Ovuliacija 

Trikampis ir piramidė, ką jie turi bendro. Piramidė ir jos elementai

2 vaizdo pamoka: Piramidės iššūkis. Piramidės tūris

3 vaizdo pamoka: Piramidės iššūkis. Teisinga piramidė

Paskaita: Piramidė, jos pagrindas, šoniniai kraštai, aukštis, šoninis paviršius; trikampė piramidė; dešinioji piramidė

Piramidė, jos savybės

Piramidė- Tai trimatis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis, o visi jo paviršiai susideda iš trikampių.

Ypatingas piramidės atvejis yra kūgis, kurio apačioje yra apskritimas.


Apsvarstykite pagrindinius piramidės elementus:


Apotema yra segmentas, jungiantis piramidės viršūnę su šoninio paviršiaus apatinio krašto viduriu. Kitaip tariant, tai yra piramidės veido aukštis.


Paveiksle matote trikampius ADS, ABS, BCS, CDS. Atidžiau pažvelgus į pavadinimus, matyti, kad kiekvieno trikampio pavadinime yra viena bendra raidė – S. Tai reiškia, kad visi šoniniai paviršiai (trikampiai) susilieja viename taške, kuris vadinamas piramidės viršūne.


Atkarpa OS, jungianti viršūnę su pagrindo įstrižainių susikirtimo tašku (trikampių atveju – aukščių susikirtimo taške), vadinama. piramidės aukštis.


Įstrižainė yra plokštuma, einanti per piramidės viršūnę, taip pat viena iš pagrindo įstrižainių.


Kadangi piramidės šoninis paviršius susideda iš trikampių, norint rasti bendrą šoninio paviršiaus plotą, reikia rasti kiekvieno veido plotus ir juos pridėti. Veidų skaičius ir forma priklauso nuo daugiakampio, esančio prie pagrindo, kraštinių formos ir dydžio.


Vienintelė piramidės plokštuma, kuri neturi viršūnės, vadinama pagrindu piramidės.

Paveiksle matome, kad pagrindas yra lygiagretainis, tačiau gali būti bet koks savavališkas daugiakampis.

Savybės:


Apsvarstykite pirmąjį piramidės atvejį, kai jos kraštai yra vienodo ilgio:

  • Aplink tokios piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą. Jei projektuosite tokios piramidės viršūnę, tada jos projekcija bus apskritimo centre.
  • Piramidės pagrindo kampai yra vienodi kiekvienam veidui.
  • Tuo pat metu pakankama sąlyga, kad aplink piramidės pagrindą būtų galima apibūdinti apskritimą, taip pat kad visos briaunos būtų skirtingo ilgio, gali būti laikomos vienodais kampais tarp pagrindo ir kiekvieno veidų krašto. .

Jei susidursite su piramide, kurioje kampai tarp šoninių paviršių ir pagrindo yra lygūs, tada šios savybės yra teisingos:

  • Galėsite apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, kurio viršus projektuojamas tiksliai į centrą.
  • Jei nubrėžsite kiekvieną šoninį aukščio paviršių prie pagrindo, jie bus vienodo ilgio.
  • Norint rasti tokios piramidės šoninį paviršiaus plotą, pakanka rasti pagrindo perimetrą ir padauginti jį iš pusės aukščio ilgio.
  • Sbp \u003d 0,5P oc H.
  • Piramidės tipai.
  • Priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde, jie gali būti trikampiai, keturkampiai ir tt Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis (su lygiomis kraštinėmis), tai tokia piramidė bus vadinama taisyklingąja.

Taisyklinga trikampė piramidė

Darbo tekstas patalpintas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Įvadas

Kai sutinkame žodį „piramidė“, tuomet asociatyvi atmintis nukelia mus į Egiptą. Jei kalbėsime apie ankstyvuosius architektūros paminklus, galima teigti, kad jų skaičius yra bent keli šimtai. XIII amžiaus arabų rašytojas sakė: „Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“. Piramidės yra vienintelis stebuklas iš septynių pasaulio stebuklų, išlikęs iki mūsų laikų, iki kompiuterinių technologijų eros. Tačiau tyrėjams dar nepavyko rasti įkalčių į visas jų paslaptis. Kuo daugiau sužinome apie piramides, tuo daugiau klausimų turime. Piramidės domina istorikus, fizikus, biologus, gydytojus, filosofus ir tt Jos labai domina ir skatina giliau tyrinėti jų savybes tiek matematiniu, tiek kitais (istoriniais, geografiniais ir kt.) požiūriais.

Štai kodėl įvartis Mūsų tyrimas buvo piramidės savybių tyrimas iš skirtingų požiūrių. Kaip tarpinius tikslus išskyrėme: piramidės savybių svarstymą matematikos požiūriu, hipotezių apie piramidės paslapčių ir paslapčių egzistavimą, jos pritaikymo galimybes, tyrimą.

objektasŠiame straipsnyje pateiktas tyrimas yra piramidė.

Tema tyrimai: piramidės ypatybės ir savybės.

Užduotys tyrimas:

    Studijuoti mokslinę – populiariąją literatūrą tiriama tema.

    Apsvarstykite piramidę kaip geometrinį kūną.

    Nustatykite piramidės savybes ir ypatybes.

    Raskite medžiagą, patvirtinančią piramidės savybių pritaikymą įvairiose mokslo ir technikos srityse.

Metodai tyrimai: analizė, sintezė, analogija, mentalinis modeliavimas.

Laukiamas darbo rezultatas turėtų būti struktūrizuota informacija apie piramidę, jos savybes ir pritaikymą.

Projekto rengimo etapai:

    Projekto temos, tikslų ir uždavinių nustatymas.

    Studijuoti ir rinkti medžiagą.

    Projekto plano sudarymas.

    Tikėtino projekto veiklos rezultato suformulavimas, įskaitant naujos medžiagos įsisavinimą, žinių, įgūdžių ir gebėjimų formavimą dalykinėje veikloje.

    Tyrimo rezultatų formulavimas.

    Atspindys

    Piramidė kaip geometrinis kūnas

Apsvarstykite žodžio ir termino kilmę piramidė“. Iš karto verta paminėti, kad „piramidė“ arba „ piramidė"(Anglų), " piramidė"(prancūzų, ispanų ir slavų kalbos), piramidė(vokiečių kalba) yra vakarietiškas terminas, kilęs iš senovės Graikijos. Senovės graikų kalba πύραμίς („P iramis“ ir daugelis kitų. h. Πύραμίδες « piramidės"") turi keletą reikšmių. Senovės graikai vadino piramis» kviečių pyragas, panašus į Egipto struktūrų formą. Vėliau šis žodis reiškė „monumentalią statinį, kurio apačioje yra kvadratinis plotas, o viršuje – nuožulnios pusės. Etimologinis žodynas rodo, kad graikų "piramis" kilęs iš egiptiečių " pimaras“. Pirmasis rašytinis žodžio aiškinimas "piramidė" rastas Europoje 1555 m. ir reiškia: „vienas iš senovinių karalių pastatų tipų“. Po piramidžių atradimo Meksikoje ir XVIII amžiuje tobulėjant mokslui piramidė tapo ne tik senoviniu architektūros paminklu, bet ir taisyklinga geometrine figūra su keturiomis simetriškomis kraštinėmis (1716 m.). Piramidės geometrijos pradžia buvo nustatyta senovės Egipte ir Babilone, tačiau ji buvo aktyviai plėtojama senovės Graikijoje. Pirmasis, kuris nustatė, kam prilygsta piramidės tūris, buvo Demokritas, ir Eudoksas Knidas tai įrodė.

Pirmasis apibrėžimas priklauso senovės graikų matematikui, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autoriui Euklidui. XII savo „Pradžių“ tome jis apibrėžia piramidę kaip kūno figūrą, apribotą plokštumų, kurios iš vienos plokštumos (pagrindo) susilieja viename taške (viršuje). Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių ir kurios pagrindas yra daugiakampis“.

Yra prancūzų matematiko Adrieno Marie Legendre apibrėžimas, kuris 1794 m. savo veikale „Geometrijos elementai“ piramidę apibrėžia taip: „Piramidė yra kūno figūra, sudaryta iš trikampių, susiliejančių viename taške ir besibaigiančių skirtingose ​​pusėse. plokščias pagrindas“.

Šiuolaikiniai žodynai terminą „piramidė“ aiškina taip:

Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę

Aiškinamasis rusų kalbos žodynas, red. D. N. Ušakova

Kūnas, apribotas lygiais trikampiais, sudarytas iš viršūnių viename taške ir su savo pagrindais sudarantis kvadratą

V.I.Dal aiškinamasis žodynas

Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai su bendra viršūne

Aiškinamasis žodynas, red. S. I. Ožegova ir N. Yu. Švedova

Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o šoniniai paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę

T. F. Efremovas. Naujas rusų kalbos aiškinamasis ir išvestinis žodynas.

Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę

Užsienio žodžių žodynas

Geometrinis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis ir kurio kraštinių yra tiek trikampių, kiek pagrindas turi kraštinių, kurių viršūnės susilieja į vieną tašką.

Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra kažkoks plokščias daugiakampis, o visi kiti paviršiai yra trikampiai, kurių pagrindai yra daugiakampio pagrindo kraštinės, o viršūnės susilieja viename taške

F. Brockhaus, I.A. Efronas. enciklopedinis žodynas

Daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę

Šiuolaikinis aiškinamasis žodynas

Daugiakampis, kurio vienas paviršius yra daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne

Matematinis enciklopedinis žodynas

Analizuodami piramidės apibrėžimus, galime daryti išvadą, kad visi šaltiniai turi panašias formuluotes:

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę. Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės būna trikampės, keturkampės ir kt.

Daugiakampis A 1 A 2 A 3 ... An yra piramidės pagrindas, o trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 yra piramidės šoniniai paviršiai, P yra viršus piramidės segmentai RA 1, RA 2, ..., PAn - šoniniai šonkauliai.

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos, vadinamas h piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra taisyklinga piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

plotas Bendras piramidės paviršius yra visų jos paviršių plotų suma. Pilna = S pusė + S pagrindinė, kur S pusė yra šoninių paviršių plotų suma.

Apimtis piramidė randama pagal formulę: V=1/3S main.h, kur S pagrindinis. - bazinis plotas, h - aukštis.

Į piramidės savybės susieti:

Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada lengva apibūdinti apskritimą šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą; šoniniai šonkauliai sudaro tuos pačius kampus su pagrindine plokštuma; be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos turi tokio pat dydžio.

Kai šoniniai paviršiai turi tokios pat vertės pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada lengva apibūdinti apskritimą šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą ; šoninių paviršių aukščiai yra vienodo ilgio; šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugos.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o viršūnė projektuojama į pagrindo centrą. Taisyklingosios piramidės šoniniai paviršiai yra lygūs, lygiašoniai trikampiai (2a pav.). ašį Taisyklinga piramidė vadinama tiesia linija, kurioje yra jos aukštis. Apotemas - taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus.

Kvadratas taisyklingosios piramidės šoninis paviršius išreiškiamas taip: Sside. \u003d 1 / 2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h yra šoninio paviršiaus aukštis (įprastos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A'B'C'D', lygiagreti pagrindui, tai šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijamos į proporcingas dalis; atkarpoje gaunamas daugiakampis A'B'C'D', panašus į pagrindą; pjūvio ir pagrindo plotai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

Nupjauta piramidė gaunamas nupjovus nuo piramidės jos viršutinę dalį plokštuma, lygiagrečia pagrindui (2b pav.). Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai yra trapecijos. Nupjautos piramidės aukštis yra atstumas tarp pagrindų. Nupjautos piramidės tūris randamas pagal formulę: V=1/3 h (S + + S'), kur S ir S' yra bazių ABCD ir A'B'C'D' plotai, h yra aukštis.

Taisyklingos nupjautinės n-kampės piramidės pagrindai yra taisyklingi n-kampiai. Taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Sside. \u003d ½ (P + P') h, kur P ir P' yra pagrindo perimetrai, h yra šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos nupjautos piramidės apotemas)

Piramidės atkarpos plokštumose, einančios per jos viršūnę, yra trikampiai. Atkarpa, einanti per du negretimus piramidės šoninius kraštus, vadinama įstrižaine. Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tai ši pusė bus jos pėdsakas piramidės pagrindo plokštumoje. Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės paviršiaus, ir duotą pjūvio pėdsaką pagrindo plokštumoje, tada konstravimas turi būti atliktas taip: suraskite nurodyto paviršiaus plokštumos susikirtimo tašką ir piramidės atkarpos pėdsaką ir jį pažymėkite; nutiesti tiesę, einanti per nurodytą tašką ir susikirtimo tašką; Pakartokite šiuos veiksmus su kitais veidais.

Stačiakampė piramidė - tai piramidė, kurios viena iš šoninių briaunų yra statmena pagrindui. Šiuo atveju ši briauna bus piramidės aukštis (2c pav.).

Taisyklinga trikampė piramidė- Tai piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas trikampis, o viršus projektuojamas į pagrindo centrą. Ypatingas taisyklingos trikampės piramidės atvejis yra tetraedras. (2a pav.)

Panagrinėkime teoremas, jungiančias piramidę su kitais geometriniais kūnais.

Sfera

Sferą galima apibūdinti šalia piramidės, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Sferos centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos išplaukia, kad sferą galima apibūdinti ir apie bet kurią trikampę, ir apie bet kurią taisyklingąją piramidę; Į piramidę galima įrašyti sferą, kai viename taške susikerta piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Kūgis

Kūgis vadinamas įbrėžtu piramidėje, jei jų viršūnės sutampa, o jos pagrindas įbrėžtas piramidės pagrinde. Be to, kūgį į piramidę galima įrašyti tik tada, kai piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam (būtina ir pakankama sąlyga); Kūgis vadinamas įbrėžtu šalia piramidės, kai jų viršūnės sutampa, o jo pagrindas yra įbrėžtas šalia piramidės pagrindo. Be to, kūgį prie piramidės galima apibūdinti tik tada, kai visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai (būtina ir pakankama sąlyga); Tokių kūgių ir piramidžių aukščiai yra lygūs vienas kitam.

Cilindras

Cilindras vadinamas įbrėžtu piramidėje, jei vienas jo pagrindų sutampa su apskritimu, į piramidės pjūvį įrašytą plokštuma, lygiagreti pagrindui, o kitas pagrindas priklauso piramidės pagrindui. Cilindras vadinamas įbrėžtu šalia piramidės, jei piramidės viršūnė priklauso vienam iš jos pagrindų, o kitas pagrindas yra įbrėžtas šalia piramidės pagrindo. Be to, apibūdinti šalia piramidės esantį cilindrą galima tik tada, kai piramidės pagrinde yra įrašytas daugiakampis (būtina ir pakankama sąlyga).

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudojasi piramidės savybėmis su aukso santykio proporcijomis. Kitoje pastraipoje svarstysime, kaip buvo naudojami aukso pjūvio santykiai statant piramides, o čia apsistosime ties aukso pjūvio apibrėžimu.

Matematinis enciklopedinis žodynas pateikia tokį apibrėžimą aukso pjūvis- tai atkarpos AB padalijimas į dvi dalis taip, kad didžioji jo AC dalis būtų vidutinė proporcinga visam segmentui AB ir jo mažesnei daliai CB.

Atkarpos AB = a auksinės atkarpos algebrinis radinys redukuojamas į lygties a sprendimą: x = x: (a-x), iš kur x apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis n/n+1= 0,618, kur n yra Fibonačio skaičius, pažymėtas n.

Aukso pjūvis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje, randamas gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio skulptūra, Partenonas. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimų pločio ir ilgio santykis taip pat artimas 0,618.

Taigi, išstudijavę populiariąją mokslinę literatūrą apie tyrimo problemą, priėjome prie išvados, kad piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai su bendra viršūne. Išnagrinėjome piramidės elementus ir savybes, jos tipus ir koreliaciją su aukso pjūvio proporcijomis.

2. Piramidės ypatybės

Taigi Didžiajame enciklopediniame žodyne rašoma, kad piramidė yra monumentalus statinys, turintis piramidės geometrinę formą (kartais laiptuotą ar bokšto formą). Senovės Egipto faraonų III – II tūkstantmečio prieš Kristų kapai buvo vadinami piramidėmis. e., taip pat Centrinės ir Pietų Amerikos šventyklų postamentai, susiję su kosmologiniais kultais. Tarp grandiozinių Egipto piramidžių ypatingą vietą užima Didžioji faraono Cheopso piramidė. Prieš pradėdami analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, turėtume prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektis“ (466 mm), lygus septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruožtu, buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad piramidės pagrindo kraštinės ilgis, pavyzdžiui, GF yra L = 233,16 m. Ši reikšmė beveik tiksliai atitinka 500 „uolekčių“. Visiškas 500 „uolekčių“ atitikimas bus, jei „uolekčių“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštį (H) tyrėjai įvertina skirtingai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų santykiai. Dėl ko skiriasi piramidės aukščio įvertinimas? Faktas yra tas, kad Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jo viršutinė platforma šiandien yra maždaug 10x10 m dydžio, o prieš šimtmetį prilygo 6x6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta, o ji neatitinka originalios. Vertinant piramidės aukštį, būtina atsižvelgti į tokį fizikinį veiksnį kaip statinio sėdėjimas. Ilgą laiką, veikiant milžiniškam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m 2 apatinio paviršiaus), piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu. Pradinis piramidės aukštis gali būti atkurtas, jei rasite pagrindinę geometrinę idėją.

1837 m. anglų pulkininkas G. Wise'as išmatavo piramidės paviršių pasvirimo kampą: paaiškėjo, kad jis lygus a = 51 ° 51 ". Šią reikšmę dauguma tyrinėtojų pripažįsta ir šiandien. Nurodyta vertė kampas atitinka liestinę (tg a), lygi 1,27306. Ši vertė atitinka piramidės AC aukščio ir pusės jos pagrindo CB santykį, tai yra, AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ir štai mokslininkų laukė didelė staigmena! Faktas yra tas, kad jei paimsime kvadratinę šaknį iš auksinio pjūvio, gausime tokį rezultatą = 1,272. Palyginus šią reikšmę su reikšme tg a = 1,27306, matome, kad šios reikšmės yra labai arti viena kitos. Jei imsime kampą a \u003d 51 ° 50 ", tai yra, sumažinsime jį tik viena lanko minute, tada a reikšmė taps lygi 1,272, tai yra, ji sutaps su reikšme. 1840 m. G. Wise'as pakartojo savo matavimus ir paaiškino, kad kampo vertė a \u003d 51 ° 50 ".

Šie matavimai paskatino tyrėjus padaryti tokią įdomią hipotezę: Cheopso piramidės trikampis ASV buvo pagrįstas santykiu AC / CB = 1,272.

Apsvarstykite dabar statųjį trikampį ABC, kuriame kojų santykis AC / CB = . Jei dabar pažymime stačiakampio ABC kraštinių ilgius kaip x, y, z, taip pat atsižvelgsime į tai, kad santykis y / x \u003d, tada pagal Pitagoro teoremą ilgį z galima apskaičiuoti pagal formulė:

Jei priimame x = 1, y = , tada:

Statusis trikampis, kurio kraštinės yra susijusios kaip t::1, vadinamas "auksiniu" stačiu trikampiu.

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia lengva apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

A \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 m.

Dabar išveskime keletą kitų Cheopso piramidės santykių, kurie išplaukia iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes nustatome piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, kojos CB ilgį imame kaip vienetą, tai yra: CB = 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis yra GF = 2, o pagrindo plotas EFGH bus lygus S EFGH = 4.

Dabar apskaičiuokime Cheopso piramidės S D šoninio paviršiaus plotą. Kadangi trikampio AEF aukštis AB yra lygus t, tada šoninio paviršiaus plotas bus lygus S D = t. Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4t ir viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui. Tai yra pagrindinė Cheopso piramidės geometrinė paslaptis.

Taip pat statant Egipto piramides buvo nustatyta, kad piramidės aukštyje pastatyta aikštė yra lygiai lygi kiekvieno šoninių trikampių plotui. Tai patvirtina naujausi matavimai.

Žinome, kad apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra pastovi reikšmė, gerai žinoma šiuolaikiniams matematikams, moksleiviams – tai skaičius „Pi“ = 3,1416... Bet jei pridėtume keturias pagrindo kraštines Cheopso piramidę gauname 931,22 m. Padalijus tai skaičių, dvigubai didesnį už piramidės aukštį (2x148,208), gauname 3,1416 ..., tai yra skaičių "Pi". Vadinasi, Cheopso piramidė yra unikalus paminklas, kuris yra materialus skaičiaus „Pi“, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematikoje, įsikūnijimas.

Taigi, aukso pjūvio piramidės dydžio buvimas - dvigubos piramidės kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π. Tai, žinoma, taip pat yra savybė. Nors daugelis autorių mano, kad šis sutapimas yra atsitiktinis, nes trupmena 14/11 yra „geras aukso pjūvio santykio kvadratinės šaknies ir įbrėžto kvadrato bei apskritimo plotų santykio apytikslis rodiklis. “

Tačiau neteisinga čia kalbėti tik apie Egipto piramides. Yra ne tik Egipto piramidės, Žemėje yra visas piramidžių tinklas. Pagrindiniai paminklai (Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų sala ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje) iš pirmo žvilgsnio atsitiktinai išsibarstę po mūsų planetą. Bet jei tyrimas apima Tibeto piramidžių kompleksą, tada atsiranda griežta matematinė jų buvimo vietos Žemės paviršiuje sistema. Himalajų kalnagūbrio fone aiškiai išsiskiria piramidės formos darinys – Kailašo kalnas. Labai įdomi yra Kailašo miesto, Egipto ir Meksikos piramidžių vieta, būtent, jei Kailašo miestą jungiate su Meksikos piramidėmis, tai juos jungianti linija eina į Velykų salą. Jei Kailašo miestą sujungsite su Egipto piramidėmis, tada jų ryšio linija vėl eina į Velykų salą. Nubrėžta lygiai ketvirtadalis Žemės rutulio. Jei sujungsime Meksikos ir Egipto piramides, pamatysime du vienodus trikampius. Jei rasite jų plotą, tada jų suma lygi vienai ketvirtadaliui Žemės rutulio ploto.

Buvo atskleistas neginčijamas ryšys tarp Tibeto piramidžių komplekso su kitomis struktūromis antika – Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų salos kolosai ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje. Pagrindinės Tibeto piramidės – Kailašo kalno – aukštis yra 6714 metrų. Atstumas nuo Kailašo iki Šiaurės ašigalio yra 6714 kilometrų, atstumas nuo Kailasho iki Stounhendžo yra 6714 kilometrų. Jei atidėtumėte Žemės rutulyje nuo Šiaurės ašigalio šiuos 6714 kilometrų, tada pateksime į vadinamąjį Velnio bokštą, kuris atrodo kaip nupjauta piramidė. Ir pagaliau tiksliai 6714 kilometrų nuo Stounhendžo iki Bermudų trikampio.

Dėl šių tyrimų galima daryti išvadą, kad Žemėje egzistuoja piramidinė-geografinė sistema.

Taigi, savybės yra viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui; aukso pjūvio piramidės dydžio buvimas - piramidės dvigubos kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra vienetinis paminklas, kuris yra materialus skaičiaus „Pi“ įsikūnijimas; piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

3. Kitos piramidės savybės ir panaudojimas.

Apsvarstykite praktinį šios geometrinės figūros pritaikymą. Pavyzdžiui, holograma. Pirmiausia pažiūrėkime, kas yra holografija. Holografija - optinės elektromagnetinės spinduliuotės bangų laukų tikslaus fiksavimo, atkūrimo ir performavimo technologijų rinkinys, specialus fotografavimo metodas, kurio metu, naudojant lazerį, įrašomi trimačių objektų vaizdai, o vėliau atkuriami iki aukščiausio laipsnio, panašūs į tikrus. Holograma yra holografijos produktas, lazeriu sukuriamas trimatis vaizdas, atkuriantis trimačio objekto vaizdą. Naudodami įprastą nupjautą tetraedrinę piramidę galite atkurti vaizdą – hologramą. Sukuriama nuotraukų byla ir taisyklinga nupjauta tetraedrinė piramidė iš permatomos medžiagos. Maža įtrauka daroma iš apatinio ir vidurinio taško y ašies atžvilgiu. Šis taškas bus kvadrato, kurį sudaro pjūvis, kraštinės vidurys. Nuotrauka padauginama, o jos kopijos išdėstytos taip pat, palyginti su kitomis trimis pusėmis. Piramidė pastatoma ant kvadrato su atkarpa žemyn, kad ji sutaptų su kvadratu. Monitorius generuoja šviesos bangą, kiekviena iš keturių identiškų nuotraukų, esančių plokštumoje, kuri yra piramidės veido projekcija, krenta ant paties veido. Dėl to kiekviename iš keturių veidų turime tuos pačius vaizdus, ​​o kadangi medžiaga, iš kurios pagaminta piramidė, turi skaidrumo savybę, bangos tarsi lūžta ir susitinka centre. Dėl to gauname tą patį stovinčios bangos interferencijos modelį, kurios centrinė ašis arba sukimosi ašis yra taisyklingos nupjautos piramidės aukštis. Šis metodas veikia ir su vaizdo vaizdu, nes veikimo principas nesikeičia.

Atsižvelgiant į konkrečius atvejus, matyti, kad piramidė plačiai naudojama kasdieniame gyvenime, net ir buityje. Piramidės forma dažnai randama, pirmiausia gamtoje: augaluose, kristaluose, metano molekulė turi taisyklingos trikampės piramidės formą - tetraedrą, vienetinė deimantinio kristalo ląstelė taip pat yra tetraedras, kurio centre ir keturiose viršūnėse yra anglies atomai. Namuose randamos piramidės, vaikiški žaislai. Mygtukai, kompiuterių klaviatūros dažnai yra panašios į keturkampę nupjautą piramidę. Jie gali būti matomi kaip pastato elementai arba pačios architektūrinės konstrukcijos, kaip permatomos stogo konstrukcijos.

Apsvarstykite dar keletą termino „piramidė“ vartojimo pavyzdžių.

Ekologinės piramidės- tai grafiniai modeliai (dažniausiai trikampių pavidalu), atspindintys individų skaičių (skaičių piramidė), jų biomasės kiekį (biomasės piramidė) arba juose esančią energiją (energijos piramidė) kiekviename trofiniame lygyje ir nurodantys visų rodiklių sumažėjimas, padidėjus trofiniam lygiui

Informacinė piramidė. Tai atspindi skirtingų tipų informacijos hierarchiją. Informacijos teikimas kuriamas pagal tokią piramidinę schemą: viršuje – pagrindiniai rodikliai, pagal kuriuos galima vienareikšmiškai sekti įmonės judėjimo tempą link pasirinkto tikslo. Jei kažkas negerai, tuomet galite pereiti į vidurinį piramidės lygį – apibendrintus duomenis. Jie paaiškina kiekvieno rodiklio vaizdą atskirai arba vienas kito atžvilgiu. Iš šių duomenų galite nustatyti galimą gedimo ar problemos vietą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, turite kreiptis į piramidės pagrindą - išsamų visų procesų būklės aprašymą skaitine forma. Šie duomenys padeda nustatyti problemos priežastį, kad ją būtų galima ištaisyti ir jos išvengti ateityje.

Bloomo taksonomija. Bloomo taksonomija siūlo užduočių klasifikaciją piramidės pavidalu, kurias pedagogai nustato mokiniams, ir atitinkamai mokymosi tikslus. Ji ugdymo tikslus skirsto į tris sritis: kognityvinę, afektinę ir psichomotorinę. Kiekvienoje atskiroje sferoje, norint pereiti į aukštesnį lygį, būtina ankstesnių, šioje sferoje išsiskiriančių, lygių patirtis.

Finansinė piramidė- specifinis ekonominės raidos reiškinys. Pavadinimas „piramidė“ aiškiai iliustruoja situaciją, kai piramidės „apačioje“ esantys žmonės dovanoja pinigus į nedidelę viršūnę. Tuo pačiu metu kiekvienas naujas dalyvis moka padidinti savo paaukštinimo į piramidės viršūnę galimybę.

Poreikių piramidė Maslow atspindi vieną populiariausių ir žinomiausių motyvacijos teorijų – hierarchijos teoriją. poreikiai. Maslow paskirstė poreikius jiems didėjant, paaiškindamas šią konstrukciją tuo, kad žmogus negali patirti aukšto lygio poreikių, kol jam reikia primityvesnių dalykų. Tenkinant žemesnius poreikius, aukštesnio lygio poreikiai tampa vis aktualesni, tačiau tai visiškai nereiškia, kad ankstesnio poreikio vietą užima naujas tik tada, kai pirmasis yra visiškai patenkintas.

Kitas termino „piramidė“ vartojimo pavyzdys yra maisto piramidė - mitybos specialistų sukurtų sveikos mitybos principų schematiškas vaizdas. Maisto produktai, esantys piramidės apačioje, turėtų būti valgomi kuo dažniau, o piramidės viršuje esančių maisto produktų reikėtų vengti arba valgyti ribotais kiekiais.

Taigi visa tai, kas išdėstyta aukščiau, rodo piramidės panaudojimo įvairovę mūsų gyvenime. Galbūt piramidė turi daug aukštesnę paskirtį ir yra skirta kažkam daugiau nei dabar atviram praktiniam naudojimui.

Išvada

Savo gyvenime nuolat sutinkame piramides – tai senovės Egipto piramidės ir žaislai, su kuriais žaidžia vaikai; architektūros ir dizaino objektai, natūralūs kristalai; virusai, kuriuos galima pamatyti tik elektroniniu mikroskopu. Per daugelį savo gyvavimo tūkstantmečių piramidės tapo savotišku simboliu, įkūnijančiu žmogaus norą pasiekti žinių viršūnę.

Tyrimo metu nustatėme, kad piramidės yra gana dažnas reiškinys visame pasaulyje.

Išstudijavome populiariąją mokslinę literatūrą tyrimo tema, nagrinėjome įvairias termino „piramidė“ interpretacijas, nustatėme, kad geometrine prasme piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios pusės – trikampiai su bendra viršūnė. Ištyrėme piramidžių tipus (taisyklingos, nupjautinės, stačiakampės), elementus (apotemą, šoninius paviršius, šoninius kraštus, viršų, aukštį, pagrindą, įstrižą pjūvį) ir geometrinių piramidžių, turinčių vienodus šoninius kraštus ir kai šoniniai paviršiai pasvirę, savybes. į pagrindinę plokštumą vienu kampu. Apsvarstytos teoremos, jungiančios piramidę su kitais geometriniais kūnais (rutuliu, kūgiu, cilindru).

Piramidės ypatybės yra šios:

    viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui;

    aukso pjūvio piramidės dydžio buvimas - piramidės dvigubos kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra vienetinis paminklas, kuris yra materialus skaičiaus „Pi“ įsikūnijimas;

    piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

Ištyrėme šiuolaikinį šios geometrinės figūros pritaikymą. Išnagrinėjome, kaip jungiasi piramidė ir holograma, atkreipėme dėmesį į tai, kad piramidinė forma dažniausiai sutinkama gamtoje (augaluose, kristaluose, metano molekulėse, deimantinės gardelės sandaroje ir kt.). Viso tyrimo metu susipažinome su medžiaga, patvirtinančia piramidės savybių panaudojimą įvairiose mokslo ir technikos srityse, kasdieniame žmonių gyvenime, informacijos analizėje, ekonomikoje ir daugelyje kitų sričių. Ir jie priėjo prie išvados, kad galbūt piramidės turi kur kas aukštesnę paskirtį ir yra skirtos kažkam daugiau nei praktiniam jų naudojimui, kuris dabar yra atviras.

Bibliografija.

    Van der Waerden, Barthel Leendert. Pabudimo mokslas. Senovės Egipto, Babilono ir Graikijos matematika. [Tekstas] / B. L. Van der Waerden – KomKniga, 2007 m

    Vološinovas A. V. Matematika ir menas. [Tekstas] / A.V. Vološinovas – Maskva: „Apšvietimas“ 2000 m.

    Pasaulio istorija (enciklopedija vaikams). [Tekstas] / - M .: „Avanta +“, 1993 m.

    holograma . [Elektroninis išteklius] – https://hi-news.ru/tag/hologramma - straipsnis internete

    Geometrija [tekstas]: Proc. 10-11 ląstelių. švietimo įstaigoms L. S. Atanasyanas, V. F. Butuzovas ir kt. - 22-oji laida. - M.: Švietimas, 2013 m

    Coppensas F. Naujoji piramidžių era. [Tekstas] / F. Coppens – Smolenskas: Rusich, 2010 m

    Matematinis enciklopedinis žodynas. [Tekstas] / A. M. Prokhorovas ir kiti - M .: Sovietų enciklopedija, 1988 m.

    Muldaševas E.R. Pasaulinė piramidžių ir antikos paminklų sistema išgelbėjo mus nuo pasaulio pabaigos, bet ... [Tekstas] / E.R. Muldaševas - M .: „AiF-Print“; M.: „OLMA-PRESS“; Sankt Peterburgas: leidykla „Neva“; 2003 m.

    Perelman Ya. I. Linksma aritmetika. [Tekstas] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017 m.

    Reichard G. Piramidės. [Tekstas] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978

    „Terra Lexicon“. Iliustruotas enciklopedinis žodynas. [Tekstas] / - M.: TERRA, 1998.

    Tompkinsas P. Didžiosios Cheopso piramidės paslaptys. [Tekstas]/ Peteris Tompkinsas. - M.: „Tsentropoligraf“, 2008 m

    Uvarovas V. Magiškos piramidžių savybės. [Tekstas] / V. Uvarovas - Lenizdatas, 2006 m.

    Sharygin I.F. Geometrija 10-11 klasė. [Tekstas] / I.F. Šaryginas:. - M: „Švietimas“, 2000 m

    Yakovenko M. Piramidės supratimo raktas [Elektroninis išteklius] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - straipsnis internete

Pirmas lygis

Piramidė. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Kas yra piramidė?

Kaip ji atrodo?

Matote: žemiau esančioje piramidėje (jie sako: bazėje"") tam tikras daugiakampis, o visos šio daugiakampio viršūnės yra sujungtos su tam tikru erdvės tašku (šis taškas vadinamas " viršūnė»).

Visa ši struktūra turi šoniniai veidai, šoniniai šonkauliai ir pagrindo šonkauliai. Dar kartą nupieškime piramidę su visais šiais pavadinimais:

Kai kurios piramidės gali atrodyti labai keistai, bet jos vis tiek yra piramidės.

Čia, pavyzdžiui, gana „įstrižai“ piramidė.

Ir dar šiek tiek apie pavadinimus: jei piramidės pagrinde yra trikampis, tai piramidė vadinama trikampe;

Tuo pačiu metu taškas, kur jis nukrito aukščio, vadinamas aukščio pagrindas. Atkreipkite dėmesį, kad „kreivose“ piramidėse aukščio gali būti net už piramidės ribų. Kaip šitas:

Ir tame nėra nieko baisaus. Tai atrodo kaip bukas trikampis.

Teisinga piramidė.

Daug sunkių žodžių? Iššifruokime: "Pagrinde - teisingai" - tai suprantama. Ir dabar atminkite, kad reguliarus daugiakampis turi centrą - tašką, kuris yra ir centras, ir .

Na, o žodžiai "viršus projektuojamas į pagrindo centrą" reiškia, kad aukščio pagrindas patenka tiksliai į pagrindo centrą. Pažiūrėkite, kaip jis atrodo švelnus ir mielas dešinioji piramidė.

Šešiakampis: prie pagrindo - taisyklingas šešiakampis, viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

keturkampis: prie pagrindo - kvadratas, viršus projektuojamas iki šio kvadrato įstrižainių susikirtimo taško.

trikampis: prie pagrindo yra taisyklingas trikampis, viršūnė projektuojama į šio trikampio aukščių (jie taip pat yra medianos ir pusiausvyros) susikirtimo tašką.

Labai svarbios taisyklingos piramidės savybės:

Dešinėje piramidėje

  • visi šoniniai kraštai lygūs.
  • visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.

Piramidės tūris

Pagrindinė piramidės tūrio formulė:

Iš kur tiksliai ji atsirado? Tai nėra taip paprasta, ir iš pradžių tereikia atsiminti, kad piramidės ir kūgio formulėje yra tūris, o cilindro – ne.

Dabar apskaičiuokime populiariausių piramidžių tūrį.

Tegul pagrindo kraštinė lygi, o šoninė briauna lygi. Man reikia surasti ir.

Tai yra stačiojo trikampio plotas.

Prisiminkime, kaip ieškoti šios srities. Mes naudojame ploto formulę:

Mes turime "" - tai ir "" - tai taip pat, eh.

Dabar suraskime.

Pagal Pitagoro teoremą už

Ka tai reiskia? Tai yra apibrėžtojo apskritimo spindulys, nes piramidėteisinga taigi ir centras.

Kadangi - susikirtimo taškas ir mediana.

(Pitagoro teorema)

Pakeiskite formulėje už.

Sujunkite viską į tūrio formulę:

Dėmesio: jei turite įprastą tetraedrą (t. y.), tada formulė yra tokia:

Tegul pagrindo kraštinė lygi, o šoninė briauna lygi.

Čia nereikia ieškoti; nes prie pagrindo yra kvadratas, todėl.

Raskime. Pagal Pitagoro teoremą už

Ar mes žinome? Beveik. Žiūrėk:

(tai pamatėme peržiūrėdami).

Pakeiskite formulėje:

O dabar pakeičiame tūrio formulę.

Tegul pagrindo pusė lygi, o šoninis kraštas.

Kaip rasti? Žiūrėkite, šešiakampis susideda iš lygiai šešių vienodų taisyklingų trikampių. Skaičiuodami taisyklingos trikampės piramidės tūrį jau ieškojome taisyklingo trikampio ploto, čia naudojame rastą formulę.

Dabar suraskime (tai).

Pagal Pitagoro teoremą už

Bet kas tai svarbu? Tai paprasta, nes (ir visi kiti) yra teisūs.

Mes pakeičiame:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš bet kurio plokščio daugiakampio (), taško, kuris nėra pagrindo plokštumoje (piramidės viršus) ir visų atkarpų, jungiančių piramidės viršūnę su pagrindo taškais (šoniniai kraštai). ).

Nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos nukrito statmuo.

Teisinga piramidė- piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršus projektuojamas į pagrindo centrą.

Taisyklingos piramidės savybės:

  • Įprastoje piramidėje visos šoninės briaunos yra lygios.
  • Visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.

Čia yra surinkta pagrindinė informacija apie piramides ir susijusias formules bei sąvokas. Visi jie mokomi su matematikos dėstytoju ruošiantis egzaminui.

Apsvarstykite plokštumą, daugiakampį gulintis jame ir jame nesantis taškas S. Prijunkite S prie visų daugiakampio viršūnių. Gautas daugiakampis vadinamas piramide. Segmentai vadinami šoniniais kraštais. Daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas S – piramidės viršūne. Priklausomai nuo skaičiaus n, piramidė vadinama trikampe (n=3), keturkampe (n=4), penkiakampe (n=5) ir pan. Alternatyvus trikampės piramidės pavadinimas - tetraedras. Piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos.

Piramidė vadinama teisinga, jei taisyklingas daugiakampis, o piramidės aukščio pagrindas (statmens pagrindas) yra jos centras.

Mokytojo komentaras:
Nepainiokite sąvokų „įprasta piramidė“ ir „reguliarus tetraedras“. Taisyklingoje piramidėje šoninės briaunos nebūtinai yra lygios pagrindo kraštams, tačiau taisyklingajame tetraedre visos 6 briaunų briaunos yra lygios. Tai yra jo apibrėžimas. Nesunku įrodyti, kad lygybė reiškia, kad daugiakampio centras P su aukščio pagrindu, todėl taisyklingas tetraedras yra taisyklinga piramidė.

Kas yra apotemas?
Piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis. Jei piramidė yra taisyklinga, tai visi jos apotemai yra lygūs. Atvirkščiai netiesa.

Matematikos dėstytojas apie jo terminiją: darbas su piramidėmis 80% susideda iš dviejų tipų trikampių:
1) Sudėtyje yra apothem SK ir aukštis SP
2) Turintis šoninę briauną SA ir jos projekciją PA

Siekiant supaprastinti nuorodas į šiuos trikampius, matematikos mokytojui patogiau įvardinti pirmąjį iš jų apotemiškas, ir antra pakrantės. Deja, šios terminijos nerasite nė viename vadovėlyje, o mokytojas turi vienašališkai ją supažindinti.

Piramidės tūrio formulė:
1) , kur yra piramidės pagrindo plotas ir piramidės aukštis
2) , kur yra įbrėžtos sferos spindulys ir bendras piramidės paviršiaus plotas.
3) , kur MN yra atstumas nuo bet kurių dviejų susikertančių briaunų ir lygiagretainio plotas, sudarytas iš keturių likusių briaunų vidurio taškų.

Piramidės aukščio pagrindo savybė:

Taškas P (žr. paveikslą) sutampa su įbrėžto apskritimo centru piramidės pagrindu, jei tenkinama viena iš šių sąlygų:
1) Visi apotemai yra lygūs
2) Visi šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi apotemai yra vienodai pasvirę į piramidės aukštį
4) Piramidės aukštis yra vienodai pasviręs į visus šoninius paviršius

Matematikos mokytojo komentaras: atkreipkite dėmesį, kad visus taškus vienija viena bendra savybė: vienaip ar kitaip visur dalyvauja šoniniai veidai (apotemos yra jų elementai). Todėl dėstytojas gali pasiūlyti ne tokią tikslią, bet patogesnę įsiminimo formuluotę: taškas P sutampa su įbrėžto apskritimo centru, piramidės pagrindu, jei yra lygiavertė informacija apie jo šoninius paviršius. Norėdami tai įrodyti, pakanka parodyti, kad visi apoteeminiai trikampiai yra lygūs.

Taškas P sutampa su apibrėžto apskritimo centru, esančiu netoli piramidės pagrindo, jei yra viena iš trijų sąlygų:
1) Visi šoniniai kraštai yra vienodi
2) Visi šoniniai šonkauliai yra vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į aukštį