Apskaičiuokite vektoriaus a projekcijas į koordinačių ašis. Vektoriaus projekcija į ašį

Tegul du vektoriai ir yra pateikti erdvėje. Atidėkime nuo savavališko taško O vektoriai ir . Kampas tarp vektorių vadinamas mažiausiu iš kampų. Paskirta .

Apsvarstykite ašį l ir ant jo nubraižyti vienetinį vektorių (t.y. vektorių, kurio ilgis lygus vienetui).

Kampu tarp vektoriaus ir ašies l suprasti kampą tarp vektorių ir .

Taigi tegul l yra tam tikra ašis ir yra vektorius.

Pažymėkime pagal A 1 Ir B 1 projekcijos į ašį l atitinkamai taškais A Ir B. Apsimeskime tai A 1 turi koordinates x 1, A B 1– koordinuoti x 2 ant ašies l.

Tada projekcija vektorius vienai ašiai l vadinamas skirtumu x 1 – x 2 tarp vektoriaus pabaigos ir pradžios projekcijų į šią ašį koordinačių.

Vektoriaus projekcija į ašį l pažymėsime .

Aišku, kad jei kampas tarp vektoriaus ir ašies l tada aštrus x 2> x 1, ir projekcija x 2 – x 1> 0; jei šis kampas yra bukas, tada x 2< x 1 ir projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Tai x 2= x 1 Ir x 2– x 1=0.

Taigi, vektoriaus projekcija į ašį l yra atkarpos ilgis A 1 B 1, paimta iš tam tikras ženklas. Todėl vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius arba skaliaras.

Panašiai nustatoma vieno vektoriaus projekcija į kitą. Šiuo atveju randamos šio vektoriaus galų projekcijos į tiesę, kurioje yra 2-asis vektorius.

Pažvelkime į keletą pagrindinių projekcijų savybės.

LINIJAI PRIKLAUSOMAS IR LINIJAI NEPRIKLAUSOMAS VEKTORINĖS SISTEMOS

Panagrinėkime kelis vektorius.

Linijinis derinys iš šių vektorių yra bet koks formos vektorius, kur yra keletas skaičių. Skaičiai vadinami tiesiniais derinių koeficientais. Jie taip pat sako, kad šiuo atveju jis išreiškiamas tiesiškai per šiuos vektorius, t.y. gaunamas iš jų naudojant tiesinius veiksmus.

Pavyzdžiui, jei pateikiami trys vektoriai, tada šie vektoriai gali būti laikomi jų tiesine kombinacija:

Jei vektorius vaizduojamas kaip tiesinis kai kurių vektorių derinys, tada sakoma, kad jis yra išdėstyti palei šiuos vektorius.

Vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, ne visi lygūs nuliui, todėl . Akivaizdu, kad pateikti vektoriai bus tiesiškai priklausomi, jei kuris nors iš šių vektorių bus tiesiškai išreikštas kitais.

Priešingu atveju, t.y. kai santykis atliekama tik tada, kai , šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Bet kurie du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolineariniai.

Įrodymas:

Šią teoremą galima įrodyti panašiai.

2 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas.

PAGRINDAS

Pagrindas yra ne nulių rinkinys tiesiniu būdu nepriklausomi vektoriai. Pagrindo elementus pažymėsime .

Ankstesnėje pastraipoje matėme, kad du nekolineariniai vektoriai plokštumoje yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl, remiantis 1 teorema iš ankstesnės pastraipos, pagrindas plokštumoje yra bet kurie du nekolineariniai vektoriai šioje plokštumoje.

Panašiai bet kurie trys ne lygiaplaniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi erdvėje. Vadinasi, tris nevienaplanius vektorius vadiname pagrindu erdvėje.

Šis teiginys yra teisingas.

Teorema. Tegul pagrindas yra duotas erdvėje. Tada bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys , Kur x, y, z- kai kurie skaičiai. Tai vienintelis skilimas.

Įrodymas.

Taigi pagrindas leidžia kiekvieną vektorių vienareikšmiškai susieti su skaičių trigubu – šio vektoriaus išplėtimo į bazinius vektorius koeficientais: . Taip pat yra priešingai – kiekvienam trims skaičiams x, y, z naudodamiesi pagrindu, galite palyginti vektorių, jei sukuriate tiesinį derinį .

Jei pagrindas ir , tada skaičiai x, y, z yra vadinami koordinates vektorius tam tikrame pagrinde. Vektorinės koordinatės žymimos .

KARTESIJŲ KOORDINAČIŲ SISTEMA

Tegu erdvėje duotas taškas O ir trys nevienaplaniai vektoriai.

Dekarto koordinačių sistema erdvėje (plokštumoje) yra taško ir pagrindo rinkinys, t.y. taško ir trijų nevienaplanių vektorių (2 nekolinearinių vektorių), išeinančių iš šio taško, aibė.

Taškas O vadinamas kilme; tiesės, einančios per koordinačių pradžią bazinių vektorių kryptimi, vadinamos koordinačių ašimis – abscisių, ordinačių ir taikomųjų ašių. Plokštumos, einančios per koordinačių ašis, vadinamos koordinačių plokštumos.

Apsvarstykite savavališką tašką pasirinktoje koordinačių sistemoje M. Pateikiame taško koordinačių sąvoką M. Vektorius, jungiantis kilmę su tašku M. paskambino spindulio vektorius taškų M.

Pasirinkto pagrindo vektorius gali būti susietas su skaičių trigubu – jo koordinatėmis: .

Taško spindulio vektoriaus koordinatės M. yra vadinami taško M koordinatės. nagrinėjamoje koordinačių sistemoje. M(x,y,z). Pirmoji koordinatė vadinama abscisėmis, antroji – ordinata, o trečioji – aplikacija.

Dekarto koordinatės plokštumoje nustatomos panašiai. Čia taškas turi tik dvi koordinates – abscisę ir ordinatę.

Nesunku pastebėti, kad tam tikroje koordinačių sistemoje kiekvienas taškas turi tam tikras koordinates. Kita vertus, kiekvienam skaičių trigubui yra unikalus taškas, kuriame šie skaičiai yra koordinatės.

Jei pasirinktoje koordinačių sistemoje naudojami vektoriai yra vienetinio ilgio ir poromis statmeni, tada koordinačių sistema vadinama Dekarto stačiakampis.

Tai lengva parodyti.

Vektoriaus krypties kosinusai visiškai nustato jo kryptį, bet nieko nesako apie jo ilgį.

Įvadas…………………………………………………………………………………3

1. Vektoriaus ir skaliaro reikšmė……………………………………….4

2. Taško projekcijos, ašies ir koordinatės apibrėžimas……………………5

3. Vektoriaus projekcija į ašį……………………………………………………………6

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė………………………………..8

5. Vektoriaus modulio apskaičiavimas iš jo projekcijų………………………9

Išvada……………………………………………………………………………………11

Literatūra…………………………………………………………………………………12

Įvadas:

Fizika yra neatsiejamai susijusi su matematika. Matematika suteikia fizikai priemones ir būdus bendrai ir tiksliai išreikšti ryšį tarp fizikinių dydžių, kurie atrandami eksperimento ar teorinio tyrimo metu.Juk pagrindinis fizikos tyrimo metodas yra eksperimentinis. Tai reiškia, kad mokslininkas atskleidžia skaičiavimus naudodamas matavimus. Žymi ryšį tarp įvairių fizikinių dydžių. Tada viskas verčiama į matematikos kalbą. Susiformavo matematinis modelis. Fizika yra mokslas, tiriantis pačius paprasčiausius ir tuo pačiu bendriausius dėsnius. Fizikos uždavinys yra sukurti mūsų mintyse fizinio pasaulio vaizdą, kuris geriausiai atspindėtų jo savybes ir užtikrintų tokius modelio elementų santykius, kurie egzistuoja tarp elementų.

Taigi fizika kuria mus supančio pasaulio modelį ir tiria jo savybes. Tačiau bet koks modelis yra ribotas. Kuriant konkretaus reiškinio modelius, atsižvelgiama tik į tas savybes ir ryšius, kurie yra būtini tam tikram reiškinių diapazonui. Tai yra mokslininko menas – iš visos įvairovės pasirinkti pagrindinį dalyką.

Fiziniai modeliai yra matematiniai, bet matematika nėra jų pagrindas. Kiekybiniai santykiai tarp fizikinių dydžių nustatomi matavimų, stebėjimų ir eksperimentinių tyrimų metu ir išreiškiami tik matematikos kalba. Tačiau nėra kitos kalbos fizinėms teorijoms kurti.

1. Vektoriaus ir skaliaro reikšmė.

Fizikoje ir matematikoje vektorius yra dydis, apibūdinamas jo skaitine verte ir kryptimi. Fizikoje yra daug svarbių dydžių, kurie yra vektoriai, pavyzdžiui, jėga, padėtis, greitis, pagreitis, sukimo momentas, impulsas, elektrinio ir magnetinio lauko stiprumas. Juos galima palyginti su kitais dydžiais, tokiais kaip masė, tūris, slėgis, temperatūra ir tankis, kuriuos galima apibūdinti įprastu skaičiumi ir vadinami " skaliarai" .

Jie rašomi įprastomis raidėmis arba skaičiais (a, b, t, G, 5, −7...). Skaliariniai dydžiai gali būti teigiami arba neigiami. Tuo pačiu metu kai kurie tyrimo objektai gali turėti tokių savybių, kurios pilnas aprašymas Kurių žinių apie skaitinį matą nepakanka, šias savybes taip pat reikia apibūdinti pagal kryptį erdvėje. Tokios savybės apibūdinamos vektoriniais dydžiais (vektoriais). Vektoriai, skirtingai nei skaliarai, žymimi paryškintomis raidėmis: a, b, g, F, C....
Dažnai vektorius žymimas įprasto (neparyškinto) šrifto raide, tačiau virš jos yra rodyklė:

Be to, vektorius dažnai žymimas raidžių pora (dažniausiai didžiosiomis raidėmis), o pirmoji raidė nurodo vektoriaus pradžią, o antroji – pabaigą.

Vektoriaus modulis, tai yra nukreiptos tiesios linijos atkarpos ilgis, žymimas tomis pačiomis raidėmis kaip ir pats vektorius, bet įprastu (ne paryškintu) raštu ir be rodyklės virš jų arba lygiai taip pat kaip vektorius (ty paryškintas arba įprastas, bet su rodykle), bet tada vektoriaus žymėjimas yra įterpiamas vertikaliais brūkšneliais.
Vektorius yra sudėtingas objektas, kuriam vienu metu būdingas dydis ir kryptis.

Taip pat nėra teigiamų ir neigiamų vektorių. Tačiau vektoriai gali būti lygūs vienas kitam. Tai yra tada, kai, pavyzdžiui, a ir b turi tuos pačius modulius ir yra nukreipti ta pačia kryptimi. Šiuo atveju užrašas yra teisingas a= b. Taip pat reikia nepamiršti, kad prieš vektoriaus simbolį gali būti minuso ženklas, pavyzdžiui - c, tačiau šis ženklas simboliškai rodo, kad vektorius -c turi tą patį modulį kaip ir vektorius c, bet yra nukreiptas priešingai. kryptis.

Vektorius -c vadinamas priešingu (arba atvirkštiniu) vektoriui c.
Fizikoje kiekvienas vektorius užpildomas specifiniu turiniu, o lyginant to paties tipo vektorius (pavyzdžiui, jėgas), reikšmingi gali būti ir jų taikymo taškai.

2. Taško projekcijos, ašies ir koordinatės nustatymas.

Ašis– Tai tiesi linija, kuriai suteikiama tam tikra kryptis.
Ašis žymima tam tikra raide: X, Y, Z, s, t... Paprastai ašyje (savavališkai) pasirenkamas taškas, kuris vadinamas pradžia ir, kaip taisyklė, žymimas raide O. Nuo šio taško matuojami atstumai iki kitų mums įdomių vietų.

Taško projekcija ant ašies yra statmeno, nubrėžto iš šio taško į nurodytą ašį, pagrindas. Tai yra, taško projekcija į ašį yra taškas.

Taško koordinatė duotoje ašyje yra skaičius, kurio absoliuti reikšmė yra lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp ašies pradžios ir taško projekcijos į šią ašį. Šis skaičius imamas su pliuso ženklu, jei taško projekcija yra ašies kryptimi nuo jo pradžios ir su minuso ženklu, jei taško projekcija yra priešinga.

3. Vektoriaus projekcija į ašį.

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas padauginus vektoriaus skaliarinę projekciją į šią ašį ir šios ašies vienetinį vektorių. Pavyzdžiui, jei x yra vektoriaus a skaliarinė projekcija į X ašį, tai a x ·i yra jo vektorinė projekcija į šią ašį.

Vektoriaus projekciją pažymėkime taip pat, kaip ir patį vektorių, tik su ašies, ant kurios projektuojamas vektorius, indeksu. Taigi vektoriaus a vektorinę projekciją į X ašį pažymime kaip x (paryškinta raidė, žyminti vektorių ir ašies pavadinimo indeksą) arba

(mažai paryškinta raidė, žyminti vektorių, bet su rodykle viršuje (!) ir ašies pavadinimo apatiniu indeksu).

Skaliarinė projekcija vadinamas vektoriumi ašiai numerį, kurios absoliuti reikšmė lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp vektoriaus pradžios taško ir pabaigos taško projekcijų. Paprastai vietoj išraiškos skaliarinė projekcija jie tiesiog sako - projekcija. Projekcija žymima ta pačia raide kaip ir projektuojamas vektorius (įprastu, neparyškintu raštu), su mažesne ašies, kurioje projektuojamas šis vektorius, pavadinimo indeksas (paprastai). Pavyzdžiui, jei vektorius projektuojamas į X ašį A, tada jo projekcija žymima x. Projektuojant tą patį vektorių į kitą ašį, jei ašis yra Y, jos projekcija bus žymima a y.

Norėdami apskaičiuoti projekciją vektorius ašyje (pavyzdžiui, X ašyje) reikia atimti pradinio taško koordinatę iš jo pabaigos taško koordinatės, ty

a x = x k − x n.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius. Be to, projekcija gali būti teigiama, jei reikšmė x k yra didesnė už reikšmę x n,

neigiamas, jei reikšmė x k mažesnė už reikšmę x n

ir lygus nuliui, jei x k lygus x n.

Vektoriaus projekciją į ašį taip pat galima rasti žinant vektoriaus modulį ir kampą, kurį jis sudaro su šia ašimi.

Iš paveikslo aišku, kad a x = a Cos α

Tai reiškia, kad vektoriaus projekcija į ašį yra lygi vektoriaus modulio ir kampo tarp ašies krypties ir kosinuso sandaugai. vektoriaus kryptis. Jei kampas smailus, tai
Cos α > 0 ir a x > 0, o jei bukas, tai bukojo kampo kosinusas yra neigiamas, o vektoriaus projekcija į ašį taip pat bus neigiama.

Kampai, matuojami nuo ašies prieš laikrodžio rodyklę, laikomi teigiamais, o kampai, išmatuoti išilgai ašies, yra neigiami. Tačiau kadangi kosinusas yra lyginė funkcija, tai yra, Cos α = Cos (− α), skaičiuojant projekcijas, kampai gali būti skaičiuojami ir pagal laikrodžio rodyklę, ir prieš laikrodžio rodyklę.

Norint rasti vektoriaus projekciją į ašį, šio vektoriaus modulis turi būti padaugintas iš kampo tarp ašies krypties ir vektoriaus krypties kosinuso.

4. Pagrindinė vektorinės algebros formulė.

Projektuokime vektorių a stačiakampės koordinačių sistemos X ir Y ašyse. Raskime vektoriaus a vektorines projekcijas šiose ašyse:

a x = a x ·i ir y = a y ·j.

Bet pagal vektoriaus pridėjimo taisyklę

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Taigi vektorių išreiškėme jo projekcijomis ir stačiakampės koordinačių sistemos vektoriais (arba jo vektorių projekcijomis).

Vektorinės projekcijos a x ir a y vadinamos vektoriaus a komponentais arba komponentais. Mūsų atlikta operacija vadinama vektoriaus išskaidymu išilgai stačiakampės koordinačių sistemos ašių.

Jei vektorius pateiktas erdvėje, tada

a = a x i + a y j + a z k.

Ši formulė vadinama pagrindine vektorinės algebros formule. Žinoma, galima parašyti ir taip.

o ant ašies ar kokio kito vektoriaus yra jos geometrinės projekcijos ir skaitinės (arba algebrinės) projekcijos sąvokos. Geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius, o algebrinės projekcijos rezultatas – neneigiamas realusis skaičius. Tačiau prieš pereidami prie šių sąvokų, prisiminkime reikiamą informaciją.

Preliminari informacija

Pagrindinė sąvoka yra pati vektoriaus sąvoka. Norėdami pristatyti geometrinio vektoriaus apibrėžimą, prisiminkime, kas yra atkarpa. Pateikiame tokį apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra linijos dalis, turinti dvi ribas taškų pavidalu.

Segmentas gali turėti 2 kryptis. Norėdami pažymėti kryptį, vieną iš atkarpos ribų vadinsime jos pradžia, o kitą – pabaiga. Kryptis nurodoma nuo segmento pradžios iki pabaigos.

2 apibrėžimas

Vektorius arba nukreipta atkarpa bus atkarpa, kuriai žinoma, kuri iš atkarpos ribų laikoma pradžia, o kuri – pabaiga.

Pavadinimas: dviem raidėmis: $\overline(AB)$ – (kur $A$ yra jos pradžia, o $B$ – pabaiga).

Viena maža raide: $\overline(a)$ (1 pav.).

Leiskite pristatyti dar keletą sąvokų, susijusių su vektoriaus sąvoka.

3 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose viena kitai tiesėse (2 pav.).

4 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime bendrakrypčiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jeigu jie nukreipti viena kryptimi (3 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)\overline(b)$

5 apibrėžimas

Mes vadinsime du nulinius vektorius, nukreiptus priešingai, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jeigu jie nukreipti skirtingomis kryptimis (4 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)↓\overline(d)$

6 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(a)$ ilgis bus atkarpos $a$ ilgis.

Žymėjimas: $|\overline(a)|$

Pereikime prie dviejų vektorių lygybės nustatymo

7 apibrėžimas

Du vektorius vadinsime lygiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Jie yra bendros krypties;
Jų ilgiai lygūs (5 pav.).

Geometrinė projekcija

Kaip minėjome anksčiau, geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius.

8 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(AB)$ geometrinė projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas taip: Vektoriaus $A$ pradžios taškas projektuojamas į šią ašį. Gauname tašką $A"$ – norimo vektoriaus pradžią. Į šią ašį projektuojame vektoriaus $B$ pabaigos tašką. Gauname tašką $B"$ – norimo vektoriaus pabaigą. Vektorius $\overline(A"B")$ bus norimas vektorius.

Panagrinėkime problemą:

1 pavyzdys

Sukurkite geometrinę projekciją $\overline(AB)$ į $l$ ašį, parodytą 6 paveiksle.

Iš taško $A$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, jame gausime tašką $A"$. Toliau iš taško $B$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, gausime tašką $B „$ ant jo (7 pav.).

Daugelis fizinių dydžių visiškai nustatomi nurodant tam tikrą skaičių. Tai, pavyzdžiui, tūris, masė, tankis, kūno temperatūra ir kt. Tokie dydžiai vadinami skaliariniais. Dėl šios priežasties skaičiai kartais vadinami skaliarais. Bet yra ir dydžių, kurie nustatomi nurodant ne tik skaičių, bet ir tam tikrą kryptį. Pavyzdžiui, kai kūnas juda, turėtumėte nurodyti ne tik kūno judėjimo greitį, bet ir judėjimo kryptį. Lygiai taip pat, tiriant bet kokios jėgos veikimą, būtina nurodyti ne tik šios jėgos reikšmę, bet ir jos veikimo kryptį. Tokie kiekiai vadinami vektorius. Jiems apibūdinti buvo pristatyta vektoriaus sąvoka, kuri pasirodė naudinga matematikai.

Vektorinis apibrėžimas

Bet kuri sutvarkyta taškų A iki B pora erdvėje apibrėžia nukreiptas segmentas, t.y. segmentas kartu su jame nurodyta kryptimi. Jei taškas A yra pirmasis, tada jis vadinamas nukreiptos atkarpos pradžia, o taškas B yra jo pabaiga. Atkarpos kryptis laikoma kryptimi nuo pradžios iki pabaigos.

Apibrėžimas
Nukreiptas segmentas vadinamas vektoriumi.

Vektorių pažymėsime simboliu $\overrightarrow(AB) $, kai pirmoji raidė nurodo vektoriaus pradžią, o antroji - jo pabaigą.

Vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa, vadinamas nulis ir žymimas $\vec(0)$ arba tiesiog 0.

Atstumas tarp vektoriaus pradžios ir pabaigos vadinamas jo ilgio ir žymimas $|\overrightarrow(AB)| $ arba $|\vec(a)| $.

Vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $ vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Kolineariniai vektoriai gali turėti vienodą arba priešingą kryptį.

Dabar galime suformuluoti svarbią dviejų vektorių lygybės sampratą.

Apibrėžimas
Vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $ yra lygūs ($\vec(a) = \vec(b) $), jei jie yra kolinearūs, turi tą patį kryptis ir jų ilgiai lygūs .

Fig. 1 rodomi nelygūs vektoriai kairėje ir lygūs vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $ dešinėje. Iš vektorių lygybės apibrėžimo išplaukia, kad jei duotas vektorius bus perkeltas lygiagrečiai sau, tada rezultatas bus vektorius, lygus duotam vektoriui. Šiuo atžvilgiu analitinės geometrijos vektoriai vadinami Laisvas.

Vektoriaus projekcija į ašį

Tegu ašis $u$ ir kažkoks vektorius $\overrightarrow(AB)$ pateikiamos erdvėje. Per taškus A ir B nubrėžkime plokštumas, statmenas $u$ ašiai. Šių plokštumų susikirtimo su ašimi taškus pažymėkime A" ir B" (žr. 2 pav.).

Vektoriaus $\overright arrow(AB) $ projekcija į ašį $u$ yra nukreiptos atkarpos A"B" ašyje $u$ vertė A"B". Leiskite jums tai priminti
$A"B" = |\rodyklė virš dešinės(A"B")| $ , jei kryptis $\ir dešinėn(A"B") $ sutampa su ašies $u$ kryptimi,
$A"B" = -|\rodyklė virš dešinės(A"B")| $ , jei kryptis $\overright arrow(A"B") $ yra priešinga ašies $u$ krypčiai,
Vektoriaus $\overrightarrow(AB)$ projekcija į ašį $u$ žymima taip: $Pr_u \overrightarrow(AB)$.

Teorema
Vektoriaus $\overrightarrow(AB) $ projekcija į ašį $u$ yra lygi vektoriaus $\overrightarrow(AB) $ ilgiui, padaugintam iš kampo tarp vektoriaus \ kosinuso (\overrightarrow(AB) \) ir ašis $ u$ , t.y.

$Pr_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi $ kur $\varphi $ yra kampas tarp vektoriaus $\overrightarrow(AB) $ ir ašies $u $.

komentuoti
Nurodykite $\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) $ ir tam tikrą ašį $u$. Pritaikę teoremos formulę kiekvienam iš šių vektorių, gauname

$Pr_u \overrightarrow(A_1B_1) = Pr_u \overrightarrow(A_2B_2) $ t.y. vienodi vektoriai turi vienodas projekcijas į tą pačią ašį.

Vektorinės projekcijos koordinačių ašyse

Tegu erdvėje pateikta stačiakampė koordinačių sistema Oxyz ir savavališkas vektorius $\overrightarrow(AB)$. Toliau tegul $X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) $. X, Y, Z vektorių $\overrightarrow(AB)$ projekcijos koordinačių ašyse vadinamos koordinates. Tuo pačiu jie rašo
$\ir dešinėn rodyklė(AB) = (X;Y;Z) $

Teorema
Kad ir kokie būtų du taškai A(x 1 ; y 1 ; z 1) ir B(x 2 ; y 2 ; z 2 ), vektoriaus $\overrightarrow(AB) $ koordinatės nustatomos pagal šias formules :

X = x 2 -x 1, Y = y 2 -y 1, Z = z 2 -z 1

komentuoti
Jei vektorius $\overrightarrow(AB) $ palieka pradžią, t.y. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, tada vektoriaus $\overrightarrow(AB) $ koordinatės X, Y, Z yra lygios jo galo koordinatėms:
X = x, Y = y, Z = z.

Vektoriaus krypties kosinusai

Tegul savavališkas vektorius $\vec(a) = (X;Y;Z) $; darysime prielaidą, kad $\vec(a) $ išeina iš pradžios ir nėra jokioje koordinačių plokštumoje. Per tašką A nubrėžkime ašims statmenas plokštumas. Kartu su koordinačių plokštumomis jos sudaro stačiakampį gretasienį, kurio įstrižainė yra atkarpa OA (žr. pav.).

Iš elementarios geometrijos žinoma, kad stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas lygi sumai jo trijų matmenų ilgių kvadratai. Vadinasi,
$|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 $
Bet $|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| $; taip gauname
$|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 $
arba
$|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) $
Ši formulė išreiškia savavališko vektoriaus ilgį per jo koordinates.

Pažymėkime $\alpha, \; \beta, \; \gamma $ kampus tarp vektoriaus $\vec(a) $ ir koordinačių ašių. Iš vektoriaus projekcijos į ašį formulių ir vektoriaus ilgio gauname
$\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma $ vadinami vektoriaus $\vec(a) $ krypties kosinusai.

Susumavus kiekvienos ankstesnės lygybės kairiąją ir dešinę puses ir susumavus gautus rezultatus, turime
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $
tie. bet kurio vektoriaus krypties kosinusų kvadratų suma lygi vienetui.

Tiesinės operacijos su vektoriais ir jų pagrindinės savybės

Tiesinės operacijos su vektoriais – tai vektorių pridėjimo ir atėmimo bei vektorių dauginimo iš skaičių operacijos.

Dviejų vektorių sudėjimas

Tegu pateikiami du vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $. Suma $\vec(a) + \vec(b) $ yra vektorius, einantis nuo vektoriaus $\vec(a) $ pradžios iki vektoriaus $\vec(b) pabaigos $ su sąlyga, kad vektorius $\vec(b) $ yra prijungtas prie vektoriaus $\vec(a) $ galo (žr. pav.).

komentuoti
Atimties vektorių veiksmas yra atvirkštinis sudėjimo veiksmui, t.y. skirtumas $\vec(b) - \vec(a) $ vektoriai $\vec(b) $ ir $\vec(a) $ yra vektorius, kuris sumoje su vektoriumi $\ vec(a ) $ suteikia vektorių $\vec(b) $ (žr. pav.).

komentuoti
Nustatę dviejų vektorių sumą, galite rasti bet kokio skaičiaus nurodytų vektorių sumą. Pavyzdžiui, duoti trys vektoriai $\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) $. Pridėjus $\vec(a) $ ir $\vec(b) \, gauname vektorių \(\vec(a) + \vec(b) $. Dabar pridėdami prie jo vektorių $\vec(c) $, gauname vektorių $\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) $

Vektoriaus ir skaičiaus sandauga

Tegu pateikiamas vektorius $\vec(a) \neq \vec(0) $ ir skaičius $\lambda \neq 0 $. Produktas $\lambda \vec(a) $ yra vektorius, kuris yra kolinerinis su vektoriumi $\vec(a) $, kurio ilgis lygus $|\lambda| |\vec(a)| \ ), o kryptis tokia pati kaip vektoriaus \(\vec(a) $, jei $\lambda > 0 $, ir priešinga, jei $\lambda vektoriaus \(\vec() dauginimo operacijos geometrinė reikšmė a) \neq \vec (0) $ skaičiumi $\lambda \neq 0 $ gali būti išreikštas taip: jei $|\lambda| >1 $, tada padauginus vektorių $\vec (a) $ pagal skaičių $ \lambda $ vektorius $\vec(a) $ yra „ištemptas“ $\lambda $ kartų, o jei $|\lambda| 1 $.

Jei $\lambda =0 $ arba $\vec(a) = \vec(0) $, sandauga $\lambda \vec(a) $ laikoma lygia nuliniam vektoriui.

komentuoti
Naudojant vektoriaus dauginimo iš skaičiaus apibrėžimą, nesunku įrodyti, kad jei vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $ yra kolineariniai ir $\vec(a) \ neq \vec(0) $, tada yra (ir tik vienas) skaičius $\lambda $, kad $\vec(b) = \lambda \vec(a) $

Pagrindinės tiesinių operacijų savybės

1. Komutacinė sudėties savybė
$\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) $

2. Sudėties jungtinė savybė
$(\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) $

3. Daugybos kombinacinė savybė
$\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) $

4. Skiriamoji savybė dėl skaičių sumos
$(\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) $

5. Paskirstomoji savybė vektorių sumos atžvilgiu
$\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) $

komentuoti
Šios tiesinių operacijų savybės yra labai svarbios, nes leidžia atlikti įprastas algebrines vektorių operacijas. Pavyzdžiui, dėl 4 ir 5 savybių skaliarinį daugianarį galite padauginti iš vektorinio polinomo „terminas po termino“.

Vektorinės projekcijos teoremos

Teorema
Dviejų vektorių sumos projekcija į ašį lygi jų projekcijų į šią ašį sumai, t.y.
$Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) $

Teoremą galima apibendrinti bet kokio skaičiaus terminų atveju.

Teorema
Vektorių $\vec(a) $ padauginus iš skaičiaus $\lambda $, jo projekcija į ašį taip pat dauginama iš šio skaičiaus, t.y. $Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) $

Pasekmė
Jei $\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) $ ir $\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) $, tada
$\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) $

Pasekmė
Jei $\vec(a) = (x;y;z) $, tada $\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) $ bet koks skaičius $\lambda $

Iš čia lengva spręsti dviejų koordinačių vektorių kolineariškumo sąlyga.
Iš tiesų lygybė $\vec(b) = \lambda \vec(a) $ yra lygi lygybėms $x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) arba
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) $ t.y. vektoriai $\vec(a) $ ir $\vec(b) $ yra kolineariniai tada ir tik tada, kai jų koordinatės yra proporcingos.

Vektoriaus išskaidymas į pagrindą

Tegul vektoriai $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ yra koordinačių ašių vienetiniai vektoriai, t.y. $|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1$, ir kiekvienas iš jų yra vienodai nukreiptas į atitinkamą koordinačių ašį (žr. pav.). Vektorių $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ trigubas vadinamas pagrindu.
Galioja sekanti teorema.

Teorema
Bet kurį vektorių $\vec(a) $ galima vienareikšmiškai išplėsti per bazę $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; $, t.y. pateiktas kaip
$\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) $
kur $\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu $ yra keletas skaičių.

Ašis yra kryptis. Tai reiškia, kad projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją laikoma ta pačia. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebriškai – kaip skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos į ašį ir skaitinės vektoriaus projekcijos į ašį sąvokos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jei turime L ašį ir nulinį vektorių A B →, tai galime sukurti vektorių A 1 B 1 ⇀, žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L.

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kurio pradžia ir pabaiga yra tam tikro vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijos. n p L A B → → įprasta projekciją A B → žymėti į L. Norint sukurti projekciją į L, statmenai nuleidžiami į L.

1 pavyzdys

Vektorinės projekcijos į ašį pavyzdys.

Koordinačių plokštumoje O x y nurodytas taškas M 1 (x 1, y 1). Norint pavaizduoti taško M 1 spindulio vektorių, reikia sudaryti O x ir O y projekcijas. Gauname vektorių (x 1, 0) ir (0, y 1) koordinates.

Jeigu mes kalbame apie apie a → projekciją į ne nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tuomet turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. A → projekcija į b → apibrėžtą tiesę žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → gali būti laikomas bendrakrypčiu. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingomis kryptimis. Esant statmenai a → ir b →, o a → yra nulis, a → projekcija kryptimi b → yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius, lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, lemiančio ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos apskaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b →, tačiau yra supaprastinta forma.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę a → projekciją į tiesę b → kryptimi, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Taigi, pakeiskime skaitines reikšmesį formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė atitinka pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį, sutampančią su b → kryptimi, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitmeninę projekciją a → = (1, 7) į L.

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite a → projekciją L, sutampančią su kryptimi b →, kur yra a → = - 2, 3, 1 ir b → = (3, - 2, 6). Nurodoma trimatė erdvė.

Sprendimas

Atsižvelgiant į a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z , apskaičiuojame skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ilgis b → randamas naudojant formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeiskite skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 67.

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir projekcijos a → ilgio ant L. Nubrėžkime ašį L, iš taško L pridėdami a → ir b →, po to nubrėžkime statmeną tiesę nuo galo a → iki L ir nubrėžkime projekciją į L. Yra 5 vaizdo variantai:

Pirmas atvejis su a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia, kad naudojamas n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , o tai reiškia n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečias atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , todėl turime n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitmeninė projekcija į L ašį, kuri nukreipta taip pat, kaip ir b →, turi tokią reikšmę:

vektoriaus a → projekcijos į L ilgį, su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
nulis su sąlyga, kad a → ir b → yra statmenos: n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 °;
projekcijos a → į L ilgis, padaugintas iš -1, kai yra bukas arba tiesus vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su sąlyga 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → į L ilgį, lygų 2. Raskite skaitinę projekciją a → su sąlyga, kad kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad šis kampas yra bukas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus ilgis a → lygus 6 3, b → (- 2, 1, 2), kurios kampas 30 laipsnių. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame skaitinę vektoriaus a → projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t · b → , tai reiškia, kad galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada n p L a → → = 3 · b → su vektoriaus a → projekcijos į L ašį koordinatėmis, lygiomis b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3. Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atsakymas: (- 6, 3, 6).

Būtina pakartoti anksčiau išmoktą informaciją apie vektorių kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter