Непрерывные проценты. Постоянная сила роста
Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.
Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365
Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :
где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.
Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:
FV = PV e j n = P e δ n
Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).
Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:
а) один раз в год;
б) ежедневно;
в) непрерывно.
Решение:
Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:
начисление один раз в год
FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;
ежедневное начисление процентов
FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов
непрерывное начисление процентов
FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.
12. Расчет срока кредита:
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV ), наращенная или будущая величина (FV ), процентная ставка (i ) и время (n ).
Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.
Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.
Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.
Если срок определяется в годах, то
n = (FV - PV ) : (PV i ),
а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:
t = [(FV - PV ) : (PV i )] T .
Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:
- срок ссуды:
n = / = / ;
- ставка сложных процентов:
Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.
13. Расчет срока кредита:
14. Расчет процентной ставки:
- при наращении по сложной годовой ставке %,
- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,
- при наращении по постоянной силе роста.
15. Расчет процентной ставки:
- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,
- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.
Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле
S =P (1+j /m ) mn ,
где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.
Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m ) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m ) достигает своего предельного значения
Известно, что
где е – основание натуральных логарифмов.
Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна
S =Pe jn .
Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом . Тогда
S =Pe n . (2.6)
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при m .
Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m , а в (2.6) – непрерывно.
Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:
(1+i ) n =e n ,
откуда следует:
=ln(1+i ), i =e -1.
Пример 20 . Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S =2000·e 0,1·5 =2000·1,6487=3297,44 ден. ед.
Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i . Находим:
i =e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.
В итоге получим S =2000·(1+0,10517) 5 =3297,44 ден. ед.
Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле
P =Se - n
Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.
Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна
P =5000·е -0,15·5 =5000·0,472366=2361,83 ден. ед.
При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P =2218,53 ден. ед.
2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок
В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения и дисконтирования (для простых процентов эти задачи рассмотрены в п. 1.8.).
Срок ссуды. Рассмотрим задачу расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования.
i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что
,
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе, и в знаменателе.
j m
.
d f m
;
.
При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6) получаем:
.
Пример 22. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. ден. ед., достигнет 200 тыс. ден. ед. при начислении процентов по сложной ставке 12% раз в году и поквартально?
Решение. По формулам для вычисления срока при наращении по сложным ставкам наращения получим:
n =(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 года;
n =(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 года;
Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что и выше, получим формулы для расчета ставок при различных условиях наращения процентов и дисконтирования.
При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что
i
=(S
/P
) 1/ n
–1=
.
При наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (2.2) получаем:
j
=m
((S
/P
) 1/ mn
–1)=
.
При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:
d
=1–
(P
/S
) 1/ n
=
;
f
=
m
(1–
(P
/S
) 1/ mn
=
.
При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6), получаем:
.
Пример 23. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. ден. ед., его выкупная сумма – 160 тыс. ден. ед., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиции в виде годовой ставки сложных процентов?
Решение. Воспользовавшись полученной формулой для годовой ставки i , получим: i =(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, т.е. 20,684%.
Пример 24. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?
Решение.
По данным задачи P
/S
=0,7.
Тогда d
=1–
=0,16334,
т.е. 16,334%.
При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:
При переходе к непрерывным процентам получим:
Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.
Обозначая силу роста через, получим:
т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения
На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок
В формуле (4.21) можно определить современную величину
Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.
Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.
Переменная сила роста
С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.
Для наращенной суммы:
Современная стоимость:
1) Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:
Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то
Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год -7%, 2 и 3 - 8%, последние 2 года - 10%.
2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:
где - начальная сила роста (при)
а - годовой прирост или снижение.
Вычислим степень множителя наращения:
Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.
Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.
3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда
Дискретная процентная ставка – это ставка, при которой процент начисляется за заранее установленные, или определенные, периоды. Если уменьшить период начисления процентов до бесконечно малой величины (период, за который будут произведены начисления, стремится к нулю, а количество начислений процентов – к бесконечности), то проценты будут начисляться непрерывно. В этом случае процентная ставка называется непрерывной ставкой или силой роста .
В теоретических исследованиях и на практике, когда платежи производятся многократно, удобно использовать непрерывный способ начисления процентов. Переход к пределу может быть осуществлен аналогично тому, как это делалось в пункте 2.2 при выводе формулы (2.12) или следующим способом.
Непрерывная ставка может быть постоянной или изменяющейся. Рассмотрим случай, когда непрерывная процентная ставка в разные моменты времени различна.
Пусть, а(t) – функция, описывающая зависимость непрерывной ставки (силы роста) от времени t. Приращение капитала S(t) в момент t за промежуток времени Δt равно:
S(t + Δt) – S(t) = a(t) Δt S(t)
Тогда, имеем:
При Δt →0 получим, что скорость изменения капитала пропорциональна капиталу. Тогда, сумма платежа (капитал) S(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка:
, (2.28)
– скорость изменения платежа (скорость изменения капитала);
S(t) - сумма платежа (капитал);
a(t) – непрерывный процент начисления или сила роста.
В другом виде уравнение запишется:
dS = a(t) S dt, (2.29)
т. е. приращение платежа пропорционально самому платежу S и приращению времени dt. Коэффициент пропорциональности а(t) суть сила роста или процент начисления.
Возможна еще одна запись дифференциального уравнения:
, (2.30)
т. е. относительное приращение суммы платежа dS/S пропорционально приращению времени dt. Причем по-прежнему, а(t) определяется процентами начисления и в общем случае может зависеть от времени. Все три уравнения для капитала (2.28), (2.29), (2.30) эквивалентны.
Рассмотрим некоторые простейшие свойства капитала, описываемого дифференциальным уравнением (2.28)-(2.30). Если функция a(t)>0 положительна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt >0 также положительна и, следовательно, капитал S(t) растет. В этом случае a(t) называется непрерывным процентом начисления или силой роста .
В противном случае если функция a(t)<0 отрицательна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt<0 отрицательна и, следовательно, капитал S(t) убывает. В этом случае абсолютная величина |a(t)| называется непрерывным дисконтом .
Решение линейного дифференциального уравнения хорошо известно. Действительно, уравнение (2.30) является уравнением с разделяющимися переменными и его можно проинтегрировать:
Вычислив интеграл, получим:
,
где - неопределенный интеграл от a(t) ,
С 1 - произвольная постоянная.
Отсюда, имеем:
Окончательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:
, (2.31)
где - новая произвольная постоянная.
Для определения произвольной постоянной С нужно знать капитал хотя бы в один какой-нибудь момент времени. Если известно что в момент времени t=t 0 капитал равен S = S 0 (т. е. S(t 0)=S 0), то произвольная постоянная С легко определяется из (2.31):
,
Подставляя полученный результат в (2.31), имеем:
.
Воспользовавшись классической формулой связи определенного и неопределенного интеграла (формулой Ньютона – Лейбница):
,
получим решение дифференциального уравнения с начальными условиями S(t 0)=S 0 в виде:
Часто отсчет времени можно производить от начального момент, тогда t 0 =0 и решение линейного дифференциального уравнения записывается в виде:
, (2.32)
S(0) – начальная сумма в момент 0;
S(t) – сумма платежа в момент t.
Очевидно, приведенные формулы при a(t)>0 соответствуют расчету кредитования, а при a(t)<0 – расчету дисконтирования.
Если сила роста постоянна на всем рассматриваемом промежутке времени, т. е. a(t)= r, то для конечного платежа в момент t имеем:
. (2.33)
Очевидно, эта формула совпадает с полученной ранее предельным переходом формулы для непрерывных процентов (2.12).
Рассмотрим некоторые примеры использования данных формул.
Пример 28.
Ссуда 200 тыс. руб. дана на 2,5 года под ставку 20 % годовых с ежеквартальным начислением. Найти сумму конечного платежа. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.
Решение.
Сумма конечного платежа удовлетворяет дифференциальному уравнению , где r=20 %=0,2 в соответствии с процентом ежегодного начисления и время t измеряется в годах. Решение линейного уравнения известно:
.
Тогда сумма конечного платежа равна:
Тыс. руб.
Расчет для дискретного случая по формулам (2.11) дает:
Тыс. руб.
Видно, что при многократных начислениях небольших процентов результаты расчетов сумм конечного платежа близки.
Рассмотрим теперь пример расчета дисконтирования в непрерывном случае.
Пример 29.
Вексель на 3 млн руб. с годовой учетной ставкой 10 % и дисконтированием 2 раза в год выдан на 2 года. Найти исходную сумму, которая должна быть выдана в долг под этот вексель. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.
Решение.
Одолженная под вексель сумма платежа удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решение которого известно:
.
Расчет одолженной под вексель суммы по дискретным формулам (2.24) дает близкие результаты:
млн руб.
Таким образом, теоретические и практические вычисления по непрерывным формулам дают результаты, близкие к результатам расчета по дискретным формулам, если количество начислений велико, а процент начисления невелик.
Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста - универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.
Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365
Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :
где e ? 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.
Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:
FV = PV * e j * n = P * e д * n
Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом д , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).
Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:
а) один раз в год;
б) ежедневно;
в) непрерывно.
Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:
начисление один раз в год
FV = 100"000 * (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;
ежедневное начисление процентов
FV = 100"000 * (1 + 0,08 / 365) 365 * 3 = 127"121,6 долларов
непрерывное начисление процентов
FV = 100"000 * e 0,08 * 3 = 127"124,9 долларов.
14. Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы
срок в годах
срок в днях (напомним, что n = t/K ,где K - временная база)
.
Величина процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Решив выражения (1.1) и (1.8) относительно i или d ,получим
Срок платежа. Приведем формулы расчета п для различных условий наращения процентов и дисконтирования. При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j соответственно получим:
. (2.23) (2.24)
При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f
. (2.25) (2.26)
При наращении по постоянной силе роста δ и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста
.
Величина процентной ставки. Приведем формулы для расчета ставок i, j, d, f, δ для различных условий наращения процентов и дисконтирования. Они получены при решении уравнений, определяющих S и Р, относительно искомых ставок.
При наращении по сложной годовой ставке процентов и по номинальной ставке процента т раз в году находим
. (2.29) (2.30)
При дисконтировании по сложной учетной ставке и по номинальной учетной ставке
. (2.31) (2.32)
При наращении по постоянной силе роста
. (2.33)
При наращении по изменяющейся с постоянным темпом силе роста
.
15.Начисление простых процентов в условиях инфляции . Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. В общем случае теперь можно записать:
Если наращение производится по простой ставке, имеем:
(2.43)
Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место только тогда, когда 1 + ni > J p .
Пример. Допустим, на сумму 1,5 млн. руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 50% годовых (K = 360). Наращенная сумма равна 1,6875 млн. руб. Если ежемесячная инфляция характеризуется темпами, приведенными в примере 2.22,б, то с учетом обесценения наращенная с0умма составит всего 1,6875/1,77 = 0,9534 млн. руб.
16.Начисление сложных процентов в условиях инфляции. Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Подставив в формулу (2.42) значения S и J p , находим
(2.44)
Величины, на которые умножается Р в формулах (2.43) и (2.44), представляют собой множители наращения с учетом инфляции. Пример. Найдем реальную ставку сложных процентов для условий: годовая инфляция 120%, брутто-ставка 150%:
= 0,1364, или 13,68% (по упрощенной формуле 30%).
Другой метод компенсации инфляции сводится к индексации первоначальной суммы платежа Р. В этом случае эта сумма периодически корректируется с помощью заранее оговоренного индекса. Такой метод принят в Великобритании. По определению
C = PJ p (1 + i ) n .
17.Расчёт реальной процентоной ставки в условиях инфляции. Перейдем теперь к решению обратной задачи - к измерению реальной ставки процента, т.е. доходности с учетом инфляции - определению i по заданному значению брутто-ставки. Если r - объявленная норма доходности (брутто-ставка), то искомый показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при начислении простых процентов на основе (2.43) как
. (2.48)
Реальная доходность, как видим, здесь зависит от срока наращения процентов. Напомним, что фигурирующий в этой формуле индекс цен охватывает весь период начисления процентов.
Аналогичный по содержанию показатель, но при наращении по сложным процентам найдем на основе формулы (2.44).