaip žinote, yra didelis skaičius diferencialinių lygčių tipų ir kiekviena iš jų turi savo sprendimo būdus. Mūsų paslaugoje galite rasti bet kokios eilės ir tipo diferencialinių lygčių sprendimus internete. Norėdami gauti sprendimą, siūlome užpildyti pradinius duomenis ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Paslaugos veikimo klaidos neįtraukiamos, todėl galite būti 100% tikri, kad gavote teisingą atsakymą. Išspręskite diferencialines lygtis naudodami mūsų paslaugą. Išspręskite diferencialines lygtis internete. Pagal numatytuosius nustatymus tokioje lygtyje funkcija y yra x kintamojo funkcija. Bet taip pat galite nurodyti savo kintamojo pavadinimą. Pavyzdžiui, jei diferencialinėje lygtyje nurodote y(t), mūsų paslauga automatiškai nustatys, kad y yra t kintamojo funkcija. Visos diferencialinės lygties tvarka priklausys nuo maksimalios funkcijos išvestinės, esančios lygtyje, eilės. Išspręsti tokią lygtį reiškia rasti norimą funkciją. Mūsų paslauga padės išspręsti diferencialines lygtis internetu. Norint išspręsti lygtį, nereikia daug pastangų. Jums tereikia įvesti kairę ir dešinę lygties puses į reikiamus laukus ir spustelėti mygtuką „Sprendimas“. Įvedant funkcijos išvestinę reikia pažymėti apostrofu. Per kelias sekundes gausite paruoštą išsamų diferencialinės lygties sprendimą. Mūsų paslauga yra visiškai nemokama. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Jei diferencialinėje lygtyje kairėje pusėje yra išraiška, kuri priklauso nuo y, o dešinėje yra išraiška, kuri priklauso nuo x, tai tokia diferencialinė lygtis vadinama atskiriamais kintamaisiais. Kairėje pusėje gali būti y išvestinė; tokio tipo diferencialinių lygčių sprendimas bus y funkcijos forma, išreikštas dešinės lygties pusės integralu. Jei kairėje pusėje yra y funkcijos diferencialas, tai šiuo atveju abi lygties pusės yra integruotos. Kai diferencialinės lygties kintamieji nėra atskirti, juos reikės atskirti, kad būtų gauta atskirta diferencialinė lygtis. Tiesinė diferencialinė lygtis. Diferencialinė lygtis, kurios funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio, vadinama tiesine. Bendra forma lygtys: y’+a1(x)y=f(x). f(x) ir a1(x) yra nuolatinės funkcijos nuo x. Šio tipo diferencialinių lygčių sprendimas redukuojasi į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais integravimą. Diferencialinės lygties tvarka. Diferencialinė lygtis gali būti pirmos, antros, n-osios eilės. Diferencialinės lygties tvarka nustato didžiausios joje esančios išvestinės eilės tvarką. Mūsų paslaugoje galite internetu išspręsti diferencialines lygtis pirmai, antrai, trečiai ir kt. įsakymas. Lygties sprendimas bus bet kokia funkcija y=f(x), pakeitus ją į lygtį, gausite tapatybę. Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas integravimu. Cauchy problema. Jei, be pačios diferencialinės lygties, pateikiama pradinė sąlyga y(x0)=y0, tai vadinama Koši problema. Rodikliai y0 ir x0 pridedami prie lygties sprendinio ir nustatoma savavališkos konstantos C reikšmė, o tada nustatomas konkretus lygties sprendinys, esant šiai reikšmei C. Tai yra Koši uždavinio sprendimas. Koši problema taip pat vadinama ribinių sąlygų problema, kuri labai paplitusi fizikoje ir mechanikoje. Taip pat turite galimybę nustatyti Koši problemą, tai yra, iš visų galimų lygties sprendinių, pasirinkite koeficientą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.

Diferencialinė lygtis (DE) - tai lygtis,
kur yra nepriklausomi kintamieji, y yra funkcija ir yra dalinės išvestinės.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti tik vieną nepriklausomą kintamąjį, .

Dalinė diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.

Žodžių „įprasta“ ir „daliniai dariniai“ galima praleisti, jei aišku, kokia lygtis nagrinėjama. Toliau nagrinėjamos įprastos diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Štai pirmosios eilės lygties pavyzdys:

Štai ketvirtos eilės lygties pavyzdys:

Kartais pirmosios eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencialais:

Šiuo atveju kintamieji x ir y yra lygūs. Tai yra, nepriklausomas kintamasis gali būti x arba y. Pirmuoju atveju y yra x funkcija. Antruoju atveju x yra y funkcija. Jei reikia, šią lygtį galime sumažinti iki formos, kuri aiškiai apima išvestinę y′.
Padalinę šią lygtį iš dx gauname:
.
Nuo ir , iš to išplaukia
.

Diferencialinių lygčių sprendimas

Elementariųjų funkcijų išvestinės išreiškiamos elementariomis funkcijomis. Elementariųjų funkcijų integralai dažnai neišreiškiami elementariomis funkcijomis. Su diferencialinėmis lygtimis situacija dar blogesnė. Dėl sprendimo galite gauti:

aiški funkcijos priklausomybė nuo kintamojo;
Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y = u (x), kuris yra apibrėžtas, n kartų diferencijuotas ir .
numanoma priklausomybė Φ tipo lygties forma (x, y) = 0 arba lygčių sistemos;
Diferencialinės lygties integralas yra diferencialinės lygties sprendimas, turintis numanomą formą.
priklausomybė, išreikšta elementariomis funkcijomis ir integralais nuo jų;
Diferencialinės lygties sprendimas kvadratais - tai yra sprendimo paieška elementariųjų funkcijų ir jų integralų derinio pavidalu.
sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis.

Kadangi diferencialinių lygčių sprendimas priklauso nuo integralų skaičiavimo, sprendinys apima aibę konstantų C 1, C 2, C 3, ... C n. Konstantų skaičius lygus lygties tvarkai. Diferencialinės lygties dalinis integralas yra bendrasis integralas tam tikroms konstantų C 1, C 2, C 3, ..., C n reikšmėms.

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

6.1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Sprendžiant įvairius matematikos ir fizikos, biologijos ir medicinos uždavinius, gana dažnai nepavyksta iš karto nustatyti funkcinio ryšio formulės, jungiančios tiriamą procesą apibūdinančius kintamuosius, forma. Paprastai reikia naudoti lygtis, kuriose, be nepriklausomo kintamojo ir nežinomos funkcijos, yra ir jo išvestinės.

Apibrėžimas. Vadinama lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir įvairios eilės jos išvestinius diferencialas.

Paprastai žymima nežinoma funkcija y(x) arba tiesiog y, ir jo dariniai - y", y" ir tt

Galimi ir kiti pavadinimai, pvz.: jei y= x(t), tada x"(t), x""(t)- jo dariniai ir t- nepriklausomas kintamasis.

Apibrėžimas. Jei funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, tai diferencialinė lygtis vadinama įprasta. Bendra forma įprastinė diferencialinė lygtis:

arba

Funkcijos F Ir f gali nebūti kai kurių argumentų, bet kad lygtys būtų diferencinės, būtina turėti išvestinę.

Apibrėžimas.Diferencialinės lygties tvarka vadinama į jį įtrauktos aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Pavyzdžiui, x 2 m.- y= 0, y" + sin x= 0 yra pirmosios eilės lygtys ir y"+ 2 y"+ 5 y= x- antros eilės lygtis.

Sprendžiant diferencialines lygtis, naudojama integravimo operacija, kuri yra susijusi su savavališkos konstantos atsiradimu. Jei taikomas integravimo veiksmas n kartų, tada, aišku, tirpale bus n savavališkos konstantos.

6.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Bendra forma pirmos eilės diferencialinė lygtis nustatoma pagal išraišką

Lygtyje negali būti aiškiai nurodyta x Ir y, bet būtinai turi y“.

Jei lygtį galima parašyti kaip

tada gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinės lygties (6.3) (arba (6.4)) bendrasis sprendinys yra sprendinių aibė , Kur SU- savavališka konstanta.

Diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pateikiant savavališką konstantą SU skirtingos reikšmės, galima gauti dalinius sprendimus. Ant paviršiaus xOy bendrasis sprendimas yra integralinių kreivių šeima, atitinkanti kiekvieną konkretų sprendimą.

Jei nustatysite tašką A (x 0, y 0), per kurią turi praeiti integralinė kreivė, tada, kaip taisyklė, iš funkcijų rinkinio Galima išskirti vieną – privatų sprendimą.

Apibrėžimas.Privatus sprendimas Diferencialinės lygties sprendimas yra jos sprendimas, kuriame nėra savavališkų konstantų.

Jeigu yra bendras sprendimas, tada nuo sąlygos

galite rasti konstantą SU. Būklė vadinama pradinė būklė.

Problema rasti konkretų diferencialinės lygties (6.3) arba (6.4) sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą adresu paskambino Cauchy problema. Ar ši problema visada turi sprendimą? Atsakymas pateiktas sekančioje teoremoje.

Koši teorema(sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema). Įveskite diferencialinę lygtį y"= f(x,y) funkcija f(x,y) ir ji

dalinė išvestinė apibrėžtas ir kai kuriose tęstinis

regione D, kuriame yra taškas Tada rajone D egzistuoja

vienintelis lygties sprendimas, tenkinantis pradinę sąlygą adresu

Koši teorema teigia, kad tam tikromis sąlygomis egzistuoja unikali integralinė kreivė y= f(x), einantis per tašką Taškai, kuriuose neįvykdomos teoremos sąlygos

Cauchies vadinami ypatingas.Šiuose taškuose jis nutrūksta f(x, y) arba.

Arba kelios integralinės kreivės, arba nė viena, nekerta vienaskaitos taško.

Apibrėžimas. Jei formoje randamas sprendimas (6.3), (6.4). f(x, y, C)= 0, neleidžiama palyginti su y, tada jis vadinamas bendrasis integralas diferencialinė lygtis.

Koši teorema tik garantuoja, kad sprendimas egzistuoja. Kadangi nėra vieno sprendimo rasti metodą, nagrinėsime tik kai kuriuos pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima integruoti į kvadratūros

Apibrėžimas. Diferencialinė lygtis vadinama integruojamas kvadratais, jei ieškant jo sprendimo reikia integruoti funkcijas.

6.2.1. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Apibrėžimas. Pirmos eilės diferencialinė lygtis vadinama lygtimi su atskiriami kintamieji,

Dešinė lygties pusė (6.5) yra dviejų funkcijų sandauga, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo.

Pavyzdžiui, lygtis yra lygtis su atskyrimu

sumaišytas su kintamaisiais
ir lygtis

negali būti pavaizduotas formoje (6.5).

Atsižvelgiant į tai , perrašome (6.5) formoje

Iš šios lygties gauname diferencialinę lygtį su atskirtais kintamaisiais, kurioje diferencialai yra funkcijos, kurios priklauso tik nuo atitinkamo kintamojo:

Integruodami terminą po termino turime

kur C = C 2 - C 1 - savavališka konstanta. Išraiška (6.6) yra bendrasis lygties (6.5) integralas.

Abi (6.5) lygties puses padaliję iš, galime prarasti tuos sprendinius, kuriems Tikrai, jei adresu

Tai akivaizdu, kad yra (6.5) lygties sprendimas.

1 pavyzdys. Raskite tenkinantį lygties sprendimą

sąlyga: y= 6 val x= 2 (y(2) = 6).

Sprendimas. Mes pakeisime y" tada . Padauginkite abi puses iš

dx, kadangi tolesnės integracijos metu išvykti neįmanoma dx vardiklyje:

o tada padalijus abi dalis iš gauname lygtį,

kurias galima integruoti. Integruokime:

Tada ; stiprinant gauname y = C. (x + 1) - ob-

bendras sprendimas.

Naudodami pradinius duomenis nustatome savavališką konstantą, pakeisdami jas bendruoju sprendimu

Pagaliau gauname y= 2(x + 1) yra tam tikras sprendimas. Pažvelkime į dar kelis lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimo pavyzdžius.

2 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas. Atsižvelgiant į tai , mes gauname .

Integravę abi lygties puses, turime

kur

3 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas. Abi lygties puses padalijame į tuos veiksnius, kurie priklauso nuo kintamojo, kuris nesutampa su kintamuoju po diferencialiniu ženklu, t.y. ir integruoti. Tada gauname

ir, galiausiai

4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.Žinodami, ką gausime. Skyrius

lim kintamieji. Tada

Integruodami gauname

komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose reikalinga funkcija yra y išreikštas aiškiai (bendras sprendimas). 3 ir 4 pavyzdžiuose – netiesiogiai (bendrasis integralas). Ateityje sprendimo forma nebus patikslinta.

5 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

6 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą , patenkinti

sąlyga y(e)= 1.

Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Abi lygties puses padauginus iš dx ir toliau, gauname

Integruodami abi lygties puses (dešinės pusės integralas paimamas dalimis), gauname

Bet pagal būklę y= 1 val x= e. Tada

Pakeiskime rastas reikšmes SU prie bendro sprendimo:

Gauta išraiška vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu.

6.2.2. Pirmos eilės vienarūšės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama vienalytis, jeigu jį galima pavaizduoti formoje

Pateiksime vienalytės lygties sprendimo algoritmą.

1. Vietoj to y pristatykime naują funkcijąTada ir todėl

2.Pagal funkciją u lygtis (6.7) įgauna formą

tai yra, pakeitimas sumažina vienalytę lygtį į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

3. Išspręsdami (6.8) lygtį, pirmiausia randame u, o tada y= ux.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Mes atliekame pakeitimą:
Tada

Mes pakeisime

Padauginkite iš dx: Padalinti iš x ir toliau Tada

Integravę abi lygties puses per atitinkamus kintamuosius, turime

arba, grįždami prie senųjų kintamųjų, pagaliau gauname

2 pavyzdys.Išspręskite lygtį Sprendimas.Leisti Tada

Abi lygties puses padalinkime iš x2: Atidarykime skliaustus ir pakeiskime terminus:

Pereinant prie senų kintamųjų, gauname galutinį rezultatą:

3 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą turint omenyje

Sprendimas.Atliekamas standartinis pakeitimas mes gauname

arba

Tai reiškia, kad konkretus sprendimas turi formą 4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.

5 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

Savarankiškas darbas

Raskite diferencialinių lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimus (1-9).

Raskite homogeninių diferencialinių lygčių sprendimą (9-18).

6.2.3. Kai kurios pirmosios eilės diferencialinių lygčių taikymas

Radioaktyvaus skilimo problema

Ra (radžio) skilimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas jo turimai masei. Raskite Ra radioaktyvaus skilimo dėsnį, jei žinoma, kad pradiniu momentu buvo Ra ir Ra pusinės eliminacijos laikas yra 1590 metų.

Sprendimas. Tegul šiuo momentu masė Ra yra x= x(t) g ir Tada skilimo greitis Ra yra lygus

Pagal problemos sąlygas

Kur k

Atskirdami paskutinės lygties kintamuosius ir integruodami, gauname

kur

Norėdami nustatyti C naudojame pradinę sąlygą: kada .

Tada ir todėl,

Proporcingumo koeficientas k nustatoma pagal papildomą sąlygą:

Mes turime

Iš čia ir reikiamą formulę

Bakterijų dauginimosi greičio problema

Bakterijų dauginimosi greitis yra proporcingas jų skaičiui. Iš pradžių buvo 100 bakterijų. Per 3 valandas jų skaičius padvigubėjo. Raskite bakterijų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Kiek kartų per 9 valandas padidės bakterijų skaičius?

Sprendimas. Leisti x- bakterijų skaičius vienu metu t. Tada, atsižvelgiant į būklę,

Kur k- proporcingumo koeficientas.

Iš čia Iš būklės žinoma, kad . Reiškia,

Iš papildomos sąlygos . Tada

Funkcija, kurios ieškote:

Todėl, kai t= 9 x= 800, ty per 9 valandas bakterijų skaičius išaugo 8 kartus.

Fermento kiekio didinimo problema

Alaus mielių kultūroje aktyvaus fermento augimo greitis yra proporcingas pradiniam jo kiekiui x. Pradinis fermento kiekis a padvigubėjo per valandą. Raskite priklausomybę

x(t).

Sprendimas. Pagal sąlygą proceso diferencialinė lygtis turi formą

iš čia

Bet . Reiškia, C= a ir tada

Taip pat žinoma, kad

Vadinasi,

6.3. ANTROS EIOS DIFFERENCINĖS LYGTYBĖS

6.3.1. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Antros eilės diferencialinė lygtis vadinamas ryšiu, jungiančiu nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos pirmąją bei antrąją išvestines.

Ypatingais atvejais lygtyje gali nebūti x, adresu arba y". Tačiau antros eilės lygtyje būtinai turi būti y." Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip:

arba, jei įmanoma, tokia forma, kuri išspręsta atsižvelgiant į antrąjį išvestinį:

Kaip ir pirmosios eilės lygties atveju, antros eilės lygčiai gali būti bendrieji ir specialieji sprendiniai. Bendras sprendimas yra toks:

Konkretaus sprendimo radimas

pradinėmis sąlygomis – duota

numeriai) yra vadinamas Cauchy problema. Geometriškai tai reiškia, kad turime rasti integralo kreivę adresu= y(x), einantis per tam tikrą tašką ir šiame taške turintis liestinę, kuri yra

susilygina su teigiamos ašies kryptimi Jautis nurodytas kampas. e. (6.1 pav.). Koši problema turi unikalų sprendimą, jei (6.10) lygties dešinė pusė, nepaliaujamas

yra nenutrūkstamas ir turi ištisines dalines išvestines oi, ai" kurioje nors pradinio taško kaimynystėje

Norėdami rasti konstantas įtrauktas į privatų sprendimą, sistema turi būti išspręsta

Ryžiai. 6.1. Integralinė kreivė

Diferencialinė lygtis yra lygtis, apimanti funkciją ir vieną ar daugiau jos išvestinių. Daugumoje praktinių uždavinių funkcijos vaizduoja fizikinius dydžius, išvestinės atitinka šių dydžių kitimo greitį, o lygtis nustato ryšį tarp jų.

Šiame straipsnyje aptariami tam tikrų tipų paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo būdai, kurių sprendinius galima parašyti forma elementarios funkcijos, tai yra daugianario, eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės, taip pat jų atvirkštinės funkcijos. Daugelis šių lygčių pasitaiko realiame gyvenime, nors daugumos kitų diferencialinių lygčių šiais metodais išspręsti nepavyksta, o atsakymas joms rašomas specialių funkcijų forma arba galios serija, arba randamas skaitiniais metodais.

Norėdami suprasti šį straipsnį, turite mokėti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, taip pat šiek tiek suprasti dalines išvestines. Taip pat rekomenduojama žinoti tiesinės algebros pagrindus, taikomus diferencialinėms lygtims, ypač antros eilės diferencialinėms lygtims, nors joms išspręsti pakanka žinių apie diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Preliminari informacija

Diferencialinės lygtys turi plačią klasifikaciją. Šiame straipsnyje kalbama apie įprastos diferencialinės lygtys, tai yra apie lygtis, apimančias vieno kintamojo funkciją ir jo išvestines. Paprastąsias diferencialines lygtis daug lengviau suprasti ir išspręsti nei dalinės diferencialinės lygtys, kurie apima kelių kintamųjų funkcijas. Šiame straipsnyje nenagrinėjamos dalinės diferencialinės lygtys, nes šių lygčių sprendimo metodai paprastai nustatomi pagal jų konkrečią formą.
- Žemiau pateikiami keli įprastų diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Žemiau yra keletas dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžių.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\dalinis y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Įsakymas diferencialinės lygties dydis nustatomas pagal į šią lygtį įtrauktos aukščiausios išvestinės eilės tvarką. Pirmoji iš minėtų įprastų diferencialinių lygčių yra pirmos eilės, o antroji – antros eilės lygtis. Laipsnis diferencialinės lygties laipsnis yra didžiausias laipsnis, į kurį pakeliamas vienas iš šios lygties narių.
- Pavyzdžiui, žemiau esanti lygtis yra trečios eilės ir antrojo laipsnio.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dešinė)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Diferencialinė lygtis yra tiesinė diferencialinė lygtis tuo atveju, kai funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio. Priešingu atveju lygtis yra netiesinė diferencialinė lygtis. Tiesinės diferencialinės lygtys yra nuostabios tuo, kad jų sprendiniai gali būti naudojami formuojant tiesinius derinius, kurie taip pat bus pateiktos lygties sprendiniai.
- Žemiau pateikiami keli tiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
- Žemiau pateikiami keli netiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai. Pirmoji lygtis yra netiesinė dėl sinuso termino.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Bendras sprendimasĮprasta diferencialinė lygtis nėra unikali, ji apima savavališkos integravimo konstantos. Daugeliu atvejų savavališkų konstantų skaičius yra lygus lygties tvarkai. Praktiškai šių konstantų reikšmės nustatomos remiantis duotomis pradines sąlygas, tai yra, pagal funkcijos ir jos išvestinių vertes x = 0. (\displaystyle x=0.) Pradinių sąlygų, kurias reikia rasti, skaičius privatus sprendimas diferencialinė lygtis, daugeliu atvejų taip pat yra lygi duotosios lygties tvarkai.
- Pavyzdžiui, šiame straipsnyje bus nagrinėjama toliau pateiktos lygties sprendimas. Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jo bendrame sprendime yra dvi savavališkos konstantos. Norint rasti šias konstantas, būtina žinoti pradines sąlygas x (0) (\displaystyle x(0)) Ir x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Paprastai pradinės sąlygos nurodomos taške x = 0, (\displaystyle x=0,), nors tai nėra būtina. Šiame straipsnyje taip pat bus aptarta, kaip rasti konkrečius sprendimus tam tikroms pradinėms sąlygoms.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Žingsniai

1 dalis

Pirmosios eilės lygtys

Naudojantis šia paslauga, tam tikra informacija gali būti perkelta į „YouTube“.

Pirmosios eilės tiesinės lygtys.Šiame skyriuje aptariami pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai bendrais ir ypatingais atvejais, kai kai kurie terminai yra lygūs nuliui. Apsimeskime tai y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ir q (x) (\displaystyle q(x)) yra funkcijos x. (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x) = 0.) Pagal vieną pagrindinių matematinės analizės teoremų funkcijos išvestinės integralas taip pat yra funkcija. Taigi, norint rasti jos sprendimą, pakanka tiesiog integruoti lygtį. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad skaičiuojant neapibrėžtą integralą, atsiranda savavališka konstanta.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x) = 0.) Mes naudojame metodą kintamųjų atskyrimas. Tai perkelia skirtingus kintamuosius į skirtingas lygties puses. Pavyzdžiui, galite perkelti visus narius iš y (\displaystyle y)į vieną, o visi nariai su x (\displaystyle x)į kitą lygties pusę. Nariai taip pat gali būti perkelti d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ir d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), kurios yra įtrauktos į išvestines išraiškas, tačiau reikia atsiminti, kad tai yra teisinga simbolis, o tai patogu atskiriant sudėtinga funkcija. Šių narių, kurie vadinami, aptarimas diferencialai, nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį.
- Pirmiausia turite perkelti kintamuosius į priešingas lygybės ženklo puses.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Integruokime abi lygties puses. Po integravimo abiejose pusėse atsiras savavališkos konstantos, kurias galima perkelti į dešinę lygties pusę.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- 1.1 pavyzdys.Įjungta paskutinis žingsnis mes naudojomės taisykle e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ir pakeistas e C (\displaystyle e^(C))įjungta C (\displaystyle C), nes tai taip pat yra savavališka integravimo konstanta.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sulygiuotas)))
P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Norėdami rasti bendrą sprendimą, pristatėme integruojantis veiksnys kaip funkcija x (\displaystyle x) kairę pusę sumažinti į bendrą išvestinę ir taip išspręsti lygtį.
- Padauginkite abi puses iš μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μd y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Norint sumažinti kairę pusę iki bendrosios išvestinės, reikia atlikti šiuos pakeitimus:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Paskutinė lygybė tai reiškia d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tai yra integruojantis veiksnys, kurio pakanka bet kuriai pirmos eilės tiesinei lygčiai išspręsti. Dabar galime išvesti formulę, kaip išspręsti šią lygtį μ , (\displaystyle \mu ,) nors mokymui pravartu atlikti visus tarpinius skaičiavimus.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- 1.2 pavyzdys.Šis pavyzdys parodo, kaip rasti konkretų diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis.
  - t y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(sulygintas)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sulygiuotas)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3 = y(2) = 1+(\frac (C) (4)),\quad C = 8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Pirmos eilės tiesinių lygčių sprendimas (įrašė Intuit – Nacionalinis atvirasis universitetas).
Netiesinės pirmos eilės lygtys. Šiame skyriuje aptariami kai kurių pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai. Nors nėra bendro tokių lygčių sprendimo metodo, kai kurias iš jų galima išspręsti naudojant toliau nurodytus metodus.
D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jei funkcija f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) galima suskirstyti į vieno kintamojo funkcijas, tokia lygtis vadinama diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Tokiu atveju galite naudoti aukščiau pateiktą metodą:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- 1.3 pavyzdys.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) pradėti(sulygiuotas)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sulygiuotas)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Apsimeskime tai g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Ir h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) yra funkcijos x (\displaystyle x) Ir y. (\displaystyle y.) Tada vienalytė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje g (\displaystyle g) Ir h (\displaystyle h) yra vienarūšės funkcijos tokiu pat laipsniu. Tai yra, funkcijos turi tenkinti sąlygą g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Kur k (\displaystyle k) vadinamas homogeniškumo laipsniu. Tinkama gali būti naudojama bet kokia homogeninė diferencialinė lygtis kintamųjų pakaitalai (v = y / x (\displaystyle v=y/x) arba v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertuoti į atskiriamą lygtį.
- 1.4 pavyzdys. Aukščiau pateiktas homogeniškumo aprašymas gali atrodyti neaiškus. Pažvelkime į šią koncepciją pavyzdžiu.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Pirmiausia reikia pažymėti, kad ši lygtis yra netiesinė y. (\displaystyle y.) Taip pat matome, kad šiuo atveju neįmanoma atskirti kintamųjų. Tuo pačiu metu ši diferencialinė lygtis yra vienalytė, nes ir skaitiklis, ir vardiklis yra vienarūšiai, kurių laipsnis yra 3. Todėl galime pakeisti kintamuosius v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v) ((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Dėl to turime lygtį v (\displaystyle v) su atskiriamais kintamaisiais.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tai Bernulio diferencialinė lygtis- ypatingo tipo netiesinė pirmojo laipsnio lygtis, kurios sprendimas gali būti parašytas naudojant elementariąsias funkcijas.
- Padauginkite abi lygties puses iš (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę kairėje pusėje ir paverčiame lygtį į tiesinė lygtis palyginti y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) kuriuos galima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tai lygtis bendruose skirtumuose. Būtina rasti vadinamąjį potenciali funkcija φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), kuris tenkina sąlygą d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Norint įvykdyti šią sąlygą, būtina turėti bendra išvestinė. Suminėje išvestinėje atsižvelgiama į priklausomybę nuo kitų kintamųjų. Norėdami apskaičiuoti bendrą išvestinę priemonę φ (\displaystyle \varphi) Autorius x , (\displaystyle x,) manome, kad y (\displaystyle y) taip pat gali priklausyti nuo x. (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Sąlygų palyginimas mums suteikia M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ir N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tai yra tipiškas rezultatas kelių kintamųjų lygtims, kuriose lygiųjų funkcijų mišrios išvestinės yra lygios viena kitai. Kartais šis atvejis vadinamas Clairaut teorema. Šiuo atveju diferencialinė lygtis yra visa diferencialinė lygtis, jei įvykdoma ši sąlyga:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Suminių diferencialų lygčių sprendimo būdas yra panašus į potencialių funkcijų suradimą esant kelioms išvestinėms, kurias trumpai aptarsime. Pirmiausia integruokime M (\displaystyle M) Autorius x. (\displaystyle x.) Nes M (\displaystyle M) yra funkcija ir x (\displaystyle x), Ir y , (\displaystyle y,) integruodami gauname nepilną funkciją φ , (\displaystyle \varphi ,) paskirtas kaip φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatas taip pat priklauso nuo y (\displaystyle y) integravimo konstanta.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Po to, norint gauti c (y) (\displaystyle c(y)) galime imti gautos funkcijos dalinę išvestinę atžvilgiu y , (\displaystyle y,) sulyginti rezultatą N (x, y) (\displaystyle N(x,y)) ir integruoti. Taip pat pirmiausia galite integruoti N (\displaystyle N), o tada paimkite dalinę išvestinę x (\displaystyle x), kuri leis jums rasti savavališką funkciją d(x). (\displaystyle d(x).) Tinka abu būdai, dažniausiai integravimui pasirenkama paprastesnė funkcija.
  - N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) dalinis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- 1.5 pavyzdys. Galite paimti dalines išvestines ir pamatyti, kad žemiau pateikta lygtis yra visa diferencialinė lygtis.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(sulygintas)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\dalinis \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sulyginta)))
  - d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Jei diferencialinė lygtis nėra visuminė diferencialinė lygtis, kai kuriais atvejais galite rasti integravimo koeficientą, leidžiantį konvertuoti ją į bendrą diferencialinę lygtį. Tačiau tokios lygtys retai naudojamos praktikoje, nors ir integruojantis veiksnys egzistuoja, pasitaiko, kad jį randa nelengva, todėl šios lygtys šiame straipsnyje nenagrinėjamos.

2 dalis

Antros eilės lygtys

Homogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.Šios lygtys plačiai naudojamos praktikoje, todėl jų sprendimas yra itin svarbus. Tokiu atveju mes kalbame apie ne apie vienarūšes funkcijas, o apie tai, kad lygties dešinėje pusėje yra 0. Kitas skyrius parodys, kaip išspręsti atitinkamą nevienalytis diferencialines lygtis. Žemiau a (\displaystyle a) Ir b (\displaystyle b) yra konstantos.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Charakteristinė lygtis. Ši diferencialinė lygtis yra nuostabi tuo, kad ją galima labai lengvai išspręsti, jei atkreipsite dėmesį į tai, kokias savybes turėtų turėti jos sprendimai. Iš lygties aišku, kad y (\displaystyle y) o jo išvestinės yra proporcingos viena kitai. Iš ankstesnių pavyzdžių, kurie buvo aptarti skyriuje apie pirmosios eilės lygtis, žinome, kad šią savybę turi tik eksponentinė funkcija. Todėl galima pateikti ansatz(išsamus spėjimas) apie tai, koks bus šios lygties sprendimas.
- Sprendimas turės eksponentinės funkcijos formą e r x , (\displaystyle e^(rx),) Kur r (\displaystyle r) yra konstanta, kurios reikšmę reikia rasti. Pakeiskite šią funkciją į lygtį ir gaukite tokią išraišką
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Ši lygtis rodo, kad eksponentinės funkcijos ir daugianario sandauga turi būti lygi nuliui. Yra žinoma, kad jokioms laipsnio reikšmėms eksponentas negali būti lygus nuliui. Iš to darome išvadą, kad daugianario lygus nuliui. Taigi, mes sumažinome diferencialinės lygties sprendimo užduotį iki daug paprastesnės algebrinės lygties sprendimo problemos, kuri vadinama būdingąja tam tikros diferencialinės lygties lygtimi.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Turime dvi šaknis. Kadangi ši diferencialinė lygtis yra tiesinė, jos bendras sprendimas yra tiesinis dalinių sprendinių derinys. Kadangi tai yra antros eilės lygtis, žinome, kad taip yra tikrai bendras sprendimas, o kitų nėra. Griežtesnis to pagrindimas yra teoremos apie sprendimo egzistavimą ir unikalumą, kurias galima rasti vadovėliuose.
- Naudingas būdas patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, yra apskaičiuoti Vronskiana. Vronskis W (\displaystyle W) yra matricos, kurios stulpeliuose yra funkcijos ir nuoseklios jų išvestinės, determinantas. Tiesinės algebros teorema teigia, kad funkcijos, įtrauktos į Vronskį, yra tiesiškai priklausomos, jei Vronskis yra lygus nuliui. Šiame skyriuje galime patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi – kad tai padarytume, turime įsitikinti, kad Wronskianas nėra nulis. Vronskis svarbus sprendžiant nehomogenines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais kintamų parametrų metodu.
  - W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Kalbant apie tiesinę algebrą, visų duotosios diferencialinės lygties sprendinių aibė sudaro vektorinę erdvę, kurios matmuo yra lygus diferencialinės lygties tvarkai. Šioje erdvėje galima pasirinkti pagrindą tiesiškai nepriklausomas sprendimus vienas nuo kito. Tai įmanoma dėl to, kad funkcija y (x) (\displaystyle y(x)) galioja linijinis operatorius. Darinys yra tiesinis operatorius, nes jis paverčia diferencijuojamų funkcijų erdvę į visų funkcijų erdvę. Lygtys vadinamos vienarūšėmis tais atvejais, kai bet kuriam tiesiniam operatoriui L (\displaystyle L) turime rasti lygties sprendimą L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Dabar pereikime prie kelių konkrečių pavyzdžių. Kelių charakteristikų lygties šaknų atvejį apsvarstysime šiek tiek vėliau, skyrelyje apie eilės mažinimą.
Jei šaknys r ± (\displaystyle r_(\pm )) yra skirtingi realieji skaičiai, diferencialinė lygtis turi tokį sprendimą
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Dvi sudėtingos šaknys. Iš pagrindinės algebros teoremos išplaukia, kad polinominių lygčių sprendiniai su realiaisiais koeficientais turi realias šaknis arba sudaro konjuguotas poras. Todėl jei kompleksinis skaičius r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) tada yra charakteristikos lygties šaknis r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) taip pat yra šios lygties šaknis. Taigi sprendimą galime parašyti formoje c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) tačiau tai yra sudėtingas skaičius ir nepageidautinas sprendžiant praktines problemas.
- Vietoj to galite naudoti Eulerio formulė e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), kuri leidžia rašyti sprendimą trigonometrinių funkcijų forma:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Dabar galite vietoj konstantos c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) užsirašyti c 1 (\displaystyle c_(1)), ir išraiška i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pakeistas c 2 . (\displaystyle c_(2).) Po to gauname tokį sprendimą:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
- Yra ir kitas būdas rašyti sprendimą pagal amplitudę ir fazę, kuris geriau tinka fizikos uždaviniams.
- 2.1 pavyzdys. Raskime toliau pateiktos diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, turite paimti gautą tirpalą, taip pat jo vedinys, ir pakeiskite jas į pradines sąlygas, kurios leis mums nustatyti savavališkas konstantas.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\rodymo stilius x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(lygied)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end (sulyginta)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
N-osios eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas (įrašyta Intuit - National Open University).
Mažėjanti tvarka. Eilės redukcija yra diferencialinių lygčių sprendimo metodas, kai žinomas vienas tiesiškai nepriklausomas sprendimas. Šis metodas susideda iš lygties eilės sumažinimo vienu, o tai leidžia išspręsti lygtį naudojant ankstesniame skyriuje aprašytus metodus. Tegul sprendimas yra žinomas. Pagrindinė užsakymų mažinimo idėja yra rasti sprendimą žemiau esančioje formoje, kur reikia apibrėžti funkciją v (x) (\displaystyle v(x)), pakeičiant jį į diferencialinę lygtį ir surandant v(x). (\displaystyle v(x).) Pažiūrėkime, kaip eilės mažinimas gali būti naudojamas sprendžiant diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais ir keliomis šaknimis.

Kelios šaknys vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Prisiminkite, kad antros eilės lygtis turi turėti du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Jei charakteristikos lygtis turi kelias šaknis, sprendinių aibė Ne sudaro erdvę, nes šie sprendimai yra tiesiškai priklausomi. Šiuo atveju, norint rasti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, būtina naudoti eilės mažinimą.
- Tegul būdingoji lygtis turi kelias šaknis r (\displaystyle r). Tarkime, kad antrasis sprendimas gali būti parašytas formoje y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ir pakeiskite jį į diferencialinę lygtį. Šiuo atveju dauguma terminų, išskyrus terminą su antrąja funkcijos išvestine v , (\displaystyle v,) bus sumažintas.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- 2.2 pavyzdys. Pateikiame tokią lygtį, kuri turi kelias šaknis r = – 4. (\displaystyle r=-4.) Keitimo metu dauguma terminų sumažinami.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\pabaiga (sulygiuota)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sulygiuotas) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sulygintas)))
- Panašiai kaip mūsų ansatz diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais, šiuo atveju tik antroji išvestinė gali būti lygi nuliui. Integruojame du kartus ir gauname norimą išraišką v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Tada bendras diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas tuo atveju, kai charakteristinė lygtis turi kelias šaknis, gali būti parašytas tokia forma. Patogumui galite prisiminti, kad norint gauti tiesinę nepriklausomybę, pakanka tiesiog padauginti antrąjį terminą iš x (\displaystyle x). Šis sprendinių rinkinys yra tiesiškai nepriklausomas, todėl mes radome visus šios lygties sprendimus.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Užsakymo sumažinimas taikomas, jei sprendimas žinomas y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), kurį galima rasti arba pateikti problemos teiginyje.
- Mes ieškome sprendimo formoje y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1) (x)) ir pakeiskite ją į šią lygtį:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Nes y 1 (\displaystyle y_(1)) yra diferencialinės lygties sprendimas, visi terminai su v (\displaystyle v) yra mažinami. Galų gale tai lieka pirmos eilės tiesinė lygtis. Norėdami tai matyti aiškiau, pakeiskime kintamuosius w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Jei integralus galima apskaičiuoti, bendrąjį sprendimą gauname kaip elementariųjų funkcijų derinį. Priešingu atveju sprendimas gali būti paliktas vientisa forma.
Koši-Eulerio lygtis. Koši-Eulerio lygtis yra antros eilės diferencialinės lygties su kintamieji koeficientai, kurie turi tikslius sprendinius. Ši lygtis naudojama praktikoje, pavyzdžiui, sprendžiant Laplaso lygtį sferinėmis koordinatėmis.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Charakteristinė lygtis. Kaip matote, šioje diferencialinėje lygtyje kiekvienas narys turi galios koeficientą, kurio laipsnis yra lygus atitinkamos išvestinės eilės tvarkai.
- Taigi, galite pabandyti ieškoti sprendimo formoje y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kur būtina nustatyti n (\displaystyle n), kaip ir mes ieškojome sprendinio tiesinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais eksponentinės funkcijos pavidalu. Po diferenciacijos ir pakeitimo gauname
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Norėdami naudoti charakteringą lygtį, turime manyti, kad x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Taškas x = 0 (\displaystyle x=0) paskambino taisyklingas vienaskaitos taškas diferencialinė lygtis. Tokie taškai svarbūs sprendžiant diferencialines lygtis naudojant laipsnio eilutes. Ši lygtis turi dvi šaknis, kurios gali būti skirtingos ir tikrosios, daugybinės arba sudėtingos konjuguotos.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)
Dvi skirtingos tikrosios šaknys. Jei šaknys n ± (\displaystyle n_(\pm )) yra tikri ir skirtingi, tada diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Dvi sudėtingos šaknys. Jei charakteristikos lygtis turi šaknis n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), sprendimas yra sudėtinga funkcija.
- Norėdami transformuoti sprendimą į realią funkciją, pakeičiame kintamuosius x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) tai yra t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) ir naudokite Eilerio formulę. Panašūs veiksmai buvo atlikti anksčiau nustatant savavališkas konstantas.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Tada bendrą sprendimą galima parašyti kaip
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Kelios šaknys. Norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, reikia dar kartą sumažinti tvarką.
- Skaičiuoti reikia nemažai, tačiau principas išlieka tas pats: pakeičiame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))į lygtį, kurios pirmasis sprendinys yra y 1 (\displaystyle y_(1)). Po redukcijos gaunama tokia lygtis:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Tai yra pirmos eilės tiesinė lygtis v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jo sprendimas yra v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Taigi sprendimas gali būti parašytas tokia forma. Tai gana lengva prisiminti - norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, tiesiog reikia papildomo termino ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Nehomogeninės lygtys turi formą L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Kur f (x) (\displaystyle f(x))- vadinamasis nemokamas narys. Remiantis diferencialinių lygčių teorija, bendras šios lygties sprendimas yra superpozicija privatus sprendimas y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ir papildomas sprendimas y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tačiau šiuo atveju konkretus sprendimas reiškia ne pradinių sąlygų pateiktą sprendimą, o sprendimą, kurį lemia heterogeniškumo buvimas (laisvas terminas). Papildomas sprendimas yra atitinkamos vienalytės lygties sprendimas, kurioje f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Bendras sprendimas yra šių dviejų sprendimų superpozicija, nes L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ir nuo to laiko L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tokia superpozicija iš tiesų yra bendras sprendimas.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Neapibrėžtų koeficientų metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas naudojamas tais atvejais, kai pertraukos narys yra eksponentinių, trigonometrinių, hiperbolinių ar laipsnių funkcijų derinys. Garantuojama, kad tik šios funkcijos turės baigtinį tiesiškai nepriklausomų išvestinių skaičių. Šiame skyriuje rasime konkretų lygties sprendimą.
- Palyginkime terminus f (x) (\displaystyle f(x)) su terminais nekreipiant dėmesio į nuolatinius veiksnius. Galimi trys atvejai.
  - Nėra dviejų vienodų narių.Šiuo atveju konkretus sprendimas y p (\displaystyle y_(p)) bus linijinis terminų derinys iš y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius, ir šis terminas atitinka atskirą charakteringos lygties šaknį. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) sudarys iš funkcijų derinio x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jo tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti terminai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jų tiesiškai nepriklausomi dariniai.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys h (x) , (\displaystyle h(x),) kuris yra kūrinys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) lygus 0 arba teigiamam sveikajam skaičiui, ir šis terminas atitinka daugkartinis charakteristikos lygties šaknis. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) yra tiesinis funkcijos derinys x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Kur s (\displaystyle s)- šaknies dauginys) ir jos tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti funkcijos nariai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jo tiesiškai nepriklausomi dariniai.
- Užsirašykime y p (\displaystyle y_(p)) kaip linijinis aukščiau išvardytų terminų derinys. Dėl šių koeficientų tiesiniame derinyje šis metodas vadinamas „neapibrėžtų koeficientų metodu“. Kai yra y c (\displaystyle y_(c)) nariai gali būti atmesti dėl savavališkų konstantų buvimo y c . (\displaystyle y_(c).) Po to mes pakeičiame y p (\displaystyle y_(p))į lygtį ir sulyginkite panašius terminus.
- Mes nustatome koeficientus. Šiame etape gaunama algebrinių lygčių sistema, kurią dažniausiai galima išspręsti be jokių problemų. Šios sistemos sprendimas leidžia mums gauti y p (\displaystyle y_(p)) ir taip išspręskite lygtį.
- 2.3 pavyzdys. Panagrinėkime nehomogeninę diferencialinę lygtį, kurios laisvasis narys turi baigtinį skaičių tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Ypatingą tokios lygties sprendimą galima rasti neapibrėžtų koeficientų metodu.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t) = Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sulygintas)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ pabaiga (atvejai)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Lagranžo metodas. Lagranžo metodas arba savavališkų konstantų kitimo metodas yra bendresnis nehomogeninių diferencialinių lygčių sprendimo metodas, ypač tais atvejais, kai pertraukos narys neturi baigtinio skaičiaus tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Pavyzdžiui, su nemokamomis sąlygomis tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) arba x − n (\displaystyle x^(-n)) norint rasti konkretų sprendimą, būtina naudoti Lagranžo metodą. Lagranžo metodas netgi gali būti naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis su kintamaisiais koeficientais, nors šiuo atveju, išskyrus Cauchy-Eulerio lygtį, jis naudojamas rečiau, nes papildomas sprendimas paprastai neišreiškiamas elementariomis funkcijomis.
- Tarkime, kad sprendimas turi tokią formą. Jo išvestinė pateikta antroje eilutėje.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2) (x) y_ (2) (x))
  - y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Kadangi siūlomame sprendime yra du nežinomi kiekiai, būtina nustatyti papildomas sąlyga. Pasirinkime tai papildoma sąlyga tokia forma:
  - v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2) = 0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y"" = v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)"+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)")
- Dabar galime gauti antrą lygtį. Pakeitę ir perskirstę narius, galite sugrupuoti narius su 1 versija (\displaystyle v_(1)) ir nariai su 2 versija (\displaystyle v_(2)). Šie terminai mažinami, nes y 1 (\displaystyle y_(1)) Ir y 2 (\displaystyle y_ (2)) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendiniai. Dėl to gauname tokią lygčių sistemą
  - v 1 ′ y 1 + v 2 y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\pabaiga (sulygiuota)))
- Šią sistemą galima paversti formos matricine lygtimi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kurio sprendimas yra x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Dėl matricos 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) atvirkštinė matrica randamas dalijant iš determinanto, pertvarkant įstrižainės elementus ir keičiant neįstrižainių elementų ženklą. Tiesą sakant, šios matricos determinantas yra Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Išraiškos, skirtos 1 versija (\displaystyle v_(1)) Ir 2 versija (\displaystyle v_(2)) pateikiami žemiau. Kaip ir eiliškumo mažinimo metodu, šiuo atveju integravimo metu atsiranda savavališka konstanta, kuri apima papildomą sprendinį bendrame diferencialinės lygties sprendime.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Nacionalinio atvirojo universiteto „Intuit“ paskaita „N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais“.

Praktinis naudojimas

Diferencialinės lygtys nustato ryšį tarp funkcijos ir vienos ar kelių jos išvestinių. Kadangi tokie ryšiai yra labai dažni, diferencialinės lygtys buvo plačiai taikomos įvairiose srityse, o kadangi gyvename keturiose dimensijose, šios lygtys dažnai yra diferencialinės lygtys. privatus dariniai. Šiame skyriuje pateikiamos kai kurios svarbiausios tokio tipo lygtys.

Eksponentinis augimas ir nykimas. Radioaktyvusis skilimas. Sudėtinės palūkanos. Cheminių reakcijų greitis. Vaistų koncentracija kraujyje. Neribotas gyventojų skaičiaus augimas. Niutono-Richmanno dėsnis. Realiame pasaulyje yra daug sistemų, kuriose augimo arba nykimo greitis bet kuriuo metu yra proporcingas Šis momentas laiko arba gali būti gerai apytiksliai pagal modelį. Taip yra todėl, kad šios diferencialinės lygties sprendimas, eksponentinė funkcija, yra vienas iš labiausiai svarbias funkcijas matematikoje ir kituose moksluose. Apskritai, kontroliuojant populiacijos augimą, sistemoje gali būti papildomų terminų, kurie riboja augimą. Žemiau pateiktoje lygtyje konstanta k (\displaystyle k) gali būti didesnis arba mažesnis už nulį.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmoninės vibracijos. Tiek klasikinėje, tiek kvantinėje mechanikoje harmoninis osciliatorius yra viena iš svarbiausių fizinių sistemų dėl savo paprastumo ir plataus pritaikymo apytiksliai. sudėtingos sistemos, pavyzdžiui, paprasta švytuoklė. Klasikinėje mechanikoje harmoninės vibracijos apibūdinamos lygtimi, susiejančia padėtį materialus taškas su jos pagreičiu pagal Huko dėsnį. Šiuo atveju taip pat galima atsižvelgti į slopinimą ir varomąsias jėgas. Žemiau pateiktoje išraiškoje x ˙ (\displaystyle (\taškas (x)))- laiko išvestinė x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parametras, apibūdinantis slopinimo jėgą, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- sistemos kampinis dažnis, F (t) (\displaystyle F(t))- priklauso nuo laiko varomoji jėga. Harmoninis osciliatorius taip pat yra elektromagnetinėse virpesių grandinėse, kur jis gali būti įgyvendinamas tiksliau nei mechaninėse sistemose.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\taškas (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Besselio lygtis. Besselio diferencialinė lygtis naudojama daugelyje fizikos sričių, įskaitant bangų lygčių, Laplaso lygčių ir Šriodingerio lygčių sprendimą, ypač esant cilindrinei arba sferinei simetrijai. Ši antros eilės diferencialinė lygtis su kintamaisiais koeficientais nėra Cauchy-Eulerio lygtis, todėl jos sprendiniai negali būti užrašyti kaip elementarios funkcijos. Beselio lygties sprendiniai yra Besselio funkcijos, kurios yra gerai ištirtos dėl jų taikymo daugelyje sričių. Žemiau pateiktoje išraiškoje α (\displaystyle \alpha )- atitinkanti konstanta tvarka Beselio funkcijos.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Maksvelo lygtys. Kartu su Lorenco jėga Maksvelo lygtys sudaro klasikinės elektrodinamikos pagrindą. Tai yra keturios elektrinės dalinės diferencialinės lygtys E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ir magnetinis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) laukai. Toliau pateiktose išraiškose ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- įkrovos tankis, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- srovės tankis ir ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ir μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle\c)\dotnabla(sulygiuotas (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sulyginta)))
Šriodingerio lygtis. Kvantinėje mechanikoje Schrödingerio lygtis yra pagrindinė judėjimo lygtis, nusakanti dalelių judėjimą pagal banginės funkcijos pasikeitimą. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) su laiku. Judėjimo lygtis apibūdinama elgesiu Hamiltono H^(\displaystyle (\hat (H))) - operatorius, kuris apibūdina sistemos energiją. Vienas iš plačiai paplitusių garsių pavyzdžių Schriodingerio lygtis fizikoje yra lygtis vienai nereliatyvistinei dalelei, kurią veikia potencialas V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Daugelis sistemų aprašomos nuo laiko priklausoma Schrödingerio lygtimi, o kairėje lygties pusėje yra E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Kur E (\displaystyle E)- dalelių energija. Toliau pateiktose išraiškose ℏ (\displaystyle \hbar )- sumažinta Planko konstanta.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
Bangos lygtis. Fizika ir technologijos neįsivaizduojamos be bangų, jų yra visų tipų sistemose. Apskritai bangos apibūdinamos žemiau pateikta lygtimi, kurioje u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) yra norima funkcija ir c (\displaystyle c)- eksperimentiškai nustatyta konstanta. d'Alembertas pirmasis atrado, kad vienmačio atvejo bangos lygties sprendimas yra bet koks funkcija su argumentu x − c t (\displaystyle x-ct), kuris apibūdina savavališkos formos bangą, sklindančią į dešinę. Bendras vienmačio atvejo sprendimas yra šios funkcijos tiesinis derinys su antrąja funkcija su argumentu x + c t (\displaystyle x+ct), kuris apibūdina bangą, sklindančią į kairę. Šis sprendimas pateikiamas antroje eilutėje.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes lygtys. Navier-Stokes lygtys apibūdina skysčių judėjimą. Kadangi skysčių yra beveik visose mokslo ir technologijų srityse, šios lygtys itin svarbios prognozuojant orus, projektuojant orlaivius, tiriant vandenyno sroves ir sprendžiant daugelį kitų taikomų problemų. Navier-Stokes lygtys yra netiesinės dalinės diferencialinės lygtys, ir daugeliu atvejų jas labai sunku išspręsti, nes netiesiškumas sukelia turbulenciją, o norint gauti stabilų sprendimą skaitmeniniais metodais, reikia skaidyti į labai mažas ląsteles, o tam reikia didelės skaičiavimo galios. Praktiniais hidrodinamikos tikslais turbulentinių srautų modeliavimui naudojami tokie metodai kaip laiko vidurkis. Dar svarbesni klausimai, tokie kaip netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sprendimų egzistavimas ir unikalumas, yra sudėtingi, o Navier-Stokes lygčių trijų dimensijų sprendimo egzistavimo ir unikalumo įrodymas yra viena iš tūkstantmečio matematinių problemų. Žemiau yra nesuspaudžiamo skysčio srauto lygtis ir tęstinumo lygtis.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)b )(\dalinis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Daugelio diferencialinių lygčių paprasčiausiai negalima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus, ypač tuos, kurie paminėti paskutiniame skyriuje. Tai taikoma tais atvejais, kai lygtis turi kintamuosius koeficientus ir nėra Cauchy-Eulerio lygtis arba kai lygtis yra netiesinė, išskyrus keletą labai retų atvejų. Tačiau minėti metodai gali išspręsti daugybę svarbių diferencialinių lygčių, su kuriomis dažnai susiduriama įvairiose mokslo srityse.
Skirtingai nuo diferenciacijos, kuri leidžia rasti bet kurios funkcijos išvestinę, daugelio išraiškų integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis. Taigi negaiškite laiko bandydami apskaičiuoti integralą ten, kur tai neįmanoma. Pažvelkite į integralų lentelę. Jei diferencialinės lygties sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, kartais jis gali būti pavaizduotas integralo forma, ir šiuo atveju nesvarbu, ar šį integralą galima apskaičiuoti analitiškai.

Įspėjimai

Išvaizda diferencialinė lygtis gali būti klaidinanti. Pavyzdžiui, žemiau pateiktos dvi pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmąją lygtį galima lengvai išspręsti naudojant šiame straipsnyje aprašytus metodus. Iš pirmo žvilgsnio nedidelis pakeitimas y (\displaystyle y)įjungta y 2 (\displaystyle y^(2)) antroje lygtyje jis tampa netiesinis ir tampa labai sunkiai išsprendžiamas.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))