Kvadratinės funkcijos asimptotės. Kiek asimptotų gali turėti funkcijos grafikas?

Kaip įterpti matematines formulesį svetainę?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sukuria Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinis žymėjimasžiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris reikiamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet kuris fraktalas konstruojamas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Funkcijos y = f(x) grafiko asimptotė yra tiesė, turinti savybę, kad atstumas nuo taško (x, f(x)) iki šios tiesės linkęs į nulį, kai grafiko taškas neribotai juda nuo kilmė.

3.10 pav. pateikti grafiniai vertikalių, horizontalių ir įstrižų asimptočių pavyzdžiai.

Grafo asimptočių radimas grindžiamas šiomis trimis teoremomis.

Vertikalios asimptotės teorema. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta tam tikroje taško x 0 kaimynystėje (galbūt neįskaitant paties taško) ir bent viena iš funkcijos vienpusių ribų lygi begalybei, t.y. Tada tiesė x = x 0 yra funkcijos y = f(x) grafiko vertikali asimptotė.

Akivaizdu, kad tiesė x = x 0 negali būti vertikali asimptotė, jei funkcija yra ištisinė taške x 0, nes šiuo atveju . Todėl vertikalių asimptočių reikia ieškoti funkcijos nutrūkimo taškuose arba jos apibrėžimo srities galuose.

Horizontaliosios asimptotės teorema. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta pakankamai dideliam x ir yra baigtinė funkcijos riba. Tada tiesė y = b yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

komentuoti. Jei tik viena iš ribų yra baigtinė, tai funkcija atitinkamai turi kairiąją arba dešiniąją horizontaliąją asimptotę.

Tuo atveju funkcija gali turėti įstrižinė asimptotė.

Pasvirosios asimptotės teorema. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta pakankamai dideliam x ir yra baigtinės ribos . Tada tiesė y = kx + b yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė.

Jokio įrodymo.

Įstrižinė asimptotė, kaip ir horizontali, gali būti dešiniarankė arba kairioji, jei atitinkamų ribų pagrindas yra tam tikro ženklo begalybė.

Funkcijų studijavimas ir jų grafikų sudarymas paprastai apima šiuos veiksmus:

1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį.

2. Išnagrinėkite lyginio ir nelyginio pariteto funkciją.

3. Raskite vertikalius asimptotus, nagrinėdami pertrūkių taškus ir funkcijos elgesį apibrėžimo srities ribose, jei jie baigtiniai.

4. Išnagrinėję funkcijos elgseną begalybėje, raskite horizontalias arba įstrižas asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus.

6. Raskite funkcijos ir vingio taškų išgaubimo intervalus.

7. Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir, galbūt, keletą papildomų taškų, kurie patikslina grafiką.

Funkcinis diferencialas

Galima įrodyti, kad jei funkcija turi tam tikros bazės ribą, lygią baigtiniam skaičiui, tai ji gali būti pavaizduota kaip šio skaičiaus ir be galo mažos tos pačios bazės reikšmės suma (ir atvirkščiai): .

Taikykime šią teoremą diferencijuojamai funkcijai: .

Taigi funkcijos Dу prieaugis susideda iš dviejų narių: 1) tiesinis Dx atžvilgiu, t.y. f `(x)Dх; 2) netiesinis Dx atžvilgiu, t.y. a(Dx)Dх. Tuo pačiu metu nuo , šis antrasis narys yra begalinis aukštesnės eilės dydis nei Dx (kadangi Dx linkęs į nulį, jis linkęs į nulį dar greičiau).

Funkcijos diferencialas yra pagrindinė, tiesinė funkcijos prieaugio dalis Dx atžvilgiu, lygi išvestinės ir nepriklausomo kintamojo dy = f `(x)Dx sandaugai.

Raskime funkcijos y = x diferencialą.

Kadangi dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, tai dx = Dх, t.y. nepriklausomo kintamojo diferencialas lygus šio kintamojo prieaugiui.

Todėl funkcijos diferencialo formulę galima parašyti kaip dy = f `(x)dх. Štai kodėl vienas iš išvestinės žymenų yra trupmena dy/dх.

Pavaizduota diferencialo geometrinė reikšmė
3.11 pav. Funkcijos y = f(x) grafike paimkime savavališką tašką M(x, y). Suteikime argumentui x prieaugį Dx. Tada funkcija y = f(x) gaus prieaugį Dy = f(x + Dх) - f(x). Nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę taške M, kuri sudaro kampą a su teigiama abscisių ašies kryptimi, t.y. f `(x) = įdegis a. Iš stačiojo trikampio MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Taigi funkcijos diferencialas yra tos funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugis tam tikrame taške, kai x gauna prieaugį Dx.

Diferencialo savybės iš esmės yra tokios pačios kaip ir darinio:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Tačiau yra svarbus turtas funkcijos diferencialas, kurio jo išvestinė neturi, yra diferencialo formos nekintamumas.

Pagal funkcijos y = f(x) diferencialo apibrėžimą, diferencialas dy = f `(x)dх. Jei ši funkcija y yra sudėtinga, t.y. y = f(u), kur u = j(x), tada y = f ir f `(x) = f `(u)*u`. Tada dy = f `(u)*u`dх. Bet dėl funkcijos
u = j(x) diferencialas du = u`dх. Taigi dy = f `(u)*du.

Palyginus lygybes dy = f `(x)dх ir dy = f `(u)*du, įsitikiname, kad diferencialo formulė nepasikeis, jei vietoj nepriklausomo kintamojo x funkcijos laikysime priklausomas kintamasis u. Ši diferencialo savybė vadinama diferencialo formos (arba formulės) nekintamumu (ty nekintamumu).

Tačiau šiose dviejose formulėse vis tiek yra skirtumas: pirmoje iš jų nepriklausomo kintamojo diferencialas yra lygus šio kintamojo prieaugiui, t.y. dx = Dx, ir, antra, funkcijos du diferencialas yra tik tiesinė šios funkcijos Du prieaugio dalis ir tik mažiems Dx du » Du.

Hiperbolė yra taškų, kurių atstumo skirtumas iki dviejų nurodytų taškų, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė (ši konstanta turi būti teigiama ir mažesnė už atstumą tarp židinių).

Šią konstantą pažymėkime 2a, atstumą tarp židinių – ir parinksime koordinačių ašis taip pat, kaip § 3. Tegul yra savavališkas hiperbolės taškas.

Pagal hiperbolės apibrėžimą

Dešinėje lygybės pusėje turite pasirinkti pliuso ženklą jei ir minuso ženklą, jei

Kadangi paskutinė lygybė gali būti parašyta taip:

Tai hiperbolės lygtis pasirinktoje koordinačių sistemoje.

Išsilaisvinę nuo radikalų šioje lygtyje (kaip § 3), galime sumažinti lygtį iki paprasčiausios formos.

Perkeldami pirmąjį radikalą į dešinę lygybės pusę ir pateikdami abi puses kvadratu, po akivaizdžių transformacijų gauname:

Dar kartą padalijus abi lygybės puses kvadratu, suvedus panašius terminus ir padalinus iš laisvojo termino, gauname:

Nuo , vertė yra teigiama. Žymima per , t.y., darant prielaidą

gauname kanoninę hiperbolės lygtį.

Panagrinėkime hiperbolės formą.

1) Hiperbolės simetrija. Kadangi (3) lygtyje yra tik dabartinių koordinačių kvadratai, koordinačių ašys yra hiperbolės simetrijos ašys (žr. panašų teiginį dėl elipsės). Hiperbolės, kurioje yra židiniai, simetrijos ašis vadinama židinio ašimi. Simetrijos ašių susikirtimo taškas – simetrijos centras – vadinamas hiperbolės centru. Hiperbolės, pateiktos pagal (3) lygtį, židinio ašis sutampa su Ox ašimi, o centras yra pradžia.

2) Susikirtimo taškai su simetrijos ašimis. Raskime hiperbolės susikirtimo taškus su simetrijos ašimis – hiperbolės viršūnes. Darydami prielaidą, kad lygtyje randame hiperbolės susikirtimo su ašimi taškų abscises

Vadinasi, taškai yra hiperbolės viršūnės (51 pav.); atstumas tarp jų yra 2a. Norėdami rasti susikirtimo taškus su Oy ašimi, įdedame lygtį Šių taškų ordinatėms nustatyti gauname lygtį

tai yra, y gavome įsivaizduojamas reikšmes; tai reiškia, kad Oy ašis nekerta hiperbolių.

Atsižvelgiant į tai, simetrijos ašis, kuri kerta hiperbolę, vadinama tikrąja simetrijos ašimi (židinio ašimi), simetrijos ašis, kuri nesikerta su hiperbole, vadinama įsivaizduojama simetrijos ašimi. Hiperbolės, pateiktos (3) lygtimi, tikroji simetrijos ašis yra ašis, įsivaizduojama simetrijos ašis – ašis Atkarpa, jungianti hiperbolės viršūnes, taip pat jos ilgis 2a, vadinama tikrąja simetrijos ašimi. hiperbolė. Jei įsivaizduojamoje hiperbolės simetrijos ašyje brėžiame atkarpas OB ir ilgį b abiejose jos centro O pusėse, tai atkarpa ir jos ilgis vadinami įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Dydžiai a ir b vadinami atitinkamai tikrosiomis ir įsivaizduojamomis hiperbolės pusašimis.

3) Hiperbolės forma. Tiriant hiperbolės formą pakanka atsižvelgti teigiamas vertes x ir y, nes kreivė yra simetriškai išdėstyta koordinačių ašių atžvilgiu.

Kadangi iš (3) lygties matyti, kad 1, tada gali pasikeisti nuo a iki Kai didėja nuo a iki tada Y taip pat didėja nuo 0 iki Kreivės forma parodyta Fig. 51. Jis yra tiesiomis linijomis apribotos juostos išorėje ir susideda iš dviejų atskirų atšakų. Bet kuriam vienos iš šių šakų taškui M (dešinė šaka), bet kuriam kitos šakos taškui M (kairė šaka).

4) Hiperbolės asimptotės. Norėdami aiškiau įsivaizduoti hiperbolės tipą, apsvarstykite dvi tiesias linijas, glaudžiai susijusias su ja - vadinamąsias asimptotes.

Darant prielaidą, kad x ir y yra teigiami, išsprendžiame (3) hiperbolės lygtį ordinatės y atžvilgiu:

Palyginkime lygtį su tiesės lygtimi, iškviečiant atitinkamus du taškus, esančius atitinkamai šioje tiesėje ir hiperbolėje ir turinčius tą pačią abscisę (51 pav.). Akivaizdu, kad atitinkamų taškų ordinačių skirtumas Y - y išreiškia atstumą tarp jų, t.y.

Parodykime, kad neribotai didėjant, atstumas MN, žudantis, linkęs į nulį. Iš tikrųjų,

Supaprastinus gauname:

Nuo paskutinė formulė matome, kad neribotai padidėjus abscisei, atstumas MN mažėja ir linkęs į nulį. Iš to išplaukia, kad kai taškas M, judėdamas išilgai hiperbolės pirmajame kvadrante, pasislenka į begalybę, tada jo atstumas iki tiesės mažėja ir linkęs į nulį. Ta pati aplinkybė atsitiks, kai taškas M judės išilgai hiperbolės trečiajame kvadrante (dėl simetrijos pradžios O atžvilgiu).

Galiausiai, dėl hiperbolės simetrijos Oy ašies atžvilgiu, gausime antrą tiesią liniją, simetriškai išsidėsčiusią su tiesia linija, prie kurios taškas M taip pat neribotai artės, kai jis juda išilgai hiperbolės ir tolsta iki begalybės. antrasis ir ketvirtasis kvadrantai).

Šios dvi tiesės vadinamos hiperbolės asimptotėmis ir, kaip matėme, turi lygtis:

Akivaizdu, kad hiperbolės asimptotės yra išilgai stačiakampio įstrižainių, kurių viena kraštinė lygiagreti Ox ašiai ir lygi 2a, kita lygiagreti Oy ašiai ir yra lygi, o centras yra ties koordinačių kilmė (žr. 51 pav.).

Braižant hiperbolę naudojant jos lygtį, pirmiausia rekomenduojama sukonstruoti jos asimptotes.

Lygiakraščio hiperbolė. Hiperbolės atveju ji vadinama lygiakrašte; jos lygtis gaunama iš (3) ir turi tokią formą:

Akivaizdu, kad lygiakraštės hiperbolės asimptočių kampiniai koeficientai bus. Vadinasi, lygiakraštės hiperbolės asimptotės yra statmenos viena kitai ir dalija kampus tarp jos simetrijos ašių.

Funkcijos grafiko asimptotės

Funkcijos y = f(x) grafiko asimptotė yra tiesė, turinti savybę, kad atstumas nuo taško (x, f(x)) iki šios tiesės linkęs į nulį, kai grafiko taškas neribotai juda nuo kilmė.

3.10 pav. pateikti grafiniai vertikalių, horizontalių ir įstrižų asimptočių pavyzdžiai.

Grafo asimptočių radimas grindžiamas šiomis trimis teoremomis.

Horizontaliosios asimptotės teorema. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta pakankamai dideliam x ir yra baigtinė funkcijos riba. Tada tiesė y = b yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

komentuoti. Jei tik viena iš ribų yra baigtinė, tai funkcija atitinkamai turi kairiąją arba dešiniąją horizontaliąją asimptotę.

Tuo atveju, kai funkcija gali turėti įstrižą asimptotą.

Pasvirosios asimptotės teorema. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta pakankamai dideliam x ir yra baigtinės ribos . Tada tiesė y = kx + b yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė.

Jokio įrodymo.

Įstrižinė asimptotė, kaip ir horizontali, gali būti dešiniarankė arba kairioji, jei atitinkamų ribų pagrindas yra tam tikro ženklo begalybė.

Funkcijų studijavimas ir jų grafikų sudarymas paprastai apima šiuos veiksmus:

1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį.

2. Išnagrinėkite lyginio ir nelyginio pariteto funkciją.

3. Raskite vertikalius asimptotus, nagrinėdami pertrūkių taškus ir funkcijos elgesį apibrėžimo srities ribose, jei jie baigtiniai.

4. Išnagrinėję funkcijos elgseną begalybėje, raskite horizontalias arba įstrižas asimptotes.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptotė yra tiesė, turinti savybę, kad atstumas nuo funkcijos grafike esančio taško iki šios tiesės linkęs į nulį, kai grafiko taškas neribotai juda nuo pradžios..

Pagal jų radimo būdus išskiriami trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs, įstrižai.

Akivaizdu, kad horizontalūs yra ypatingi pasvirusių atvejai (prie ).

Funkcijos grafiko asimptočių radimas pagrįstas šiais teiginiais.

1 teorema. Tegu funkcija apibrėžta bent kurioje nors taško pusiau kaimynystėje ir bent viena jos vienpusė riba šiame taške yra begalinė, t.y. išlygintas. Tada tiesi linija yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

Taigi funkcijos grafiko vertikaliųjų asimptočių reikia ieškoti funkcijos nepertraukiamumo taškuose arba jos apibrėžimo srities galuose (jei tai baigtiniai skaičiai).

2 teorema. Tegul funkcija yra apibrėžta argumentų reikšmėms, kurių absoliuti reikšmė yra pakankamai didelė, ir yra baigtinė funkcijos riba . Tada tiesi linija yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Gali atsitikti taip , A , ir yra baigtiniai skaičiai, tada grafikas turi dvi skirtingas horizontalias asimptotes: kairiarankius ir dešiniarankius. Jei egzistuoja tik viena iš baigtinių ribų, tai grafikas turi vieną kairiarankę arba vieną dešiniąją horizontaliąją asimptotę.

3 teorema. Tegul funkcija yra apibrėžta argumento reikšmėms, kurios yra pakankamai didelės absoliučia verte ir yra baigtinės ribos Ir . Tada tiesi linija yra funkcijos grafiko įstrižinė asimptotė.

Atkreipkite dėmesį, kad jei bent viena iš šių ribų yra begalinė, įstrižos asimptotės nėra.

Įstrižinė asimptotė, kaip ir horizontali, gali būti vienpusė.

Pavyzdys. Raskite visas funkcijos grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija apibrėžta adresu . Raskime jo vienpuses ribas taškuose.

Nes Ir (kitų dviejų vienpusių ribų gali neberasti), tada tiesės yra vertikalios funkcijos grafiko asimptotės.

Paskaičiuokime

(taikyti L'Hopital taisyklę) = .

Tai reiškia, kad tiesi linija yra horizontali asimptotė.

Kadangi horizontalioji asimptotė egzistuoja, mes nebeieškome linkusių (jų nėra).

Atsakymas: Grafike yra dvi vertikalios asimptotės ir viena horizontali.

Bendrųjų funkcijų tyrimas y = f(x).

Funkcijos apimtis. Raskite jo apibrėžimo sritį D(f). Jei tai nėra per sunku, naudinga rasti ir diapazoną E(f). (Tačiau daugeliu atvejų kyla klausimas apie radimą E(f) atidedamas, kol bus rastas funkcijos kraštutinumas.)

Ypatingos funkcijos savybės. Išsiaiškinkite bendrąsias funkcijos savybes: lygumą, nelygumą, periodiškumą ir kt. Ne kiekviena funkcija turi tokias savybes kaip lyginė arba nelyginė. Funkcija akivaizdžiai nėra nei lyginė, nei nelyginė, jei jos apibrėžimo sritis yra asimetrinė ašies taško 0 atžvilgiu Jautis. Lygiai taip pat bet kurios periodinės funkcijos apibrėžimo sritį sudaro arba visa realioji ašis, arba periodiškai pasikartojančių intervalų sistemų sąjunga.

Vertikalios asimptotės. Sužinokite, kaip funkcija elgiasi, kai argumentas artėja prie apibrėžimo srities ribinių taškų D(f), jei tokie ribiniai taškai yra. Tokiu atveju gali atsirasti vertikalių asimptotų. Jei funkcija turi nenutrūkstamų taškų, kuriuose ji nėra apibrėžta, šiuose taškuose taip pat reikia patikrinti, ar nėra funkcijos vertikalių asimptočių.

Įstrižos ir horizontalios asimptotės. Jei apibrėžimo sritis D(f) apima (a;+) arba (−;b) formos spindulius, tuomet galite pabandyti surasti atitinkamai x+ arba x− įstrižus asimptotes (arba horizontalias asimptotes), t.y. rasti limxf (x). Įstrižai asimptotai: y = kx + b, kur k=limx+xf(x) ir b=limx+(f(x)−x). Asimptotės yra horizontalios: y = b, kur limxf(x)=b.

Grafiko susikirtimo su ašimis taškų radimas. Grafiko susikirtimo su ašimi taško radimas Oy. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti vertę f(0). Taip pat raskite grafiko susikirtimo su ašimi taškus Jautis, kodėl reikia rasti lygties šaknis f(x) = 0 (arba įsitikinkite, kad nėra šaknų). Lygtį dažnai galima išspręsti tik apytiksliai, tačiau šaknų atskyrimas padeda geriau suprasti grafiko struktūrą. Toliau reikia nustatyti funkcijos ženklą intervaluose tarp šaknų ir lūžio taškų.

Grafiko susikirtimo su asimptote taškų radimas. Kai kuriais atvejais gali prireikti rasti būdingus grafiko taškus, kurie nebuvo paminėti ankstesnėse pastraipose. Pavyzdžiui, jei funkcija turi pasvirusią asimptotę, galite pabandyti išsiaiškinti, ar grafike yra susikirtimo taškų su šia asimptote.

Išgaubto ir įgaubto intervalų radimas. Tai daroma nagrinėjant antrosios išvestinės f(x) ženklą. Raskite vingio taškus išgaubtų ir įgaubtų intervalų sandūrose. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę vingio taškuose. Jei funkcija turi kitų tęstinumo taškų (išskyrus vingio taškus), kuriuose antroji išvestinė yra 0 arba neegzistuoja, tada šiuose taškuose taip pat naudinga apskaičiuoti funkcijos reikšmę. Radę f(x) išsprendžiame nelygybę f(x)0. Kiekviename sprendimo intervale funkcija bus išgaubta žemyn. Išspręsdami atvirkštinę nelygybę f(x)0, randame intervalus, kuriuose funkcija yra išgaubta į viršų (tai yra įgaubta). Posūkio taškus apibrėžiame kaip tuos taškus, kuriuose funkcija keičia išgaubimo kryptį (ir yra ištisinė).