Прерывание беременности 

Четырехугольная пирамида рисунок. Изображение пространственных фигур

К азалось бы, что может быть сложного или неправильного в изображении пирамиды? Неужели и здесь репетитор по математике не обходится без специальных приемов и методик? Отмечается всего лишь 4 точки (любые 3 из которых не лежат на одной прямой) и соединяются шестью отрезками. И все. Что здесь обсуждать? Но даже в такой простой ситуации репетитору по математике приходится исправлять ученические ошиби. Даже не столько математические, сколько стратегические. Какие? Рисунок, на котором невозможно рассмотреть или показать элементы пространственного тела, подписать значения величин, на котором не развернуться с дополнительными построениями, лучше переделать. Это должен понимать любой репетитор и в начале курса подготовки к ЕГЭ потратить некоторое время на обучение правилам и культуре чертежа. Кроме требований к его аккуратности и удобному расположению информации из условия задачи существуют еще и математические законы его выполнения. Рассмотрим их подробнее.

Правило метода изображений.

Метод изображений — отдельный предмет, изучению которого на математическом факультете МПГУ отводится целый семестр. То, что мы рисуем на бумаге – следы от проекций частей тела на некоторую плоскость. От нее зависит то, какие отрезки и какие сечения будут отчетливо видны, а какие окажутся «наползающими» друг на друга или скрытыми. Когда репетитор по математике решает, с какой стороны нарисовать ученику пирамиду, он определяет расположение плоскости и направление проецирования.

Существуют геометрические законы проецирования простейших стереометрических объектов. Длины непараллельных отрезков, например, при изображении могут менять соотношение своих длин (преподавателю лучше произнести «искажаются»). Если в реальности один из них больше другого, то в проекции может быть все с точностью до наоборот. Тоже самое и с углами. Прямой угол может проецироваться как в острый, так и в тупой. Для того, чтобы репетитору математики убедить в этом ученика стоит покрутить перед его глазами обычный угольник. Однако отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или совпадающих прямых, не меняется и, в частности, не искажаются середины сторон многоугольников (граней пирамиды). Это объясняет закон расположения основания высоты правильной треугольной пирамиды: оно должно являться точкой пересечения его медиан (центром тяжести). Не искажается также параллельность. Если в пространстве имеется параллельность между прямыми, то она сохраняется и между их следами. Поэтому изображением основания правильной четырехугольной пирамиды выбирается параллелограмм.

Читабельность рисунка.

Важно расположить пирамиду так, чтобы все ее части не просто были видны, а допускали бы дальнейшее усложнение чертежа: проведение апофем, следов от сечений и т.д.

Для этого строить, например, правильную пирамиду желательно снизу вверх через высоту (так она используется почти во всех задачах). Сначала репетитор по математике рисует основание пирамиды, затем ее центр и из этой точки восстанавливает перпендикуляр. Его верний конец выбирается так, чтобы все наклонные ребра были достаточно удалены друг от друга. Если строить в обратном порядке можно промахнуться с центром многоугольника. Конечно, это не критично для решения задач на правильную треугольную пирамиду, но все равно неприглядно для восприятия. Середины должна отображаться серединами.

Построение основания .
Независимо от вида основания тетраэдра его изображают остроугольным треугольником и вытягивают влево или вправо. Зачем? Если он будет равнобедренным, то одно из боковых ребер закроет высоту (если конечно ее основание правильно расположено). Это показано на рисунке.

Фронтальное изображение тетраэдра. Правило репетитора.

Каким краем лучше всего изобразить пирамиду? То есть как оптимально выбрать плоскость для проецирования? Некоторые преподаватели и репетиторы по математике, к сожалению, не обращают внимание на такую «мелочь» как фронтальное расположение пирамиды. А зря. Существует два вида рисунка: «уголком основания к нам» или «уголком от нас» Рассмотрим рисунок с «уголком ABC от нас»:
Восстанавливаем высоту снизу вверх и выбираем положение ее конца (вершины пирамиды) с расчетом на приемлемый размах грани ABP. Для этого самое главное не попасть точкой P на линию AB. Иначе мы грань не увидим. Значительное отклонение от точки пересечения (в изображении) линий AB и OP вызывает довольно небольшое отклонение луча AP от луча AB и поэтому, чтобы добиться размаха грани ABP, необходимо выбирать точку P или очень низко или очень высоко. Последнее может чрезмерно укрупнить рисунок, вытягивая пирамиду вверх (сокращая пространство для самого решения), а низкая точка делает рисунок мелким. Поэтому я не рекомендую репетиторам по математике работать с таким фронтом. Лучше всего перевернуть треугольник ABC уголком к нам.
Заметьте, что теперь положение точки P никак не сказывается на читабельности грани ABP и если не равнобедренный и «сильно остроугольный», а точка О – его центр тяжести (то есть O не на высоте основания), то высота пирамиды не будет закрыта ребром BP ни при каком расположении вершины P. В этом случае репетитор по математике получает определенную свободу выбора вершины пирамиды, что крайне важно для улучшения читабельности дальнейших построений в сложных задачах.

Прорисовка невидимых линий.
Репетитор по математике, конечно, может обойтись и без пунктиров. Однако что русскому то хорошо, то немцу смерь. Ученику — важно воспринять тело именно с той стороны, с которой его видит репетитор. Особенно при работе с гранями. Я советую преподавателю математики чаще называть грани не по вершинам, а по их естественному расположению: «ближняя», «дальняя», «левая», «правая». Если в голове у ребенка сформируется образ объекта «задом наперед», то возникнут проблемы с описанием хода дополнительных построений, чтением рисунка и даже с объяснением непонятных моментов решений.

о построении четырехугольной пирамиды .
Основание правильной четырехугольной пирамиды следует изображаться в виде параллелограмма. Почему? Конечно, можно так расположить квадрат к плоскости проецирования, чтобы прямые углы сохранились (и мы получим прямоугольник), но тогда апофемы двух ближних граней будут закрывать высоту пирамиды. Другого объяснения сложившимся стандартам изображений я не нахожу.

Александр Колпаков, репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ .

Научимся изображать пирамиду в различных положениях.

Изобразите в угловой перспективе. Постройте на каждом квадрате основания куба вертикальные и горизонтальные пирамиды.

Рассмотрите пирамиду на рис. 3.43 и ее на рис. 3.44. Основанием четырехгранной пирамиды является , ее боковыми гранями — одинаковые треугольники. Высота пирамиды по отношению к стороне квадрата основания определяет ее пропорции (высокая или приземистая).

Начинать построение стоящей пирамиды необходимо с изображения квадрата основания. Через точку пересечения его диагоналей проведите вертикаль, на которой отложите отрезок, равный высоте пирамиды (рис. 3.45). Соединив полученную таким образом вершину пирамиды с вершинами квадрата основания, получим перспективный четырехгранной пирамиды (рис. 3.46). Построение пирамиды с вертикальным квадратом основания ведется в той же последовательности.

Сечения пирамиды плоскостями, параллельными основанию, — квадраты, размеры которых зависят от положения секущей плоскости — ближе к вершине пирамиды размер сечений меньше, чем у основания (рис. 3.47). Сечение, перпендикулярное основанию пирамиды, проходящее через ее вершину и среднюю линию квадрата основания, представляет собой треугольник. Все другие сечения пирамиды, параллельные этому — трапеции, большее основание которых равно стороне квадрата основания, меньшее — меняется в зависимости от положения плоскости сечения (рис. 3.48). При построении таких сечений помните, что боковые стороны трапеций параллельны высотам в треугольниках боковых граней.

Теперь, когда вы хорошо изучили последовательность построения пирамиды и ее сечения плоскостями различного направления, приступайте к выполнению основного задания. Нарисуйте куб (рис. 3.49). Пересеките диагонали всех шести граней куба и проведите прямые, соединяющие центры противолежащих квадратов. Отложите на этих прямых высоты пирамид (рис. 3.50). Все шесть пирамид одинаковы по высоте (1,5а, где а — ребро куба), но на рисунке их высоты имеют разные размеры. Для определения высот пирамид разного положения в качестве единицы измерения используются различные отрезки. Так, например, при определении высот вертикальных пирамид такой единицей измерения является отрезок вертикальной прямой, ограниченный точками центров горизонтальных граней куба. Для высот горизонтальных пирамид такими единицами являются отрезки прямых, проходящие через центр куба и имеющие то же направление, что и определяемая высота. Таким образом, в любом рисунке, основу которого составляют геометрические тела, куб выступает в роли трехмерной линейки, при помощи которой можно определить или измерить длины отрезков, лежащих в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Определяя точки вершин пирамид, учитывайте также перспективные сокращения отрезков. Соедините вершины всех шести пирамид с вершинами квадратов оснований (рис. 3.57).

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие - геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида - это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Материалы и приспособления

Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур - интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:

  • бумага или картон;
  • ножницы;
  • карандаш;
  • линейка;
  • циркуль;
  • ластик;
  • клей.

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды - это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае - это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.

Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды - треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.

Сборка макета

Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра - треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.

Завершающий этап выполнения макета

Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.

Объемные макеты сложных фигур

После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани - это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями - подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап - это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники - квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Завершение моделирования

Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Изготовление разных моделей многогранников

Выполнение объемных моделей геометрических фигур - увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.

Основы рисунка для учащихся 5-8 классов Сокольникова Наталья Михайловна

Последовательность рисования пирамиды

Первый этап. Определяется величина пирамиды и ее пространственное положение, основные пропорции пирамиды, степень разворота ее граней.

Второй этап. Осуществляется анализ строения пирамиды. Его рекомендуется начать с основания пирамиды – квадрата. В данном положении этот квадрат рисуется в перспективе. Затем определяется место вершины пирамиды. Из центра основания пирамиды, который находится на пересечении диагоналей, проводится вертикаль. Из вершины проводятся прямые до углов основания пирамиды. Эти прямые образуют грани пирамиды. На этом этапе работы можно легко проштриховать теневую сторону пирамиды.

Третий этап. Тоновая моделировка формы с выявлением объема. Самая светлая у пирамиды передняя грань, боковая находится в тени, справа расположена падающая тень.

Из книги Египетские храмы. Жилища таинственных богов автора Мюррей Маргарет

III Храм ступенчатой пирамиды Сбоку от ступенчатой пирамиды находятся храмы, которые являются древнейшими известными постройками в Египте; они датируются III династией и воздвигнуты фараоном Джосером, строителем ступенчатой пирамиды. Они имеют чрезвычайно важное

Из книги Основы рисунка для учащихся 5-8 классов автора Сокольникова Наталья Михайловна

Последовательность рисования цилиндра Первый этап. Определение размеров цилиндра, основных пропорций (высоты и ширины). Нахождение его расположения на листе. Построение осевых линий. Для этого определяется положение вертикальной оси цилиндра. Перпендикулярно к ней

Из книги Строительство и архитектура в Древнем Египте автора Кларк Сомерс

Последовательность рисования куба Первый этап. Определение размера куба, его основных пропорций, перспективного положения. Второй этап. Определение при помощи направляющих перспективных линий точного пространственного положения всех сторон куба. Прорисовка

Из книги Развитие навыков рисования и графического дизайна у людей с аутизмом, думающих картинками автора Грэндин Темпл

Последовательность рисования шестигранной призмы Первый этап. Определяется размер шестигранника, его основные пропорции, перспективное положение. Второй этап. Осуществляется подробный анализ конструктивного построения. Его рекомендуется начать с передней стенки

Из книги автора

Последовательность рисования шара Первый этап. Определение размера шара, точки опоры и плоскости, на которой он находится. Второй этап. Уточнение диаметра окружности шара, определение границ света, полутонов и собственной тени, рефлекса и падающей тени. Третий этап.

Из книги автора

Глава 10 Как строились пирамиды Ученые давно уже спорят о том, каким образом сооружались пирамиды. Это относится не только к технологии обтесывания и укладки блоков, но и к тому, в каком порядке создавались разные части этих сооружений. Ведь пирамида – это не просто

    Вообще пирамиду довольно просто можно нарисовать. Для начала лист необходимо разделить пополам, это можно сделать линией, использовав линейку. Дальше рисуем боковые части пирамиды и все готово.

    Все легко и просто рисуется!!

    В школе мы все рисовали пирамиды на уроках,только это были геометрические фигуры.И для того,чтобы нарисовать пирамиду,вам обязательно будет нужна линейка и карандаш,запаситесь ластиком,чтобы стирать ненужное.

    Пирамида должна выглядеть вот таким образом:

    И чтобы ее нарисовать,мы должны для начала нарисовать квадрат,затем провести грани внутри квадрата и соединить их у основания.Зеленым цветом выделены линии на основании пирамиды, для их последующего соединения.

    Потом вы можете раскрасить вашу пирамиду в любой цвет.Для этого подойдут либо краски,либо цветные фломастеры.И ваша пирамида будет симпатичнее в цвете.

    Вот видео мастер-класс как нарисовать пирамиду Хеопса вместе со Сфинксом.

    А ниже приведено поэтапное рисование пирамиды, при желании можно нарисовать песок и пустить караван верблюдов и загадочная Долина фараонов готова:)

  • Рисуем пирамиду поэтапно

    Я конечно не художник и мне обьяснить как правильно рисовать пирамиду сложно, но я могу показать пошагово, как рисуют мастера.

    Думаю, что пирамиду нарисовать труда не составляет, глядя на эти эскизы.

    • Рисуем рисунок пирамиды. Сделаем это мы за семь шагов.

    Первый шаг. Нарисуем квадрат, длина его стороны будет равна пяти сантиметров.

    Второй шаг. Берем циркуль, выставляем его длину равную стороне квадрата. Теперь ставим иглу циркуля в самую крайнею правую точку и проводим линию из противоположного края до верхней стороны, как показано на рисунке:

    Третий шаг. Делаем аналогичную операцию из противоположного края, таким образом, у нас получились две кривые, пересекшиеся в одной точке.

    Четвертый шаг. Из обеих крайних точек основания проводим две прямые пересекающиеся в точке пересечения кривой.

    Пятый шаг. Стираем кривые линии и боковые и верхние стороны квадрата.

    Шестой шаг. Рисуем боковую сторону пирамиды:

    Нарисовать пирамиду карандашом, наверное, одно из самых легких задач, связанных с рисованием. Здесь не нужен какой-то особый талант или обладание какини либо навыками рисования. Предосатвляю, поучительное видео.

    Нарисовать пирамиду карандашом поэтапно можно, опираясь на следующие схемы:

    Этапы рисования пирамид:

    1) Начинаем делать наброски;

    2) Начинаем прорисовывать элементы как на рисунках;

    3) Переходим к детализации изображения;

    4) Штрихуем и обводим по контуру.

    Пирамиды являются памятниками культуры Египта и мировой культуры в целом.

    В древнем Египте пирамиды были местом, куда погребались фараоны. И многие из них (пирамид) носили/носят имя фараонов, которые были погребены в ней. (Хеопс, Тутанхамон).

    Сейчас же, именно ради них многие и едут в Египет. Чтобы посмотреть на великолепные сооружения древних времен.

    А вот как нарисовать пирамиды карандашом поэтапно :

    Шаг первый:

    Шаг второй:

    Шаг третий:

    Шаг четвертый:

    Чтобы изобразить пирамиду, нужно нарисовать два прилегающих друг к другу треугольника, например, как в видео ниже. А если необходима египетская пирамида, то нужно добавить рисунок наподобие кирпичной кладки на пирамиде и дорисовать вход.