Taylor serija elementarioms funkcijoms. Funkcijų išplėtimas į galių eilutes
Jei funkcija f(x) turi visų eilių išvestines tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:
,
Kur r n– vadinamasis liekanos narys arba eilutės liekana, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę: 
, kur skaičius x yra tarp x ir a.
Funkcijų įvedimo taisyklės:
Jei už kokią nors vertę X r n→0 at n→∞, tada riboje Teiloro formulė tampa konvergentiška šiai reikšmei Taylor serija:
,
Taigi, funkcija f(x) gali būti išplėsta į Taylor seriją nagrinėjamame taške x, jei:
1) turi visų eilučių išvestines;
2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.
Kai a = 0, gauname seriją, vadinamą netoli Maclaurino:
,
Paprasčiausių (elementarių) funkcijų išplėtimas Maclaurin serijoje:
Eksponentinės funkcijos
, R=∞
Trigonometrinės funkcijos 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx nesiplečia x laipsniais, nes ctg0=∞
Hiperbolinės funkcijos
Logaritminės funkcijos
, -1
Dvejetainė serija
.
1 pavyzdys. Išplėskite funkciją į galios eilutę f(x)= 2x.
Sprendimas. Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:
Šios eilutės konvergencijos spindulys lygus begalybei, todėl ši plėtra galioja -∞<x<+∞.
2 pavyzdys. Parašykite Taylor seriją galiomis ( X+4) funkcijai f(x)= e x.
Sprendimas. Funkcijos e išvestinių radimas x ir jų vertės taške X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Todėl reikiama funkcijos Taylor serija turi tokią formą:
Šis išplėtimas taip pat galioja -∞<x<+∞.
3 pavyzdys. Išplėskite funkciją f(x)=ln x galių serijoje ( X- 1),
(t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1).
Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinius.
f(x)=lnx , , , , 
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname norimą Taylor seriją:
Naudodami d'Alembert testą, galite patikrinti, ar serijos konverguoja ties ½x-1½<1 . Действительно,
Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 gauname kintamąją eilutę, kuri tenkina Leibnizo kriterijaus sąlygas. Kai x=0, funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0;2]).
4 pavyzdys. Išplėskite funkciją į galios eilutę. 5 pavyzdys. Išplėskite funkciją Maclaurin serijoje komentuoti
.
Šis metodas pagrįstas teorema apie funkcijos plėtimosi laipsnių eilutėje unikalumą. Šios teoremos esmė yra ta, kad to paties taško kaimynystėje negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, nesvarbu, kaip ji išplėtima. Pavyzdys Nr.5a. Išplėskite funkciją Maclaurin eilutėje ir nurodykite konvergencijos sritį. Trupmeną 3/(1-3x) galima laikyti be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis 3x, suma, jei |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
6 pavyzdys. Išplėskite funkciją į Teiloro eilutę šalia taško x = 3. 7 pavyzdys. Funkcijos ln(x+2) laipsniais (x -1) parašykite Teiloro eilutę. 8 pavyzdys. Išplėskite funkciją f(x)=sin(πx/4) į Teiloro eilutę šalia taško x =2. 1 pavyzdys. Apskaičiuokite ln(3) 0,01 tikslumu. 2 pavyzdys. Apskaičiuokite 0,0001 tikslumu. 3 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą ∫ 0 1 4 sin (x) x 10 -5 tikslumu. 4 pavyzdys. Apskaičiuokite integralą ∫ 0 1 4 e x 2 0,001 tikslumu. Jei funkcija f(x) turi tam tikrame intervale, kuriame yra taškas A, visų eilių išvestiniai, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę: Kur r n– vadinamasis liekanos narys arba eilutės liekana, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę: Jei už kokią nors vertę x r n®0 val n®¥, tada riboje Teiloro formulė virsta konvergencine šios reikšmės formule Taylor serija: Taigi funkcija f(x) galima išplėsti į Taylor seriją aptariamame taške X, Jei: 1) turi visų eilučių išvestines; 2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje. At A=0 gauname seriją, vadinamą netoli Maclaurino: 1 pavyzdys
f(x)= 2x. Sprendimas. Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0 f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1; f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x) = 2x 2 2, f¢¢( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2; f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2. Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname: Šios eilutės konvergencijos spindulys yra lygus begalybei, todėl šis išplėtimas galioja -¥<x<+¥. 2 pavyzdys
X+4) funkcijai f(x)= e x. Sprendimas. Funkcijos e išvestinių radimas x ir jų vertės taške X=-4. f(x)= e x, f(-4)
= e -4
; f¢(x)= e x, f¢(-4)
= e -4
; f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4)
= e -4
; f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
. Todėl reikiama funkcijos Taylor serija turi tokią formą: Šis išplėtimas taip pat galioja -¥<x<+¥. 3 pavyzdys
. Išplėskite funkciją f(x)=ln x galių serijoje ( X- 1), (t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1). Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinius. Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname norimą Taylor seriją: Naudodami d'Alemberto testą, galite patikrinti, ar serija konverguoja kada ½ X- 1½<1. Действительно, Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 gauname kintamąją eilutę, kuri tenkina Leibnizo kriterijaus sąlygas. At X=0 funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0;2]). Tokiu būdu gautus išplėtimus pateiksime į Maclaurin seriją (t. y. šalia taško X=0) kai kurioms elementarioms funkcijoms: (2) (3) ( vadinamas paskutinis skilimas dvinario serija) 4 pavyzdys
. Išplėskite funkciją į galios eilutę Sprendimas. Išplėtime (1) pakeičiame Xįjungta - X 2, gauname: 5 pavyzdys
. Išplėskite funkciją Maclaurin serijoje Sprendimas. Mes turime Naudodami (4) formulę galime parašyti: vietoj to pakeičiant Xį formulę -X, mes gauname: Iš čia randame: Atidarę skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir atvesdami panašius terminus, gauname Ši serija susilieja intervale (-1;1), nes jis gaunamas iš dviejų eilučių, kurių kiekviena susilieja šiame intervale. komentuoti
. Formulės (1)-(5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti į Taylor seriją, t.y. funkcijoms plėsti teigiamais sveikaisiais skaičiais ( Ha). Norėdami tai padaryti, būtina atlikti tokias identiškas tam tikros funkcijos transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1)–5, kurioje vietoj X kainuoja k( Ha) m , kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu pakeisti kintamąjį t=Ha ir išplėsti gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje. Šis metodas iliustruoja funkcijos laipsnių eilučių išplėtimo unikalumo teoremą. Šios teoremos esmė yra ta, kad to paties taško kaimynystėje negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, nesvarbu, kaip ji išplėtima. 6 pavyzdys
. Išplėskite funkciją Taylor serijoje taško kaimynystėje X=3. Sprendimas. Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai turime rasti funkcijos išvestinius ir jų reikšmes X=3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą išplėtimą (5): Gautos serijos susilieja ties 7 pavyzdys
. Parašykite Taylor seriją galiomis ( X-1) funkcijos Sprendimas. Serija susilieja ties Parodykime, kad jei aibėje yra apibrėžta savavališka funkcija tada galite rasti šios serijos koeficientus. Pakeiskime galios seriją Raskime pirmąją funkcijos išvestinę At Dėl antrosios išvestinės gauname: At Tęsiant šią procedūrą n kai tik gausime: Taigi, mes gavome tokios formos galių eilutę: kuris vadinamas šalia Teiloro už funkciją Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin serija adresu Likusi Taylor (Maclaurin) serijos dalis gaunama išmetus pagrindinę seriją n pirmieji nariai ir žymimas kaip Likusi dalis paprastai yra Vienas iš jų yra Lagrange formos: Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje Maclaurin serija naudojama dažniau. Taigi, norint parašyti funkciją 1) rasti Maclaurin (Taylor) serijos koeficientus; 2) rasti gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį; 3) įrodyti, kad ši eilutė suartėja su funkcija Teorema1
(būtina ir pakankama Maclaurino eilučių konvergencijos sąlyga). Tegul serijos konvergencijos spindulys 2 teorema. Jei bet kurios eilės funkcijos išvestinės Pavyzdys1
.
Išplėskite Taylor seriją aplink tašką Sprendimas. ....................................................................................................................................... Konvergencijos regionas Pavyzdys2
.
Išplėskite funkciją Sprendimas: Raskite funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties ...........…………………………… Sudėkime šias vertes iš eilės. Mes gauname: arba Raskime šios eilutės konvergencijos sritį. Pagal d'Alemberto testą, serija suartėja, jei Todėl bet kuriam Panagrinėkime keletą pagrindinių elementariųjų funkcijų išplėtimo iš Maclaurin serijos pavyzdžių. Prisiminkite, kad Maclaurin serija: susilieja į intervalą Atminkite, kad norint išplėsti funkciją į seriją, būtina: a) raskite šios funkcijos Maklaurino eilučių koeficientus; b) apskaičiuokite gautų eilučių konvergencijos spindulį; c) įrodyti, kad gauta eilutė konverguoja į funkciją 3 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją Sprendimas. Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties Tada serijos skaitiniai koeficientai yra tokios formos: bet kam n. Pakeiskime rastus koeficientus į Maclaurin seriją ir gaukime: Raskime gautų eilučių konvergencijos spindulį, būtent: Todėl serija susilieja į intervalą Ši serija susilieja su funkcija Pavyzdys4
.
Apsvarstykite funkciją Sprendimas.
Nesunku pastebėti, kad tolygios eilės dariniai Raskime šios eilutės konvergencijos intervalą. Pagal d'Alemberto ženklą: bet kam Ši serija susilieja su funkcija Pavyzdys5
.
Sprendimas. Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties Taigi šios serijos koeficientai: Panašiai kaip ir ankstesnėje eilutėje, konvergencijos sritis Atkreipkite dėmesį, kad funkcija Pavyzdys6
.
Dvejetainė serija: Sprendimas. Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties Iš to matyti, kad: Pakeiskime šias koeficientų reikšmes į Maclaurin seriją ir gaukime šios funkcijos išplėtimą į galios eilutę: Raskime šios serijos konvergencijos spindulį: Todėl serija susilieja į intervalą Ištirtos eilutės susilieja į intervalą Pavyzdys7
.
Išplėskime funkciją Maclaurin serijoje Sprendimas. Norėdami išplėsti šią funkciją į seriją, naudojame dvinarę eilutę at Remdamiesi laipsnių eilučių savybe (laipsnių eilutę galima integruoti jos konvergencijos srityje), randame šios eilutės kairiosios ir dešinės pusės integralą: Raskime šios serijos konvergencijos sritį: tai yra, šios serijos konvergencijos sritis yra intervalas Serija konverguoja pagal Leibnizo kriterijų. Taigi šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas Apytiksliuose skaičiavimuose galios eilutės vaidina labai svarbų vaidmenį. Jų pagalba buvo sudarytos trigonometrinių funkcijų lentelės, logaritmų lentelės, kitų funkcijų reikšmių lentelės, kurios naudojamos įvairiose žinių srityse, pavyzdžiui, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje. Be to, funkcijų išplėtimas į laipsnių eilutes yra naudingas jų teoriniam tyrimui. Apytiksliuose skaičiavimuose naudojant laipsnio eilutes pagrindinė problema yra klaidos įvertinimas, kai serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma. n nariai. Panagrinėkime du atvejus: funkcija išplečiama į signalų kaitaliojimą; funkcija išplečiama į pastovaus ženklo seką. Tegul funkcija Pavyzdys8
.
Apskaičiuoti Sprendimas. Tam naudosime Maclaurin seriją Jei palyginsime pirmąją ir antrąją eilutės narius tam tikru tikslumu, tada: . Trečias išplėtimo terminas: mažesnis už nurodytą skaičiavimo tikslumą. Todėl norint apskaičiuoti Taigi Pavyzdys9
.
Apskaičiuoti Sprendimas. Naudosime dvinario eilutės formulę. Norėdami tai padaryti, parašykite Šioje išraiškoje Palyginkime kiekvieną iš serijos sąlygų nurodytu tikslumu. Tai aišku Pavyzdys10
.
Apskaičiuokite skaičių Sprendimas. Iš eilės funkcijai Įvertinkime paklaidą, kuri atsiranda pakeičiant serijos sumą pirmosios suma tai yra 2< Pagal problemą reikia rasti n kad galiotų ši nelygybė: Nesunku patikrinti, kada n= 6: Vadinasi, Pavyzdys11
.
Apskaičiuoti Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad logaritmams apskaičiuoti galima naudoti funkcijos seriją Paskaičiuokime Vadinasi, Norint apskaičiuoti Likusi serija arba Taigi, eilėje, kuri buvo naudojama skaičiuojant, užteko paimti tik pirmuosius keturis funkcijos eilės narius, o ne 9999 1. Kas yra Taylor serija? 2. Kokią formą turėjo Maclaurin serija? 3. Suformuluokite funkcijos išplėtimo teoremą Teiloro eilutėje. 4. Užrašykite pagrindinių funkcijų Maclaurin serijos išplėtimą. 5. Nurodykite nagrinėjamų eilučių konvergencijos sritis. 6. Kaip įvertinti apytikslių skaičiavimų paklaidą naudojant galių eilutes? Funkcinių eilučių teorijoje centrinę vietą užima skyrius, skirtas funkcijos išplėtimui į seriją. Taigi užduotis yra nustatyta: duotai funkcijai
turime rasti tokią galių eilutę kuri susiliejo į tam tikrą intervalą ir jo suma buvo lygi Ši užduotis vadinama funkcijos išplėtimo į laipsnių eilutę problema. Būtina laipsnio eilutės funkcijos skaidomumo sąlyga ar jo diferencijuojamumas yra begalinis kartų skaičius – tai išplaukia iš konvergentinių laipsnių eilučių savybių. Ši sąlyga, kaip taisyklė, tenkinama elementarioms funkcijoms jų apibrėžimo srityje. Taigi tarkime, kad funkcija Tarkime, kad funkcija Kur A 0 ,A 1 ,A 2 ,..., A P ,...
– nežinomi (dar) koeficientai. Į lygybę (*) įdėkime vertę x = x 0 ,
tada gauname Atskirkime laipsnių eilutę (*) pagal terminą ir čia tiki x = x 0 ,
mes gauname Su kitu diferencijavimu gauname seriją tikėdamas x = x 0 ,
mes gauname Po to P-gauname daugybinę diferenciaciją Darant prielaidą, kad paskutinėje lygybėje x = x 0 ,
mes gauname Taigi, koeficientai rasti kurią pakeitę į seriją (*), gauname Gauta serija vadinama šalia Teiloro
už funkciją
Taigi mes tai nustatėme jei funkcija gali būti išplėsta į laipsnių eilutę laipsniais (x - x 0 ), tada šis išplėtimas yra unikalus ir gaunama serija būtinai yra Taylor serija. Atkreipkite dėmesį, kad Taylor seriją galima gauti bet kuriai funkcijai, kuri taške turi bet kokios eilės išvestines x = x 0 .
Bet tai nereiškia, kad tarp funkcijos ir gautos serijos galima dėti lygybės ženklą, t.y. kad serijos suma lygi pradinei funkcijai. Pirma, tokia lygybė gali turėti prasmę tik konvergencijos srityje, o funkcijai gautos Taylor eilutės gali skirtis, ir, antra, jei Teiloro eilutė suartėja, tada jos suma gali nesutapti su pradine funkcija. Suformuluokime teiginį, kurio pagalba bus išspręsta užduotis. Jei funkcija
KurR n (X)-likęs Teiloro formulės terminas turi formą (Lagrange forma) Kur
taškasξ
yra tarp x ir x 0 . Atkreipkite dėmesį, kad tarp Teiloro serijos ir Teiloro formulės yra skirtumas: Teiloro formulė yra baigtinė suma, t.y. P - fiksuotas numeris. Prisiminkite, kad serijos suma S(x)
galima apibrėžti kaip dalinių sumų funkcinės sekos ribą S P (x)
tam tikru intervalu X: Pagal tai išplėsti funkciją į Taylor seriją reiškia rasti tokią seriją, kuri tinka bet kuriai XX Parašykime Teiloro formulę forma kur pastebėti, kad Jeigu Taip mes įrodėme Tailoro serijos funkcijos skaidomumo kriterijus.
Norėdami atlikti funkcijąf(x) išsiplečia į Taylor seriją, būtina ir pakanka, kad šiame intervale
Naudojant suformuluotą kriterijų galima gauti pakankamaiTaylor serijos funkcijos skaidomumo sąlygos.
Jei įtam tikra taško x kaimynystė 0 visų funkcijos išvestinių absoliučios vertės apribotos iki vienodo skaičiaus M≥ 0, t.y. Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia algoritmasfunkcijų išplėtimas
f(x) Taylor serijoje netoli taško X 0 :
1.
Funkcijų išvestinių radimas f(x):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),… 2. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ir jos išvestinių reikšmes taške X 0 f(x 0
), f’(x 0
), f“(x 0
), f’“(x 0
), f (n) (x 0
),…
3. Formaliai parašome Teiloro eilutę ir randame gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį. 4. Patikriname pakankamų sąlygų įvykdymą, t.y. nustatome, kam X iš konvergencijos regiono, likęs terminas R n (x)
linkęs į nulį as Funkcijų išplėtimas į Taylor seriją naudojant šį algoritmą vadinamas funkcijos išplėtimas į Taylor seriją pagal apibrėžimą arba tiesioginis skilimas. Aukštosios matematikos studentai turėtų žinoti, kad tam tikros laipsnių eilutės, priklausančios mums duotam eilučių konvergencijos intervalui, suma pasirodo esanti ištisinė ir neribotą skaičių kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima sakyti, kad duota savavališka funkcija f(x) yra tam tikros laipsnių eilutės suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis funkcija f(x) gali būti pavaizduota laipsnių eilute? Šio klausimo svarba slypi tame, kad funkciją f(x) galima apytiksliai pakeisti kelių pirmųjų laipsnių eilutės narių suma, tai yra daugianario. Toks funkcijos pakeitimas gana paprasta išraiška – daugianario – taip pat patogus sprendžiant tam tikras problemas, būtent: sprendžiant integralus, skaičiuojant ir pan. Įrodyta, kad tam tikrai funkcijai f(x), kurioje galima apskaičiuoti išvestines iki (n+1) eilės, įskaitant paskutinę, šalia (α - R; x 0 + R ) tam tikras taškas x = α, tiesa, kad formulė: Ši formulė pavadinta garsaus mokslininko Brooke Taylor vardu. Serija, gauta iš ankstesnės, vadinama Maclaurin serija: Taisyklė, leidžianti išplėsti Maclaurin seriją: R n (x) -> 0 ties n -> begalybė. Jei tokia yra, joje esanti funkcija f(x) turi sutapti su Maklaurino eilutės suma. Dabar panagrinėkime Maclaurin seriją atskiroms funkcijoms. 1. Taigi pirmasis bus f(x) = e x. Žinoma, pagal savo charakteristikas tokia funkcija turi labai skirtingos eilės išvestines, o f (k) (x) = e x , kur k lygus visoms Pakeiskite x = 0. Gauname f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, serija e x atrodys taip: 2. Maklaurino eilutė funkcijai f(x) = sin x. Iš karto išsiaiškinkime, kad funkcija visiems nežinomiesiems turės išvestines, be to, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kur k lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui. išvada, kad f(x) = sin x serija atrodys taip: 3. Dabar pabandykime nagrinėti funkciją f(x) = cos x. Visiems nežinomiesiems jis turi savavališkos eilės išvestinius ir |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Taigi, mes išvardijome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti Maclaurin serijoje, tačiau kai kurioms funkcijoms jas papildo Taylor serija. Dabar mes juos išvardinsime. Taip pat verta paminėti, kad Taylor ir Maclaurin serijos yra svarbi praktinio darbo dalis sprendžiant eilutes aukštojoje matematikoje. Taigi, Taylor serija. 1. Pirmoji bus funkcijos f(x) = ln(1+x) eilutė. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, esant nurodytam f(x) = ln(1+x), eilutes galime pridėti naudodami bendrą Maclaurin serijos formą. tačiau šiai funkcijai Maclaurin seriją galima gauti daug paprasčiau. Integravę tam tikrą geometrinę eilutę, gauname tokios imties f(x) = ln(1+x) eilutę: 2. O antrasis, kuris mūsų straipsnyje bus galutinis, bus f(x) = arctan x serija. Jei x priklauso intervalui [-1;1], galioja išplėtimas: Tai viskas. Šiame straipsnyje buvo nagrinėjamos dažniausiai naudojamos Taylor ir Maclaurin serijos aukštojoje matematikoje, ypač ekonomikos ir technikos universitetuose.
Sprendimas. Išplėtime (1) pakeičiame x į -x 2, gauname:
, -∞
.
Sprendimas. Mes turime
Naudodami (4) formulę galime parašyti:
formulėje vietoj x pakeitę –x, gauname:
Iš čia randame: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Atidarę skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir atvesdami panašius terminus, gauname
. Ši eilutė konverguoja intervale (-1;1), nes ji gaunama iš dviejų eilučių, kurių kiekviena suartėja šiame intervale.
Formulės (1)-(5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti į Taylor seriją, t.y. funkcijoms plėsti teigiamais sveikaisiais skaičiais ( Ha). Norėdami tai padaryti, būtina atlikti tokias identiškas tam tikros funkcijos transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1)–5, kurioje vietoj X kainuoja k( Ha) m , kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu pakeisti kintamąjį t=Ha ir išplėsti gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje.
Sprendimas. Pirmiausia randame 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , . 
į pradinę:
su konvergencijos regionu |x|< 1/3.
Sprendimas. Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai turime rasti funkcijos išvestinius ir jų reikšmes X=3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą išplėtimą (5):
=
Gautos eilutės konverguoja ties arba –3
Sprendimas.
Serija suartėja ties , arba -2< x < 5.
Sprendimas. Padarykime pakeitimą t=x-2:
Naudodami išplėtimą (3), kuriame vietoj x pakeičiame π / 4 t, gauname:
Gauta eilutė konverguoja į nurodytą funkciją ties -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Apytiksliai skaičiavimai naudojant galių eilutes
Galios serijos plačiai naudojamos apytiksliems skaičiavimams. Su jų pagalba galite tam tikru tikslumu apskaičiuoti šaknų, trigonometrinių funkcijų, skaičių logaritmų ir apibrėžtųjų integralų reikšmes. Serija taip pat naudojama integruojant diferencialines lygtis.
Apsvarstykite funkcijos išplėtimą laipsnių eilutėje:
Norint apskaičiuoti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikrame taške X, priklausantis nurodytų eilučių konvergencijos sričiai, jos plėtinyje paliekamos pirmosios n nariai ( n– baigtinis skaičius), o likę terminai atmetami:
Norint įvertinti gautos apytikslės reikšmės paklaidą, reikia įvertinti išmestą liekaną rn (x) . Norėdami tai padaryti, naudokite šiuos metodus:
Sprendimas. Naudokime plėtinį, kur x=1/2 (žr. 5 pavyzdį ankstesnėje temoje):
Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po pirmųjų trijų plėtimosi narių, tai įvertinsime naudodamiesi be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma:
Taigi galime išmesti šią likutį ir gauti
Sprendimas. Naudokime dvinarę eilutę. Kadangi 5 3 yra sveikojo skaičiaus, artimiausio 130, kubas, skaičių 130 patartina pavaizduoti kaip 130 = 5 3 +5. 
kadangi jau ketvirtasis gautos kintamos serijos narys, atitinkantis Leibnizo kriterijų, yra mažesnis už reikalaujamą tikslumą:
, todėl jo ir po jo esančių terminų galima atmesti.
Daugelio praktiškai būtinų apibrėžtųjų ar netinkamų integralų negalima apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę, nes jos taikymas yra susijęs su antidarinės suradimu, kuri dažnai neturi išraiškos elementariose funkcijose. Būna ir taip, kad rasti antidarinį įmanoma, tačiau tai be reikalo reikalauja darbo jėgos. Tačiau, jei integrando funkcija išplečiama į laipsnių eilutę, o integravimo ribos priklauso šios serijos konvergencijos intervalui, tada galimas apytikslis integralo apskaičiavimas iš anksto nustatytu tikslumu.
Sprendimas. Atitinkamas neapibrėžtas integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, t.y. reiškia „nenuolatinį integralą“. Niutono-Leibnizo formulė čia negali būti taikoma. Apskaičiuokime integralą apytiksliai.
Dalijant terminą iš termino nuodėmės seriją xįjungta x, mes gauname: 
Integruodami šią eilutę po termino (tai įmanoma, nes integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui), gauname:
Kadangi gauta serija atitinka Leibnizo sąlygas ir pakanka paimti pirmųjų dviejų terminų sumą, kad būtų gauta norima reikšmė nurodytu tikslumu.
Taigi, mes randame 
.
Sprendimas.
. Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po antrojo gautos serijos termino.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
, kur skaičius x yra tarp X Ir A.
,
,
arba –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
.
, arba 2< x£5.16.1. Elementariųjų funkcijų išplėtimas į Taylor seriją ir
Maklaurinas
, netoli taško 
turi daug išvestinių ir yra laipsnių eilutės suma:
. Tada 
.
:
:
.
:
.
.
,
taško apylinkėse 
.
:
. Tada funkcija 
galima parašyti kaip sumą n pirmieji serijos nariai 
o likusią dalį 
:,
.
išreikštas skirtingomis formulėmis.
, Kur 
.
.
laipsnio eilutės sumos pavidalu būtina:
.
. Kad ši serija suartėtų intervale 
funkcionuoti 
, būtina ir pakanka, kad sąlyga būtų įvykdyta: 
nurodytu intervalu.
tam tikru intervalu 
absoliučia verte apribota iki to paties skaičiaus M, tai yra 
, tada šiame intervale funkcija 
gali būti išplėsta į Maclaurin seriją.
funkcija.
.
,;
,
;
,
;
,
,
;
.
Taylor serijoje aplink tašką 
.
.
,
;
,
;
,
.
.
.
ši riba yra mažesnė nei 1, todėl eilučių konvergencijos diapazonas bus toks: 
.
.
funkcionuoti 
.
.
.
.
.
.
bet kokioms vertybėms 
, nes bet kuriuo intervalu 
funkcija 
o jo absoliučios vertės išvestinių priemonių skaičius yra ribotas 
.
.
:
, o išvestinės yra nelyginės eilės. Pakeiskime rastus koeficientus į Maclaurin eilutę ir gaukime išplėtimą:
. Todėl serija susilieja į intervalą 
.
, nes visi jo vediniai apsiriboja vienybe.
.
:
Ir 
, taigi:
. Serija susilieja su funkcija 
, nes visi jo vediniai apsiriboja vienybe.
nelyginis ir serijos plėtimas nelyginėmis galiomis, funkcija 
– tolygus ir išsiplėtimas į seriją lygiomis galiomis.
.
:
. Ribiniuose taškuose ties 
Ir 
eilutė gali suartėti arba nekonverguoti priklausomai nuo eksponento 
.
funkcionuoti 
, tai yra serijos suma 
adresu 
.
.
. Mes gauname: 
,
. Nustatykime eilučių konvergenciją intervalo galuose. At 
. Ši serija yra harmoninga serija, tai yra, ji skiriasi. At 
gauname skaičių eilutę su bendru terminu 
.
.16.2. Galios eilučių taikymas apytiksliuose skaičiavimuose
Skaičiavimas naudojant kintamąsias eilutes
išplėsta į kintamos galios eilutę. Tada apskaičiuojant šią funkciją konkrečiai vertei 
gauname skaičių eilutę, kuriai galime pritaikyti Leibnizo kriterijų. Pagal šį kriterijų, jei serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma n tada absoliuti paklaida neviršija pirmo likusios šios serijos dalies, ty: 
.
0,0001 tikslumu.
, pakeičiant kampo reikšmę radianais:
pakanka palikti dvi serijos kadencijas, t
.
.
0,001 tikslumu.
kaip: 
.
,
. Todėl norint apskaičiuoti 
pakanka palikti tris serijos terminus.
arba 
.Skaičiavimas naudojant teigiamas eilutes
0,001 tikslumu.
pakeiskime 
. Mes gauname:
nariai. Užrašykime akivaizdžią nelygybę:
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
arba 
.
.
.
0,0001 tikslumu.
, tačiau ši serija konverguoja labai lėtai ir norint pasiekti nurodytą tikslumą reikėtų paimti 9999 terminus! Todėl, norint apskaičiuoti logaritmus, paprastai naudojama funkcijos serija 
, kuris susilieja į intervalą 
.
naudojant šią seriją. Leisti 
, Tada 
.
,
su nurodytu tikslumu paimkite pirmųjų keturių terminų sumą: 
.
išmeskime. Įvertinkime klaidą. Tai akivaizdu 
.
.Savidiagnostikos klausimai
,
tie.
=
..
turi bet kokios eilės išvestinių. Ar įmanoma ją išplėsti į galios eilutę?Jei taip, kaip galime rasti šią seriją? Antrąją problemos dalį lengviau išspręsti, todėl pradėkime nuo jos.
gali būti pavaizduota kaip laipsnių eilutės, susiliejančios intervale, kuriame yra taškas, suma X 0 :
=
..
(*)
.
=
..
.
=
..
, kur 
.
, kur
,
,
,
…,
,….,
.
3.2. Pakankamos sąlygos funkcijos skaidomumui Taylor serijoje
kažkurioje taško x kaimynystėje 0 turi išvestinių iki (n+
1) eilės imtinai, tada šioje kaimynystėje turimeformulę
Teiloras
.
apibrėžia gautą klaidą, pakeiskite funkciją f(x)
daugianario S n (x).
, Tai 
, tie. funkcija išplėsta į Taylor seriją. Atvirkščiai, jei 
, Tai 
.
, KurR n (x) yra likęs Taylor serijos terminas.
, To šioje kaimynystėje funkcija išsiplečia į Taylor seriją.
arba
.
