Презентация на тему загадочный мир пропорций. Божественная пропорция - реферат

МОУ «Парфеньевская средняя общеобразовательная школа»

Руководитель Смирнова Л.А., учитель математики

2010-2011 учебный год

Вступление

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. «Золотое сечение» - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Понятие «золотое сечение».

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Эта пропорция равна:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Примеры применения золотого сечения

Золотое сечение в математике

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ . Полученная точка С соединяется линией с точкой А . На полученной линии откладывается отрезок ВС , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ . Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x 2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения:

Золотое сечение в искусстве

в музыке

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято в 1925 году искусствоведом Л.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.
Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

в кино

В кино С. Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения .

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сечение.

Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники"

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари) и в пирамиде Хеопса:

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

Я решила рассмотреть планы церквей Парфеньева и посмотреть, нет ли там золотого отношения. Результат - приложение (мультимедийная презентация).

Золотое сечение в скульптуре

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Афина Парфенос Зевс Олимпийский

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Золотые пропорции в частях тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования» . Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.

Я провела подобное исследование в 11 классе. Результаты измерений приведены в таблице. Приложение (мультимедийная презентация).

Золотое сечение в биологии и живой природе

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

Рассмотрим побег цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс .

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи. Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Все живое создано в соответствии с пропорцией Золотого Сечения

Некоторые открытия и теории современной науки,
связанные с «золотым сечением»

1.Плитки Пенроуза

В античной науке была широко известна «проблема паркета», которая сводится к плотному заполнению плоскости геометрическими фигурами одного вида. Как известно, такое заполнение может быть осуществлено с помощью треугольников , квадратов и шестиугольников . С помощью пятиугольников ( пентагонов ) такое заполнение невозможно.

Проблема паркета

Рассмотрим еще раз внимательно правильный пятиугольник, называемый также пентагоном или пентаграммой , плоскую геометрическую фигуру, основанную на «золотом сечении».

Правильный пятиугольник или пентагон

Как известно, после проведения в пентагоне диагоналей исходный пентагон может быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Остальная часть пентагона включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют острые углы в 36  при вершине и острые углы в 72  при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют тупой угол в 108  при вершине и острые углы в 36  при основании. А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» ромба . Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36  и тупой угол в 144  . Левый ромб будем называть тонким ромбом, а правый ромб – толстым ромбом.

«Золотые» ромбы

Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов.

Плитки Пенроуза

Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа толстых ромбов к тонким стремится к золотой пропорции!

2.Квазикристаллы

12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить. Открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией Мироздания.

3.Фуллерены

Термином «фуллерены » называют замкнутые молекулы типа С 60 , С 70 , С 76 , С 84 , в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С 60 , которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками. «Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в их неожиданно обнаружили в породах , то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но и природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения.

4.Резонансная теория Солнечной системы

Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным золотой пропорции.

5. Фибоначчиевые резонансы генетического кода

Установление наукой ныне широко известного факта поразительной простоты основных принципов кодирования наследственной информации в живых организмах относится к числу важнейших открытий человечества. Эта простота заключается в том, что наследственная информация кодируется текстами из трехбуквенных слов – триплетов или кодонов, составленных на базе алфавита из четырех букв – азотистых оснований А (аденин), С (цитозин), G (гуанин), T (тимин). Данная система записи по существу едина для всего необозримого множества разнообразных живых организмов и называется генетическим кодом. В 1990 г. французский исследователь Jean-Claude Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые РЕЗОНАНСАМИ . Резонанс представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …). Например, генетический код  -цепи инсулина имеет следующий вид:

A T G- TT G-G T C-AA T -CAG-CAC-C TT - T G T -GG T - T C T -CAC-C T C-G TT - GAA-GC T
- TT G- T AC-C TT -G TT - T GC-GG T -GAA-CG T -GG T - TT C- TT C- T AC-AC T -CC T -AAG-
AC T

6. Золотая пропорция в теории трансфинитных множеств Кантора и квантовой физике (E-infinity theory)

В последние годы наблюдается повышенный интерес теоретической физики к «золотому сечению». В работах английского физика египетского происхождения Мохаммеда Эль Нашие показана связь «золотого сечения» с квантовой физикой.

Заключение

Длившаяся несколько тысячелетий драматическая история Золотого Сечения в начале 21-го века - «Века Гармонии» - может закончиться большим триумфом для Золотого Сечения. Плитки Пенроуза, резонансная теория Солнечной системы (Молчанов, Бутусов), квазикристаллы (Шехтман), фуллерены (Крото и Смолли, Нобелевская Премия 1996 г.) стали только предвестниками этого триумфа. «Математика гармонии» (Стахов), гиперболические функции Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин), «геометрия Боднара», «Закон структурной гармонии систем» (Сороко), «теория E-infinity» (Эль Нашие), матрицы Фибоначчи и «золотые» квадратные матрицы (Стахов) и, наконец, «золотые» геноматрицы (Петухов) – вот далеко не полный перечень современных научных открытий, основанных на Золотом Сечении. Эти открытия дают основание высказать предположение, что Золотое Сечение является некоторым «метафизическим» знанием, «проточислом», «универсальным кодом Природы», который может стать основой для дальнейшего развития науки, в частности, математики, теоретической физики, генетики, компьютерной науки.

Исследовательский проект

«Золотое сечение

вокруг нас»

1. Вступление…………………………………………………….3

2. Глава1 . История золотого сечения

Золотое сечение в математике. …………...……………….5

1. Глава 2. Золотое сечение в искусстве…………………….….7

2. Глава 3. Золотое сечение в природе……………………..…..10

3. Глава 4. Золотое сечение вокруг нас………………….……..11

4. Глава 4. Эксперимент…………………………………………14

5. Заключение………………………………………………….....15

6. Литература……………………………………………………..15

7. Приложение ……………………………………………..……16

Вступление.

"Геометрия обладает двумя великими

сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

второе - деления отрезка в крайнем и среднем

отношениях. Первое сравнимо с мерой золота,

второе же больше напоминает драгоценный камень"

Иоганн Кеплер

Рассматривая на уроке математики тему «Пропорция» учитель привел примеры золотого сечения, назвав ее «божественной пропорцией». Увлекшись этой темой, я узнал, что «Божественной пропорцией» золотое сечение назвал средневековый итальянский математик Лука Пачоли, написав книгу о золотом сечении, которую так и назвал «Божественная пропорция». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной.

Золотое сечение встречается везде: в искусстве, природе, окружающем нас мире. Тема интересна и современна, она не потерялась во времени. И поэтому является темой моего исследования.

В моем выборе меня поддержали родители и учитель математики. В исследовательской работе мы постарались эту тему изучить подробнее, доказать присутствие золотого сечения в окружающем нас мире.

Что же такое – «золотое сечение»?

Гипотеза: «Золотое сечение» - гармоническая пропорция.

Объект исследования: репродукции картин, фотографии и рисунки знаменитых архитектурных сооружений, скульптур, современные строения и окружающий нас мир.

Предмет исследования : форма и строение исследуемых предметов.

Цель: Показать, что великое открытие – ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, пройдя множество веков живо, актуально и востребовано по сей день.

Задачи работы :

Мы попытаемся проанализировать историю «золотого сечения».

Мы исследуем репродукции картин знаменитых художников, архитектурных сооружений и скульптур на предмет «золотого сечения».

Мы попробуем найти «золотое сечение» в природе и окружающем нас мире.

Проведем эксперимент на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения».

Новизна исследования: раскрытие учащимся нашей школы понятия «золотого сечения» в окружающем нас мире.

Ход исследования:

Подобрать материалы по истории «золотого сечения» в библиотеке и в Интернете.

Изучить подобранный материал.

Подобрать фотографии и рисунки.

Найти «золотое сечение» в окружающем нас мире.

Провести эксперимент и проанализировать собранный материал.

Сделать выводы.

Практическая значимость:

Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении геометрии, биологии, изобразительного искусства, истории, астрономии.

Использование работы при составлении стенда: «Золотое сечение вокруг нас» в кабинете математики.

Методы исследования : наблюдение, измерение, анализ, эксперимент.

Умения и навыки : подбирать необходимую литературу и делать выводы по собранной информации, работать в Интернете, проводить эксперимент, оформлять работу.

Глава1 . История золотого сечения. Золотое сечение в математике.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a: b= b: c или с: b= b: а.

Обозначаемое греческой буквой «фи» (φ), золотое сечение выражается числом

͌ 0, 618 (обратное ему 1,618) и обладаем рядом любопытных свойств. φ – первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях, а термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519)

История “Золотого сечения” - это история человеческого развития мира.

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор и его ученики свое знание золотого сечения позаимствовали у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Античный Парфенон - исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. Рассмотрим основные геометрические фигуры, в которых присутствует «золотое сечение».

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Леонардо Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Он известен, как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а если разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666 666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384 … Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно приблизиться к отношению золотого сечения. Несмотря на то, что книга была опубликована в 1202 году числа Фибоначчи, привлекают математиков до сих пор.

Золотое сечение в математике.

	«Золотой» равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, отношение боковой стороны к основанию равно 1,618
	«Золотой» прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как 1,618 :√1,618: 1, называется "золотым" прямоугольным треугольником.
	«Золотой» прямоугольник. Длина такого прямоугольника больше его ширины примерно в 1,618 раз
	Пентаграмма - правильный пятиугольник. Точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют новую пентаграмму.

Глава 2. Золотое сечение в искусстве.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

	На знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия.
Картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском".
	В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.
Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"
	Портрет Моно Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника)

Статуя Аполлона Бельведерского Статуя Венеры Милосской

Известно, что знаменитая скульптура создана по принципу золотого сечения. Точка С делит отрезок AD, точка В делит отрезок АС в отношении приближенно равно 1,618.

Парфенон (древнегреческая архитектура)

Древние греки Иктинас, Колликрэйтс, и Фидиас, совместно создали Парфенон, в Афинах приблизительно в 440 г. до нашей эры. Если фасад Парфенона вписать в прямоугольник, то стороны прямоугольника образуют золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза.

Великая Пирамида фараона Хеопса

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу) . Гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве "главной геометрической идеи" для пирамиды Хеопса - "золотой" прямоугольный треугольник.

Застывшая музыка русских храмов

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

1: 0,618:0,618 2:0,618 3:0,618 4:0,618 5:0,618 6:0,618 7

Пентаграмма и «Пентагон»

Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком.

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу, что издревле людей интересовала «золотая пропорция». Мы так же узнали, что люди давно использовали «золотую пропорцию» на практике при строительстве различных домашних строений и храмов, использовали при изготовлении домашней утвари, применяли при создании механизмов, которые облегчали труд человека. В этой главе мы привели наиболее интересные, по-нашему мнению, примеры, связанные с золотым сечением.

Глава 3. Золотое сечение в природе.

Изучив литературу, мы узнали, что у многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы. В природе встречается «пентагональная» симметрия»:

китайская роза яблоко в разрезе морская звезда кактус

Мы узнали, что человеческое тело создано по законам золотого сечения. Оказывается, талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Ученые обнаружили, что для взрослых мужчин это отношение

равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев..

Таким образом, природа подчиняется принципу «золотой пропорции» (строение человеческого тела, ящерицы, бабочки, листья и цветы многих растений и т.д.).

Глава 4. Золотое сечение вокруг нас

Мы исследовали окружающий нас мир на наличие золотого сечения. И нашли много интересных фактов, подтверждающих, что золотое сечение живет рядом с нами.

	Мемориал Памяти с. Ребриха Высота солдата относится к высоте девочки приблизительно равно 1,66
	Районный краеведческий музей. Отношение длины здания к высоте приблизительно равно 1,53
	Ст. Ребриха Ул. Касмалинская Высота дома относится к его длине как: 1,77
	Высота изображенных лошадей относится к длине изображенных лошадей, как: 1,7
Рис. 1 Рис. 2 Рис.3	Мы исследовали расположение листьев комнатных растений вдоль стебля и измерили расстояние между листьями, нашли отношения соответственных расстояний (рис.1) Такой же принцип роста мы обнаружили и у других растений. На данных фотографиях показано, что точка В делит отрезок АС в отношении: 1,4 (рис.1), и 1,3(рис.2)

Исследуем ученика 6 класса:

Таблица№1. Золотое сечение и человек Части тела Отношение Результат Длина предплечья и кисти Талия и длина тела Длина кисти и пальцев

Из таблицы видно, что пропорции тела приближены к золотому сечению, но до идеальной пропорции необходимо еще расти.

Исследуем Солнечную систему

Листая справочные материалы и энциклопедии, мы обнаружили таблицы с характеристиками планет солнечной системы (приложение1). И решили проверить солнечную систему на содержание золотого сечения. К нашему удивлению, мы ее обнаружили. Данные приводим в таблице №2

Таблица№2.

Планеты	Отношение расстояний от Солнца до планет	Отношение больших полуосей орбит
Венера-Меркурий
Земля-Венера
Марс-Земля
Юпитер-Марс
Сатурн-Юпитер
Уран-Сатурн
Нептун-Уран
Плутон-Нептун
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое с планетой Фаэтон

Заметим, что отношение между планетами Марсом и Юпитером заметно отличается от других. Практически в два раза. В литературе указано, что между этими планетами находится пояс астероидов. Меня заинтересовал этот вопрос. Рассмотрев различные источники информации, оказалось, что немецкий физик и математик И. Тициус в 1766 году нашел числовую закономерность в расстояниях планет от Солнца. Согласно этому

правилу, между орбитами Марса и Юпитера должна была существовать какая-то планета. Считается, что древние греки называли ее Фаэтон и ее орбита находилась между орбитами Марса и Юпитера. До сих пор идут споры о ее существовании.

Мы, полагаясь на данную таблицу (среднее арифметическое отношение расстояний планет от Солнца, включая планету Фаэтон- равно 1,6) - считаем, что планета была!!!

Глава 4. Эксперимент

В этой главе мы проводим эксперименты на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения» учениками нашей школы.

Эксперимент №1. Мы попросили испытуемых выбрать среди 11 прямоугольников наиболее привлекательный, причем лишь два из них являются золотыми. Данные приводим ниже в таблице №3. Таблица №3

Класс	Кол-во опрошенных	Кол-во человек, которые выбрали золотой прямоугольник	% выбора золотых прямоугольников учениками	% золотых прямоугольников первоначально

Из таблицы видно, что выбор золотого прямоугольника увеличился у старшеклассников.

Эксперимент №2. Мы предложили ученикам 5-6 классов (всего 17 человек), побыть немного художниками и изобразить горизонт будущей своей картины. При подсчете итогов, заметили, что линия горизонта делит на всех рисунках в среднем ͌ 1,65.

Эксперименты подтвердили, что большее предпочтение отдается золотым пропорциям.

Заключение.

Тема «Золотое сечение вокруг нас» интересна и современна, она не потерялась во времени. Золотое сечение, действительно, можно называть «Божественной пропорцией». Оно, не только окружает нас вокруг и распространено в Солнечной системе, но и события, происходящие с нами, тоже происходят согласно золотой пропорции. Например, возрастные кризисы людей. В обществознании есть закон уплотнения истории – с каждым новым этапом скорость развития общества увеличивается. Эта тема отдельной исследовательской работы.

Важным результатом изучения данной темы является, то, что принцип золотого сечения используется везде: в искусстве, науке, природе, человеке, гармонично объединяя весь в мир в единое целое. Накопленный материал, пригодиться в дальнейшей исследовательской работе. Можно подробнее изучить на предмет золотого сечения здания, находящиеся на территории Ребрихинского района. Не менее увлекательным будет для старшеклассников путешествие в мир золотого сечения в математике.

Литература.

Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №13, 2008 г.- Издательский дом «Первое сентября» гл. ред. А.Соловейчик.

Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./авт.сост.А.П.Савин,2004.

Что мы знаем о планетах. Мн., «Народная асвета», 1977г

Земля / Пер. с ит. И.Горелой; - М.:ЗАО «Планета детства», 2001

Лэнгдон Н, Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. с англ.-М.:Педагогика, 1987

проектов является исследовательский проект , где... Удвоение куба. История числа п. Золотое сечение . «Начала» Евклида. Л. Эйлер. ... «Чем красивы люди вокруг нас» и др., обсуждают...

1. Руководители проекта

   Документ

   Формулой «золотого правила». «Золотое нас» сечений вокруг оси, ... первозданная К оглавлению ==280 КОММУНИКАЦИЯ... исследовательских проектов вокруг ...

2. Руководители проекта

   Документ

   Формулой «золотого правила». «Золотое правило нравственности» ... «для нас» означает... вращении конических сечений вокруг оси, ... первозданная К оглавлению ==280 КОММУНИКАЦИЯ... исследовательских проектов и их взаимосвязей. Такие системы организованы вокруг ...

3. Борис Гурьевич Мещеряков Владимир Петрович Зинченко Большой психологический словарь Оглавление

   Документ

   Психологический словарь. 1 Оглавление 1 Предисловие. ... психологической запруды», «золотое сечение» , «идеография», ... нас , захватывают нас ... управление проектом ... исследовательское и П. о. Понятие исследовательского ... движения глаз вокруг зрительных осей. ...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Вступление Представителям многих профессий приходится решать практические задачи на пропорции Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения «Золотого сечения». Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу «Золотого сечения». В повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию. Без неё не обойтись во многих задачах физики, химии, географии и т.д. Гипотеза: человек в своей деятельности постоянно сталкивается с решение практических задач на пропорции.

3 слайд

Описание слайда:

Из истории изучения пропорции Пропорции начали изучать еще в древности. В 4 веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., который буквально означал аналогия, соотношение.

4 слайд

Описание слайда:

Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида (III век до нашей эры), там, в частности, приводится и доказательство основного свойства пропорции. Оно звучит так: «В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. a: b = c: d крайние средние

5 слайд

Описание слайда:

Виды пропорций В математике различают два типа пропорций: Случайные (например, отношение или пропорции между числом слогов самых длинных и самых коротких названия населённых пунктов.) Закономерные (например, пропорция между длительностью нот). «Закономерные» отношения Прямо пропорциональны Обратно пропорциональные широко используются в разнообразнейших расчетах,производимых школьниками,инженерами,администраторами и т.д Прямо прпорциональные величины: длина окружности и ее радиус; размеры предметов и размеры отбрасываемых ими теней; Обратно пропорциональные величины: продолжительность звучание одного такта, и число тактов используемых за одну минуту;

6 слайд

Описание слайда:

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В искусстве чаще других встречается пропорция, получившая название «золотое сечение». Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618 ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.

7 слайд

Описание слайда:

Применение пропорции пропорция медицина кулинария география русский язык биология физика Изобразительное искусство технология Сельское хозяйство черчение

8 слайд

Описание слайда:

ПРОПОРЦИИ НА КУХНЕ Понятие пропорции используется в кулинарии. Пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей. Задача. Для приготовления 4 порций картофельной запеканки, нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько нужно взять картофеля для приготовления 10 порций запеканки. Решение 4:0,44=10:х => х=0,44*10:4= 1,1 кг. Ответ: нужно взять 1 кг 100 г. картофеля.

9 слайд

Описание слайда:

Пропорции и медицина При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Задача из народных рецептов: Для приготовления настойки прополиса нужно залить измельчённый прополис водой в отношении 2:5. Сколько потребуется воды для 150 г. прополиса. Решение 2:5=150:х => х=150*5:2= 375г. Ответ: потребуется 375г. воды

10 слайд

Описание слайда:

Пропорции на уроках технологии Размеры элементов кукольного сарафана отличаются от соответствующих размеров сарафана девушки в одно и тоже число раз. Задача: Длина изделия на выкройке 75см. Вычислите масштаб чертежа, если на нем длина сарафана будет равна 15см. Ответ 1:5.

11 слайд

Описание слайда:

Пропорция в географии В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштаб-это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Существуют разные виды масштаба: численный, линейный и именованный.

12 слайд

Описание слайда:

Пропорции в физике С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага.

13 слайд

Описание слайда:

Химия Для решения задач по химии часто используется пропорция. Например для нахождения количества вещества по его процентному содержанию удобно воспользоваться пропорцией. Задача: Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. Решение: 10:100%=Х:15% ; =>Х= 15*10:100=1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг соли.

14 слайд

Описание слайда:

Биология Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

15 слайд

Описание слайда:

Русский язык В русском языке встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимость. Например: 1) Как аукнется, так и откликнется. 2) Чем выше пень, тем выше тень. 3) Когда гнев впереди- ум позади. 4) Когда карман сух, тогда и суд глух.

16 слайд

Описание слайда:

Пропорция в архитектуре Пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии, красоты. Поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. Золотые пропорции присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парфенона, Собора Василия Блаженного, Собора на Нерли и многих других шедеврах архитектуры.