Примеры интегрирования рациональных функций (дробей). Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие

Ранее речь шла об общих приемах интегрирования. В этом и следующих параграфах мы будем говорить об интегрировании конкретных классов функций с помощью рассмотренных приемов.

Интегрирование простейших рациональных функций

Рассмотрим интеграл вида \textstyle{\int R(x)\,dx} , где y=R(x) - рациональная функция. Всякое рациональное выражение R(x) можно представить в виде \frac{P(x)}{Q(x)} , где P(x) и Q(x) - многочлены. Если эта дробь неправильная, т. е. если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби. Поэтому достаточно рассмотреть интегрирование правильных дробей.

Покажем, что интегрирование таких дробей сводится к интегрированию простейших дробей , т. е. выражений вида:

\mathsf{1)}~\frac{A}{x-a};\quad \mathsf{2)}~\frac{A}{(x-a)^n};\quad \mathsf{3)}~ \frac{Ax+B}{x^2+px+q};\quad \mathsf{4)}~\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}.

где A,\,B,\,a,\,p,\,q - действительные числа, а квадратный трехчлен x^2+px+q не имеет действительных корней. Выражения вида 1) и 2) называют дробями 1-го рода, а выражения вида 3) и 4) - дробями 2-го рода.

Интегралы от дробей 1-го рода вычисляются непосредственно

\begin{aligned}\mathsf{1)}&~\int\frac{A}{x-a}\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf{2)}&~ \int\frac{A}{(x-a)^n}\,dx= A\int(x-a)^{-n}\,dx= A\,\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C~(n=2,3,4,\ldots). \end{aligned}

Рассмотрим вычисление интегралов от дробей 2-го рода: \mathsf{3)}~ \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx\,.

Сначала заметим, что

\int\frac{dt}{t^2+a^2}= \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{a}+C,\qquad \int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}= \frac{1}{2}\ln(t^2+a^2)+C.

Чтобы свести вычисление интеграла 3) к этим двум интегралам, преобразуем квадратный трехчлен x^2+px+q , выделив из него полный квадрат:

x^2+px+q= {\left(x+\frac{p}{2}\right)\!}^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!.

Так как по предположению этот трехчлен не имеет действительных корней, то q-\frac{p^2}{4}>0 и мы можем положить q-\frac{p^2}{4}=a^2 . Подстановка x+\frac{p}{2}=t,~ dx=dt преобразует интеграл 3) к линейной комбинации указанных двух интегралов:

\begin{aligned}\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx&= \int\frac{A\!\left(t-\frac{p}{2}\right)+B}{t^2+a^2}\,dt= A\int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}+ \left(B-\frac{Ap}{2}\right)\!\int\frac{dt}{t^2+a^2}=\\ &=\frac{A}{2}\ln(t^2+a^2)+ \frac{1}{a}\!\left(B-\frac{Ap}{2}\right)\!\ \operatorname{arctg}\frac{t}{a}+C. \end{aligned}

В окончательном ответе нужно лишь заменить {t} на x+\frac{p}{2} , а {a} на \sqrt{q-\frac{p^2}{4}} . Так как t^2+a^2=x^2+px+q , то

\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx= \frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+ \frac{B-\dfrac{Ap}{2}}{\sqrt{q-\dfrac{p^2}{4}}} \operatorname{arctg}\frac{x+\dfrac{p}{2}}{\sqrt{q-\dfrac{p^2}{4}}}+C.

Рассмотрим случай \mathsf{4)}~ \int\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}\,dx .

Как и в предыдущем случае, положим x+\frac{p}{2}=t . Получим:

\int\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}\,dx= A\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^n}+ \left(B-\frac{Ap}{2}\right)\! \int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}\,.

Первое слагаемое вычисляется так:

A\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^n}= \frac{A}{2}\int(t^2+a^2)^{-n}\,d(t^2+a^2)= \frac{A}{2}\frac{(t^2+a^2)^{-n+1}}{-n+1}= \frac{A}{2(1-n)(t^2+a^2)^{n-1}}\,.

Второй же интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы.

Пример 1. Вычислим \int\frac{3x+2}{x^2+2x+3}\,dx .

Решение. Имеем: x^2+2x+3=(x+1)^2+2 . Положим x+1=t . Тогда dx=dt и 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 и, следовательно,

\begin{aligned}\int\frac{3x+2}{x^2+2x+3}\,dx&= \int\frac{3t-1}{t^2+2}\,dt= \frac{3}{2}\int\frac{2t\,dt}{t^2+2}- \int\frac{dt}{t^2+(\sqrt{2})^2}=\\ &=\frac{3}{2}\ln(t^2+2)- \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{2}}+C=\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+2x+3)- \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C. \end{aligned}

Пример 2. Вычислим \int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx .

Решение. Имеем: x^2+6x+10=(x+3)^2+1 . Введем новую переменную, положив x+3=t . Тогда dt=dx и x+2=t-1 . Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

\begin{aligned}\int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx&= \int\frac{t-1}{(t^2+1)^2}\,dt= \frac{1}{2}\int\frac{2t\,dt}{(t^2+1)^2}-\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\\ &=-\frac{1}{2(t^2+1)}- \int\frac{dt}{(t^2+1)^2}\,. \end{aligned}}

Положим I_2=\int\frac{dt}{(t^2+1)^2} . Имеем:

I_2=\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{2}\frac{t}{t^2+1} , но I_1=\int\frac{dt}{t^2+1}= \operatorname{arctg}t Таким образом, I_2= \frac{1}{2}\operatorname{arctg}t+ \frac{t}{2(t^2+1)} .

Окончательно получаем:

\begin{aligned}\int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx&=-\frac{1}{2(t^2+1)}-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}t-\frac{t}{2(t^2+1)}=\\ &=-\frac{1}{2(x^2+6x+10)}- \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x+3)- \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C=\\ &=\frac{-x-4}{2(x^2+6x+10)}-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x+3)+C \end{aligned}

Интегрирование правильных дробей

Рассмотрим правильную дробь R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} , где Q(x) - многочлен степени n . Не теряя общности, можно считать, что старший коэффициент в Q(x) равен 1. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

Q(x)= (x-x_1)^{\alpha}\ldots (x-x_k)^{\beta} (x^2+p\,x+q)^{\gamma}\ldots (x^2+r\,x+s)^{\delta}.

где x_1,\ldots,x_k -действительные корни многочлена Q(x) , а квадратные трехчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда R(x) представляется в виде суммы простейших дробей вида 1) -4):

\begin{aligned}R(x)=&\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_1}{(x-x_1)^{\alpha}}+ \frac{A_2}{(x-x_1)^{\alpha-1}}+\ldots+ \frac{A_{\alpha}}{x-x_1}\,+\\ &+\,\ldots+ \frac{B_1}{(x- x_k)^{\beta}}+ \frac{B_2}{(x-x_k)^{\beta-1}}+\ldots+ \frac{B_{\beta}}{x-x_k}+ \frac{M_1x+ N_1}{(x^2+p\,x+q)^{\gamma}}\,+\\ &+\,\ldots+ \frac{M_{\gamma}+ N_{\gamma}}{x^2+ p\,x+s}+ \frac{E_1x+F_1}{(x^2+rx+s)^{\delta}}+\ldots+ \frac{E_{\delta}x+F_{\delta}}{x^2+rx+s}\, \end{aligned}

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от \alpha до 1, …, от \beta до 1, от \gamma до 1, …, от \delta до 1, а A_1,\ldots,F_{\delta} - неопределенные коэффициенты. Для того чтобы найти эти коэффициенты, необходимо освободиться от знаменателей и, получив равенство двух многочленов, воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Другой способ определения коэффициентов A_1,\ldots, A_{\alpha}, \ldots, F_{\delta} основан на подстановке значений переменной x . Подставляя в равенство, полученное из равенства (1) после освобождения от знаменателей, вместо x любое число, придем к линейному уравнению относительно искомых коэффициентов. Путем подстановки необходимого количества таких частных значений переменной получим систему уравнений для отыскания коэффициентов. В качестве частных значений переменной удобнее всего выбирать корни знаменателя (как действительные, так и комплексные). При этом почти все члены в правой части равенства (имеется в виду равенство двух многочленов) обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты. При подстановке комплексных значений следует иметь в виду, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Поэтому из каждого равенства, содержащего комплексные числа, получаются два уравнения.

После нахождения неопределенных коэффициентов остается вычислить интегралы от полученных простейших дробей. Так как при интегрировании простейших дробей получаются, как мы видели, лишь рациональные функции, арктангенсы и логарифмы, то интеграл от любой рациональной функции выражается через рациональную функцию, арктангенсы и логарифмы .

Пример 3. Вычислим интеграл от правильной рациональной дроби \int\frac{6x+1}{x^2+2x-3}\,dx .

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей:

\frac{6x+1}{x^2+2x-3}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{B+3}\,.

Освободившись в этом равенстве от знаменателей, получим:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Для отыскания коэффициентов воспользуемся методом подстановки частных значений. Для нахождения коэффициента A положим x=1 . Тогда из равенства (2) получим 7=4A , откуда A=7/4 . Для отыскания коэффициента B положим x=-3 . Тогда из равенства (2) получим -17=-4B , откуда B=17/4 .

Итак, \frac{6x+1}{x^2+2x-3}= \frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+ \frac{17}{4}\cdot\frac{1}{x+3} . Значит,

\int\frac{6x+1}{x^2+2x-3}\,dx= \frac{7}{4}\int\frac{dx}{x-1}+ \frac{17}{4}\int\frac{dx}{x+3}= \frac{7}{4}\ln|x-1|+ \frac{17}{4}\ln|x+3|+C.

Пример 4. Вычислим \int\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}\,dx .

Решение. Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей. В знаменателе содержится множитель x^2+2 , не имеющий действительных корней, ему соответствует дробь 2-го рода: \frac{Ax+B}{x^2+2} множителю (x-1)^2 соответствует сумма двух дробей 1-го рода: \frac{C}{(x-1)^2}+ \frac{D}{x-1} ; наконец, множителю x+2 соответствует одна дробь 1-го рода \frac{E}{x+2} . Таким образом, подынтегральную функцию мы представим в виде суммы четырех дробей:

\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}= \frac{Ax+B}{x^2+2}+ \frac{C}{(x-1)^2}+ \frac{D}{x-1}+ \frac{E}{x+2}\,.

Освободимся в этом равенстве от знаменателей. Получим:

\begin{aligned} x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\,+\\ &\phantom{=}+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end{aligned}

Знаменатель подынтегральной функции имеет два действительных корня: x=1 и x=-2 . При подстановке в равенство (4) значения x=1 получаем 16=9C , откуда находим C=16/9 . При подстановке x=-2 получаем 13=54E и соответственно определяем E=13/54 . Подстановка значения x=i\,\sqrt{2} (корня многочлена x^2+2 ) позволяет перейти к равенству

4-4+8\,i\,\sqrt{2}+5= (A\,i\,\sqrt{2}+B)\cdot (i\,\sqrt{2}-1)^2\cdot (i\,\sqrt{2}+2).

Оно преобразуется к виду:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt{2}\,i= 5+8\sqrt{2}\,i , откуда 10A+2B=5 , а (2A-5B)\sqrt{2}=8\sqrt{2} .

Решив систему двух уравнений с двумя переменными \begin{cases}10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end{cases} находим: A=\frac{41}{54},~ B=-\frac{35}{27} .

Осталось определить значение коэффициента D . Для этого в равенстве (4) раскроем скобки, приведем подобные члены, а затем сравним коэффициенты при x^4 . Получим:

A+D+E=1 , то есть D=0 .

Подставим найденные значения коэффициентов в равенство (3):

\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}= \frac{\drac{41}{54}\,x- \dfrac{35}{27}}{x^2+2}+ \frac{16}{9}\frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{13}{54}\frac{1}{x+2}\,

а затем перейдем к интегрированию:

\begin{aligned}\int\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}\,dx&= \frac{41}{54}\int\frac{x\,dx}{x^2+2}- \frac{35}{27}\int\frac{dx}{x^2+2}+ \frac{16}{9} \int\frac{dx}{(x-1)^2}+ \frac{13}{54}\int\frac{dx}{x+2}=\\ &=\frac{41}{108}\ln(x^2+2)- \frac{35}{27\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{2}}- \frac{16}{9(x-1)}+ \frac{13}{54} \ln|x+2|+C.\end{aligned}

Интегрирование неправильных дробей

Пусть нужно проинтегрировать функцию y=\frac{f(x)}{g(x)} , где f(x) и g(x) - многочлены, причем степень многочлена f(x) больше или равна степени многочлена g(x) . В этом случае прежде всего необходимо выделить целую часть неправильной дроби \frac{f(x)}{g(x)} , т. е. представить ее в виде

\frac{f(x)}{g(x)}=s(x)+ \frac{r(x)}{g(x)}\,

где s(x) - многочлен степени, равной разности степеней многочленов f(x) и g(x) , а \frac{r(x)}{g(x)} - правильная дробь.

Тогда имеем \int\frac{f(x)}{g(x)}\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac{r(x)}{g(x)}\,dx\,. .

Пример 5. Вычислим интеграл от неправильной дроби \int\frac{x^4-4x^3+x^2+16x-11}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx .

Решение. Имеем:

\begin{aligned}g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4-4x^3+x^2+16x-11. \end{aligned}

Для выделения целой части разделим f(x) на g(x) : \frac{f(x)}{g(x)}= x-2+\frac{2x^2+1}{x^3-2x^2-5x+6}\,.

Значит, \int\frac{x^4-4x^3+x^2+16x-11}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac{2x^2+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx

Имеем: \int(x-2)dx=\frac{x^2}{2}-2x+C .

Для вычисления интеграла \int\frac{2x^2+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx применяется, как и выше, метод неопределенных коэффициентов. После вычислений, которые мы оставляем читателю, получаем.

Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Пример 1. Шаг 2.

.

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

.

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

.

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда

.

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.

Интегрирование дробно-рациональной функции.
Метод неопределенных коэффициентов

Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на уроке , и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений .

Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы).

Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей .

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1

Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.

Вывод : Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной .

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции . Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители

Начинаем оформлять решение:

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:

И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:

Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно .

Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.

Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ – выяснить, чему же равны .

Будьте внимательны, подробно объясняю один раз!

Итак, начинаем плясать от:

В левой части приводим выражение к общему знаменателю:

Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):

В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем:

Заодно повторяем школьное правило умножение многочленов. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена .

С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):

Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:

И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:

Хорошо запомните следующий нюанс . Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём: Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули .

Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:

И, наконец, минералка, подбираем свободные члены.

Эх,…что-то я расшутился. Шутки прочь – математика наука серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по числовой прямой и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться.

Система готова:

Решаем систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты .

(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.

(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство , из которого следует, что

(4) Подставляем во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что

(5) Подставляем и в первое уравнение, получая .

Если возникли трудности с методами решения системы отработайте их на уроке Как решить систему линейных уравнений?

После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».

Почти приехали. Коэффициенты найдены, при этом:

Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:

Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Проверка: Дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия .

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители . Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен (легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить). Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому?

Пример 3

Представить функцию

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Гуд. Работы меньше.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:

Смотрим на наш знаменатель:
При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:

1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени (в нашем случае ), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае ). Примеры №1,2 состояли только из таких «одиноких» множителей.

2) Если в знаменателе есть кратный множитель , то раскладывать нужно так:
– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.

3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае ), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае с неопределенными коэффициентами и ).

На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, поскольку на практике он встречается крайне редко.

Пример 4

Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Строго следуйте алгоритму!

Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной:

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов . Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку.

Приводим дробь к общему знаменателю:

Составим и решим систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).

(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.

(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.

Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.

(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами .

(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей .

(3) Еще раз используем свойства линейности. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей ).

(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.

(5) Берём третий интеграл. Готово.

Интегрирование рациональных функций Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование простейших дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей

многочлен степени n. Дробно – рациональная функция Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – рациональная функция Привести неправильную дробь к правильному виду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида: Называются простейшими рациональными дробями типов. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Теорема: Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители: можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод рассмотрим на примере. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Представить дробь в виде суммы простейших дробей: Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Приравняем числители получившейся и исходной дробей Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Интегрирование простейших дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей: Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Интегрирование простейших дробейdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Интегрирование простейших дробей Интеграл данного типа с помощью подстановки: приводится к сумме двух интегралов: Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала. Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Интегрирование простейших дробей a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1(4)1(

Общее правило интегрирования рациональных дробей Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример Приведем дробь к правильному виду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Пример Разложим знаменатель правильной дроби на множители Представим дробь в виде суммы простейших дробей Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».

Г.Х.Харди

В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.

2.1.1. Дробно-рациональные функции

Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:

где и – многочлены.

Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида

где – действительные числа. Например,

– многочлен первой степени;

– многочлен четвертой степени и т.д.

Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».

Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:

а) , б) .

Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем

Таким образом, получаем

.

б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:

В результате, получаем

.

Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.

2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:

3) ,

4) ,

где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.

Начнём с интегралов вида

.

Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида

или .

Пример 2.1.2. Найти интегралы:

а) , б) .

Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

Отсюда находим

б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:

Таким образом,

.

Для нахождения интеграла

можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду

,

а второй – к рассмотренному выше.

Пример 2.1.3. Найти интегралы:

.

Решение . Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:

Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :

Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

Окончательно, получаем

2.1.3. Разложение правильной рациональный дроби
на сумму простейших дробей

Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами