Švytuoklė visos formulės. Matematinės švytuoklės judėjimo lygtis

Matematinė švytuoklė

Įvadas

Virpesių laikotarpis

išvadas

Literatūra

Įvadas

Dabar jau nebeįmanoma patikrinti legendos apie tai, kaip Galilėjus, stovėdamas maldoje katedroje, atidžiai stebėjo bronzinių sietynų siūbavimą. Stebėjau ir nustatiau laiką, kurį sugaišta šviestuvas judėdamas pirmyn ir atgal. Vėliau šis laikas buvo vadinamas svyravimo periodu. Galilėjus neturėjo laikrodžio, o norėdamas palyginti šviestuvų, pakabintų ant skirtingo ilgio grandinių, svyravimo periodą, naudojo savo pulso dažnį.

Švytuoklės naudojamos laikrodžių greičiui reguliuoti, nes bet kuri švytuoklė turi labai specifinį svyravimo periodą. Švytuoklė taip pat randa svarbių pritaikymų geologiniams tyrimams. Yra žinoma, kad m skirtingos vietos gaublio reikšmės g yra skirtingi. Jie skiriasi tuo, kad Žemė nėra visiškai taisyklinga sfera. Be to, vietovėse, kuriose yra tankių uolienų, pavyzdžiui, kai kurių metalų rūdų, vertė g neįprastai aukštas. Tikslūs matavimai g matematinės švytuoklės pagalba kartais pavyksta aptikti tokias nuosėdas.

Matematinės švytuoklės judėjimo lygtis

Matematinė švytuoklė yra sunkus medžiagos taškas, judantis vertikaliu apskritimu (plokščia matematinė švytuoklė) arba sfera (sferinė švytuoklė). Iš pradžių matematinė švytuoklė gali būti laikoma maža apkrova, pakabinama ant neištęsto ​​lankstaus sriegio.

Panagrinėkime plokščios matematinės švytuoklės judėjimą spindulio apskritimu l centruojamas taške APIE(1 pav.). Nustatysime taško padėtį M(švytuoklė) nuokrypio kampas j spindulys OM nuo vertikalės. Tangento nukreipimas M t link teigiamo kampo j, sudarysime natūraliąją judėjimo lygtį. Ši lygtis sudaryta iš judėjimo lygties

mW=F+N, (1)
Kur F yra aktyvioji jėga, veikianti tašką, ir N- bendravimo reakcija.

1 paveikslas

Lygtį (1) gavome pagal antrąjį Niutono dėsnį, kuris yra pagrindinis dinamikos dėsnis ir teigia, kad materialaus taško impulso laiko išvestinė yra lygi jį veikiančiai jėgai, t.y.

Darant prielaidą, kad masė yra pastovi, ankstesnę lygtį galime pavaizduoti formoje

Kur W yra taško pagreitis.

Taigi (1) lygtis projekcijoje į t ašį suteiks mums vieną iš natūralių lygčių taško judėjimui išilgai tam tikros fiksuotos lygiosios kreivės:

Mūsų atveju gauname projekciją į t ašį

,
Kur m yra švytuoklės masė.

Nuo arba , iš čia randame

.
Sumažinti iki m ir tikėdamas

, (3)
pagaliau turėsime:

,

,

,

. (4)
Pirmiausia panagrinėkime mažų svyravimų atvejį. Tegul pradiniu momentu švytuoklė nukrypsta nuo vertikalės kampu j ir liko be pradinis greitis. Tada pradinės sąlygos bus tokios:

adresu t= 0, . (5)
Iš energetinio integralo:

, (6)
Kur V- potenciali energija ir h yra integravimo konstanta, tai reiškia, kad esant šioms sąlygoms bet kuriuo metu kampas jЈj 0 . Pastovi vertė h nustatyta iš pirminių duomenų. Tarkime, kad kampas j 0 yra mažas (j 0 Ј1); tada kampas j taip pat bus mažas ir galime apytiksliai nustatyti sinj»j. Šiuo atveju (4) lygtis įgis tokią formą

. (7)
(7) lygtis yra diferencialinė lygtis paprasta harmoninė vibracija. Bendras sprendimasši lygtis turi formą

, (8)
Kur A Ir B arba a ir e yra integracijos konstantos.

Iš čia iškart randame laikotarpį ( T) nedideli matematinės švytuoklės svyravimai (periodas – laiko tarpas, per kurį taškas tokiu pat greičiu grįžta į ankstesnę padėtį)

Ir

,
nes sin periodas lygus 2p, tada w T= 2p Yu

(9)

Norėdami rasti judėjimo dėsnį pradinėmis sąlygomis (5), apskaičiuojame:

. (10)
Pakeitę reikšmes (5) į (8) ir (10) lygtis, gauname:

j 0 = A, 0 = w B,

tie. B=0. Vadinasi, mažų svyravimų judėjimo dėsnis sąlygomis (5) bus toks:

j = j 0 cos wt. (vienuolika)

Dabar suraskime tikslų plokščiosios matematinės švytuoklės problemos sprendimą. Pirmiausia nustatykime judesio (4) lygties pirmąjį integralą. Nes

,
tada (4) gali būti pavaizduotas kaip

.
Taigi, padauginus abi lygties puses iš d j ir integruodami gauname:

. (12)
Pažymime čia j 0 didžiausio švytuoklės įlinkio kampą; tada j = j 0 turėsime, iš kur C= w 2 cosj 0 . Dėl to integralas (12) suteikia:

, (13)
kur w nustatoma lygybe (3).

Šis integralas yra energijos integralas ir gali būti tiesiogiai gaunamas iš lygties

, (14)
kur darbas judant M 0 M aktyvioji jėga F, jei į tai atsižvelgsime mūsų atveju v 0 =0 ir (žr. pav.).

Iš (13) lygties aišku, kad svyruoklei judant kampas j pasikeis tarp +j 0 ir -j 0 (|j|Јj 0, since) reikšmių, t.y. švytuoklė atliks svyruojantį judesį. Susitarkime suskaičiuoti laiką t nuo to momento, kai švytuoklė praeina per vertikalę O.A. kai jis pasislenka į dešinę (žr. pav.). Tada turėsime pradinę sąlygą:

adresu t=0, j=0. (15)

Be to, judant iš taško A valia ; iš abiejų pusių gaunamos lygybės (13) Kvadratinė šaknis, mes gauname:

.
Atskirdami kintamuosius čia, turime:

. (16)

, ,
Tai

.
Pakeitę šį rezultatą į (16) lygtį, gauname.

Apibrėžimas

Matematinė švytuoklė- tai svyravimo sistema, kuri yra ypatingas fizinės švytuoklės atvejis, kurio visa masė sutelkta viename taške, švytuoklės masės centre.

Paprastai matematinė švytuoklė vaizduojama kaip rutulys, pakabintas ant ilgo nesvario ir netiesiamo sriegio. Tai idealizuota sistema, atliekanti harmoninius svyravimus veikiama gravitacijos. Geras matematinės švytuoklės aproksimacija yra masyvus mažas rutulys, svyruojantis ant plono ilgo sriegio.

Galilėjus pirmasis ištyrė matematinės švytuoklės savybes, ištyręs sietyno siūbavimą ant ilgos grandinės. Jis nustatė, kad matematinės švytuoklės svyravimo periodas nepriklauso nuo amplitudės. Jei paleidžiant švytuoklę ji nukreipiama skirtingais mažais kampais, tada jos svyravimai vyks tuo pačiu laikotarpiu, bet skirtingomis amplitudėmis. Ši savybė vadinama izochronizmu.

Matematinės švytuoklės judėjimo lygtis

Matematinė švytuoklė yra klasikinis harmoninio osciliatoriaus pavyzdys. Jis atlieka harmoninius virpesius, kuriuos apibūdina diferencialinė lygtis:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

čia $\varphi $ – sriegio (pakabos) nuokrypio nuo pusiausvyros padėties kampas.

(1) lygties sprendimas yra funkcija $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

kur $\alpha $ - pradinė fazė dvejonės; $(\varphi )_0$ - svyravimų amplitudė; $(\omega )_0$ – ciklinis dažnis.

Harmoninio osciliatoriaus svyravimai yra svarbus pavyzdys periodinis judėjimas. Osciliatorius tarnauja kaip modelis daugelyje klasikinės ir kvantinės mechanikos problemų.

Matematinės švytuoklės ciklinis dažnis ir svyravimo periodas

Matematinės švytuoklės ciklinis dažnis priklauso tik nuo jos pakabos ilgio:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

Matematinės švytuoklės svyravimų periodas ($T$) šiuo atveju yra lygus:

Išraiška (4) rodo, kad matematinės švytuoklės veikimo laikas priklauso tik nuo jos pakabos ilgio (atstumo nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro) ir sunkio pagreičio.

Matematinės švytuoklės energijos lygtis

Atsižvelgiant į svyravimus mechaninės sistemos su vienu laisvės laipsniu energijos lygtis dažnai laikoma pradine, o ne Niutono judėjimo lygtimis. Kadangi ją lengviau sudaryti, ir tai yra pirmosios eilės lygtis laike. Tarkime, kad sistemoje nėra trinties. Matematinės švytuoklės, atliekančios laisvuosius svyravimus (mažus virpesius), energijos tvermės dėsnį rašome taip:

kur $E_k$ - kinetinė energijašvytuoklė; $E_p$ – potencinė švytuoklės energija; $v$ – švytuoklės greitis; $x$ yra tiesinis švytuoklės svorio poslinkis iš pusiausvyros padėties pagal apskritimo lanką, kurio spindulys $l$, o kampas - poslinkis yra susijęs su $x$ taip:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

Didžiausia matematinės švytuoklės potencinės energijos vertė yra:

Didžiausia kinetinės energijos vertė:

kur $h_m$ yra didžiausias švytuoklės aukštis; $x_m$ – didžiausias švytuoklės nuokrypis nuo pusiausvyros padėties; $v_m=(\omega )_0x_m$ – maksimalus greitis.

Problemų su sprendimais pavyzdžiai

1 pavyzdys

Pratimas. Koks yra maksimalus matematinės švytuoklės rutulio pakilimo aukštis, jei jo judėjimo greitis, kertant pusiausvyros padėtį, buvo $v$?

Sprendimas. Padarykime piešinį.

Tegu rutulio potencinė energija jo pusiausvyros padėtyje (taške 0) lygi nuliui.Šiuo momentu rutulio greitis yra didžiausias ir lygus $v$ pagal uždavinio sąlygas. Rutulio maksimalaus pakilimo virš pusiausvyros padėties taške (taškas A) rutulio greitis lygus nuliui, potenciali energija didžiausia. Užrašykime dviejų nagrinėjamų rutulio padėčių energijos tvermės dėsnį:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

Iš (1.1) lygties randame reikiamą aukštį:

Atsakymas.$h=\frac(v^2)(2g)$

2 pavyzdys

Pratimas. Koks yra gravitacijos pagreitis, jei matematinė švytuoklė, kurios ilgis yra $l=1\ m$, svyruoja periodu, lygiu $T=2\ s$? Matematinės švytuoklės svyravimai yra maži.\textit()

Sprendimas. Kaip pagrindą sprendžiant problemą, imame mažų svyravimų laikotarpio skaičiavimo formulę:

Išreikškime pagreitį iš jo:

Apskaičiuokime pagreitį dėl gravitacijos:

Atsakymas.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$

Fizinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo daugelio aplinkybių: nuo kūno dydžio ir formos, nuo atstumo tarp svorio centro ir pakabos taško ir nuo kūno masės pasiskirstymo šio taško atžvilgiu; Todėl pakabinamo kūno laikotarpio skaičiavimas yra gana sudėtinga užduotis. Su matematine švytuokle situacija paprastesnė. Stebint tokias švytuokles galima nustatyti tokius paprastus dėsnius.

1. Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį (atstumą nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro), pakabinsite skirtingus krovinius, tada svyravimo periodas bus toks pat, nors švytuoklės masės apkrovos labai skirtingos. Matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo apkrovos masės.

2. Jei paleidžiant švytuoklę ją nukreipiame skirtingais (bet ne per dideliais) kampais, tai ji svyruos tuo pačiu periodu, nors ir skirtingomis amplitudėmis. Kol amplitudės nėra per didelės, svyravimai savo forma yra gana artimi harmoninei (§ 5), o matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo svyravimų amplitudės. Ši savybė vadinama izochronizmu (iš graikų kalbos žodžių „isos“ – lygus, „chronos“ – laikas).

Pirmą kartą šį faktą 1655 m. nustatė Galilėjus, tariamai tokiomis aplinkybėmis. Galilėjus Pizos katedroje stebėjo sietyno siūbavimą ant ilgos grandinės, kuri užsidegus buvo stumiama. Tarnybos metu sūpuoklės pamažu nyko (§ 11), tai yra mažėjo virpesių amplitudė, tačiau laikotarpis liko toks pat. Galilėjus naudojo savo pulsą kaip laiko indikatorių.

Dabar išveskime matematinės švytuoklės svyravimo periodo formulę.

Ryžiai. 16. Švytuoklės svyravimai plokštumoje (a) ir judėjimas kūgiu (b)

Švytuoklei siūbuojant, apkrova juda pagreitintai išilgai lanko (16 pav., a), veikiama atkuriamosios jėgos, kuri judant kinta. Apskaičiuoti kūno judėjimą veikiant kintamajai jėgai yra gana sudėtinga. Todėl, siekiant paprastumo, elgsimės taip.

Padarykime, kad švytuoklė svyruotų ne vienoje plokštumoje, o apibūdintų kūgį, kad apkrova judėtų apskritimu (16 pav., b). Šį judėjimą galima gauti pridedant dvi nepriklausomas vibracijas: viena - vis dar brėžinio plokštumoje, o kita - statmenoje plokštumoje. Akivaizdu, kad abiejų šių plokštuminių svyravimų periodai yra vienodi, nes bet kuri svyravimo plokštuma niekuo nesiskiria nuo kitų. Vadinasi, kompleksinio judėjimo – švytuoklės sukimosi išilgai kūgio – laikotarpis bus toks pat kaip vandens plokštumos svyravimo laikotarpis. Šią išvadą galima nesunkiai iliustruoti tiesiogine patirtimi, paėmus dvi vienodas švytuokles ir vienai iš jų svyruojant plokštumoje, o kitai – sukantis kūgiu.

Tačiau „kūginės“ švytuoklės apsisukimo laikotarpis yra lygus apkrovos aprašyto apskritimo ilgiui, padalytam iš greičio:

Jei nuokrypio nuo vertikalės kampas yra mažas (mažos amplitudės), galime manyti, kad atkūrimo jėga nukreipta išilgai apskritimo spindulio, ty lygi įcentrinei jėgai:

Kita vertus, iš trikampių panašumo matyti, kad . Nuo tada iš čia

Prilyginę abi išraiškas viena kitai, gauname cirkuliacijos greitį

Galiausiai, pakeisdami tai laikotarpio išraiška, randame

Taigi matematinės švytuoklės veikimo laikas priklauso tik nuo sunkio pagreičio ir nuo švytuoklės ilgio, t.y. atstumo nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro. Iš gautos formulės išplaukia, kad švytuoklės periodas nepriklauso nuo jos masės ir amplitudės (su sąlyga, kad ji pakankamai maža). Kitaip tariant, skaičiuodami gavome tuos pagrindinius dėsnius, kurie anksčiau buvo nustatyti iš stebėjimų.

Tačiau mūsų teorinė išvada mums suteikia daugiau: ji leidžia nustatyti kiekybinį ryšį tarp švytuoklės periodo, jos ilgio ir gravitacijos pagreičio. Matematinės švytuoklės periodas yra proporcingas švytuoklės ilgio ir sunkio pagreičio santykio kvadratinei šaknei. Proporcingumo koeficientas yra .

Labai tikslus šio pagreičio nustatymo metodas yra pagrįstas švytuoklės periodo priklausomybe nuo gravitacijos pagreičio. Išmatavus švytuoklės ilgį ir nustatant nuo didelis skaičius svyravimų periodą, galime apskaičiuoti naudodami gautą formulę. Šis metodas plačiai naudojamas praktikoje.

Yra žinoma (žr. I tomą, §53), kad gravitacijos pagreitis priklauso nuo vietos geografinės platumos (asigalyje ir ties pusiauju). Tam tikros standartinės švytuoklės svyravimo periodo stebėjimai leidžia ištirti gravitacinio pagreičio pasiskirstymą platumoje. Šis metodas yra toks tikslus, kad jį galima naudoti aptikti subtilesnius vertės skirtumus žemės paviršiuje. Pasirodo, net ir toje pačioje lygiagrečioje vertės skirtinguose žemės paviršiaus taškuose yra skirtingos. Šios gravitacijos pagreičio pasiskirstymo anomalijos yra susijusios su netolygiu tankiu Žemės pluta. Jie naudojami tiriant tankio pasiskirstymą, ypač norint nustatyti bet kokių mineralų atsiradimą žemės plutoje. SSRS vadinamosios Kursko magnetinės anomalijos regione (žr. II tomą, § 130), vadovaujant sovietų fizikui Piotrui Petrovičiui, buvo atlikti platūs gravimetriniai pakeitimai, leidę spręsti apie tankių masių atsiradimą. Lazarevas. Kartu su duomenimis apie žemės anomalijas magnetinis laukasŠie gravimetriniai duomenys leido nustatyti geležies masių, lemiančių Kursko magnetines ir gravitacines anomalijas, pasiskirstymą.

Kaip konkretus pavyzdys kūno, besisukančio apie ašį, apsvarstykite švytuoklių judėjimą.

Fizinė švytuoklė vadinama kietas, turintis horizontalią sukimosi ašį, aplink kurią jis, veikiamas savo svorio, atlieka svyruojančius judesius (119 pav.).

Švytuoklės padėtį visiškai lemia jos nukrypimo nuo pusiausvyros padėties kampas, todėl norint nustatyti švytuoklės judėjimo dėsnį, pakanka rasti šio kampo priklausomybę nuo laiko.

Formos lygtis:

vadinama švytuoklės judėjimo lygtimi (dėsniu). Tai priklauso nuo pradinių sąlygų, ty nuo kampo ir kampinio greičio.

Ribinis fizinės švytuoklės atvejis yra matematinė švytuoklė, vaizduojanti (kaip minėta anksčiau – 2 skyrius, 3 dalis) materialus taškas, sujungta su horizontalia ašimi, aplink kurią sukasi standžiu nesvariu strypu (120 pav.). Matematinės svyruoklės ilgiu vadinamas materialaus taško atstumas nuo sukimosi ašies.

Fizinių ir matematinių švytuoklių judėjimo lygtys

Parinkime tokią koordinačių ašių sistemą, kad xy plokštuma eitų per kūno svorio centrą C ir sutaptų su švytuoklės svyravimo plokštuma, kaip parodyta brėžinyje (119 pav.). Piešimo plokštumai statmeną ašį nukreipkime į save. Tada, remdamiesi ankstesnės pastraipos rezultatais, užrašome fizinės švytuoklės judėjimo lygtį tokia forma:

kur per žymi švytuoklės inercijos momentą jos sukimosi ašies atžvilgiu ir

Todėl galite rašyti:

Švytuoklę veikianti aktyvioji jėga yra jos svoris, kurio momentas svorio ašies atžvilgiu bus:

kur yra atstumas nuo švytuoklės sukimosi ašies iki jos masės centro C.

Taigi gauname tokią fizinės švytuoklės judėjimo lygtį:

Kadangi matematinė švytuoklė yra ypatingas fizinės atvejis, aukščiau parašyta diferencialinė lygtis galioja ir matematinei švytuoklei. Jei matematinės švytuoklės ilgis lygus ir jos svoris, tai jos inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra lygus

Kadangi matematinės švytuoklės svorio centro atstumas nuo ašies yra lygus, galutinę matematinės švytuoklės judėjimo diferencialinę lygtį galima parašyti tokia forma:

Sumažintas fizinės švytuoklės ilgis

Palyginus (16.8) ir (16.9) lygtis, galime daryti išvadą, kad jei fizikinės ir matematinės švytuoklės parametrai yra susiję ryšiu

tada fizikinių ir matematinių švytuoklių judėjimo dėsniai yra vienodi (esant toms pačioms pradinėms sąlygoms).

Paskutinis ryšys nurodo ilgį, kurį turi turėti matematinė švytuoklė, kad ji judėtų taip pat, kaip ir atitinkama fizinė švytuoklė. Šis ilgis vadinamas sumažintu fizinės švytuoklės ilgiu. Šios sąvokos prasmė ta, kad fizikinės švytuoklės judėjimo tyrimą galima pakeisti matematinės švytuoklės, kuri yra paprasta mechaninė grandinė, judėjimo tyrimu.

Pirmasis švytuoklės judėjimo lygties integralas

Fizinių ir matematinių švytuoklių judėjimo lygtys turi tą pačią formą, todėl jų judėjimo lygtis bus

Kadangi vienintelė jėga, į kurią atsižvelgiama šioje lygtyje, yra gravitacijos jėga, priklausanti potencialaus jėgos laukui, galioja mechaninės energijos tvermės dėsnis.

Pastarąjį galima gauti paprastas triukas, padauginkime lygtį (16.10) iš to laiko

Integravę šią lygtį gauname

Iš pradinių sąlygų nustatę integracijos Cu konstantą, randame

Išspręsdami paskutinę santykinio lygtį gauname

Šis ryšys parodo pirmąjį diferencialinės lygties (16.10) integralą.

Fizinių ir matematinių švytuoklių atramos reakcijų nustatymas

Pirmasis judesio lygčių integralas leidžia nustatyti švytuoklių atramos reakcijas. Kaip nurodyta ankstesnėje pastraipoje, atramos reakcijos nustatomos pagal (16.5) lygtis. Fizinės švytuoklės atveju aktyviosios jėgos komponentai išilgai koordinačių ašių ir jos momentai ašių atžvilgiu bus:

Masės centro koordinatės nustatomos pagal formules:

Tada palaikymo reakcijų nustatymo lygtys yra tokios formos:

Pagal uždavinio sąlygas turi būti žinomi kūno išcentriniai inercijos momentai ir atstumai tarp atramų. Kampinis pagreitis b ir kampinis greitis с nustatomi pagal (16.9) ir (16.4) lygtis tokia forma:

Taigi (16.12) lygtys visiškai apibrėžia fizikinės švytuoklės atramos reakcijų komponentus.

Lygtys (16.12) dar labiau supaprastinamos, jei atsižvelgsime į matematinę švytuoklę. Iš tiesų, kadangi matematinės švytuoklės materialusis taškas yra plokštumoje, Be to, kadangi vienas taškas yra fiksuotas, tada (16.12) lygtys virsta formos lygtimis:

Iš lygčių (16.13), naudojant lygtį (16.9), išplaukia, kad atramos reakcija nukreipta išilgai sriegio I (120 pav.). Pastarasis yra akivaizdus rezultatas. Vadinasi, projektuojant lygybių (16.13) dedamąsias į sriegio kryptį, randame formos atramos reakcijos nustatymo lygtį (120 pav.):

Čia pakeičiant vertę ir atsižvelgiant į tai, kad rašome:

Paskutinis ryšys lemia dinaminę matematinės švytuoklės reakciją. Atkreipkite dėmesį, kad jo statinė reakcija bus

Kokybinis švytuoklės judėjimo pobūdžio tyrimas

Pirmasis švytuoklės judėjimo lygties integralas leidžia atlikti kokybinį jos judėjimo pobūdžio tyrimą. Būtent šį integralą (16.11) rašome tokia forma:

Judėjimo metu radikali išraiška kai kuriuose taškuose turi būti teigiama arba išnykti. Tarkime, kad pradinės sąlygos yra tokios, kad

Šiuo atveju radikali išraiška niekur nedingsta. Vadinasi, judant švytuoklė eis per visas kampo reikšmes, o kampinis greitis nuo švytuoklės turi tą patį ženklą, kurį lemia pradinio kampinio greičio kryptis, arba kampas arba padidins visas laiką arba visą laiką mažėti, t.y. švytuoklė suksis į vieną pusę.

Judėjimo kryptys atitiks vieną ar kitą ženklą posakyje (16.11). Būtina sąlyga Tokio judėjimo realizavimas yra pradinio kampinio greičio buvimas, nes iš nelygybės (16.14) aišku, kad jei bet kuriuo pradiniu nuokrypio kampu neįmanoma gauti tokio švytuoklės judėjimo.

Tegul dabar pradinės sąlygos būna tokios

Šiuo atveju yra dvi tokios kampo reikšmės, kai radikali išraiška tampa lygi nuliui. Tegul jie atitinka lygybės apibrėžtus kampus

Be to, jis bus kažkur intervale nuo 0 iki . Be to, akivaizdu, kad kada

radikalioji išraiška (16.11) bus teigiama, o savavališkai mažai viršijus – neigiama.

Vadinasi, švytuoklei judant, jos kampas pasikeičia diapazone:

Kai švytuoklės kampinis greitis pasiekia nulį ir kampas pradeda mažėti iki reikšmės . Šiuo atveju pasikeis kampinio greičio ženklas arba ženklas prieš radikalą išraiškoje (16.11). Kai švytuoklės kampinis greitis vėl pasiekia nulį ir kampas vėl pradeda didėti iki vertės

Taigi švytuoklė atliks svyruojančius judesius

Švytuoklės svyravimų amplitudė

Kai švytuoklė svyruoja, didžiausia jos nuokrypio nuo vertikalės reikšmė vadinama svyravimo amplitude. Tai, kuriai lygi, nustatoma iš lygybės

Kaip seka iš paskutinė formulė, svyravimo amplitudė priklauso nuo pradinių švytuoklės ar sumažinto ilgio pagrindinių charakteristikų duomenų.

Konkrečiu atveju, kai švytuoklė nukrypsta nuo pusiausvyros padėties ir atleidžiama be pradinio greičio, tada ji bus lygi , todėl amplitudė nepriklauso nuo sumažinto ilgio.

Švytuoklės judėjimo lygtis galutinėje formoje

Tegul pradinis švytuoklės greitis lygus nuliui, tada pirmasis jos judėjimo lygties integralas bus:

Integravę šią lygtį, randame

Laiką skaičiuosime nuo švytuoklės padėties, atitinkančios tada

Transformuokime integrandą naudodami formulę:

Tada gauname:

Gautas integralas vadinamas pirmos rūšies elipsiniu integralu. Jo negalima išreikšti naudojant baigtinį elementariųjų funkcijų skaičių.

Elipsinio integralo (16.15) inversija jo viršutinės ribos atžvilgiu parodo švytuoklės judėjimo lygtį:

Tai bus gerai ištirta Jacobi elipsinė funkcija.

Švytuoklės svyravimo laikotarpis

Laikas, kurio reikia vienam visiškam švytuoklės svyravimui, vadinamas jos svyravimo periodu. Pažymime jį T. Kadangi švytuoklės judėjimo iš padėties į padėtį laikas yra toks pat kaip ir judėjimo laikas nuo tada T bus nustatytas pagal formulę:

Pakeiskime kintamuosius įdėdami

Keičiant nuo 0 iki pasikeis iš 0 į . Toliau,

ir todėl

Paskutinis integralas vadinamas pilnu pirmojo tipo elipsiniu integralu (jo reikšmės pateiktos specialiose lentelėse).

Kai integrandas linkęs į vienybę ir .

Apytikslės mažų švytuoklės svyravimų formulės

Tuo atveju, kai švytuoklės svyravimai turi mažą amplitudę (praktiškai neturėtų viršyti 20°), galite įdėti

Tada svyruoklės judėjimo diferencialinė lygtis įgauna tokią formą:

Matematinė švytuoklė vadinti materialųjį tašką, pakabintą ant nesvario ir nepratęsiamo sriegio, pritvirtinto prie pakabos ir esantį gravitacijos (ar kitos jėgos) lauke.

Ištirkime matematinės švytuoklės svyravimus inercinėje atskaitos sistemoje, kurios atžvilgiu jos pakabos taškas yra ramybės būsenoje arba tolygiai juda tiesia linija. Nepaisysime oro pasipriešinimo jėgos (ideali matematinė švytuoklė). Iš pradžių švytuoklė ramybės būsenoje yra pusiausvyros padėtyje C. Šiuo atveju ją veikianti sunkio jėga \(\vec F\) ir sriegio tamprumo jėga \(\vec F_(ynp)\) yra tarpusavyje susiję. kompensuojama.

Išimkime švytuoklę iš pusiausvyros padėties (nukreipdami ją, pavyzdžiui, į A padėtį) ir atleiskime be pradinio greičio (13.11 pav.). Šiuo atveju jėgos \(\vec F\) ir \(\vec F_(ynp)\) nesubalansuoja viena kitos. Tangentinis gravitacijos komponentas \(\vec F_\tau\), veikiantis švytuoklę, tai nurodo tangentinis pagreitis\(\vec a_\tau\) (viso pagreičio, nukreipto išilgai matematinės švytuoklės trajektorijos liestinės, komponentas), o švytuoklė pradeda judėti link pusiausvyros padėties absoliučia verte didėjančiu greičiu. Taigi tangentinis gravitacijos komponentas \(\vec F_\tau\) yra atkuriamoji jėga. Gravitacijos jėgos normalioji dedamoji \(\vec F_n\) nukreipta išilgai sriegio prieš elastinę jėgą \(\vec F_(ynp)\). Jėgų \(\vec F_n\) ir \(\vec F_(ynp)\) rezultatas švytuoklei suteikia normalų pagreitį \(~a_n\), kuris keičia greičio vektoriaus kryptį ir švytuoklė juda išilgai lanko ABCD.

Kuo arčiau svyruoklė priartėja prie pusiausvyros padėties C, tuo mažesnė tangentinio komponento \(~F_\tau = F \sin \alpha\) reikšmė. Pusiausvyros padėtyje ji lygi nuliui, o greitis pasiekia didžiausią reikšmę, o švytuoklė pagal inerciją juda toliau, kildama lanku aukštyn. Šiuo atveju komponentas \(\vec F_\tau\) nukreiptas prieš greitį. Didėjant nuokrypio kampui a, jėgos modulis \(\vec F_\tau\) didėja, o greičio modulis mažėja, o taške D švytuoklės greitis tampa lygus nuliui. Švytuoklė akimirkai sustoja, o tada pradeda judėti priešinga kryptimi pusiausvyros padėčiai. Vėl ją aplenkusi pagal inerciją, švytuoklė, sulėtindama jos judėjimą, pasieks tašką A (trinties nėra), t.y. užbaigs visišką svyravimą. Po to švytuoklės judėjimas bus pakartotas jau aprašyta seka.

Gaukime lygtį, apibūdinančią laisvuosius matematinės švytuoklės svyravimus.

Įleiskite švytuoklę Šis momentas laikas yra taške B. Jo poslinkis S iš pusiausvyros padėties šiuo momentu lygus lanko SV ilgiui (t.y. S = |SV|). Pažymime pakabos sriegio ilgį l, o švytuoklės masė yra m.

Iš 13.11 pav. aišku, kad \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kur \(\alpha =\frac(S)(l).\) Mažais kampais \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Minuso ženklas įdėtas į šią formulę, nes tangentinis gravitacijos komponentas nukreiptas į pusiausvyros padėtį, o poslinkis skaičiuojamas nuo pusiausvyros padėties.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projektuokime šios lygties vektorinius dydžius į matematinės švytuoklės trajektorijos liestinės kryptį

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Iš šių lygčių gauname

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dinaminė matematinės švytuoklės judėjimo lygtis. Matematinės švytuoklės tangentinis pagreitis yra proporcingas jos poslinkiui ir nukreiptas į pusiausvyros padėtį. Šią lygtį galima parašyti kaip\. Palyginus ją su harmoninių svyravimų lygtimi \(~a_x + \omega^2x = 0\) (žr. § 13.3), galime daryti išvadą, kad matematinė švytuoklė atlieka harmoninius svyravimus. O kadangi svarstomi švytuoklės svyravimai įvyko veikiant tik vidinėms jėgoms, tai buvo laisvieji švytuoklės svyravimai. Vadinasi, laisvieji matematinės švytuoklės svyravimai su mažais nuokrypiais yra harmoningi.

Pažymime \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Iš kur \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) yra švytuoklės ciklinis dažnis.

Švytuoklės svyravimo periodas yra \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Todėl,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Ši išraiška vadinama Huygenso formulė. Jis nustato matematinės švytuoklės laisvųjų svyravimų periodą. Iš formulės išplaukia, kad esant mažiems nukrypimo nuo pusiausvyros padėties kampams, matematinės švytuoklės svyravimo periodas: 1) nepriklauso nuo jos masės ir svyravimų amplitudės; 2) proporcinga svyruoklės ilgio kvadratinei šaknei ir atvirkščiai proporcinga gravitacijos pagreičio kvadratinei šaknei. Tai atitinka eksperimentinius mažų matematinės švytuoklės svyravimų dėsnius, kuriuos atrado G. Galilėjus.

Pabrėžiame, kad pagal šią formulę galima skaičiuoti periodą, jei vienu metu tenkinamos dvi sąlygos: 1) švytuoklės svyravimai turi būti nedideli; 2) švytuoklės pakabos taškas turi būti ramybėje arba tolygiai judėti tiesia linija inercinės atskaitos sistemos, kurioje ji yra, atžvilgiu.

Jei matematinės švytuoklės pakabos taškas juda pagreičiu \(\vec a\), tada pasikeičia sriegio įtempimo jėga, dėl kurios keičiasi atkuriamoji jėga, taigi ir svyravimų dažnis bei periodas. Kaip rodo skaičiavimai, švytuoklės svyravimo periodas šiuo atveju gali būti apskaičiuotas naudojant formulę

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

kur \(~g"\) yra "efektyvusis" svyruoklės pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje. Jis lygus gravitacijos pagreičio \(\vec g\) ir vektoriaus, priešingo jam, geometrinei sumai vektorius \(\vec a\), ty jį galima apskaičiuoti naudojant formulę

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatūra

Aksenovičius L. A. Fizika vidurinėje mokykloje: teorija. Užduotys. Testai: Vadovėlis. pašalpa bendrojo lavinimo įstaigoms. aplinka, švietimas / L. A. Aksenovičius, N. N. Rakina, K. S. Farino; Red. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.