Topi.Seksioni i topit.(biletë në matematikë). Enciklopedia e madhe e naftës dhe gazit
Një top është një trup i përbërë nga të gjitha pikat në hapësirë që janë në një distancë jo më të madhe se një distancë e caktuar nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e topit dhe kjo distancë quhet rrezja e topit. Kufiri i një sfere quhet një sipërfaqe ose sferë sferike. Pikat e sferës janë të gjitha pikat e topit që janë në një distancë të barabartë me rrezen nga qendra. Çdo segment që lidh qendrën e topit me një pikë në sipërfaqen sferike quhet gjithashtu rreze. Segmenti që kalon në qendër të topit, i cili lidh dy pika të sipërfaqes sferike, quhet diametër. Skajet e çdo diametri quhen pika diametralisht të kundërta të topit.
Një top është një trup revolucioni, ashtu si një kon dhe një cilindër. Një top fitohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit të tij si një bosht.
Sipërfaqja e një sfere mund të gjendet duke përdorur formulat:
ku r është rrezja e topit, d është diametri i topit.
Vëllimi i një sfere gjendet me formulën:
V = 4/3 pr 3,
ku r është rrezja e topit.
Teorema. Çdo seksion i një sfere nga një plan është një rreth. Qendra e këtij rrethi është baza e pingulit të rënë nga qendra e topit në rrafshin e prerjes.
Bazuar në këtë teoremë, nëse një top me qendër O dhe rreze R pritet nga një rrafsh α, atëherë në seksion fitohet një rreth me rreze r me qendër K. Rrezja e seksionit të topit nga rrafshi mund të gjendet sipas formulës
Nga formula mund të shihet se aeroplanët në distancë të barabartë nga qendra e kryqëzojnë topin në rrathë të barabartë. Rrezja e seksionit është aq më e madhe, aq më afër qendrës së topit është rrafshi i sekantit, domethënë, aq më e vogël është distanca OK. Rrezja më e madhe ka një seksion me një aeroplan që kalon në qendër të topit. Rrezja e këtij rrethi është e barabartë me rrezen e topit.
Aeroplani që kalon në qendër të topit quhet rrafshi diametrik. Seksioni i topit nga rrafshi diametral quhet rrethi i madh, dhe seksioni i sferës quhet rrethi i madh, dhe seksioni i sferës quhet rrethi i madh.
Teorema. Çdo rrafsh diametral i një topi është rrafshi i tij i simetrisë. Qendra e topit është qendra e simetrisë së tij.
Rrafshi që kalon në pikën A të sipërfaqes sferike dhe është pingul me rrezen e tërhequr në pikën A quhet rrafsh tangjent. Pika A quhet pika e prekjes.
Teorema. Plani tangjent ka vetëm një pikë të përbashkët me topin - pikën e kontaktit.
Drejtëza që kalon nëpër pikën A të sipërfaqes sferike pingul me rrezen e tërhequr në këtë pikë quhet tangjente.
Teorema. Përmes çdo pike të sipërfaqes sferike ka pafundësisht shumë tangjente dhe të gjitha shtrihen në rrafshin tangjent të topit.
Një segment sferik është një pjesë e një sfere të shkëputur prej saj nga një aeroplan. Rrethi ABC është baza e segmentit sferik. Segmenti MN i pingules i tërhequr nga qendra N e rrethit ABC deri në kryqëzimin me sipërfaqen sferike është lartësia e segmentit sferik. Pika M është kulmi i segmentit sferik.
Sipërfaqja e një segmenti sferik mund të llogaritet duke përdorur formulën:
Vëllimi i një segmenti sferik mund të gjendet me formulën:
V \u003d πh 2 (R - 1/3h),
ku R është rrezja e rrethit të madh, h është lartësia e segmentit sferik.
Një sektor sferik merret nga një segment sferik dhe një kon, si më poshtë. Nëse segmenti sferik është më i vogël se një hemisferë, atëherë segmenti sferik plotësohet nga një kon, kulmi i të cilit është në qendër të topit dhe baza e të cilit është baza e segmentit. Nëse segmenti është më i madh se një hemisferë, atëherë koni i treguar hiqet prej tij.
Një sektor sferik është një pjesë e një sfere të kufizuar nga sipërfaqja e lakuar e një segmenti sferik (AMCB në figurën tonë) dhe një sipërfaqe konike (OABC në figurë), baza e së cilës është baza e segmentit (ABC) dhe maja është qendra e topit O.
Vëllimi i sektorit sferik gjendet me formulën:
V = 2/3 πR 2 H.
Një shtresë sferike është një pjesë e një sfere të mbyllur midis dy rrafsheve paralele (planet ABC dhe DEF në figurë) që kryqëzojnë një sipërfaqe sferike. Sipërfaqja e lakuar e një shtrese sferike quhet brez (zonë) sferike. Rrathët ABC dhe DEF janë bazat e brezit sferik. Distanca NK ndërmjet bazave të brezit sferik është lartësia e tij.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Faqe 1
Seksioni i një sfere nga një rrafsh që kalon nga qendra quhet rreth i madh. Rrezja e rrethit të madh është e barabartë me rrezen e topit.
Seksioni kryq i një sfere nga një plan është gjithmonë një rreth. Në fig. 153 tregon një top të prerë nga një plan horizontal R dhe një plan i përparmë projektues Q, i dhënë nga gjurmët Rv dhe Qv. Ai është projektuar në rrafshin H gjithashtu në formën e një rrethi që ka një qendër të përbashkët me një skicë të projeksionit horizontal të topit. Për të përcaktuar pikat ekstreme t dhe t të mëdha og. Pikat e ndërmjetme të një elipsi, për shembull / i dhe / 2, mund të merren me metodën e përshkruar në zgjidhjen e një problemi të ngjashëm kur ndërtoni pika të shtrira në sipërfaqen e një topi.
Seksioni i sferës nga çdo rrafsh vertikal që kalon nëpër qendër jep një rreth të madh të quajtur meridian.
Seksioni i një sfere nga një rrafsh i vendosur në një distancë më të vogël se rrezja nga qendra e sferës është një rreth.
Seksioni kryq i një sfere nga një plan është një rreth. Një aeroplan që kalon në qendër të topit e kryqëzon atë në një rreth, diametri i të cilit është i barabartë me diametrin e topit. Për të ndërtuar një imazh të një topi të cunguar, ndërtohen projeksionet e boshteve të elipsës, si dhe pikat e elipsës që shtrihen në gjeneratorët e konturit të topit.
Një pjesë e një sfere me një rrafsh pingul me rrezen e saj e përgjysmon rrezen.
Seksioni i topit që kalon nëpër boshtin e konit është një rreth i madh i topit, në të cilin është gdhendur DLV5 (Fig. 185), ku [LV] është diametri i bazës së konit.
Seksioni i sferës nga një rrafsh që kalon nëpër bazën e piramidës është një rreth në të cilin është gdhendur DLVS. Që nga C 90, qendra e këtij rrethi O shtrihet në mes të hipotenuzës.
Seksioni i një sfere nga një rrafsh që kalon nga qendra e sferës quhet rreth i madh. Një rrafsh tangjent me një sferë (top) është një rrafsh që ka një pikë të vetme të përbashkët me sferën. Kjo pikë quhet pika e kontaktit ndërmjet sferës dhe rrafshit. Që një rrafsh të jetë tangjent me një sferë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ky rrafsh të jetë pingul me rrezen e sferës dhe të kalojë nga fundi i saj.
Prandaj, pjesa e topit që kalon nëpër qendrën e saj dhe prek bazën e piramidës do të jetë një rreth i gdhendur në trekëndëshin SEF, ku SE dhe SF janë apotemat e faqeve anësore, dhe EF është lartësia e rombit.
Konsideroni një seksion të një sfere që kalon nëpër boshtin e një koni të cunguar. Në seksion, marrim një rreth në të cilin është brendashkruar trapezi ABCD.
Çdo seksion i një sfere nga një rrafsh që kalon përmes qendrës së saj prodhon një rreth të madh.
О Seksioni i topit që kalon nëpër boshtin e konit është një rreth i madh i topit, në të cilin është shkruar D ABS (Fig. 339), ku [AB] është diametri i bazës së konit.
Prezantimi
Një top është një trup që përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirë që janë në një distancë jo më të madhe se një distancë e caktuar nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e topit dhe kjo distancë quhet rrezja e topit.
Kufiri i një sfere quhet një sipërfaqe sferike, ose sferë. Kështu, pikat e sferës janë të gjitha pikat e topit që janë në një distancë nga qendra e barabartë me rrezen. Çdo segment vije që lidh qendrën e një topi me një pikë në sipërfaqen e topit, e quajtur gjithashtu një rreze.
Segmenti që lidh dy pika të sipërfaqes sferike që kalon përmes qendrës së topit quhet diametër. Skajet e çdo diametri quhen pika diametralisht të kundërta të topit.
Një top, si një cilindër dhe një kon, është një trup revolucioni. Përftohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit të tij si një bosht.
Seksion i një sfere nga një aeroplan
Çdo seksion i një sfere nga një plan është një rreth. Qendra e këtij rrethi është baza e pingulit të rënë nga qendra e topit në rrafshin e prerjes.
Vërtetim: Le të jetë një rrafsh prerës dhe O - qendra e topit (Fig. 1) Le të hedhim pingulen nga qendra e topit në rrafsh dhe të shënojmë bazën e kësaj pingule me O ".
Le të jetë X një pikë arbitrare e topit që i përket aeroplanit. Sipas teoremës së Pitagorës, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Meqenëse OX nuk është më e madhe se rrezja R e topit, atëherë O "X?, d.m.th. çdo pikë e seksionit të topit nga një aeroplan është nga pika O" në një distancë jo më të madhe, prandaj, i përket një rrethi. me qendër O "dhe rreze. Anasjelltas: cilado pika X e këtij rrethi i përket topit, që do të thotë se seksioni i topit nga rrafshi është një rreth me qendër në pikën O". Teorema është vërtetuar.
Zona që kalon nga qendra e sferës quhet plan diametrik. Seksioni kryq i një topi me një plan diametral quhet rreth i madh, dhe seksioni kryq i një sfere quhet rreth i madh.
Përkufizimi.
Sferë (sipërfaqja e topit) është mbledhja e të gjitha pikave në hapësirën tredimensionale që janë të njëjtën distancë nga një pikë e vetme, e quajtur qendra e sferës(RRETH).Një sferë mund të përshkruhet si një figurë tredimensionale që formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të saj me 180 ° ose një gjysmërreth rreth diametrit të tij me 360 °.
Përkufizimi.
Topiështë grumbullimi i të gjitha pikave në hapësirën tredimensionale, distanca nga e cila nuk kalon një distancë të caktuar deri në një pikë të quajtur qendra e topit(O) (bashkësi e të gjitha pikave të hapësirës tredimensionale të kufizuara nga një sferë).Një top mund të përshkruhet si një figurë tre-dimensionale, e cila formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të tij me 180 ° ose një gjysmërreth rreth diametrit të tij me 360 °.
Përkufizimi. Rrezja e sferës (topit).(R) është distanca nga qendra e sferës (topit) O në çdo pikë të sferës (sipërfaqja e topit).
Përkufizimi. Diametri i sferës (topit).(D) është një segment që lidh dy pika të sferës (sipërfaqja e topit) dhe kalon nëpër qendrën e saj.
Formula. Vëllimi i topit:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Formula. Sipërfaqja e një sfere përmes rrezes ose diametrit:
S = 4π R 2 = π D 2
Ekuacioni i sferës
1. Ekuacioni i një sfere me rreze R dhe qendër në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Ekuacioni i një sfere me rreze R dhe qendër në një pikë me koordinata (x 0 , y 0 , z 0) në sistemin e koordinatave karteziane:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Përkufizimi. pika diametralisht të kundërta janë çdo dy pika në sipërfaqen e një topi (sfere) që lidhen me një diametër.
Vetitë themelore të një sfere dhe një topi
1. Të gjitha pikat e sferës janë njësoj të largëta nga qendra.
2. Çdo seksion i një sfere nga një rrafsh është një rreth.
3. Çdo seksion i një sfere nga një rrafsh është një rreth.
4. Sfera ka vëllimin më të madh ndër të gjitha figurat hapësinore me sipërfaqe të njëjtë.
5. Përmes çdo dy pikash diametralisht të kundërta, mund të vizatoni shumë rrathë të mëdhenj për një sferë ose rrathë për një top.
6. Nëpër çdo dy pika, përveç pikave diametralisht të kundërta, është e mundur të vizatohet vetëm një rreth i madh për një sferë ose një rreth i madh për një top.
7. Çdo dy rrathë të mëdhenj të një topi kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë që kalon nga qendra e topit dhe rrathët kryqëzohen në dy pika diametralisht të kundërta.
8. Nëse distanca ndërmjet qendrave të çdo dy topash është më e vogël se shuma e rrezeve të tyre dhe më e madhe se moduli i diferencës ndërmjet rrezeve të tyre, atëherë topa të tillë kryqëzohen, dhe një rreth formohet në rrafshin e kryqëzimit.
Rrafshi sekant, korda, sekanti i sferës dhe vetitë e tyre
Përkufizimi. Sekanti i sferaveështë një vijë e drejtë që e pret sferën në dy pika. Pikat e kryqëzimit quhen pikat e shpimit sipërfaqe ose pika hyrëse dhe dalëse në sipërfaqe.
Përkufizimi. Akord i një sfere (topi)është një segment që lidh dy pika të një sfere (sipërfaqen e një topi).
Përkufizimi. avion prerësështë rrafshi që pret sferën.
Përkufizimi. Plani diametral- ky është një aeroplan sekant që kalon nëpër qendrën e një sfere ose topi, seksioni formohet, përkatësisht rreth i madh Dhe rreth i madh. Rrethi i madh dhe rrethi i madh kanë një qendër që përkon me qendrën e sferës (topit).
Çdo akord që kalon nëpër qendrën e një sfere (topi) është një diametër.
Një akord është një segment i një linje sekante.
Distanca d nga qendra e sferës në sekant është gjithmonë më e vogël se rrezja e sferës:
d< R
Distanca m midis planit të prerjes dhe qendrës së sferës është gjithmonë më e vogël se rrezja R:
m< R
Seksioni i planit të prerjes në sferë do të jetë gjithmonë rreth i vogël, dhe në top seksioni do të jetë rreth i vogël. Një rreth i vogël dhe një rreth i vogël kanë qendrat e tyre që nuk përkojnë me qendrën e sferës (topit). Rrezja r e një rrethi të tillë mund të gjendet me formulën:
r \u003d √ R 2 - m2,
Ku R është rrezja e sferës (topit), m është distanca nga qendra e topit në rrafshin prerës.
Përkufizimi. Hemisfera (hemisfera)- kjo është gjysma e sferës (topit), e cila formohet kur pritet nga një plan diametral.
Tangjent, rrafshi tangjent me sferën dhe vetitë e tyre
Përkufizimi. Tangjent me sferënështë një vijë e drejtë që prek sferën vetëm në një pikë.
Përkufizimi. Plani tangjent ndaj sferësështë një plan që prek sferën vetëm në një pikë.
Vija tangjente (aeroplani) është gjithmonë pingul me rrezen e sferës së tërhequr në pikën e kontaktit
Distanca nga qendra e sferës në vijën tangjente (aeroplani) është e barabartë me rrezen e sferës.
Përkufizimi. segmenti i topit- kjo është pjesa e topit që shkëputet nga topi me anë të një rrafshi prerës. Shtylla kurrizore e segmentit thirrni rrethin që u formua në vendin e seksionit. lartësia e segmentit h është gjatësia e pingulit të tërhequr nga mesi i bazës së segmentit në sipërfaqen e segmentit.
Formula. Sipërfaqja e jashtme e një segmenti sfere me lartësi h për sa i përket rrezes së sferës R:
S = 2π Rh
| Emri i parametrit | Kuptimi |
| Tema e artikullit: | Seksioni i sferës |
| Rubrika (kategoria tematike) | Arsimi |
Avion me pozicion privat
Sfera përshkohet nga një rrafsh i projektuar ballor (Fig. 9.19.)
|
Për të ndërtuar projeksione horizontale të pikave, ne përdorim paralelet e sferës që kalojnë nëpër pikat e zgjedhura. Sigurohuni që të zgjidhni pikat 3 dhe 4, të shtrira në ekuator, pasi ato janë pika kalimi nga ana e dukshme në anën e padukshme të sipërfaqes (Fig. 9.19.).
Zbulon
Kur studiohet ndërtimi i shpalosjeve, sipërfaqja konsiderohet si një film fleksibël i pazgjatur. Disa sipërfaqe, kur përkulen, mund të kombinohen me një aeroplan pa u thyer dhe ngjitur. Sipërfaqe të tilla quhen të zhvillueshme, dhe figura e sheshtë që rezulton quhet zhvillim. Sipërfaqet që nuk mund të kombinohen me një aeroplan janë të pazhvillueshme.
Ndërtimi i makinerive ka një përdorim të madh praktik, pasi lejon prodhimin e një shumëllojshmërie produktesh nga materiali fletë duke e përkulur atë.
Vetitë themelore të zhvillimeve sipërfaqësore
Çdo pikë (figurë) në sipërfaqe korrespondon me një pikë (figurë) në zhvillim dhe anasjelltas.
Bazuar në këtë, mund të formulohen vetitë e mëposhtme:
1. Gjatësitë e dy vijave përkatëse të sipërfaqes dhe zhvillimi i saj janë të barabarta me njëra-tjetrën. Pasoja: një vijë e mbyllur në sipërfaqe dhe vija që korrespondon me të në zhvillim kufizojnë të njëjtën zonë.
2. Këndi ndërmjet vijave në sipërfaqe është i barabartë me këndin ndërmjet vijave përkatëse në skanim.
3. Vijat e drejta në sipërfaqe korrespondojnë me vijat e drejta në zhvillim.
4. Vijat paralele në sipërfaqe gjithashtu korrespondojnë me linjat paralele në skanim
Shpalosja sipërfaqësore e poliedrave
Nën zhvillimin e një sipërfaqeje poliedrike, nënkuptohet një figurë e sheshtë, e përbërë nga faqet e kësaj sipërfaqeje, të kombinuara me një rrafsh.
Ekzistojnë tre mënyra për të ndërtuar një zhvillim të sipërfaqeve poliedrike:
1) Metoda e trekëndëshave (trekëndëshat);
2) Metoda e seksionit normal;
3) Metoda e rrotullimit.
Seksioni i sferës - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Seksioni i sferës" 2017, 2018.