Diferencialinių lygčių teorijos apibrėžimai ir sąvokos. Pagrindiniai diferencialinių lygčių apibrėžimai ir jų sprendiniai

Diferencialinė lygtis (DE) - tai lygtis,
kur yra nepriklausomi kintamieji, y yra funkcija ir yra dalinės išvestinės.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti tik vieną nepriklausomą kintamąjį, .

Dalinė diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, turinti du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.

Žodžių „įprasta“ ir „daliniai dariniai“ galima praleisti, jei aišku, kokia lygtis nagrinėjama. Toliau nagrinėjamos įprastos diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Štai pirmosios eilės lygties pavyzdys:

Štai ketvirtos eilės lygties pavyzdys:

Kartais pirmosios eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencialais:

Šiuo atveju kintamieji x ir y yra lygūs. Tai yra, nepriklausomas kintamasis gali būti x arba y. Pirmuoju atveju y yra x funkcija. Antruoju atveju x yra y funkcija. Jei reikia, šią lygtį galime sumažinti iki formos, kuri aiškiai apima išvestinę y′.
Padalinę šią lygtį iš dx gauname:
.
Nuo ir , iš to išplaukia
.

Diferencialinių lygčių sprendimas

Dariniai iš elementarios funkcijos išreiškiami elementariomis funkcijomis. Elementariųjų funkcijų integralai dažnai neišreiškiami elementariomis funkcijomis. Su diferencialinėmis lygtimis situacija dar blogesnė. Dėl sprendimo galite gauti:

aiški funkcijos priklausomybė nuo kintamojo;
Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija y = u (x), kuris yra apibrėžtas, n kartų diferencijuotas ir .
numanoma priklausomybė Φ tipo lygties forma (x, y) = 0 arba lygčių sistemos;
Diferencialinės lygties integralas yra diferencialinės lygties sprendimas, turintis numanomą formą.
priklausomybė, išreikšta elementariomis funkcijomis ir integralais nuo jų;
Diferencialinės lygties sprendimas kvadratais - tai yra sprendimo paieška elementariųjų funkcijų ir jų integralų derinio pavidalu.
sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis.

Nes sprendimas diferencialines lygtis redukuoja iki integralų skaičiavimo, tada sprendinys apima aibę konstantų C 1, C 2, C 3, ... C n. Konstantų skaičius lygus lygties tvarkai. Diferencialinės lygties dalinis integralas yra bendrasis integralas tam tikroms konstantų C 1, C 2, C 3, ..., C n reikšmėms.

Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) – pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Rasti bendras sprendimas diferencialinė lygtis ir konkretus sprendimas .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Sprendžiant įvairius fizikos, chemijos, matematikos ir kitus uždavinius tikslieji mokslai dažnai naudojamas matematiniai modeliai lygčių, susijusių su vienu ar daugiau nepriklausomų kintamųjų, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir šios funkcijos išvestinių (arba diferencialų) forma. Šios rūšies lygtys vadinamos diferencialinėmis.
Jei yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, tai lygtis vadinama įprasta; jei yra du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų, vadinasi lygtis dalinė diferencialinė lygtis. Norint gauti aukštos kvalifikacijos specialistus visuose universitetuose, kuriuose studijuojamos tiksliosios disciplinos, reikalingas diferencialinių lygčių kursas. Vieniems studentams teorija yra sunki, praktika – kova, kitiems – ir teorija, ir praktika. Jei analizuojate diferencialines lygtis iš praktinės perspektyvos, norint jas apskaičiuoti, tereikia mokėti integruoti ir imti išvestines. Visos kitos transformacijos susiveda į kelias schemas, kurias galima suprasti ir ištirti. Žemiau išnagrinėsime pagrindinius apibrėžimus ir metodą, kaip išspręsti paprastą DR.

Diferencialinių lygčių teorija

Apibrėžimas: Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį x, funkciją y(x), jos išvestinius y"(x), y n (x) ir turi bendra formaF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferencialinė lygtis(DR) vadinama įprasta diferencialine lygtimi arba daline diferencialine lygtimi. Diferencialinės lygties tvarka nustatoma pagal didžiausią išvestinę (n), kuri įtraukta į šią diferencialinę lygtį.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija, kurioje yra tiek konstantų, kiek yra diferencialinės lygties eilės, ir kurią pakeitus duota diferencialine lygtimi, ji tampa tapatybe, tai yra, jos forma yra y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Bendrasis sprendinys, kuris nėra išspręstas y(x) atžvilgiu ir turi formą F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 bendrasis diferencialinės lygties integralas.
Sprendimas, rastas iš bendrojo fiksuotų konstantų C 1 , C 2 , …, C n verčių, vadinamas privatus diferencialinės lygties sprendimas.
Vadinamas diferencialinės lygties ir atitinkamo pradinių sąlygų skaičiaus vienu metu patikslinimas Cauchy problema.
F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0) = y n (0)
Pirmosios eilės paprastoji diferencialinė lygtis vadinama formos lygtimi
F(x, y, y") = 0. (1)
Lygties integralas(1) vadinamas Ф (x,y)=0 formos ryšiu, jei kiekviena jo netiesiogiai nurodyta nuolat diferencijuota funkcija yra (1) lygties sprendimas.
Lygtis, kurios forma (1) ir kurios negalima redukuoti paprastas vaizdas vadinama lygtimi, nesprendžiamas dėl išvestinės priemonės. Jei tai galima parašyti formoje
y" = f(x,y), tada jis vadinamas išspręsta išvestinės lygtis.
Koši problema pirmos eilės lygčiai yra tik viena pradinė sąlyga ir turi tokią formą:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Formos lygtys
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
kur kintamieji x i y yra "simetriški": galime manyti, kad x yra nepriklausomas kintamasis, o y yra priklausomas kintamasis arba atvirkščiai, y yra nepriklausomas kintamasis, o x yra priklausomas kintamasis, vadinamas lygtis simetriška forma.
Pirmosios eilės diferencialinės lygties geometrinė reikšmė
y"=f(x,y) (3)
yra taip.
Ši lygtis nustato ryšį (priklausomybę) tarp taško (x;y) koordinačių ir integralinės kreivės, einančios per šį tašką, liestinės nuolydžio y". Taigi lygtis y"= f(x,y) yra rinkinys nuorodos (nuorodų laukas) Dekarto Oxy lėktuve.
Kreivė, sudaryta taškuose, kuriuose lauko kryptis yra vienoda, vadinama izokline. Izoklinai gali būti naudojami integralinių kreivių konstravimui aproksimuoti. Izoklininę lygtį galima gauti išvestinę prilyginus konstantai y"=C
f(x, y)=C – izokline lygtis..
Integralinė lygties linija(3) vadinamas šios lygties sprendimo grafiku.
Paprastosios diferencialinės lygtys, kurių sprendinius galima nurodyti analitiškai y=g(x), vadinamos integruojamos lygtys.
Formos lygtys
M 0 (x) dx + N 0 (y) dy = 0 (3)
yra vadinami lygtys su atskirais pakeičiamaisiais.
Nuo jų pradėsime pažintį su diferencialinėmis lygtimis. DR sprendimų paieškos procesas vadinamas diferencialinės lygties integravimas.

Atskirtos kintamųjų lygtys

1 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą y"=x .
Patikrinkite tirpalą.
Sprendimas: Užrašykite lygtį diferencialais
dy/dx=x arba dy=x*dx.
Raskime lygties dešinės ir kairės pusės integralą
int(dy)=int(x*dx);
y = x 2 / 2 + C.
Tai yra DR integralas.
Patikrinkime jos teisingumą ir apskaičiuokime funkcijos išvestinę
y"=1/2*2x+0=x.
Kaip matote, gavome originalų DR, todėl skaičiavimai teisingi.
Mes ką tik radome pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą. Tai yra būtent paprastesnes lygtis, kurį galima įsivaizduoti.

2 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties bendrąjį integralą
(x+1)y"=y+3
Sprendimas: Parašykime pradinę lygtį diferencialais
(x+1)dy=(y+3)dx.
Gauta lygtis sumažinama iki DR su atskirais kintamaisiais

Belieka paimti abiejų pusių integralą

Naudodami lentelių formules randame
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Jei atskleisime abi dalis, gausime
y+3=e ln|x+1|+C arba y=e ln|x+1|+C -3.
Šis užrašas yra teisingas, bet ne kompaktiškas.
Praktikoje naudojamas kitas metodas: skaičiuojant integralą, logaritmu įvedama konstanta
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Pagal logaritmo savybes tai leidžia sutraukti paskutinius du terminus
ln|y+3|=ln(C|x+1|).
Dabar eksponuojant sprendžiant diferencialinę lygtį bus kompaktiškas ir lengvai skaitomas
y=С|x+1|+3
Prisiminkite šią taisyklę; praktiškai ji naudojama kaip skaičiavimo standartas.

3 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
y"=-y*sin(x).
Sprendimas: užsirašykime lygtis diferencialuose
dy/dx= y*sin(x)
arba perstačius veiksnius formoje atskirtos lygtys
dy/ y=-sin(x)dx.
Belieka integruoti lygtį
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Patogu konstantą įvesti pagal logaritmą ir net su neigiama reikšmė perkelkite jį į kairę, kad gautumėte
ln|С*y|=cos(x).
Atskleidžiant abi priklausomybės dalis
С*y=exp(cos(x)).
Štai kas yra. Galite palikti jį tokį, koks yra, arba visam laikui perkelti į dešinioji pusė

Skaičiavimai nesudėtingi, dažniausiai integralus galima rasti ir naudojant lentelių integravimo formules.

4 pavyzdys. Išspręskite Koši problemą
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Sprendimas: čia preliminarios transformacijos nebevyks. Tačiau lygtis yra tiesinė ir gana paprasta. Tokiais atvejais turite įvesti naują kintamąjį
z=y+x.
Prisimindami, kad y=y(x) suraskime z išvestinę.
z"= y"+1,
iš kur išreiškiame senąjį vedinį
y"= z"-1.
Visa tai pakeiskime pradine lygtimi
z"-1=z arba z"=z+1.
Užsirašykime diferencialinė lygtis per diferencialus
dz=(z+1)dx.
Kintamųjų atskyrimas lygtyje

Belieka apskaičiuoti paprastus integralus, kuriuos gali padaryti kiekvienas

Atskleidžiame priklausomybę, kad atsikratytume funkcijos logaritmo
z+1=e x+C arba z=e x+1-1
Nepamirškite grįžti prie užbaigto pakeitimo.
z=x+y= e x+С -1,
išrašyk jį iš čia bendras diferencialinės lygties sprendimas
y = e x+C -x-1.
Rasti Koši problemos sprendimą DR šiuo atveju nėra sunku. Išrašome Koši sąlygą
y(1)=e 3 -2
ir pakeiskite ką tik rastą sprendimą
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
Iš čia gauname konstantos skaičiavimo sąlygą
1+C=3; C = 3-1 = 2.
Dabar galime rašyti Koši problemos sprendimas (dalinis DR sprendimas)
y = e x+2 -x-1.
Jei mokate gerai integruoti, o taip pat puikiai sekasi su išvestinėmis priemonėmis, tuomet diferencialinių lygčių tema nebus kliūtis jūsų moksle.
Tolesniuose tyrimuose turėsite išstudijuoti keletą svarbių diagramų, kad galėtumėte atskirti lygtis ir žinoti, kuris pakeitimas ar technika veikia kiekvienu atveju.
Po to jūsų laukia vienalytė ir nehomogeniška DR, pirmosios ir aukštesnės eilės diferencialinės lygtys. Kad neapsunkintume jūsų teorija, tolesnėse pamokose pateiksime tik lygčių tipą ir trumpą jų skaičiavimo schemą. Galite perskaityti visą teoriją iš metodinės rekomendacijos studijuoti kursą „Diferencialinės lygtys“(2014) autoriai Bokalo Nikolajus Michailovičius, Domanskaja Elena Viktorovna, Chmyras Oksana Jurjevna. Galite naudoti kitus šaltinius, kuriuose yra jums suprantamų diferencialinių lygčių teorijos paaiškinimų. Paruošti diferencialo pavyzdžiai. lygtys paimtos iš LNU matematikams skirtos programos, pavadintos vardu. I. Frankas.
Mes žinome, kaip išspręsti diferencialines lygtis, ir stengsimės lengvas keliasįskiepyti jums šias žinias.

Bendrasis integralas

įprastinė diferencialinė lygtis

F (x, y, y",..., y (n)) =0

Santykis

Φ( x, y, C 1 ,..., C n) =0,

taip pat turinčios esmines savavališkas konstantas C 1 ,..., C n , kurių pasekmė yra ši diferencialinė lygtis (žr. Diferencialines lygtis). Kitaip tariant, ši lygtis turi būti konstantų pašalinimo rezultatas C 1 (i = 1,..., n) iš lygčių:

Be to, šios konstantos yra būtinos ta prasme, kad jų pašalinimo iš sistemos (*) procesas negali sukelti diferencialinės lygties, kuri skiriasi nuo pateiktosios. O. ir. yra glaudžiai susijęs su bendruoju sprendimu (žr. Bendrąjį sprendimą). Jei nuolatinis C i, įtrauktas į O. ir., suteikia tam tikras reikšmes, tada gauname dažną integralą. Nevisiškas konstantų pašalinimas C i iš sistemos (*) veda į tarpinį integralą

F k(x, y, y",..., y (n-k)), C 1,..., C k = 0

(kur 1 ≤ k ≤n- 1); ypač jei k = 1 – į pirmąjį integralą (žr. Pirmąjį integralą). Geometriškai O. ir. yra n-parametrinė integralinių kreivių šeima.

Didelis Sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „bendrasis integralas“ kituose žodynuose:

Įprastų n-osios eilės diferencialinių lygčių sistemos G srityje yra sąryšių rinkinys, kuriame yra parametrų ir netiesiogiai aprašoma funkcijų šeima, kuri sudaro bendrą šios sistemos sprendimą G srityje. Dažnai O. ir. sistemos (1) ... Matematinė enciklopedija

Diferencialinės lygties sprendimas. I.d.u. paskambino vyraujantis Ф(x, y) = 0 formos santykis, kuris nustato įprastos diferencialinės lygties sprendimą kaip nepriklausomo kintamojo x numanomą funkciją. Šiuo atveju jie taip pat kalba apie privačią ... ... Matematinė enciklopedija

Koši Lagranžo integralas yra idealaus skysčio judėjimo lygčių (Eulerio lygčių) integralas potencialių srautų atveju. Turinys 1 Pavadinimo parinktys 2 Istorinė nuoroda... Vikipedija

Vienas iš pagrindinių sunkumų naudojant tradicinį Lebesgue integralą yra tas, kad jo taikymui reikia iš anksto sukurti tinkamą matavimo teoriją. Yra ir kitas požiūris, kurį Danielis išdėstė 1918 m. savo... ... Vikipedijoje

Schwarz-Christoffel teorema yra svarbi kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos teorema, pavadinta vokiečių matematikų Karlo Schwartzo ir Alvino Christoffelio vardu. Konforminio kartografavimo problema yra labai svarbi praktiniu požiūriu... ... Vikipedija

1) Denjoy yra siauras (specialusis) integralas, Lebesgue integralo sampratos apibendrinimas. Funkcija f(x). paskambino integruojamas siauro (specialaus, D*) prasme. Mėgaukitės integralu [a, b], jei toks yra nuolatinė funkcija F(x) ant [a, b], kad F… … Matematinė enciklopedija

Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos, i = 1, ..., n yra formos santykis (kur C yra savavališka konstanta), kurio kairioji pusė išlieka pastovi, pakeičiant bet kurį sprendinį ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

- (angliškai: Phase Integral) vienas iš pagrindinių kvantinės mechanikos integralų, pirmą kartą pasiūlė Feynmanas XX amžiaus 60-ųjų pradžioje. Kaip ir kelio integralas, šis integralas leidžia rasti fazės poslinkį dėl... ... Vikipedijos

- (apibrėžti ir skirstyti į kategorijas žr. Diferencialinės lygtys) įprastos diferencialinės lygties su vienu nepriklausomu kintamuoju x ir su viena norima šio kintamojo funkcija y bendroji forma yra f(x, y, y, y ... y( n)) = 0... (*)… … enciklopedinis žodynas F. Brockhausas ir I.A. Efronas