Matricos eilučių pakeitimas atitinkamais stulpeliais vadinamas. (35) 84. Kas yra stačiakampės ir kvadratinės matricos? Pavyzdžiai
1 apibrėžimas. Matrica A dydism n yra stačiakampė lentelė iš m eilučių ir n stulpelių, sudaryta iš skaičių arba kitų matematinių išraiškų (vadinamų matricos elementais), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, arba
2 apibrėžimas.
Dvi matricos 
Ir 
to paties dydžio vadinami lygus, jei jie atitinka elementą pagal elementą, t.y. 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
Matricų pagalba nesunku užrašyti kai kurias ekonomines priklausomybes, pavyzdžiui, tam tikrų ūkio sektorių išteklių paskirstymo lenteles.
3 apibrėžimas. Jeigu matricos eilučių skaičius sutampa su jos stulpelių skaičiumi, t.y. m = n, tada vadinama matrica kvadratinė tvarkan, kitaip stačiakampio formos.
4 apibrėžimas. Perėjimas nuo matricos A į matricą A m, kurioje eilutės ir stulpeliai sukeičiami išsaugant tvarką, vadinamas perkėlimas matricos.
Matricų tipai: kvadratas (dydis 33) - 
,
stačiakampis (dydis 25) - 
,
įstrižainė - 
, vienišas - 
, nulis - 
,
matricos eilutė - 
, matrica-stulpelis -.
5 apibrėžimas.
Kvadratinės n eilės matricos elementai su vienodais indeksais vadinami pagrindinės įstrižainės elementais, t.y. tai elementai: 
.
6 apibrėžimas. Kvadratinės matricos n eilės elementai vadinami antriniais įstrižainiais, jeigu jų indeksų suma lygi n + 1, t.y. tai elementai: .
1.2. Operacijos su matricomis.
1
0
.
suma
dvi matricos 
Ir 
vienodo dydžio matrica С = (с ij), kurios elementai nustatomi lygybe su ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).
Matricos pridėjimo operacijos ypatybės.
Bet kurioms tokio paties dydžio matricoms A, B, C galioja šios lygybės:
1) A + B = B + A (komutaciškumas),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociatyvumas).
2
0
.
dirbti
matricos
už skaičių
vadinama matrica 
tokio pat dydžio kaip A matrica, o b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos savybės.
(А) = ()А (daugybos asociatyvumas);
(А+В) = А+В (daugybos pasiskirstymas matricos sudėjimo atžvilgiu);
(+)A = A+A (daugybos pasiskirstymas skaičių sudėjimo atžvilgiu).
7 apibrėžimas.
Tiesinis matricų derinys 
Ir 
tokio pat dydžio vadinama A + B formos išraiška, kur ir yra savavališki skaičiai.
3 0 . Produktas A Matricose Mn ir nk dydžių A ir B atitinkamai vadinama mk dydžio matrica C, kad elementas su ij yra lygus i-osios eilutės elementų sandaugų sumai. matricos A ir j-osios matricos B stulpelio, ty su ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Produktas AB egzistuoja tik tada, kai A matricos stulpelių skaičius yra toks pat, kaip ir B matricos eilučių skaičius.
Matricos daugybos operacijos ypatybės:
(АВ)С = А(ВС) (asociatyvumas);
(А+В)С = АС+ВС (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);
А(В+С) = АВ+АС (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);
АВ ВА (ne komutatyvumas).
8 apibrėžimas. Matricos A ir B, kurioms AB = BA, vadinamos komutavimu arba permutavimu.
Bet kokios eilės kvadratinę matricą padauginus iš atitinkamos tapatybės matricos matrica nekeičiama.
9 apibrėžimas. Elementarios transformacijos matricos vadinamos tokiomis operacijomis:
Sukeiskite dvi eilutes (stulpelius).
Padauginkite kiekvieną eilutės (stulpelio) elementą iš skaičiaus, kuris nėra nulis.
Prie vienos eilutės (stulpelio) elementų pridedami atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai.
10 apibrėžimas. Matrica B, gauta iš matricos A elementariųjų transformacijų pagalba, vadinama lygiavertis(žymimas BA).
1.1 pavyzdys. Raskite tiesinę matricų 2A–3B kombinaciją, jei
,
.
,
,
.
Pavyzdys
1.2.
Raskite matricų sandaugą 
, jei
.
Sprendimas: kadangi pirmosios matricos stulpelių skaičius yra toks pat kaip antrosios matricos eilučių skaičius, tada matricos sandauga egzistuoja. Dėl to gauname naują matricą 
, kur
Kaip rezultatas, mes gauname 
.
2 paskaita. Determinantai. Antros, trečios eilės determinantų skaičiavimas. Kvalifikatoriaus ypatybėsn– įsakymas.
Matrica
dimensija vadinama skaičių lentele, kurioje yra eilučių ir stulpelių. Skaičiai vadinami šios matricos elementais, kur eilutės numeris yra stulpelio, kurio sankirtoje šis elementas yra, numeris. Matrica, kurioje yra eilučių ir stulpelių, atrodo taip: 
.
Matricų tipai:
1) prie - kvadratas , ir jie skambina matricos tvarka ;
2) kvadratinė matrica, kurioje visi neįstrižainiai elementai lygūs nuliui
– įstrižainės ;
3) įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs
vienetas - viengungis ir žymimas ;
4) prie - stačiakampio formos ;
5) at - matrica-eilė (vektorinė eilutė);
6) at - matrica-stulpelis (vektorius-stulpelis);
7) visiems yra nulinė matrica.
Atkreipkite dėmesį, kad pagrindinė kvadratinės matricos skaitmeninė charakteristika yra jos determinantas. Determinantas, atitinkantis tosios eilės matricą, taip pat turi ir eilę.
1 eilės matricos determinantas vadinamas skaičiumi.
2 eilės matricos determinantas
paskambino numeriu 
. (1.1)
3 eilės matricos determinantas
paskambino numeriu 
. (1.2)
Pateiksime apibrėžimus, reikalingus tolimesnei ekspozicijai.
Nepilnametis M ij elementas bet ij matricos n- tvarka A vadinama matricos determinantu ( n-1)- tvarka, gauta iš matricos A išbraukiant i-toji eilutė ir j– stulpelis.
Algebrinis papildymas A ij elementas bet ij matricos n- eilės A vadinamas šio elemento minoriniu, paimtu su ženklu .
Suformuluokime pagrindines determinantų savybes, būdingas visų eilių determinantams, ir supaprastinkime jų skaičiavimą.
1. Transponuojant matricą jos determinantas nekinta.
2. Sukeitus dvi matricos eilutes (stulpelius), jos determinantas keičia ženklą.
3. Determinantas, turintis dvi proporcingas (lygias) eilutes (stulpelius), yra lygus nuliui.
4. Bet kurios determinanto eilutės (stulpelio) elementų bendras koeficientas gali būti išimamas iš determinanto ženklo.
5. Jei bet kurios determinanto eilutės (stulpelio) elementai yra dviejų narių suma, tai determinantą galima išskaidyti į dviejų atitinkamų determinantų sumą.
6. Determinantas nepasikeis, jei kurios nors jo eilutės (stulpelio) elementai bus pridėti prie atitinkamų kitos jo eilutės (stulpelio) elementų, anksčiau padaugintų iš bet kurio skaičiaus.
7. Matricos determinantas yra lygus bet kurios iš jos eilučių (stulpelių) elementų ir šių elementų algebrinių papildinių sandaugų sumai.
Paaiškinkime šią savybę naudodami 3 eilės determinanto pavyzdį. Šiuo atveju 7 savybė reiškia, kad – determinanto išplėtimas 1-os eilės elementais. Atkreipkite dėmesį, kad išplėtimui pasirenkama eilutė (stulpelis), kurioje yra nulis elementų, nes juos atitinkantys terminai plėtinyje išnyksta.
7 savybė yra Laplaso teorema apie determinanto skaidymą.
8. Determinanto bet kurios eilutės (stulpelio) elementų ir jos kitos eilutės (stulpelio) atitinkamų elementų algebrinių papildinių sandaugų suma lygi nuliui.
Pastaroji savybė dažnai vadinama determinanto pseudodekompozicija.
Klausimai savityrai.
1. Kas vadinama matrica?
2. Kokia matrica vadinama kvadratine? Ką reiškia jo tvarka?
3. Kokia matrica vadinama įstriža, tapatybe?
4. Kokia matrica vadinama eilučių matrica ir stulpelio matrica?
5. Kokia yra pagrindinė kvadratinės matricos skaitinė charakteristika?
6. Koks skaičius vadinamas 1, 2 ir 3 eilės determinantu?
7. Kas vadinama mažuoju ir algebriniu matricos elemento papildiniu?
8. Kokios yra pagrindinės determinantų savybės?
9. Kokia savybe galima apskaičiuoti bet kurios eilės determinantą?
Matricos veiksmai(2 schema)
Su matricų rinkiniu apibrėžiama keletas operacijų, iš kurių pagrindinės yra šios:
1) perkėlimas – matricos eilučių pakeitimas stulpeliais, o stulpelių – eilutėmis;
2) matricos dauginimas iš skaičiaus atliekamas elementas po elemento, t 
, kur ,
;
3) matricos pridėjimas, apibrėžiamas tik to paties matmens matricoms;
4) dviejų matricų, apibrėžtų tik nuoseklioms matricoms, daugyba.
Dviejų matricų suma (skirtumas). vadinama tokia gauta matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus atitinkamų matricos terminų elementų sumai (skirtumui).
Dvi matricos vadinamos sutiko
jei pirmojo stulpelių skaičius lygus kito eilučių skaičiui. Dviejų nuoseklių matricų sandauga
ir tokia gauta matrica vadinama 
, ką , (1.4)
kur, . Iš to išplaukia, kad matricos --osios eilutės ir -osios stulpelio elementas yra lygus matricos --osios eilutės elementų ir matricos -osios stulpelio elementų porinių sandaugų sumai. matrica .
Matricų sandauga nėra komutacinė, tai yra, A . B B . A. Išimtis yra, pavyzdžiui, kvadratinių matricų sandauga pagal tapatybę A . E = E . BET.
1.1 pavyzdys. Padauginkite matricas A ir B, jei:
.
Sprendimas. Kadangi matricos yra nuoseklios (matricos stulpelių skaičius lygus matricos eilučių skaičiui), naudojame formulę (1.4):
Klausimai savityrai.
1. Kokie veiksmai atliekami su matricomis?
2. Kas vadinama dviejų matricų suma (skirtumu)?
3. Kas vadinama dviejų matricų sandauga?
Kramerio metodas kvadratinėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti(3 schema)
Pateiksime keletą būtinų apibrėžimų.
Tiesinių lygčių sistema vadinama nevienalytis , jei bent viena jo laisvoji sąlyga nėra lygi nuliui, ir vienalytis jei visi jo laisvieji nariai lygūs nuliui.
Lygčių sistemos sprendimas vadinama sutvarkyta skaičių aibe, kuri, pakeisdama sistemos kintamuosius, kiekvieną savo lygtį paverčia tapatybe.
Lygčių sistema vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimų.
Jungtinė lygčių sistema vadinama tam tikras jei jis turi unikalų sprendimą ir neapibrėžtas jei jis turi daugiau nei vieną sprendimą.
Apsvarstykite nehomogenišką kvadratinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kurios bendroji forma yra tokia:
. (1.5) Pagrindinė sistemos matrica
tiesinės algebrinės lygtys vadinamos matrica, sudaryta iš nežinomųjų koeficientų: 
.
Sistemos pagrindinės matricos determinantas vadinamas pagrindinis determinantas ir yra žymimas.
Pagalbinis determinantas gaunamas iš pagrindinio determinanto, i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų terminų stulpeliu.
1.1 teorema (Cramerio teorema). Jei pagrindinis kvadratinės tiesinių algebrinių lygčių sistemos determinantas yra ne nulis, tada sistema turi unikalų sprendimą, apskaičiuotą pagal formules:
Jei pagrindinis determinantas , tada sistema arba turi begalinį sprendinių rinkinį (visiems nuliniams pagalbiniams determinantams), arba visai neturi (jei bent vienas iš pagalbinių determinantų skiriasi nuo nulio)
Atsižvelgiant į aukščiau pateiktus apibrėžimus, Cramerio teorema gali būti suformuluota kitaip: jei pagrindinis tiesinių algebrinių lygčių sistemos determinantas yra ne nulis, tada sistema apibrėžiama bendrai ir, be to, ; jei pagrindinis determinantas yra nulis, tada sistema yra nuosekli neapibrėžta (visiems ) arba nenuosekli (jei bent vienas iš jų skiriasi nuo nulio).
Po to gautas tirpalas turi būti patikrintas.
1.2 pavyzdys. Išspręskite sistemą Cramerio metodu 
Sprendimas. Kadangi pagrindinis sistemos determinantas
skiriasi nuo nulio, tada sistema turi unikalų sprendimą. Apskaičiuokite pagalbinius determinantus
Mes naudojame Cramerio formules (1.6): 
, ,
Klausimai savityrai.
1. Kas vadinama lygčių sistemos sprendiniu?
2. Kokia lygčių sistema vadinama suderinama, nesuderinama?
3. Kokia lygčių sistema vadinama apibrėžtąja, neapibrėžta?
4. Kokia lygčių sistemos matrica vadinama pagrindine?
5. Kaip apskaičiuoti tiesinių algebrinių lygčių sistemos pagalbinius determinantus?
6. Kokia yra Kramerio metodo, skirto tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, esmė?
7. Kokia gali būti tiesinių algebrinių lygčių sistema, jei jos pagrindinis determinantas lygus nuliui?
Tiesinių algebrinių lygčių kvadratinių sistemų sprendimas atvirkštinės matricos metodu(4 schema)
Vadinama matrica, turinti ne nulį determinantą neišsigimęs ; turintis determinantą, lygų nuliui - išsigimęs .
Matrica vadinama atvirkštine duotai kvadratinei matricai, jei matricą padauginus iš atvirkštinės vertės tiek dešinėje, tiek kairėje, gaunama tapatumo matrica, ty . (1.7)
Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju matricų ir sandauga yra komutacinė.
1.2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga atvirkštinei matricai egzistuoti duotai kvadratinei matricai yra duotosios matricos determinanto skirtumas nuo nulio
Jei patikrinimo metu pagrindinė sistemos matrica pasirodė išsigimusi, tada jai nėra atvirkštinio ir nagrinėjamas metodas negali būti taikomas.
Jei pagrindinė matrica yra ne vienaskaita, tai yra, determinantas yra 0, tada jai galite rasti atvirkštinę matricą naudodami šį algoritmą.
1. Apskaičiuokite visų matricos elementų algebrinius papildinius.
2. Išrašykite rastus algebrinius papildymus į transponuotą matricą.
3. Sudarykite atvirkštinę matricą pagal formulę: 
(1.8)
4. Pagal (1.7) formulę patikrinkite rastos matricos A-1 teisingumą. Atminkite, kad šis patikrinimas gali būti įtrauktas į galutinį paties sistemos sprendimo patikrinimą.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema (1.5) gali būti pavaizduota kaip matricinė lygtis: , kur yra pagrindinė sistemos matrica, yra nežinomųjų stulpelis ir yra laisvųjų terminų stulpelis. Šią lygtį kairėje padauginame iš atvirkštinės matricos, gauname:
Kadangi pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą lygtis įgauna formą 
arba . (1.9)
Taigi, norint išspręsti kvadratinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kairėje pusėje esantį laisvųjų terminų stulpelį reikia padauginti iš pagrindinės sistemos matricos atvirkštinės matricos. Po to turėtumėte patikrinti gautą sprendimą.
1.3 pavyzdys. Išspręskite sistemą atvirkštinės matricos metodu
Sprendimas. Apskaičiuokite pagrindinį sistemos determinantą
. Todėl matrica nėra vienaskaita ir egzistuoja atvirkštinė matrica.
Raskite visų pagrindinės matricos elementų algebrinius papildinius:
Rašome algebrinius priedus, perkeltus į matricą
. Norėdami rasti sistemos sprendimą, naudojame formules (1.8) ir (1.9).
Klausimai savityrai.
1. Kokia matrica vadinama išsigimusia, neišsigimusia?
2. Kokia duotosios matrica vadinama atvirkštine? Kokia jo egzistavimo sąlyga?
3. Koks yra duotosios matricos atvirkštinės matricos paieškos algoritmas?
4. Kokiai matricinei lygčiai lygi tiesinių algebrinių lygčių sistema?
5. Kaip išspręsti tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudojant atvirkštinę matricą pagrindinei sistemos matricai?
Nehomogeninių tiesinių algebrinių lygčių sistemų tyrimas(5 schema)
Bet kurios tiesinių algebrinių lygčių sistemos tyrimas prasideda nuo jos išplėstinės matricos transformacijos Gauso metodu. Tegul pagrindinės sistemos matricos matmuo yra .
Matrica vadinamas pratęstu sistemos matrica , jei kartu su nežinomųjų koeficientais jame yra laisvųjų terminų stulpelis. Todėl matmuo yra.
Gauso metodas pagrįstas elementarios transformacijos , kuri apima:
– matricos eilučių permutacija;
– matricos eilučių padauginimas iš skaičiaus, kuris skiriasi nuo vairo;
– matricos eilučių pridėjimas pagal elementus;
- nulinės eilutės išbraukimas;
– matricos transpozicija (tokiu atveju transformacijos atliekamos stulpeliais).
Elementariosios transformacijos perkelia pirminę sistemą į jai lygiavertę sistemą. Sistemos vadinami lygiaverčiais jei jie turi tą patį sprendimų rinkinį.
Matricos rangas yra aukščiausia eilė iš jos nepilnamečių. Elementarios transformacijos nekeičia matricos rango.
Ši teorema atsako į klausimą, ar nehomogeninė tiesinių lygčių sistema turi sprendinių.
1.3 teorema (Kronecker-Capelli teorema). Nehomogeniška tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai sistemos išplėstinės matricos rangas yra lygus jos pagrindinės matricos rangui, t.y. 
Eilučių, likusių matricoje po Gauso metodo, skaičių pažymėkime kaip (atitinkamai, sistema lieka lygtimis). Šie linijos matricos vadinamos pagrindinis .
Jei , tai sistema turi unikalų sprendimą (ji yra jungtinė apibrėžta), jos matrica elementariomis transformacijomis redukuojama į trikampę formą. Tokia sistema gali būti išspręsta Cramerio metodu, naudojant atvirkštinę matricą, arba universalų Gauso metodą.
Jei (kintamųjų skaičius sistemoje yra didesnis nei lygtys), elementariomis transformacijomis matrica sumažinama į laiptuotą formą. Tokia sistema turi daug sprendimų ir yra bendrai neapibrėžta. Tokiu atveju, norint rasti sistemos sprendimus, būtina atlikti daugybę operacijų.
1. Palikite kairėje nežinomųjų sistemos lygčių dalis ( baziniai kintamieji ), perkelkite likusius nežinomus į dešinę pusę ( nemokami kintamieji ). Padalijus kintamuosius į pagrindinius ir laisvuosius, sistema įgauna tokią formą:
. (1.10)
2. Iš pagrindinių kintamųjų koeficientų padarykite mažąjį ( pagrindinė nepilnametė ), kuris turi skirtis nuo nulio.
3. Jei sistemos (1.10) pagrindinis minoras yra lygus nuliui, tai vienas iš pagrindinių kintamųjų pakeičiamas laisvuoju; patikrinkite, ar gautas bazinis minoras nėra nulis.
4. Taikant Cramerio metodo formules (1.6), dešiniąsias lygčių puses laikant jų laisvaisiais nariais, rasti pagrindinių kintamųjų išraišką laisvųjų atžvilgiu bendra forma. Gautas sutvarkytas sistemos kintamųjų rinkinys yra jo bendras sprendimas .
5. Suteikdami (1.10) laisviesiems kintamiesiems savavališkas reikšmes, apskaičiuokite atitinkamas pagrindinių kintamųjų reikšmes. Iškviečiama gauta sutvarkyta visų kintamųjų reikšmių rinkinys privatus sprendimas sistemos, atitinkančios nurodytas laisvųjų kintamųjų reikšmes. Sistema turi begalinį konkrečių sprendimų skaičių.
6. Gauk pagrindinis sprendimas sistema yra tam tikras sprendimas, gautas esant nulinėms laisvųjų kintamųjų reikšmėms.
Atkreipkite dėmesį, kad sistemos (1.10) kintamųjų bazinių aibių skaičius yra lygus elementų derinių pagal elementus skaičiui. Kadangi kiekvienas pagrindinis kintamųjų rinkinys turi savo pagrindinį sprendimą, todėl sistema turi ir pagrindinius sprendimus.
Vienalytė lygčių sistema visada yra suderinama, nes ji turi bent vieną – nulinį (trivialų) sprendimą. Kad vienalytė tiesinių lygčių sistema su kintamaisiais turėtų nulinius sprendinius, būtina ir pakanka, kad jos pagrindinis determinantas būtų lygus nuliui. Tai reiškia, kad pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių. Šiuo atveju homogeninės lygčių sistemos, skirtos bendriesiems ir specifiniams sprendiniams, tyrimas atliekamas panašiai kaip ir nehomogeninės sistemos tyrimas. Vienalytės lygčių sistemos sprendiniai turi svarbią savybę: jei žinomi du skirtingi vienarūšės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai, tai jų tiesinė kombinacija taip pat yra šios sistemos sprendimas. Nesunku patikrinti šios teoremos pagrįstumą.
1.4 teorema. Bendras nevienalytės lygčių sistemos sprendinys yra atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygčių sistemos sprendinio suma
1.4 pavyzdys.
Išnagrinėkite pateiktą sistemą ir raskite vieną konkretų sprendimą:
Sprendimas. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir pritaikykime jai elementarias transformacijas:
. Kadangi ir , tai pagal 1.3 teoremą (Kronecker-Capelli) duotoji tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli. Kintamųjų skaičius , ty , reiškia, kad sistema yra neapibrėžta. Sistemos kintamųjų bazinių aibių skaičius yra lygus
. Todėl 6 kintamųjų rinkiniai gali būti pagrindiniai: . Panagrinėkime vieną iš jų. Tada Gauso metodu gautą sistemą galima perrašyti į formą
. Pagrindinis determinantas 
. Kramerio metodu ieškome bendro sistemos sprendimo. Pagalbiniai determinantai
Pagal formules (1.6) turime
. Ši pagrindinių kintamųjų išraiška laisvųjų kintamųjų atžvilgiu yra bendras sistemos sprendimas:
Konkrečioms laisvųjų kintamųjų reikšmėms iš bendro sprendimo gauname konkretų sistemos sprendimą. Pavyzdžiui, konkretus sprendimas 
atitinka laisvųjų kintamųjų reikšmes 
. Už , gauname pagrindinį sistemos sprendimą 
Klausimai savityrai.
1. Kokia lygčių sistema vadinama vienarūše, nehomogeniška?
2. Kokia matrica vadinama išplėstine?
3. Išvardykite pagrindines elementarias matricų transformacijas. Koks tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdas paremtas šiomis transformacijomis?
4. Kas vadinama matricos rangu? Kokiu būdu tai galima apskaičiuoti?
5. Ką sako Kronecker-Capelli teorema?
6. Į kokią formą galima redukuoti tiesinių algebrinių lygčių sistemą, ją išsprendus Gauso metodu? Ką tai reiškia?
7. Kokios matricos eilutės vadinamos pagrindinėmis?
8. Kurie sistemos kintamieji vadinami pagrindiniais, kurie yra laisvieji?
9. Koks nehomogeninės sistemos sprendimas vadinamas privačiuoju?
10. Koks sprendimas vadinamas baziniu? Kiek pagrindinių sprendinių turi netolygi tiesinių lygčių sistema?
11. Koks nehomogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendinys vadinamas bendruoju? Suformuluokite teoremą apie nehomogeninės lygčių sistemos bendrą sprendimą.
12. Kokios pagrindinės vienalytės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendinių savybės?
Matricos. Matricų tipai. Veiksmai su matricomis ir jų savybės.
N-osios eilės matricos determinantas. N, Z, Q, R, C,
M*n eilės matrica yra stačiakampė skaičių lentelė, kurioje yra m eilučių ir n stulpelių.
Matricos lygybė:
Dvi matricos vadinamos lygiomis, jei vienos iš jų eilučių ir stulpelių skaičius yra atitinkamai lygus kitos eilučių ir stulpelių skaičiui ir atitinkamai. šių matricų elementai yra lygūs.
Pastaba: elementai su tais pačiais indeksais yra suderinami.
Matricų tipai:
Kvadratinė matrica: Sakoma, kad matrica yra kvadratinė, jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui.
Stačiakampis: Sakoma, kad matrica yra stačiakampė, jei eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui.
Eilučių matrica: 1*n eilės matrica (m=1) turi formą a11,a12,a13 ir vadinama eilučių matrica.
Matricos stulpelis:………….
Įstrižainė: kvadratinės matricos įstrižainė, einanti iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, tai yra, susidedanti iš elementų a11, a22 ...... - vadinama pagrindine įstriža. (apibrėžimas: kvadratinė matrica, kurios visi elementai yra lygūs nuliui, išskyrus tuos, kurie yra pagrindinėje įstrižainėje, vadinama įstrižainės matrica.
Tapatybė: Įstrižainė matrica vadinama tapatybe, jei visi elementai yra pagrindinėje įstrižainėje ir yra lygūs 1.
Viršutinė trikampė: A=||aij|| vadinama viršutine trikampe matrica, jei aij=0. Su sąlyga, kad i>j.
Apatinis trikampis: aij=0. i Nulis: Tai matrica, kurios Els yra 0. Operacijos su matricomis. 1. Perkėlimas. 2. Matricos dauginimas iš skaičiaus. 3. Matricos pridėjimas.
4. Matricos daugyba.
Pagrindinis sv-va veiksmas matricose.
1.A+B=B+A (komutaciškumas)
2.A+(B+C)=(A+B)+C (asociatyvumas)
3.a(A+B)=aA+aB (paskirstymas)
4.(a+b)A=aA+bA (paskirstomasis)
5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)
6.AB≠BA (be bendruomenės)
7.A(BC)=(AB)C (asociatyvinis) – vykdomas, jei def. Atliekami matriciniai gaminiai.
8.A(B+C)=AB+AC (paskirstomasis)
(B+C)A=BA+CA (paskirstomasis)
9.a(AB)=(aA)B=(aB)A
Kvadratinės matricos determinantas – apibrėžimas ir jo savybės. Determinanto išskaidymas eilutėse ir stulpeliuose. Determinantų skaičiavimo metodai.
Jei matricos A eilės tvarka m>1, tai šios matricos determinantas yra skaičius.
Matricos A elemento aij algebrinis papildinys Aij yra mažoji Mij padauginta iš skaičiaus
1 TEOREMA: Matricos A determinantas lygus visų savavališkos eilutės (stulpelio) elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai.
Pagrindinės determinantų savybės.
1. Matricos determinantas nepasikeis ją perkėlus.
2. Permutuojant dvi eilutes (stulpelius), determinantas keičia ženklą, bet jo absoliuti reikšmė nekinta.
3. Matricos, turinčios dvi vienodas eilutes (stulpelius), determinantas yra 0.
4. Matricos eilutę (stulpelį) dauginant iš skaičiaus, jos determinantas dauginamas iš šio skaičiaus.
5. Jei vieną iš matricos eilučių (stulpelių) sudaro 0, tai šios matricos determinantas yra 0.
6. Jei visi matricos i-osios eilutės (stulpelio) elementai pavaizduoti kaip dviejų narių suma, tai jos determinantas gali būti pavaizduotas kaip dviejų matricų determinantų suma.
7. Determinantas nepasikeis, jei atitinkamai vieno stulpelio (eilutės) elementai bus iš anksto padauginti prie kito stulpelio (eilės) elementų. už tą patį numerį.
8. Bet kurio determinanto stulpelio (eilutės) savavališkų elementų suma iki atitinkamo kito stulpelio (eilutės) elementų algebrinio papildinio yra 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">
Determinanto apskaičiavimo metodai:
1. Pagal apibrėžimą arba 1 teoremą.
2. Redukcija į trikampę formą.
Atvirkštinės matricos apibrėžimas ir savybės. Atvirkštinės matricos apskaičiavimas. Matricinės lygtys.
Apibrėžimas: n eilės kvadratinė matrica vadinama atvirkštine tos pačios eilės matricos A ir žymima
Tam, kad matrica A turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad matricos A determinantas būtų kitoks nei 0.
Atvirkštinės matricos savybės:
1. Unikalumas: duotai matricai A jos atvirkštinė vertė yra unikali.
2. matricos determinantas
3. Transpozicijos ir atvirkštinės matricos paėmimo operacija.
Matricos lygtys:
Tegu A ir B yra dvi tos pačios eilės kvadratinės matricos.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">
Matricos stulpelių tiesinės priklausomybės ir nepriklausomumo samprata. Stulpelių sistemos tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės savybės.
Stulpeliai А1,А2…An vadinami tiesiškai priklausomomis, jei yra netriviali tiesinė jų kombinacija, lygi 0 stulpeliui.
Stulpeliai А1, А2…An vadinami tiesiškai nepriklausomais, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus 0 stulpeliui.
Tiesinis derinys vadinamas trivialiu, jei visi koeficientai С(l) lygūs 0, o kitu atveju netriviali.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">
2. Kad stulpeliai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad kuri nors stulpelis būtų linijinis kitų stulpelių derinys.
Tegul 1 iš stulpelių https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> yra tiesinis kitų stulpelių derinys.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> yra tiesiškai priklausomi, tada visi stulpeliai yra tiesiškai priklausomi.
4. Jei stulpelių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai bet kuri jos posistemė taip pat yra tiesiškai nepriklausoma.
(Viskas, kas sakoma apie stulpelius, galioja ir eilutėms).
Matricos nepilnamečiai. Pagrindas nepilnamečiai. Matricos rangas. Nepilnamečių ribojimo metodas matricos rangui apskaičiuoti.
Matricos A eilės minoras yra determinantas, kurio elementai yra matricos A k eilučių ir k eilučių sankirtoje.
Jei visi matricos A k eilės minoriniai yra 0, tai bet kuris k + 1 eilės minoras taip pat yra lygus 0.
Pagrindinis nepilnametis.
Matricos A rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka.
Nepilnamečių ribojimo metodas: - Mes pasirenkame ne nulinį matricos A elementą (jei tokio elemento nėra, tada A \u003d 0 rangas)
Ankstesnį 1 eilės nepilnametį ribojamės su 2 eilės nepilnamečiu. (Jei šis nepilnametis nelygus 0, tai rangas >=2) Jei šio nepilnamečio rangas =0, tai pasirinktą 1 eilės nepilnametį ribojamės su kitais 2 eilės nepilnamečiais. (Jei visi 2 eilės nepilnamečiai = 0, tai matricos rangas = 1).
Matricos rangas. Matricos rango nustatymo metodai.
Matricos A rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka.
Skaičiavimo metodai:
1) Ribojasi nepilnamečių metodas: - Pasirinkite matricos A elementą, kuris nėra nulis (jei tokio elemento nėra, tada rangas =0) - Ankstesnis 1-os eilės minoras apriboja 2-os eilės minorą..gif" width="40 " aukštis="22" >r+1 Mr+1=0.
2) Matricos suvedimas į laiptuotą formą: šis metodas pagrįstas elementariomis transformacijomis. Esant elementarioms transformacijoms, matricos rangas nekinta.
Šios transformacijos vadinamos elementariomis transformacijomis:
Dviejų eilučių (stulpelių) permutacija.
Visų stulpelio (eilutės) elementų padauginimas iš skaičiaus, o ne =0.
Prie visų tam tikro stulpelio (eilės) elementų pridedami kito stulpelio (eilutės) elementai, anksčiau padauginti iš to paties skaičiaus.
Pagrindinė mažoji teorema. Būtina ir pakankama sąlyga, kad determinantas būtų lygus nuliui.
Matricos A bazinis minoras yra didžiausios k-osios eilės minoras, kuris skiriasi nuo 0.
Pagrindinė mažoji teorema:
Pagrindinės eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai nepriklausomos. Bet kuri matricos A eilutė (stulpelis) yra linijinis pagrindinių eilučių (stulpelių) derinys.
Pastabos: Eilutės ir stulpeliai, kurių susikirtimo taške yra pagrindinė mažoji, vadinamos atitinkamai pagrindinėmis eilutėmis ir stulpeliais.
a11 a12… a1r a1j
a21 a22….a2r a2j
a31 a32….a3r a3j
ar1 ar2 ….arr arj
ak1 ak2… akr akj
Būtinos ir pakankamos sąlygos, kad determinantas būtų lygus nuliui:
Kad n-osios eilės determinantas būtų = 0, būtina ir pakanka, kad jo eilutės (stulpeliai) būtų tiesiškai priklausomos.
Tiesinių lygčių sistemos, jų klasifikacija ir žymėjimo formos. Cramerio taisyklė.
Apsvarstykite 3 tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}
vadinamas sistemos determinantu.
Dar tris determinantus sudarome taip: 1, 2 ir 3 determinanto D stulpelius paeiliui pakeičiame laisvųjų terminų stulpeliu.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}
Įrodymas. Taigi, apsvarstykite 3 lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais. 1-ąją sistemos lygtį padauginame iš elemento a11 algebrinio papildinio A11, 2-ąją lygtį iš A21, o trečiąją iš A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}
Apsvarstykite kiekvieną skliaustą ir dešinę šios lygties pusę. Pagal teoremą apie determinanto išplėtimą pagal 1 stulpelio elementus
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}
Panašiai galima parodyti, kad ir .
Galiausiai tai nesunku pastebėti 
Taigi gauname lygybę: .
Vadinasi,.
Lygybės ir yra išvestos panašiai, iš kur seka teoremos tvirtinimas.
Tiesinių lygčių sistemos. Tiesinių lygčių suderinamumo sąlyga. Kronecker-Capelli teorema.
Algebrinių lygčių sistemos sprendimas yra tokia n skaičių C1,C2,C3……Cn aibė, kurią pakeitus į pradinę sistemą vietoj x1,x2,x3…..xn, paverčiamos visos lygtys sistema į tapatybes.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendinį.
Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi be galo daug sprendinių.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemų suderinamumo sąlygos.
a11 a12 ……a1n x1 b1
a21 a22 ……a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2...amn xn mlrd
TEOREMA: Kad m tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad išplėstinės matricos rangas būtų lygus matricos A rangui.
Pastaba: Ši teorema pateikia tik sprendimo egzistavimo kriterijus, bet nenurodo sprendimo būdo.
10 klausimas.
Tiesinių lygčių sistemos. Pagrindinis minorinis metodas yra bendras metodas, leidžiantis rasti visus tiesinių lygčių sistemų sprendimus.
A=a21 a22…..a2n
Pagrindinis nedidelis metodas:
Tegul sistema būna nuosekli ir RgA=RgA’=r. Tegul pagrindinis minoras yra nudažytas viršutiniame kairiajame matricos A kampe.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a
d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)
… = …………..
Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">
Pastabos: Jei pagrindinės ir nagrinėjamos matricos rangas yra lygus r=n, tai šiuo atveju dj=bj ir sistema turi unikalų sprendimą.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema vadinama vienarūše, jei visi jos laisvieji nariai lygūs nuliui.
AX=0 yra vienalytė sistema.
AX = B yra nevienalytė sistema.
Homogeninės sistemos visada yra suderinamos.
X1 =x2 =..=xn =0
1 teorema.
Homogeninės sistemos turi nevienalyčių sprendimų, kai sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
2 teorema.
Vienalytė n tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų turi nulinį sprendinį, kai matricos A determinantas lygus nuliui. (detA=0)
Vienarūšių sistemų sprendinių savybės.
Bet koks tiesinis vienalytės sistemos tirpalo derinys pats savaime yra šios sistemos sprendimas.
α1C1 + α2C2 ; α1 ir α2 yra keletas skaičių.
A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, t.y. k (A C1) = 0; (AC2) = 0
Nehomogeninei sistemai ši savybė negalioja.
Fundamentali sprendimų sistema.
3 teorema.
Jei lygties su n-nežinomaisiais matricinės sistemos rangas yra r, tai ši sistema turi n-r tiesiškai nepriklausomų sprendinių.
Tegul pagrindinis minoras yra viršutiniame kairiajame kampe. Jei r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)
n-r tiesiškai nepriklausomų vienalytės tiesinių lygčių sistemos su r eilės nežinomaisiais sprendinių sistema vadinama fundamentalia sprendinių sistema.
4 teorema.
Bet koks tiesinių lygčių sistemos sprendimas yra tiesinis pagrindinės sistemos sprendimo derinys.
С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r
Jei r 12 klausimas. Bendrasis nehomogeninės sistemos sprendimas. Miegas (bendras nevienodas) \u003d COO + SCH (privatus) AX=B (heterogeninė sistema); AX=0 (ASoo) + ASch = ASch = B, nes (ASoo) = 0 Miegas \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Vid. Gauso metodas. Tai nuoseklaus nežinomųjų (kintamųjų) pašalinimo metodas – jis susideda iš to, kad elementariųjų transformacijų pagalba pradinė lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laipsniškos formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji. , pradedant nuo paskutinių kintamųjų. Tegu a≠0 (jei taip nėra, tai pasiekiama pertvarkant lygtis). 1) kintamąjį x1 neįtraukiame iš antrosios, trečiosios ... n-osios lygties, padauginę pirmąją lygtį iš tinkamų skaičių ir gautus rezultatus pridėdami prie 2-osios, 3-iosios ... n-osios lygties, tada gauname: Gauname sistemą, lygiavertę pradinei. 2) neįtraukti kintamąjį x2 3) neįtraukiame kintamąjį x3 ir kt. Tęsdami nuoseklaus kintamųjų x4;x5...xr-1 pašalinimo procesą gauname (r-1)-ąjį žingsnį. Paskutinio n-r skaičius lygtyse nulis reiškia, kad jų kairioji pusė atrodo taip: 0x1 +0x2+..+0xn Jei bent vienas iš skaičių вr+1, вr+2… nėra lygus nuliui, tai atitinkama lygybė yra nenuosekli, o sistema (1) nenuosekli. Taigi bet kuriai nuosekliai sistemai šis vr+1 … vm yra lygus nuliui. Paskutinės n-r lygtys sistemoje (1;r-1) yra tapatybės ir gali būti ignoruojamos. Galimi du atvejai: a) sistemos lygčių skaičius (1; r-1) yra lygus nežinomųjų skaičiui, ty r \u003d n (šiuo atveju sistema turi trikampę formą). b)r Perėjimas iš sistemos (1) į ekvivalentinę sistemą (1; r-1) vadinamas tiesioginiu Gauso metodo judėjimu. Apie kintamojo suradimą iš sistemos (1; r-1) – atvirkštine Gauso metodo eiga. Gauso transformacijos patogiai atliekamos jas įgyvendinant ne lygtimis, o išplėstine jų koeficientų matrica. 13 klausimas. panašios matricos. Mes atsižvelgsime tik į kvadratines matricas, kurių eilės n/ Teigiama, kad matrica A yra panaši į matricą B (A~B), jei egzistuoja ne vienaskaita matrica S, tokia, kad A=S-1BS. Panašių matricų savybės. 1) Matrica A panaši į save. (A~A) Jei S = E, tada EAE = E-1AE = A 2) Jei A~B, tai B~A Jei A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Jei A~B ir tuo pačiu B~C, tai A~C Atsižvelgiant į tai, kad A=S1-1BS1 ir B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, kur S3 = S2S1 4) Panašių matricų determinantai yra lygūs. Atsižvelgiant į tai, kad A~B, būtina įrodyti, kad detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (sumažinti) = detB. 5) Panašių matricų rangai yra vienodi. Matricų savieji vektoriai ir savosios reikšmės. Skaičius λ vadinamas savąja matricos A reikšme, jei yra nulinis vektorius X (matricos stulpelis), kad AX = λ X, vektorius X vadinamas matricos A savuoju vektoriumi, o visų savųjų reikšmių rinkinys. vadinamas matricos A spektru. Savųjų vektorių savybės. 1) Padauginę savąjį vektorių iš skaičiaus, gauname savąjį vektorių, kurio savoji reikšmė yra tokia pati. AX \u003d λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) Savieji vektoriai su poromis skirtingomis savosiomis reikšmėmis yra tiesiškai nepriklausomi λ1, λ2,... λk. Tegul sistema susideda iš 1-ojo vektoriaus, atlikime indukcinį žingsnį: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - padauginkite iš A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Padauginkite iš λn+1 ir atimkite C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Būtina, kad C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0 Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Charakteristinė lygtis. A-λE vadinama būdinga matricos A matrica. Kad nulinis vektorius X būtų matricos A savasis vektorius, atitinkantis savąją reikšmę λ, būtina, kad tai būtų vienalytės tiesinių algebrinių lygčių sistemos (A - λE)X = 0 sprendimas. Sistema turi netrivialų sprendimą, kai det (A - XE) = 0 – tai charakteringoji lygtis. Pareiškimas! Panašių matricų charakteristikų lygtys sutampa. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Charakteristinis daugianomas. det(A – λЕ) - funkcija parametro λ atžvilgiu det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Šis daugianomas vadinamas charakteringuoju matricos A polinomu. Pasekmė: 1) Jei matricos yra A~B, tai jų įstrižainių elementų suma yra vienoda. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Panašių matricų savųjų reikšmių rinkinys sutampa. Jeigu charakteristikų matricų lygtys yra vienodos, vadinasi, jos nebūtinai yra panašios. Dėl matricos A Dėl matricos B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Kad n eilės matrica A būtų įstrižainė, būtina, kad egzistuotų tiesiškai nepriklausomi matricos A savieji vektoriai. Pasekmė. Jei visos matricos A savosios reikšmės yra skirtingos, tada ji yra įstrižainė. Savųjų vektorių ir savųjų reikšmių paieškos algoritmas. 1) sudaryti charakteristikos lygtį 2) rasti lygčių šaknis 3) sudaryti lygčių sistemą savajam vektoriui nustatyti. λi (A-λi E)X = 0 4) rasti pamatinę sprendinių sistemą x1,x2..xn-r, kur r yra charakteringos matricos rangas. r = Rg(A – λi E) 5) Savasis vektorius, savosios reikšmės λi rašomos taip: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, kur C12 + C22 + ... C2n ≠0 6) patikriname, ar matricą galima redukuoti į įstrižainę. 7) rasti Ag Ag = S-1AS S= 15 klausimas. Linijos, plokštumos, erdvės pagrindas. DIV_ADBLOCK371"> Vektoriaus modulis yra jo ilgis, tai yra atstumas tarp A ir B (││, ││). Vektoriaus modulis lygus nuliui, kai šis vektorius lygus nuliui (│ō│=0) 4.Orth vektorius. Duoto vektoriaus orta yra vektorius, kurio kryptis yra tokia pati kaip ir duotas vektorius, o modulis lygus vienetui. Lygi vektoriai turi lygias ortas. 5. Kampas tarp dviejų vektorių. Tai mažesnė ploto dalis, kurią riboja du spinduliai, sklindantys iš to paties taško ir nukreipti ta pačia kryptimi kaip ir pateikti vektoriai. Vektorių pridėjimas. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus. 1) Dviejų vektorių sudėjimas https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Vektoriaus dauginimas iš skaliro. Vektoriaus ir skaliro sandauga yra naujas vektorius, turintis: a) = vektoriaus modulio, padauginto iš skaliaro absoliučios vertės, sandaugos. b) kryptis yra tokia pati kaip padauginto vektoriaus, jei skaliaras yra teigiamas, ir priešingas, jei skaliaras yra neigiamas. λ a(vektorius)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Tiesinių operacijų vektoriais savybės. 1. Bendruomeniškumo dėsnis. 2. Asociatyvumo dėsnis. 3. Sudėtis su nuliu. a(vektorius)+ō= a(vektorius) 4. Papildymas su priešingumu. 5. (αβ) = α (β) = β (α) 6;7.Paskirstymo dėsnis. Vektoriaus išraiška jo modulio ir vieneto vektoriumi. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius vadinamas baze. Linijos pagrindas yra bet koks nulinis vektorius. Plokštumos pagrindas yra bet kurie du nekalenariniai vektoriai. Pagrindas erdvėje yra bet kurių trijų nevienaplanių vektorių sistema. Vektoriaus plėtimosi koeficientas tam tikrame pagrinde vadinamas vektoriaus komponentais arba koordinatėmis duotame baze. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> atlikite sudėjimą ir dauginimą iš skaliaro, tada kaip Rezultatas yra bet koks tokių veiksmų skaičius: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src="> vadinami tiesiškai priklausomais, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src="> vadinami tiesiškai nepriklausomais, jei nėra netrivialios tiesinės jų kombinacijos. Tiesiškai priklausomų ir nepriklausomų vektorių savybės: 1) vektorių, kuriuose yra nulinis vektorius, sistema yra tiesiškai priklausoma. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11" src="> yra tiesiškai priklausomi, kai kurie vektoriai turi būti tiesinis kitų vektorių derinys. 3) jei kai kurie vektoriai iš sistemos a1 (vektorius), a2 (vektorius) ... ak (vektorius) yra tiesiškai priklausomi, tai visi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. 4) jei visi vektoriai https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Tiesinės operacijos koordinatėmis. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374"> 2 vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus vektorių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13"> 3. (a;b)=0 tada ir tik tada, kai vektoriai yra stačiakampiai arba bet kuris iš vektorių yra lygus 0. 4. Paskirstymas (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. A ir b skaliarinės sandaugos išraiška jų koordinatėmis https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Kai sąlyga () , h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> ir iškviečiamas trečiasis vektorius, kuris tenkina šias lygtis: 3. - teisingai Vektorinės produkto savybės: 4. Koordinačių vektorių vektorinė sandauga ortonormalus pagrindas. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Dažnai 3 simboliai naudojami ortonormalaus pagrindo ortams žymėti https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Jei yra ortonormalus pagrindas, tada DIV_ADBLOCK375"> Tiesi linija plokštumoje. Abipusis 2 tiesių linijų išdėstymas. Atstumas nuo taško iki tiesės. Kampas tarp dviejų linijų. 2 tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. 1. Ypatingas 2 tiesių išsidėstymo plokštumoje atvejis. 1) - tiesios lygiagrečios ašies OX lygtis 2) - tiesės, lygiagrečios OS ašiai, lygtis 2. Abipusis 2 tiesių linijų išdėstymas. 1 teorema Tegu pateiktos tiesių lygtys gimininės koordinačių sistemos atžvilgiu A) Tada būtina ir pakankama sąlyga, kai jie susikerta, yra: B) Tada būtina ir pakankama sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, yra sąlyga: B) Tada būtina ir pakankama sąlyga, kad eilutės susijungtų į vieną, yra sąlyga: 3. Atstumas nuo taško iki linijos. Teorema. Atstumas nuo taško iki tiesės Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Kampas tarp dviejų tiesių. Statmenos būklė. Tegul 2 tiesės Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu pateikiamos bendrosiomis lygtimis. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Jei , tada linijos yra statmenos. 24 klausimas. plokštuma erdvėje. Vektoriaus ir plokštumos komponarumo sąlyga. Atstumas nuo taško iki plokštumos. Dviejų plokštumų lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. 1. Vektoriaus ir plokštumos komponarumo sąlyga. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Kampas tarp 2 plokštumų. Statmenos būklė. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Jei , tada plokštumos yra statmenos. 25 klausimas. Tiesi linija erdvėje. Įvairių tipų tiesės erdvėje lygtys. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Erdvės tiesės vektorinė lygtis. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Kanoninė lygtis yra tiesioginė. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51">
!} 28 klausimas. Elipsė. Kanoninės elipsės lygties išvedimas. Forma. Savybės Elipsė yra taškų, kurių atstumų nuo dviejų fiksuotų atstumų, vadinamų židiniais, suma yra 2a didesnė už atstumą 2c tarp židinių. 2 pav. r1=a+ex r2=a-ex Ur-e elipsės liestinė DIV_ADBLOCK378"> Kanoninė hiperbolės lygtis Forma ir Šv. y=±b/a padauginkite iš (x2-a2) šaknies Hiperbolės simetrijos ašis yra jos ašys 2a segmentas – tikroji hiperbolės ašis Ekscentriškumas e=2c/2a=c/a Jei b=a gauname lygiašonę hiperbolę Asimptotė yra tiesi linija, jei, neribotai pašalinus tašką M1 išilgai kreivės, atstumas nuo taško iki tiesės yra lygus nuliui. lim d=0, kai x-> ∞ d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c) hiperbolės liestinė xx0/a2 – yy0/b2 = 1 parabolė – taškų vieta vienodu atstumu nuo taško, vadinamo židiniu, ir nurodytos linijos, vadinamos kryptine Kanoninė parabolės lygtis savybių parabolės simetrijos ašis eina per jos židinį ir yra statmena krypčiai jei pasukate parabolę, gausite elipsinį paraboloidą visos parabolės panašios 30 klausimas. Antros eilės kreivės bendrosios formos lygties tyrimas. Kreivės tipas def. su pagrindiniais terminais A1, B1, C1 A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 1. AC=0 ->parabolinio tipo kreivė A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0 A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0 Jei E=0 => Ax2+2Dx+F=0 tada x1=x2 – susilieja į vieną x1≠x2 – tiesės lygiagrečios Oy x1≠x2 ir įsivaizduojamos šaknys, neturi geometrinio vaizdo C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 Išvada: parabolinė kreivė yra arba parabolė, arba 2 lygiagrečios tiesės, arba įsivaizduojama, arba susilieja į vieną. 2.AC>0 -> elipsinio tipo kreivė Papildydami pradinę lygtį į pilną kvadratą, paverčiame ją kanonine, tada gauname atvejus (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 – elipsė (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 – įsivaizduojama elipsė (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 – taškas su koordinate x0 y0 Išvada: kreivė el. tipas yra arba elipsė, arba įsivaizduojamas, arba taškas 3. AC<0 - кривая гиперболического типа (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbolė, tikroji ašis lygiagreti (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbolė, tikroji ašis lygiagreti Oy (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e iš dviejų eilučių Išvada: hiperbolinio tipo kreivė yra arba hiperbolė, arba dvi tiesės Šis vadovas padės jums sužinoti, kaip tai padaryti matricos operacijos: matricų sudėjimas (atėmimas), matricos perkėlimas, matricų daugyba, matricos atvirkštinės vertės radimas. Visa medžiaga pateikiama paprasta ir prieinama forma, pateikiami aktualūs pavyzdžiai, todėl net nepasiruošęs žmogus gali išmokti atlikti veiksmus su matricomis. Savikontrolei ir savęs patikrinimui galite nemokamai atsisiųsti matricos skaičiuotuvą >>>. Stengsiuosi iki minimumo sumažinti teorinius skaičiavimus, vietomis galimi paaiškinimai „ant pirštų“, nemoksliškų terminų vartojimas. Kietos teorijos mėgėjai, prašome nesivelti į kritiką, mūsų užduotis yra išmokti dirbti su matricomis. SUPER GREITAam pasiruošimui tema (kas "dega") yra intensyvus pdf kursas Matrica, determinantas ir poslinkis! Matrica yra kai kurių stačiakampė lentelė elementai. Kaip elementai nagrinėsime skaičius, tai yra skaitines matricas. ELEMENTAS yra terminas. Pageidautina atsiminti terminą, jis dažnai pasitaikys, neatsitiktinai jį paryškinau paryškintu šriftu. Pavadinimas: matricos dažniausiai žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis Pavyzdys: Apsvarstykite matricą du po trijų: Ši matrica susideda iš šešių elementai: Mes taip pat susitarsime nepertvarkyti numerį, jei paaiškinime nenurodyta kitaip. Kiekvienas skaičius turi savo vietą ir jūs negalite jų maišyti! Aptariama matrica turi dvi eilutes: STANDARTAS: kai kalbame apie matricos matmenis, tada iš pradžių nurodyti eilučių skaičių, o tik tada – stulpelių skaičių. Mes ką tik suskaidėme matricą du po trijų. Jei matricos eilučių ir stulpelių skaičius yra vienodas, tada matrica iškviečiama kvadratas, pavyzdžiui: Jei matrica turi vieną stulpelį arba vieną eilutę, tada tokios matricos taip pat vadinamos vektoriai. Tiesą sakant, matricos sąvoką žinome nuo mokyklos laikų, pavyzdžiui, apsvarstykite tašką su koordinatėmis „x“ ir „y“: . Iš esmės taško koordinatės įrašomos į matricą po vieną. Beje, čia yra pavyzdys, kodėl svarbi skaičių tvarka: ir yra du visiškai skirtingi plokštumos taškai. Dabar pereikime prie tyrimo. matricos operacijos: 1) Pirmas veiksmas. Minuso pašalinimas iš matricos (minuso įvedimas į matricą). Grįžkime prie mūsų matricos Perkelkime minusą už matricos ribų, keisdami KIEKVIENO matricos elemento ženklą: Atvirkštinis pavyzdys: Į matricą įvedame minusą, pakeisdami KIEKVIENO matricos elemento ženklą: Na, daug gražiau. Ir, svarbiausia, su matrica bus LENGVIAU atlikti bet kokius veiksmus. Nes yra toks matematinis liaudies ženklas: kuo daugiau minusu - tuo daugiau painiavos ir klaidu. 2) Antras veiksmas. Matricos padauginimas iš skaičiaus. Pavyzdys: Tai paprasta, norint padauginti matricą iš skaičiaus, jums reikia kas padauginkite matricos elementą iš nurodyto skaičiaus. Šiuo atveju trys. Kitas naudingas pavyzdys: Pirmiausia pažiūrėkime, ką daryti NEREIKIA: Ir ypač, NEREIKIA padalykite kiekvieną matricos elementą iš minus septyni: Iš straipsnio Matematika manekenams arba nuo ko pradėti, prisimename, kad aukštosios matematikos dešimtainės trupmenos su kableliu visais įmanomais būdais stengiamasi vengti. Vienintelis dalykas pageidautinaŠiame pavyzdyje reikia įterpti minusą į matricą: Bet jei VISI matricos elementai buvo padalinti iš 7 be pėdsakų, tuomet būtų galima (ir būtina!) skirstyti. Pavyzdys: Šiuo atveju galite BŪTINA padauginkite visus matricos elementus iš , nes visi matricos skaičiai dalijasi iš 2 be pėdsakų. Pastaba: aukštosios matematikos teorijoje nėra mokyklinės „dalybos“ sąvokos. Vietoj frazės „tai yra padalinta iš šito“, visada galite pasakyti „tai padauginta iš trupmenos“. Tai yra, padalijimas yra ypatingas daugybos atvejis. 3) Trečias veiksmas. Matricos perkėlimas. Norėdami perkelti matricą, turite įrašyti jos eilutes į perkeltos matricos stulpelius. Pavyzdys: Transponuoti matricą Čia yra tik viena eilutė ir pagal taisyklę ji turi būti parašyta stulpelyje: yra perkelta matrica. Perkelta matrica paprastai žymima viršutiniu indeksu arba brūkšniu viršutiniame dešiniajame kampe. Žingsnis po žingsnio pavyzdys: Transponuoti matricą Pirma, pirmąją eilutę perrašome į pirmąjį stulpelį: Tada antrą eilutę perrašome į antrą stulpelį: Ir galiausiai trečią eilutę perrašome į trečią stulpelį: Paruošta. Grubiai tariant, transponuoti reiškia apversti matricą ant šono. 4) Ketvirtas veiksmas. Matricų suma (skirtumas).. Matricų suma yra paprasta operacija. Pavyzdžiui, jei pateikiama matrica du kartus, tada ją galima pridėti tik prie matricos du kartus ir ne daugiau! Pavyzdys: Pridėkite matricas Norėdami įtraukti matricas, turite pridėti atitinkamus elementus: Dėl matricų skirtumo taisyklė yra panaši, reikia rasti atitinkamų elementų skirtumą. Pavyzdys: Raskite matricų skirtumą O kaip šį pavyzdį išspręsti lengviau, kad nesusipainiotumėte? Patartina atsikratyti nereikalingų minusų, nes už tai matricoje pridėsime minusą: Pastaba: aukštosios matematikos teorijoje nėra mokyklinės „atimties“ sąvokos. Vietoj frazės „atimkite tai iš to“, visada galite pasakyti „pridėkite prie to neigiamą skaičių“. Tai yra, atimtis yra ypatingas sudėjimo atvejis. 5) Penktas veiksmas. Matricos daugyba. Kokias matricas galima padauginti? Kad matrica būtų padauginta iš matricos, kad matricos stulpelių skaičius būtų lygus matricos eilučių skaičiui. Pavyzdys: Taigi, galite padauginti matricos duomenis. Bet jei matricos pertvarkomos, tokiu atveju daugyba nebegalima! Todėl dauginti neįmanoma: Neretai pasitaiko užduočių su gudrybe, kai mokinio prašoma padauginti matricas, kurių padauginimas akivaizdžiai neįmanomas. Reikia pažymėti, kad kai kuriais atvejais matricas galima dauginti abiem būdais. OPV. Stačiakampis stalas su T linijos ir P vadinami realiųjų skaičių stulpeliai matrica dydis t × n. Matricos žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B, ..., o skaičių masyvas išskiriamas apvaliais arba laužtiniais skliaustais. Lentelėje esantys skaičiai vadinami matricos elementais ir žymimi mažomis lotyniškomis raidėmis su dvigubu indeksu, kur i- eilės numeris j– stulpelio, kurio sankirtoje yra elementas, numeris. Apskritai matrica parašyta taip: Nagrinėjamos dvi matricos lygus jei atitinkami jų elementai yra lygūs. Jei matricos eilučių skaičius T lygus jo stulpelių skaičiui P, tada vadinama matrica kvadratas(kitaip stačiakampio formos). Dydžių matrica vadinama stulpelio matrica. Matricos elementai su vienodais indeksais ( Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės jei visi jo elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui. Vadinama įstrižainė matrica, kurios įstrižainės yra lygios vienetui viengungis matrica ir turi standartinį žymėjimą E: Jei visi matricos elementai, esantys aukščiau (arba žemiau) pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui, sakoma, kad matrica yra trikampės formos: 1. Matricos transpozicija – transformacija, kai matricos eilutės įrašomos kaip stulpeliai, išlaikant jų tvarką. Kvadratinės matricos atveju ši transformacija yra lygiavertė simetriniam atvaizdavimui pagrindinės įstrižainės atžvilgiu: 2. To paties matmens matricas galima sumuoti (atimti). Matricų suma (skirtumas) yra to paties matmens matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pradinių matricų atitinkamų elementų sumai (skirtumui): 3. Bet kurią matricą galima padauginti iš skaičiaus. Matricos sandauga iš skaičiaus yra tos pačios eilės matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus atitinkamo pradinės matricos elemento sandaugai šiuo skaičiumi: 4. Jei vienos matricos stulpelių skaičius yra lygus kitos matricos eilučių skaičiui, tuomet pirmąją matricą galite padauginti iš antrosios. Tokių matricų sandauga yra matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus pirmosios matricos atitinkamos eilutės elementų ir antrosios matricos atitinkamo stulpelio elementų porinių sandaugų sumai. Pasekmė. Matricos eksponencija į>1 yra matricos A sandauga į kartą. Apibrėžta tik kvadratinėms matricoms. Pavyzdys. Veiksmų su matricomis savybės. (A+B)+C=A+(B+C); k(A+B)=kA+kV; A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC; k(AB)=(kA)B=A(kV); A(BC)=(AB)C; (kA) T = kA T; (A + B) T \u003d A T + B T; (AB) T =B T A T; Aukščiau išvardytos savybės yra panašios į operacijų su skaičiais savybes. Taip pat yra specifinių matricų savybių. Tai apima, pavyzdžiui, išskirtinę matricos daugybos savybę. Jei produktas AB egzistuoja, tai produktas BA Gali ir neegzistuoti Gali skirtis nuo AB. Pavyzdys. Įmonė gamina dviejų tipų A ir B gaminius ir naudoja trijų rūšių žaliavas S 1 , S 2 ir S 3 . Žaliavų suvartojimo normos pateikiamos matrica N= Sprendimas. Žaliavų kaina apibrėžiama kaip matricų C ir N sandauga: Bendrą žaliavų kainą apskaičiuojame kaip S ir P sandaugą.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="vaizdas043" width="81 height=44" height="44"> 0=!} 
Visi skaičiai (elementai) matricoje egzistuoja savaime, tai yra, nėra jokios atimties kalbos: 
Tai tik skaičių lentelė (rinkinys)!
ir trys stulpeliai: 
yra trijų kartų matrica.
. Kaip tikriausiai pastebėjote, šioje matricoje yra per daug neigiamų skaičių. Tai labai nepatogu atliekant įvairius veiksmus su matrica, nepatogu rašyti tiek minusų, o dizainas atrodo tiesiog negražiai.
Prie nulio, kaip supranti, ženklas nesikeičia, nulis – Afrikoje irgi nulis.
. Negražiai atrodo.
– matricos dauginimas iš trupmenos
Į matricą NEBŪTINA įvesti trupmenos, pirma, tai tik apsunkina tolesnius veiksmus su matrica, antra, mokytojui apsunkina sprendimo patikrinimą (ypač jei 
- galutinis užduoties atsakymas).
NE VISAS MATRIKSAS GALIMA SULANKSTI. Norint atlikti matricų sudėjimą (atimtį), būtina, kad jos būtų vienodo DYDŽIO.
Ir 
, 
Ar galima matricą padauginti iš matricos?
Pavyzdžiui, matricoms galima ir daugyba, ir daugyba
vadinama eilučių matrica. Dydžių matrica 
ir tt), forma pagrindinė įstrižainė matricos. Kita įstrižainė vadinama šonine įstrižaine.
§2. Matricos operacijos
.
.
, kur n ij- žaliavų kiekis j išleista produkcijos vienetui pagaminti i. Gamybos planas pateikiamas matrica C = (100 200), o kiekvienos rūšies žaliavos vieneto savikaina – matrica 
. Nustatyti planuojamai produkcijai reikalingų žaliavų savikainą ir bendrą žaliavų savikainą.