Умножение событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей двух событий . Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления :

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих :

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример 2.16. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую - 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение.

События А - «стрелок попал в первую область» и В - «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность равна:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема сложения вероятностей п несовместных событий . Вероятность суммы п несовместных событий равна сумме вероятностей этих :

Р(А 1 +А 2 +…+А п)=Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А п).

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность события В при условии, что произошло событие А , называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А), или Р А (В).

. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р А (В).

Событие В не зависит от события А , если

Р А (В)=Р(В),

т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А .

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример 2.17. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» независимы.

Вероятность события АВ – «оба орудия дали попадание»:

Искомая вероятность

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема умножения вероятностей п событий. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

Пример 2.18 . В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение.

Вероятность появления белого шара в первом испытании:

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный, т. е. условная вероятность:

Искомая вероятность равна:

Теорема умножения вероятностей п независимых событий. Вероятность произведения п независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А 1 А 2 …А п)=Р(А 1)Р(А 2)…Р(А п).

Вероятность появления хотя бы одного из события. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , …, А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Пример 2.19. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7; р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А 1 , А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

, , .

Искомая вероятность равна:

Если независимые события А 1 , А 2 , …, А п имеют одинаковую вероятность, равную р , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:

Р(А)= 1 – q n ,

где q=1- p

2.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н п , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами .

Вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н 1)Р(А/Н 1)+ Р(Н 2)Р(А/Н 2)+…+ Р(Н п)Р(А/Н п).

Допусти, что произведен опыт, в результате которого событие А произошло. Условные вероятности событий Н 1 , Н 2 , …, Н п относительно события А определяются формулами Байеса :

Пример 2.20 . В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный – на 24, удовлетворительно – на 15, плохо – на 7.

Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Решение.

Гипотезы – «студент подготовлен отлично»;

– «студент подготовлен хорошо»;

– «студент подготовлен удовлетворительно»;

– «студент подготовлен плохо».

До опыта:

; ; ; ;

7. Что называют полной группой событий?

8. Какие события называют равновозможными? Приведите примеры таких событий.

9. Что называют элементарным исходом?

10. Какие исходы называю благоприятными данному событию?

11. Какие операции можно проводить над событиями? Дайте им определения. Как обозначаются? Приведите примеры.

12. Что называется вероятностью?

13. Чему равна вероятность достоверного события?

14. Чему равна вероятность невозможного события?

15. В каких пределах заключена вероятность?

16. Как определяется геометрическая вероятность на плоскости?

17. Как определяется вероятность в пространстве?

18. Как определяется вероятность на прямой?

19. Чему равна вероятность суммы двух событий?

20. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

21. Чему равна вероятность суммы n несовместных событий?

22. Какую вероятность называют условной? Приведите пример.

23. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

24. Как найти вероятность появления хотя бы одного из событий?

25. Какие события называют гипотезами?

26. Когда применяются формула полной вероятности и формулы Байеса?

Тема: 15. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

2. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

5. Формула полной вероятности, формула Бейеса.

6. Повторение испытаний.

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если события А и В – совместные, то их сумма А+В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А, или события В.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р (А+В) = Р (А)+ Р(В).

Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий А 1 ,...,А n , образующих полную группу, равна единице:

Р(А 1) + Р(А 2)+... +Р (А n) = 1

2. Теорема умножения вероятностей независимых

событий .

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.

Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.

Если события А 1 ,А 2 ,...,А n взаимно независимы, то и противоположные их события также взаимно независимы.

Теорема : Вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 )  Р(А 2 )  ...  Р(А n )

Для двух событий Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Задача . Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом 0,1; вторым 0,2. Какова вероятность того, что при просмотре изделия оба товароведа не пропустят брак.

Решение : событие А - брак пропустил I товаровед, событие В - брак пропустил II товаровед.

Где событие А – брак не пропустит I товаровед,

событие В - брак не пропустит II товаровед.

Так как оба работают независимо друг от друга, то А и В независимые события.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Событие В называют зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность появления события В.

Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р А (В).

Теорема : Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событиеуже наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)  Р А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р В (А)

Теорема умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий А 1 А 2 ...А m .

Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 ) 

причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Задача. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают подряд две ручки. Найти вероятность того, что обе ручки белые.

Решение: событие А - обе ручки белые, событие В - появление первой белой ручки, событие С - появление второй белой ручки.

Тогда А= В  С.

Так как первая ручка не возвращается в коробку, т.е. состав коробки изменился, то события В и С зависимые.

Р (В) = 2/5; Вероятность события С находим в предположении, что В уже произошло, т.е. Р B (С) = ¼.

Искомая вероятность

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения

Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

В случае двух несовместных событий А и В имеем:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (7)

Событие, противоположное событию А обозначают . Объединение событий А и даёт событие достоверное, а поскольку события А и несовместны, то

Р(А) +Р() = 1 (8)

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А и обозначается символом Р В (А).

Если события А и В независимые, то Р(В) = Р А (В).

События А, В, С, … называются независимыми в совокупности , если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой комбинации их и в любом числе.

Теорема умножения

Вероятность того, что произойдут события и А, и В, и С, … равна произведению их вероятностей, вычисленных в предположении, что все предшествующие каждому из них события имели место, т. е.

Р(АВ) = Р(А)Р А (В) (9)

Запись Р А (В) обозначает вероятность события В в предположении, что событие А уже имело место.

Если события А, В, С, … независимы в совокупности, то вероятность того, что произойдут все они, равна произведению их вероятностей:

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) (10)

Пример 3.1. В мешке лежат шары: 10 белых, 15 чёрных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым? чёрным? И ещё: белый или чёрный?

Решение.

Число всех возможных испытаний n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Вероятность Р(б) = 10/70 = 1/7, Р(ч) = 15/70 = 3/14.

Применяем теорему сложения вероятностей:

Р(б + ч) = Р(б) + Р(ч) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Примечание: заглавные буквы в скобках соответственно обозначают цвет каждого шара согласно условию задачи.

Пример 3.2 В первом ящике два белых и десять чёрных шаров. Во втором ящике восемь белых и четыре чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Определить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение.

Событие А – появление белого шара из первого ящика. Событие В – появление белого шара из второго ящика. События А и В – независимые.

Вероятности Р(А) = 2/12 = 1/6, Р(В) = 8/12 = 2/3.

Применяем теорему умножения вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 2/18 = 1/9.

Вопросы для повторения

1 Что называется факториалом?

2 Перечислите основные задачи комбинаторики.

3 Что называется перестановками?

4 Что называется перемещениями?

5 Что называется сочетаниями?

6 Какие события называются достоверными?

7 Какие события называются несовместными?

8 Что называется вероятностью события?

9 Что называется условной вероятностью?

10 Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

11 пр .Размещением из п элементов по к (к ≤ п ) называется любое множество, состоящее из к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

Таким образом, два размещения из п элементов по к считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения Число размещений из п элементов по к обозначают А п к и вычисляют по формуле

А п к =

Если размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то они представляют собой перестановки из п элементов

Пример1 . Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем

А 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Расписание можно составить 3024 способами

Пример2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6 ?

Решение Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений

из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтом из размещений из 7 элементов по3 надо исключить те, у которых первым элементом является 0. Их число равно числу размещений их 6 элементов по 2. =

Значит искомое число трехзначных чисел равно

А 7 3 - А 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Закрепление полученных знаний в процессе решения задач

№754 . Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение. Число способов равно А 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Т.к.любой из участников может быть как секретарем, так и председателем, то число способов их избрания равно

А 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1,3,5,7,9. б) 0,2,4,6,8?

Решение а) А 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

б)) А 5 4 - А 4 3 = 5! – 4! = 120 – 24= 96

Домашнее задание № 756, №757, № 758, №759.

6урок Тема: « Сочетания»

Цель: Дать понятие о сочетаниях, познакомить с формулой для вычисления сочетаний, научить применять эту формулу для подсчета числа сочетаний.

1 Проверка домашнего задания.

№ 756 . На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Решение: А 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 способов

№757 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4х100м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение: А 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: А 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой 20 одноместных столов?

Решение: А 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Организовать проверку домашнего задания можно разными способами: устно проверить решение домашних упражнений, решения некоторых из них записать на доске, а пока идет запись решений провести опрос уч-ся по вопросам:

1. Что означает запись п!

2.Что называется перестановкой из п элементов?

3.По какой формуле считают число перестановок?

4. Что называют размещением из п элементов по к?

5. п элементов по к?

2 Объяснение нового материала

Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами а, в, с, д, е. Требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Если в букет входит гвоздика а , то можно составить такие букеты:

авс, авд, аве, асд, асе, аде.

Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика в , то можно получить такие букеты:

всд, все, вде.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика в, то возможен только один вариант составления букета:

сде.

Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по – разному сочетаются три гвоздики из 5. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что С 5 3 = 10.

Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по к, где к ≤ п.

Выясним сначала, как С 5 3 выражается через А 5 3 и Р 3 . Мы нашли, что их 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента:

авс, авд, аве, асд, асе, аде, всд, все, вде, сде.

В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р 3 . В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаится либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим А 5 3 размещений.

Значит , С 5 3 ∙ Р 3 = А 5 3 , отсюда С 5 3 = А 5 3: Р 3

Рассуждая в общем случае получим С п к = А п к: Р к,

Пользуясь тем, что А п к = , где к ≤ п., получим С п к = .

Это формула для вычисления числа сочетаний из п элементов по к при любом

к ≤ п.

Пример1 . Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3

С 15 3 = = (13∙ 14∙15) : (1∙ 2 ∙ 3) = 455

Приме2 В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Выбрать 3 мальчиков из 12 можно С 12 3 , а двух девочек из 10 можно выбрать С 10 2 . Т. к. при каждом выборе мальчиков можно С 10 2 способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче можно

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Закрепление нового материала, в процессе решения задач

Задача

У Саши в домашней библиотеке есть 8 исторических романов. Петя хочет взять у него 2 любых романа. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: С 8 2 = = (7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 а

В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира команду из 4 человек?

Решение: С 16 4 = = (13∙ 14∙15 ∙16) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта спротзала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Домашняя работа №768, №769, № 770, № 775

7урок Тема: « Решение задач на применение формул для подсчета числа перемещений, размещений, сочетаний»

Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование навыков решения простейших комбинаторных задач

1 Проверка домашнего задания

№768 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: С 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 В магазине « Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: С 8 3 = = (6 ∙ 7 ∙ 8) : (1∙ 2 ∙ 3) = 56

№770 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: С 10 6 = = (7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С 10 3 ∙ С 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Вопросы классу

1.Что называется перестановкой из п элементов?

2.По какой формуле считают число перестановок?

3. Что называют размещением из п элементов по к?

4. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?

5. Что называют сочетанием из п элементов по к?

6. По какой формуле считают число сочетаний из п элементов по к?

Задачи для совместного решения

При решении каждой задачи вначале идет обсуждение: какая из трех изученных формул поможет получить ответ и почему

1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8,9, при условии, что все цифры разные?

2. Из 15 человек в группе студентов надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

3. Из 10 лучших учащихся школы два человека надо послать на слет лидеров.

Сколькими способами это можно сделать?

Замечание: В задаче №3 не имеет значения кого выбрать: любых 2 человек из 10, поэтому здесь работает формула для подсчета числа сочетаний.

В задаче №2 выбирают упорядоченную пару,т.к. в выбранной паре,если фамилии поменять местами это будет уже другой выбор, поэтому здесь работает формула для подсчета числа размещений

Ответы к задачам для совместного решения:

№1 24 числа. №2 210 способов. №3 45 способов

Задачи для совместного обсуждения и самостоятельных вычислений

№1Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

№2 Сколькими способами можно составить расписание для учащихся 1класса на один день, если у них 7 предметов, и в этот день должно быть 4 урока?

(Число размещений из 7 по 4)

№3 В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по- новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений.

№4 К хозяину дома пришли гости А,В,С,Д. За круглым столом – пять разных стульев. Сколько существует способов рассаживания?

(В гости пришли 4 человека + хозяин = 5 человек рассаживаются на 5 стульях, надо посчитать число перестановок)

5. В книжке раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры в разные цвета. Сколько существует способов раскрашивания?

(Посчитайте число размещений из 7 по 3)

№6 В классе 10 мальчиков и 4 девочки. Надо выбрать 3 человека дежурными так, чтобы среди них было 2 мальчика и 1 девочка. Сколькими способами это можно сделать?

(Число сочетаний из 10 по 2 умножить на число сочетаний из 4 по 1)

Ответы для задач с самостоятельным вычислением

№1 15 рукопожатий

№2 840 способов

№3 720дней

№5 120 способов

№6 180 способов

Домашнее задание №835, №841

8 урок Тема: « Самостоятельная работа»

Цель: Проверка знаний учащихся

1.Проверка домашнего задании

№^ 835 Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр а) 1,2,3,7 . б) 1,2,3,4.

а) Наши числа должны оканчиваться четной цифрой, такая цйфра в условии одна это цифра 2 , поставим ее на последнее место, а оставшиеся 3 цифры будем переставлять, число таких перестановок равно 3! = 6 .Значит можно составить 6 четных чисел

б) рассуждаем как в примере а) поставив на последнее место цифру 2 получим 6 четных чисел, поставив на последнее место цифру 4 получим еще 6 четных чисел,

значит всего 12 четных чисел

№841 Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и его помощника?

а) т.к. дежурными могут быть любые 2 человека из 24 , то количество пар равно

С 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

б) здесь выдирают упорядоченную пару элементов из 24 элементов, количество таких пар равно А 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

1 вариант решает задания № 1,2,3,4,5.

2 вариант решает задания №6,7,8,9,10.

Решение простейших комбинаторных задач

(по материалам к.р. в апреле 2010 года)

1 . Сколькими способами можно расставить на полке пять книг разных авторов?

2. Сколькими способами можно составить полдник из напитка и пирожка, если в меню указаны: чай, кофе, какао и пирожки с яблоком или с вишней?

3. В среду по расписанию в 9 «А» классе должно быть 5 уроков: химия, физика, алгебра, биология и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

4. Имеются 2 белых лошади и 4 гнедых. Сколькими способами можно

составить пару из лошадей разной масти?

5. Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?

6. В шкафу на полке лежат 3 шапки различных фасонов и 4 шарфа разных цветов. Сколькими способами можно составить набор из одной шапки и одного шарфа?

7. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами

можно установить очередность выступления участниц финала красоты?

^ 8 .Имеются 4 утки и 3 гуся. Сколькими способами можно из них выбрать две разных птицы?

9. Сколькими способами можно разложить 5 разных писем по 5 разным

конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

10. В коробке хранятся 5 красных и 4 зелёных шара. Сколькими способами можно составить пару из шаров разного цвета?

Ответы для заданий самостоятельной работы

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

взаимно независимыми;
взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

вероятность того, что победят обе автомашины;
вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

В случаях, когда интересующее событие является суммой других событий, для нахождения его вероятности используется формула сложения.

Формула сложения имеет две основные разновидности – для совместных и для несовместных событий. Обосновать эти формулы можно, используя диаграммы Венна (рис. 21). Напомним, что на этих диаграммах вероятности событий численно равны площадям соответствующих этим событиям зон.

Для двух несовместных событий :

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (8, а)

Для N несовместных событий , вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

= .(8б)

Из формулы сложения несовместных событий имеются два важных следствия.

Следствие 1. Для событий, образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице:

= 1.

Это объясняется следующим. Для событий, образующих полную группу, в левой части выражения (8б) находится вероятность того, что произойдёт одно из событий А i , но так как полная группа исчерпывает весь перечень возможных событий, то одно из таких событий произойдёт обязательно. Таким образом, в левой части записана вероятность события, которое обязательно произойдёт – достоверного события. Вероятность его равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице :

Р(А) + Р(Ā) = 1.

Это следствие вытекает из предыдущего, так как противоположные события всегда образуют полную группу.

Пример 15

В ероятность работоспособного состояния технического устройства равна 0,8. Найти вероятность отказа этого устройства за тот же период наблюдений.

Решение.

Важное замечание . В теории надёжности принято вероятность работоспособного состояния обозначать буквой р , а вероятность отказа - буквой q. В дальнейшем будем использовать эти обозначения. Как та, так и другая вероятности являются функциями времени. Так, для больших периодов времени вероятность работоспособного состояния любого объекта приближается к нулю. Вероятность отказа любого объекта близка к нулю для малых периодов времени. В тех случаях, когда период наблюдения в задачах не указан, подразумевается, что он одинаков для всех рассматриваемых объектов.

Нахождение устройства в состояниях работоспособности и отказа – противоположные события. Пользуясь следствием 2, получим вероятность отказа устройства:

q = 1 – р = 1 – 0,8 = 0,2.

Для двух совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ), (9)

что иллюстрирует диаграмма Венна (рис. 22).

Действительно, чтобы найти всю заштрихованную площадь (она соответствует сумме событий А + В), нужно из суммы площадей фигур А и В вычесть площадь общей зоны (она соответствует произведению событий АВ), так как иначе она будет учтена дважды.

Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняется:

Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС). (10)

На диаграмме Венна (рис. 23) искомая вероятность численно равна общей площади зоны, образованной событиями А, В и С (для упрощения рисунка единичный квадрат на нем не показан).

После того, как из суммы площадей зон А, В и С вычтены площади зон АВ, АС и СВ получилось, что площадь зоны АВС была просуммирована трижды и трижды вычтена. Поэтому для учета этой площади она должна быть добавлена в окончательное выражение.

При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.

В итоге следует подчеркнуть: формула сложения вероятностей совместных событий при количестве слагаемых от трех и более громоздка и неудобна к применению, использование ее при решении задач нецелесообразно .

Пример 16

Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 24) определить вероятность отказа системы в целом Q С по вероятностям отказа q i отдельных элементов (генератора, трансформаторов и линии).

Состояния отказа отдельных элементов системы электроснабжения, так же как и состояния работоспособности, всегда являются попарно совместными событиями , так как нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы одновременно производился ремонт, например, линии и трансформатора. Отказ системы наступает при отказе любого её элемента: или генератора, или 1-го трансформатора, или линии, или 2-го трансформатора, или при отказе любой пары, любой тройки или всех четырёх элементов. Следовательно, искомое событие – отказ системы является суммой отказов отдельных элементов. Для решения задачи может быть использована формула сложения совместных событий:

Q с = q г + q т1 + q л + q т2 – q г q т1 – q г q л – q г q т2 – q т1 q л – q т1 q т2 – q л q т2 + q г q т1 q л + q г q л q т2 + q г q т1 q т2 + q т1 q т2 q л – q г q т1 q л q т2.

Это решение ещё раз убеждает в громоздкости формулы сложения для совместных событий. В дальнейшем будет рассмотрен другой более рациональный способ решения данной задачи.

Полученное выше решение может быть упрощено с учётом того, что вероятности отказов отдельных элементов системы электроснабжения для применяемого обычно в расчётах надежности периода в один год достаточно малы (порядка 10 -2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, что практически не повлияет на численный результат. Тогда можно записать:

Q с ≈q г + q т1 + q л + q т2 .

Однако к подобным упрощениям надо относится осторожно, внимательно изучая их последствия, так как часто отбрасываемые слагаемые могут оказаться соизмеримыми с первыми.

Пример 17

Определить вероятность работоспособного состояния системы Р С , состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.

Решение . Резервирующие друг друга элементы на логической схеме анализа надёжности изображаются соединенными параллельно (рис. 25):

Резервированная система работоспособна, когда работоспособен или 1-й, или 2-й, или 3-й элемент, или работоспособна любая пара, или все три элемента совместно. Следовательно, работоспособное состояние системы есть сумма работоспособных состояний отдельных элементов. По формуле сложения для совместных событий Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3 . , где Р 1 , Р 2 и Р 3 – вероятности работоспособного состояния элементов 1, 2 и 3 соответственно.

В данном случае упрощать решение, отбрасывая по парные произведения нельзя, поскольку такое приближение даст значительную погрешность (эти произведения обычно числено близки к первым трём слагаемым). Как и в примере 16, эта задача имеет другое более компактное решение.

Пример 18

Для двухцепной линии электропередачи (рис. 26) известна вероятность отказа каждой цепи: q 1 = q 2 = 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R 100), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R 50), и вероятность того, что система откажет – Q.

Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:

Р(100%) = р 1 р 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:

Р(0%) = q 1 q 2 =0,001∙0,001 = 10 -6 .

Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:

Р(50%)= р 1 q 2 + р 2 q 1 = 2∙0,999∙10 -3 = 0,001998.

В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.

События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.