Для всех и обо всем. Парадокс Монти Холла — объяснение увеличения вероятности выбора Парадокс работает с 3 дверьми
Решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).
Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:
- автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
- ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
- если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.
Разбор
Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.
Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½ , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными! Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.
Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .
Еще более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и еще одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½ . Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 2 ⁄ 3 .
Другой способ рассуждения - замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.
Другое поведение ведущего
Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.
Возможное поведение ведущего Поведение ведущего Результат «Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная . Смена всегда даст козу. «Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная . Смена всегда даст автомобиль. «Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля . Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» - правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь. Смена даёт выигрыш в ½ случаев. Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q =1−p . Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью 1 1 + p {\displaystyle {\frac {1}{1+p}}} . Если правую - 1 1 + q {\displaystyle {\frac {1}{1+q}}} . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь - независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью 1 + q 3 {\displaystyle {\frac {1+q}{3}}} . То же самое, p =q = ½ (классический случай). Смена даёт выигрыш с вероятностью 2 ⁄ 3 . То же самое, p =1, q =0 («бессильный Монти» - усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе). Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую - вероятность ½ . Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае. Смена даёт выигрыш с вероятностью ½ . Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз. Равновесие Нэша : ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2 ⁄ 3 ). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓ ; если есть выбор, открываем любую козу наугад. То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще. Равновесие Нэша : ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓ . См. также
Примечания
- Tierney, John (July 21, 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times
,
Представьте, что некий банкир предлагает вам выбрать одну из трёх закрытых коробочек. В одной из них 50 центов, в другой - один доллар, в третьей - 10 тысяч долларов. Какую выберете, та вам и достанется в качестве приза.
Вы выбираете наугад, скажем, коробочку №1. И тут банкир (который, естественно, знает, где что) прямо на ваших глазах открывает коробочку с одним долларом (допустим, это №2), после чего предлагает вам поменять изначально выбранную коробочку №1 на коробочку №3.
Стоит ли вам менять своё решение? Увеличатся ли при этом ваши шансы получить 10 тысяч?
Это и есть парадокс Монти Холла — задача теории вероятности, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Над этой задачей люди ломают головы с 1975 года.
Парадокс получил название в честь ведущего популярного американского телешоу «Let’s Make a Deal». В этом телешоу были похожие правила, только участники выбирали двери, за двумя из которых прятались козы, за третьей - Кадиллак.
Большинство игроков рассуждали, что после того, как закрытых дверей осталось две и за одной из них находится Кадиллак, то шансы его получить 50-50.Очевидно, что когда ведущий открывает одну дверь и предлагает вам поменять своё решение, он начинает новую игру. Поменяете вы решение или не поменяете, ваши шансы всё равно будут равны 50 процентам. Так ведь?
Оказывается, что нет. На самом деле, поменяв решение, вы удвоите шансы на успех. Почему?
Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.
Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.
Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие — принятие решения игроком о смене двери, второе событие — открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье). Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.
Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей — автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие — сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный — если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.
Монти Холл, продюсер и ведущий шоу Let’s Make a Deal с 1963-го по 1991 год.
В 1990 году эта задача и её решение были опубликованы в американском журнале “Parade”. Публикация вызвала шквал возмущённых отзывов читателей, многие из которых обладали научными степенями.
Главная претензия заключалась в том, что не все условия задачи были оговорены, и любой нюанс мог повлиять на результат. Например, ведущий мог предложить поменять решение только в том случае, если игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора в такой ситуации приведёт к гарантированному проигрышу.
Однако за всё время существования телешоу Монти Холла люди, менявшие решение, действительно выигрывали вдвое чаще:
Из 30 игроков, поменявших первоначальное решение, Кадиллак выиграли 18 - то есть 60%
Из 30 игроков, которые остались при своём выборе, Кадиллак выиграли 11 - то есть примерно 36%
Так что приведённые в решении рассуждения, какими бы нелогичными они не казались, подтверждаются практикой.
Увеличение количества дверей
Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 — козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы — они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.
При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей — 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.
Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними — 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 1 %.
Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений. В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.
Если же вам непонятно все равно, плюньте на формулы и просто проверьте всё статистически . Еще один вариант объяснения:
- Игрок, чья стратегия заключалась бы в том, чтобы каждый раз менять выбранную дверь, будет проигрывать только в том случае, если он изначально выбирает дверь, за которой находится автомобиль.
- Поскольку вероятность выбрать автомобиль с первой попытки составляет один к трём (или 33%), то шанс не выбрать автомобиль, если игрок будет менять свой выбор, также равен один к трём (или 33%).
- Это означает, что игрок, который использовал стратегию менять дверь, выиграет с вероятностью 66 % или два к трём.
- Это удвоит шансы на выигрыш игрока, чья стратегия - каждый раз не менять свой выбор.
Всё ещё не верите? Предположим, что вы выбрали дверь №1. Здесь представлены все возможные варианты того, что может произойти в этом случае.
О лотереях
Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами - людям иногда везёт.
Математика случая. История теории вероятностей
Александр Буфетов
Стенограмма и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.
Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной
Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика. «Теории и практики» публикуют отрывок из книги.
Детерминизм
Детерминизм — общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.
Бог - это статистика
Дебора Нолан, профессор статистики в Университете Калифорнии в Беркли, предлагает своим студентам выполнить очень странное на первый взгляд задание. Первая группа должна сто раз подбрасывать монетку и записывать результат: орёл или решка. Вторая должна представить, что подбрасывает монетку – и тоже составить список из сотни «мнимых» результатов.
Что такое детерминизм
Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.
Задача о разборчивой невесте
Гусейн-Заде С. М.
Парадокс Зенона
Можно ли из одной точки в пространстве добраться до другой? Древнегреческий философ Зенон Элейский считал, что перемещение невозможно осуществить вообще, но как он это аргументировал? Колм Келлер расскажет о том, как разрешить знаменитый парадокс Зенона.
Парадоксы бесконечных множеств
Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех - не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?
Зависимость роста ребенка от роста родителей
Молодым родителям, конечно, хочется знать, какого роста будет их ребенок, став взрослым. Математическая статистика может предложить простую линейную зависимость для приближен ной оценки роста детей, исходя только из роста отца и матери, а также указать точность такой оценки.
Парадокс Монти Холла - наверно самый известный парадокс в теории вероятностей. Существует масса его вариаций, например, парадокс трёх узников. И существует масса толкований и объяснений этого парадокса. Но здесь, я хотел бы дать не только формальное объяснение, но показать «физическую» основу того, что происходит в парадоксе Монти Холла и ему подобных.
Классическая формулировка такова:
«Вы участник игры. Перед вами три двери. За одной из них приз. Ведущий предлагает вам попытаться угадать, где приз. Вы указываете на одну из дверей (наугад).
Формулировка парадокса Монти Холла
Ведущий знает, где на самом деле находится приз. Он, пока, не открывает ту дверь, на которую вы показали. Но открывает вам ещё одну из оставшихся дверей, за которой нет приза. Вопрос в том, сто́ит ли вам изменить свой выбор, или остаться при прежнем решении?»
Оказывается, что если вы просто измените выбор, то ваши шансы выиграть возрастут!
Парадоксальность ситуации очевидна. Кажется, что всё происходящее случайно. Нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет. Но это не так.
«Физическое» объяснение природы этого парадокса
Давайте, сперва, не будем вдаваться в математические тонкости, а просто не предвзято посмотрим на ситуацию.
В этой игре вы лишь сперва делаете случайный выбор. Потом ведущий сообщает вам дополнительную информацию , которая и позволяет вам увеличить свои шансы на победу.
Каким образом ведущий сообщает вам дополнительную информацию? Очень просто. Обратите внимание, что он открывает не любую дверь.
Давайте, для простоты (хоть в этом и есть элемент лукавства), рассмотрим более вероятную ситуацию: вы показали на дверь, за которой нет приза. Тогда, за одной из оставшихся дверей приз есть . То есть, у ведущего нет выбора. Он открывает вполне определённую дверь. (На одну указали вы, за другой есть приз, остаётся только одна дверь, которую может открыть ведущий.)
Именно в этот момент осмысленного выбора, он и сообщает вам информацию, которой вы можете воспользоваться.
В данном случае, использование информации заключается в том, что вы меняете решение.
Кстати, ваш второй выбор уже тоже не случаен (вернее, не на столько случаен, как первый выбор). Ведь вы выбираете из закрытых дверей, а одна уже открыта и она не произвольная .
Собственно, уже после этих рассуждений у вас может появиться ощущение, что лучше поменять решение. Это действительно так. Давайте покажем это более формально.
Более формальное объяснение парадокса Монти Холла
На самом деле ваш первый, случайный, выбор разбивает все двери на две группы. За той дверью, которую выбрали вы приз находится с вероятностью 1/3, за двумя другими - с вероятностью 2/3. Теперь ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к закрытой двери из группы из двух дверей.
Понятно, что теперь вам выгодней поменять своё решение.
Хотя, конечно, у вас остаётся шанс проиграть.
Тем не менее смена выбора увеличивает ваши шансы на выигрыш.
Парадокс Монти Холла
Парадокс Монти Холла - вероятностная задача, решение которой (по мнению некоторых) противоречит здравому смыслу. Формулировка задачи:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы.
Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.Парадокс Монти Холла. Самая неточная математика
После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?При решении задачи часто ошибочно полагают что два выбора являются независимыми и, следовательно, вероятность при изменении выбора не изменится. На самом деле это не так, в чём можно убедиться вспомнив формулу Байеса или посмотрев на результаты симуляции ниже:
Здесь: «стратегия 1» - не менять выбор, «стратегия 2» - изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей - 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.
Ссылки
Парадокс Монти Холла – задача из раздела теории вероятности, в решении которой просматривается противоречие здравому смыслу.
История возникновения[править | править вики-текст]
В конце 1963 года в эфир вышло новое ток-шоу под названием «Let’s Make a Deal» («Давайте договоримся»). По сценарию викторины зрители из аудитории получали призы за правильные ответы, имея шанс приумножить их, делая новые ставки, но рискуя имеющимся выигрышем. Основателями шоу являлись Стефан Хатосу и Монти Холл, последний из которых стал его неизменным ведущим на многие годы.
Одним из заданий для участников стал розыгрыш Главного приза, который был расположен за одной из трех дверей. За двумя оставшимися находились поощрительные призы, в свою очередь ведущий знал порядок их расположения. Участнику необходимо было определить выигрышную дверь, поставив на кон весь свой выигрыш за шоу.
Когда угадывающий определялся с номером, ведущий открывал одну из оставшихся дверей, за которой находился поощрительный приз, и предлагал игроку поменять первоначально выбранную дверь.
Формулировки[править | править вики-текст]
Как конкретную задачу, парадокс впервые сформулировал Стив Селвин (Steve Selvin) в 1975 году, отправивший в журнал The American Statistician («Американский статистик»), и ведущему Монти Холлу, вопрос: изменятся ли шансы участника выиграть Главный приз, если после открытия двери с поощрительным он поменяет свой выбор? После этого случая появилось понятие «Парадокс Монти Холла».
В 1990 была в Parade Magazine (Журнал «Парад») опубликована самая распространенная версия парадокса с примером:
«Представьте себя на телеигре, где нужно отдать предпочтенье одной из трех дверей: за двумя из них козы, а за третьей — автомобиль. Когда Вы совершите выбор, предположив, например, что выигрышная дверь номер один, ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей, например, номер три, за которой коза. Затем Вам дается шанс изменить выбор на другую дверь? Можно ли увеличить шансы выиграть автомобиль, если поменять свой выбор с двери номер один на дверь номер два?»
Эта формулировка является упрощенным вариантом, т.к. остается фактор влияния ведущего, который точно знает, где автомобиль и заинтересован в проигрыше участника.
Чтоб задача стала сугубо математической, необходимо исключить человеческий фактор, введя открытие двери с поощрительным призом и возможность изменить первоначальный выбор как неотъемлемые условия.
Решение[править | править вики-текст]
При сравнении шансов на первый взгляд изменение номера двери не даст никаких преимуществ, т.к. все три варианта имеют шанс на выигрыш 1/3 (ок. 33,33% на каждую из трех дверей). При этом открытие одной из дверей никак не отразится на шансах двух оставшихся, чьи шансы станут 1/2 к 1/2 (50% на каждую из двух оставшихся дверей). В основу такого суждения ложится суждение, что выбор двери игроком и выбор двери ведущим – два независимых события, не влияющих одно на другое. В действительности необходимо рассматривать всю последовательность событий как единое целое. В соответствии с теорией вероятности, у первой выбранной двери шансы с начала и до конца игры неизменно 1/3 (ок.33,33%), а у двух оставшихся в сумме 1/3+1/3 = 2/3 (ок. 66,66%). Когда открывается одна из двух оставшихся дверей, ее шансы становятся 0% (за ней спрятан поощрительный приз), и как результат шансы закрытой невыбранной двери составят 66,66%, т.е. в два раза больше, чем у выбранной первоначально.
Для облегчения понимания результатов выбора можно рассмотреть альтернативную ситуацию, в которой количество вариантов будет больше, например — тысяча. Вероятность выбрать выигрышный вариант составит 1/1000 (0,1%). При условии, что в последствии из оставшихся девятьсот девяносто девяти вариантов будут открыты девятьсот девяносто восемь неверных, становится очевидно, что вероятность одной оставшейся двери из девятьсот девяносто девяти невыбранных выше, чем у единственной, выбранной вначале.
Упоминания[править | править вики-текст]
Встретить упоминание Парадокса Монти Холла можно в «Двадцать одно» (фильма Роберта Лукетича), «Недотёпа» (романе Сергея Лукьяненко), телесериале «4исла» (телесериал), «Загадочное ночное убийство собаки» (повести Марка Хэддона), «XKCD» (комикс), «Разрушители легенд» (телешоу).
См. также[править | править вики-текст]
На изображении процесс выбора между двумя зарытыми дверьми из трех предложенных первоначально
Примеры решений задач по комбинаторике
Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв.
В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).
Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.
Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.
Задачи по комбинаторике с решениями онлайн
Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение задачи по комбинаторике 1 (pdf, 35 Кб)
Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение задачи по комбинаторике 2 (pdf, 39 Кб)
Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Решение задачи по комбинаторике 3 (pdf, 33 Кб)
Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение задачи по комбинаторике 4 (pdf, 34 Кб)
Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.
Решение задачи по комбинаторике 5 (pdf, 37 Кб)
Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Задача по комбинаторике с решением 6 (pdf, 33 Кб)
Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Задача по комбинаторике с решением 7 (pdf, 37 Кб)
Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Задача по комбинаторике с решением 8 (pdf, 32 Кб)
Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
Задача по комбинаторике с решением 9 (pdf, 32 Кб)
Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
Задача по комбинаторике с решением 10 (pdf, 39 Кб)
Готовые примеры
Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:
Другие решения задач по теории вероятностей
В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.
В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ . Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».
Задача
Вы оказались на шоу Монти Холла в роли участника - и в заключительный момент, открыв дверь с козой, ведущий предложил вам поменять свой выбор. Повлияет ли ваше решение - согласиться или нет - на вероятность выигрыша?
Подсказка
Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?
Решение
Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.
Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.
Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью, мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.
Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.
Послесловие
Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав? »
Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая? »
Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример: вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.
Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.
Теория вероятностей - раздел математики, который готов запутать самих математиков. В отличие от остальных, точных и незыблемых догм этой науки, данная область кишит странностями и неточностями. В этот раздел совсем недавно добавили так сказать новый параграф - парадокс Монти Холла. Это, в общем, задача, но решается она совсем не так, как привычные нам школьные или университетские.
История происхождения
Над парадоксом Монти Холла люди ломают свои головы, начиная с далекого 1975 года. Но начать стоит с 1963. Именно тогда на экраны вышло телешоу под названием Let"s make a deal, что переводится как "Давайте заключим сделку". Его ведущим стал никто иной как Монти Холл, который подкидывал зрителям порой неразрешимые задачки. Одной из наиболее ярких стала та, которую он представил в 1975 году. Задача стала частью математической теории вероятности и парадоксов, которые укладываются в ее рамки. Стоит также отметить, что данное явление стало причиной сильных дискуссий и жесткой критики со стороны ученых. Парадокс Монти Холла был опубликован в журнале Parade в 1990 году, и с тех пор стал еще более обсуждаемым и спорным вопросом всех времен и народов. Ну а теперь переходим непосредственно к его формулировке и трактовке.
Формулировка проблемы
Существует множество трактовок данного парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими по одной козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и, допустим, вы останавливаетесь на номере 1. Пока что вы не знаете, что за этой самой первой дверью, так как вам открывают третью, и показывают, что за ней коза. Следовательно, вы пока что не проиграли, ведь вы не выбрали ту дверь, которая скрывает проигрышный вариант. Следовательно, ваши шансы на получение машины возрастают.
Но тут ведущий предлагает вам изменить решение. Перед вами уже две двери, за одной коза, за другой желанный приз. Именно в этом и заключается суть проблемы. Кажется, что какую бы дверь из двух вы ни выбрали, шансы будут 50 на 50. Но на самом деле, если вы поменяете решение, вероятность того, что вы победите, станет больше. Как так?
Первый выбор, который вы делаете в этой игре - случайный. Вы никак не можете даже отдаленно догадываться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому рандомно указываете на первую попавшуюся. Ведущий же в свою очередь знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую указали вы, и третья без приза, которую он вам и открывает в качестве первой подсказки. Вторая же подсказка кроется в самом его предложении сменить выбор.
Теперь вы уже будете выбирать не наугад одну из трех, а сможете даже изменить свое решение, чтобы получить желаемый приз. Именно предложение ведущего дает человеку веру в то, что автомобиль находится действительно не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и заключается вся суть парадокса, так как, по сути, выбирать (хоть уже из двух, а не из трех) все равно приходится наугад, но шансы на победу возрастают. Как показывает статистика, из 30-ти игроков, которые поменяли свое решение, машину выиграли 18. А это 60%. А из тех же 30-ти человек, которые решение не изменили - всего 11, то есть 36%.
Трактовка в цифрах
Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока разбивает двери на две группы. Вероятность того, что приз расположен за дверью, которую вы выбрали, составляет 1/3, а за теми дверьми, что остались 2/3. Ведущий далее открывает одну из дверей второй группы. Таким образом он переносит всю оставшуюся вероятность, 2/3, на одну дверь, которую вы не выбрали и которую он не открывал. Логично, что после таких расчетов выгоднее будет сменить свое решение. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все-таки имеется. Порой ведущие лукавят, так как вы изначально можете ткнуть на правильную, призовую дверь, а после от нее добровольно отказаться.
Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. Тут дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области, как нам кажется, не вкладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и вычислениям. Предлагаем ниже ознакомиться с другими парадоксами теории вероятности, которые имеют нечто общее с тем, который был описан выше.
Парадокс мальчика и девочки
Задачка, на первый взгляд, абсурдная, но она строго подчиняется математической формуле и имеет два варианта решения. Итак, у некого мужчины двое детей. Один из них наверняка мальчик. Какова вероятность того, что мальчиком окажется второй?
Вариант 1. Мы рассматриваем все комбинации двоих детей в семье:
- Девочка/девочка.
- Девочка/мальчик.
- Мальчик/девочка.
- Мальчик/мальчик.
Первая комбинации нам очевидно не подходит, поэтому, исходя из трех последних, мы получаем вероятность в 1/3 того, что вторым ребенком окажется маленький мужчина.
Вариант 2. Если же представить себе такой случай на практике, откинув дроби и формулы, то, исходя из того факта, что на Земле есть только два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, составляет 1/2.
Этот опыт показывает нам, как лихо можно манипулировать статистикой. Итак, "спящей красавице" вкалывают снотворное и кидают монетку. Если выпадает орел, то ее будят и эксперимент прекращается. Если же выпадает решка, то ее будят, сразу делая второй укол, и она забывает о том, что просыпалась, а после этого вновь пробуждают лишь на второй день. После полного пробуждения "красавице" неизвестно, в какой день она открыла глаза, или какова вероятность того, что монета упала решкой. По первому варианту решения вероятность выпадения решки (или орла) составляет 1/2. Суть второго варианта заключается в том, что, если проводить эксперимент 1000 раз, то в случае с орлом "красавицу" будут будить 500 раз, а с редкой - 1000. Теперь уже вероятность выпадения решки составляет 2/3.