Основные понятия и определения дифференциальных уравнений. Конспект лекции_6 Дифференциальные уравнения первого порядка

Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x) ).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1 , является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0 и x 1 :
f (x 0) = f 0 , f (x 1) = f 1 , где f 0 и f 1 - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей .

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными .

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x , y , y ’, y ’’.. y ’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ")=0, где F - известная функция трех переменных, x - независимая переменная, y (x ) - искомая функция, y "(x ) - ее производная. Если уравнение F (x, y, y ")=0 можно разрешить относительно y ", то его записывают в виде y "=f (x, y )

Уравнение y "=f (x, y ) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y " касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме :

P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0,

Где P (x ; y ) и Q (x ; y ) – известные функции. Уравнение P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Если дифференциальное уравнение первого порядка y "=f (x, y ), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=φ (x,C ), где C - произвольная константа.

Функция y=φ (x,C ) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

Функция y=φ (x,C ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С .

Каково бы ни было начальное условие y (x 0 )= y 0 , можно найти такое значение постоянной С=С 0 , что функция y=φ (x,C 0 ) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ (x,C 0 ), полученная из общего решения y=φ (x,C ) при конкретном значении постоянной С=С 0 .

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x ; y ) dx + Q (x ; y ) dy =0 , удовлетворяющего заданному начальному условию y (x 0 )= y 0 , называется задачей Коши .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении y "=f (x, y ) функция f (x, y ) и ее частная производная f " y (x, y ) непрерывны в некоторой области D , содержащей точку (x 0 ; y 0 ), то существует единственное решение y=φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x 0 )= y 0 . (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

P (x ) dx + Q (y ) dy =0.

В нем одно слагаемое зависит только от x , а другое - от y . Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными . Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

∫ P (x ) dx + ∫ Q (y ) dy =с – его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

P 1 (x) . Q 1 (y) . dx+ P 2 (x) . Q 2 (y) . dy=0.

Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.

Уравнение P 1 (x ) . Q 1 (y ) . dx + P 2 (x ) . Q 2 (y ) . dy =0 легко сводится к уравнению P (x ) dx + Q (y ) dy =0. путем почленного деления его на Q 1 (y ) . P 2 (x )≠0. Получаем.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.

Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

.

В результате мы получили общее решение -

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x , получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО . Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл , тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить .

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными , которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения . Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным .

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах , уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование .

Если у вас в запасе всего день-два , то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

Итак, ориентиры расставлены – поехали:

Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения . Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел , которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит :
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит ? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид (– произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение ?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки» , а в правой части организовать только «иксы» . Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения . Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе) . В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения . То есть, – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение .

Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом .

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ : общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций . В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка , необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка , нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4) ...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент , но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение : по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши .

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

Запомните «снос» константы – это второй технический приём , который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ : частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками и прочим трэшем.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

Ответ: общий интеграл:

! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно . Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере №2), нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала :

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и используют одну и ту же букву . В результате запись решения принимает следующий вид:

Что за ересь? Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения – ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё равно получается варьируемая константа.

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак: . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа (которая с тем же успехом принимает любые значения!) , поэтому ставить «минус» не имеет смысла и можно использовать ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл . Полное решение и ответ в конце урока.