2 eilės vienetų matrica. Matricų tipai
Taškai erdvėje, produktas Rv duoda kitą vektorių, kuris nustato taško padėtį po pasukimo. Jeigu v yra eilutės vektorius, tą pačią transformaciją galima gauti naudojant vR T, kur R T – perkelta į R matrica.
Enciklopedinis „YouTube“.
1 / 5
C# – konsolė – olimpiada – kvadratinė spiralė
Matrica: apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos
Kur pasisemti jėgų ir įkvėpimo 4 kvadratų matricos įkrovimas
Matricų suma ir skirtumas, matricos dauginimas iš skaičiaus
Transponuota matrica / Transponuota matrica
Subtitrai
Pagrindinė įstrižainė
Elementai a ii (i = 1, ..., n) sudaro pagrindinę kvadratinės matricos įstrižainę. Šie elementai yra ant įsivaizduojamos tiesios linijos, einančios nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo matricos kampo. Pavyzdžiui, pagrindinėje 4x4 matricos įstrižainėje paveiksle yra elementai a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.
Kvadratinės matricos, einančios per apatinį kairįjį ir viršutinį dešinįjį kampus, vadinama įstrižainė pusėje.
Specialūs tipai
| vardas | Pavyzdys su n = 3 |
|---|---|
| Įstrižainė matrica | [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Apatinė trikampė matrica | [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrica))) |
| Viršutinė trikampė matrica | [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrica))) |
Įstrižainės ir trikampės matricos
Jei visi elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, A vadinamas įstrižaine. Jei visi elementai aukščiau (žemiau) pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui, A vadinama apatine (viršutine) trikampe matrica.
Tapatybės matrica
K(x) = x T Axpriima tik teigiamas vertes(atitinkamai neigiamos reikšmės arba abi). Jei kvadratinė forma turi tik neneigiamas (atitinkamai, tik ne teigiamas) reikšmes, simetrinė matrica vadinama teigiamai pusiau apibrėžta (atitinkamai neigiama pusiau apibrėžta). Matrica bus neapibrėžta, jei ji nėra nei teigiama, nei neigiama pusiau apibrėžta.
Simetrinė matrica yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai ji yra visa savąsias reikšmes yra teigiami. Lentelėje dešinėje rodomi du galimi atvejai 2x2 matricoms.
Jei naudosime du skirtingus vektorius, gausime dvilinijinę formą, susietą su A:
B A (x, y) = x T Ai.Stačiakampė matrica
Stačiakampė matrica yra kvadratinė matrica su realiais elementais, kurių stulpeliai ir eilutės yra stačiakampiai vienetų vektoriai (t. y. stačiakampiai). Taip pat galite apibrėžti stačiakampę matricą kaip matricą, kurios atvirkštinė vertė yra lygi jos transponavimui:
A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)iš kur jis atsiranda
A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),Stačiakampė matrica A visada grįžtamas ( A −1 = A T), vienetinis ( A −1 = A*), ir normalus ( A*A = A.A.*). Bet kurios ortonormalios matricos determinantas yra arba +1, arba –1. Kaip tiesinis atvaizdavimas, bet kuri ortonormali matrica su determinantu +1 yra paprastas sukimasis, o bet kuri ortonormali matrica su determinantu −1 yra arba paprastas atspindys, arba atspindžio ir sukimosi kompozicija.
Operacijos
Trasa
Determinantas det( A) arba | A| kvadratinė matrica A yra skaičius, nusakantis kai kurias matricos savybes. Matrica yra apverčiama tada ir tik tada, kai jos determinantas nėra nulis.
1 kursas, aukštoji matematika, studijos matricos ir pagrindinius veiksmus su jais. Čia susisteminame pagrindines operacijas, kurias galima atlikti su matricomis. Nuo ko pradėti pažintį su matricomis? Žinoma, nuo pačių paprasčiausių dalykų – apibrėžimų, pagrindinių sąvokų ir paprastų operacijų. Užtikriname, kad matricas supras kiekvienas, kuris joms skiria bent šiek tiek laiko!
Matricos apibrėžimas
Matrica yra stačiakampė elementų lentelė. Na, o jeigu paprasta kalba– skaičių lentelė.
Paprastai matricos žymimos didžiosiomis raidėmis su lotyniškomis raidėmis. Pavyzdžiui, matrica A , matrica B ir taip toliau. Matricos gali būti skirtingų dydžių: stačiakampis, kvadratas, taip pat yra eilučių matricų ir stulpelių matricų, vadinamų vektoriais. Matricos dydis nustatomas pagal eilučių ir stulpelių skaičių. Pavyzdžiui, parašykime stačiakampę dydžio matricą m įjungta n , Kur m – eilučių skaičius ir n – stulpelių skaičius.
Daiktai, kuriems i=j (a11, a22, .. ) sudaro pagrindinę matricos įstrižainę ir vadinamos įstrižainėmis.
Ką galite padaryti su matricomis? Pridėti / atimti, padauginti iš skaičiaus, daugintis tarpusavyje, perkelti. Dabar apie visas šias pagrindines operacijas su matricomis.
Matricos sudėties ir atimties operacijos
Iš karto perspėsime, kad galite pridėti tik tokio paties dydžio matricas. Rezultatas bus tokio paties dydžio matrica. Sudėti (arba atimti) matricas paprasta - tereikia pridėti atitinkamus elementus . Pateikime pavyzdį. Sudėkime dvi matricas A ir B, kurių dydis yra du po du.
Atimtis atliekama pagal analogiją, tik su priešingu ženklu.
Bet kurią matricą galima padauginti iš savavališko skaičiaus. Padaryti tai, kiekvieną jo elementą reikia padauginti iš šio skaičiaus. Pavyzdžiui, padauginkime pirmojo pavyzdžio matricą A iš skaičiaus 5:
Matricos daugybos operacija
Ne visos matricos gali būti padaugintos kartu. Pavyzdžiui, turime dvi matricas – A ir B. Jas galima padauginti viena iš kitos tik tuo atveju, jei matricos A stulpelių skaičius lygus matricos B eilučių skaičiui. kiekvienas gautos matricos elementas, esantis i-oje eilutėje ir j-ame stulpelyje, bus lygi sumai pirmojo koeficiento i-osios eilutės ir antrojo j-ojo stulpelio atitinkamų elementų sandaugai. Norėdami suprasti šį algoritmą, užrašykite, kaip padauginamos dvi kvadratinės matricos:
Ir pavyzdys su realiais skaičiais. Padauginkime matricas:
Matricos transponavimo operacija
Matricos perkėlimas yra operacija, kai sukeičiamos atitinkamos eilutės ir stulpeliai. Pavyzdžiui, perkelkime matricą A iš pirmojo pavyzdžio:
Matricos determinantas
Determinantas arba determinantas yra viena iš pagrindinių tiesinės algebros sąvokų. Kažkada žmonės sugalvojo tiesines lygtis, o už jų turėjome sugalvoti determinantą. Galų gale, jūs turite tai išspręsti, taigi, paskutinis postūmis!
Determinantas yra kvadratinės matricos skaitinė charakteristika, reikalinga daugeliui uždavinių išspręsti.
Norėdami apskaičiuoti paprasčiausios kvadratinės matricos determinantą, turite apskaičiuoti skirtumą tarp pagrindinės ir antrinės įstrižainės elementų sandaugų.
Pirmos eilės matricos, ty susidedančios iš vieno elemento, determinantas yra lygus šiam elementui.
O kas, jei matrica yra trys iš trijų? Tai sudėtingiau, bet jūs galite tai valdyti.
Tokiai matricai determinanto reikšmė yra lygi pagrindinės įstrižainės elementų sandaugų ir elementų, esančių ant trikampių, kurių paviršius lygiagretus pagrindinei įstrižai, sandaugų sumai, iš kurios gaunama atimami antrinės įstrižainės elementai ir ant trikampių gulinčių elementų sandauga su lygiagrečios antrinės įstrižainės paviršiumi.
Laimei, skaičiuojant matricų determinantus dideli dydžiai praktiškai tai retai reikalinga.
Čia pažvelgėme į pagrindines matricų operacijas. Žinoma, į Tikras gyvenimas Gali būti, kad niekada nepastebėsite net užuominos apie matricinę lygčių sistemą arba, priešingai, galite susidurti su daug sudėtingesniais atvejais, kai tikrai teks palaužti smegenis. Būtent tokiems atvejams egzistuoja profesionalios studentų paslaugos. Kreipkitės pagalbos, gaukite kokybišką ir išsamų sprendimą, mėgaukitės akademine sėkme ir laisvalaikiu.
>> Matricos
4.1.Matricos. Operacijos su matricomis
Mxn dydžio stačiakampė matrica yra mxn skaičių rinkinys, išdėstytas stačiakampės lentelės, kurioje yra m eilučių ir n stulpelių, forma. Parašysime formoje
arba sutrumpintai A = (a i j) (i = ; j = ), skaičiai a i j vadinami jo elementais; Pirmasis indeksas nurodo eilutės numerį, antrasis - stulpelio numerį. Vienodo dydžio A = (a i j) ir B = (b i j) vadinami lygiais, jei tose pačiose vietose stovintys jų elementai yra poromis lygūs, tai yra A = B, jei a i j = b i j.
Matrica, susidedanti iš vienos eilutės arba vieno stulpelio, vadinama atitinkamai eilutės vektoriumi arba stulpelio vektoriumi. Stulpelių vektoriai ir eilučių vektoriai tiesiog vadinami vektoriais.
Matrica, susidedanti iš vieno skaičiaus, identifikuojama šiuo skaičiumi. A dydis mxn, kurio visi elementai lygūs nuliui, vadinami nuliais ir žymimi 0. Elementai su vienodais indeksais vadinami pagrindinės įstrižainės elementais. Jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui, tai yra, m = n, tada matrica vadinama kvadratine n eilės matrica. Kvadratinės matricos, kuriose tik pagrindinės įstrižainės elementai nėra lygūs nuliui, vadinamos įstrižainėmis ir rašomos taip:
.
Jei visi įstrižainės elementai a i i lygūs 1, tada jis vadinamas vienetu ir žymimas raide E:
.
Kvadratinė matrica vadinama trikampe, jei visi elementai virš (arba žemiau) pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui. Perkėlimas yra transformacija, kai eilutės ir stulpeliai sukeičiami, išlaikant jų numerius. Perkėlimas rodomas T raide viršuje.
Jei pertvarkysime eilutes ir stulpelius (4.1), gausime
,
kuris bus perkeltas A atžvilgiu. Visų pirma perkeliant stulpelio vektorių gaunamas eilutės vektorius ir atvirkščiai.
A ir skaičiaus b sandauga yra matrica, kurios elementai gaunami iš atitinkamų A elementų padauginus iš skaičiaus b: b A = (b a i j).
Vienodo dydžio suma A = (a i j) ir B = (b i j) vadinama vienodo dydžio C = (c i j), kurios elementai nustatomi pagal formulę c i j = a i j + b i j.
Produktas AB nustatomas darant prielaidą, kad A stulpelių skaičius yra lygus B eilučių skaičiui.
sandauga AB, kur A = (a i j) ir B = (b j k), kur i = , j= , k= , pateikta tam tikra tvarka AB, vadinama C = (c i k), kurios elementai nustatomi pagal kita taisyklė:
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)
Kitaip tariant, gaminio AB elementas apibrėžiamas taip: elementas i-oji eilutė o k-tas stulpelis C yra lygus sandaugų sumai i-osios elementai A eilutes į atitinkamus k-ojo stulpelio B elementus.
2.1 pavyzdys. Raskite AB sandaugą ir .
Sprendimas. Turime: A 2x3 dydžio, B 3x3 dydžio, tada sandauga AB = C egzistuoja ir C elementai yra lygūs
Iš 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, iš 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, iš 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,
s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .
, o produkto BA nėra.
2.2 pavyzdys. Lentelėje parodytas kasdien iš pieninių 1 ir 2 į parduotuves M 1, M 2 ir M 3 siunčiamų produktų vienetų skaičius, o produkto vieneto pristatymas iš kiekvienos pieninės į M 1 saugyklą kainuoja 50 den. vnt., į parduotuvę M 2 - 70, o į M 3 - 130 den. vienetų Apskaičiuokite kiekvienos gamyklos kasdienes transportavimo išlaidas.
| Pieno gamykla |
|||
Sprendimas. Pažymėkime A matricą, pateiktą mums sąlygoje, ir pagal
B - matrica, apibūdinanti produkto vieneto pristatymo į parduotuves kainą, t.y.
,
Tada transporto išlaidų matrica atrodys taip:
.
Taigi, pirmoji gamykla kasdien transportavimui išleidžia 4750 denų. vienetų, antrasis – 3680 piniginių vienetų.
2.3 pavyzdys. Siuvimo įmonė gamina žieminius, pussezoninius ir lietpalčius. Dešimtmečio planuojama produkcija apibūdinama vektoriumi X = (10, 15, 23). Naudojami keturių tipų audiniai: T 1, T 2, T 3, T 4. Lentelėje pateikiami kiekvieno gaminio audinio sunaudojimo normos (metrais). Vektorius C = (40, 35, 24, 16) nurodo kiekvienos rūšies audinio metro kainą, o vektorius P = (5, 3, 2, 2) nurodo kiekvienos rūšies audinio metro transportavimo kainą.
| Audinio sunaudojimas |
||||
| Žieminis paltas |
||||
| Pussezoninis paltas |
||||
1. Kiek metrų kiekvienos rūšies audinio reikės planui įvykdyti?
2. Raskite kiekvienos rūšies gaminio siuvimui išleisto audinio kainą.
3. Nustatykite viso audinio, reikalingo planui užbaigti, kainą.
Sprendimas. Pažymėkime A matricą, pateiktą mums sąlygoje, t.y.
,
tada norėdami rasti audinio metrų skaičių, reikalingą planui užbaigti, vektorių X reikia padauginti iš matricos A:
Audinio, išleisto siuvant kiekvienos rūšies gaminius, kainą randame padauginę matricą A ir vektorių C T:
.
Viso audinio, reikalingo planui užbaigti, kaina bus nustatyta pagal formulę:
Galiausiai, atsižvelgiant į transportavimo išlaidas, visa suma bus lygi audinio kainai, t.y. 9472 den. vienetų, pridėjus vertę
X A P T = 
.
Taigi, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (pinigų vienetai).
OPV. Stačiakampis stalas, susidedantis iš T linijos ir P vadinami realiųjų skaičių stulpeliai matrica dydis t × p. Matricos žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B,..., o skaičių masyvas atskiriamas apvaliais arba laužtiniais skliaustais.
Lentelėje esantys skaičiai vadinami matricos elementais ir žymimi mažomis lotyniškomis raidėmis su dvigubu indeksu, kur i- eilės numeris, j– stulpelio, kurio sankirtoje yra elementas, numeris. IN bendras vaizdas matrica parašyta taip:
Nagrinėjamos dvi matricos lygus, jei atitinkami jų elementai yra lygūs.
Jei matricos eilučių skaičius T lygus jo stulpelių skaičiui P, tada vadinama matrica kvadratas(kitaip – stačiakampis).
Dydžių matrica 
vadinama eilučių matrica. Dydžių matrica 
vadinama stulpelių matrica.
Matricos elementai, turintys vienodus indeksus ( 
ir kt.), forma pagrindinė įstrižainė matricos. Kita įstrižainė vadinama šonine įstrižaine.
Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi jo elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui.
Vadinama įstrižainė matrica, kurios įstrižainės elementai lygūs vienetui vienišas matrica ir turi standartinį žymėjimą E:
Jei visi matricos elementai, esantys virš (arba žemiau) pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, sakoma, kad matrica turi trikampę formą:
§2. Operacijos su matricomis
1. Matricos transpozicija – transformacija, kai matricos eilutės rašomos kaip stulpeliai, išlaikant jų tvarką. Kvadratinės matricos atveju ši transformacija prilygsta simetriniam pagrindinės įstrižainės atvaizdavimui:
.
2. To paties matmens matricas galima sumuoti (atimti). Matricų suma (skirtumas) yra to paties matmens matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pradinių matricų atitinkamų elementų sumai (skirtumui):
3. Bet kurią matricą galima padauginti iš skaičiaus. Matricos sandauga iš skaičiaus yra tos pačios eilės matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus atitinkamo pradinės matricos elemento sandaugai šiuo skaičiumi:
.
4. Jei vienos matricos stulpelių skaičius yra lygus kitos matricos eilučių skaičiui, tada pirmąją matricą galite padauginti iš antrosios. Tokių matricų sandauga yra matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pirmosios matricos atitinkamos eilutės elementų ir antrosios matricos atitinkamo stulpelio elementų porinių sandaugų sumai.
Pasekmė. Matricos eksponencija Į>1 yra matricos A sandauga Į kartą. Apibrėžta tik kvadratinėms matricoms.
Pavyzdys.
Operacijų su matricomis savybės.
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A+B) T =A T +B T;
(AB) T =B T A T;
Aukščiau išvardytos savybės yra panašios į operacijų su skaičiais savybes. Taip pat yra specifinių matricų savybių. Tai apima, pavyzdžiui, išskirtinę matricos daugybos savybę. Jei produktas AB egzistuoja, tai produktas BA
Gali neegzistuoti
Gali skirtis nuo AB.
Pavyzdys. Įmonė gamina dviejų tipų A ir B produktus ir naudoja trijų rūšių žaliavas S 1, S 2 ir S 3. Žaliavos suvartojimo normos nurodomos matrica N= 
, Kur n ij– žaliavų kiekis j, išleista produkcijos vienetui pagaminti i. Gamybos planas pateikiamas matrica C=(100 200), o kiekvienos rūšies žaliavos vieneto savikaina – matrica 
. Nustatyti žaliavų sąnaudas, reikalingas planuojamai gamybai ir bendrą žaliavų savikainą.
Sprendimas. Žaliavų sąnaudas apibrėžiame kaip matricų C ir N sandaugą:
Bendrą žaliavų kainą apskaičiuojame kaip S ir P sandaugą.
Šioje temoje apžvelgsime matricos sąvoką, taip pat matricų tipus. Kadangi šioje temoje yra daug terminų, tai papildysiu santrauka kad būtų lengviau naršyti medžiagoje.
Matricos ir jos elemento apibrėžimas. Žymėjimas.
Matrica yra $m$ eilučių ir $n$ stulpelių lentelė. Matricos elementai gali būti visiškai kitokio pobūdžio objektai: skaičiai, kintamieji ar, pavyzdžiui, kitos matricos. Pavyzdžiui, matricoje $\left(\begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right)$ yra 3 eilutės ir 2 stulpeliai; jo elementai yra sveikieji skaičiai. Matrica $\left(\begin(masyvas) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(masyvas) \right)$ yra 2 eilutės ir 4 stulpeliai.
Skirtingi matricų rašymo būdai: rodyti\slėpti
Matrica gali būti rašoma ne tik apvaliais, bet ir kvadratiniais arba dvigubais tiesiais skliaustais. Tai reiškia, kad žemiau esantys įrašai reiškia tą pačią matricą:
$$ \left(\begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right);\;\; \left[ \begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right]; \;\; \left \Vert \begin(masyvas) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right \Vert $$
Produktas $m\times n$ vadinamas matricos dydis. Pavyzdžiui, jei matricoje yra 5 eilutės ir 3 stulpeliai, tada mes kalbame apie matricą, kurios dydis yra $5\x3$. Matricos $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ dydis yra $3 \times 2$.
Paprastai žymimos matricos didžiosiomis raidėmis Lotyniška abėcėlė: $A$, $B$, $C$ ir pan. Pavyzdžiui, $B=\left(\begin(masyvas) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(masyvas) \right)$. Eilučių numeracija eina iš viršaus į apačią; stulpeliai - iš kairės į dešinę. Pavyzdžiui, pirmoje matricos $B$ eilutėje yra elementai 5 ir 3, o antrame stulpelyje yra elementai 3, -87, 0.
Matricų elementai dažniausiai žymimi mažomis raidėmis. Pavyzdžiui, matricos $A$ elementai žymimi $a_(ij)$. Dvigubas indeksas $ij$ turi informaciją apie elemento padėtį matricoje. Skaičius $i$ yra eilutės numeris, o skaičius $j$ – stulpelio numeris, kurio sankirtoje yra elementas $a_(ij)$. Pavyzdžiui, matricos antros eilutės ir penktojo stulpelio sankirtoje $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(masyvas) \right)$ elementas $a_(25) = 59 USD:
Lygiai taip pat pirmos eilutės ir pirmo stulpelio sankirtoje turime elementą $a_(11)=51$; trečios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje - elementas $a_(32)=-15$ ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad įrašas $a_(32)$ yra „trys du“, bet ne „trisdešimt du“.
Norint sutrumpinti matricą $A$, kurios dydis yra $m\times n$, naudojamas užrašas $A_(m\times n)$. Galite parašyti šiek tiek išsamiau:
$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$
kur žymėjimas $(a_(ij))$ žymi matricos $A$ elementus. Visiškai išplėstoje formoje matricą $A_(m\times n)=(a_(ij))$ galima parašyti taip:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(masyvas)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ltaškai & a_(2n) \\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai \\ a_(m1) & a_(m2) & \ltaškai & a_(mn) \end(masyvas) \dešinė) $$
Įveskime kitą terminą - lygios matricos.
Dvi vienodo dydžio matricos $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ir $B_(m\times n)=(b_(ij))$ vadinamos lygus, jeigu juos atitinkantys elementai yra lygūs, t.y. $a_(ij)=b_(ij)$ visiems $i=\overline(1,m)$ ir $j=\overline(1,n)$.
Įrašo $i=\overline(1,m)$ paaiškinimas: rodyti\slėpti
Žymėjimas „$i=\overline(1,m)$“ reiškia, kad parametras $i$ svyruoja nuo 1 iki m. Pavyzdžiui, žymėjimas $i=\overline(1,5)$ rodo, kad parametro $i$ reikšmės yra 1, 2, 3, 4, 5.
Taigi, kad matricos būtų lygios, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: dydžių sutapimas ir atitinkamų elementų lygybė. Pavyzdžiui, matrica $A=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(masyvas)\right)$ nėra lygi matricai $B=\left(\ begin(masyvas)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(masyvas)\right)$ nes matrica $A$ dydis $3\time 2$ ir matrica $B$ turi 2 USD dydį\ kartus 2 USD. Be to, matrica $A$ nėra lygi matricai $C=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(masyvas)\right)$ , kadangi $a_( 21)\neq c_(21)$ (t.y. $0\neq 98$). Tačiau matricai $F=\left(\begin(masyvas)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ galime drąsiai parašyti $A= F$, nes ir $A$ bei $F$ matricų dydžiai ir atitinkami elementai sutampa.
1 pavyzdys
Nustatykite matricos dydį $A=\left(\begin(masyvas) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(masyvas) \right)$. Nurodykite, kam lygūs elementai $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Šią matricą sudaro 5 eilutės ir 3 stulpeliai, todėl jos dydis yra 5 USD \ kartus 3 USD. Taip pat šiai matricai galite naudoti žymėjimą $A_(5\times 3)$.
Elementas $a_(12)$ yra pirmosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje, taigi $a_(12)=-2$. Elementas $a_(33)$ yra trečios eilutės ir trečio stulpelio sankirtoje, taigi $a_(33)=23$. Elementas $a_(43)$ yra ketvirtos eilutės ir trečio stulpelio sankirtoje, taigi $a_(43)=-5$.
Atsakymas: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Matricų tipai priklausomai nuo jų dydžio. Pagrindinės ir antrinės įstrižainės. Matricos pėdsakas.
Tegu pateikta tam tikra matrica $A_(m\times n)$. Jei $m=1$ (matrica susideda iš vienos eilutės), tada iškviečiama duotoji matrica matrica-eilė. Jei $n=1$ (matrica susideda iš vieno stulpelio), tada tokia matrica vadinama matrica-stulpelis. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(masyvas) \right)$ yra eilučių matrica, o $\left(\begin(masyvas) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(masyvas) \right)$ yra stulpelių matrica.
Jei matricai $A_(m\times n)$ teisinga sąlyga $m\neq n$ (t.y. eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui), tai dažnai sakoma, kad $A$ yra stačiakampė matrica. Pavyzdžiui, matricos $\left(\begin(masyvas) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(masyvas) \right)$ dydis yra $2\times 4 $, tie. yra 2 eilutės ir 4 stulpeliai. Kadangi eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui, ši matrica yra stačiakampė.
Jei matrica $A_(m\times n)$ tenkina sąlygą $m=n$ (t.y. eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui), tai $A$ laikoma kvadratine matrica, kurios eilės $ n$. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(masyvas) \right)$ yra antros eilės kvadratinė matrica; $\left(\begin(masyvas) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(masyvas) \right)$ yra trečios eilės kvadratinė matrica. Apskritai kvadratinę matricą $A_(n\times n)$ galima parašyti taip:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(masyvas)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ltaškai & a_(2n) \\ \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai & \ltaškai \\ a_(n1) & a_(n2) & \ltaškai & a_(nn) \end(masyvas) \dešinė) $$
Teigiama, kad elementai $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ yra pagrindinė įstrižainė matricos $A_(n\times n)$. Šie elementai vadinami pagrindiniai įstrižainiai elementai(arba tiesiog įstrižai elementai). Elementai $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ yra įjungti šoninė (mažoji) įstrižainė; jie vadinami šoniniai įstrižai elementai. Pavyzdžiui, matricai $C=\left(\begin(masyvas)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( masyvas) \right)$ turime:
Elementai $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ yra pagrindiniai įstrižainės elementai; elementai $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ yra šoniniai įstrižainės elementai.
Pagrindinių įstrižainių elementų suma vadinama po to seka matrica ir žymimas $\Tr A$ (arba $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ltaškai+a_(nn) $$
Pavyzdžiui, matricai $C=\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 ir -9 bei 5 ir 6 \end(masyvas)\right)$ turime:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Įstrižainių elementų sąvoka taip pat naudojama ne kvadratinėms matricoms. Pavyzdžiui, matricai $B=\left(\begin(masyvas) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(masyvas) \right)$ pagrindiniai įstrižainės elementai bus $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Matricų tipai priklausomai nuo jų elementų verčių.
Jei visi matricos $A_(m\times n)$ elementai yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama nulinis ir paprastai žymimas raide $O$. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(masyvas) \right)$, $\left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ - nulinės matricos.
Tegul matrica $A_(m\times n)$ turi tokią formą:
Tada ši matrica vadinama trapecijos formos. Jame gali nebūti nulio eilučių, bet jei jos yra, jos yra matricos apačioje. Bendresne forma trapecijos matrica gali būti parašyta taip:
Vėlgi, nulio eilučių pabaigos nereikia. Tie. Formaliai galime išskirti šias trapecijos matricos sąlygas:
- Visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui.
- Visi elementai nuo $a_(11)$ iki $a_(rr)$, esantys pagrindinėje įstrižainėje, nėra lygūs nuliui: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Arba visi paskutinių $m-r$ eilučių elementai yra nuliai, arba $m=r$ (t. y. nulių eilučių iš viso nėra).
Trapecijos formos matricų pavyzdžiai:
Pereikime prie kito apibrėžimo. Iškviečiama matrica $A_(m\times n)$ žingsniavo, jei jis atitinka šias sąlygas:
Pavyzdžiui, žingsnių matricos būtų tokios:
Palyginimui, matrica $\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 ir 0 \end(masyvas)\right)$ nėra ešelonas, nes trečioje eilutėje yra tokia pati nulinė dalis kaip ir antroje eilutėje. Tai yra, pažeidžiamas principas „kuo žemesnė linija, tuo didesnė nulinė dalis“. Pridursiu, kad trapecijos formos matrica yra ypatingas laiptuotos matricos atvejis.
Pereikime prie kito apibrėžimo. Jei visi kvadratinės matricos elementai, esantys po pagrindine įstrižaine, yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama viršutinė trikampė matrica. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(masyvas) \right)$ yra viršutinė trikampė matrica. Atkreipkite dėmesį, kad viršutinės trikampės matricos apibrėžimas nieko nesako apie elementų, esančių virš pagrindinės įstrižainės arba pagrindinėje įstrižainėje, vertes. Jų gali būti nulis arba ne – nesvarbu. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ taip pat yra viršutinė trikampė matrica.
Jei visi kvadratinės matricos elementai, esantys virš pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, tada tokia matrica vadinama apatinė trikampė matrica. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(masyvas) \right)$ – apatinė trikampė matrica. Atkreipkite dėmesį, kad apatinės trikampės matricos apibrėžimas nieko nesako apie elementų, esančių po pagrindine įstrižaine arba ant jos, vertes. Jų gali būti nulis arba ne – nesvarbu. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(masyvas) \right)$ ir $\left(\ pradžia (masyvas) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(masyvas) \right)$ taip pat yra žemesnės trikampės matricos.
Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi šios matricos elementai, kurie nėra pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui. Pavyzdys: $\left(\begin(masyvas) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(masyvas)\right)$. Pagrindinės įstrižainės elementai gali būti bet kokie (lygūs nuliui arba ne) – tai nesvarbu.
Įstrižainė matrica vadinama vienišas, jei visi šios matricos elementai, esantys pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs 1. Pavyzdžiui, $\left(\begin(masyvas) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(masyvas)\right)$ - ketvirtos eilės tapatybės matrica; $\left(\begin(masyvas) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ yra antros eilės tapatybės matrica.