Момент инерции через центр стержня. Расчёт моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массыdm = dV . Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:
Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его момент инерции относительно точки . Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):
(2)
где r – расстояние элементаdm до выбранной точки (относительно которой вычисляется ). Пусть эта точка является началом системы координатX , Y , Z (рис. 1). Квадраты расстояний элементаdm до координатных осейX , Y , Z и до начала координат равны соответственноy 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 . Моменты инерции тела относительно осейX , Y , Z и относительно начала координат
Из этих соотношений следует, что
Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.
Момент инерции тонкого кольца. Все элементы кольцаdm (рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольцаR , от его оси симметрии (осьY) и от его центра. Момент инерции кольца относительно осиY
(4)Момент инерции тонкого диска. Пусть тонкий однородный диск массыm с концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусыR 1 иR 2 . Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиусаr , толщиныdr . Момент инерции такого кольца относительно осиY (рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):
Момент инерции диска:
(6)
В частности, полагая в (6) R 1 = 0, R 2 = R , получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:
Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска . Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.
Момент инерции тонкого диска относительно его центра также вычисляется по формуле (6), = J y , а моменты инерции относительно осейX иZ равны между собой,J x = J z . Поэтому, в соответствии с (3): 2 J x + J y = 2 J y , J x = J y /2, или
(8)
Момент инерции всего цилиндра
Момент инерции цилиндра относительно оси Z (оси вращения маятника) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера
где d – расстояние от центра масс цилиндра до осиZ . В работе 16 этот момент инерции обозначен какJ ц
(11)
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b , чтобы сумма квадратов отклонений у i (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов» ), т.е. чтобы величина
(1)
Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид
Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (x 2 i + y 2 i). Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.
В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от х 2 , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной dx, то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx, а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М. Поэтому
Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель 1/3.
А чему будет равен момент инерции I, если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от —1/2L до +1/2L. Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна М/2, а длина равна L/2. Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен
Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.
Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси . Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен I 1 = MR 2 ц.м. , где R ц.м — расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину I 1), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции I 1 нужно добавить I ц — момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен
Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Мы сейчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х` от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
x i = x` i + X ц.м.
Возводя это выражение в квадрат, находим
x 2 i = x` 2 i + 2X ц.м. x` i + X 2 ц.м.
Что получится, если умножить его на m i и просуммировать по всем r? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим
I x = Σm i x` 2 i + 2X ц.м. Σm i x` i + X2 ц.м. Σm i
Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ 2 ц.м. . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Σm i x` i ; он равен x`-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х` отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I ц. Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).
Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML 2 /3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны получить, что ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.
Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML 2 , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент γ. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент 1/4γ. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что γ=1/4γ + 1/4, откуда γ=1/3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!
При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось I ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.
Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью z, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у. Доказывается это совсем просто. Заметим, что
Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой М, шириной ω и длиной L относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто
поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен Mω 2 /12, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной ω, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен ML 2 /12, такой же, как и для стержня длиной L.
Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:
1. Момент инерции равен
2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.
3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.
4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.
В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Решение:
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Решение:
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и .
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Момент инерции |
| Рубрика (тематическая категория) | Механика |
Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси принято называть скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:
J = mr 2 (75)
Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек
(76)
К определению момента инерции точки
В случае если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объёмы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:
(77)
Для однородного по объёму тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде
dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:
(78)
Размерность момента инерции – кг*м 2 .
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции - это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения . Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.
В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:
Момент инерции шара радиуса R :
Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:
Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:
Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).
К расчету момента инерции стержня
Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:
Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и в связи с этим, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, к примеру, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.
Момент силы F относительно точки O
Момент инерции - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Момент инерции" 2017, 2018.
Рис.35 Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx"y"z", а через любую точку О на оси Сх" - оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy", Oz½½Cz" (рис. 35). Расстояние между осями Cz" и Оz обозначим через d. Тогда но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя... .
Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении. В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным,... .
Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса. Динамика изучает движение тел с учетом причин,... .
Проанализируем формулу для момента инерции твердого тела. Момент инерции зависит от 1) массы тела, 2) формы и размеров тела, 3) положения оси вращения относительно тела (рис 2) Рис. 2а Рис.2б Итак, момент инерции есть мера инертности тела при вращательном движении,... .
Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент...
Тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла
в котором r - расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).
Для момента инерции можно написать I A = kml 2 , где l - длина стержня, k - коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I A = I C + m (l /2) 2 . Величину I C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ , длина каждого из которых равна l /2, масса m /2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I C = km (l/ 2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим
,
откуда k = 1/3. В результате находим
(4.16)
Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен
I Z = mR 2 , (4.17)
где R - радиус кольца. Ввиду симметрии I X = I У .
Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра.
Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z
проходит через центр диска С
перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r
и наружным радиусом r + dr
. Площадь такого кольца dS = 2
prdr
. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI z = r
2 dm.
Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = 
, где S =
pR
2 - площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим
(4.18)
Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.
Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О : q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm . Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ - до неподвижной точки.
Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x , у , z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х , Y , Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей
I X = m (y 2 + z 2), I У = m (z 2 + x 2),
I Z = m (x 2 + y 2).
Сложим эти три равенства, получим I X + I У + I Z = 2m (x 2 + у 2 + z 2).
Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R - расстояние точки m от начала координат О. Поэтому
I X + I У + I Z = 2θ. (4.19)
Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками .
Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I X = I Y = I Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра