Ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausomas sprendimas. Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai

Vektorių tiesinė priklausomybė ir tiesinė nepriklausomybė.
Vektorių pagrindas. Afininė koordinačių sistema

Žiūrovų tarpe – vežimėlis su šokoladukais, o šiandien kiekvienas lankytojas gaus saldžią porelę – analitinę geometriją su tiesine algebra. Šiame straipsnyje bus aptariamos dvi aukštosios matematikos dalys iš karto, ir pamatysime, kaip jos dera viename pakete. Pailsėk, valgyk Twix! ... velnias, na, ginčytis nesąmonė. Nors gerai, balų neįtrauksiu, galų gale turėtų būti teigiamas požiūris į studijas.

Tiesinė vektorių priklausomybė, vektorių tiesinė nepriklausomybė, vektoriaus pagrindu ir kiti terminai turi ne tik geometrinį aiškinimą, bet, visų pirma, algebrinę reikšmę. Pati „vektoriaus“ sąvoka tiesinės algebros požiūriu toli gražu ne visada yra „įprastas“ vektorius, kurį galime pavaizduoti plokštumoje ar erdvėje. Įrodymų toli ieškoti nereikia, pabandykite nupiešti penkiamatės erdvės vektorių . Arba orų vektorius, dėl kurio ką tik nuėjau į Gismeteo: - atitinkamai temperatūra ir atmosferos slėgis. Pavyzdys, žinoma, yra neteisingas vektorinės erdvės savybių požiūriu, tačiau, nepaisant to, niekas nedraudžia formalizuoti šių parametrų kaip vektorių. Rudens dvelksmas...

Ne, aš nevarginsiu jūsų teorija, tiesinėmis vektorinėmis erdvėmis, užduotis yra suprasti apibrėžimai ir teoremos. Naujieji terminai (tiesinė priklausomybė, nepriklausomybė, tiesinis derinys, pagrindas ir kt.) taikomi visiems vektoriams algebriniu požiūriu, tačiau pavyzdžiai bus pateikti geometriškai. Taigi viskas paprasta, prieinama ir vaizdinga. Be analitinės geometrijos uždavinių, apsvarstysime ir kai kuriuos tipinius algebros uždavinius. Norint įsisavinti medžiagą, patartina susipažinti su pamokomis Manekenų vektoriai ir Kaip apskaičiuoti determinantą?

Plokštuminių vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Plokštumos pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Apsvarstykite savo kompiuterio stalo plokštumą (tik stalas, naktinis staliukas, grindys, lubos, kas jums patinka). Užduotį sudarys šie veiksmai:

1) Pasirinkite plokštumos pagrindą. Grubiai tariant, stalviršis turi ilgį ir plotį, todėl intuityviai aišku, kad norint sukurti pagrindą, reikia dviejų vektorių. Akivaizdu, kad vieno vektoriaus nepakanka, trijų vektorių yra per daug.

2) Remiantis pasirinktu pagrindu nustatyti koordinačių sistemą(koordinačių tinklelis), kad priskirtumėte koordinates visiems lentelės elementams.

Nenustebkite, iš pradžių paaiškinimai bus ant pirštų. Be to, ant jūsų. Prašau vietos kairės rankos smilius ant stalviršio krašto, kad jis žiūrėtų į monitorių. Tai bus vektorius. Dabar vieta dešinės rankos mažasis pirštas ant stalo krašto tokiu pat būdu – kad būtų nukreiptas į monitoriaus ekraną. Tai bus vektorius. Šypsokis, atrodai puikiai! Ką galima pasakyti apie vektorius? Duomenų vektoriai kolinearinis, tai reiškia tiesiškai išreikšti vienas per kitą:
, gerai, arba atvirkščiai: , kur yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio.

Šio veiksmo nuotrauką galite pamatyti pamokoje. Manekenų vektoriai, kur paaiškinau vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę.

Ar jūsų pirštai nustatys pagrindą kompiuterio stalo plokštumoje? Akivaizdu, kad ne. Kolineariniai vektoriai keliauja pirmyn ir atgal vienas kryptimi, o plokštuma turi ilgį ir plotį.

Tokie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas.

Nuoroda: Žodžiai „tiesinis“, „tiesinis“ reiškia tai, kad matematinėse lygtyse, išraiškose nėra kvadratų, kubų, kitų laipsnių, logaritmų, sinusų ir pan. Yra tik tiesinės (1-ojo laipsnio) išraiškos ir priklausomybės.

Du plokštumos vektoriai tiesiškai priklausomas jei ir tik tada, kai jie yra kolineariniai.

Sukryžiuokite pirštus ant stalo taip, kad tarp jų būtų bet koks kampas, išskyrus 0 arba 180 laipsnių. Du plokštumos vektoriaitiesiškai ne yra priklausomi tada ir tik tada, kai jie nėra kolineariniai. Taigi, pagrindas gautas. Nereikia gėdytis, kad pagrindas pasirodė esantis „įstrižas“ su nestatmenais įvairaus ilgio vektoriais. Labai greitai pamatysime, kad jo konstrukcijai tinka ne tik 90 laipsnių kampas, o ne tik vienodo ilgio vienetiniai vektoriai

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis kelias išplėsta pagal pagrindą:
, kur yra tikrieji skaičiai . Skaičiai vadinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu.

Jie taip pat sako vektoriuspateikta formoje linijinis derinys baziniai vektoriai. Tai yra, išraiška vadinama vektoriaus skaidymaspagrindu arba linijinis derinys baziniai vektoriai.

Pavyzdžiui, galite pasakyti, kad vektorius yra išplėstas ortonormaliu plokštumos pagrindu, arba galite pasakyti, kad jis pavaizduotas kaip tiesinis vektorių derinys.

Suformuluokime pagrindo apibrėžimas formaliai: plokštumos pagrindu yra tiesiškai nepriklausomų (nekolinijinių) vektorių pora, , kuriame bet koks plokštumos vektorius yra tiesinis bazinių vektorių derinys.

Esminis apibrėžimo taškas yra tai, kad vektoriai yra paimti tam tikra tvarka. bazės Tai dvi visiškai skirtingos bazės! Kaip sakoma, kairės rankos mažojo piršto negalima perkelti į dešinės rankos mažojo piršto vietą.

Mes išsiaiškinome pagrindą, bet neužtenka nustatyti koordinačių tinklelį ir priskirti koordinates kiekvienam kompiuterio stalo elementui. Kodėl nepakanka? Vektoriai yra laisvi ir klaidžioja per visą plokštumą. Taigi, kaip priskirti koordinates tiems mažiems nešvariems stalo taškams, likusiems po laukinio savaitgalio? Reikalingas atspirties taškas. O toks atskaitos taškas yra visiems pažįstamas taškas – koordinačių pradžia. Koordinačių sistemos supratimas:

Pradėsiu nuo „mokyklos“ sistemos. Jau įžanginėje pamokoje Manekenų vektoriai Pabrėžiau kai kuriuos skirtumus tarp stačiakampės koordinačių sistemos ir stačiakampio pagrindo. Čia yra standartinis paveikslėlis:

Kalbėdamas apie stačiakampė koordinačių sistema, tada dažniausiai jie reiškia kilmę, koordinačių ašis ir mastelį išilgai ašių. Pabandykite paieškos sistemoje įvesti „stačiakampė koordinačių sistema“ ir pamatysite, kad daugelis šaltinių jums pasakys apie koordinačių ašis, pažįstamas iš 5–6 klasės ir kaip nubraižyti taškus plokštumoje.

Kita vertus, susidaro įspūdis, kad stačiakampę koordinačių sistemą galima gerai apibrėžti ortonormaliu pagrindu. Ir beveik yra. Formuluotė skamba taip:

kilmės, ir ortonormalus bazinis rinkinys Dekarto plokštumos koordinačių sistema . Tai yra stačiakampė koordinačių sistema būtinai yra apibrėžtas vienu tašku ir dviem vienetiniais stačiakampiais vektoriais. Štai kodėl matote brėžinį, kurį pateikiau aukščiau - geometrinėse užduotyse dažnai (bet toli gražu ne visada) brėžiami ir vektoriai, ir koordinačių ašys.

Manau, kad visi tą supranta taško (kilmės) ir ortonormalaus pagrindo pagalba Bet koks lėktuvo TAŠKAS ir BET koks lėktuvo vektorius galima priskirti koordinates. Vaizdžiai tariant, „viskas lėktuve gali būti sunumeruota“.

Ar koordinačių vektoriai turi būti vienetiniai? Ne, jie gali būti savavališkai nulinio ilgio. Apsvarstykite tašką ir du stačiakampius vektorius, kurių ilgis skiriasi nuo nulio:

Toks pagrindas vadinamas stačiakampis. Koordinačių pradžia su vektoriais apibrėžia koordinačių tinklelį, o bet kuris plokštumos taškas, bet kuris vektorius turi savo koordinates duotame pagrinde. Pavyzdžiui, arba. Akivaizdus nepatogumas yra tas, kad koordinačių vektoriai apskritai turi skirtingus ilgius, išskyrus vienetą. Jei ilgiai lygūs vienetui, tada gaunamas įprastas ortonormalus pagrindas.

! Pastaba : stačiakampyje, taip pat žemiau afininiuose plokštumos ir erdvės pagrinduose, laikomi vienetai išilgai ašių SĄLYGINĖ. Pavyzdžiui, viename vienete išilgai abscisės yra 4 cm, viename vienete išilgai ordinatės – 2 cm. Šios informacijos pakanka, kad prireikus „nestandartines“ koordinates būtų galima konvertuoti į „mums įprastus centimetrus“.

Ir antras klausimas, į kurį iš tikrųjų jau buvo atsakyta – ar kampas tarp bazinių vektorių būtinai lygus 90 laipsnių? Ne! Kaip sakoma apibrėžime, baziniai vektoriai turi būti tik nekolinearinis. Atitinkamai, kampas gali būti bet koks, išskyrus 0 ir 180 laipsnių.

Taškas lėktuve vadinamas kilmės, ir nekolinearinis vektoriai, , rinkinys afininė plokštumos koordinačių sistema :

Kartais ši koordinačių sistema vadinama įstrižas sistema. Taškai ir vektoriai pateikti kaip pavyzdžiai brėžinyje:

Kaip suprantate, afininė koordinačių sistema yra dar mažiau patogi, joje neveikia vektorių ir atkarpų ilgių formulės, kurias nagrinėjome antroje pamokos dalyje. Manekenų vektoriai, daug skanių formulių, susijusių su vektorių skaliarinė sandauga. Tačiau galioja vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklės, šiuo atžvilgiu segmento padalijimo formulės, taip pat kai kurios kitos problemos, kurias netrukus apsvarstysime.

Ir daroma išvada, kad patogiausias konkretus afininės koordinačių sistemos atvejis yra Dekarto stačiakampė sistema. Todėl ją, savo, dažniausiai tenka matyti. ... Tačiau viskas šiame gyvenime yra reliatyvu – yra daug situacijų, kuriose dera turėti įstrižą (ar kokią kitą, pvz. poliarinis) koordinačių sistema. Taip, ir humanoidams tokios sistemos gali patikti =)

Pereikime prie praktinės dalies. Visos šios pamokos problemos galioja tiek stačiakampei koordinačių sistemai, tiek bendrajam giminingam atvejui. Čia nėra nieko sudėtingo, visa medžiaga prieinama net moksleiviui.

Kaip nustatyti plokštumos vektorių kolineariškumą?

Tipiškas dalykas. Tam, kad du plokštumos vektoriai yra kolinerinės, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.Iš esmės tai yra akivaizdaus ryšio patobulinimas po koordinatės.

1 pavyzdys

a) Patikrinkite, ar vektoriai yra kolinearūs .
b) Ar vektoriai sudaro pagrindą? ?

Sprendimas:
a) Išsiaiškinkite, ar yra vektorių proporcingumo koeficientas, kad būtų įvykdytos lygybės:

Neabejotinai papasakosiu apie „nepaprastą“ šios taisyklės taikymo versiją, kuri praktiškai veikia gana gerai. Idėja yra nedelsiant sudaryti proporciją ir patikrinti, ar ji teisinga:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių santykio:

Sutrumpiname:
, taigi atitinkamos koordinatės yra proporcingos, todėl

Ryšys gali būti sudarytas ir atvirkščiai, tai yra lygiavertis variantas:

Savaiminiam patikrinimui galima pasinaudoti tuo, kad kolineariniai vektoriai yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Šiuo atveju yra lygybės . Jų pagrįstumą galima lengvai patikrinti atliekant elementarias operacijas su vektoriais:

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Mes tiriame vektorių kolineariškumą . Sukurkime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad iš antrosios lygties išplaukia, kad , o tai reiškia, sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi atitinkamos vektorių koordinatės nėra proporcingos.

Išvada: vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Supaprastinta sprendimo versija atrodo taip:

Sudarykite proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių :
, vadinasi, šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Dažniausiai recenzentai šio varianto neatmeta, tačiau problema iškyla tais atvejais, kai kai kurios koordinatės lygios nuliui. Kaip šitas: . Arba taip: . Arba taip: . Kaip čia išnaudoti proporciją? (Tikrai, jūs negalite dalyti iš nulio). Būtent dėl ​​šios priežasties supaprastintą sprendimą pavadinau „foppish“.

Atsakymas: a) , b) forma.

Nedidelis kūrybinis savarankiško sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Kokia parametro vektorių reikšmė bus kolinearinis?

Pavyzdiniame sprendime parametras randamas per proporciją.

Yra elegantiškas algebrinis vektorių kolineariškumo tikrinimo būdas. Susisteminkime savo žinias ir tiesiog pridėkite jas kaip penktą tašką:

Dviejų plokštumos vektorių atveju šie teiginiai yra lygiaverčiai:

2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra kolineariniai;

+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra nulis.

Atitinkamai, sekantys priešingi teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai priklausomi;
2) vektoriai nesudaro pagrindo;
3) vektoriai yra kolineariniai;
4) vektoriai gali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui.

Labai, labai tikiuosi, kad šiuo metu jau supratote visus terminus ir teiginius, su kuriais teko susidurti.

Pažvelkime į naują penktąjį tašką atidžiau: du plokštumos vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:. Norint naudotis šia funkcija, žinoma, reikia mokėti rasti determinantų.

Mes nuspręsime 1 pavyzdys antruoju būdu:

a) Apskaičiuokite determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių :
, todėl šie vektoriai yra kolineariniai.

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių :
, taigi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Atsakymas: a) , b) forma.

Atrodo daug kompaktiškiau ir gražiau nei sprendimas su proporcijomis.

Nagrinėjamos medžiagos pagalba galima nustatyti ne tik vektorių kolineariškumą, bet ir įrodyti atkarpų, tiesių lygiagretumą. Apsvarstykite keletą problemų, susijusių su konkrečiomis geometrinėmis formomis.

3 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas: Problemoje nereikia kurti brėžinio, nes sprendimas bus grynai analitinis. Prisiminkite lygiagretainio apibrėžimą:
Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Taigi, būtina įrodyti:
1) priešingų kraštinių lygiagretumas ir;
2) priešingų kraštinių lygiagretumas ir .

Mes įrodome:

1) Raskite vektorius:

2) Raskite vektorius:

Rezultatas yra tas pats vektorius („pagal mokyklą“ - vienodi vektoriai). Kolineariškumas yra gana akivaizdus, ​​tačiau geriau priimti sprendimą tinkamai, susitarus. Apskaičiuokite determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių:
, todėl šie vektoriai yra kolineariniai ir .

Išvada: Priešingos keturkampio kraštinės yra poromis lygiagrečios, todėl pagal apibrėžimą jis yra lygiagretainis. Q.E.D.

Daugiau gerų ir skirtingų figūrų:

4 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra trapecija.

Norint tiksliau suformuluoti įrodymą, žinoma, geriau gauti trapecijos apibrėžimą, tačiau pakanka tik prisiminti, kaip ji atrodo.

Tai savarankiško sprendimo užduotis. Išsamus sprendimas pamokos pabaigoje.

O dabar atėjo laikas lėtai judėti iš lėktuvo į kosmosą:

Kaip nustatyti erdvės vektorių kolineariškumą?

Taisyklė labai panaši. Kad du erdvės vektoriai būtų kolinearūs, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.

5 pavyzdys

Sužinokite, ar šie erdvės vektoriai yra kolineariniai:

a) ;
b)
in)

Sprendimas:
a) Patikrinkite, ar yra atitinkamų vektorių koordinačių proporcingumo koeficientas:

Sistema neturi sprendimo, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolineariniai.

„Supaprastinta“ gaunama patikrinus proporciją. Tokiu atveju:
– atitinkamos koordinatės nėra proporcingos, vadinasi, vektoriai nėra kolineariniai.

Atsakymas: vektoriai nėra kolineariniai.

b-c) Tai savarankiško sprendimo taškai. Išbandykite dviem būdais.

Yra erdvinių vektorių kolineariškumo ir trečiosios eilės determinanto tikrinimo metodas, šis metodas aprašytas straipsnyje Kryžminė vektorių sandauga.

Panašiai kaip ir plokštumos atveju, nagrinėjami įrankiai gali būti naudojami erdvinių atkarpų ir tiesių lygiagretumui tirti.

Sveiki atvykę į antrą skyrių:

Trimačių erdvės vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Erdvinis pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Daugelis dėsningumų, kuriuos svarstėme lėktuve, galios ir kosmosui. Bandžiau sumažinti teorijos santrauką, nes liūto dalis informacijos jau buvo sukramtyta. Nepaisant to, rekomenduoju atidžiai perskaityti įžanginę dalį, nes atsiras naujų terminų ir sąvokų.

Dabar vietoj kompiuterio stalo plokštumos panagrinėkime trimatę erdvę. Pirmiausia sukurkime jo pagrindą. Kažkas dabar yra patalpoje, kažkas lauke, bet bet kuriuo atveju negalime atsiriboti nuo trijų matmenų: pločio, ilgio ir aukščio. Todėl pagrindui sukurti reikalingi trys erdviniai vektoriai. Vieno ar dviejų vektorių neužtenka, ketvirtas – nereikalingas.

Ir vėl apšildome ant pirštų. Pakelkite ranką aukštyn ir paskleiskite įvairiomis kryptimis nykščiu, smiliumi ir viduriniu pirštu. Tai bus vektoriai, jie žiūri į skirtingas puses, yra skirtingo ilgio ir turi skirtingus kampus tarpusavyje. Sveikiname, trimatės erdvės pagrindas yra paruoštas! Beje, nereikia to demonstruoti mokytojams, kad ir kaip suktum pirštus, bet nuo apibrėžimų nepabėgsi =)

Toliau užduodame svarbų klausimą, ar kokie nors trys vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą? Trimis pirštais stipriai paspauskite kompiuterio stalviršį. Kas nutiko? Trys vektoriai yra vienoje plokštumoje, ir, grubiai tariant, mes praradome vieną iš matavimų - aukštį. Tokie vektoriai yra koplanarinis ir visiškai akivaizdu, kad trimatės erdvės pagrindas nėra sukurtas.

Reikia pastebėti, kad koplanariniai vektoriai nebūtinai turi gulėti toje pačioje plokštumoje, jie gali būti lygiagrečiose plokštumose (tik nedarykite to pirštais, tik Salvadoras Dali taip nulipo =)).

Apibrėžimas: vektoriai vadinami koplanarinis jei yra plokštuma, kuriai jie lygiagretūs. Čia logiška pridurti, kad jei tokios plokštumos nėra, tai vektoriai nebus vienodi.

Trys koplanariniai vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi, tai yra, jie yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Paprastumo dėlei dar kartą įsivaizduokite, kad jie yra toje pačioje plokštumoje. Pirma, vektoriai yra ne tik koplanarūs, bet ir kolineariniai, tada bet koks vektorius gali būti išreikštas bet kuriuo vektoriumi. Antruoju atveju, jei, pavyzdžiui, vektoriai nėra kolinearūs, tada trečiasis vektorius per juos išreiškiamas unikaliu būdu: (o kodėl nesunku atspėti iš ankstesnio skyriaus medžiagos).

Ir atvirkščiai: trys nevienaplaniai vektoriai visada yra tiesiškai nepriklausomi, tai yra, jie jokiu būdu nėra išreikšti vienas per kitą. Ir, aišku, tik tokie vektoriai gali sudaryti trimatės erdvės pagrindą.

Apibrėžimas: Trimatės erdvės pagrindas vadinamas tiesiškai nepriklausomų (ne lygiaplokščių) vektorių trigubu, paimti tam tikra tvarka, o bet koks erdvės vektorius vienintelis kelias plečiasi duotame pagrinde , kur yra vektoriaus koordinatės duotame pagrinde

Norėdami priminti, taip pat galite pasakyti, kad vektorius vaizduojamas kaip linijinis derinys baziniai vektoriai.

Koordinačių sistemos sąvoka įvedama lygiai taip pat, kaip ir plokštumos atveju, pakanka vieno taško ir bet kokių trijų tiesiškai nepriklausomų vektorių:

kilmės, ir ne lygiagrečiai vektoriai, paimti tam tikra tvarka, rinkinys afininė trimatės erdvės koordinačių sistema :

Žinoma, koordinačių tinklelis yra „įstrižas“ ir nepatogus, tačiau, nepaisant to, sukurta koordinačių sistema leidžia mums būtinai nustatyti bet kurio vektoriaus koordinates ir bet kurio erdvės taško koordinates. Panašiai kaip ir plokštumoje, afininėje erdvės koordinačių sistemoje kai kurios formulės, kurias jau paminėjau, neveiks.

Labiausiai pažįstamas ir patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis, kaip kiekvienas gali atspėti, yra stačiakampės erdvės koordinačių sistema:

taškas erdvėje vadinamas kilmės, ir ortonormalus bazinis rinkinys Dekarto erdvės koordinačių sistema . pažįstamas paveikslas:

Prieš pradėdami praktines užduotis, informaciją vėl susisteminame:

Trims erdvės vektoriams šie teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi;
2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra vienodi;
4) vektoriai negali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, skiriasi nuo nulio.

Priešingi teiginiai, manau, yra suprantami.

Erdvės vektorių tiesinė priklausomybė / nepriklausomybė tradiciškai tikrinama naudojant determinantą (5 punktas). Likusios praktinės užduotys bus ryškaus algebrinio pobūdžio. Pats metas pakabinti geometrinę lazdelę ant vinies ir pamojuoti linijinės algebros beisbolo lazda:

Trys erdvės vektoriai yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui: .

Atkreipiu dėmesį į nedidelį techninį niuansą: vektorių koordinates galima rašyti ne tik stulpeliais, bet ir eilutėmis (determinanto reikšmė nuo to nepasikeis – žr. determinantų savybes). Bet tai daug geriau stulpeliuose, nes tai naudingiau sprendžiant kai kurias praktines problemas.

Tiems skaitytojams, kurie determinantų skaičiavimo metodus šiek tiek pamiršo, o gal išvis prastai orientuojasi, rekomenduoju vieną iš savo seniausių pamokų: Kaip apskaičiuoti determinantą?

6 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą:

Sprendimas: Tiesą sakant, visas sprendimas priklauso nuo determinanto apskaičiavimo.

a) Apskaičiuokite determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių (determinantas išplečiamas pirmoje eilutėje):

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ne lygiagrečiai) ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Atsakymas: šie vektoriai sudaro pagrindą

b) Tai nepriklausomo sprendimo taškas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Taip pat yra kūrybinių užduočių:

7 pavyzdys

Esant kokiai parametro vertei vektoriai bus lygiagrečiai?

Sprendimas: Vektoriai yra vienodi tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:

Iš esmės reikia išspręsti lygtį su determinantu. Mes skrendame į nulius kaip aitvarai į jerboas - pelningiausia atidaryti determinantą antroje eilutėje ir iš karto atsikratyti minusų:

Atliekame tolesnius supaprastinimus ir sumažiname dalyką iki paprasčiausios tiesinės lygties:

Atsakymas: at

Čia nesunku patikrinti, tam reikia pakeisti gautą reikšmę į pradinį determinantą ir įsitikinti, kad vėl jį atidarant.

Apibendrinant, panagrinėkime kitą tipinę problemą, kuri yra labiau algebrinio pobūdžio ir tradiciškai įtraukiama į tiesinės algebros eigą. Tai taip įprasta, kad nusipelno atskiros temos:

Įrodykite, kad 3 vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą
ir raskite 4-ojo vektoriaus koordinates duotame baze

8 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą ir jame suraskite vektoriaus koordinates.

Sprendimas: Pirmiausia išsiaiškinkime sąlygą. Pagal sąlygą pateikiami keturi vektoriai ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Koks pagrindas – mums neįdomu. Įdomu tai: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis žingsnis yra visiškai toks pat kaip 6 pavyzdžio sprendimas, reikia patikrinti, ar vektoriai tikrai yra tiesiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokite determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių:

, taigi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

! Svarbu : vektorinės koordinatės būtinai užsirašyti į kolonas determinantas, o ne stygos. Priešingu atveju kils painiavos tolesniame sprendimo algoritme.

Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičių , tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Jei ši lygybė galioja tik tada, jei visi , tada vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas.

Teorema. Vektorių sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.

1 pavyzdys Polinomas yra tiesinis daugianario derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą, nes https polinomas: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2 pavyzdys Matricos sistema , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.

Sprendimas.

Sukurkite tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Sulyginus vienodų vektorių vienodų pavadinimų koordinates, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Pagaliau gauname

ir

Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija yra lygi nuliui tik tada, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Todėl ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

4 pavyzdys Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorių sistemos

a).;

b).?

Sprendimas.

a). Sudarykite tiesinį derinį ir prilyginkite jį nuliui

Naudodami operacijų su vektoriais linijinėje erdvėje savybes, paskutinę lygybę perrašome į formą

Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">

Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą .

Nuo lygybės (*) vykdoma tik https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausoma;

b). Sudarykite lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Taikydami panašius samprotavimus gauname

Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname

arba

Paskutinėje sistemoje yra begalė sprendimų https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra ne nulinis koeficientų rinkinys, kurio lygybė (**) . Todėl vektorių sistema yra tiesiškai priklausomas.

5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Lygybėje (***) . Iš tiesų, sistema būtų tiesiškai priklausoma.

Iš santykio (***) mes gauname arba Pažymėti .

Gauk

Savarankiško sprendimo užduotys (klasėje)

1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Vieno vektoriaus sistema a, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.

3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).

4. Jei vektorius pridedamas prie tiesiškai priklausomos sistemos, tada gaunama tiesiškai priklausoma sistema.

5. Jei vektorius pašalinamas iš tiesiškai nepriklausomos sistemos, tai gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

6. Jei sistema S tiesiškai nepriklausomas, bet tampa tiesiškai priklausomas, kai pridedamas vektorius b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.

c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.

10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite šių vektorių sistemų tiesinę nepriklausomybę:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius

c).a+b, a+c, b+c.

11. Leisti a,b,c yra trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima sudaryti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?

12. Duoti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Paimkite dar du 4D vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .

Pristatome mūsų tiesinės operacijos vektoriais leidžia sukurti skirtingas išraiškas vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.

Remdamiesi duotu vektorių rinkiniu a 1 , ... ir n , galite sudaryti formos išraišką

kur a 1 , ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n . Skaičiai α i , i = 1, n , yra tiesinės kombinacijos koeficientai. Vektorių aibė taip pat vadinama vektorinė sistema.

Ryšium su įvestu vektorių linijinės kombinacijos samprata, iškyla problema apibūdinti vektorių aibę, kurią galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1 , ..., a n tiesinę kombinaciją. Be to, natūralūs klausimai, kokiomis sąlygomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.

Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1 , ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra tokia koeficientų aibė α 1 , ... , α n, kad

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

ir bent vienas iš šių koeficientų yra nulis. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

Jei α 1 = ... = α n = 0, tada, akivaizdu, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.

Ši teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.

2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1 , ... ir n , n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.

◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą (2.2) lygybėje kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1 . Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusius perkeliame į dešinę, įprastai keisdami jų ženklus. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname

a 1 =-α 2 / α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinis likusių vektorių a 2 , ... ir n derinys.

Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1 , ... ir n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , lygus nulinis vektorius.Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1 , ... ir n yra tiesiškai priklausomi.

Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad jie reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galima kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj "vektoriai yra tiesiškai priklausomi" turime pasakyti "vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma". Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturi būti lygus nuliui).

Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šį aiškinimą paaiškina šie trys teiginiai.

2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.

◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektorius pagal skaičių, vektoriai a ir b yra kolinearūs.

Tegul vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks tiesinis jų derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkite vektorių ilgių santykį: λ = |а|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba priešingomis kryptimis. Pastaruoju atveju keičiame λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, matome, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.

Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra pavaizduotas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.

2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie koplanarinis.

◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γс. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γc turės bendrą pradžią taške A ir lygiagretainis taisyklė jų suma, tie. vektorius a, bus vektorius su pradžia A ir pabaiga, kuri yra lygiagretainio viršūnė, sudaryta iš suminių vektorių. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, tai yra, jie yra vienodi.

Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime daryti prielaidą, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas pradėtišie vektoriai bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Nubrėžkite linijas per tašką C, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB " . Vektorius OA" ir nulinis vektorius a= OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš tikrojo skaičiaus α:OA" = αOA. Panašiai ir OB" = βOB , β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA + βOB , t.y. vektorius c yra vektorių a ir b tiesinė kombinacija. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

◄ Įrodymas vyksta pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, tada galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada pridėti likusius du vektorius prie šio derinio, kaip koeficientus laikant nulius. Gauname keturių vektorių, lygių 0, tiesinę kombinaciją, kurioje yra nulinių koeficientų.

Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nėra nulinių, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Jų bendra pradžia pasirenkame tašką O. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečias plokštumoms ОВС, OCA, OAB, o šių plokštumų susikirtimo taškais atitinkamai su tiesėmis OA, OB, OS tegul A", B", С. Gauname gretasienį. OA"C"B"C" B"DA", o vektoriai a, b, c guli ant jo kraštų, išeinančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC " . Savo ruožtu atkarpa OS" yra įstrižainė lygiagretainis OA"C"B", taigi OC" = OA" + OB" , o OD = OA" + OB" + OC" .

Belieka pastebėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinijinės, todėl galime pasirinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA , OB" = βOB ir OC" = γOC . Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC . Vadinasi, vektorius OD išreiškiamas likusiais trimis vektoriais, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.

Leisti L- savavališka tiesinė erdvė, a i Î L yra jos elementai (vektoriai).

Apibrėžimas 3.3.1. Išraiška , kur, - savavališki realieji skaičiai, vadinami tiesiniu deriniu vektoriai a 1, a 2,…, a n.

Jei vektorius R = , tada jie taip sako R suskaidomi į vektorius a 1, a 2,…, a n.

Apibrėžimas 3.3.2. Vadinamas linijinis vektorių derinys nebanalus, jei tarp skaičių yra bent vienas kitas nei nulis. Priešingu atveju vadinamas linijinis derinys trivialus.

3 apibrėžimas.3.3 . Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai priklausomais, jei egzistuoja netrivialus tiesinis jų derinys, kad

= 0 .

3 apibrėžimas.3.4. Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai nepriklausomomis, jei lygybė = 0 galima tik jei visi skaičiai l 1, l 2,…, l n tuo pačiu metu yra nulis.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris nulinis elementas a 1 gali būti laikomas tiesiškai nepriklausoma sistema, nes lygybė l a 1 = 0 galima tik esant sąlygai l= 0.

3.3.1 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga tiesinei priklausomybei a 1 , a 2 ,…, a n yra galimybė bent vieną iš šių elementų suskaidyti į likusius.

Įrodymas. Reikia. Tegu elementai a 1 , a 2 ,…, a n tiesiškai priklausomas. Tai reiškia kad = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, l n skiriasi nuo nulio. Leiskite konkretumui l 1 ¹ 0. Tada

y., elementas a 1 suskaidomas į elementus a 2 , a 3 , …, a n.

Tinkamumas. Tegul elementas a 1 bus išskaidytas į elementus a 2 , a 3 , …, a n, ty 1 = . Tada = 0 , todėl yra netrivialus tiesinis vektorių derinys a 1 , a 2 ,…, a n lygus 0 , todėl jie yra tiesiškai priklausomi .

3.3.2 teorema. Jei bent vienas iš elementų a 1 , a 2 ,…, a n nulis, tada šie vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

Įrodymas . Leisti a n= 0 , tada = 0 , o tai reiškia nurodytų elementų tiesinę priklausomybę.

3.3.3 teorema. Jei tarp n vektorių yra bet kuris p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Įrodymas. Apibrėžtumo dėlei elementai a 1 , a 2 ,…, a p tiesiškai priklausomas. Tai reiškia, kad yra ne trivialus tiesinis derinys, kad = 0 . Nurodyta lygybė bus išsaugota, jei elementą pridėsime prie abiejų jo dalių. Tada + = 0 , o bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, lp skiriasi nuo nulio. Todėl vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n yra tiesiškai priklausomi.

Išvada 3.3.1. Jei n elementų yra tiesiškai nepriklausomi, tai bet kuris iš jų k yra tiesiškai nepriklausomas (k< n).

3.3.4 teorema. Jei vektoriai a 1, a 2,…, a n- 1 yra tiesiškai nepriklausomi ir elementai a 1, a 2,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada vektorius a n galima išskaidyti į vektorius a 1, a 2,…, a n- 1 .

Įrodymas. Kadangi pagal sąlygą a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada egzistuoja netrivialus tiesinis jų derinys = 0 , ir (kitaip vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n- vienas). Bet tada vektorius

,

Q.E.D.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieškome bendro lygčių sistemos sprendimo

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema atrodo taip: (r A = 2, n= 3). Sistema yra nuosekli ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Ne nulio privataus sprendimo buvimas, pavyzdžiui, , rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys

Sužinokite, ar pateikta vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite homogeninę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėstas (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, tada jis turi unikalų sprendimą. Vienalytės sistemos atveju nulinis (trivialus) sprendimas. Vadinasi, šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Sistemos degeneracijos patikrinimas:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 yra tiesiškai nepriklausomi.

Užduotys. Sužinokite, ar pateikta vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.