Овуляция 

Матрица математическая. Понятие матрицы

Определение 1. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, или

Определение 2. Две матрицы
и
одного размера называютсяравными , если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.

Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.

Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.

Виды матриц: квадратная (размера 33) -
,

прямоугольная (размера 25) -
,

диагональная -
, единичная -
, нулевая -
,

матрица-строка -
, матрица-столбец -.

Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
.

Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .

1.2. Операции над матрицами.

1 0 . Суммой двух матриц
и
одинакового размера называется матрица С = (с ij), элементы которой определяются равенством с ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).

2 0 . Произведением матрицы
на число называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

    (А) = ()А (ассоциативность умножения);

    (А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

    (+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение видаА+В, где  и  - произвольные числа.

3 0 . Произведением А В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

    (АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);

    (А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

    А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

    АВ  ВА (не коммутативность).

Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

    Перемена местами двух строк (столбцов).

    Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

    Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

,
.

,
,


.

Пример 1.2. Найти произведение матриц
, если

.

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу
, где

В результате получим
.

Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.

Матрицей размера m ? n называется прямоугольная таблица чисел, содержащих m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (A,B,C…) , а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:

Где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица

Или в сокращённой записи, A=(); i =1,2…, m ; j=1,2, …, n.

Используются другие обозначения матрицы например: , ? ?.

Две матрицы А и В одного размера называются равными , если они совпадают поэлементно,т.е. = , где i= 1, 2, 3, …, m , а j = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А - квадратная матрица, которая имеет порядок n:

Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

Квадратные матрицы


называются верхней и нижней треугольными соответственно.

  • 2. Пусть m = 1, тогда матрица А - матрица-строка, которая имеет вид:
  • 3. Пусть n =1, тогда матрица А - матрица-столбец, которая имеет вид:

4. Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается, если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы.

Пример . Пусть

Заметим, если матрица А имеет порядок mn , то транспонированная матрица имеет порядок nm .

6. Матрица А называется симметричной, если А=, и кососимметричной, если А = .

Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В .

следовательно, матрица А - симметричная, так как А = .

следовательно, матрица В - кососимметричная, так как В = - .

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали

матрица квадратный лаплас аннулирование

Матрица (математика)

Ма́трица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых , действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы , в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов - количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу ; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно - каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы - это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам .

То же можно сказать о представлении матрицами билинейный (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц . Таковы, например, единичная , симметричная , кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм . На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом ». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера » в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса ». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли . Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу , Жордану , Фробениусу . Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Определение

Пусть есть два конечных множества и , где и - натуральные числа .

Назовём матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида

.

Называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;

Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу.

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

В соответствии с этим

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения , то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной , а число называется размером квадратной матрицы или её порядком .

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

,

тогда - матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где

таким образом, - элемент матрицы , находящийся на пересечении -той строки и -того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :

или просто:

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо , пишут , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||").

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

- это -тая строка матрицы , - это -тый столбец матрицы .

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением - по строкам:

и по столбцам:

.

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица

С каждой матрицей размера связана матрица размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

Диагональная матрица

Пусть - произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где - -я координата -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица , которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица , это любая прямоугольная таблица , составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии


 (2.1*)

Определение 2 . Если в выражении (1) m = n , то говорят о квадратной матрице , а если , то о прямоугольной .

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант , который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D E =1 ; .

Определение 3 . Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной .

Определение 4 . Если detA = 0 , то матрица A называется вырожденной или особенной .

Определение 5 . Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е .

Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6 . Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A .

Пример . Выписать три минора второго порядка матрицы

Матрицей размерности называется таблица чисел , содержащая строк и столбцов. Числа называются элементами этой матрицы, где – номер строки, – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая строк и столбцов, имеет вид: .

Виды матриц:

1) при – квадратная , причем называют порядком матрицы ;

2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю

– диагональная ;

3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице – единичная и обозначается ;

4) при – прямоугольная ;

5) при – матрица-строка (вектор-строка);

6) при – матрица-столбец (вектор-столбец);

7) при всех – нулевая матрица.

Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице -го порядка, также имеет -ый порядок.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число .

Определителем матрицы 2-го порядка называется число . (1.1)

Определителем матрицы 3-го порядка называется число . (1.2)

Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения.

Минором М ij элемента а ij матрицы n- гопорядка А называется определитель матрицы (n-1)- гопорядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы n - гопорядка А называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков и упрощающие их вычисление.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что – разложение определителя по элементам 1-ой строки. Заметим, что для разложения выбирают ту строку (столбец), где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении обращаются в ноль.

Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется квадратной? Что понимается под ее порядком?

3. Какая матрица называется диагональной, единичной?

4. Какая матрица называется матрицей-строкой и матрицей-столбцом?

5. Что является основной числовой характеристикой квадратной матрицы?

6. Какое число называется определителем 1-го, 2-го и 3-го порядка?

7. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы?

8. Каковы основные свойства определителей?

9. С помощью какого свойства можно вычислить определитель любого порядка?

Действия над матрицами (схема 2)

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки;

2) умножение матрицы на число производится поэлементно, то есть , где , ;

3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными , если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц и называется такая результирующая матрица , что , (1.4)

где , . Отсюда следует, что элемент -ой строки и -го столбца матрицы равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы .

Произведение матриц не коммутативно, то есть А . В В . А. Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную А . Е = Е . А.

Пример 1.1. Перемножить матрицы A и B, если:

.

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы ), то воспользуемся формулой (1.4):

Вопросы для самопроверки.

1. Какие действия осуществляются над матрицами?

2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?

3. Что называется произведением двух матриц?

Метод Крамера решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (схема 3)

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной , если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной , если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную квадратную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую следующий общий вид:

. (1.5) Главной матрицей системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных: .

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается .

Вспомогательный определитель получается из главного определителя путем замены -го столбца на столбец свободных членов.

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель квадратной системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель , то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей)

В свете приведенных выше определений теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.2. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6): , ,

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется решением системы уравнений?

2. Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

3. Какая система уравнений называется определенной, неопределенной?

4. Какая матрица системы уравнений называется главной?

5. Как вычислить вспомогательные определители системы линейных алгебраических уравнений?

6. В чем состоит суть метода Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений?

7. Какой может быть система линейных алгебраических уравнений, если ее главный определитель равен нулю?

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы (схема 4)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной ; имеющая определитель равный нулю – вырожденной .

Матрица называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть . (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц и коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Если главная матрица невырожденная, то есть определитель 0, то для нее можно найти обратную матрицу по следующему алгоритму.

1. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

2. Выписать найденные алгебраические дополнения в матрицу транспонированно.

3. Составить обратную матрицу по формуле: (1.8)

4. Сделать проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: , где – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получим:

Так как по определению обратной матрицы , то уравнение принимает вид или . (1.9)

Таким образом, чтобы решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.3. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения транспонированно в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?

2. Какая матрица называется обратной для заданной? Каково условие ее существования?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы для заданной?

4. Какому матричному уравнению эквивалентна система линейных алгебраических уравнений?

5. Как решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы для главной матрицы системы?

Исследование неоднородных систем линейных алгебраических уравнений (схема 5)

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса. Пусть размерность главной матрицы системы равна .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна .

Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях , к которым относятся:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, т. е.

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через (соответственно, в системе остается уравнений). Эти строки матрицы называются базисными .

Если , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить методом Крамера, с помощью обратной матрицы или универсальным методом Гаусса.

Если (количество переменных в системе больше чем уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы неизвестных (базисные переменные ), остальные неизвестных перенести в правые части (свободные переменные ). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

. (1.10)

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор ), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных заменить на свободную; полученный базисный минор проверить на отличность от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением .

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из элементов по элементов . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, базисных решений у системы также.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю. Это означает, что ранг ее главной матрицы меньше числа неизвестных . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.4.

Исследовать заданную систему и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

. Так как и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных , т. е. , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно

. Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: . Рассмотрим один из них . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде

. Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы. Вспомогательные определители

По формулам (1.6) имеем

. Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных . При получаем базисное решение системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая система уравнений называется однородной, неоднородной?

2. Какая матрица называется расширенной?

3. Перечислите основные элементарные преобразования матриц. Какой метод решения систем линейных уравнений основан на этих преобразованиях?

4. Что называется рангом матрицы? Каким способом можно его вычислить?

5. О чем говорит теорема Кронекера-Капелли?

6. К какому виду может быть приведена система линейных алгебраических уравнений в результате ее решения методом Гаусса? Что это означает?

7. Какие строки матрицы называются базисными?

8. Какие переменные системы называются базисными, какие свободными?

9. Какое решение неоднородной системы называется частным?

10.Какое ее решение называется базисным? Сколько базисных решений имеет неоднородная система линейных уравнений?

11.Какое решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений называется общим? Сформулируйте теорему об общем решении неоднородной системы уравнений.

12. Каковы основные свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений?