Kinetinė energija ir darbas sukimosi judesio metu. Kinetinė energija sukimosi judesio metu

Kinetinė energija yra adityvus dydis. Todėl savavališkai judančio kūno kinetinė energija yra lygi visų n materialių taškų, į kuriuos šį kūną galima mintimis padalyti, kinetinių energijų sumai:

Jei kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį z kampiniu greičiu , tai i-ojo taško tiesinis greitis , Ri yra atstumas iki sukimosi ašies. Vadinasi,

Palyginus ir matyti, kad kūno I inercijos momentas yra inercijos matas sukimosi judesio metu, kaip ir masė m yra inercijos matas transliacinio judėjimo metu.

Bendruoju atveju standaus kūno judėjimas gali būti pavaizduotas kaip dviejų judesių suma – transliacinis greičiu vc ir besisukantis kampiniu greičiu ω aplink momentinę ašį, einantį per inercijos centrą. Tada visa šio kūno kinetinė energija

Čia Ic yra inercijos momentas apie momentinę sukimosi ašį, einantį per inercijos centrą.

Pagrindinis sukamojo judėjimo dinamikos dėsnis.

Sukimosi dinamika

Pagrindinis sukamojo judėjimo dinamikos dėsnis:

arba M = Je, kur M yra jėgos momentas M = [ r F ] , J - inercijos momentas yra kūno judesio momentas.

jei M(išorinis)=0 – kampinio momento likimo dėsnis. - besisukančio kūno kinetinė energija.

rotacinis darbas.

Kampinio momento išsaugojimo dėsnis.

Materialaus taško A kampinis impulsas (impulsas) fiksuoto taško O atžvilgiu yra fizinis dydis, nustatomas vektorine sandauga:

čia r – spindulio vektorius, nubrėžtas iš taško O į tašką A, p=mv – materialaus taško impulsas (1 pav.); L yra pseudovektorius, kurio kryptis sutampa su dešiniojo sraigto transliacinio judėjimo kryptimi jam sukantis nuo r iki p.

Impulso vektoriaus modulis

čia α – kampas tarp vektorių r ir p, l – vektoriaus p petys taško O atžvilgiu.

Kampinis momentas fiksuotos ašies z atžvilgiu yra skaliarinė vertė Lz, lygi kampinio momento vektoriaus projekcijai į šią ašį, apibrėžtą šios ašies savavališko taško O atžvilgiu. Kampinis impulsas Lz nepriklauso nuo taško O padėties z ašyje.

Kai absoliučiai standus kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį z, kiekvienas kūno taškas juda pastovaus spindulio ri apskritimu greičiu vi. Greitis vi ir impulsas mivi yra statmeni šiam spinduliui, ty spindulys yra vektoriaus mivi pečiai. Taigi galime parašyti, kad atskiros dalelės kampinis momentas yra

ir yra nukreiptas išilgai ašies dešiniojo varžto taisyklės nustatyta kryptimi.

Standaus kūno impulsas ašies atžvilgiu yra atskirų dalelių impulsų suma:

Naudodami formulę vi = ωri gauname

Taigi, standaus kūno kampinis momentas apie ašį yra lygus kūno inercijos apie tą pačią ašį momentui, padaugintam iš kampinio greičio. Išskirkime (2) lygtį pagal laiką:

Ši formulė yra dar viena standaus kūno sukimosi apie fiksuotą ašį dinamikos lygties forma: standaus kūno kampinio momento apie ašį išvestinė yra lygi jėgų apie tą pačią ašį momentui.

Galima parodyti, kad galioja vektorių lygybė

Uždaroje sistemoje išorinių jėgų momentas M = 0 ir iš kur

Išraiška (4) yra kampinio momento išsaugojimo dėsnis: uždaros sistemos kampinis impulsas išlieka, t.y. laikui bėgant nekinta.

Kampinio momento išsaugojimo dėsnis, taip pat energijos tvermės dėsnis yra pagrindinis gamtos dėsnis. Jis siejamas su erdvės simetrijos savybe – jos izotropija, ty su fizikinių dėsnių nekintamumu, atsižvelgiant į atskaitos sistemos koordinačių ašių krypties pasirinkimą (atsižvelgiant į uždaros sistemos sukimąsi erdvėje bet koks kampas).

Čia pademonstruosime kampinio momento išsaugojimo dėsnį naudojant Žukovskio suolą. Ant suoliuko sėdintis, aplink vertikalią ašį besisukantis žmogus, ištiestomis rankomis laikantis hantelius (2 pav.), sukamas išoriniu mechanizmu, kurio kampinis greitis ω1. Jei žmogus prispaus hantelius prie kūno, tai sistemos inercijos momentas sumažės. Tačiau išorinių jėgų momentas lygus nuliui, išsaugomas sistemos kampinis momentas ir padidėja sukimosi kampinis greitis ω2. Panašiai gimnastas, šokinėdamas per galvą, pritraukia rankas ir kojas prie kūno, kad sumažintų inercijos momentą ir taip padidintų sukimosi kampinį greitį.

Slėgis skystyje ir dujose.

Dujų molekulės, darančios chaotišką, chaotišką judėjimą, nėra surištos arba gana silpnai surištos sąveikos jėgų, todėl juda beveik laisvai ir dėl susidūrimų išsisklaido į visas puses, tuo pačiu užpildydamos visą joms skirtą tūrį. ty dujų tūris nustatomas pagal tūrinį indą, kurį užima dujos.

O skystis, turėdamas tam tikrą tūrį, įgauna indo, kuriame jis yra, formą. Tačiau skirtingai nuo dujų skysčiuose, vidutinis atstumas tarp molekulių vidutiniškai išlieka pastovus, todėl skysčio tūris yra beveik pastovus.

Skysčių ir dujų savybės daugeliu atžvilgių labai skiriasi, tačiau keliuose mechaniniuose reiškiniuose jų savybes lemia tie patys parametrai ir identiškos lygtys. Dėl šios priežasties hidroaeromechanika yra mechanikos šaka, tirianti dujų ir skysčių pusiausvyrą ir judėjimą, sąveiką tarp jų ir tarp juos tekančių kietųjų kūnų, t.y. taikomas vieningas požiūris į skysčių ir dujų tyrimą.

Mechanikoje skysčiai ir dujos labai tiksliai laikomi ištisiniais, nuolat pasiskirstę jų užimamoje erdvės dalyje. Dujose tankis labai priklauso nuo slėgio. Nustatyta iš patirties. kad skysčio ir dujų suspaudžiamumas dažnai gali būti nepaisomas ir patartina vartoti vieną sąvoką – skysčio nesuspaudžiamumas – visur vienodo tankio skystis, kuris laikui bėgant nekinta.

Dedame jį į ploną plokštę ramybės būsenoje, todėl skysčio dalys, esančios priešingose plokštės pusėse, veiks kiekvieną jos elementą ΔS jėgomis ΔF, kurios bus lygios absoliučia verte ir nukreiptos statmenai vietai. ΔS, neatsižvelgiant į vietos orientaciją, priešingu atveju, esant tangentinėms jėgoms, skysčio dalelės judėtų (1 pav.)

Fizinis dydis, kurį nustato normalioji jėga, veikianti iš skysčio (arba dujų) pusės ploto vienetui, vadinamas slėgiu p / skysčio (arba dujų): p=ΔF / ΔS.

Slėgio vienetas yra paskalis (Pa): 1 Pa yra lygus slėgiui, kurį sukuria 1 N jėga, kuri tolygiai pasiskirsto jam normaliame 1 m2 plote (1 Pa = 1 N/m2).

Slėgis esant skysčių (dujų) pusiausvyrai paklūsta Paskalio dėsniui: slėgis bet kurioje ramybės skysčio vietoje visomis kryptimis yra vienodas, o slėgis vienodai perduodamas per visą tūrį, kurį užima ramybės būsenos skystis.

Ištirkime skysčio svorio įtaką slėgio pasiskirstymui nejudančio nesuspaudžiamo skysčio viduje. Kai skystis yra pusiausvyroje, slėgis išilgai bet kurios horizontalios linijos visada yra vienodas, kitaip nebūtų pusiausvyros. Tai reiškia, kad laisvas skysčio paviršius ramybės būsenoje visada yra horizontalus (neatsižvelgiame į skysčio pritraukimą prie indo sienelių). Jei skystis yra nesuspaudžiamas, tada skysčio tankis nepriklauso nuo slėgio. Tada, esant skysčio kolonėlės skerspjūviui S, jo aukščiui h ir tankiui ρ, svoris yra P=ρgSh, o slėgis apatinėje bazėje yra: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

y., slėgis kinta tiesiškai priklausomai nuo aukščio. Slėgis ρgh vadinamas hidrostatiniu slėgiu.

Pagal (1) formulę slėgio jėga apatinius skysčio sluoksnius bus didesnė nei viršutiniuose, todėl į skystį (dujas) panardintą kūną veikia Archimedo dėsnio nustatyta jėga: plūduriuojantis į viršų. jėga lygi kūno išstumto skysčio (dujų) svoriui: FA=ρgV, čia ρ – skysčio tankis, V – į skystį panardinto kūno tūris.

Besisukančio kūno kinetinės energijos išraiška, atsižvelgiant į tai, kad savavališko materialaus taško, kuris sudaro kūną, linijinis greitis sukimosi ašies atžvilgiu yra lygus, turi tokią formą

kur yra kūno inercijos momentas apie pasirinktą sukimosi ašį, jo kampinis greitis apie šią ašį, kūno judesio momentas apie sukimosi ašį.

Jeigu kūnas atlieka transliacinį sukamąjį judesį, tai kinetinės energijos apskaičiavimas priklauso nuo poliaus, kurio atžvilgiu aprašomas kūno judėjimas, pasirinkimo. Galutinis rezultatas bus toks pat. Taigi, jei apvalaus kūno riedėjimo greičiu v neslystant, kurio spindulys R ir inercijos koeficientas k, polius imamas jo CM taške C, tai jo inercijos momentas ir kampinis sukimosi greitis aplink ašis С. Tada kūno kinetinė energija

Jei polius paimtas kūno ir paviršiaus, per kurį eina momentinė kūno sukimosi ašis, sąlyčio taške O, tai jo inercijos momentas apie ašį O tampa lygus . Tada kūno kinetinė energija, atsižvelgiant į tai, kad kūno sukimosi kampiniai greičiai lygiagrečių ašių atžvilgiu yra vienodi ir kūnas atlieka gryną sukimąsi aplink O ašį, bus lygi . Rezultatas toks pat.

Kūno, atliekančio sudėtingą judesį, kinetinės energijos teorema bus tokia pati kaip ir jo transliacinio judėjimo: .

1 pavyzdys M masės kūnas yra pririštas prie sriegio galo, apvynioto ant cilindrinio R spindulio ir M masės bloko. Kūnas pakeliamas į aukštį h ir paleidžiamas (65 pav.). Po neelastinio sriegio trūktelėjimo korpusas ir blokas iškart pradeda judėti kartu. Kokia šiluma išsiskirs trūkčiojimo metu? Koks bus kūno judėjimo pagreitis ir sriegio įtempimas po trūkčiojimo? Koks bus kūno greitis ir jo nuvažiuotas atstumas po sriegio trūktelėjimo po laiko t?

Duota: M, R, m, h, g, t. Rasti: Q -?, a -?, T -?, v -?, s -?

Sprendimas: Kūno greitis prieš traukiant siūlą. Po sriegio trūkčiojimo blokas ir kūnas pradės suktis apie bloko O ašį ir elgsis kaip kūnai, kurių inercijos momentai apie šią ašį lygūs ir . Jų bendras inercijos momentas apie sukimosi ašį.

Siūlo trūkčiojimas yra greitas procesas ir trūkčiojimo metu vyksta bloko-kūno sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnis, kuris dėl to, kad kūnas ir blokas iškart po trūkčiojimo pradeda judėti kartu. , turi formą: . Iš kur atsiranda pradinis kampinis bloko sukimosi greitis , ir pradinis tiesinis kūno greitis .

Sistemos kinetinė energija dėl jos kampinio momento išsaugojimo iškart po sriegio trūkčiojimo yra lygi . Šiluma, išsiskirianti trūkčiojimo metu pagal energijos tvermės dėsnį

Dinaminės sistemos kūnų judėjimo lygtys po sriegio trūktelėjimo nepriklauso nuo jų pradinio greičio. Dėl bloko, atrodo arba , ir kūnui . Sudėjus šias dvi lygtis, gauname . Iš kur atsiranda kūno judėjimo pagreitis. Sriegio įtempimo jėga

Kinematinės kūno judėjimo lygtys po trūkčiojimo turės formą kur žinomi visi parametrai.

Atsakymas: . .

2 pavyzdys. Du apvalūs kūnai su inercijos koeficientais (tuščiaviduris cilindras) ir (rutulys), esantys pasvirusios plokštumos su pasvirimo kampu pagrindu α praneškite apie tuos pačius pradinius greičius, nukreiptus į viršų išilgai nuožulnios plokštumos. Į kokį aukštį ir per kiek laiko kūnai pakils į šį aukštį? Kokie yra kūno kilimo pagreičiai? Kiek kartų skiriasi kūnų kilimo aukščiai, laikai ir pagreičiai? Kūnai juda pasvirusioje plokštumoje neslysdami.

Duota: . Rasti:

Sprendimas: Kūną veikia: gravitacija m g, pasvirosios plokštumos reakcija N, ir sukibimo trinties jėga (67 pav.). Normalios reakcijos darbas ir sukibimo trinties jėga (nėra slydimo ir neišsiskiria šiluma kūno ir plokštumos sukibimo taške.) yra lygūs nuliui: , todėl kūnų judėjimui apibūdinti galima taikyti energijos tvermės dėsnį: . Kur.

Kūnų judėjimo laikus ir pagreičius randame iš kinematinių lygčių . Kur , . Kūnų kilimo aukščių, laikų ir pagreičių santykis:

Atsakymas: , , , .

3 pavyzdys. Masės kulka, skrisdama greičiu , pataiko į rutulio, kurio masė M ir spindulys R, pritvirtintą prie m masės ir l ilgio strypo galo, pakabinto taške O per antrąjį galą, ir išskrenda iš jo. su greičiu (68 pav.). Raskite strypo-rutulio sistemos sukimosi kampinį greitį iškart po smūgio ir strypo įlinkio kampą po kulkos smūgio.

Duota: . Rasti:

Sprendimas: Strypo ir rutulio inercijos momentai strypo pakabos taško O atžvilgiu pagal Steinerio teoremą: ir . Bendras strypo-rutulio sistemos inercijos momentas . Kulkos smūgis yra greitas procesas, ir vyksta sistemos kulka-stypas-rutulys kampinio momento išsaugojimo dėsnis (kūnai po susidūrimo pradeda suktis): . Iš kur iš karto po smūgio atsiranda strypo ir rutulio sistemos kampinis greitis?

Strypo ir rutulio sistemos CM padėtis pakabos taško O atžvilgiu: . Energijos tvermės dėsnis sistemos CM po smūgio, atsižvelgiant į sistemos kampinio momento išliekamumo po smūgio dėsnį, turi formą . Kur yra sistemos CM aukštis po smūgio . Strypo įlinkio kampas po smūgio nustatomas pagal būklę .

Atsakymas: , , .

4 pavyzdys. Prie apvalaus kūno, kurio masė m ir spindulys R, kurio inercijos koeficientas k, besisukantis kampiniu greičiu , blokas prispaudžiamas jėga N (69 pav.). Po kurio laiko cilindras sustos ir kiek šilumos išsiskirs, kai batas per tą laiką trinsis į cilindrą? Trinkelės ir cilindro trinties koeficientas yra .

Duota: Rasti:

Sprendimas: Trinties jėgos darbas iki kūno sustojimo pagal kinetinės energijos teoremą lygus . Sukimosi metu išsiskirianti šiluma .

Kūno sukimosi judėjimo lygtis turi formą . Iš kur kyla jo lėto sukimosi kampinis pagreitis? . Kūno sukimosi laikas, kol jis sustoja.

Atsakymas: , .

5 pavyzdys. Apvalus kūnas, kurio masė m ir spindulys R, kurio inercijos koeficientas k, išsukamas kampiniu greičiu prieš laikrodžio rodyklę ir pastatomas ant horizontalaus paviršiaus, jungiančio vertikalią sieną (70 pav.). Po kurio laiko kūnas sustos ir kiek apsisukimų padarys prieš sustodamas? Kokia bus šiluma, išsiskirianti kūno trinties metu ant paviršiaus per šį laiką? Kūno trinties į paviršių koeficientas yra .

Duota: . Rasti:

Sprendimas: Šiluma, išsiskirianti kūno sukimosi metu iki jo sustojimo, yra lygi trinties jėgų darbui, kurią galima rasti iš kūno kinetinės energijos teoremos. Mes turime .

Horizontalios plokštumos reakcija. Nuo horizontalaus ir vertikaliojo paviršių kūną veikiančios trinties jėgos yra lygios: ir .Iš šių dviejų lygčių sistemos gauname ir .

Atsižvelgiant į šiuos ryšius, kūno sukamojo judėjimo lygtis turi formą

Atsakymas: , , , .

6 pavyzdys. Apvalus kūnas, kurio inercijos koeficientas k, rieda žemyn neslysdamas nuo R spindulio pusrutulio viršaus, stovėdamas ant horizontalaus paviršiaus (71 pav.). Kokiame aukštyje ir kokiu greičiu jis atitrūks nuo pusrutulio ir kokiu greičiu kris ant horizontalaus paviršiaus?

Duota: k, g, R. Rasti:

Sprendimas: kūną veikiančios jėgos . Darbas ir 0, (pusrutulio ir rutulio susijungimo taške nėra slydimo ir neišsiskiria šiluma), todėl kūno judėjimui apibūdinti galima taikyti energijos tvermės dėsnį. Antrasis Niutono dėsnis kūno CM jo atsiskyrimo nuo pusrutulio taške, atsižvelgiant į tai, kad šiame taške jis turi formą, iš kur . Kūno pradinio taško ir atskyrimo taško energijos tvermės dėsnis turi formą. Kai kūno aukštis ir atsiskyrimo nuo pusrutulio greitis yra lygūs, .

Kūnui atsiskyrus nuo pusrutulio, keičiasi tik jo transliacinė kinetinė energija, todėl energijos tvermės dėsnis atsiskyrimo ir kūno kritimo ant žemės taškams turi formą . Kur, atsižvelgiant į tai, gauname . Kūnui, slystančiam pusrutulio paviršiumi be trinties, k=0 ir , , .

Atsakymas: , , .

Pagrindinės sukamojo judėjimo dinaminės charakteristikos yra kampinis impulsas apie sukimosi ašį z:

ir kinetinė energija

Bendruoju atveju energija sukimosi kampiniu greičiu randama pagal formulę:

, kur yra inercijos tenzorius .

Termodinamikoje

Lygiai tuo pačiu pagrindu, kaip ir transliacinio judėjimo atveju, pusiausvyra reiškia, kad esant terminei pusiausvyrai vidutinė kiekvienos monoatominių dujų dalelės sukimosi energija yra: (3/2) k B T. Panašiai, lygiavertiškumo teorema leidžia apskaičiuoti molekulių kvadratinį kampinį greitį.

taip pat žr

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Sukamojo judesio energija“ kituose žodynuose:

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Energija (reikšmės). Energija, Dimensija ... Vikipedija

JUDĖJIMAI- JUDĖJIMAI. Turinys: Geometrija D..................452 Kinematika D.................456 Dinamika D. ...................461 Variklio mechanizmai ......................465 D tyrimo metodai. asmens ........471 Patologija D. asmens ............. 474 ... ... Didžioji medicinos enciklopedija

Kinetinė energija – tai mechaninės sistemos energija, kuri priklauso nuo jos taškų judėjimo greičio. Dažnai paskirsto transliacinio ir sukamojo judesio kinetinę energiją. Tiksliau sakant, kinetinė energija yra skirtumas tarp bendros ... ... Vikipedijos

Terminis α peptido judėjimas. Kompleksinis drebantis atomų, sudarančių peptidą, judėjimas yra atsitiktinis, o atskiro atomo energija svyruoja plačiame diapazone, tačiau taikant pusiausvyros dėsnį apskaičiuojama kaip vidutinė kinetinė kiekvieno ... ... Vikipedija

- (pranc. marées, vok. Gezeiten, angl. tides) periodiniai vandens lygio svyravimai dėl Mėnulio ir Saulės traukos. Bendra informacija. P. labiausiai pastebimas palei vandenynų pakrantes. Iškart po didžiausio atoslūgio atoslūgio vandenyno lygis pradeda kristi ... ... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

Šaldymo laivas Ivory Tirupati pradinis stabilumas yra neigiamas Stabilumo gebėjimas ... Wikipedia

Šaldytuvo laivo Ivory Tirupati pradinis stabilumas yra neigiamas Stabilumas – plūduriuojančio įrenginio gebėjimas atlaikyti išorines jėgas, dėl kurių jis rieda arba nukrypsta ir, pasibaigus trikdymui, grįžta į pusiausvyros būseną ... ... Wikipedia

Mechanika.

Klausimas 1

Atskaitos sistema. Inercinės atskaitos sistemos. Galilėjaus-Einšteino reliatyvumo principas.

atskaitos sistema- tai kūnų rinkinys, kurio atžvilgiu aprašomas tam tikro kūno judėjimas ir su juo susijusi koordinačių sistema.

Inercinė atskaitos sistema (ISO)– sistema, kurioje laisvai judantis kūnas yra ramybės būsenoje arba tolygiai tiesia kryptimi juda.

Galilėjaus-Einšteino reliatyvumo principas- Visi gamtos reiškiniai bet kurioje inercinėje atskaitos sistemoje vyksta vienodai ir turi tą pačią matematinę formą. Kitaip tariant, visi ISO yra vienodi.

2 klausimas

Judėjimo lygtis. Standžiojo kūno judėjimo rūšys. Pagrindinis kinematikos uždavinys.

Materialaus taško judėjimo lygtys:

- kinematinė judėjimo lygtis

Standaus kūno judėjimo tipai:

1) Transliacinis judesys – bet kuri tiesi linija, nubrėžta kūne, juda lygiagrečiai sau.

2) Sukamasis judėjimas – bet kuris kūno taškas juda apskritimu.

φ = φ(t)

Pagrindinis kinematikos uždavinys- tai yra materialaus taško greičio V= V(t) ir koordinačių (arba spindulio vektoriaus) r = r(t) priklausomybės nuo laiko gavimas iš žinomos jo pagreičio a = a(t) priklausomybės nuo laiko ir žinomos pradinės sąlygos V 0 ir r 0 .

Klausimas #7

Pulsas (Judėjimo skaičius) – vektorinis fizikinis dydis, apibūdinantis kūno mechaninio judėjimo matą. Klasikinėje mechanikoje kūno impulsas yra lygus masės sandaugai m tai rodo jo greitį v, impulso kryptis sutampa su greičio vektoriaus kryptimi:

Teorinėje mechanikoje apibendrintas impulsas yra sistemos Lagranžo dalinė išvestinė apibendrintojo greičio atžvilgiu

Jei sistemos Lagranžo nepriklauso nuo kai kurių apibendrinta koordinatė, tada dėl Lagranžo lygtys .

Laisvosios dalelės Lagrange funkcija yra tokia: , taigi:

Iš nuosavybės išplaukia uždaros sistemos Lagranžo nepriklausomumas nuo jo padėties erdvėje erdvės homogeniškumas: gerai izoliuotai sistemai jos elgsena nepriklauso nuo to, kurioje erdvės vietoje ją patalpinsime. Autorius Noether teoremašis homogeniškumas reiškia tam tikro fizinio dydžio išsaugojimą. Šis dydis vadinamas impulsu (įprastu, neapibendrintu).

Klasikinėje mechanikoje pilna pagreitį Materialių taškų sistema vadinama vektoriniu dydžiu, lygiu materialių taškų masių sandaugų sumai jų greičiu:

atitinkamai dydis vadinamas vieno materialaus taško impulsu. Tai vektorinis dydis, nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir dalelės greitis. Impulso vienetas tarptautinėje vienetų sistemoje (SI) yra kilogramo metro per sekundę(kg m/s)

Jei turime reikalą su baigtinio dydžio kūnu, norint nustatyti jo impulsą, reikia suskaidyti kūną į mažas dalis, kurios gali būti laikomos materialiais taškais ir sumuojamos virš jų, todėl gauname:

Sistemos impulsas, kurio neveikia jokios išorinės jėgos (arba jos yra kompensuojamos), konservuoti laiku:

Impulso išsaugojimas šiuo atveju išplaukia iš antrojo ir trečiojo Niutono dėsnių: parašius antrąjį Niutono dėsnį kiekvienam materialiam taškui, kuris sudaro sistemą, ir susumavus jį per visus materialius taškus, sudarančius sistemą, remiantis trečiuoju Niutono dėsniu. įstatymą gauname lygybę (*).

Reliatyvistinėje mechanikoje nesąveikaujančių materialių taškų sistemos trimatis impulsas yra dydis

kur m i- svoris i- materialus taškas.

Uždarai nesąveikaujančių materialių taškų sistemai ši vertė išsaugoma. Tačiau trimatis impulsas nėra reliatyvistiškai nekintamas dydis, nes jis priklauso nuo atskaitos sistemos. Reikšmingesnė reikšmė bus keturmatis impulsas, kuris vienam materialiam taškui apibrėžiamas kaip

Praktikoje dažnai naudojami tokie ryšiai tarp dalelės masės, impulso ir energijos:

Iš esmės nesąveikaujančių materialių taškų sistemai jų 4 momentai yra sumuojami. Tačiau reliatyvistinėje mechanikoje sąveikaujančioms dalelėms reikia atsižvelgti ne tik į sistemą sudarančių dalelių momentą, bet ir į jų sąveikos lauko impulsą. Todėl daug reikšmingesnis dydis reliatyvistinėje mechanikoje yra energijos impulso tenzorius, kuris visiškai atitinka tvermės dėsnius.

Klausimas #8

Inercijos momentas- skaliarinis fizikinis dydis, kūno inercijos matas sukamojo judesio aplink ašį matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas. Jam būdingas masių pasiskirstymas kūne: inercijos momentas lygus elementariųjų masių sandaugų ir jų atstumų iki bazinės aibės kvadrato sumai.

Ašinis inercijos momentas

Kai kurių kūnų ašiniai inercijos momentai.

Mechaninės sistemos inercijos momentas fiksuotos ašies atžvilgiu („ašinis inercijos momentas“) vadinamas verte J a lygus visų masių sandaugų sumai n materialūs sistemos taškai į jų atstumo iki ašies kvadratus:

m i- svoris i- taškas,
r i- atstumas nuo i-asis taškas į ašį.

Ašinis inercijos momentas kūnas J a yra kūno, besisukančio aplink ašį, inercijos matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.

dm = ρ dV- mažo tūrio kūno elemento masė dV,
ρ – tankis,
r- atstumas nuo elemento dV prie a ašies.

Jei kūnas yra vienalytis, tai yra, jo tankis visur yra vienodas, tada

Formulės išvedimas

dm ir inercijos momentus DJ I. Tada

Plonasienis cilindras (žiedas, lankas)

Formulės išvedimas

Kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių dalių inercijos momentų sumai. Plonasienio cilindro padalijimas į elementus su mase dm ir inercijos momentus DJ I. Tada

Kadangi visi plonasienio cilindro elementai yra vienodu atstumu nuo sukimosi ašies, formulė (1) paverčiama forma

Steinerio teorema

Inercijos momentas standaus kūno dydis bet kurios ašies atžvilgiu priklauso ne tik nuo kūno masės, formos ir matmenų, bet ir nuo kūno padėties šios ašies atžvilgiu. Pagal Steinerio teoremą (Huygenso-Steinerio teoremą), inercijos momentas kūnas J savavališkos ašies atžvilgiu yra lygi sumai inercijos momentasšis kūnas Jc ašies, einančios per kūno masės centrą, lygiagrečią nagrinėjamai ašiai, atžvilgiu ir kūno masės sandaugą m vienam kvadratiniam atstumui d tarp ašių:

Jei kūno inercijos momentas apie ašį, einančią per kūno masės centrą, tai inercijos momentas apie lygiagrečią ašį, esančią atstumu nuo jos, yra lygus

kur yra bendra kūno masė.

Pavyzdžiui, strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per jo galą, yra:

Sukimosi energija

Sukamojo judesio kinetinė energija- kūno energija, susijusi su jo sukimu.

Pagrindinės kūno sukamojo judėjimo kinematinės charakteristikos yra jo kampinis greitis (ω) ir kampinis pagreitis. Pagrindinės sukamojo judėjimo dinaminės charakteristikos yra kampinis impulsas apie sukimosi ašį z:

Kz = Izω

ir kinetinė energija

čia I z – kūno inercijos apie sukimosi ašį momentas.

Panašų pavyzdį galima rasti, kai kalbama apie besisukančią molekulę su pagrindinėmis inercijos ašimis aš 1, aš 2 Ir aš 3. Tokios molekulės sukimosi energiją suteikia išraiška

kur ω 1, ω 2, Ir ω 3 yra pagrindiniai kampinio greičio komponentai.

Bendruoju atveju energija sukimosi kampiniu greičiu randama pagal formulę:

, kur aš yra inercijos tenzorius.

Klausimas #9

impulso momentas (kampinis momentas, kampinis momentas, orbitinis momentas, kampinis momentas) apibūdina sukamojo judesio dydį. Kiekis, kuris priklauso nuo to, kiek masė sukasi, kaip ji pasiskirsto aplink sukimosi ašį ir kaip greitai sukimasi.

Pažymėtina, kad sukimasis čia suprantamas plačiąja prasme, ne tik kaip reguliarus sukimasis aplink ašį. Pvz., Net ir kūnui judant tiesiai virš savavališko įsivaizduojamo taško, kuris nėra ant judėjimo linijos, jis taip pat turi kampinį momentą. Bene didžiausią vaidmenį vaidina kampinis impulsas, apibūdinantis tikrąjį sukimosi judesį. Tačiau tai labai svarbu daug platesnei problemų klasei (ypač jei problema turi centrinę arba ašinę simetriją, bet ne tik šiais atvejais).

Impulso tvermės dėsnis(kampinio momento išsaugojimo dėsnis) – visų kampinių momentų apie bet kurią ašį vektorinė suma uždarai sistemai išlieka pastovi esant sistemos pusiausvyrai. Pagal tai uždaros sistemos kampinis impulsas bet kurios kampinio impulso nelaikinės išvestinės atžvilgiu yra jėgos momentas:

Taigi sistemos uždarymo reikalavimas gali būti susilpnintas iki reikalavimo, kad pagrindinis (bendras) išorinių jėgų momentas būtų lygus nuliui:

kur yra vienos iš dalelių sistemą veikiančių jėgų momentas. (Bet žinoma, jei visiškai nėra išorinių jėgų, šis reikalavimas taip pat yra įvykdytas).

Matematiškai kampinio momento išsaugojimo dėsnis išplaukia iš erdvės izotropijos, tai yra iš erdvės nekintamumo sukimosi savavališku kampu atžvilgiu. Sukant begaliniu kampu dalelės spindulio vektorius su skaičiumi pasikeis , o greičiai - . Tokio sukimosi metu sistemos Lagranžo funkcija dėl erdvės izotropijos nepasikeis. Štai kodėl

Kinetinė sukimosi energija

Paskaita 3. Standaus kūno dinamika

Paskaitos planas

3.1. Galios akimirka.

3.2. Pagrindinės sukamojo judėjimo lygtys. Inercijos momentas.

3.3. Kinetinė sukimosi energija.

3.4. impulso momentas. Kampinio momento išsaugojimo dėsnis.

3.5. Transliacinio ir sukamojo judesio analogija.

Galios akimirka

Apsvarstykite standaus kūno judėjimą aplink fiksuotą ašį. Tegul standus kūnas turi fiksuotą sukimosi ašį ОО ( pav.3.1) ir jam taikoma savavališka jėga.

Ryžiai. 3.1

Jėgą išskaidome į du jėgos komponentus, jėga yra sukimosi plokštumoje, o jėga lygiagreti sukimosi ašiai. Tada jėgą išskaidome į dvi dalis: – veikiančią išilgai spindulio vektorių ir – statmeną jam.

Jokia kūno jėga nepasuks. Priverčia ir sukuria slėgį guoliams, bet jo nesukite.

Jėga gali išvesti iš pusiausvyros kūną arba ne, priklausomai nuo to, kurioje spindulio vektoriaus vietoje ji taikoma. Todėl įvedama jėgos momento apie ašį sąvoka. Jėgos momentas sukimosi ašies atžvilgiu vadinama spindulio vektoriaus ir jėgos vektorine sandauga.

Vektorius nukreiptas išilgai sukimosi ašies ir nustatomas pagal kryžminės sandaugos taisyklę arba dešiniojo sraigto taisyklę, arba įstrižainės taisyklę.

Jėgos momento modulis

čia α yra kampas tarp vektorių ir .

Iš 3.1 pav. tai aišku .

r0- trumpiausias atstumas nuo sukimosi ašies iki jėgos veikimo linijos ir vadinamas jėgos pečiu. Tada galima parašyti jėgos momentą

M = F r 0 . (3.3)

Iš pav. 3.1.

kur F yra vektoriaus projekcija į kryptį, statmeną vektoriaus spindulio vektoriui . Šiuo atveju jėgos momentas yra

. (3.4)

Jeigu kūną veikia kelios jėgos, tai gautas jėgos momentas lygus atskirų jėgų momentų vektorinei sumai, bet kadangi visi momentai nukreipti išilgai ašies, juos galima pakeisti algebrine suma. Momentas bus laikomas teigiamu, jei jis sukasi kūną pagal laikrodžio rodyklę ir neigiamas, jei prieš laikrodžio rodyklę. Jei visi jėgų momentai lygūs nuliui (), kūnas bus pusiausvyroje.

Jėgos momento sampratą galima pademonstruoti naudojant „įnoringą ritę“. Siūlo ritė traukiama už laisvo sriegio galo ( ryžių. 3.2).

Ryžiai. 3.2

Priklausomai nuo sriegio įtempimo krypties, ritė rieda viena ar kita kryptimi. Jei traukiate kampu α , tada jėgos momentas apie ašį APIE(statmenai figūrai) sukasi ritę prieš laikrodžio rodyklę ir ji rieda atgal. Esant įtempimui kampu β sukimo momentas yra prieš laikrodžio rodyklę ir ritė rieda į priekį.

Naudodami pusiausvyros sąlygą (), galite sukurti paprastus mechanizmus, kurie yra jėgos „keitikliai“, t.y. Taikydami mažesnę jėgą galite pakelti ir perkelti įvairaus svorio krovinius. Šiuo principu remiasi statyboje plačiai naudojami svertai, karučiai, kaladėlės. Kad būtų laikomasi pusiausvyros sąlygos statybiniuose kranuose, siekiant kompensuoti jėgos momentą, kurį sukelia krovinio svoris, visada yra atsvarų sistema, kuri sukuria priešingo ženklo jėgos momentą.

3.2. Pagrindinė sukimosi lygtis
judėjimas. Inercijos momentas

Apsvarstykite absoliučiai standų kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį OO(pav.3.3). Protiškai padalinkime šį kūną į elementus, kurių masės Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Sukimosi metu šie elementai apibūdins apskritimus su spinduliu r1,r2 , …,rn. Jėgos veikia kiekvieną elementą F1,F2 , …,F n. Kūno sukimasis aplink ašį OO atsiranda veikiant suminiam jėgų momentui M.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

kur M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Pagal antrąjį Niutono dėsnį kiekviena jėga F, veikiantis D masės elementą m, sukelia nurodyto elemento pagreitį a, t.y.

F i = D m i a i (3.5)

Pakeitę atitinkamas reikšmes į (3.4), gauname

Ryžiai. 3.3

Žinant ryšį tarp tiesinio kampinio pagreičio ε () ir kad kampinis pagreitis yra vienodas visiems elementams, formulė (3.6) atrodys taip

M = (3.7)

=aš (3.8)

aš yra kūno inercijos apie fiksuotą ašį momentas.

Tada mes gausime

M = I ε (3.9)

Arba vektorine forma

(3.10)

Ši lygtis yra pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis. Savo forma ji panaši į Niutono dėsnio II lygtį. Iš (3.10) inercijos momentas yra

Taigi tam tikro kūno inercijos momentas yra jėgos momento ir jo sukeliamo kampinio pagreičio santykis. Iš (3.11) matyti, kad inercijos momentas yra kūno inercijos sukamojo judėjimo atžvilgiu matas. Inercijos momentas transliaciniame judesyje atlieka tą patį vaidmenį kaip ir masė. SI vienetas [ aš] = kg m 2. Iš (3.7) formulės išplaukia, kad inercijos momentas apibūdina kūno dalelių masių pasiskirstymą sukimosi ašies atžvilgiu.

Taigi masės ∆m elemento, judančio išilgai apskritimo, kurio spindulys yra r, inercijos momentas yra lygus

I = r2 D m (3.12)

aš = (3.13)

Nepertraukiamo masės pasiskirstymo atveju suma gali būti pakeista integralu

I= ∫ r 2 dm (3.14)

kur integracija atliekama per visą kūno masę.

Tai rodo, kad kūno inercijos momentas priklauso nuo masės ir jos pasiskirstymo sukimosi ašies atžvilgiu. Tai galima įrodyti eksperimentiškai pav.3.4).

Ryžiai. 3.4

Du apvalūs cilindrai, vienas tuščiaviduris (pavyzdžiui, metalinis), kitas vientisas (medinis), vienodo ilgio, spindulio ir masės, pradeda riedėti žemyn vienu metu. Tuščiaviduris cilindras su dideliu inercijos momentu atsiliks nuo kieto.

Galite apskaičiuoti inercijos momentą, jei žinote masę m ir jo pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu. Paprasčiausias atvejis yra žiedas, kai visi masės elementai yra vienodai išsidėstę nuo sukimosi ašies ( ryžių. 3.5):

aš = (3.15)

Ryžiai. 3.5

Pateiksime skirtingų simetriškų kūnų, turinčių masę, inercijos momentų išraiškas m.

1. Inercijos momentas žiedai, tuščiaviduris plonasienis cilindras apie sukimosi ašį sutampančią su simetrijos ašimi.

, (3.16)

r yra žiedo arba cilindro spindulys

2. Kieto cilindro ir disko inercijos momentas apie simetrijos ašį

(3.17)

3. Rutulio inercijos apie ašį, einančios per centrą, momentas

(3.18)

r- rutulio spindulys

4. Ilgo plono strypo inercijos momentas l strypui statmenos ir per jo vidurį einančios ašies atžvilgiu

(3.19)

l- strypo ilgis.

Jei sukimosi ašis nekerta per masės centrą, tai kūno inercijos momentas apie šią ašį nustatomas pagal Steinerio teoremą.

(3.20)

Pagal šią teoremą inercijos momentas apie savavališką ašį О'O' ( ) yra lygus inercijos momentui apie lygiagrečią ašį, einančią per kūno masės centrą ( ) pridėjus kūno masės sandaugą, padaugintą iš atstumo kvadrato bet tarp ašių ( ryžių. 3.6).

Ryžiai. 3.6

Kinetinė sukimosi energija

Apsvarstykite absoliučiai standaus kūno sukimąsi aplink fiksuotą ašį OO kampiniu greičiu ω (ryžių. 3.7). Padalinkime standųjį kūną į n elementariosios masės ∆ m i. Kiekvienas masės elementas sukasi spindulio apskritimu r i tiesiniu greičiu (). Kinetinė energija yra atskirų elementų kinetinės energijos suma.

(3.21)

Ryžiai. 3.7

Prisiminkite iš (3.13), kad yra inercijos momentas apie OO ašį.

Taigi, besisukančio kūno kinetinė energija

E k \u003d (3.22)

Mes atsižvelgėme į sukimosi aplink fiksuotą ašį kinetinę energiją. Jei kūnas dalyvauja dviejuose judesiuose: transliaciniame ir sukamajame judesyje, tai kūno kinetinė energija yra transliacinio judėjimo kinetinės energijos ir sukimosi kinetinės energijos suma.

Pavyzdžiui, masės rutulys m valcavimas; rutulio masės centras greičiu juda į priekį u (ryžių. 3.8).

Ryžiai. 3.8

Bendra rutulio kinetinė energija bus lygi

(3.23)

3.4. impulso momentas. gamtosaugos įstatymas
kampinis pagreitis

Fizinis dydis lygus inercijos momento sandaugai aš iki kampinio greičio ω , vadinamas kampiniu momentu (momento momentu) L apie sukimosi ašį.

– kampinis momentas yra vektorinis dydis ir sutampa su kampinio greičio kryptimi.

Diferencijuodami lygtį (3.24) laiko atžvilgiu gauname

kur, M yra bendras išorinių jėgų momentas. Izoliuotoje sistemoje nėra išorinių jėgų momento ( M=0) ir