Auksinis žmogaus gyvenimo pjūvis. Dieviškoji harmonija: kas yra aukso pjūvis paprastais žodžiais

Išsiaiškinkime, kas bendro tarp senovės Egipto piramidžių, Leonardo da Vinci paveikslo „Mona Liza“, saulėgrąžos, sraigės, kankorėžio ir žmogaus pirštų?

Atsakymas į šį klausimą slypi nuostabiuose atrastuose skaičiuose. italų viduramžių matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonacci vardu (g. apie 1170 m. – mirė po 1228 m.), italų matematikas . Keliaudamas po Rytus susipažino su arabų matematikos pasiekimais; prisidėjo prie jų perdavimo į Vakarus.

Po jo atradimo šie skaičiai pradėti vadinti garsaus matematiko vardu. Nuostabi Fibonačio sekos esmė ta kad kiekvienas šios sekos skaičius gaunamas iš ankstesnių dviejų skaičių sumos.

Taigi, seką sudarantys skaičiai:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

vadinami „Fibonačio skaičiais“, o pati seka vadinama Fibonačio seka.

Fibonačio skaičiuose yra viena labai įdomi savybė. Dalijant bet kurį skaičių iš sekos iš skaičiaus prieš jį serijoje, rezultatas visada bus reikšmė, kuri svyruoja apie neracionaliąją reikšmę 1,61803398875 ... ir kartais ją viršija, kartais nepasiekia. (Atkreipkite dėmesį į neracionalųjį skaičių, t. y. skaičių, kurio dešimtainis vaizdas yra begalinis, o ne periodinis)

Be to, po 13-ojo sekos skaičiaus šis padalijimo rezultatas tampa pastovus iki serijos begalybės ... Būtent šis pastovus padalijimo skaičius viduramžiais buvo vadinamas dieviškuoju santykiu, o dabar jis vadinamas aukso pjūviu, aukso viduriu arba aukso proporcija. . Algebroje šis skaičius žymimas graikiška raide phi (Ф)

Taigi, aukso santykis = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Žmogaus kūnas ir aukso pjūvis

Menininkai, mokslininkai, mados dizaineriai, dizaineriai savo skaičiavimus, brėžinius ar eskizus atlieka pagal aukso pjūvio santykį. Jie naudoja žmogaus kūno matavimus, taip pat sukurtus pagal aukso pjūvio principą. Leonardo Da Vinci ir Le Corbusier, prieš kurdami savo šedevrus, ėmėsi žmogaus kūno parametrų, sukurtų pagal Auksinio santykio dėsnį.

Svarbiausioje visų šiuolaikinių architektų knygoje, E. Neuferto žinyne „Pastatų projektavimas“ pateikiami pagrindiniai žmogaus kūno parametrų skaičiavimai, kuriuose yra ir aukso pjūvis.

Įvairių mūsų kūno dalių proporcijos sudaro skaičių, labai artimą auksiniam pjūviui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso pjūvio formule, laikoma, kad žmogaus išvaizda ar kūnas yra idealiai sukonstruoti. Žmogaus kūno auksinio mato apskaičiavimo principas gali būti pavaizduotas kaip diagrama:

M/m = 1,618

Pirmasis aukso pjūvio pavyzdys žmogaus kūno struktūroje:
Jei bambos tašką imsime kaip žmogaus kūno centrą, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.

Be to, yra dar kelios pagrindinės auksinės mūsų kūno proporcijos:

* atstumas nuo pirštų galiukų iki riešo iki alkūnės yra 1:1,618;

* atstumas nuo peties lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618;

* atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo peties lygio iki viršugalvio yra 1:1,618;

* bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galiuko iki šnervių yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1:1,618:

Aukso pjūvis žmogaus veido bruožuose kaip tobulo grožio kriterijus.

Žmogaus veido bruožų struktūroje taip pat yra daug pavyzdžių, kurie savo verte artimi aukso pjūvio formulei. Tačiau neskubėkite iš karto paskui liniuotę matuoti visų žmonių veidų. Nes tikslūs aukso pjūvio atitikmenys, pasak mokslininkų ir meno žmonių, menininkų ir skulptorių, egzistuoja tik tobulo grožio žmonėms. Tiesą sakant, tikslus aukso pjūvio buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus akiai.

Pavyzdžiui, susumavus dviejų viršutinių priekinių dantų plotį ir šią sumą padalinus iš dantų aukščio, tada, gavę auksinį pjūvį, galime teigti, kad šių dantų struktūra yra ideali.

Žmogaus veide yra ir kitų auksinio pjūvio taisyklės įkūnijimų. Štai keletas šių santykių:

* Veido aukštis / plotis;

* Centrinis lūpų sujungimo su nosies pagrindu taškas / nosies ilgis;

* Veido aukštis / atstumas nuo smakro galo iki lūpų jungties centro taško;

* Burnos plotis / nosies plotis;

* Nosies plotis / atstumas tarp šnervių;

* Atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Žmogaus ranka

Pakanka tik dabar priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti į smilių, ir jame iškart rasite aukso pjūvio formulę. Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų pirštakaulių.

* Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu ir suteikia auksinės dalies numerį (išskyrus nykštį);

* Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui;

* Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštai susideda iš 3 pirštakaulių (išskyrus nykštį). Ant kiekvienos rankos yra 5 pirštai, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifalanginius nykščius, pagal aukso pjūvio principą sukuriami tik 8 pirštai. Tuo tarpu visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai:

Aukso pjūvis žmogaus plaučių struktūroje

Amerikiečių fizikas B.D. Westas ir daktaras A.L. Goldbergeris fizinių ir anatominių tyrimų metu nustatė, kad aukso pjūvis taip pat egzistuoja žmogaus plaučių struktūroje.

Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinėje) yra trumpesnis.

* Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgio santykis taip pat yra auksinis pjūvis ir yra lygus 1:1,618.

Auksinio stačiakampio keturkampio ir spiralės sandara

Auksinė pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi taip pat, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnė dalis yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su viskuo.

Geometrijoje stačiakampis su tokiu kraštinių santykiu pradėtas vadinti auksiniu stačiakampiu. Jo ilgosios kraštinės yra susijusios su trumposiomis kraštinėmis santykiu 1,168:1.

Auksinis stačiakampis taip pat turi daug nuostabių savybių. Auksinis stačiakampis turi daug neįprastų savybių. Iš auksinio stačiakampio nupjaudami kvadratą, kurio kraštinė lygi mažesnei stačiakampio kraštinei, vėl gauname mažesnį auksinį stačiakampį. Šis procesas gali būti tęsiamas iki begalybės. Pjaudami kvadratus gausime vis mažesnius auksinius stačiakampius. Be to, jie bus išdėstyti logaritminėje spiralėje, kuri yra svarbi gamtos objektų (pavyzdžiui, sraigių kiautų) matematiniuose modeliuose.

Spiralės polius yra pradinio stačiakampio ir pirmojo nupjauto vertikalės įstrižainių sankirtoje. Be to, ant šių įstrižainių yra visų vėlesnių mažėjančių auksinių stačiakampių įstrižainės. Žinoma, yra ir auksinis trikampis.

Anglų dizaineris ir estetikas Williamas Charltonas teigė, kad žmonėms spiralės formos yra malonios akiai ir jas naudoja tūkstančius metų, paaiškindamas tai taip:

„Mums patinka spiralės išvaizda, nes vizualiai galime ją lengvai pamatyti.

Gamtoje

* Aukso pjūvio taisyklė, kuria grindžiama spiralės struktūra, gamtoje labai dažnai sutinkama neprilygstamo grožio kūriniuose. Ryškiausi pavyzdžiai - spiralės forma matyti saulėgrąžų sėklų išdėstyme, o kankorėžiuose, ananasuose, kaktusuose, rožių žiedlapių sandaroje ir kt.;

* Botanikai nustatė, kad lapų išdėstyme ant šakos, saulėgrąžų sėklų ar kankorėžių aiškiai pasireiškia Fibonačio serija, taigi ir aukso pjūvio dėsnis;

Visagalis Viešpats kiekvienam savo kūriniui nustatė ypatingą matą ir suteikė proporcingumą, kurį patvirtina gamtoje randami pavyzdžiai. Galima paminėti labai daug pavyzdžių, kai gyvų organizmų augimo procesas vyksta griežtai laikantis logaritminės spiralės formos.

Visos spyruoklės ritėje yra vienodos formos. Matematikai nustatė, kad net ir padidėjus spyruoklių dydžiui, spiralės forma išlieka nepakitusi. Matematikoje nėra kitos formos, kuri turėtų tokias pačias unikalias savybes kaip spiralė.

Jūrų kriauklių struktūra

Mokslininkai, tyrinėję jūrų dugne gyvenančių minkštakūnių moliuskų kiautų vidinę ir išorinę struktūrą, teigė:

„Kiauklų vidinis paviršius yra nepriekaištingai lygus, o išorinis padengtas šiurkštumu ir nelygumais. Moliuskas buvo kiaute, o tam vidinis kiauto paviršius turėjo būti nepriekaištingai lygus. Išoriniai apvalkalo kampai-lenkimai padidina jo stiprumą, kietumą ir taip padidina stiprumą. Džiugina kriauklės (sraigės) struktūros tobulumas ir nuostabus pagrįstumas. Spiralinė kriauklių idėja yra tobula geometrinė forma ir nuostabi savo nugludintu grožiu.

Daugumoje sraigių, kurios turi kiautus, kiautas auga logaritmine spirale. Tačiau neabejotina, kad šios neprotingos būtybės ne tik neįsivaizduoja logaritminės spiralės, bet ir neturi net paprasčiausių matematinių žinių, kad galėtų susikurti sau spiralės apvalkalą.

Bet kaip šios neprotingos būtybės galėtų pačios nustatyti ir pasirinkti idealią augimo ir egzistavimo formą spiralinio apvalkalo pavidalu? Ar šios gyvos būtybės, kurias mokslo pasaulis vadina primityviomis gyvybės formomis, galėtų apskaičiuoti, kad logaritminė apvalkalo forma būtų ideali jų egzistavimui?

Žinoma, ne, nes toks planas negali būti įgyvendintas be proto ir žinių. Tačiau nei primityvūs moliuskai, nei nesąmoninga gamta, kurią kai kurie mokslininkai vadina gyvybės žemėje kūrėja (?!)

Bandymas paaiškinti tokios net primityviausios gyvybės formos kilmę atsitiktiniu kažkokių natūralių aplinkybių sutapimu yra bent jau absurdas. Akivaizdu, kad šis projektas yra sąmoninga kūryba.

Biologas seras D'Arkey'as Thompsonas tokį jūros kriauklių augimą vadina „Gnome augimo forma“.

Seras Thompsonas pateikia tokį komentarą:

„Nėra paprastesnės sistemos, kaip augti jūros kriauklės, kurios auga ir plečiasi proporcingai išlaikant tą pačią formą. Kiautas, kas nuostabiausia, auga, bet niekada nekeičia formos.

Kelių centimetrų skersmens nautilus yra ryškiausias nykštukinio augimo pavyzdys. S. Morrison aprašo šį nautilus augimo procesą, kurį net žmogaus protui suplanuoti atrodo gana sunku:

„Nautilo kiauto viduje yra daug skyrių-kambarių su perlamutrinėmis pertvaromis, o pats apvalkalas viduje yra spiralė, besiplečianti iš centro. Nautilui augant, priešais kriauklę išauga dar vienas kambarys, bet jau didesnis nei ankstesnis, o paliktos kambario pertvaros yra padengtos perlamutro sluoksniu. Taigi spiralė visą laiką proporcingai plečiasi.

Štai tik keletas spiralinių apvalkalų tipų, kurie turi logaritminę augimo formą pagal jų mokslinius pavadinimus:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Visos aptiktos fosilijos kriauklių liekanos taip pat turėjo išsivysčiusią spiralės formą.

Tačiau logaritminė augimo forma gyvūnų pasaulyje randama ne tik moliuskams. Antilopių, laukinių ožkų, avinų ir kitų panašių gyvūnų ragai taip pat vystosi spiralės pavidalu pagal aukso pjūvio dėsnius.

Aukso pjūvis žmogaus ausyje

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas Cochlea ("Sraigė"), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją.. Ši kaulą primenanti struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat sukurta sraigės pavidalu, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73º 43'.

Gyvūnų ragai ir iltys vystosi spiraliniu būdu

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir primena ašies formą, kuri linkusi virsti spirale. Vorai visada sukasi savo tinklus logaritmine spirale. Mikroorganizmų, tokių kaip planktonas (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, teilae ir trochida) struktūra taip pat turi spiralės formą.

Aukso pjūvis mikropasaulių struktūroje

Geometrinės formos neapsiriboja tik trikampiu, kvadratu, penkiakampiu ar šešiakampiu. Jei šias figūras įvairiais būdais derinsime tarpusavyje, gausime naujas erdvines geometrines figūras. To pavyzdžiai yra figūros, tokios kaip kubas arba piramidė. Tačiau, be jų, yra ir kitų kasdienybėje nesutiktų trimačių figūrų, kurių vardus girdime gal pirmą kartą. Tarp tokių trimačių figūrų galima išskirti tetraedrą (taisyklinga keturkampė figūra), oktaedrą, dodekaedrą, ikosaedrą ir kt. Dodekaedras susideda iš 13 penkiakampių, ikosaedras – iš 20 trikampių. Matematikai pastebi, kad šias figūras matematiškai labai lengva transformuoti, o jų transformacija vyksta pagal aukso pjūvio logaritminės spiralės formulę.

Mikrokosme visur vyrauja trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. . Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltyminis apvalkalas susidaro iš 252 vienetų baltymų ląstelių, išsidėsčiusių tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 baltymų ląstelių vienetų penkiakampės prizmės pavidalu, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.

Auksinis pjūvis virusų struktūroje pirmą kartą buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. mokslininkai iš Londono Birkbeck koledžo A.Klugas ir D.Kasparas. 13 Polio virusas pirmasis parodė logaritminę formą. Nustatyta, kad šio viruso forma yra panaši į Rhino 14 virusą.

Kyla klausimas, kaip virusai suformuoja tokias sudėtingas erdvines formas, kurių struktūroje yra aukso pjūvis, kurį gana sunku sukonstruoti net mūsų žmogaus protu? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klugas komentuoja:

„Mes su daktaru Kasparu parodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra simetrija kaip ikosaedro forma. Ši tvarka sumažina jungiamųjų elementų skaičių... Dauguma Buckminster Fuller geodezinių pusrutulio formos kubelių yra sukurti panašiu geometriniu principu. 14 Tokių kubelių montavimas reikalauja itin tikslios ir detalios paaiškinimo schemos. Tuo tarpu nesąmoningi virusai patys sukuria tokį sudėtingą elastingų, lanksčių baltymų ląstelių vienetų apvalkalą.

Talpiausias aukso pjūvio apibrėžimas sako, kad mažesnė dalis yra susijusi su didesne, kaip didesnė su visuma. Apytikslė jo vertė yra 1,6180339887. Suapvalinus procentais, visumos dalių proporcijos koreliuos 62% ir 38%. Šis santykis veikia erdvės ir laiko pavidalais. Senovės žmonės aukso pjūvį laikė kosminės tvarkos atspindžiu, o Johannesas Kepleris jį vadino vienu iš geometrijos lobių. Šiuolaikinis mokslas auksinį pjūvį laiko „asimetrine simetrija“, plačiąja prasme vadindamas universalia taisykle, atspindinčia mūsų pasaulio tvarkos struktūrą ir tvarką.

Istorija

Senovės egiptiečiai turėjo aukso proporcijų idėją, apie jas žinojo ir Rusijoje, tačiau pirmą kartą vienuolis Luca Pacioli aukso pjūvį moksliškai paaiškino knygoje „Dieviškoji proporcija“ (1509), kurią tariamai iliustravo Leonardo da. Vinci. Pacioli matė dieviškąją trejybę aukso pjūviu: mažas segmentas įkūnijo Sūnų, didelis – Tėvą, o visa – Šventąją Dvasią. Italų matematiko Leonardo Fibonačio vardas yra tiesiogiai susijęs su aukso pjūvio taisykle. Išspręsdamas vieną iš problemų, mokslininkas sugalvojo skaičių seką, dabar žinomą kaip Fibonačio serijos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ir tt Kepleris atkreipė dėmesį į šios sekos santykį su aukso pjūviu: „Jis išdėstytas taip, kad du apatiniai šios begalinės proporcijos nariai sudarytų trečiąjį narį, o bet kurie du paskutiniai nariai, sudėjus kartu, sudarytų kitą kadenciją, ir ta pati proporcija išlieka neribotą laiką. Dabar Fibonačio serija yra aritmetinis pagrindas skaičiuojant aukso pjūvio proporcijas visose jos apraiškose. Leonardo da Vinci taip pat daug laiko skyrė aukso pjūvio ypatybių tyrinėjimui, greičiausiai pats terminas priklauso jam. Jo piešiniai stereometrinio kūno, sudaryto iš taisyklingų penkiakampių, įrodo, kad kiekvienas stačiakampis, gautas pagal pjūvį, suteikia aukso padalijimo kraštinių santykį. Laikui bėgant aukso pjūvio taisyklė virto akademine kasdienybe, ir tik filosofas Adolfas Zeisingas 1855 metais ją prikėlė į gyvenimą. Jis padidino aukso pjūvio proporcijas iki absoliučios, todėl jos buvo universalios visiems supančio pasaulio reiškiniams. Tačiau jo „matematinis estetizmas“ sukėlė daug kritikos.

Gamta

Net ir nesileidžiant į skaičiavimus, gamtoje nesunkiai galima rasti aukso pjūvį. Taigi, driežo uodegos ir kūno santykis, atstumas tarp šakos lapų, patenkančių po juo, yra auksinė pjūvis ir kiaušinio formos, jei per plačiausią jo dalį nubrėžiama sąlyginė linija. Baltarusijos mokslininkas Eduardas Soroko, tyrinėjęs aukso padalijimų formas gamtoje, pastebėjo, kad viskas, kas auga ir siekia užimti savo vietą erdvėje, yra apdovanota aukso pjūvio proporcijomis. Jo nuomone, viena įdomiausių formų yra spiralė. Net Archimedas, atkreipdamas dėmesį į spiralę, pagal jos formą išvedė lygtį, kuri iki šiol naudojama technikoje. Vėliau Goethe atkreipė dėmesį į gamtos trauką spiralinėms formoms, vadindamas spiralę „gyvenimo kreive“. Šiuolaikiniai mokslininkai išsiaiškino, kad tokiose spiralinių formų apraiškose gamtoje kaip sraigės kiautas, saulėgrąžų sėklų išsidėstymas, tinklo raštai, uragano judėjimas, DNR struktūra ir net galaktikų struktūra yra Fibonačio serija.

Žmogus

Mados dizaineriai ir drabužių dizaineriai visus skaičiavimus atlieka pagal aukso pjūvio proporcijas. Žmogus – universali aukso pjūvio dėsnių tikrinimo forma. Žinoma, iš prigimties ne visi žmonės turi idealias proporcijas, o tai sukuria tam tikrų sunkumų renkantis drabužius. Leonardo da Vinci dienoraštyje yra nuogo vyro piešinys, įrašytas į apskritimą, dviejose padėtyse viena ant kitos. Remdamasis romėnų architekto Vitruvijaus studijomis, Leonardo panašiai bandė nustatyti žmogaus kūno proporcijas. Vėliau prancūzų architektas Le Corbusier, naudodamas Leonardo Vitruvijaus žmogų, sukūrė savo „harmoninių proporcijų“ skalę, kuri paveikė XX amžiaus architektūros estetiką. Adolfas Zeisingas, tyrinėdamas žmogaus proporcingumą, atliko didžiulį darbą. Jis išmatavo apie du tūkstančius žmonių kūnų, taip pat daugybę senovinių statulų ir padarė išvadą, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį dėsnį. Žmoguje beveik visos kūno dalys yra jam pavaldžios, tačiau pagrindinis aukso pjūvio rodiklis yra kūno padalijimas pagal bambos tašką. Atlikus matavimus, mokslininkė nustatė, kad vyriško kūno proporcijos 13:8 yra artimesnės aukso pjūviui nei moters kūno proporcijos – 8:5.

Erdvinių formų menas

Dailininkas Vasilijus Surikovas teigė, kad „kompozicijoje galioja nekintamas dėsnis, kai nieko negalima nuimti ar pridėti prie paveikslo, net negalima dėti papildomo taško, tai tikra matematika“. Ilgą laiką menininkai šio dėsnio laikėsi intuityviai, tačiau po Leonardo da Vinci paveikslo kūrimo procesas jau neapsieina be geometrinių uždavinių sprendimo. Pavyzdžiui, Albrechtas Diureris naudojo jo išrastą proporcinį kompasą aukso pjūvio taškams nustatyti. Menotyrininkas F. V. Kovaliovas, išsamiai ištyręs Nikolajaus Ge paveikslą „Aleksandras Sergejevičius Puškinas Michailovskio kaime“, pažymi, kad kiekviena drobės detalė, nesvarbu, ar tai būtų židinys, knygų spinta, fotelis ar pats poetas, yra griežtai užrašytas aukso proporcijomis. Aukso pjūvio tyrinėtojai nenuilstamai tyrinėja ir matuoja architektūros šedevrus, teigdami, kad jie tokiais tapo todėl, kad buvo sukurti pagal auksinius kanonus: jų sąraše yra Didžiosios Gizos piramidės, Dievo Motinos katedra, Šv.Vazilijaus katedra, Partenonas. . Ir šiandien bet kuriame erdvinių formų mene bandoma laikytis aukso pjūvio proporcijų, nes, pasak meno istorikų, jos palengvina kūrinio suvokimą ir sukuria estetinį žiūrovo pojūtį.

Žodis, garsas ir filmas

Laikinojo meno formos savaip demonstruoja mums auksinio padalijimo principą. Pavyzdžiui, literatūros kritikai pastebėjo, kad populiariausias eilučių skaičius vėlyvojo Puškino kūrybos laikotarpio eilėraščiuose atitinka Fibonačio seriją – 5, 8, 13, 21, 34. Aukso pjūvio taisyklė galioja ir atskirose. rusų klasikos kūriniai. Taigi „Pikų karalienės“ kulminacija – dramatiška Hermano ir grafienės scena, pasibaigianti pastarosios mirtimi. Istorijoje yra 853 eilutės, o kulminacija patenka į 535 eilutę (853:535=1,6) – tai aukso pjūvio taškas. Sovietinis muzikologas E. K. Rosenovas pastebi nuostabų aukso pjūvių santykių tikslumą griežtose ir laisvose Johanno Sebastiano Bacho kūrinių formose, atitinkantį apgalvotą, koncentruotą, techniškai patikrintą meistro stilių. Tai pasakytina ir apie išskirtinius kitų kompozitorių kūrinius, kur aukso pjūvio taškas dažniausiai lemia ryškiausią ar netikėčiausią muzikinį sprendimą. Kino režisierius Sergejus Eizenšteinas savo filmo „Laivas Potiomkinas“ scenarijų sąmoningai derino su aukso pjūvio taisykle, padalydamas juostą į penkias dalis. Pirmuosiuose trijuose skyriuose veiksmas vyksta laive, o paskutinėse dviejose – Odesoje. Perėjimas prie miesto scenų – aukso viduriukas filme.

Žemės proporcingumas glaudžiai susijęs su žmogaus proporcingumu.

Kaip ir gamtoje, yra penkialapių gėlių, augalų, jūrų žvaigždžių kūnų, nes žmogaus figūra taip pat turi penkių spindulių struktūrą: galva, dvi rankos, dvi kojos, žmogaus figūra gali būti įrašyta PENTA VURF, su tokia informacija. parametrai: išsiplėtusio žmogaus poza, rankos išskėstos 180 laipsnių, o kojos pasuktos 90 laipsnių kampu. Ir nors skaičiai pentagramose netelpa į idealiai lygiakraščius apskritimus, vis tiek visur yra santykis – 1,618 – t.y. "aukso pjūvis"

Aukso pjūvis ir jo paslaptys

(a+b)/b=b/a arba x2-x-1=0;

O kas atsitiks, jei atspindėsite:

1+x+x2=x2-x-1;

1+0+0 2 =1;

1+1+1 2 =3

1+2+2 2 =7;

1+3+3 2 =12;

Kaip matote, atspindint, gimsta magiški skaičiai 1,3,7,12, sukuriantys „laimingų skaičių“ seriją.

Auksinė dalis. Paskaita. 1 dalis.

2. DIEVIŠKAS GROŽIO MATAS – AUKSO SKYRIUS

aukso pjūvis

Fibonačio auksinė spiralė

Da Vinčio Vitruvijaus matematikos žmogus – Jamesas Earle'as

Vadimas Kondraševas: Tiesiog apie kompleksą ir apie Vitruvijų

1 Vitruvijaus žmogus | Diagramų grožis

1 dalis iš 2: BBC – Diagramų grožis: Vitruvian Man

Pagrindinis elementas. Ieškant absoliučios harmonijos

Aukso pjūvio proporcijos

Pitagoras. Pitagoro auksinės eilės. Garsas.

Klasikiniai ordinai

Puikios figūros. Pavara 3. Pitagoras. Žingsniai į harmoniją. 1 dalis

Puikios figūros. Pavara 4. Pitagoras. Žingsniai į harmoniją. 2 dalis

Paskaita Architektūros terminijos pagrindai (Likhačiova E. S.)

Kaip nesižavėti akies obuolio sandara, kai atstumas tarp dviejų taškų prie įėjimo ir išėjimo projektuojamas pagal proporcingos lūžio priklausomybės dėsnį lęšiuke ir pasisukus aukštyn (tikras vaizdas) žemyn (atspindėtas vaizdas) į tinklainę. , kur šviesios spalvos lazdelių ir kūgių suvokimas koduoja erdvinius išorinio pasaulio vaizdus ir bioelektrinių impulsų pagalba perduodami į smegenų žievę. Taigi iš tikrųjų viskas į mūsų sąmonę ateina apversta forma, o paskui vėl pasąmonėje apsiverčia, sukurdama įsivaizduojamą tikrovę.

Akyje, tarsi, yra šviesos spindulių sukurtas piramidinis kristalas, pritvirtintas viršūnėse (laiko valandos).

Proporcingumas, proporcingumas, panašumas, proporcingumas.

Pasirodo, per vizualinį suvokimą supantis pasaulis atsispindi mūsų sąmonėje ir tai pagal analogiją susieja mūsų „aš“ mąstymą su realiu mus supančiu pasauliu. Tai yra, gamtos harmonija sukuria sąmonės harmoniją. Disharmonija sukelia nerimą, rūpesčius, nervinę įtampą, stresą. Tai dar kartą įrodo, kad žmogus yra gamtos dalis. Daugelis mokslininkų, filosofų mano, kad pasaulio suvokimas yra vaizdų suvokimo perėjimas per abstrakciją ir schematizavimą, o tai lemia palyginimo logiką, kaupiamosios atminties vystymąsi ir proto atsiradimą. iš to kylančias pasekmes.

Vieno asmens formavimasis išsaugo atmintį apie visos žmonijos formavimąsi. Medituojant apie laiko skaičiavimą galima prisiminti praeitį, kai informacija sugeriama iš kiekvienos atomo ląstelės, analogiškai atspindint būties esmę. Būtent smegenų ir gamtos koreliacija paskatino mikrokosmo ir makrokosmo sampratą. Paprasčiausias žmogaus orientacijos erdvėje matas yra vertikalus ir horizontalus, o tai idealiai sukuria visur esantį kryžių kertant. Tačiau jokia sąmonė negali mąstyti begalinėmis kategorijomis. Tikrovė reikalauja užbaigimo. Išsamiausias santykis tarp vertikalaus ir horizontalaus yra tam tikra pasvirusi linija, jungianti dvi linijas, tai bus trečioji įstrižainė, iš kurios atsiranda ryšys:

a: b = c.

Bet kodėl gi ne a:a=c? Taip, nes pats akies obuolys, būtent santykyje su 3:4:5, sukelia šį ryšį. Šis santykis idealiai tinka žmogaus akies suvokimui fiziologiniu požiūriu.

Kitas žingsnis atspindint panašumą ir palyginamumą yra tai, kad žmonija suvokia dualizmą a (dvejetainį panašumą). Kadangi yra 2 akys, 2 ausys, 2 rankos, 2 kojos ir taip toliau, tai yra, simetrijos žinios atspindi ašį. Tai aiškiai atsispindi šiuose brėžiniuose:

Kaip matote, 2 tarpusavyje sujungti kvadratai, kurių viduje įrašytas apskritimas, sukuria aukso pjūvio proporcijas.

Ir dabar jūs išmoksite schematiškai suprasti piramidinio kristalo gimimą iš 4 elementų:

Antikos adeptai šį kvadrato, apskritimo ir piramidės kristalo derinį laikė bendru kosminiu harmonijos reiškiniu, makrokosmoso simboliu, o žmogus, įrašytas šiomis proporcijomis, buvo mikrokosmoso simbolis.

Vėliau šį ryšį patobulino Agrippo Nepeisheimerio inicijavimas į slaptas žinias „pentasimetriniame dėsnyje“, kur buvo 4 elementai, 4 kvadratai, sujungti su žvaigžde 5 pirminiais elementais. Tam tikru mastu tai yra Vakarų ir Rytų filosofijos suvienijimas, einantis Vakarų ir Rytų pasaulio ašimis.

Taip pat mikrokosmoso atspindžio paieškos buvo Vitruvijaus, Leonardo da Vinci, Durerio išvesti dėsniai.

Atidžiau pažvelgus, naujo apskritimo ir kvadrato, kur įrašyta žmogaus figūra, pradžios taškai paimti iš pirminių 4 kvadratų, padalintų į 16 dalių. Ši padalijimo į lygias dalis (dvigubinimo) sistema atitinka padvigubinimą į trupmenas,

½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 (setata)

Taigi slapta 4 elementų ir 5 pirminių elementų ryšio konstravimas iškalbingai patvirtina tiesioginį visatos formulės ryšį į vieną visumą per piramidinį kristalą.

Pavyzdys: senovės adeptai stačiakampių pavidalu, pastatyti pagal aukso pjūvį, davė savo vardus.

Išvada: žmogaus ir gamtos harmonija buvo pagrindinė superužduotis, kurios sprendimas buvo savitikslis visoms civilizacijoms. Priemonė tam buvo globalaus mąstymo pagrindai per makrokosmoso ir mikrokosmoso tarpusavio ryšį per piramidės formos kristalo, kuriame yra elementai ir pirminiai elementai, konstrukciją.

Didžiosios piramidės yra pusiau oktaedro formos, kur numanomas apatinis pusiau oktaedras. Piramidės viršutinio pusaktaedro forma neprieštarauja supančiai erdvei, o jungia zenitą ir horizontalę, nepajudinamai ir didingai kyla virš žemiškosios erdvės, būdamas amžinu harmonijos simboliu.

Slaptos žinios, jungiančios makro ir mikro pasaulį dėl formacijų, religijų kartų kaitos, pamažu buvo užmirštos, atskirtos ir modifikuotos, o tai paskatino skirtingas tų pačių pagrindų interpretacijas. Pavyzdžiui: senovės graikai, kaip ir egiptiečiai, naudojo dešimtainę (kaip ir šiuolaikinė visuomenė) skaičių sistemą (10, 100, 1000 ir t. t.), kuri lėmė gradaciją.

Žmogus - 1, Dievas-Žmogus - 10, Atitinkamai, šventyklos statyba pasiūlė dešimteriopai padidinti kolonų, karnizų skaičių (Partenono šventykla). Atidžiau pažvelgus, Graikijos pastatų proporcingumas atspindėjo santarvės harmoniją. Žmogaus kūnas. Rusijoje su krikštu atvykę Bizantijos meistrai taip pat įdiegė senovės tradicijas ir proporcijas, o tai atsispindėjo architektūroje ir interjero dizaine.

Viduramžiai įvedė naują dieviškumo supratimą, kai pagrindinė visko priežastis (DIEVAS) buvo pristatoma kaip bekūnė dvasia ir nematoma visur. Todėl Bizantijos mokyklos šventyklose buvo padaryti dvasinio principo pakeitimai. Siauri langai, skylės, kur krito saulės spinduliai, tam tikru kampu ir tam tikru laiku.

Senovės šventyklą, užpildytą skulptūromis, pakeitė freskų interjeras, praplečiantis erdvę, tai yra sukuriantis antgamtinės erdvės iliuziją - dieviškojo kosmoso dalį - šventyklą, kurioje yra kažkokios nežemiškos erdvėlaivio, nusileidusio į pasaulį, kapsulės. kasdienės rutinos.

Juk net per didelius karus tas, kuris sugebėjo patekti į vienuolyno bažnyčią, buvo tarsi paties Dievo saugomas ir nubausti šventykloje pasislėpusią bažnyčią buvo laikomas DIEVO įžeidimu, šventvagyste. Ir net šiais laikais daugelis, padarę daug nuodėmių, stengiasi nuo bausmės pasislėpti bažnyčioje ir ten daro savo nuodėmes.

Krikščionybės, islamo, architektūra primena karių didvyrių, ginančių savo tikėjimą, atvaizdus, tai yra tuos pačius asociatyvius dievo-žmogaus įvaizdžius, tik kitokiu lygmeniu nei senovės Graikijoje ar Romoje. Jei senovės Graikijoje šventyklos su kolonų eile yra visa dievų galaktika, tai Bizantijos krikščionybė nusileido, įaugo į žemę, šventyklos užsidarė savyje, atsirado daugybė spragų-langų, kurie byloja apie tarpusavio nesantaiką ir ilgalaikius karus skirtingų tikėjimų, ir nors buvo išlaikytas klasikinių santykių proporcingumas, tačiau praeities išmintis buvo suskaidyta ir pamažu suskaidyta, nykstanti ateities kartų prieštaravimuose.

Iš Atlanto supercivilizacijos išlikusi piramidinio kristalo globalumo filosofija, iš pradžių remiama pasišventusių kunigų, pamažu buvo pamiršta dėl paprastų žmonių neišmanymo ir šalininkų slaptumo. Barbarai nesuprato iniciatorių, o tai vedė į natūralų destrukciją, nesugebėjimą suprasti visko ir visko prasmės. Žmonija vis dar pamažu grįžta prie globalumo sampratų, mokslo ir technologijų pažanga modifikuoja sąvokas, abstrahuoja ir pagreitina pasaulėžiūros visapusiškumą iki vienos kartos sukauptų praeities žinių. Jei anksčiau judėjimas nuo bendro prie konkretaus bandymų ir klaidų būdu, tai dabar vyksta procesas nuo konkretaus prie bendro, ir kuo daugiau ir gilesnių žinių apie gamtą ir žmogų, tuo arčiau visatos formulės. , iš seniausių laikų įvairiomis formomis užkoduotos žinios mums perduotos iš praeities.

Naujasis tūkstantmetis, kai XXI amžius yra jo pradžia, o mūsų karta yra monada – vienetas (1), pradžia, reiškia galimybę nustatyti tam tikrą globalų planą – vėlesnių kartų pagrindą. Juk apskritai prasidėjo globalaus praeities supratimo dabarties ir ateities supratimo procesas.

Netgi tai, kas dabar fantastiška praktiškai, bet jau teoriškai. Žmonija, kaip ir senovėje, suvokė, bet bandymų ir klaidų būdu iš naujo atrado visuotinių žmogaus vertybių sampratą, ekologinę pusiausvyrą, darnų vystymąsi, valstybės aklavietę ir progresyvius metodus, valstybės raidos metodus, pasaulinio informacinio tinklo kūrimą. buvo sukurtas, bet svarbiausia, kad atsirado sąmoningumas atkurti pasaulinę piramidę – filosofiją, kuri atsiranda ir iškyla iš nebūties gelmių, kai civilizacija pradeda bręsti ir daro globalius pokyčius, žalą ar naudą, kurią atneša ekonomika, politika, sociologija. Tik žinodami savo klaidas galite tapti išmintingesni ir XXI amžius yra išminčių era, ypač tarp civilizuotų šalių lyderių, kur aukštas pragyvenimo lygis prisideda prie taupaus požiūrio į aplinką, gamtos išteklių tausojimą, meno kūrinys, senovės paminklai, taupymo sistemų kūrimas, kompiuterių tinklų plėtra.

Šiuolaikinis pasaulis – ne begalinė erdvė, o uždaras organizmas, kuriame dalis gali pakenkti visumos interesams. Pavyzdžiui: 1 teroro išpuolis atominėje elektrinėje gali sunaikinti šimtus tūkstančių žmonių ir nemažai valstybių užteršti radionuklidais. Būtent senovės adeptai palaikė globalizacijos teoriją ir laukė sparnuose.

Kiekvienas iš jūsų gali tapti inicijuotas ir nušvitęs. Ir koks skirtumas, kuriuo keliu pasieksite tikrų žinių ir įgūdžių piramidės viršūnę. Jūs esate visumos dalis ir esate už tai atsakinga.

Kai žmogus yra visumos dalis, jis nebijo dėl savo likimo, nes. likimas jį veda pats, svarbiausia nesugadinti ekologinės pusiausvyros visur ir visur.

Senovės pasaulio kultūra yra daugiapakopė sistema, sukurta genijaus žmogaus, kuris sujungė įvairius mokslus ir menus, kur meistras tuo pat metu buvo mąstytojas, o gamta buvo loginės buveinės analizės objektas. erdvės, asmenybės filosofijos, materijos formos ir turinio, dvasinių esmių kategorijos, kurios buvo paremtos muzikos garsų, matematinių skaičių, vaizdingų spalvų, skulptūrinių formų, architektūrinių struktūrų ir visokių stebuklų deriniais, kuriuos kūrybingas genijus sukūrė į kūrybingą. asmuo.

Dar visai neseniai gamtos dėsnius buvo bandoma suvokti diferencijuotai, dalimis, tačiau fizikų, chemikų, biologų, matematikų atskiras gamtos reiškinių suvokimas lėmė, kad visuma buvo padalinta į daugybinius, vienkartinius. šoninis profesionalumas dėl nenaudingumo sugriovė holistinį pasaulio suvokimą, todėl norint įvesti bendrą harmonijos dėsnį, reikia rasti tam tikrą diskretišką simbolį, kuris yra visa ko pagrindas. Dalelė, kuri sudaro visa kita. Tam tinkamiausias bet kokios formos matematinis modeliavimas per geometrinę abstrakciją. Kur yra sisteminio laiko ir erdvės derinys. Formos ir turinys. Statika ir dinamika. Vizualizacija ir schematizavimas.

Tačiau pati gamta mums sako, kad pati idealiausia technika, suteikianti gyvybę, yra dichotomija – visumos padalijimo į + ir – sistema, taip pat atvirkštinis reiškinys, kai susilieja + ir – (vyriškos ir moteriškos ląstelės į vieną).

Pavyzdžiai:

1 etapas:

1. - motiniškas principas

2 etapas +1/2 ir -1/2 – padalijimas į 2 dalis.

3 etapas: +1/2:2=1/4 ir -1/2:2=-1/4. 12 vėl padalinti į 2 dalis.

4 etapas: +1/2+1/4=3/4 Sukuriama nauja kokybė, kuri nėra panaši nei į 1, nei 2, nei 3 etapus.

Išvada: šiame pavyzdyje parodyta, kaip iš 1 padalijimo per pusę ir tada sujungiant įvairiais variantais metodas sukelia begalinį derinių skirtumą.

Įveskime matematinę sąvoką: adityvumas – kai skaičių eilutėje kiekvienas ankstesnis eilutės narys yra lygus dviejų iš eilės einančių skaičių sumai

Paveikslėlis

2. Daugybiškumas – kai skaitinėje eilutėje visi eilutės nariai yra sujungti geometrine progresija.

Paveikslėlis

Tačiau gamtoje yra tik 1 visuotinio pobūdžio adityvumo ir multiplikatyvumo derinys - tai yra santykis: a + b = c (sudimumas) ir a / b = b / c (daugybiškumas), kuriame visą c reiškia dvi dalys a + b.

Išvada: bet kokios savaime organizuotos sistemos ženklas yra:

1. Augimo modelis.

2. Pakeiskite nustatymus.

Tai yra, viena visuma susideda iš dviejų dalių viename organizme, visos dalys auga pagal vieną dėsnį: geometrinės progresijos dėsnį. Atsiranda panašumo idėja, kuri sudaro gyvosios gamtos vystymosi pagrindą, kuriuo remiasi genetikos dėsniai. Matematiškai ši lygtis veda į „auksinį pjūvį“, auksinius mažėjančių serijų skaičius. Tai yra 1; 1,618; 2,618; ir į didėjančios eilės skaičius: 1; 0,618, 0,382;

Iš tiesų, paėmę sveikąjį skaičių c kaip vienetą c \u003d 1 iš lygties a / b \u003d b / c, pamatysime, kad a \u003d b 2 iš lygties a + b \u003d c

Kas b2+b-1=0

Paveikslėlis

Tačiau šie santykiai yra statiški, o visas gyvenimas – dinamiškas. Dinamiškumą gali atspindėti vektorinės lygtys, kur vektorius yra taško judėjimas erdvėje ir laike.

3 etape įstrižinė dichotomija įvedė linijinį nesuderinamumą ir kampų nelygybę.

Paveikslėlis

Sukurkime „auksinę grandinę“, modeliuokime formą daugiamatėje erdvėlaikyje.

Įvedus stačią kampą, tiesinė aukso pjūvio eilė paverčiama panašumų simetrijos erdve.

Įrodymas:

Gautų asimetrinio a-rombo brėžinių pagalba buvo gauta aukso pjūvio kylanti atšaka. A-rombas yra forma, kuri sukelia gilias asociacijas ir bet kokių gyvybės formų ryšius, nes turi estetinių ir matematinių savybių.

Po ankstesnių vektorinės geometrijos konstrukcijų, kai iš piešinio atsiranda proto-kiaušinis, proto-obuoliai, proto-lukštai, norėčiau pasvarstyti apie gyvo objekto gimimo iš pirminio elemento paslaptį. Kodėl iš obuolių sėklos auga obelis, o iš žmogaus sėklos – žmogus? Iki tol lieka paslaptimi, kokie biolaukai yra įterpti į DNR geno spiralę, suformuoja duotą formulę, nes yra kažkokia sistema, karkasas, ašis, kuri, laikui bėgant besivystant, tikslingai formuoja reikalingas ląsteles ir ląsteles. gyvų organizmų audiniai. Kadangi forma yra erdvės kategorija, tai jai galima pritaikyti vektorinės geometrijos sritis, pagal gyvybės piramidės kristalo principus viskas vystosi pagal analogiją (kas yra aukščiau, tada žemiau).

Kadangi žmogus iš prigimties yra egocentriškas, nuo seno pas mus atėjo 2 pagrindiniai terminai – makrokosmosas ir mikrokosmosas (visata ir žmogus).

Šiuolaikinė kosmologija teigia, kad tuo metu, kai visata gimė, jos masė, energija ir slėgis jau buvo sutelkti vakuume. Kažkas panašaus egzistuoja ir žmogaus ląstelėje, kur sutelkti visi žmogaus genomo duomenys. Dabar nanotechnologijos plėtoja genų inžineriją pagal kosmologinius principus „šuoliais“ iš „nieko“, kai viskas pasirodė visur ir vienu metu. Spektrinė žvaigždžių analizė tai patvirtina. Galaktikos, kurios yra arti ir nutolusios per milijardus šviesmečių, savo sudėtimi yra vienalytės. Pagal vektorinę geometriją, kai motininę ląstelę papildo tėvo ląstelė, šioms chromosomoms formuotis būdinga tam tikra forma, tvirtai formuojanti žmogaus panašumo rėmą.

Samirinės gyvosios gamtos formos rodo 2 gamtos formavimosi tendencijas, kurias patvirtina ankstesnės geometrinės konstrukcijos:

1. Yra ryški augimo kryptis išilgai ašies aukštyn ir žemyn - biologinė vertikalė (daugelio augalų stiebai, javai, įvairios falinės formos

2. Yra posakis „augimo kryptis į sferines ir apvalias formas“ (žmogaus kaukolė, obuolys, kiaušinis, apelsinas).

3. Yra plokščių formų interpretacija (saulėgrąžų diskas, lukšto pekteno lapai, tai yra piramidinis gyvybės kristalas)

ĮVADAS

Puikūs graikų skulptorių kūriniai: Phidias, Poliktetas, Myron, Praxiteles nuo seno buvo laikomi žmogaus kūno grožio etalonais, harmoningos kūno sudėjimo pavyzdžiais. Ar galima formulėmis ir lygtimis išreikšti žmogaus grožį? Matematika duoda teigiamą atsakymą. Kurdami savo kūrinius, graikų meistrai naudojo aukso pjūvio principą. Aukso pjūvis daugelį amžių buvo gamtos ir meno kūrinių harmonijos matas. Ją tyrinėjo antikos ir Renesanso žmonės. B Xaš10 ir 20 amžiuje susidomėjimas aukso pjūviu atgijo su nauja jėga.

Ar šiuolaikiniai žmonės atitinka tas idealias žmogaus kūno sandaros proporcijas, kurios mums atėjo nuo seniausių laikų? Į šį klausimą pabandysime atsakyti tiriamajame darbe „Auksinis santykis žmogaus kūno proporcijose“.

Tikslas : aukso pjūvio, kaip idealios žmogaus kūno struktūros proporcijos, tyrimas.

Užduotys:

studijuoti literatūrą tiriamojo darbo tema;

apibrėžti aukso pjūvį, susipažinti su jo konstrukcija, pritaikymu ir istorija;

išmokti matematinius modelius pagal žmogaus kūno proporcijas;

išmokti rasti aukso pjūvį žmonių proporcijose;

nustatyti žmogaus kūno proporcijų atitikimą aukso pjūviui.

Hipotezė : Kiekvieno žmogaus kūno proporcijos atitinka aukso pjūvį.

Studijų objektas: žmogus.

Studijų dalykas : aukso pjūvis žmogaus kūno proporcijose.

Tyrimo metodai : žmogaus ūgio ir kūno dalių matavimas, gautų rezultatų apdorojimas matematiniais metodais naudojant Microsoft Office Excel 2007, gautų matavimų lyginamoji analizė su aukso pjūvio reikšme.

1 skyrius Auksinis santykis

Pitagoras parodė, kad vieneto ilgio AB segmentas (1.1 pav.). galima padalyti į dvi dalis, kad didesnės dalies (AC=x) ir mažesnės (CB=1-x) santykis būtų lygus visos atkarpos (AB=1) ir didesnės dalies santykiui ( AC=x):

1.1 pav. Segmento padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu

Pagal proporcijos savybę .. x 2 = 1-x,

x 2 + x-1 = 0. (vienas)

Teigiama šios lygties šaknis yra, todėl koeficientai sumažintoje proporcijoje yra: =≈1,61803.

Tokį padalijimą (tašką C) pavadino Pitagorasauksinis skyrius , arba aukso pjūvis , Euklidas - dalijant kraštutiniu ir vidutiniu santykiu , o Leonardo da Vinci – dabar visuotinai priimtas terminas"aukso pjūvis" .

Zolo tą skyrių - tai taip proporcingayra atkarpos padalijimas į nelygias dalis, sukuriame visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip didesnė dalis su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnė dalis yra susijusi su didesniu, kaip didesnė su viskuo.

Aukso pjūvio vertė dažniausiai žymima raide F. Tai daroma nemirtingų skulptūros kūrinių kūrėjo Fidijos garbei.

Ф=1,618033988749894. Tai auksinio pjūvio vertė su 15 skaitmenų po kablelio. Tikslesnę F reikšmę galima pamatyti A priede.

Kadangi (1) lygties sprendinys yra atkarpos dalių ilgių santykis, tai jis nepriklauso nuo paties atkarpos ilgio. Kitaip tariant, aukso pjūvio vertė nepriklauso nuo pradinio ilgio.

1.2 Aukso pjūvio konstrukcija ir pritaikymas

Apsvarstykite aukso pjūvio geometrinę konstrukciją (1.2 pav.) naudodami stačiakampį trikampį DAB, kuriame kraštinės AB irACturi šiuos ilgius: AB = 1, AC= 1/2. Nubrėžkime lanką nuo apskritimo centro C per tašką A, kol jis susikirs su atkarpa CB, gausime taškąD. Tada pereiname per taškąDlankas su apskritimo centru B iki sankirtos su atkarpa AB. Gavome norimą tašką E, padalinę atkarpą AB aukso pjūviu.

1.2 pav. Geometrinė aukso pjūvio konstrukcija

Net Pitagoras ir pitagoriečiai naudojo aukso pjūvį, kad sukurtų kai kuriuos taisyklingus daugiakampius – tetraedrą, kubą, oktaedrą, dodekaedrą, ikosaedrą.

Euklidas III a pr. Kr e. savo „Principuose“ naudoja aukso pjūvį, vadovaudamasis pitagoriečiais, konstruodamas taisyklingus (auksinius) penkiakampius, kurių įstrižainės sudaro pentagramą.

1.3 paveiksle pateiktoje pentagramoje įstrižainių susikirtimo taškai padalija juos į auksinę pjūvį, t.y. AB / CB =CB/ D.B. = D.B./ CD .

1.3 pav. – Pentagrama

Aritmetiškai aukso pjūvio segmentai išreiškiami begaline neracionalia trupmena. AC=0,618…, CB=0,382…. Praktikoje naudojamas apvalinimas: 0,62 ir 0,38. Jeigu atkarpa AB imta 100 dalių (1.4 pav.), tai didesnė atkarpos dalis yra 62, o mažesnė – 38 dalys.

Šį aukso pjūvio konstravimo būdą naudoja menininkai. Jei paveikslo aukštis ar plotis padalintas į 100 dalių, tai didesnis aukso pjūvio segmentas yra 62, o mažesnis - 38 dalys. Šie trys dydžiai leidžia mums sukurti auksinio pjūvio segmentų seriją. 100, 62, 38, 24, 14, 10 – tai aukso pjūvio reikšmių serija, išreikšta aritmetiškai.

1.4 pav. Auksinės pjūvio linijos ir įstrižainės paveikslėlyje

Aukso pjūvio proporcijas menininkai dažnai naudojo ne tik brėždami horizonto liniją, bet ir santykiuose tarp kitų paveikslo elementų.

Leonardo da Vinci ir Albrechtas Diureris atrado aukso pjūvį žmogaus kūno proporcijose. Senovės graikų skulptorius Phidias jį panaudojo ne tik kurdamas statulas, bet ir kurdamas Partenono šventyklą. Šį santykį Stradivari naudojo gamindamas savo garsiuosius smuikus.

Forma, organizuota naudojant aukso pjūvio proporcijas, sukelia grožio, malonumo, nuoseklumo, proporcingumo, harmonijos įspūdį..

Aukso pjūvio doktrina buvo plačiai naudojama matematikoje, fizikoje, chemijoje, tapyboje, estetikoje, biologijoje, muzikoje ir technologijose.

1.3 Aukso pjūvio istorija

Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką į mokslą įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas.VIin. BC.). Tačiau dar gerokai prieš Pitagoro gimimą senovės egiptiečiai ir babiloniečiai architektūroje ir mene naudojo aukso pjūvio principus. Iš tiesų Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir Tutanchamono kapo dekoracijų proporcijos rodo, kad Egipto meistrai jas kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius.

Platonas (427 ... 347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timejus“ skirtas matematinėms ir estetinėms Pitagoro mokyklos pažiūroms ir ypač aukso padalijimo klausimams.

Senovės skulptoriai ir architektai savo meno kūriniuose plačiai naudojo skaičių 1,62 arba jam artimus skaitinius santykius. Pavyzdžiui, senovės graikų Partenono šventyklos fasade yra auksinės proporcijos.

Iki mūsų atėjusioje antikinėje literatūroje aukso pjūvis pirmą kartą paminėtas Euklido „Pradžioje“ (325 ... 265 m. pr. Kr.) antrojoje knygoje, o šeštojoje knygoje – euklido padalijimo apibrėžimas ir konstravimas. pateikiamas segmentas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu.

Italijos renesanso epochoje kyla nauja aistros dėl aukso pjūvio banga. Aukso pjūvis pakeltas į pagrindinio estetinio principo rangą. Leonardo da Vinci ją vadinasekcijaautea", iš kur kilęs terminas "aukso pjūvis" arba "auksinis skaičius". Luca Pacioli 1509 m. parašo pirmąjį esė apie aukso pjūvį, pavadintą "DedieviškaProporcingas“, o tai reiškia „Apie dieviškąją proporciją.sekcijadieviška“ (dieviškoji dalis). Olandų kompozitorius Jacobas Obrechtas (1430–1505) plačiai naudoja aukso pjūvį savo muzikinėse kompozicijose, kurios prilygintos „puikaus architekto sukurta katedra“.

Po Renesanso, beveik du šimtmečius, aukso pjūvis buvo pamirštas. XIX amžiaus viduryje. vokiečių mokslininkas Zeisingas bando suformuluoti visuotinį proporcingumo dėsnį ir tuo pačiu iš naujo atranda aukso pjūvį. Estetiniuose tyrimuose (1855) jis parodo, kad šis dėsnis pasireiškia žmogaus kūno proporcijomis (1.5 pav.) ir tų gyvūnų kūne, kurių pavidalai išsiskiria malone. Senovės statulų ir gerai pastatytų žmonių kūne bamba yra taškas, dalijantis kūno aukštį aukso pjūvyje.

1.5 pav. Skaitiniai santykiai žmogaus kūne (pagal Zeisingą)

Zeisingas kai kuriose šventyklose (ypač Partenone), mineralų, augalų konfigūracijose ir muzikos garso akorduose randa proporcingus santykius, artimus aukso pjūviui.

XIX amžiaus pabaigoje. Vokiečių psichologas Fechneris atlieka daugybę psichologinių eksperimentų, siekdamas nustatyti estetinį stačiakampių su skirtingais kraštinių santykiais įspūdį. Eksperimentai aukso pjūviui pasirodė itin palankūs.

XX amžiuje. susidomėjimas aukso pjūviu atgimsta su nauja jėga. Pirmoje amžiaus pusėje kompozitorius L. Sabanejevas suformulavo bendrą ritminės pusiausvyros dėsnį ir kartu pagrindė aukso pjūvį kaip tam tikrą kūrybos normą, estetinės muzikos kūrinio konstrukcijos normą. Apie aukso pjūvio reikšmę gamtoje ir mene rašo G. E. Timerdingas, M. Gika, G. D. Grimmas.

Matematinės biologinių populiacijų teorijos ištakos siekia „triušio problemą“, kuri siejama su Fibonačio skaičių atsiradimu. Fibonačio skaičiais ir auksiniu pjūviu aprašomi modeliai aptinkami daugelyje fizinio ir biologinio pasaulio reiškinių („stebuklingi“ branduoliai fizikoje, smegenų ritmai ir kt.).

Sovietų matematikas Yu. V. Matiyasevičius išsprendžia Hilberto 10 uždavinį, naudodamas Fibonačio skaičius. Akademikas GV Tsereteli atranda aukso pjūvį Shotos Rustaveli poemoje „Riteris panteros odoje“. Paieškos teorijos ir programavimo teorijos uždaviniams spręsti yra grakščių metodų, pagrįstų Fibonačio skaičiais ir aukso pjūviu.

Pastaraisiais dešimtmečiais Fibonačio skaičiai ir auksinis pjūvis netikėtai pasirodė esąs skaitmeninių technologijų pagrindas.

antroje pusėje į Fibonačio skaičius ir aukso pjūvį atsigręžia beveik visų mokslų ir menų atstovai (matematika, fizika, chemija, botanika, biologija, psichologija, poezija, architektūra, tapyba, muzika), nes aukso pjūvis. yra raktas į gamtos ir meno tobulumo paslapčių supratimą.

2 skyrius Idealios žmogaus kūno proporcijos

Tūkstančius metų žmonės bandė rasti matematinius žmogaus kūno proporcijų modelius, ypač gerai susiformavusio, harmoningo žmogaus.

Senovės graikai, kurie aukso pjūvį laikė harmonijos gamtoje apraiška, žmonių statulas kūrė laikydamiesi aukso pjūvio taisyklės. INXIXamžiuje, profesorius Zeisingas tai patvirtino išmatavus iki šių dienų išlikusias senovės graikų statulas. Zeisingas net išskyrė tas žmogaus kūno dalis, kurios, jo nuomone, labiausiai atitinka aukso pjūvį. Jei padalinsite žmogaus kūną pagal aukso pjūvio taisyklę, linija praeis bamboje. Pečių ilgis reiškia visą rankos ilgį, taip pat pagal aukso pjūvį. Veido dalių santykis, pirštų falangų ilgis ir daugelis kitų kūno dalių patenka į aukso pjūvio taisyklę (2.1 pav.).

2.1 pav. – Aukso pjūvis žmogaus kūno struktūroje

Aukso pjūvis užima pirmaujančią vietą Leonardo da Vinci ir Durer meno kanonuose. Pagal šiuos kanonus aukso pjūvis atitinka kūno padalijimą į dvi nelygias dalis juosmens linija.

Veido aukštis (iki plaukų šaknų) yra susijęs su vertikaliu atstumu tarp antakių lankų ir smakro apačios, nes atstumas tarp nosies apačios ir smakro apačios yra susijęs su atstumas tarp lūpų kampučių ir smakro apačios, šis santykis lygus aukso pjūviui.

Žmogaus pirštai susideda iš trijų pirštakaulių: pagrindinės, vidurinės ir nagų. Visų pirštų, išskyrus nykštį, pagrindinių falangų ilgis yra lygus kitų dviejų pirštakaulių ilgių sumai, o kiekvieno piršto visų pirštakaulių ilgiai yra susiję vienas su kitu pagal aukso taisyklę. santykis.

Leonardo pritaikė mokslines žinias apie žmogaus kūno proporcijas Pacioli ir Vitruvijaus grožio teorijoms. Leonardo piešinyje „Vitruvijaus žmogus“ apskritime ir kvadrate įrašyta vyriška figūra (2.2 pav.).

2.2 pav. – Leonardo da Vinci „Vitruvijaus žmogus“.

Kvadratas ir apskritimas turi skirtingus centrus. Žmogaus lytiniai organai yra kvadrato centras, o bamba yra apskritimo centras. Idealios žmogaus kūno proporcijos tokiame vaizde atitinka kvadrato kraštinės ir apskritimo spindulio santykį: auksinį pjūvį.

„Vitruvijaus žmogus“ reprezentuoja apytiksles paprasto suaugusio žmogaus kūno proporcijas, kurios nuo senovės Graikijos laikų buvo naudojamos kaip meninis kanonas vaizduojant žmogų. Proporcijos formuluojamos taip:

Žmogaus ūgis \u003d rankų ilgis (atstumas tarp rankų pirštų galiukų, išsiskleidusių) \u003d 8 delnai \u003d 6 pėdos \u003d 8 veidai \u003d 1,618, padaugintas iš bambos aukščio (atstumas nuo bambos iki žemės).

Vienu aukščiausių klasikinio graikų meno laimėjimų gali būti „Doriforo“ („Ietnešio“) statula, kurią nulipdė Poliktetom (2.3 pav.).

2.3 pav. Graikų skulptoriaus Polykteto „Doriforo“ statula

Jauno žmogaus figūra išreiškia gražaus ir narsaus vienybę, grįstą graikų meno principais. Platūs pečiai beveik lygūs kūno aukščiui, pusė kūno aukščio tenka gaktos sąnariui, galvos aukštis aštuonis kartus didesnis už kūno aukštį, o bambos padėtis ant sportininko kūno. atitinka aukso pjūvį.

XIX amžiaus viduryje vokiečių mokslininkas Zeisingas išsiaiškino, kad visą žmogaus kūną kaip visumą ir kiekvieną atskirą jo narį jungia matematiškai griežta proporcingų santykių sistema, tarp kurių svarbiausią vietą užima aukso pjūvis. Išmatavę tūkstančius žmonių kūnų, jis nustatė, kad aukso pjūvis yra vidutinė vertė, būdinga visiems gerai išsivysčiusiems kūnams. Vidutinė vyro kūno dalis yra artima 13/8 = 1,625, o moterų - 8/5 = 1,60, naujagimio proporcija yra 2, iki 13 metų - 1,6, o sulaukus 21 metų. jis lygus patinui (2.4 pav.).

2.4 pav. Žmogaus galvos ir kūno proporcijų palyginimas skirtingi vystymosi etapai

belgų matematikas L. QueteletXIXamžiuje nustatyta, kad žmogus idealus tik skaičiuojant aritmetinį vidurkį. 1871 metais jo tyrimai apie Europos gyventojų kūnų proporcijas visiškai patvirtino idealias proporcijas.

3 skyrius Aukso pjūvis žmogaus kūno proporcijose. Studijuoti

Tikrinome hipotezę, kad kiekvieno žmogaus kūno proporcijos atitinka aukso pjūvį.

Tyrimui buvo įtraukti 1, 5, 9 ir 11 klasių mokiniai bei įvairaus amžiaus mokytojai (nuo 25 iki 53 metų).

Žmogaus kūne bamba yra taškas, dalijantis kūno aukštį auksinėje dalyje. Todėl išmatavome žmonių ūgį (a), bambos aukštis ( b) ir atstumą nuo galvos iki bambos (c). Tada Microsoft Office Excel 2007 programoje buvo rasti šių dydžių santykiai (a/ b, b/ c) kiekvienam asmeniui atskirai,cvidutinė vertėty to paties amžiaus žmonių grupei (a/ b), palygino koeficientus su aukso pjūvio reikšme (1,618) ir pasirinko žmones su aukso pjūviu (B priedas).

Tyrimo rezultatus pateikėme lentelės pavidalu (3.1 lentelė).

3.1 lentelė. Žmogaus kūno proporcijų ir aukso pjūvio atitikimas įvairaus amžiaus žmonėms.

Klasė

Asmenų skaičius

Gautas aritmetinis vidurkis

požiūris

Žmonių, turinčių auksinį pjūvį, skaičius

1,701

1,652

1,640

1,622

mokytojai

1,630

11 klasė ir mokytojai

1,626

Vizualiai šiuos duomenis galima pateikti diagramų pavidalu (C ir D priedai).

Remiantis tyrimo rezultatais, galima atlikti šiuos veiksmusišvados:

Todėl aukso pjūvis žmogaus kūno proporcijose yra vidutinė reikšmė, prie kurios artėja suaugusio žmogaus kūno proporcijos. Tik kai kurių žmonių kūno proporcijos atitinka aukso pjūvį.

IŠVADA

Aukso pjūvis daugelį amžių buvo gamtos ir meno kūrinių harmonijos matas. Aukso pjūvio doktrina buvo plačiai naudojama matematikoje, fizikoje, chemijoje, tapyboje, estetikoje, biologijoje, muzikoje ir technologijose.

Tyrimo tikslas buvo ištirti aukso pjūvį, kaip idealią žmogaus kūno sandaros proporciją.

Tikslui pasiekti išstudijavome literatūrą tiriamojo darbo tema, susipažinome su aukso pjūviu, jo konstravimu, taikymu ir istorija; išmoko matematinius modelius pagal žmogaus kūno proporcijas; išmoko rasti aukso pjūvį žmonių proporcijose (D priedas).

Praktinėje dalyje nustatėme žmogaus kūno proporcijų atitikimą aukso pjūviui, patikrinome tokią hipotezę: kiekvieno žmogaus kūno proporcijos atitinka aukso pjūvį.

Norėdami patikrinti hipotezę, matavome 1, 5, 9, 11 klasių mokinių ir įvairaus amžiaus mokytojų žmonių ūgį ir kai kurias kūno dalis.cvidutinė vertėy., to paties amžiaus žmonių grupei, gautus koeficientus palygino su aukso pjūvio reikšme ir pasirinko žmones su aukso pjūviu.

Remiantis tyrimo rezultatais, galima padaryti tokias išvadas:

su amžiumi keičiasi kūno proporcijos;

žmogaus kūno proporcijos skiriasi net tarp to paties amžiaus žmonių;

suaugusiems kūno proporcijos artėja prie aukso pjūvio, tačiau retai jį atitinka;

idealios aukso pjūvio proporcijos galioja ne visiems žmonėms.

Todėl aukso pjūvis žmogaus kūno proporcijose yra vidutinė reikšmė, prie kurios artėja suaugusio žmogaus kūno proporcijos. Tik kai kurių žmonių kūno proporcijos atitinka aukso pjūvį. Mūsų hipotezė iš dalies pasitvirtino.

NAUDOJAMŲ ŠALTINIŲ SĄRAŠAS

Vasyutinskis, N.A. Auksinė proporcija / N.A. Vasyutinskiy - M.: Mol. sargas, 1990. - 238 p.

Kovaliovas, F. V. Auksinė tapybos dalis: vadovėlis. pašalpa / F.V. Kovaliovas. - K .: Vidurinė mokykla. Vadovė leidykla, 1989.-143 p.

Lukaševičius, I.G. Matematika gamtoje / I.G. Lukaševičius. -Minskas: Baltarusija. doc. "Konkursas", 2013. - 48s.

Matematikos pasaulis: 40 tomų. T.1: Fernando Corbalanas. Auksinė dalis. Matematinė grožio kalba / Vertimas iš anglų kalbos. - M.: De Agostini, 2014. - 160 m.

Stachovas, A.P. Aukso pjūvio kodai / A.P. Stachovas. - M.: „Radijas ir ryšys“, 1984 m. - 152s.

Laikmatis, G.E. Aukso pjūvis / G.E. Laikmatis; red. G.M. Fikhtengoltas; per. iš vokiečių k.- Petrogradas: Mokslinė knygų leidyba, 1924. - 86p.

Urmancevas, Yu.A. Gamtos simetrija ir simetrijos prigimtis / Yu.A. Urmantsev. - M., Mintis, 1974 m. - 229s.

Pažįstu pasaulį: Vaikų enciklopedija: Matematika / Red.-komp. A. P. Savinas ir kiti; menininkas A.V. Kardashuk ir kiti - M .: AST: Astrel, 2002. - 475 p.

A PRIEDAS

AUKSINIO SANTYKIO REIKŠMĖ

A.1 pav. Tikslesnė Ф reikšmė

B PRIEDAS

ŽMOGAUS KŪNO PROPORČIŲ ATITIKTIS SU AUKSO SKYRIU

B.1 lentelė – 1, 5, 9, 11 klasių mokinių ir mokytojų žmonių matavimo ir kūno proporcijų aritmetinių vidutinių verčių skaičiavimo rezultatai

Klasė

Aukštis (-iai)

Pilvo linijos aukštis (b)

Atstumas nuo bambos iki galvos (-os)

a/b

b/c

Aritmetinis vidurkis (a/ b)

aukso pjūvis

1,618

Andrejevas Vladislavas

130

1,688

1,453

Grabcevič Daria

125

1,760

1,315

Vavanova Daria

127

1,716

1,396

Zacharenko Rodionas

124

1,676

1,480

1 klasė

Danielis Kaporikovas

133

1,684

1,463

1,701

Karsakovas Zacharas

120

1,690

1,449

Lazovijus Maksimas

128

1,707

1,415

Lasotskaja Ana

125

1,645

1,551

Morgunova Marija

116

1,758

1,320

Pavliuščenka Egoras

129

1,675

1,481

Rakovskis Aleksandras

128

1,707

1,415

Bakhareva Ksenia

146

1,678

1,475

Bytkovskis Maksimas

145

1,706

1,417

Viktorija Ždanovičius

146

1,698

1,433

5 klasė

Klimova Ksenija

155

1,632

1,583

1,652

Larčenka Jevgenija

158

1,681

1,469

Sergejus Listvjagovas

143

1,644

1,554

Mukhina Anastasija

144

1,636

1,571

Paderina Anastasija

151

1,659

1,517

Pročuchanovas Denisas

151

1,641

1,559

Savkina Anastasija

140

1,609

1,642

Simakovičius Alevtina

137

1,631

1,585

Surganova Daria

150

1,630

1,586

Smolyarovas Vladislovas

142

1,651

1,536

Tikhinskis Aleksandras

144

1,636

1,571

Averkovas Aleksejus

171

104

1,644

1,552

B.1 lentelės tęsinys

mokytojai

Bulai E.I.

moko.

163

101

1,614

1,629

1,630

Volkova O.V.

moko.

1,64

1,563

Grinevskaja N.A.

moko.

1,644

1,554

Grinchenko E.B.

moko.

1,636

1,571

Kireenko A.S.

moko.

175

108

1,62 0

1,612

Stukalovas D.M.

moko.

1,634

1,578

11 klasė ir mokytojai

Tsedrikas N.E.

moko.

1,646

1,548

Shkorkina N.N.

moko.

1,602

1,661

1,626

Yatsenko V.N.

moko.

1,604

1,656

B PRIEDAS

ĮVAIRINGO AMŽIAUS ŽMONIŲ KŪNO PROPORČIŲ SKAIČIAVIMO REZULTATAI

B.1 pav. – 1 klasės mokinių kūno proporcijų skaičiavimo rezultatai

B.2 pav. – 5 klasės mokinių kūno proporcijų skaičiavimo rezultatai

B.3 pav. – 9 klasės mokinių kūno proporcijų skaičiavimo rezultatai

B.4 pav. – 11 klasės mokinių kūno proporcijų skaičiavimo rezultatai

B.5 pav. Mokytojų kūno proporcijų skaičiavimo rezultatai

D PRIEDAS

ĮVAIRINGO AMŽIAUS ŽMONIŲ KŪNO PROPCIJŲ PALYGINIMAS

SU AUKSO SANTYKIU VERTĖ

D.1 pav. Vidutinių įvairaus amžiaus žmonių kūno proporcijų palyginimas su aukso pjūvio verte

E PRIEDAS

TYRIMO DARBO ETAPAI

a B C)

E.1 pav. Literatūros studija

a B C)

d) e)

D.2 pav. Mokinių ir mokytojų matavimai

D.3 pav. Gautų duomenų įvedimas ir apdorojimas

Žmogaus kūnas ir aukso pjūvis.

M/m = 1,618

Pirmasis aukso pjūvio pavyzdys žmogaus kūno struktūroje:
Jei bambos tašką imsime kaip žmogaus kūno centrą, o atstumą tarp žmogaus pėdos ir bambos taško – matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygsta skaičiui 1,618.

Be to, yra dar kelios pagrindinės auksinės mūsų kūno proporcijos:

* atstumas nuo pirštų galiukų iki riešo iki alkūnės yra 1:1,618;

* atstumas nuo peties lygio iki galvos vainiko ir galvos dydis yra 1:1,618;

* atstumas nuo bambos taško iki viršugalvio ir nuo peties lygio iki viršugalvio yra 1:1,618;

* bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos galiuko iki šnervių yra 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko 1:1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1:1,618:

Aukso pjūvis žmogaus veido bruožuose kaip tobulo grožio kriterijus.

Žmogaus veide yra ir kitų auksinio pjūvio taisyklės įkūnijimų. Štai keletas šių santykių:

* Veido aukštis / plotis;

* Centrinis lūpų sujungimo su nosies pagrindu taškas / nosies ilgis;

* Veido aukštis / atstumas nuo smakro galo iki lūpų jungties centro taško;

* Burnos plotis / nosies plotis;

* Nosies plotis / atstumas tarp šnervių;

* Atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Žmogaus ranka.

* Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu ir suteikia auksinės dalies numerį (išskyrus nykštį);

* Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat lygus auksiniam pjūviui;

Aukso pjūvis žmogaus plaučių struktūroje.

Amerikiečių fizikas B.D. Westas ir daktaras A.L. Goldbergeris fizinių ir anatominių tyrimų metu nustatė, kad aukso pjūvis taip pat egzistuoja žmogaus plaučių struktūroje.

Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, vienas (kairysis) yra ilgesnis, o kitas (dešinėje) yra trumpesnis.

Auksinio stačiakampio keturkampio ir spiralės struktūra.

Geometrijoje stačiakampis su tokiu kraštinių santykiu pradėtas vadinti auksiniu stačiakampiu. Jo ilgosios kraštinės yra susijusios su trumposiomis kraštinėmis santykiu 1,168:1.

Anglų dizaineris ir estetikas Williamas Charltonas teigė, kad žmonėms spiralės formos yra malonios akiai ir jas naudoja tūkstančius metų, paaiškindamas tai taip:

"Mums patinka spiralės išvaizda, nes vizualiai galime ją lengvai pamatyti."