Trikampio medianos teoremos susikirtimo taškas. Mediana

Trikampio mediana ir aukštis yra viena patraukliausių ir įdomiausių geometrijos temų. Terminas „mediana“ reiškia liniją arba atkarpą, jungiančią trikampio viršūnę su priešinga jo kraštine. Kitaip tariant, mediana yra linija, kuri eina nuo vienos trikampio kraštinės vidurio iki priešingos to paties trikampio viršūnės. Kadangi trikampis turi tik tris viršūnes ir tris kraštines, gali būti tik trys medianos.

Trikampio medianos savybės

Visos trikampio medianos susikerta viename taške ir jas skiria šis taškas santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus. Taigi, jei visas tris medianas nubraižote trikampyje, tada jų susikirtimo taškas jas padalins į dvi dalis. Dalis, kuri yra arčiau viršaus, bus 2/3 visos linijos, o dalis, kuri yra arčiau trikampio kraštinės, bus 1/3 linijos. Medianos susikerta viename taške.
Trys medianos, nubrėžtos viename trikampyje, padalija šį trikampį į 6 mažus trikampius, kurių plotas bus lygus.
Kuo didesnė trikampio kraštinė, iš kurios ateina mediana, tuo ši mediana mažesnė. Ir atvirkščiai, trumpiausia pusė turi ilgiausią medianą.
Stačiakampio trikampio mediana turi keletą savo savybių. Pavyzdžiui, jei aplink tokį trikampį aprašomas apskritimas, kuris eis per visas viršūnes, tai į hipotenuzę nubrėžto stačiojo kampo mediana taps apibrėžto apskritimo spinduliu (ty jo ilgis bus atstumas nuo bet kuris apskritimo taškas iki jo centro).

Trikampio medianos ilgio lygtis

Medianos formulė kilusi iš Stewarto teoremos ir teigia, kad mediana yra kvadratinė šaknis iš trikampio kraštinių sumos kvadratų, sudarančių viršūnę, atėmus kvadratą tos kraštinės, į kurią mediana nubrėžta iki keturių. Kitaip tariant, norėdami sužinoti medianos ilgį, turite paversti kvadratu kiekvienos trikampio kraštinės ilgius ir parašyti kaip trupmeną, kurios skaitiklis bus suformuotų kraštinių kvadratų suma. kampas, iš kurio ateina mediana, atėmus trečiosios kraštinės kvadratą. Vardiklis čia yra skaičius 4. Tada iš šios trupmenos reikia išskirti kvadratinę šaknį, tada gauname medianos ilgį.

Trikampio medianų susikirtimo taškas

Kaip rašėme aukščiau, visos vieno trikampio medianos susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas trikampio centru. Jis padalija kiekvieną medianą į dvi dalis, kurių ilgis yra susijęs su 2:1. Trikampio centras taip pat yra aplink jį apibrėžto apskritimo centras. O kitos geometrinės figūros turi savo centrus.

Trikampio medianų susikirtimo taško koordinatės

Norėdami rasti vieno trikampio medianų susikirtimo koordinates, naudojame centroido savybę, pagal kurią jis kiekvieną medianą padalija į 2:1 atkarpas. Viršūnes žymime kaip A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

ir apskaičiuokite trikampio centro koordinates pagal formulę: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Trikampio plotas pagal medianą

Visos vieno trikampio medianos padalija šį trikampį į 6 vienodus trikampius, o trikampio centras padalija kiekvieną medianą santykiu 2:1. Todėl, jei žinomi kiekvienos medianos parametrai, galima apskaičiuoti trikampio plotą per vieno iš mažųjų trikampių plotą ir padidinti šį skaičių 6 kartus.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešaisiais interesais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Įrodymas. Įrodykime, kad medianos AA 1 ir CC 1 susikirtimo taške M dalijasi iš santykio 2:1. Teorema. Trikampio medianos susikerta viename taške ir tame taške dalijasi santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnių. Tegu D yra atkarpos BA 1 vidurio taškas. Tada C 1 D yra trikampio ABA 1 vidurio linija. Todėl tiesės AA 1 ir C 1 D yra lygiagrečios. Kadangi CA 1:A 1 D = 2:1, tai pagal proporcingų atkarpų teoremą gauname: CM:MC 1 = 2:1. Panašiai įrodyta, kad medianos BB 1 ir CC 1 susikirtimo taške dalijasi santykiu 2:1. Tai reiškia, kad visos medianos susikerta viename taške ir šiame taške yra padalintos santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnių. Trikampio medianos

BC, tada mediana CM guli arčiau AC pusės, t.y. kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. Trikampiai AMD" title="(!LANG:Įrodykite, kad jei trikampio ABC kraštinės tenkina nelygybę AC > BC, tai mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t.y. kampas ACM yra mažesnis už kampą BCM. 1 pratimas Įrodymas Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM trikampiams AMD" class="link_thumb"> 2 !}Įrodykite, kad jei trikampio ABC kraštinės tenkina nelygybę AC > BC, tai mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t.y. kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. Trikampiai AMD ir BMC yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų. Todėl AD = BC. Kadangi priešais mažesnę trikampio kraštinę yra mažesnis kampas, kampas ACD yra mažesnis nei kampas ADC. Taigi kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. BC, tada mediana CM guli arčiau AC pusės, t.y. kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. Trikampiai AMD "> BC, tada mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t. y. kampas ACM yra mažesnis už kampą BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame atkarpą MD, lygią CM. Trikampiai AMD ir BMC yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų.Todėl AD = BC.Kadangi yra mažesnis kampas priešais mažesnę trikampio kraštinę, tai kampas ACD yra mažesnis už kampą ADC.Todėl kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. "> BC, tada mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t.y. kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. Trikampiai AMD" title="(!LANG:Įrodykite, kad jei trikampio ABC kraštinės tenkina nelygybę AC > BC, tai mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t.y. kampas ACM yra mažesnis už kampą BCM. 1 pratimas Įrodymas Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM trikampiams AMD"> title="Įrodykite, kad jei trikampio ABC kraštinės tenkina nelygybę AC > BC, tai mediana CM yra arčiau kraštinės AC, t.y. kampas ACM yra mažesnis nei kampas BCM. 1 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. AMD trikampiai"> !}

Įrodykite, kad trikampio ABC mediana CM yra mažesnė už pusę kraštinių AC ir BC sumos. 2 pratimas Įrodymas. Tęsiame medianą CM ir atidedame segmentą MD, lygų CM. Trikampiai AMD ir BMC yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų. Todėl AD = BC. Dėl trikampio nelygybės kraštinė CD yra mažesnė už kraštinių AC ir AD sumą. Vadinasi, trikampio ABC mediana CM yra mažesnė nei pusė kraštinių AC ir BC sumos.

Įrodymas išplaukia iš to, kad apskritimo, apibrėžto apie statųjį trikampį, centras yra hipotenuzės vidurio taškas. Įrodykite, kad stačiojo trikampio, nubrėžto iš stačiojo kampo viršūnės, mediana yra lygi pusei hipotenuzės. 4 pratimas

Tegu trikampyje ABC AB = c, AC = b, BC = a. Įrodykite, kad medianai m c, nubrėžtai iš viršūnės C, galioja formulė. Įrodymas. Pagal kosinuso teoremą, taikomą trikampiams ACD ir BCD, turime: Sudėję šias lygybes, gauname lygybę, iš kurios tiesiogiai išplaukia norima formulė. 5 pratimas

Trikampio ABC plotas lygus 1. Raskite plotą trikampio, kurio kraštinės lygios trikampio ABC medianoms. 10 pratimas Sprendimas. Atkarpos MC 1 tęsinyje atidedame jai lygią atkarpą C 1 D. Trikampio ADM kraštinės lygios dviem trečdaliams medianų, o plotas – vienam trečdaliui. Todėl trikampio, kurio kraštinės yra lygios trikampio ABC medianoms, plotas yra trys ketvirtadaliai. Atsakymas. 0,75.

Teorema. Trikampio kampo pusiausvyra padalija priešingą kraštinę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms. Trikampio pusiausvyros įrodymas. Tegu CD yra trikampio ABC pusiausvyra. Įrodykime, kad AD: DB = AC: BC. Nubrėžkite tiesę BE lygiagrečiai CD. Trikampyje BEC kampas B lygus kampui E. Todėl BC = EC. Pagal proporcingų atkarpų teoremą AD: DB = AC: CE = AC: BC.

Tegu trikampyje ABC AC = b, BC = a. Įrodykite, kad iš viršūnės C nubrėžta pusiaukraštinė l c tenkina formulę, kur c, c yra atkarpos, į kurias pusiaukampė dalija kraštinę AB. Įrodymas. Pagal kosinuso teoremą, taikomą trikampiams ACD ir BCD, turime: Pirmąją lygybę padauginkite iš c, antrąją iš c ir sudėkite gautas lygybes. Atlikdami vienodus transformavimus, gauname lygybę. 3 pratimas

Įrodykite, kad trikampio kampo bisektorius padalija jo plotą į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms. Įrodymas. Trikampiai AC 1 C ir BC 1 C turi bendrą aukštį, nubrėžtą iš viršūnės C, o kraštinės AC 1 ir BC 1 yra susijusios kaip kraštinės AC ir BC. Todėl trikampių AC 1 C ir BC 1 C plotai yra susiję kaip AC ir BC kraštinės. 8 pratimas

Tegu trikampyje ABC AB = c, AC = b, BC = a. Įrodykite, kad pusiausvyra CC 1 dalijasi iš santykio (a+b):c, skaičiuojant nuo viršūnės, sankirtos taško. 10 pratimas Įrodymas. Nubrėžkite tiesę C 1 C lygiagrečią AA 1. Tada A 1 C: CB = AC 1: C 1 B = b: a. Tegu A 1 C = bx, CB = ax. Kadangi CA 1: A 1 B = b: c, tada CA 1: A 1 C = b(a+b)x/c. Todėl CO: OC 1 = (a + b)/c.

Trikampio aukščiai Teorema. Stačiame trikampyje statmenas, nuleistas iš statmeno kampo į hipotenuzę, yra kojų projekcijų į hipotenuzą geometrinis vidurkis. (Dviejų teigiamų skaičių a ir b geometrinis vidurkis yra teigiamas skaičius c, kurio kvadratas lygus ab, t. y. c =). Įrodymas. Trikampiai ADC ir CDB yra panašūs. Todėl arba CD 2 = AD BD, t.y. CD yra AD ir BD geometrinis vidurkis.

5 pratimas Trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai AA 1 ir BB 1. Įrodykite, kad kampai A 1 AC ir B 1 BC yra lygūs. Įrodymas. Per taškus A 1 ir B 1 eis apskritimas, kurio skersmuo AB. Įbrėžti kampai A 1 AC ir B 1 BC remiasi tuo pačiu lanku AB 1. Todėl jie yra lygūs. Kampų lygybei įrodyti galima būtų panaudoti tai, kad šių kampų kraštinės yra statmenos.

6 pratimas Trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai AA 1 ir BB 1. Įrodykite, kad kampai AA 1 B 1 ir ABB 1 yra lygūs. Įrodymas. Per taškus A 1 ir B 1 eis apskritimas, kurio skersmuo AB. Įbrėžti kampai AA 1 B 1 ir ABB 1 remiasi tuo pačiu lanku AB 1. Todėl jie yra lygūs.

7 pratimas Trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai AA 1 ir BB 1. Įrodykite, kad kampai BAC ir B 1 A 1 C yra lygūs. Įrodymas. Kampas BAC lygus 90 o atėmus kampą ABB 1. Kampas B 1 A 1 C lygus 90 o atėmus kampą AA 1 B 1. Kadangi kampai AA 1 B 1 ir ABB 1 yra lygūs (žr. ankstesnį uždavinį), tai kampai BAC ir B 1 A 1 C.

8 pratimas Trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai AA 1 ir BB 1. Įrodykite, kad trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C. Įrodymas. Kampai BAC ir B 1 A 1 C yra lygūs (žr. ankstesnę užduotį). Trikampių ABC ir A 1 B 1 C kampas C yra bendras. Todėl šie trikampiai yra panašūs dviem kampais.

11 pratimas Teorema. Apskritimo, įbrėžto į trikampį, spinduliui r formulė, kur h a, h b, h c yra trikampio aukščiai. Įrodymas. Tegu trikampio ABC kraštinės yra a, b, c. Trikampio plotui S vyksta lygybės: Iš to seka reikiama formulė.

12 pratimas Įrodykite, kad taškai, simetriški trikampio aukščių susikirtimo taškai jo kraštinių atžvilgiu, yra apskritime, apibrėžtame apie šį trikampį. Įrodymas. Taškui C, simetriškam trikampio ABC aukščių sankirtos taškui H, turime Todėl taškas C priklauso apibrėžtajam apskritimui. Panašiai ir kiti du simetriški taškai priklauso apibrėžtajam apskritimui.

1 apskritimas teorema 1. Kampas su viršūne apskritimo viduje matuojamas puse lankų, į kuriuos remiasi nurodytas kampas ir vertikalus kampas su juo, sumos. Įrodymas. Apsvarstykite kampą ACB su viršūne C apskritimo viduje ir taškais A ir B apskritime. Tegul A 1, B 1 yra susikirtimo taškai su jam vertikalių kampų kraštinių apskritimu. Nubrėžkime stygą BB 1. Kampas DAB yra trikampio B 1 CB išorinis kampas. Todėl ACB = AB 1 B + B 1 BA 1. Kampai dešinėje lygybės pusėje matuojami atitinkamų lankų puselėmis, o tai užbaigia įrodymą.

2 apskritimas 2 teorema. Kampas tarp apskritimo liestinės ir stygos, nubrėžtos per liesties tašką, matuojamas puse apskritimo lanko, esančio šiame kampe. Įrodymas. Tegu kampą ACB sudaro apskritimo liestinė AC ir styga BC. Jei šis kampas yra stačiakampis, tada BC yra apskritimo skersmuo, todėl kampas ACB matuojamas puse šiame kampe esančio puslankio lanko. Jei kampas ACB smailus, nubrėžkite skersmens CD. Mes turime ACB = ACD - BCD. Kampas ACD matuojamas puse apskritimo lanko CBD. Kampas BCD matuojamas puse apskritimo lanko BD. Todėl jų skirtumas (kampas ACB) matuojamas puse apskritimo lanko CB, esančio šiame kampe. Apsvarstykite patys buko kampo atvejį.

3 apskritimas 3 teorema. Kampas su viršūne, esančia už apskritimo, kurios kraštinės kerta apskritimą, matuojamas apskritimo lankų, uždengtų šiame kampe, pusės skirtumu. Įrodymas. Apsvarstykite kampą ACB su viršūne C už apskritimo ribų ir taškais A ir B apskritime. Tegul A 1, B 1 yra susikirtimo taškai su kraštinių AC ir BC apskritimu. Nubrėžkite stygą AB 1. Kampas AB 1 B yra išorinis trikampio AB 1 C kampas. Todėl ACB = AB 1 B – B 1 AA 1. Kampai dešinėje lygybės pusėje matuojami atitinkamos pusės puselėmis. lankai, o tai užbaigia įrodymą.

4 apskritimas 4 teorema. Bet kurios stygos, nubrėžtos per vidinį apskritimo tašką, atkarpų sandauga yra lygi skersmens atkarpų, nubrėžtų per tą patį tašką, sandauga. Įrodymas. Tegul apskritimas, kurio centras yra taške O, styga AB ir skersmuo CD susikerta taške E. Įrodykime, kad trikampiai ACE ir DBE yra panašūs. Todėl tai reiškia

21 pratimas Raskite taškų, iš kurių tam tikru kampu matoma duotoji atkarpa AB, lokusą, tai yra taškai C, kurių kampas DAB lygus duotam kampui. Atsakymas: Dviejų vienodo spindulio apskritimų lankai, remiantis atkarpa AB, be taškų A ir B.

23 pratimas Atsakymas: a) GMT, esantis už apskritimo, kurio skersmuo AB ir nepriklausantis tiesei AB; Duotiems taškams A ir B raskite taškų C vietą, kurios kampas DAB yra: a) smailusis; b) kvailas. b) GMT, esantis apskritimo, kurio skersmuo AB, viduje ir nepriklausantis atkarpai AB.

26 pratimas Tegul AC ir BD yra apskritimo stygos, susikertančios taške E. Įrodykite, kad trikampiai ABE ir CDE yra panašūs. Įrodymas: trikampio ABE kampas A lygus trikampio CDE kampui D, kaip įbrėžtieji kampai, pagrįsti vienu apskritimo lanku. Panašiai kampas B lygus kampui C. Todėl trikampiai ABE ir CDE yra panašūs pagal pirmąjį kriterijų.

31 pratimas Atsakymas: DEK ir DLF, DEK ir ELK, DLF ir ELK, DFK ir DLE, DFK ir FLK, DLE ir FLK. Paveiksle DL yra trikampio DEF, įbrėžto į apskritimą, pusiausvyra. DL kerta apskritimą taške K, kuris tiesių atkarpomis sujungtas su trikampio viršūnėmis E ir F. Raskite panašius trikampius.

32 pratimas Atsakymas: ABH ir ADC, ACH ir ADB, ABM ir CDM, BMD ir AMC. Smailiojo kampo trikampis ABC įbrėžtas į apskritimą, AH – jo aukštis, AD – apskritimo, kertančio kraštinę BC taške M, skersmuo. Taškas D sujungtas su trikampio viršūnėmis B ir C. Raskite panašius trikampius.

33 pratimas Per išorinį apskritimo tašką E nubrėžtos dvi tiesės, kurios kerta apskritimą atitinkamai taškuose A, C ir B, D. Įrodykite, kad trikampiai ADE ir BCE yra panašūs. Įrodymas: trikampio ADE kampas D lygus trikampio BCE kampui C, kaip įbrėžtieji kampai, pagrįsti vienu apskritimo lanku. Šių trikampių kampas E yra bendras. Todėl trikampiai ADE ir BCE pirmoje savybėje yra panašūs.

34 pratimas Per išorinį apskritimo tašką E nubrėžiamos dvi tiesės, kertančios apskritimą atitinkamai taškuose A, C ir B, D. Įrodykite, kad AE·CE = BE·DE. Įrodymas: trikampiai ADE ir BCE yra panašūs. Taigi AE: DE = BE: CE. Todėl AE CE = BE DE.
36 pratimas Per išorinį apskritimo tašką E nubrėžiama tiesė, kertanti apskritimą taškuose A ir B, ir liestinė EC (C yra liestinės taškas). Įrodykite, kad trikampiai EAC ir ECB yra panašūs. Įrodymas. Trikampiai EAC ir ECB turi bendrą kampą E. Kampai ACE ir CBE yra lygūs, kaip ir kampai, pagrįsti ta pačia styga. Taigi trikampiai EAC ir ECB yra panašūs.
78 Tiesė liečia R ir r spindulių apskritimus taškuose A ir B. Yra žinoma, kad atstumas tarp apskritimų centrų yra a ir r

Į 25 spindulio apskritimą įbrėžta trapecija, kurios pagrindai yra 14 ir 40. Raskite trapecijos aukštį. Sprendimas. Tegu ABCD yra trapecija, įbrėžta į apskritimą, kurio centras O ir spindulys 25. Galimi du atvejai: trapecijos pagrindai AB ir CD yra toje pačioje centro O pusėje, pagrindai AB ir CD yra priešingose pusėse. centro O. Pirmuoju atveju (1 pav.) per tašką O nubrėžkite tiesę, statmeną AB, ir pažymėkite P, Q jos susikirtimo taškus su AB ir CD atitinkamai. Tada trapecijos aukštis PQ lygus OQ – OP. Turime OQ = OP = Todėl PQ = 9. Antruoju atveju (2 pav.) per tašką O brėžiame tiesę, statmeną AB, ir pažymime P, Q jos susikirtimo taškus su AB ir CD atitinkamai. Tada trapecijos aukštis PQ lygus OQ + OP. Turime OQ = OP = Taigi, PQ = 39. Atsakymas. 9 arba 39. 39 pratimas

Apskritimai, kurių centrai O 1 ir O 2, susikerta taškuose A ir B. Yra žinoma, kad kampas AO 1 B lygus 90 o, kampas AO 2 B lygus 60 o, O 1 O 2 = a. Raskite apskritimų spindulius. Sprendimas. Galimi du atvejai: taškai O 1, O 2 yra priešingose tiesės AB pusėse, taškai O 1, O 2 yra toje pačioje AB tiesės pusėje. Pažymime r apskritimo, kurio centras yra O 1, spindulį. Tada apskritimo, kurio centras yra O 2, spindulys bus lygus. P pažymėkite tiesių O 1 O 2 ir AB susikirtimo tašką. Tada O 1 P =, O 2 P =. Pirmuoju atveju (1 pav.) ir todėl Antruoju atveju (2 pav.) ir todėl atsakymas. arba 40 pratimas

Apskritimas, kurio centras yra O, apibrėžiamas šalia trikampio ABC, kampas AOC yra 60°. Į trikampį ABC įrašytas apskritimas, kurio centras M. Raskite kampą AMC. Pirmuoju atveju (1 pav.) trikampio ABC kampų A ir C suma lygi 150 o. Kadangi AM ir CM yra šių kampų pusiausvyros, kampų CAM ir ACM suma yra 75°, todėl kampas AMC yra 105°. Atsakymas. 105 apie arba 165 apie. Sprendimas. Yra dvi galimos trikampio ABC viršūnės B vietos. Antruoju atveju (2 pav.) trikampio ABC kampų A ir C suma lygi 30 o. Kadangi AM ir CM yra šių kampų pusiausvyros, kampų CAM ir ACM suma yra 15°, todėl kampas AMC yra 165°. 41 pratimas

Trikampis ABC įbrėžtas į 12 spindulio apskritimą. Yra žinoma, kad AB = 6 ir BC = 4. Raskite AC. Sprendimas. Pagal sinuso teoremą Iš kur Galimi du trikampio ABC viršūnės C vietos atvejai. Numeskime statmeną BH į tiesę AC. Tada BH = ABsinA = 1. Pagal Pitagoro teoremą AH = CH = Pirmuoju atveju (1 pav.) AC = Antruoju atveju (2 pav.) AC = Atsakymas. arba 42 pratimas

Tiesės, kuriose yra trikampio ABC aukščiai, susikerta taške H. Yra žinoma, kad CH = AB. Raskite kampą ACB. Pirmuoju atveju (1 pav.) kampas C yra lygus kampui CAA 1, kaip įrašyti kampai, pagrįsti vienodais lankais. Todėl kampas C yra 45 o. Antruoju atveju (2 pav.) kampas C lygus 135 o. Atsakymas. 45 apie arba 135 apie. Sprendimas. Tegu AA 1, BB 1 yra trikampio ABC aukščiai. Mes aprašome apskritimus CH ir AB kaip skersmenis. Jie eis per taškus A 1 ir B 1. Yra dvi galimos taško H vietos. 43 pratimas

Trikampyje ABC nubrėžtos aukščiai BB 1 ir CC 1, O yra įbrėžto apskritimo centras. Yra žinoma, kad BC = 24, B 1 C 1 = 12. Raskite trikampio BOC apskritimo spindulį R. Sprendimas. Yra du atkarpos B 1 C 1 padėties atvejai. BC, kaip ir skersmenyje, aprašome apskritimą, kurio centras yra P. Trikampis B 1 C 1 P yra lygiakraštis. Todėl kampų BPB 1 ir CPC 1 suma yra 120 o. Pirmuoju atveju (1 pav.) trikampiai BPC 1 ir CPB 1 yra lygiašoniai. Todėl kampų B ir C suma lygi 120 o. Kadangi BO ir CO yra bisektoriai, kampas BOC yra 120°. Pagal sinuso teoremą randame R =. Antruoju atveju (2 pav.) kampų B ir C suma lygi 60 o. Kadangi BO ir CO yra pusiausvyros, kampas BOC yra 150°. Pagal sinuso teoremą randame R \u003d 24. Atsakymas. arba 24. 44 pratimas