Raskite bendrą tiesinės vienalytės sistemos sprendimą. Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų sprendimas
Mes ir toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijos ant vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Pagal pirmąsias pastraipas medžiaga gali atrodyti nuobodi ir įprasta, tačiau toks įspūdis apgaulingas. Be tolesnio metodų tobulinimo, bus daug naujos informacijos, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.
Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?
Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys Visi sistemos lygtis lygi nuliui. Pavyzdžiui:
Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, vadinamasis trivialus sprendimas 
. Trivialus, tiems, kurie visai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia bespontovoe. Žinoma, ne akademiškai, o suprantamai =) ... Kam plakti, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:
1 pavyzdys
Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica ir elementariųjų transformacijų pagalba įnešti į laiptuotą formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulinės laisvųjų narių stulpelio – nes ką darysite su nuliais, jie liks nuliais: 
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -3.
(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.
Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.
Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama lygiavertė vienalytė sistema 
, ir taikant atvirkštinį Gauso metodo judėjimą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.
Atsakymas: 
Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, jei sistemos matricos rangas(šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju 3 vnt.).
Apšildome ir suderiname radiją prie elementarių transformacijų bangos:
2 pavyzdys
Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą 
Norėdami galutinai pataisyti algoritmą, išanalizuokime paskutinę užduotį:
7 pavyzdys
Išspręskite vienarūšę sistemą, atsakymą parašykite vektorine forma. 
Sprendimas: parašome sistemos matricą ir naudojant elementariąsias transformacijas pateikiame ją į laiptuotą formą: 
(1) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu dėmesį į ne kartą sutiktą techniką, kuri leidžia žymiai supaprastinti šį veiksmą.
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.
(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų pašalintos.
Dėl to gaunama standartinė žingsnių matrica, o sprendimas tęsiamas raižytu takeliu:
– pagrindiniai kintamieji;
yra laisvieji kintamieji.
Pagrindinius kintamuosius išreiškiame laisvaisiais kintamaisiais. Iš 2 lygties:
- pakaitalas 1-oje lygtyje:
Taigi bendras sprendimas yra toks:
Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.
Pakeiskime trejetą verčių 
į bendrą sprendinį ir gauti vektorių, kurio koordinatės tenkina kiekvieną homogeninės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai pageidautina patikrinti kiekvieną gautą vektorių – tai neužims tiek daug laiko, bet sutaupys šimtu procentų nuo klaidų.
Už vertybių trigubą 
rasti vektorių
Ir galiausiai dėl trigubo 
gauname trečiąjį vektorių:
Atsakymas: , kur
Norintys vengti trupmeninių verčių, gali apsvarstyti trynukus 
ir gaukite atsakymą lygiaverte forma:
Kalbant apie trupmenas. Pažiūrėkime į užduotyje gautą matricą 
ir užduoti klausimą – ar galima supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia pirmiausia trupmenomis išreiškėme pagrindinį kintamąjį, po to – pagrindinį kintamąjį trupmenomis ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats lengviausias ir ne pats maloniausias.
Antrasis sprendimas:
Idėja yra pabandyti pasirinkti kitus pagrindinius kintamuosius. Pažiūrėkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebėkime du. Tai kodėl gi ne gauti nulį viršuje? Padarykime dar vieną elementarią transformaciją:
Net mokykloje kiekvienas iš mūsų mokėsi lygtis ir, žinoma, lygčių sistemas. Tačiau nedaugelis žino, kad yra keletas būdų jas išspręsti. Šiandien mes išsamiai išanalizuosime visus linijinių algebrinių lygčių sistemos, kurią sudaro daugiau nei dvi lygybės, sprendimo būdus.
Istorija
Šiandien žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas atsirado senovės Babilone ir Egipte. Tačiau įprastos formos lygybės atsirado po to, kai pasirodė lygybės ženklas „=“, kurį 1556 m. įvedė anglų matematikas Record. Beje, šis ženklas pasirinktas ne be priežasties: jis reiškia du lygiagrečius lygius segmentus. Iš tiesų, geresnio lygybės pavyzdžio nėra.
Šiuolaikinių nežinomųjų ir laipsnių ženklų raidžių pavadinimų įkūrėjas yra prancūzų matematikas, tačiau jo žymėjimai labai skyrėsi nuo šiandieninių. Pavyzdžiui, nežinomo skaičiaus kvadratą jis pažymėjo raide Q (lot. „quadratus“), o kubą – raide C (lot. „cubus“). Šie žymėjimai dabar atrodo nepatogūs, bet tada tai buvo pats suprantamiausias būdas rašyti tiesinių algebrinių lygčių sistemas.
Tačiau tuometinių sprendimo būdų trūkumas buvo tas, kad matematikai laikė tik teigiamas šaknis. Galbūt taip yra dėl to, kad neigiamos vertės neturėjo praktinės naudos. Vienaip ar kitaip, būtent italų matematikai Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Rafaelis Bombelli XVI amžiuje pirmieji galvojo apie neigiamas šaknis. O šiuolaikinis vaizdas, pagrindinis sprendimo būdas (per diskriminantą) buvo sukurtas tik XVII amžiuje Dekarto ir Niutono darbų dėka.
XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Gabrielis Krameris rado naują būdą, kaip palengvinti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Šis metodas vėliau buvo pavadintas jo vardu ir iki šiol jį naudojame. Bet apie Cramerio metodą pakalbėsime kiek vėliau, bet kol kas tiesines lygtis ir jų sprendimo būdus aptarsime atskirai nuo sistemos.
Tiesinės lygtys
Tiesinės lygtys yra paprasčiausios lygybės su kintamuoju (-iais). Jie klasifikuojami kaip algebriniai. parašykite bendrąja forma taip: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ir n * x n \u003d b. Mums reikės jų pavaizdavimo tokia forma, kai toliau sudarome sistemas ir matricas.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos
Šio termino apibrėžimas yra toks: tai lygčių rinkinys, turintis bendrų nežinomųjų ir bendrą sprendimą. Paprastai mokykloje viskas buvo sprendžiama sistemomis su dviem ar net trimis lygtimis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos užrašyti, kad vėliau būtų patogu jas išspręsti. Pirma, tiesinių algebrinių lygčių sistemos atrodys geriau, jei visi kintamieji bus parašyti kaip x su atitinkamu indeksu: 1,2,3 ir pan. Antra, visos lygtys turi būti perkeltos į kanoninę formą: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Po visų šių veiksmų galime pradėti kalbėti apie tai, kaip rasti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Tam labai naudingos matricos.
matricos
Matrica yra lentelė, susidedanti iš eilučių ir stulpelių, o jų sankirtoje yra jos elementai. Tai gali būti konkrečios reikšmės arba kintamieji. Dažniausiai elementams žymėti po jais dedami apatiniai indeksai (pavyzdžiui, 11 arba 23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį, o antrasis - stulpelio numerį. Matricose, kaip ir bet kuriame kitame matematiniame elemente, galite atlikti įvairias operacijas. Taigi galite:
2) Padauginkite matricą iš kurio nors skaičiaus arba vektoriaus.
3) Transponuoti: matricos eilutes paverskite stulpeliais, o stulpelius – eilėmis.
4) Padauginkite matricas, jei vienos iš jų eilučių skaičius lygus kitos stulpelių skaičiui.
Visas šias technikas aptarsime plačiau, nes jos mums pravers ateityje. Atimti ir sudėti matricas yra labai paprasta. Kadangi imame vienodo dydžio matricas, kiekvienas vienos lentelės elementas atitinka kiekvieną kitos elementą. Taigi šiuos du elementus pridedame (atimame) (svarbu, kad jie būtų tose pačiose savo matricų vietose). Dauginant matricą iš skaičiaus arba vektoriaus, tiesiog reikia padauginti kiekvieną matricos elementą iš to skaičiaus (arba vektoriaus). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu kartais tai pamatyti realiame gyvenime, pavyzdžiui, keičiant planšetinio kompiuterio ar telefono orientaciją. Piktogramos darbalaukyje yra matrica, o kai pakeičiate padėtį, ji perkeliama ir tampa platesnė, bet mažėja.
Išanalizuokime tokį procesą kaip Nors mums tai nebus naudinga, bet vis tiek bus naudinga jį žinoti. Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius vienoje lentelėje yra lygus eilučių skaičiui kitoje. Dabar paimkime vienos matricos eilutės elementus, o kitos – atitinkamo stulpelio elementus. Padauginame juos vienas iš kito ir pridedame (tai yra, pavyzdžiui, elementų a 11 ir a 12 sandauga iš b 12 ir b 22 bus lygi: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Taip gaunamas vienas lentelės elementas, kuris panašiu būdu pildomas toliau.
Dabar galime pradėti svarstyti, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema.
Gauso metodas
Ši tema prasideda mokykloje. Mes gerai žinome „dviejų tiesinių lygčių sistemos“ sąvoką ir žinome, kaip jas išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra didesnis nei dvi? Tai mums padės
Žinoma, šį metodą patogu naudoti, jei iš sistemos sudarote matricą. Bet jūs negalite jo pakeisti ir išspręsti gryna forma.
Taigi, kaip šiuo metodu išsprendžiama tiesinių Gauso lygčių sistema? Beje, nors šis metodas pavadintas jo vardu, jis buvo atrastas senovėje. Gaussas siūlo taip: atlikti operacijas su lygtimis, kad galiausiai visa rinkinys būtų sumažintas į laiptuotą formą. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei padėtis teisingai) nuo pirmos lygties iki paskutinės vienas nežinomasis mažėtų. Kitaip tariant, reikia pasirūpinti, kad gautume, tarkime, tris lygtis: pirmoje – trys nežinomieji, antroje – dvi, trečioje – viena. Tada iš paskutinės lygties randame pirmąjį nežinomąjį, jo reikšmę pakeičiame antrąja arba pirmąja lygtimi ir randame likusius du kintamuosius.
Cramerio metodas
Norint įvaldyti šį metodą, labai svarbu įvaldyti matricų sudėties, atimties įgūdžius, taip pat reikia mokėti rasti determinantus. Todėl jei visa tai darysite prastai arba visai nemokate, teks mokytis ir praktikuotis.
Kokia šio metodo esmė ir kaip jį padaryti taip, kad būtų gauta tiesinių Cramerio lygčių sistema? Viskas labai paprasta. Turime sudaryti matricą iš skaitinių (beveik visada) tiesinių algebrinių lygčių sistemos koeficientų. Norėdami tai padaryti, mes tiesiog paimame skaičius priešais nežinomuosius ir pateikiame juos į lentelę tokia tvarka, kokia jie įrašyti sistemoje. Jei prieš skaičių yra ženklas „-“, tada užrašome neigiamą koeficientą. Taigi, sudarėme pirmąją matricą iš nežinomųjų koeficientų, neįskaitant skaičių po lygybės ženklų (natūralu, lygtis turėtų būti sumažinta iki kanoninės formos, kai tik skaičius yra dešinėje, o visi nežinomieji su koeficientai kairėje). Tada reikia sukurti dar kelias matricas – po vieną kiekvienam kintamajam. Norėdami tai padaryti, pirmoje matricoje, savo ruožtu, kiekvieną stulpelį pakeičiame koeficientais skaičių stulpeliu po lygybės ženklo. Taigi gauname keletą matricų ir randame jų determinantus.
Radus determinantus, reikalas mažas. Turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, atitinkančių skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendinius, gautos lentelės determinantą padalijame iš pradinės lentelės determinanto. Gautas skaičius yra vieno iš kintamųjų reikšmė. Panašiai randame visus nežinomuosius.
Kiti metodai
Yra dar keletas būdų, kaip gauti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauso-Jordano metodas, kuris naudojamas kvadratinių lygčių sistemos sprendimams rasti ir taip pat siejamas su matricų naudojimu. Taip pat yra Jacobi metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Jis lengviausiai pritaikomas prie kompiuterio ir naudojamas kompiuterinėse technologijose.
Sunkūs atvejai
Sudėtingumas paprastai atsiranda, kai lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Tada galime tvirtai pasakyti, kad arba sistema yra nenuosekli (tai yra, ji neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei turime antrąjį atvejį, tai turime užrašyti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendinį. Jame bus bent vienas kintamasis.
Išvada
Štai priėjome pabaigą. Apibendrinkime: išanalizavome, kas yra sistema ir matrica, išmokome rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, buvo svarstomi ir kiti variantai. Sužinojome, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema: Gauso metodu ir Kalbėjomės apie sudėtingus atvejus ir kitus sprendimų paieškos būdus.
Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite ją geriau suprasti, patariame paskaityti daugiau specializuotos literatūros.
Leisti būti M 0 yra vienalytės tiesinių lygčių sistemos (4) sprendinių aibė.
Apibrėžimas 6.12. Vektoriai iš 1 ,iš 2 , …, su p, kurios yra vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai, vadinami esminis sprendimų rinkinys(sutrumpintai FNR), jei
1) vektoriai iš 1 ,iš 2 , …, su p tiesiškai nepriklausomas (tai yra, nė vienas iš jų negali būti išreikštas kitais);
2) bet kuris kitas vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinys gali būti išreikštas sprendiniais iš 1 ,iš 2 , …, su p.
Atkreipkite dėmesį, kad jei iš 1 ,iš 2 , …, su p yra tam tikras f.n.r., tada pagal išraišką k 1× iš 1 + k 2× iš 2 + … + kp× su p gali apibūdinti visą komplektą M 0 sistemos (4) sprendinių, todėl ji vadinama bendras sistemos sprendimo vaizdas (4).
6.6 teorema. Bet kuri neapibrėžta vienalytė tiesinių lygčių sistema turi pagrindinį sprendinių rinkinį.
Būdas rasti pagrindinį sprendimų rinkinį yra toks:
Rasti homogeninės tiesinių lygčių sistemos bendrą sprendinį;
Sukurti ( n – r) šios sistemos daliniai sprendiniai, o laisvųjų nežinomųjų reikšmės turi sudaryti tapatybės matricą;
Užrašykite bendrą įtraukto sprendimo formą M 0 .
6.5 pavyzdys. Raskite šios sistemos pagrindinį sprendimų rinkinį:
Sprendimas. Raskime bendrą šios sistemos sprendimą.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Šioje sistemoje yra penki nežinomieji ( n= 5), iš kurių yra du pagrindiniai nežinomieji ( r= 2), trys laisvi nežinomieji ( n – r), tai yra, pagrindinėje sprendinių aibėje yra trys sprendinių vektoriai. Pastatykime juos. Mes turime x 1 ir x 3 – pagrindiniai nežinomieji, x 2 , x 4 , x 5 - nemokami nežinomieji
Laisvų nežinomųjų vertybės x 2 , x 4 , x 5 sudaro tapatybės matricą E trečioji tvarka. Turite tuos vektorius iš 1 ,iš 2 , iš 3 forma f.n.r. šią sistemą. Tada šios vienalytės sistemos sprendinių rinkinys bus M 0 = {k 1× iš 1 + k 2× iš 2 + k 3× iš 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Dabar išsiaiškinkime homogeninės tiesinių lygčių sistemos nulinių sprendinių egzistavimo sąlygas, kitaip tariant, pamatinės sprendinių aibės egzistavimo sąlygas.
Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinius sprendinius, tai yra, ji yra neapibrėžta, jei
1) pagrindinės sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių;
2) vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių;
3) jei vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui (t. y. | A| = 0).
6.6 pavyzdys. Esant kokiai parametro vertei a vienalytė tiesinių lygčių sistema 
turi nulinius sprendimus?
Sprendimas. Sudarykime pagrindinę šios sistemos matricą ir suraskime jos determinantą: = = 1×(–1) 1+1 × = – bet– 4. Šios matricos determinantas lygus nuliui, kai a = –4.
Atsakymas: –4.
7. Aritmetika n-dimensinė vektorinė erdvė
Pagrindinės sąvokos
Ankstesniuose skyriuose jau susidūrėme su realiųjų skaičių, išdėstytų tam tikra tvarka, sąvoka. Tai eilučių matrica (arba stulpelių matrica) ir tiesinių lygčių sistemos sprendimas su n nežinomas. Šią informaciją galima apibendrinti.
Apibrėžimas 7.1. n-matmenų aritmetinis vektorius vadinamas sutvarkytu rinkiniu n realūs skaičiai.
Reiškia bet= (a 1 , a 2 , …, a n), kur iО R, i = 1, 2, …, n yra bendras vektoriaus vaizdas. Skaičius n paskambino matmuo vektorius, o skaičiai a i jam paskambino koordinates.
Pavyzdžiui: bet= (1, –8, 7, 4, ) yra penkiamatis vektorius.
Viskas paruošta n-dimensiniai vektoriai dažniausiai žymimi kaip R n.
Apibrėžimas 7.2. Du vektoriai bet= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) tokio paties dydžio lygus tada ir tik tada, kai atitinkamos jų koordinatės yra lygios, ty a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Apibrėžimas 7.3.suma du n-dimensiniai vektoriai bet= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) vadinamas vektoriumi a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Apibrėžimas 7.4. dirbti tikras numeris k vienam vektoriui bet= (a 1 , a 2 , …, a n) vadinamas vektoriumi k× bet = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)
Apibrėžimas 7.5. Vektorius apie= (0, 0, …, 0) vadinamas nulis(arba nulinis vektorius).
Nesunku patikrinti, ar vektorių pridėjimo ir jų dauginimo iš tikrojo skaičiaus veiksmai (operacijos) turi šias savybes: a, b, c Î R n, " k, lОR:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + apie = a;
4) a+ (–a) = apie;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Apibrėžimas 7.6. Daug R n su vektorių sudėjimo ir jų dauginimo iš jame pateikto realaus skaičiaus operacijos vadinamos aritmetinė n matmenų vektorinė erdvė.
Matricos duomenys
Raskite: 1) aA - bB,
Sprendimas: 1) Mes randame nuosekliai, naudodamiesi matricos dauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisyklėmis ..
2. Raskite A*B, jei
Sprendimas: naudokite matricos daugybos taisyklę
Atsakymas: 
3. Pateiktoje matricoje raskite mažąjį M 31 ir apskaičiuokite determinantą.
Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš A, determinantas
ištrynus 3 eilutę ir 1 stulpelį. Rasti
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformuokime matricą A nekeisdami jos determinanto (1 eilutėje padarykime nulius)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Dabar apskaičiuojame matricos A determinantą išplėtimu išilgai 1 eilutės
Atsakymas: M 31 = 0, detA = 0
Išspręskite Gauso metodu ir Cramerio metodu.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Sprendimas: Patikrinkime
Galite naudoti Cramerio metodą
Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Taikome Gauso metodą.
Išplėstinę sistemos matricą sumažiname iki trikampės formos.
Skaičiavimų patogumui sukeičiame eilutes:
2-ąją eilutę padauginkite iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir prie 3 pridėkite:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
1-ąją eilutę padauginkite iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir prie antrojo pridėkite:
Dabar pradinę sistemą galima parašyti taip:
x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 – (6 x 3)
Iš 2 eilutės išreiškiame
Iš 1 eilutės išreiškiame
Sprendimas yra tas pats.
Atsakymas: (2; -5; 3)
Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Sprendimas: taikykite Gauso metodą. Išplėstinę sistemos matricą sumažiname iki trikampės formos.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Padauginkite 1 eilutę iš (-11). 2-ąją eilutę padauginkite iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:
| -2 | -2 | -3 | ||
2-ąją eilutę padauginkite iš (-5). Padauginkite 3 eilutę iš (11). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:
Padauginkite 3 eilutę iš (-7). Padauginkite 4 eilutę iš (5). 4-ą eilutę pridėkime prie 3-osios:
Antroji lygtis yra tiesinė likusiųjų dalių kombinacija
Raskite matricos rangą.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Paryškintas minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (ji yra lygi elementų sandaugai, esanti abipusėje įstrižainėje), taigi rang(A) = 2.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Tai apima koeficientus nežinomiems x 1, x 2, o tai reiškia, kad nežinomi x 1, x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3, x 4, x 5 yra laisvi.
Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Nežinomų pašalinimo metodu randame bendras sprendimas:
x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Randame pagrindinę sprendinių sistemą (FSR), kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pamatinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.
Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilučių elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.
Pakanka pateikti laisviesiems nežinomiesiems x 3 ,x 4 ,x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto eilučių, besiskiriančių nuo nulio, ir apskaičiuoti x 1 ,x 2 .
Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.
Bet čia patogiau imti
Mes randame naudodami bendrą sprendimą:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I FSR sprendimas: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II FSR sprendimas: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III FSR sprendimas: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)
6. Duota: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Raskite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Sprendimas: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Atsakymas: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i
Tiesinė lygtis vadinama vienalytis jei jo kirtis lygi nuliui, o kitu atveju nehomogeniška. Sistema, sudaryta iš vienarūšių lygčių, vadinama vienarūše ir turi bendrą formą:
Akivaizdu, kad bet kuri vienalytė sistema yra nuosekli ir turi nulinį (trivialų) sprendimą. Todėl, kalbant apie vienarūšes tiesinių lygčių sistemas, dažnai tenka ieškoti atsakymo į nulinių sprendinių egzistavimo klausimą. Atsakymas į šį klausimą gali būti suformuluotas kaip tokia teorema.
Teorema . Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių .
Įrodymas: Tarkime, kad sistema, kurios rangas yra lygus, turi nulinį sprendimą. Akivaizdu, kad neviršija. Tokiu atveju sistema turi unikalų sprendimą. Kadangi vienalyčių tiesinių lygčių sistema visada turi nulinį sprendimą, būtent nulinis sprendimas bus šis unikalus sprendimas. Taigi nuliniai sprendimai galimi tik .
1 išvada : Vienalytė lygčių sistema, kurioje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, visada turi nulinį sprendinį.
Įrodymas: Jeigu lygčių sistema turi , tai sistemos rangas neviršija lygčių skaičiaus , t.y. . Taigi sąlyga yra įvykdyta, todėl sistema turi nulinį sprendimą.
2 pasekmė : Vienalytė lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos determinantas yra nulis.
Įrodymas: Tarkime tiesinių vienarūšių lygčių sistemą, kurios matrica su determinantu turi nulinį sprendinį. Tada pagal įrodytą teoremą, o tai reiškia, kad matrica yra išsigimusi, t.y. .
Kronecker-Capelli teorema: SLE yra nuoseklus tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus šios sistemos išplėstinės matricos rangui. Sistema ur-th vadinama suderinama, jei ji turi bent vieną sprendimą.Homogeninė tiesinių algebrinių lygčių sistema.
M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų vadinama tiesinių vienarūšių lygčių sistema, jei visi laisvieji nariai lygūs 0. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema visada suderinama, nes jis visada turi bent nulinį sprendimą. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos koeficientų matricos rangas prie kintamųjų yra mažesnis už kintamųjų skaičių, t.y. rangui A (n. Bet koks tiesinis derinys
linijų sistemos sprendiniai. vienalytis ur-ii taip pat yra šios sistemos sprendimas.
Tiesiškai nepriklausomų sprendinių e1, e2,…,ek sistema vadinama fundamentalia, jei kiekvienas sistemos sprendinys yra tiesinis sprendinių derinys. Teorema: jei tiesinių vienarūšių lygčių sistemos kintamųjų koeficientų matricos eilė r yra mažesnė už kintamųjų skaičių n, tai bet kuri fundamentali sistemos sprendinių sistema susideda iš n-r sprendinių. Todėl bendras linijų sistemos sprendimas. viengungis ur-th turi formą: c1e1+c2e2+…+ckek, kur e1, e2,…, ek yra bet kokia pagrindinė sprendinių sistema, c1, c2,…,ck yra savavališki skaičiai ir k=n-r. M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų bendras sprendinys yra lygus sumai
jį atitinkantis sistemos bendras sprendinys yra vienalytis. tiesines lygtis ir savavališką konkretų šios sistemos sprendimą.
7. Linijinės erdvės. Potarpiai. Pagrindas, matmuo. Linijinis apvalkalas. Linijinė erdvė vadinama n matmenų, jei joje yra tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema, o bet kuri daugiau vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Skambina numeriu matmuo (matmenų skaičius) tiesinė erdvė ir žymima . Kitaip tariant, erdvės matmuo yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius toje erdvėje. Jei toks skaičius egzistuoja, tada sakoma, kad erdvė yra baigtinė. Jei bet kuriam natūraliajam skaičiui n erdvėje yra sistema, susidedanti iš tiesiškai nepriklausomų vektorių, tai tokia erdvė vadinama begalinės dimensijos (parašykite: ). Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos baigtinių matmenų erdvės.
n-matės tiesinės erdvės pagrindas yra tvarkinga tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys ( baziniai vektoriai).
8.1 teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu. Jei yra n-matės tiesinės erdvės pagrindas, tada bet kurį vektorių galima pavaizduoti kaip tiesinį bazinių vektorių derinį:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ir, be to, unikaliu būdu, t.y. koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. Kitaip tariant, bet koks erdvės vektorius gali būti išplėstas pagrindu ir, be to, unikaliu būdu.
Iš tiesų, erdvės matmuo yra . Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma (tai yra pagrindas). Sujungus bet kurį vektorių prie pagrindo, gauname tiesiškai priklausomą sistemą (kadangi ši sistema susideda iš vektorių n-matėje erdvėje). Pagal 7 tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių savybę gauname teoremos išvadą.