Как определить какая карта по масштабу. Решение задач по топографическим планам

Каждая карта имеет масштаб – число, которое показывает, сколько сантиметров на местности соответствует одному сантиметру на карте.

Масштаб карты обычно указан на ней. Запись 1: 100 000 000 означает, что если расстояние между двумя точками на карте равно 1 см, то расстояние между соответствующими точками её местности равно 100 000 000 см.

Может быть указан в численной форме в виде дроби – численный масштаб (например, 1: 200 000). А может быть обозначен в линейной форме: в виде простой линии или полосы, разделенной на единицы длины (обычно на километры или мили).

Чем крупнее масштаб карты, тем с более детально могут быть изображены на ней элементы ее содержания, и наоборот, чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями.

Масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. Чтобы определить, какой из масштабов крупнее и во сколько раз, вспомним правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.

Отношение расстояния на карте (в сантиметрах) к соответствующему расстоянию на местности (в сантиметрах) равно масштабу карты.

Как же эти знания помогут нам при решении задач по математике?

Пример 1.

Рассмотрим две карты. Расстоянию в 900 км между пунктами А и В соответствует на одной карте расстояние в 3 см. Расстоянию в 1 500 км между пунктами С и D соответствует на другой карте расстояние в 5 см. Докажем, что масштабы карт одинаковы.

Решение.

Найдём масштаб каждой карты.

900 км = 90 000 000 см;

масштаб первой карты равен: 3: 90 000 000 = 1: 30 000 000.

1500 км = 150 000 000 см;

масштаб второй карты равен: 5: 150 000 000 = 1: 30 000 000.

Ответ. Масштабы карт одинаковы, т.е. равны 1: 30 000 000.

Пример 2.

Масштаб карты – 1: 1 000 000. Найдём расстояние между точками А и В на местности, если на карте
АВ = 3,42 см ?

Решение.

Составим уравнение: отношение АВ = 3,42 см на карте к неизвестному нам расстоянию х (в сантиметрах) равно отношению между теми же пунктами А и В на местности к масштабу карты:

3,42: х = 1: 1 000 000;

х · 1 = 3,42 · 1 000 000;

х = 3 420 000 см = 34,2 км.

Ответ: расстояние между пунктами А и В на местности равно 34,2 км.

Пример 3

Масштаб карты – 1: 1 000 000. Расстояние между пунктами на местности 38,4 км. Каково расстояние между этими пунктами на карте?

Решение.

Отношение неизвестного нам расстояния х между пунктами А и В на карте к расстоянию в сантиметрах между теми же пунктами А и В на местности равно масштабу карты.

38,4 км = 3 840 000 см;

х: 3 840 000 = 1: 1 000 000;

х = 3 840 000 · 1: 1 000 000 = 3,84.

Ответ: расстояние между пунктами А и В на карте равно 3,84 см.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На картах ниже подписи числового масштаба (например, 1:10000) приводится именованный или пояснительный масштаб : «в 1 сантиметре 100 м ». Т.е. именованный или пояснительный масштаб – это числовой масштаб, выраженный не в числовой, а в словесной (пояснительной) форме.

С помощью масштабов решаются следующие задачи.

1. Определение длины отрезка на плане масштаба по длине горизонтальной проекции линии на местности.

Пусть , .

Из соотношения находим

2. Определение горизонтальной проекции линии местности по длине отрезка на плане масштаба .

Пусть , .

При большом объеме работ для исключения вычислений в решении указанных задач удобнее пользоваться изображениями масштабов в графическом виде , к которым относятся линейный и поперечный (трансверсальный ) масштабы.

Линейный масштаб – это графическое изображение числового масштаба в виде прямой линии с делениями для отсчета расстояний.

Линейный масштаб изображают в виде отрезка двойной линии, разделенной на равные интервалы , которые называются основанием масштаба (рис. 8.1).

Для построения линейного масштаба на прямой линии откладывают ряд отрезков одинаковой длины (например, ), называемой основанием линейного масштаба . Обычно равно одному или двум сантиметрам.

Крайний левый отрезок для более точных измерений делят на 10 равных частей и на правом его конце ставят 0, а на левом – число метров (километров), которое на плане соответствует основанию в заданном масштабе. Доли деления оценивают на глаз. Вправо от нулевого деления масштаба подписывают значения соответствующих расстояний на местности. Размерность ставится один раз в правом конце линейного масштаба.

Например, для карты масштаба 1:25000 основанию на местности соответствует отрезок длиной 250 м.

На топографических картах указывают числовой, именованный и линейный масштабы, а на топографических планах – числовой и именованный.

При использовании карт для измерений необходимо знать погрешности, обусловленные графическими построениями и чувствительностью человеческого зрения во время оценки наименьших делений линейного масштаба «на глаз». Считается, что человеческий глаз может различать отдельно две точки, если их видно под углом не менее . При таком угле линейная величина на расстоянии наилучшего зрения 25 см от глаза равна 0.1 мм (0.01 см) (след от укола на бумаге острой иголкой). Принято считать величину 0.1 мм граничной или предельной графической точностью построений на картах и планах. Величину отрезка на местности, которая равна 0.1 мм на карте или плане, называют точностью масштаба. Для карт масштабов 1:100000, 1:50000, 1:25000 точность масштабов составляет соответственно 10 м, 5 м, 2.5 м.

Практически принимается, что длина отрезка на плане или карте может быть оценена с точностью 0.2 мм.

Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее в данном масштабе 0.2 мм (0.02 см) на плане, называется графической точностью масштаба.

Как уже было указано выше, топографические карты – это карты масштаба 1:1000000 и крупнее. В Украине, еще со времен СССР, с 1934 года, приняты следующие масштабы топографических карт:

1:1000000; 1:100000; 1:10000;

1:500000; 1:50000; 1:5000;

1:200000; 1:25000; 1:2000.

а масштабы топографических планов следующие:

1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500.

Карта масштаба 1:1000000 составляется в проекции, которая получила наименование «видоизмененная простая поликоническая проекция». Для карт масштаба 1:200000 и крупнее на III Геодезическом Совещании в 1928 году была принята проекция Гаусса-Крюгера, а в 1939 году и для составления карты масштаба 1:50000.

Ширина зон по долготе - 6º для карт масштабов 1:500000 – 1:10000, и 3º для карт масштабов 1:5000-1:2000.

Карты масштабов 1:1000000 – 1:200000 называют обзорно-топографическими. Их используют при решении задач научного и прикладного содержания, во время промышленного освоения значительных по размерам территорий страны..

Карты масштабов 1:100000 – 1:10000 служат основой во время планирования и проектирования инженерных сооружений, геологических и геодезических изысканий, проведения мероприятий военного характера и т.д.

Карты и планы масштабов 1:5000 – 1:2000 используют при разработке генеральных планов городов, составлении технических проектов промышленных и горнодобывающих предприятий, проектировании железнодорожных и автомобильных дорог, каналов и т.п. Основными элементами топографических карт являются населенные пункты, промышленные объекты, гидрография, дорожная сеть, рельеф, границы и т.д.

Поперечный (трансверсальный) масштаб

Точность определения расстояний на плане или карте порядка 0.2 мм не может быть достигнута при использовании линейного масштаба. Поэтому для повышения точности измерений расстояний на плане или карте применяют поперечный (трансверсальный ) масштаб .

Поперечный масштаб является разновидностью линейного масштаба.

Для его построения на отрезке прямой несколько раз откладывают основание масштаба, равное 2 см (рис. 2). В полученных точках восстанавливают перпендикуляры к линии произвольной, но равной длины. Два крайних перпендикуляра делят на равных частей и через одноименные точки проводят линии, параллельные прямой . Левые нижнее и верхнее основания делят на равных частей. Точку нижнего основания соединяют наклонной линией с первой точкой верхнего основания , а через все остальные точки проводят линии, параллельные (трансверсали).

Для определения величины наименьшего деления поперечного масштаба из подобия треугольников и можно записать

Поскольку , а , то получим, что отрезок равен

Например, для масштаба 1:2000

Нетрудно убедиться, что для нормального сотенного поперечного масштаба его точность равна графической точности масштаба.

Поперечный масштаб обычно гравируют на металлических пластинках, которые закрепляются на некоторых геодезических приборах (геодезических транспортирах, масштабных линейках, кипрегелях). Оцифровка поперечного масштаба производится так же, как и линейного – в соответствии с численным масштабом. С помощью поперечного масштаба можно решать те же задачи, что и по численному или линейному масштабам.

Каждая линия, откладываемая на плане или карте с помощью поперечного масштаба, слагается из трех частей :

а) числа целых оснований , взятых от нулевого перпендикуляра до правой ножки циркуля;

б) числа малых делений (десятых долей основания), взятых от нулевого перпендикуляра до левой ножки циркуля;

в) сотых долей основания , расположенных между вертикальной линией и трансверсалью.

Аналогично можно решить обратную задачу – по длине отрезка на плане или карте определить длину соответствующей линии местности.

Для примера на поперечном масштабе 1:2000 (рис. 2) показано положение ножек циркуля-измерителя при взятии отрезков длиной 62,8 м и 131,4 м. При пользовании поперечным масштабом необходимо следить, чтобы концы обеих ножек циркуля-измерителя располагались на одной горизонтальной линии масштаба либо в середине между одноименными горизонтальными линиями.

Ни один географический объект, например реку, мост, поселок, невозможно изобразить на топографическом плане в натуральную величину. В древности люди рисовали уменьшенные изображения местности, на которых разные участки уменьшались произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т. д. Чтобы был более точным, необходимо все расстояния уменьшать в одинаковое число раз с сохранением всех пропорций, делать изображение в масштабе.

Показывает, во сколько раз расстояния на плане уменьшены по отношению к реальным расстояниям.

Длина школы на плане школьного двора в 1000 раз меньше, чем в действительности. Это означает, что на данном плане все расстояния уменьшены в 1000 раз.

Численный и именованный масштабы

Масштаб пишут по-разному. В виде числа масштаб изображается так: 1:100 (это означает, что 1 см плана заменяет 100 см на местности). Это численный масштаб. 100 см - это 1 м, поэтому можно просто написать: в 1 см - 1м. Масштаб, записанный в таком виде, - именованный масштаб.

Линейный масштаб

Обычно на планах, кроме численного и именованного масштабов, помещают линейный масштаб. Он представляет собой линию, разделенную на равные отрезки. Отрезки справа от 0 показывают, какому расстоянию на местности соответствуют расстояния на плане в 1 см, 2 см и т. д. Отрезок слева от 0 разделен на равные мелкие части. Зная расстояние на местности, которому соответствует большой отрезок, и количество мелких отрезков, можно вычислить, какому расстоянию на местности соответствует каждый мелкий отрезок. Например, длина большого отрезка слева от 0 на рисунке равна 10м. Этот отрезок разделен на 5 мелких частей, значит, длина одной такой части составляет 10м:5=2 м.

Линейный масштаб позволяет измерять расстояния на плане при помощи циркуля-измерителя или полоски бумаги.

При помощи линейного масштаба можно определять длину кривых линий, например реки, дороги. Для этого надо отметить на полоске бумаги небольшое расстояние или установить небольшой раствор между иглами циркуля-измерителя и переставлять бумагу с отметкой или циркуль вдоль измеряемой линии, считая число перестановок. Определив при помощи линейного масштаба длину одного «шага» в метрах и умножив ее на число перестановок, мы получим длину кривой линии.

Выбор масштаба

Масштаб выбирают в зависимости от величины расстояний. Например, надо изобразить расстояние в 6 км. Тогда масштаб в 1 см - 10 м не годится, потому что это расстояние изображается линией в 600 см, то есть в 6 м; но линию в 6 м нельзя поместить на обычном листе бумаги. Удобнее взять масштаб: в 1 см - 1 км. При таком масштабе расстояние в 6 км будет соответствовать линии в 6 см.

Машины и некоторые их детали, здания и их части имеют большие размеры, поэтому начертить их в натуральную величину не представляется возможным. Их изображения приходится вычерчивать в . Мельчайшие детали ручных часов и других механизмов приходится вычерчивать, наоборот, в масштабе увеличения.

Во всех случаях, когда это возможно, детали следует вычерчивать в натуральную величину, т. е. в масштабе 1:1.

Уменьшать или увеличивать изображения в произвольное количество раз не разрешается. ГОСТ 2.302-68 установлены следующие масштабы уменьшения: 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000. При составлении генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы 1:2000; 1:5000; 1:10 000; 1:20 000; 1:25 000; 1:50 000. Масштабы увеличения записываются в виде отношения к единице; стандартом установлены следующие масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40: 1, 50:1; 100:1. В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100л) : 1, где n - целое число. В тех случаях, когда полное слово «масштаб» отсутствует в записи, перед обозначением масштаба проставляют букву М, например пишут: М 1:2 (масштаб уменьшения), М 2:1 (масштаб увеличения). На рис. 1 шайба прямоугольной формы изображена в трех масштабах: в натуральную величину (М 1:1), в масштабе уменьшения и в масштабе увеличения. Линейные размеры последнего изображения в четыре раза больше, чем среднего, а площадь, занимаемая изображением, в шестнадцать раз больше. Такое резкое изменение величины изображения следует учитывать при выборе масштаба чертежа.

TBegin-->TEnd-->

Рис. 1. Сравнение различных масштабов. Линейные масштабы

Кроме численных масштабов в черчении применяют линейные масштабы. Линейные масштабы бывают двух видов: простые и поперечные (рис. 1). Простой линейный масштаб, соответствующий численному масштабу 1: 100, представляет собой линию, на которой от нулевого деления вправо отложены сантиметровые деления, а влево - одно такое же деление, разделенное на миллиметры. Каждое сантиметровое деление линейного масштаба соответствует 100 см (или 1 м). Каждое миллиметровое деление соответствует, очевидно, одному дециметру. Взяв измерителем какой-либо размер с чертежа, ставят одну иглу на соответствующее полное деление справа от нуля, на-
пример на деление 3. Тогда вторая игла покажет, сколько дециметров свыше 3 м имеет измеряемый размер. В данном случае он равняется 3,4 м.

Преимущества простого линейного масштаба перед обычной линейкой заключаются в следующем:

он всегда находится на чертеже;
дает более точные показания, так как размеры на чертеже откладывают, как правило, по данному линейному масштабу;
после фотографирования чертежа, масштаб, уменьшаясь пропорционально, дает возможность получать размеры без построения пропорционального масштаба.

Более совершенным является линейный поперечный масштаб . На чертеже он дан для того же масштаба 1:100. Наклонные линии, трансверсали, позволяют получить не только дециметры, но и сантиметры. Для примера на масштабе показан размер 3,48 м. Линейные масштабы применяют преимущественно на строительных и топографических чертежах.

TBegin-->
TEnd-->

Рис. 2. График масштабов

В проектной и производственной практике нередко пользуются пропорциональным (угловым) масштабом . Он представляет собой простейший график. Пусть требуется построить такой график для масштаба 1:5. На горизонтальной прямой от точки А (рис. 2) Откладывают отрезок, равный 100 мм; в точке В строят прямой угол и по его второй стороне откладывают отрезок, уменьшенный в 5 раз (100: 5 = 20 мм); соединяют полученную точку С с точкой А. Величину 12,8 мм, соответствующую 66 мм, берут циркулем-измерителем непосредственно с графика, не вычисляя ее и не пользуясь линейкой. График строят на миллиметровой бумаге или на бумаге, графленой в клетку.

Для масштаба 1: 2,5 на продолжении катета ВС откладывают 40 мм, для масштаба 1: 2-50 мм. Изображенный на рисунке ряд пропорциональных масштабов называют графиком масштабов. Пользование им позволяет сберечь значительное количество времени. Построив график масштабов, пользуются им в течение всей работы над курсом черчения.

Самое несложное из определения масштаба, это чтение указующей надписи в штампе чертежа. Любой чертеж должен содержать сведения о масштабе изделия или строения. Если объект крупный, то применяют уменьшающий масштаб и обозначают его как 1:10 или 1: 5 000. Это значит, что реальный размер объекта в 10 или в 5 000 раз меньше, чем на чертеже. Стало быть, для того, чтобы узнать какова высота или длина объекта на самом деле, нужно чертежную величину умножить на второе число в указании масштаба.
Такое же масштабирование наносят на географическую карту, так как реальные размеры местности гораздо больше, чем те, что отображены на бумаге.

2 шаг

При чертежном исполнении мелких деталей, пользуются увеличивающим масштабированием, чтобы изображение объекта было наглядным. В этом случае масштаб на чертеже обозначают как 2:1, 4:1 и т.д. Это значит, что реальный размер объекта в 2 или в 4 раз больше, чем на чертеже. Стало быть, для того, чтобы узнать какова высота или длина объекта на самом деле, нужно чертежную величину разделить на второе число в указании масштаба.

3 шаг

Иногда требуется определить масштаб самостоятельно. Если у вас есть чертеж и сама деталь, которая отображена на чертеже, то можно снять реальные размеры детали и соотнести с размерами на чертеже. При делении одной величины на другую получается соотношение, определяющее масштаб.

4 шаг

Измерение реального объекта можно производить линейкой, рулеткой, штангенциркулем. Размеры физического объекта (детали), снимаются по основным длинам, т.е. высота, ширина и глубина. На чертеже этому соответствуют величины, которые определяются по крайним точкам изделия и отмечаются двухголовой стрелкой. При этом не имеет значение, какой сложности конфигурация изделия.