Raskite konkretų tiesinės diferencialinės lygties sprendimą. Paprasčiausių pirmos eilės diferencialinių lygčių sprendimas

Diferencialinių lygčių sprendimas. Mūsų internetinės paslaugos dėka galite išspręsti bet kokio pobūdžio ir sudėtingumo diferencialines lygtis: nevienalytes, vienarūšes, netiesines, tiesines, pirmos, antros eilės, su atskiriamais kintamaisiais arba be jų ir kt. Jūs gaunate diferencialinių lygčių sprendimą analitine forma su išsamiu aprašymu. Daugelis domisi: kodėl diferencialines lygtis reikia spręsti internetu? Tokio tipo lygtys yra labai paplitusios matematikoje ir fizikoje, kur nebus įmanoma išspręsti daugelio problemų neapskaičiavus diferencialinės lygties. Taip pat diferencialinės lygtys yra paplitusios ekonomikos, medicinos, biologijos, chemijos ir kituose moksluose. Tokios lygties sprendimas internete labai palengvina jūsų užduotis, leidžia geriau suprasti medžiagą ir išbandyti save. Diferencialinių lygčių sprendimo internetu pranašumai. Šiuolaikinė matematinių paslaugų svetainė leidžia internetu išspręsti bet kokio sudėtingumo diferencialines lygtis. Kaip žinote, yra daugybė diferencialinių lygčių tipų ir kiekviena iš jų turi savo sprendimus. Mūsų paslaugoje galite rasti bet kokios eilės ir tipo diferencialinių lygčių sprendimą internete. Norėdami gauti sprendimą, siūlome užpildyti pradinius duomenis ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Paslaugos veikimo klaidos neįtraukiamos, todėl galite būti 100% tikri, kad gavote teisingą atsakymą. Išspręskite diferencialines lygtis naudodami mūsų paslaugą. Išspręskite diferencialines lygtis internete. Pagal numatytuosius nustatymus tokioje lygtyje funkcija y yra x kintamojo funkcija. Tačiau taip pat galite nustatyti savo kintamąjį pavadinimą. Pavyzdžiui, jei diferencialinėje lygtyje nurodote y(t), mūsų paslauga automatiškai nustatys, kad y yra t kintamojo funkcija. Visos diferencialinės lygties tvarka priklausys nuo maksimalios funkcijos išvestinės, esančios lygtyje, eilės. Išspręsti tokią lygtį reiškia rasti norimą funkciją. Mūsų paslauga padės išspręsti diferencialines lygtis internetu. Norint išspręsti lygtį, nereikia daug pastangų. Jums tereikia įvesti kairę ir dešinę lygties dalis į reikiamus laukus ir spustelėti mygtuką „Sprendimas“. Įvedant funkcijos išvestinę, ją būtina pažymėti apostrofu. Per kelias sekundes turėsite paruoštą išsamų diferencialinės lygties sprendimą. Mūsų paslauga yra visiškai nemokama. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Jei diferencialinėje lygtyje kairėje yra išraiška, kuri priklauso nuo y, o dešinėje yra išraiška, kuri priklauso nuo x, tai tokia diferencialinė lygtis vadinama atskiriamais kintamaisiais. Kairėje pusėje gali būti y išvestinė, tokio tipo diferencialinių lygčių sprendimas bus y funkcijos forma, išreiškiamas per dešinės lygties pusės integralą. Jei kairėje pusėje yra y funkcijos diferencialas, tai abi lygties dalys yra integruotos. Kai diferencialinės lygties kintamieji nėra atskirti, juos reikės padalyti, kad būtų gauta atskirta diferencialinė lygtis. Tiesinė diferencialinė lygtis. Diferencialinė lygtis vadinama tiesine, kurioje funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio. Bendroji lygties forma: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ir a1(x) yra ištisinės x funkcijos. Šio tipo diferencialinių lygčių sprendimas redukuojamas į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais integravimą. Diferencialinės lygties tvarka. Diferencialinė lygtis gali būti pirmos, antros, n-osios eilės. Diferencialinės lygties tvarka nustato joje esančios aukščiausios išvestinės eilės tvarką. Mūsų paslaugoje galite išspręsti internetines pirmosios, antrosios, trečiosios ir kt. diferencialines lygtis. įsakymas. Lygties sprendimas bus bet kuri funkcija y=f(x), kurią pakeitę į lygtį, gausite tapatybę. Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas integravimu. Cauchy problema. Jei, be pačios diferencialinės lygties, yra nurodyta pradinė sąlyga y(x0)=y0, tai vadinama Koši problema. Rodikliai y0 ir x0 pridedami prie lygties sprendinio ir nustatoma savavališkos konstantos C reikšmė, o tada konkretus lygties sprendimas šiai C vertei. Tai yra Koši uždavinio sprendimas. Koši problema taip pat vadinama ribinių sąlygų problema, kuri labai paplitusi fizikoje ir mechanikoje. Taip pat turite galimybę nustatyti Koši problemą, tai yra, iš visų galimų lygties sprendinių pasirinkti konkretų, kuris atitinka nurodytas pradines sąlygas.

Diferencialinė lygtis yra lygtis, apimanti funkciją ir vieną ar daugiau jos išvestinių. Daugumoje praktinių uždavinių funkcijos yra fizikiniai dydžiai, išvestinės atitinka šių dydžių kitimo greičius, o lygtis lemia ryšį tarp jų.

Šiame straipsnyje aptariami kai kurių tipų paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo būdai, kurių sprendinius galima parašyti forma elementarios funkcijos, tai yra daugianario, eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės funkcijos, taip pat jų atvirkštinės funkcijos. Daugelis šių lygčių pasitaiko realiame gyvenime, nors daugumos kitų diferencialinių lygčių šiais metodais išspręsti nepavyksta, o jų atsakymas rašomas kaip specialiosios funkcijos arba laipsnių eilutės arba randamas skaitiniais metodais.

Norėdami suprasti šį straipsnį, turite žinoti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, taip pat šiek tiek suprasti dalines išvestis. Taip pat rekomenduojama žinoti tiesinės algebros pagrindus, taikomus diferencialinėms lygtims, ypač antros eilės diferencialinėms lygtims, nors joms išspręsti pakanka žinių apie diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Preliminari informacija

• Diferencialinės lygtys turi plačią klasifikaciją. Šiame straipsnyje kalbama apie įprastos diferencialinės lygtys, tai yra apie lygtis, apimančias vieno kintamojo funkciją ir jo išvestines. Paprastąsias diferencialines lygtis daug lengviau suprasti ir išspręsti nei dalinės diferencialinės lygtys, kurios apima kelių kintamųjų funkcijas. Šiame straipsnyje nenagrinėjamos dalinės diferencialinės lygtys, nes šių lygčių sprendimo būdai dažniausiai nustatomi pagal jų specifinę formą.
  • Žemiau yra keletas įprastų diferencialinių lygčių pavyzdžių.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Žemiau yra keletas dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžių.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\dalinis y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Įsakymas diferencialinė lygtis nustatoma pagal didžiausią į šią lygtį įtrauktą išvestinę eilę. Pirmoji iš aukščiau paminėtų įprastų diferencialinių lygčių yra pirmos eilės, o antroji – antros eilės. Laipsnis Diferencialinės lygties laipsnis vadinamas didžiausia galia, į kurią pakeltas vienas iš šios lygties narių.
  • Pavyzdžiui, žemiau esanti lygtis yra trečios eilės ir antrosios galios.
    • (d 3 ydx 3) 2 + dydx = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dešinėje)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferencialinė lygtis yra tiesinė diferencialinė lygtis jei funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmajame laipsnyje. Priešingu atveju lygtis yra netiesinė diferencialinė lygtis. Tiesinės diferencialinės lygtys yra nuostabios tuo, kad iš jų sprendinių galima sudaryti tiesinius derinius, kurie taip pat bus šios lygties sprendiniai.
  • Žemiau pateikiami keli tiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
  • Žemiau pateikiami keli netiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai. Pirmoji lygtis yra netiesinė dėl sinuso termino.
    • d 2 θ dt 2 + gl sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 xdt 2 + (dxdt) 2 + tx 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Bendras sprendimasĮprasta diferencialinė lygtis nėra unikali, ji apima savavališkos integravimo konstantos. Daugeliu atvejų savavališkų konstantų skaičius yra lygus lygties tvarkai. Praktiškai šių konstantų reikšmės nustatomos pagal duotąsias pradines sąlygas, tai yra pagal funkcijos ir jos išvestinių vertes x = 0. (\displaystyle x=0.) Pradinių sąlygų, kurias reikia rasti, skaičius privatus sprendimas diferencialinė lygtis, daugeliu atvejų taip pat yra lygi šios lygties tvarkai.
  • Pavyzdžiui, šiame straipsnyje bus nagrinėjama toliau pateiktos lygties sprendimas. Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jo bendrame sprendime yra dvi savavališkos konstantos. Norint rasti šias konstantas, būtina žinoti pradines sąlygas x (0) (\displaystyle x(0)) Ir x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Paprastai pradinės sąlygos pateikiamos taške x = 0, (\displaystyle x=0,), nors tai nėra būtina. Šiame straipsnyje taip pat bus aptarta, kaip rasti konkrečius sprendimus tam tikroms pradinėms sąlygoms.
    • d 2 xdt 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Žingsniai

1 dalis

Pirmosios eilės lygtys

Naudojantis šia paslauga, tam tikra informacija gali būti perkelta į „YouTube“.

1. Pirmosios eilės tiesinės lygtys.Šiame skyriuje aptariami pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai bendrais ir ypatingais atvejais, kai kai kurie terminai yra lygūs nuliui. Apsimeskime tai y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ir q (x) (\displaystyle q(x)) yra funkcijos x . (\displaystyle x.)

   D ydx + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x) = 0.) Pagal vieną iš pagrindinių matematinės analizės teoremų funkcijos išvestinės integralas taip pat yra funkcija. Taigi, norint rasti jos sprendimą, pakanka tiesiog integruoti lygtį. Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad skaičiuojant neapibrėžtą integralą atsiranda savavališka konstanta.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x) = 0.) Mes naudojame metodą kintamųjų atskyrimas. Šiuo atveju skirtingi kintamieji perkeliami į skirtingas lygties puses. Pavyzdžiui, galite perkelti visus narius iš y (\displaystyle y)į vieną, o visi nariai su x (\displaystyle x)į kitą lygties pusę. Nariai taip pat gali būti perkelti d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ir d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), kurios yra įtrauktos į išvestines išraiškas, tačiau reikia atsiminti, kad tai tik susitarimas, kuris yra patogus atskiriant sudėtingą funkciją. Šių terminų, kurie vadinami, aptarimas skirtumai, nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį.

   • Pirmiausia turite perkelti kintamuosius priešingose ​​lygybės ženklo pusėse.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integruojame abi lygties puses. Po integravimo abiejose pusėse atsiranda savavališkos konstantos, kurias galima perkelti į dešinę lygties pusę.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.1 pavyzdys. Paskutiniame etape naudojome taisyklę e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ir pakeistas e C (\displaystyle e^(C)) ant C (\displaystyle C), nes tai taip pat yra savavališka integravimo konstanta.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 ydy = sin ⁡ xdx 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(sulygintas) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sulygiuotas)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Norėdami rasti bendrą sprendimą, pristatėme integruojantis veiksnys kaip funkcija x (\displaystyle x) kairę pusę sumažinti į bendrą išvestinę ir taip išspręsti lygtį.

   • Padauginkite abi puses iš μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Norint sumažinti kairę pusę į bendrą išvestinę, reikia atlikti šiuos pakeitimus:
     • ddx (μ y) = d μ dxy + μ dydx = μ dydx + μ py (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Paskutinė lygybė tai reiškia d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tai yra integruojantis veiksnys, kurio pakanka bet kuriai pirmosios eilės tiesinei lygčiai išspręsti. Dabar galime gauti formulę, kaip išspręsti šią lygtį µ , (\displaystyle \mu ,) nors mokymui pravartu atlikti visus tarpinius skaičiavimus.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.2 pavyzdys.Šiame pavyzdyje svarstome, kaip rasti konkretų diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis.
     • tdydt + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) dt = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • ddt (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sulygiuotas)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3 = y(2) = 1+(\frac (C) (4)),\quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Pirmos eilės tiesinių lygčių sprendimas (įrašė Intuit – Nacionalinis atvirasis universitetas).

2. Netiesinės pirmosios eilės lygtys. Šiame skyriuje nagrinėjami kai kurių pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai. Nors nėra bendro tokių lygčių sprendimo metodo, kai kurias iš jų galima išspręsti naudojant toliau nurodytus metodus.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jei funkcija f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) galima suskirstyti į vieno kintamojo funkcijas, tokia lygtis vadinama atskiriama diferencialinė lygtis. Tokiu atveju galite naudoti aukščiau pateiktą metodą:

   • ∫ dyh (y) = ∫ g (x) dx (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • 1.3 pavyzdys.
     • dydx = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ ydy = ∫ x 3 1 + x 4 dx 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) pradėti(sulygiuotas)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^ (2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac () 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sulygiuotas)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Apsimeskime tai g (x , y) (\displaystyle g(x, y)) Ir h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) yra funkcijos x (\displaystyle x) Ir y . (\displaystyle y.) Tada vienalytė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje g (\displaystyle g) Ir h (\displaystyle h) yra vienarūšės funkcijos tas pats laipsnis. Tai yra, funkcijos turi tenkinti sąlygą g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) kur k (\displaystyle k) vadinamas homogeniškumo laipsniu. Bet kuri vienalytė diferencialinė lygtis gali būti pateikta atitinkama kintamųjų pasikeitimas (v = y / x (\displaystyle v=y/x) arba v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertuoti į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

   • 1.4 pavyzdys. Aukščiau pateiktas homogeniškumo aprašymas gali atrodyti neaiškus. Pažvelkime į šią koncepciją su pavyzdžiu.
     • dydx = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pirmiausia reikia pažymėti, kad ši lygtis yra netiesinė y . (\displaystyle y.) Taip pat matome, kad šiuo atveju neįmanoma atskirti kintamųjų. Tačiau ši diferencialinė lygtis yra vienalytė, nes ir skaitiklis, ir vardiklis yra vienarūšiai, kurių laipsnis yra 3. Todėl galime pakeisti kintamuosius v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • dydx = yx − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = vx , dydx = dvdxx + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v) ((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Dėl to turime lygtį v (\displaystyle v) su bendrais kintamaisiais.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tai Bernulio diferencialinė lygtis- ypatingos rūšies netiesinė pirmojo laipsnio lygtis, kurios sprendimas gali būti parašytas naudojant elementariąsias funkcijas.

   • Padauginkite abi lygties puses iš (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − ndydx = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę kairėje pusėje ir lygtį paverčiame tiesine lygtimi y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) kuriuos galima išspręsti aukščiau nurodytais metodais.
     • dy 1 − ndx = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) dydx = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tai visuminė diferencialinė lygtis. Būtina rasti vadinamąjį potenciali funkcija φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), kuris tenkina sąlygą d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Norint įvykdyti šią sąlygą, būtina turėti suminė išvestinė. Suminėje išvestinėje atsižvelgiama į priklausomybę nuo kitų kintamųjų. Norėdami apskaičiuoti bendrą išvestinę priemonę φ (\displaystyle \varphi)įjungta x , (\displaystyle x,) manome, kad y (\displaystyle y) taip pat gali priklausyti nuo x . (\displaystyle x.)
     • d φ dx = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ ydydx (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Terminų palyginimas mums suteikia M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ir N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tai tipiškas rezultatas lygtims su keliais kintamaisiais, kai lygiųjų funkcijų mišrios išvestinės yra lygios viena kitai. Kartais šis atvejis vadinamas Clairaut teorema. Šiuo atveju diferencialinė lygtis yra visų diferencialų lygtis, jei įvykdoma ši sąlyga:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Suminių diferencialų lygčių sprendimo būdas yra panašus į potencialių funkcijų suradimą esant kelioms išvestinėms, kurias trumpai aptarsime. Pirmiausia integruojame M (\displaystyle M)įjungta x . (\displaystyle x.) Tiek, kiek M (\displaystyle M) yra funkcija ir x (\displaystyle x), Ir y , (\displaystyle y,) integruodami gauname nepilną funkciją φ , (\displaystyle \varphi ,) pažymėtas kaip φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatas taip pat apima priklausomą nuo y (\displaystyle y) integracijos konstanta.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) dx = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Po to gauti c (y) (\displaystyle c(y)) galite paimti gautos funkcijos dalinę išvestinę y , (\displaystyle y,) sulyginti rezultatą N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) ir integruoti. Taip pat galima pirmiausia integruoti N (\displaystyle N), o tada paimkite dalinę išvestinę x (\displaystyle x), kuri leis mums rasti savavališką funkciją d(x). (\displaystyle d(x).) Tinka abu būdai, dažniausiai integravimui pasirenkama paprastesnė funkcija.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + dcdy (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ dalinis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5 pavyzdys. Galite paimti dalines išvestines ir patikrinti, ar toliau pateikta lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 xydydx = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) dx = x 3 + xy 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 xy + dcdy (\displaystyle (\begin(sulygintas)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\dalinis \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sulyginta)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jei diferencialinė lygtis nėra visuminė diferencialinė lygtis, kai kuriais atvejais galite rasti integravimo koeficientą, kuris leis jums konvertuoti ją į bendrą diferencialinę lygtį. Tačiau tokios lygtys retai naudojamos praktikoje, nors ir integruojantis veiksnys egzistuoja, sužinok, kad taip atsitinka nelengva, todėl šios lygtys šiame straipsnyje nėra nagrinėjamos.

2 dalis

Antros eilės lygtys

1. Homogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.Šios lygtys plačiai naudojamos praktikoje, todėl jų sprendimas yra itin svarbus. Šiuo atveju kalbame ne apie vienarūšes funkcijas, o apie tai, kad lygties dešinėje pusėje yra 0. Kitame skyriuje parodysime, kaip atitinkama nevienalytis diferencialines lygtis. Žemiau a (\displaystyle a) Ir b (\displaystyle b) yra konstantos.

   D 2 ydx 2 + adydx + by = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Ši diferencialinė lygtis yra nuostabi tuo, kad ją galima labai lengvai išspręsti, jei atkreipsite dėmesį į tai, kokias savybes turėtų turėti jos sprendimai. Iš lygties matyti, kad y (\displaystyle y) o jo išvestinės yra proporcingos viena kitai. Iš ankstesnių pavyzdžių, kurie buvo nagrinėjami skyriuje apie pirmosios eilės lygtis, žinome, kad šią savybę turi tik eksponentinė funkcija. Todėl galima pateikti ansatz(išsamus spėjimas) apie tai, koks bus pateiktos lygties sprendimas.

   • Sprendimas bus eksponentinės funkcijos pavidalu e r x , (\displaystyle e^(rx),) kur r (\displaystyle r) yra konstanta, kurios reikšmę reikia rasti. Pakeiskite šią funkciją į lygtį ir gaukite tokią išraišką
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ši lygtis rodo, kad eksponentinės funkcijos ir daugianario sandauga turi būti lygi nuliui. Yra žinoma, kad jokioms laipsnio reikšmėms eksponentas negali būti lygus nuliui. Taigi darome išvadą, kad daugianomas yra lygus nuliui. Taigi, mes sumažinome diferencialinės lygties sprendimo uždavinį iki daug paprastesnio algebrinės lygties sprendimo uždavinio, kuris vadinamas būdingąja duotos diferencialinės lygties lygtimi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Mes turime dvi šaknis. Kadangi ši diferencialinė lygtis yra tiesinė, jos bendras sprendimas yra tiesinis dalinių sprendinių derinys. Kadangi tai yra antros eilės lygtis, žinome, kad taip yra tikrai bendras sprendimas, o kitų nėra. Griežtesnis to pagrindimas yra teoremos apie sprendimo egzistavimą ir unikalumą, kurias galima rasti vadovėliuose.
   • Naudingas būdas patikrinti, ar du sprendimai yra tiesiškai nepriklausomi, yra apskaičiuoti Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- tai matricos determinantas, kurios stulpeliuose yra funkcijos ir jų eilės išvestinės. Tiesinės algebros teorema teigia, kad Vronskio funkcijos yra tiesiškai priklausomos, jei Vronskio lygis lygus nuliui. Šiame skyriuje galime patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, įsitikindami, kad Vronskio koeficientas nėra nulis. Vronskis svarbus sprendžiant nehomogenines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais parametrų variacijos metodu.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Kalbant apie tiesinę algebrą, visų duotosios diferencialinės lygties sprendinių aibė sudaro vektorinę erdvę, kurios matmuo yra lygus diferencialinės lygties tvarkai. Šioje erdvėje galima pasirinkti pagrindą tiesiškai nepriklausomas sprendimus vienas nuo kito. Tai įmanoma dėl to, kad funkcija y (x) (\displaystyle y(x)) galioja linijinis operatorius. Darinys yra tiesinis operatorius, nes jis paverčia diferencijuojamų funkcijų erdvę į visų funkcijų erdvę. Lygtys vadinamos vienarūšėmis tais atvejais, kai kuriam nors tiesiniam operatoriui L (\displaystyle L) reikia rasti lygties sprendimą L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Dabar pereikime prie kelių konkrečių pavyzdžių. Kelių charakteristikų lygties šaknų atvejis bus nagrinėjamas šiek tiek vėliau, skyrelyje apie eilės mažinimą.

   Jei šaknys r ± (\displaystyle r_(\pm )) yra skirtingi realieji skaičiai, diferencialinė lygtis turi tokį sprendimą

   • y (x) = c 1 er + x + c 2 er − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dvi sudėtingos šaknys. Iš pagrindinės algebros teoremos išplaukia, kad daugianario lygčių su realiaisiais koeficientais sprendiniai turi realias šaknis arba sudaro konjuguotas poras. Todėl jei kompleksinis skaičius r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) tada yra charakteristikos lygties šaknis r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) taip pat yra šios lygties šaknis. Taigi sprendimas gali būti parašytas formoje c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) tačiau tai yra sudėtingas skaičius ir nepageidautinas sprendžiant praktines problemas.

   • Vietoj to galite naudoti Eulerio formulė e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), kuri leidžia rašyti sprendimą trigonometrinių funkcijų forma:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + ic 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Dabar galite vietoj nuolatinio c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) užsirašyti c 1 (\displaystyle c_(1)), ir išraiška i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pakeistas c 2 . (\displaystyle c_(2).) Po to gauname tokį sprendimą:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Yra ir kitas būdas rašyti sprendimą pagal amplitudę ir fazę, kuris labiau tinka fizinėms problemoms spręsti.
   • 2.1 pavyzdys. Raskime toliau pateiktos diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis. Tam reikia paimti gautą tirpalą, taip pat jo vedinys, ir pakeiskite jas į pradines sąlygas, kurios leis mums nustatyti savavališkas konstantas.
     • d 2 xdt 2 + 3 dxdt + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(lygied)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end (sulygiuotas)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   N-osios eilės diferencialinių lygčių sprendimas su pastoviais koeficientais (įrašė Intuit - Nacionalinis atvirasis universitetas).

2. Sumažinimo tvarka. Eilės redukcija yra diferencialinių lygčių sprendimo metodas, kai žinomas vienas tiesiškai nepriklausomas sprendimas. Šis metodas susideda iš lygties eilės sumažinimo vienu, o tai leidžia išspręsti lygtį naudojant ankstesniame skyriuje aprašytus metodus. Tegul sprendimas būna žinomas. Pagrindinė užsakymo mažinimo idėja yra rasti sprendimą žemiau esančioje formoje, kur reikia apibrėžti funkciją v (x) (\displaystyle v(x)), pakeičiant jį į diferencialinę lygtį ir surandant v(x). (\displaystyle v(x).) Panagrinėkime, kaip eilės mažinimas gali būti naudojamas diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais ir keliomis šaknimis išspręsti.

   
   

   Kelios šaknys vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Prisiminkite, kad antros eilės lygtis turi turėti du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Jei charakteristikos lygtis turi kelias šaknis, sprendinių aibė ne sudaro erdvę, nes šie sprendimai yra tiesiškai priklausomi. Šiuo atveju, norint rasti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, reikia naudoti eilės mažinimą.

   • Tegul būdingoji lygtis turi kelias šaknis r (\displaystyle r). Manome, kad antrasis sprendimas gali būti parašytas kaip y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ir pakeiskite jį į diferencialinę lygtį. Šiuo atveju dauguma terminų, išskyrus terminą su antrąja funkcijos išvestine v , (\displaystyle v,) bus sumažintas.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • 2.2 pavyzdys. Pateikta tokia lygtis, kuri turi kelias šaknis r = – 4. (\displaystyle r=-4.) Keičiant, dauguma terminų atšaukiami.
     • d 2 ydx 2 + 8 dydx + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 xy ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 xy ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(lygied)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\pabaiga (sulygiuota)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 ve − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 ve − 4 x + 16 ve − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sulygintas )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sulygintas)))
   • Kaip ir mūsų ansatz diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais, šiuo atveju tik antroji išvestinė gali būti lygi nuliui. Integruojame du kartus ir gauname norimą išraišką v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Tada bendrąjį diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendinį, jei charakteristikos lygtis turi kelias šaknis, galima parašyti tokia forma. Patogumui galite atsiminti, kad norint gauti tiesinę nepriklausomybę, pakanka tiesiog padauginti antrąjį terminą iš x (\displaystyle x). Šis sprendinių rinkinys yra tiesiškai nepriklausomas, todėl mes radome visus šios lygties sprendimus.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 ydx 2 + p (x) dydx + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Užsakymo sumažinimas taikomas, jei sprendimas žinomas y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), kurį galima rasti arba pateikti problemos teiginyje.

   • Mes ieškome sprendimo formoje y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) ir prijunkite jį prie šios lygties:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Tiek, kiek y 1 (\displaystyle y_(1)) yra diferencialinės lygties sprendimas, visi terminai su v (\displaystyle v) traukiasi. Dėl to jis išlieka pirmos eilės tiesinė lygtis. Norėdami tai pamatyti aiškiau, pakeiskime kintamuosius w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) dx) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jei integralus galima apskaičiuoti, bendrąjį sprendimą gauname kaip elementariųjų funkcijų derinį. Priešingu atveju sprendimas gali būti paliktas vientisa forma.

3. Koši-Eulerio lygtis. Koši-Eulerio lygtis yra antros eilės diferencialinės lygties su kintamieji koeficientai, kurie turi tikslius sprendinius. Ši lygtis praktiškai naudojama, pavyzdžiui, sprendžiant Laplaso lygtį sferinėmis koordinatėmis.

   X 2 d 2 ydx 2 + axdydx + by = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Kaip matote, šioje diferencialinėje lygtyje kiekvienas narys turi galios koeficientą, kurio laipsnis yra lygus atitinkamos išvestinės eilės tvarkai.

   • Taigi, galima bandyti ieškoti sprendimo formoje y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kur apibrėžti n (\displaystyle n), kaip ir mes ieškojome sprendinio tiesinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais eksponentinės funkcijos pavidalu. Po diferenciacijos ir pakeitimo gauname
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Norėdami naudoti charakteringą lygtį, turime manyti, kad x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Taškas x = 0 (\displaystyle x=0) paskambino taisyklingas vienaskaitos taškas diferencialinė lygtis. Tokie taškai svarbūs sprendžiant diferencialines lygtis naudojant laipsnių eilutes. Ši lygtis turi dvi šaknis, kurios gali būti skirtingos ir tikrosios, daugybinės arba sudėtingos konjuguotos.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)

   Dvi skirtingos tikrosios šaknys. Jei šaknys n ± (\displaystyle n_(\pm )) yra tikri ir skirtingi, tada diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dvi sudėtingos šaknys. Jei charakteristikos lygtis turi šaknis n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), sprendimas yra sudėtinga funkcija.

   • Norėdami transformuoti sprendimą į realią funkciją, pakeičiame kintamuosius x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) t.y t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) ir naudokite Eulerio formulę. Panašūs veiksmai buvo atlikti anksčiau apibrėžiant savavališkas konstantas.
     • y (t) = e α t (c 1 e β it + c 2 e − β it) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Tada bendrą sprendimą galima parašyti kaip
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Kelios šaknys. Norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, reikia dar kartą sumažinti tvarką.

   • Reikia nemažai skaičiuoti, bet principas tas pats: pakeičiame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))į lygtį, kurios pirmasis sprendinys yra y 1 (\displaystyle y_(1)). Po redukcijos gaunama tokia lygtis:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tai yra pirmos eilės tiesinė lygtis v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jo sprendimas yra v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Taigi sprendimas gali būti parašytas tokia forma. Tai gana lengva prisiminti – norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, tereikia papildomo termino su ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Nehomogeninės lygtys turi formą L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) kur f (x) (\displaystyle f(x))- vadinamasis nemokamas narys. Remiantis diferencialinių lygčių teorija, šios lygties bendrasis sprendimas yra superpozicija privatus sprendimas y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ir papildomas sprendimas y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tačiau šiuo atveju konkretus sprendimas reiškia ne pradinių sąlygų pateiktą sprendimą, o sprendimą, kuris atsiranda dėl nehomogeniškumo (laisvojo nario). Papildomas sprendimas yra atitinkamos vienalytės lygties, kurioje f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Bendrasis sprendimas yra šių dviejų sprendinių superpozicija, nes L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ir nuo to laiko L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tokia superpozicija iš tiesų yra bendras sprendimas.

   D 2 ydx 2 + adydx + by = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Neapibrėžtų koeficientų metodas. Neapibrėžtų koeficientų metodas naudojamas tais atvejais, kai laisvasis narys yra eksponentinių, trigonometrinių, hiperbolinių ar laipsnių funkcijų derinys. Garantuojama, kad tik šios funkcijos turės baigtinį tiesiškai nepriklausomų išvestinių skaičių. Šiame skyriuje rasime konkretų lygties sprendimą.

   • Palyginkite terminus f (x) (\displaystyle f(x)) su terminais ignoruoti pastovius veiksnius. Galimi trys atvejai.
     • Identiškų narių nėra.Šiuo atveju konkretus sprendimas y p (\displaystyle y_(p)) bus linijinis terminų derinys iš y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) kur n (\displaystyle n) yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius, o šis terminas atitinka vieną būdingosios lygties šaknį. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) sudarys iš funkcijų derinio x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jo tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti terminai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jų tiesiškai nepriklausomi dariniai.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys h (x) , (\displaystyle h(x),) kuris yra kūrinys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) kur n (\displaystyle n) yra lygus 0 arba teigiamam sveikajam skaičiui, ir šis terminas atitinka daugkartinis charakteristikos lygties šaknis. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) yra tiesinis funkcijos derinys x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(kur s (\displaystyle s)- šaknies dauginys) ir jos tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti funkcijos nariai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jo tiesiškai nepriklausomi dariniai.
   • Užsirašykime y p (\displaystyle y_(p)) kaip pirmiau minėtų terminų linijinis derinys. Dėl šių koeficientų tiesiniame derinyje šis metodas vadinamas „neapibrėžtų koeficientų metodu“. Pasirodžius esantiems y c (\displaystyle y_(c)) jų nariai gali būti atmesti dėl savavališkų konstantų buvimo y c . (\displaystyle y_(c).) Po to pakeičiame y p (\displaystyle y_(p))į lygtį ir sulyginti panašius terminus.
   • Mes nustatome koeficientus. Šiame etape gaunama algebrinių lygčių sistema, kurią dažniausiai galima išspręsti be jokių ypatingų problemų. Šios sistemos sprendimas leidžia gauti y p (\displaystyle y_(p)) ir taip išspręskite lygtį.
   • 2.3 pavyzdys. Panagrinėkime nevienalytę diferencialinę lygtį, kurios laisvasis narys turi baigtinį skaičių tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Konkretus tokios lygties sprendimas gali būti rastas neapibrėžtųjų koeficientų metodu.
     • d 2 ydt 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • yc (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t) = Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sulygintas)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ pabaiga (atvejai)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagranžo metodas. Lagranžo metodas, arba savavališkų konstantų variacijos metodas, yra bendresnis nehomogeninių diferencialinių lygčių sprendimo būdas, ypač tais atvejais, kai laisvasis narys neturi baigtinio skaičiaus tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Pavyzdžiui, su nemokamais nariais tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) arba x − n (\displaystyle x^(-n)) norint rasti konkretų sprendimą, būtina naudoti Lagranžo metodą. Lagranžo metodas netgi gali būti naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis su kintamaisiais koeficientais, nors šiuo atveju, išskyrus Cauchy-Eulerio lygtį, jis naudojamas rečiau, nes papildomas sprendimas paprastai neišreiškiamas elementariomis funkcijomis.

   • Tarkime, kad sprendimas turi tokią formą. Jo išvestinė pateikiama antroje eilutėje.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y (x) = v_(1) (x) y_ (1) (x) + v_ (2) (x) y_ (2) (x))
     • y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Kadangi siūlomame sprendime yra du nežinomi kiekiai, būtina nustatyti papildomas sąlyga. Šią papildomą sąlygą pasirenkame tokia forma:
     • v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y"" = v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)"+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)")
   • Dabar galime gauti antrą lygtį. Pakeitę ir perskirstę narius, galite sugrupuoti narius su 1 versija (\displaystyle v_(1)) ir nariai iš 2 versija (\displaystyle v_(2)). Šios sąlygos atšaukiamos, nes y 1 (\displaystyle y_(1)) Ir y 2 (\displaystyle y_(2)) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendiniai. Dėl to gauname tokią lygčių sistemą
     • v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 v 1 "y 1" + v 2 "y 2 " = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(sulygiuotas)))
   • Šią sistemą galima paversti formos matricine lygtimi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kurio sprendimas yra x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Dėl matricos 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) atvirkštinė matrica randama dalijant iš determinanto, permutuojant įstrižainės elementus ir apverčiant neįstrižainių elementų ženklą. Tiesą sakant, šios matricos determinantas yra Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Išraiškos, skirtos 1 versija (\displaystyle v_(1)) Ir 2 versija (\displaystyle v_(2)) yra išvardyti žemiau. Kaip ir eiliškumo mažinimo metodu, šiuo atveju integravimo metu atsiranda savavališka konstanta, kuri apima papildomą sprendinį bendrame diferencialinės lygties sprendime.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) dx (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) dx (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x) (\mathrm (d) )x)
   
   Nacionalinio atvirojo universiteto „Intuit“ paskaita „N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais“.

Praktinis naudojimas

Diferencialinės lygtys nustato ryšį tarp funkcijos ir vienos ar kelių jos išvestinių. Kadangi tokie ryšiai yra tokie įprasti, diferencialinės lygtys buvo plačiai taikomos įvairiose srityse, o kadangi gyvename keturiose dimensijose, šios lygtys dažnai yra diferencialinės lygtys. privatus dariniai. Šiame skyriuje aptariamos kai kurios svarbiausios tokio tipo lygtys.

• Eksponentinis augimas ir nykimas. radioaktyvusis skilimas. Sudėtinės palūkanos. Cheminių reakcijų greitis. Vaistų koncentracija kraujyje. Neribotas gyventojų skaičiaus augimas. Niutono-Richmanno dėsnis. Realiame pasaulyje yra daug sistemų, kuriose augimo ar nykimo greitis bet kuriuo metu yra proporcingas tuo metu esančiai sumai arba gali būti gerai apytikslis modeliu. Taip yra todėl, kad šios diferencialinės lygties sprendimas, eksponentinė funkcija, yra viena iš svarbiausių matematikos ir kitų mokslų funkcijų. Apskritai, kontroliuojant gyventojų skaičiaus augimą, sistemoje gali būti papildomų terminų, kurie riboja augimą. Žemiau pateiktoje lygtyje konstanta k (\displaystyle k) gali būti didesnis arba mažesnis už nulį.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoninės vibracijos. Tiek klasikinėje, tiek kvantinėje mechanikoje harmoninis osciliatorius yra viena iš svarbiausių fizinių sistemų dėl savo paprastumo ir plataus pritaikymo sudėtingesnėms sistemoms, tokioms kaip paprasta švytuoklė, aproksimuoti. Klasikinėje mechanikoje harmoniniai svyravimai apibūdinami lygtimi, kuri pagal Huko dėsnį susieja materialaus taško padėtį su jo pagreičiu. Šiuo atveju taip pat galima atsižvelgti į slopinimą ir varomąsias jėgas. Žemiau esančioje išraiškoje x ˙ (\displaystyle (\taškas (x)))- laiko išvestinė iš x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) yra parametras, apibūdinantis slopinimo jėgą, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- sistemos kampinis dažnis, F (t) (\displaystyle F(t)) yra nuo laiko priklausoma varomoji jėga. Harmoninis osciliatorius taip pat yra elektromagnetinėse virpesių grandinėse, kur jis gali būti įgyvendintas tiksliau nei mechaninėse sistemose.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\taškas (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Beselio lygtis. Beselio diferencialinė lygtis naudojama daugelyje fizikos sričių, įskaitant bangų lygties sprendimą, Laplaso lygtį ir Šriodingerio lygtį, ypač esant cilindrinei arba sferinei simetrijai. Ši antros eilės diferencialinė lygtis su kintamaisiais koeficientais nėra Cauchy-Eulerio lygtis, todėl jos sprendiniai negali būti užrašyti kaip elementarios funkcijos. Beselio lygties sprendiniai yra Beselio funkcijos, kurios yra gerai ištirtos dėl to, kad jos naudojamos daugelyje sričių. Žemiau esančioje išraiškoje α (\displaystyle \alpha ) yra konstanta, kuri atitinka įsakymas Beselio funkcijos.
  • x 2 d 2 ydx 2 + xdydx + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maksvelo lygtys. Kartu su Lorenco jėga Maksvelo lygtys sudaro klasikinės elektrodinamikos pagrindą. Tai yra keturios dalinės diferencialinės lygtys elektrinei E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ir magnetinis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) laukai. Toliau pateiktose išraiškose ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- įkrovos tankis, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) yra srovės tankis ir ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ir μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) yra atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle\c)\dotnabla(sulygiuotas (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sulyginta)))
• Šriodingerio lygtis. Kvantinėje mechanikoje Schrödingerio lygtis yra pagrindinė judėjimo lygtis, apibūdinanti dalelių judėjimą pagal banginės funkcijos pokytį. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) su laiku. Judėjimo lygtis apibūdinama elgesiu Hamiltono H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operatorius, kuris apibūdina sistemos energiją. Vienas iš gerai žinomų Schrödingerio lygties pavyzdžių fizikoje yra lygtis vienai nereliatyvistinei dalelei, kuriai veikia potencialas. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Daugelis sistemų aprašomos nuo laiko priklausoma Schrödingerio lygtimi, kai lygtis yra kairėje E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) kur E (\displaystyle E) yra dalelės energija. Toliau pateiktose išraiškose ℏ (\displaystyle \hbar ) yra sumažinta Planko konstanta.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• bangos lygtis. Neįmanoma įsivaizduoti fizikos ir technologijų be bangų, jų yra visų tipų sistemose. Apskritai bangos apibūdinamos žemiau pateikta lygtimi, kurioje u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) yra norima funkcija ir c (\displaystyle c)- eksperimentiškai nustatyta konstanta. d'Alembertas pirmasis atrado, kad vienmačio atvejo bangos lygties sprendimas yra bet koks funkcija su argumentu x − c t (\displaystyle x-ct), kuris apibūdina savavališką bangą, sklindančią į dešinę. Bendras vienmačio atvejo sprendimas yra tiesinis šios funkcijos derinys su antrąja funkcija su argumentu x + c t (\displaystyle x+ct), kuris apibūdina bangą, sklindančią į kairę. Šis sprendimas pateikiamas antroje eilutėje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes lygtys. Navier-Stokes lygtys apibūdina skysčių judėjimą. Kadangi skysčių yra beveik visose mokslo ir technologijų srityse, šios lygtys yra labai svarbios orų prognozavimui, orlaivių dizainui, vandenynų srovėms ir daugeliui kitų pritaikymų. Navier-Stokes lygtys yra netiesinės dalinės diferencialinės lygtys ir dažniausiai jas labai sunku išspręsti, nes netiesiškumas sukelia turbulenciją, o norint gauti stabilų sprendimą skaitiniais metodais, reikia skaidymas į labai mažas ląsteles, o tam reikia didelės skaičiavimo galios. Praktiniais tikslais hidrodinamikoje turbulentinių srautų modeliavimui naudojami tokie metodai kaip laiko vidurkis. Netgi pagrindiniai klausimai, tokie kaip netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sprendimų egzistavimas ir unikalumas, yra sudėtingos problemos, o Navier-Stokes lygčių trijų dimensijų sprendimų egzistavimo ir unikalumo įrodymas yra viena tūkstantmečio matematinių problemų. . Žemiau yra nesuspaudžiamo skysčio srauto lygtis ir tęstinumo lygtis.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)b )(\dalinis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Daugelio diferencialinių lygčių paprasčiausiai negalima išspręsti aukščiau pateiktais metodais, ypač tais, kurie paminėti paskutiniame skyriuje. Tai taikoma, kai lygtyje yra kintamųjų koeficientų ir ji nėra Cauchy-Eulerio lygtis arba kai lygtis yra netiesinė, išskyrus keletą labai retų atvejų. Tačiau aukščiau pateikti metodai leidžia išspręsti daugybę svarbių diferencialinių lygčių, su kuriomis dažnai susiduriama įvairiose mokslo srityse.
• Skirtingai nuo diferenciacijos, kuri leidžia rasti bet kurios funkcijos išvestinę, daugelio išraiškų integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis. Todėl negaiškite laiko bandydami apskaičiuoti integralą ten, kur tai neįmanoma. Pažvelkite į integralų lentelę. Jei diferencialinės lygties sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, kartais jis gali būti pavaizduotas integralo forma, ir šiuo atveju nesvarbu, ar šį integralą galima apskaičiuoti analitiškai.

Įspėjimai

• Išvaizda diferencialinė lygtis gali būti klaidinanti. Pavyzdžiui, žemiau pateiktos dvi pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmoji lygtis lengvai išsprendžiama naudojant šiame straipsnyje aprašytus metodus. Iš pirmo žvilgsnio nedidelis pakeitimas y (\displaystyle y) ant y 2 (\displaystyle y^(2)) antroje lygtyje jis tampa netiesinis ir tampa labai sunkiai išsprendžiamas.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Šis internetinis skaičiuotuvas leidžia spręsti diferencialines lygtis internete. Pakanka įvesti savo lygtį į atitinkamą lauką, apostrofu pažymint „funkcijos išvestinę“ ir paspausti mygtuką „išspręsti lygtį“. O populiarios „WolframAlpha“ svetainės pagrindu įdiegta sistema pateiks išsamią informaciją. diferencialinės lygties sprendimas visiškai nemokamai. Taip pat galite nustatyti Koši problemą, kad pasirinktumėte iš visų galimų sprendimų rinkinio konkretų, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas. Koši problema įvedama atskirame lauke.

Diferencialinė lygtis

Pagal numatytuosius nustatymus lygtyje funkcija y yra kintamojo funkcija x. Tačiau galite nustatyti savo kintamojo žymėjimą, jei rašysite, pavyzdžiui, y(t) lygtyje, skaičiuotuvas automatiškai atpažins, kad y yra kintamojo funkcija t. Su skaičiuotuvu galite išspręsti diferencialines lygtis bet kokio sudėtingumo ir tipo: vienarūšės ir nehomogeniškos, tiesinės ar netiesinės, pirmos eilės arba antros ir aukštesnės eilės, lygtys su atskiriamais arba neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Sprendimo skirtumas. lygtis pateikta analitine forma, turi išsamų aprašymą. Diferencialinės lygtys yra labai paplitusios fizikoje ir matematikoje. Be jų skaičiavimo neįmanoma išspręsti daugelio problemų (ypač matematinės fizikos).

Vienas iš diferencialinių lygčių sprendimo žingsnių yra funkcijų integravimas. Yra standartiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai. Reikia suvesti lygtis į formą su atskiriamais kintamaisiais y ir x ir atskirai integruoti atskirtas funkcijas. Norėdami tai padaryti, kartais turite atlikti tam tikrą pakeitimą.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimo pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą eiliniam pasauliečiui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo siaubingos ir sunkiai įsisavinamos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip aš visa tai išgyvenčiau?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės neteisingas, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS YRA PAPRASTOS IR NET LINKSINGOS. Ką reikia žinoti ir mokėti spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuzorus, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau neblogų integracijos įgūdžių, tada tema praktiškai įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Reikia daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų bandomuosiuose darbuose yra 3 pirmos eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis, kurią aptarsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Pradedantiesiems studijuoti difuzorius patariu perskaityti pamokas tokia seka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys, kurios redukuoja į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: lygtys suminiuose diferencialuose, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Iš paskutinių dviejų tipų svarbiausios yra lygtys bendruosiuose diferencialuose, nes be šio DE, svarstau apie naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, tada itin greitam paruošimui valgyti žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys:. Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia surasti skaičių rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime, pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas rastas teisingai.

Difuzijos yra išdėstytos panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis ;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmos eilės lygtyse gali nebūti „x“ arba (ir) „y“, tačiau tai nėra būtina – svarbu kad DU buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnio laipsnio vediniai - , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą ( yra savavališka konstanta), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą užrašymą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Būtent tai valdo difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma suskaidyti kintamuosius? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "žaidimai", bet dešinėje pusėje organizuoti tik x. Kintamųjų atskyrimas atliekamas „mokyklinių“ manipuliacijų pagalba: skliausteliuose, terminų perkėlimas iš dalies į dalį su ženklo keitimu, veiksnių perkėlimas iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Šiame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami apvertimo koeficientais pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje – tik „Žaidimas“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinių lygčių integravimas. Tai paprasta, ant abiejų dalių pakabiname integralus:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (nes konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Netiesioginis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra bendrasis integralas.

Atsakymas tokia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai įprasta ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet jokiu būdu ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

T.y, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kam to reikia? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „y“. Mes naudojame logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas atitinka lygtį, kurią reikėjo patikrinti.

Pateikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį .

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, o tiksliau, tiesioginių proporcingumo šeima.

Išsamiai aptarus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivių klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mums pavyko atskirti kintamuosius. Ar visada įmanoma tai padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti atskirti. Pavyzdžiui, į vienarūšės pirmos eilės lygtys pirmiausia reikia pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, tiesinėje nehomogeninėje pirmos eilės lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius triukus ir metodus. Atskiriamos kintamųjų lygtys, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembert ir Cauchy garantuoja... ...ugh, lurkmore. Aš ką tik daug skaičiau, beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, išreikšti "y" aiškiai išreikšta forma? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip aš čia galiu išreikšti „y“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...kol kas gal užteks. Pirmajame pavyzdyje mes susitikome dar vienas svarbus momentas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, tai paliksiu iki kitos pamokos.

Neskubėkime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal sąlygą, kurią reikia rasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Toks klausinėjimas dar vadinamas Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų būti gėdinga, svarbiausia, kad ji turi pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima suskirstyti: berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruojame lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su akcentine žvaigžde, faktas, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar mes bandome paversti bendrąjį integralą į bendrą sprendimą (išreikškite „y“ aiškiai). Prisimename seną, gerą, mokyklą: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip ne košerinė, todėl dažniausiai nuleidžiama iš dangaus į žemę. Detaliau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, pakeiskite ją raide:

Prisiminkite, kad konstantos „griovimas“ yra antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: Tokia graži eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmė sąlygai tenkinti .

Galite tai išdėstyti įvairiais būdais, bet suprantamiausias, ko gero, bus toks. Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviem:



T.y,

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– Tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Konkretaus sprendimo patikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar rastas konkretus sprendimas tikrai tenkina pradinę sąlygą? Vietoj „x“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
- taip, tikrai, buvo gautas dvejetas, o tai reiškia, kad pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Pakeiskite pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertinant, ar kintamuosius galima atskirti? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę su ženklo pakeitimu:

Ir apverčiame veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, artėja teismo diena. Jei gerai neišmokote neapibrėžtieji integralai, išsprendė kelis pavyzdžius, tada nebėra kur dėtis – dabar turite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą rasti lengva, o su kotangento integralu sprendžiame standartinę techniką, kurią aptarėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas Praėjusiais metais:

Dešinėje pusėje yra logaritmas, ir pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Per žinomos savybės maksimaliai „supakuoti“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė sukomplektuota, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar galima išreikšti „y“? Gali. Abi dalys turi būti kvadratinės.

Bet tu neprivalai.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog siaubingai - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome kaip bendrąjį integralą. Manoma, kad gera forma pateikti ją formoje, tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bet kurios lygties bendrasis integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutapo su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrasis integralas taip pat patikrinamas gana lengvai, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir dalijame iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą. Paleiskite patikrinimą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Primenu, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo suradimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį Nr. 2), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas paprastai atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą . Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą.Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai ir , tai reiškia, kad sprendimas yra supaprastintas. Kintamųjų atskyrimas:

Integruojame lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos sumavimo po diferencialo ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai yra nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime konkretų sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkite, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso tenkina diferencialinę lygtį. Randame išvestinę:

Pažiūrėkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeičiame pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties išreikškite išvestinę, tam visas dalis padalijame iš:

O transformuotame DE pakeičiame gautą konkrečią sprendinį ir rastą išvestinę . Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Išreikškite atsakymą kaip bendrąjį integralą.

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač arbatinukui), kad kintamuosius galima atskirti. Apsvarstykite sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis:. Kaip elgtis toliau, aišku.

2) Pačios integracijos sunkumai. Integralai dažnai atsiranda ne iš paprasčiausių, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, rinkinių ir vadovų sudarytojai yra populiarūs dėl logikos „kadangi diferencialinė lygtis yra paprasta, tada bent jau integralai bus sudėtingesni“.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada yra aiškios pradedantiesiems. Pažvelkime į kitą hipotetinį pavyzdį: . Jame visus terminus patartina padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti į kitą konstantą: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Štai klaidos! Griežtai kalbant, taip. Tačiau žvelgiant iš esmės, klaidų nėra, nes dėl kintamosios konstantos transformacijos vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai vėl yra klaida - dešinėje turėtų būti parašyta . Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra konstanta ( kuri lygiai taip pat įgauna bet kokias vertybes!), todėl dėti "minusą" nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio ir vis tiek jas konvertuodamas nustatysiu skirtingus konstantų indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Paleiskite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Kintamųjų atskyrimas:

Mes integruojame:

Konstanta čia neturi būti apibrėžta logaritmu, nes nieko gero iš to nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, tam abu terminus padauginame iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia jūs gaunate bendrą integralą ir, teisingiau, reikia sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o privatus integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

I. Paprastosios diferencialinės lygtys

1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį x, norima funkcija y ir jo dariniai arba diferencialai.

Simboliškai diferencialinė lygtis parašyta taip:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Diferencialinė lygtis vadinama įprasta, jei norima funkcija priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo.

Išspręsdami diferencialinę lygtį vadinama tokia funkcija, kuri šią lygtį paverčia tapatybe.

Diferencialinės lygties tvarka yra šios lygties aukščiausios išvestinės eilės tvarka

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį

Šios lygties sprendimas yra funkcija y = 5 ln x. Iš tiesų, pakeičiant y"į lygtį gauname tapatybę.

O tai reiškia, kad funkcija y = 5 ln x– yra šios diferencialinės lygties sprendinys.

2. Apsvarstykite antros eilės diferencialinę lygtį y" – 5y" + 6y = 0. Funkcija yra šios lygties sprendimas.

Tikrai,.

Pakeitę šias išraiškas į lygtį, gauname: , - tapatybę.

Ir tai reiškia, kad funkcija yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

Diferencialinių lygčių integravimas yra diferencialinių lygčių sprendimų paieškos procesas.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas vadinama formos funkcija , kuri apima tiek nepriklausomų savavališkų konstantų, kiek yra lygties tvarka.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendiniu, gautu iš bendro sprendimo skirtingoms savavališkų konstantų skaitinėms vertėms. Savavališkų konstantų reikšmės randamos esant tam tikroms pradinėms argumento ir funkcijos reikšmėms.

Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pavyzdžiai

1. Raskite konkretų pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą

xdx + ydy = 0, jei y= 4 val x = 3.

Sprendimas. Integruodami abi lygties puses, gauname

komentuoti. Savavališka konstanta C, gauta integruojant, gali būti pavaizduota bet kokia forma, patogia tolimesnėms transformacijoms. Šiuo atveju, atsižvelgiant į kanoninę apskritimo lygtį, savavališką konstantą С patogu pavaizduoti formoje .

yra bendras diferencialinės lygties sprendinys.

Tam tikras lygties sprendimas, tenkinantis pradines sąlygas y = 4 val x = 3 randamas iš bendrosios, pradines sąlygas pakeitus bendruoju sprendiniu: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Į bendrąjį sprendinį pakeitę C=5, gauname x2+y2 = 5 2 .

Tai yra specialus diferencialinės lygties sprendimas, gautas iš bendrojo sprendimo tam tikromis pradinėmis sąlygomis.

2. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį

Šios lygties sprendimas yra bet kuri formos funkcija, kur C yra savavališka konstanta. Iš tiesų, pakeisdami lygtis, gauname: , .

Todėl ši diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių, nes skirtingoms konstantos C reikšmėms lygybė nustato skirtingus lygties sprendinius.

Pavyzdžiui, tiesioginiu pakeitimu galima patikrinti, ar funkcijos veikia yra lygties sprendiniai.

Problema, kurioje reikia rasti tam tikrą lygties sprendimą y" = f(x, y) tenkinantis pradinę sąlygą y(x0) = y0, vadinama Koši problema.

Lygties sprendimas y" = f(x, y), atitinkantys pradinę sąlygą, y(x0) = y0, vadinamas Koši problemos sprendimu.

Koši uždavinio sprendimas turi paprastą geometrinę reikšmę. Iš tiesų, pagal šiuos apibrėžimus, išspręsti Koši problemą y" = f(x, y) su salyga y(x0) = y0, reiškia lygties integralinės kreivės radimą y" = f(x, y) kuris eina per tam tikrą tašką M0 (x0,y 0).

II. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

2.1. Pagrindinės sąvokos

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos lygtis F(x,y,y") = 0.

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis apima pirmąją išvestinę ir neapima aukštesnės eilės išvestinių.

Lygtis y" = f(x, y) vadinama pirmosios eilės lygtimi, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurioje yra viena savavališka konstanta.

Pavyzdys. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį.

Šios lygties sprendimas yra funkcija .

Iš tiesų, šią lygtį pakeitę jos verte, gauname

t.y 3x = 3x

Todėl funkcija yra bendras bet kurios konstantos C lygties sprendimas.

Raskite konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą y(1)=1 Pradinių sąlygų pakeitimas x = 1, y = 1į bendrąjį lygties sprendinį gauname iš kur C=0.

Taigi, mes gauname konkretų sprendimą iš bendrojo, pakeisdami į šią lygtį gautą reikšmę C=0 yra privatus sprendimas.

2.2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais yra tokios formos lygtis: y"=f(x)g(y) arba per diferencialus, kur f(x) Ir g(y) suteikiamos funkcijos.

Tiems y, kuriam , lygtis y"=f(x)g(y) yra lygiavertis lygčiai kuriame kintamasis y yra tik kairėje pusėje, o kintamasis x yra tik dešinėje. Jie sako: „lygybėje y"=f(x)g(y atskiriant kintamuosius.

Tipo lygtis vadinama atskirtųjų kintamųjų lygtimi.

Integravus abi lygties dalis įjungta x, mes gauname G(y) = F(x) + C yra lygties bendrasis sprendinys, kur G(y) Ir F(x) yra kai kurie antidariniai, atitinkamai, funkcijų ir f(x), C savavališka konstanta.

Pirmos eilės diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo algoritmas

1 pavyzdys

išspręsti lygtį y" = xy

Sprendimas. Funkcijos išvestinė y" pakeisti

mes atskiriame kintamuosius

Integruokime abi lygybės dalis:

2 pavyzdys

2yy" = 1-3x 2, jei y 0 = 3 adresu x0 = 1

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Pavaizduokime jį diferencialais. Norėdami tai padaryti, perrašome šią lygtį į formą Iš čia

Integruodami abi paskutinės lygybės dalis, randame

Pradinių reikšmių pakeitimas x 0 = 1, y 0 = 3 rasti NUO 9=1-1+C, t.y. C = 9.

Todėl norimas dalinis integralas bus arba

3 pavyzdys

Parašykite kreivės, einančios per tašką, lygtį M(2;-3) ir turintys liestinę su nuolydžiu

Sprendimas. Pagal būklę

Tai yra atskiriama kintamųjų lygtis. Padalinę kintamuosius, gauname:

Integravę abi lygties dalis, gauname:

Naudojant pradines sąlygas, x=2 Ir y=-3 rasti C:

Todėl norima lygtis turi formą

2.3. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra formos lygtis y" = f(x)y + g(x)

kur f(x) Ir g(x)- kai kurios nurodytos funkcijos.

Jeigu g(x)=0 tada tiesinė diferencialinė lygtis vadinama vienalyte ir turi tokią formą: y" = f(x)y

Jei tada lygtis y" = f(x)y + g(x) vadinamas heterogenišku.

Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y pateikiama pagal formulę: kur NUO yra savavališka konstanta.

Visų pirma, jei C \u003d 0, tada sprendimas yra y=0 Jei tiesinė vienalytė lygtis turi formą y" = ky kur k yra tam tikra konstanta, tada jos bendrasis sprendinys turi formą: .

Bendrasis tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y + g(x) pateikta pagal formulę ,

tie. yra lygi atitinkamos tiesinės vienalytės lygties bendrojo sprendinio ir šios lygties konkretaus sprendinio sumai.

Tiesinei nehomogeninei formos lygčiai y" = kx + b,

kur k Ir b- kai kurie skaičiai ir konkretus sprendimas bus pastovi funkcija . Todėl bendras sprendimas turi formą .

Pavyzdys. išspręsti lygtį y" + 2y +3 = 0

Sprendimas. Lygtį pavaizduojame formoje y" = -2y - 3 kur k=-2, b=-3 Bendras sprendimas pateikiamas formule .

Todėl kur C yra savavališka konstanta.

2.4. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas Bernulio metodu

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties bendro sprendimo radimas y" = f(x)y + g(x) redukuoja į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais sprendimą, naudojant pakaitalą y=uv, kur u Ir v- nežinomos funkcijos iš x. Šis sprendimo būdas vadinamas Bernulio metodu.

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo algoritmas

y" = f(x)y + g(x)

1. Įveskite pakaitalą y=uv.

2. Išskirkite šią lygybę y"=u"v + uv"

3. Pakaitalas y Ir y"į šią lygtį: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) arba u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Sugrupuokite lygties narius taip u išimkite jį iš skliaustų:

5. Iš skliausto, prilygindami jį nuliui, raskite funkciją

Tai yra atskiriama lygtis:

Padalinkite kintamuosius ir gaukite:

Kur . .

6. Pakeiskite gautą reikšmę vį lygtį (iš 4 punkto):

ir raskite funkciją Tai yra atskiriama lygtis:

7. Bendrąjį sprendimą parašykite tokia forma: , t.y. .

1 pavyzdys

Raskite konkretų lygties sprendimą y" = -2y +3 = 0 jeigu y = 1 adresu x=0

Sprendimas. Išspręskime tai pakeisdami y=uv,.y"=u"v + uv"

Pakeičiant y Ir y"į šią lygtį gauname

Grupuodami antrąjį ir trečiąjį dėmenis kairėje lygties pusėje, išimame bendrą koeficientą u iš skliaustų

Išraišką skliausteliuose prilyginame nuliui ir išsprendę gautą lygtį randame funkciją v = v(x)

Gavome lygtį su atskirtais kintamaisiais. Integruojame abi šios lygties dalis: Raskite funkciją v:

Pakeiskite gautą vertę vį lygtį gauname:

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Integruojame abi lygties dalis: Raskime funkciją u = u(x,c) Raskime bendrą sprendimą: Raskime tam tikrą lygties sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas y = 1 adresu x=0:

III. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

3.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Antros eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, turinti ne aukštesnes nei antrosios eilės išvestines. Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip: F(x,y,y,y") = 0

Bendras antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurią sudaro dvi savavališkos konstantos C1 Ir C2.

Konkretus antrosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra kai kurių savavališkų konstantų verčių sprendimas, gautas iš bendrosios. C1 Ir C2.

3.2. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs santykiai.

Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais vadinama formos lygtimi y" + py" + qy = 0, kur p Ir q yra pastovios vertės.

Antros eilės vienalyčių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmas

1. Parašykite diferencialinę lygtį tokia forma: y" + py" + qy = 0.

2. Sudarykite jos charakteristikos lygtį, pažymėdami y" skersai r2, y" skersai r, y 1: r2 + pr +q = 0