Pagrindinės elementarios funkcijos ir jų savybės.
Nacionalinis tyrimų universitetas
Taikomosios geologijos katedra
Santrauka apie aukštąją matematiką
Tema: „Pagrindinis elementarios funkcijos,
jų savybės ir grafikai“
Užbaigta:
Patikrinta:
mokytojas
Apibrėžimas. Funkcija, pateikta formule y=a x (kur a>0, a≠1), vadinama eksponentine funkcija su baze a.
Suformuluokime pagrindines eksponentinės funkcijos savybes:
1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (R).
2. Diapazonas – visų teigiamų realiųjų skaičių aibė (R+).
3. Jei a > 1, funkcija didėja visoje skaičių eilutėje; 0 val<а<1 функция убывает.
4. Yra funkcija bendras vaizdas.
, intervale xО [-3;3]
, intervale xО [-3;3] Funkcija y(x)=x n, kur n yra skaičius ОR, vadinama laipsnio funkcija. Skaičius n gali turėti skirtingas reikšmes: ir sveikąjį, ir trupmeninį, ir lyginį, ir nelyginį. Priklausomai nuo to, galios funkcija turės kitokią išvaizdą. Panagrinėkime specialius atvejus, kurie yra laipsnio funkcijos ir atspindi pagrindines šio tipo kreivės savybes tokia tvarka: laipsnio funkcija y=x² (funkcija su lyginiu eksponentu – parabolė), laipsnio funkcija y=x³ (funkcija su nelyginiu eksponentu - kubinė parabolė) ir funkcija y=√x (x iki ½ laipsnio) (funkcija su trupmeniniu rodikliu), funkcija su neigiamu sveikuoju skaičiumi (hiperbolė).
Maitinimo funkcija y=x²
1. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;
2. E(y)= ir didėja intervale
Maitinimo funkcija y=x³
1. Funkcijos y=x³ grafikas vadinamas kubine parabole. Galios funkcija y=x³ turi šias savybes:
2. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija paima visas reikšmes savo apibrėžimo srityje;
4. Kai x=0 y=0 – funkcija eina per koordinačių O(0;0) pradžią.
5. Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.
6. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei).
, intervale xО [-3;3] Priklausomai nuo skaitinio koeficiento priešais x³, funkcija gali būti stati/plokščia ir didėjanti/mažėjanti.
Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu:
Jei rodiklis n yra nelyginis, tai tokios laipsnio funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Galios funkcija su sveikuoju neigiamu eksponentu turi šias savybes:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bet kuriam n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jei n yra nelyginis skaičius; E(y)=(0;∞), jei n yra lyginis skaičius;
3. Funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje, jei n yra nelyginis skaičius; funkcija didėja intervale (-∞;0) ir mažėja intervale (0;∞), jei n yra lyginis skaičius.
4. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei), jei n yra nelyginis skaičius; funkcija yra net jei n yra lyginis skaičius.
5. Funkcija eina per taškus (1;1) ir (-1;-1), jei n yra nelyginis skaičius ir per taškus (1;1) ir (-1;1), jei n yra lyginis skaičius.
, intervale xО [-3;3] Galios funkcija su trupmeniniu rodikliu
Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu (paveikslėlis) turi funkcijos grafiką, parodytą paveikslėlyje. Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu turi šias savybes: (paveikslėlis)
1. D(x) ОR, jei n yra nelyginis skaičius ir D(x)= 
, intervale xО 
, intervale xО [-3;3]
Logaritminė funkcija y = log a x turi šias savybes:
1. Apibrėžimo sritis D(x)О (0; + ∞).
2. Vertybių diapazonasE(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė (bendros formos).
4. Funkcija didėja intervalu (0; + ∞), kai a > 1, mažėja, kai (0; + ∞), kai 0< а < 1.
Funkcijos y = log a x grafiką galima gauti iš funkcijos y = a x grafiko, naudojant simetrijos transformaciją apie tiesę y = x. 9 paveiksle parodytas grafikas logaritminė funkcija jei a > 1, o 10 paveiksle - 0< a < 1.
; intervale xО 
; intervale xО Funkcijos y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x vadinamos trigonometrinėmis funkcijomis.
Funkcijos y = sin x, y = tan x, y = ctg x yra nelyginės, o funkcija y = cos x yra lyginės.
Funkcija y = sin(x).
1. Apibrėžimo sritis D(x) ОR.
2. Reikšmių diapazonas E(y) О [ - 1; 1].
3. Funkcija yra periodinė; pagrindinis periodas yra 2π.
4. Funkcija nelyginė.
5. Funkcija didėja intervalais [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ir mažėja intervalais [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Funkcijos y = sin (x) grafikas parodytas 11 paveiksle.
1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas.
Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumentų reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) Atkaklus. Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y, kurią funkcija priima.
Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.
2) Funkcijos nuliai.
Nulinė funkcija yra argumento vertė, kai funkcijos reikšmė lygi nuliui.
3) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra argumentų reikšmių rinkiniai, kurių funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.
4) Funkcijos monotoniškumas.
Didėjanti funkcija (tam tikru intervalu) yra funkcija, kuriai didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
5) Lyginė (nelyginė) funkcija.
Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu.
Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
6) Ribotos ir neribotos funkcijos.
Funkcija vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribota.
7) Funkcijos periodiškumas.
Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f(x+T) = f(x). Šis mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. (Trigonometrinės formulės).
19. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai. Funkcijų taikymas ekonomikoje.
Pagrindinės elementarios funkcijos. Jų savybės ir grafikai
1. Tiesinė funkcija.
Linijinė funkcija vadinama formos funkcija, kur x yra kintamasis, a ir b yra realieji skaičiai.
Skaičius A vadinamas tiesės nuolydžiu, jis lygus šios tiesės polinkio kampo į teigiamą x ašies kryptį liestine. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Jis apibrėžiamas dviem taškais.
Tiesinės funkcijos savybės
1. Apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė: D(y)=R
2. Reikšmių aibė yra visų realiųjų skaičių aibė: E(y)=R
3. Funkcija įgyja nulinę reikšmę, kai arba.
4. Funkcija didėja (mažėja) visoje apibrėžimo srityje.
5. Tiesinė funkcija yra tolydi visoje apibrėžimo srityje, diferencijuota ir .
2. Kvadratinė funkcija.
Formos funkcija, kur x yra kintamasis, koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, vadinama kvadratinis
Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), šaknis n laipsnis, laipsnio funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.
Nuolatinė funkcija.
Pastovi funkcija visų realiųjų skaičių aibėje pateikiama pagal formulę , kur C– kažkoks tikrasis skaičius. Pastovi funkcija priskiria kiekvieną faktinę nepriklausomo kintamojo reikšmę x ta pati priklausomo kintamojo reikšmė y- prasmė SU. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.
Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką su koordinatėmis (0,C). Pavyzdžiui, parodykime pastovių funkcijų grafikus y=5,y=-2 ir , kurios žemiau esančiame paveikslėlyje atitinka atitinkamai juodą, raudoną ir mėlyną linijas.
Pastovios funkcijos savybės.
Domenas: visas realiųjų skaičių rinkinys.
Nuolatinė funkcija yra lygi.
Reikšmių diapazonas: rinkinys, susidedantis iš vienaskaitos skaičiaus SU.
Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
Asimptotų nėra.
Funkcija eina per tašką (0,C) koordinačių plokštuma.
N-ojo laipsnio šaknis.
Panagrinėkime pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė, kur n– natūralusis skaičius, didesnis už vienetą.
N-oji šaknis, n yra lyginis skaičius.
Pradėkime nuo šaknies funkcijos n-toji šaknies eksponento lygiųjų verčių galia n.
Pavyzdžiui, čia yra paveikslėlis su funkcijų grafikų vaizdais 
ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.
Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią išvaizdą kitoms eksponento reikšmėms.
Šakninės funkcijos savybėsn -th galia netn .
N-oji šaknis, n yra nelyginis skaičius.
Šaknies funkcija n-oji galia su nelyginiu šaknies rodikliu n yra apibrėžtas visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, čia yra funkcijų grafikai 
ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas kreives.
Segmento ilgis koordinačių ašis randama pagal formulę:
Atkarpos ilgis koordinačių plokštumoje randamas naudojant formulę:
Norėdami rasti atkarpos ilgį trimatėje koordinačių sistemoje, naudokite šią formulę:
Atkarpos vidurio koordinatės (koordinačių ašiai naudojama tik pirmoji formulė, koordinačių plokštumai - pirmosios dvi formulės, trimatei koordinačių sistemai - visos trys formulės) apskaičiuojamos naudojant formules:
Funkcija– tai formos atitikimas y= f(x) tarp kintamųjų dydžių, dėl kurių kiekviena svarstoma kokio nors kintamo dydžio reikšmė x(argumentas arba nepriklausomas kintamasis) atitinka tam tikrą kito kintamojo reikšmę, y(priklausomas kintamasis, kartais ši reikšmė tiesiog vadinama funkcijos reikšme). Atminkite, kad funkcija daro prielaidą, kad viena argumento reikšmė X gali atitikti tik viena priklausomo kintamojo reikšmė adresu. Tačiau ta pati vertė adresu galima gauti su skirtingais X.
Funkcijos domenas– tai visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (funkcijos argumentas, dažniausiai tai X), kuriai yra apibrėžta funkcija, t.y. jos prasmė egzistuoja. Nurodyta apibrėžimo sritis D(y). Apskritai, jūs jau esate susipažinę su šia sąvoka. Funkcijos domenas taip pat vadinamas domenu priimtinos vertės, arba ODZ, kuriuos jau seniai pavyko rasti.
Funkcijų diapazonas yra visos galimos tam tikros funkcijos priklausomo kintamojo reikšmės. Paskirta E(adresu).
Funkcija didėja intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Funkcija mažėja intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai- tai nepriklausomo kintamojo intervalai, per kuriuos priklausomas kintamasis išlaiko teigiamą arba neigiamą ženklą.
Funkcijos nuliai– tai yra argumento reikšmės, kai funkcijos reikšmė lygi nuliui. Šiuose taškuose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (OX ašį). Labai dažnai poreikis rasti funkcijos nulius reiškia poreikį tiesiog išspręsti lygtį. Taip pat dažnai poreikis rasti ženklo pastovumo intervalus reiškia poreikį tiesiog išspręsti nelygybę.
Funkcija y = f(x) yra vadinami net X
Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms lyginės funkcijos reikšmės yra lygios. Lyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas operatyvinio stiprintuvo ordinačių ašies atžvilgiu.
Funkcija y = f(x) yra vadinami nelyginis, jei ji apibrėžta simetrinėje aibėje ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė galioja:
Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms nelyginės funkcijos reikšmės taip pat yra priešingos. Nelyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas kilmės atžvilgiu.
Lyginių ir nelyginių funkcijų šaknų suma (x ašies OX susikirtimo taškai) visada lygi nuliui, nes už kiekvieną teigiamą šaknį X turi neigiamą šaknį - X.
Svarbu pažymėti: kai kurios funkcijos nebūtinai turi būti lyginės ar nelyginės. Yra daug funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Tokios funkcijos vadinamos bendrosios funkcijos, ir jiems netenkinama nė viena iš aukščiau pateiktų lygybių ar savybių.
Linijinė funkcija yra funkcija, kurią galima pateikti pagal formulę:
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija ir bendruoju atveju atrodo taip (pavyzdys pateikiamas atvejui, kai k> 0, šiuo atveju funkcija didėja; progai k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Kvadratinės funkcijos grafikas (parabolė)
Parabolės grafikas pateikiamas kvadratine funkcija:
Kvadratinė funkcija, kaip ir bet kuri kita funkcija, kerta OX ašį taškuose, kurie yra jos šaknys: ( x 1 ; 0) ir ( x 2 ; 0). Jei šaknų nėra, tai kvadratinė funkcija nekerta OX ašies; jei yra tik viena šaknis, tada šiame taške ( x 0 ; 0) kvadratinė funkcija tik paliečia OX ašį, bet jos nekerta. Kvadratinė funkcija visada kerta OY ašį taške su koordinatėmis: (0; c). Tvarkaraštis kvadratinė funkcija(parabolė) gali atrodyti taip (paveiksle pateikti pavyzdžiai, kurie toli gražu nėra išsamūs galimi tipai parabolės):
Kur:
- jei koeficientas a> 0, funkcijoje y = kirvis 2 + bx + c, tada parabolės šakos nukreiptos į viršų;
- jeigu a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Parabolės viršūnės koordinates galima apskaičiuoti naudojant šias formules. X viršūnės (p- aukščiau esančiose nuotraukose) parabolės (arba taškas, kuriame kvadratinis trinaris pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę):
Igrek viršūnės (q- aukščiau pateiktuose paveikslėliuose) parabolės arba maksimumas, jei parabolės šakos nukreiptos žemyn ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), kvadratinio trinalio reikšmė:
Kitų funkcijų grafikai
Maitinimo funkcija
Štai keletas galios funkcijų grafikų pavyzdžių:
Atvirkščiai proporcingas yra funkcija, pateikta pagal formulę:
Priklausomai nuo skaičiaus ženklo k Atvirkščiai proporcingos priklausomybės grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:
Asimptotė yra tiesė, prie kurios funkcijos grafikas priartėja be galo arti, bet nesikerta. Aukščiau esančiame paveikslėlyje parodytų atvirkštinio proporcingumo grafikų asimptotės yra koordinačių ašys, prie kurių funkcijos grafikas priartėja be galo, bet jų nekerta.
Eksponentinė funkcija su baze A yra funkcija, pateikta pagal formulę:
a Eksponentinės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis (taip pat pateikiame pavyzdžių, žr. toliau):
Logaritminė funkcija yra funkcija, pateikta pagal formulę:
Priklausomai nuo to, ar skaičius didesnis ar mažesnis už vieną a Logaritminės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:
Funkcijos grafikas y = |x| taip:
Periodinių (trigonometrinių) funkcijų grafikai
Funkcija adresu = f(x) vadinamas periodiškai, jei yra toks ne nulis skaičius T, Ką f(x + T) = f(x), bet kam X iš funkcijos srities f(x). Jei funkcija f(x) yra periodinis su tašku T, tada funkcija:
Kur: A, k, b – pastovūs skaičiai, ir k nelygu nuliui, taip pat periodiškai su tašku T 1, kuris nustatomas pagal formulę:
Dauguma periodinių funkcijų pavyzdžių yra trigonometrinės funkcijos. Pateikiame pagrindinių trigonometrinių funkcijų grafikus. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta funkcijos grafiko dalis y= nuodėmė x(visas grafikas tęsiasi neribotai į kairę ir į dešinę), funkcijos grafikas y= nuodėmė x paskambino sinusoidinė:
Funkcijos grafikas y= cos x paskambino kosinusas. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kadangi sinuso grafikas tęsiasi neribotą laiką išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę:
Funkcijos grafikas y= tg x paskambino tangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.
Ir galiausiai funkcijos grafikas y=ctg x paskambino kotangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių ir trigonometrinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.
Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įgyvendinimas leis jums parodyti puikų KT rezultatą, maksimalų, ką sugebate.
Radai klaidą?
Jei manote, kad radote klaidą mokomoji medžiaga, tada prašau parašyti apie tai el. Taip pat galite pranešti apie klaidą Socialinis tinklas(). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, uždavinio numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra įtariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba jums bus paaiškinta, kodėl tai nėra klaida.