Problemos nėštumo metu 

„Monty Hall“ paradoksas nėra loginis galvosūkis silpnaširdžiams. Monty Hall paradoksas

Gaila tų žmonių, kurie nemoka programuoti bent Excel formulių lygiu! Pavyzdžiui, jiems visada atrodys, kad tikimybių teorijos paradoksai yra matematikų, kurie nesugeba suprasti realaus gyvenimo, užgaidos. Tuo tarpu tikimybių teorija tik modeliuoja realius procesus, o žmogaus mintis dažnai negali iki galo suvokti, kas vyksta.

Paimkime Monty Hall paradoksą, štai jo formuluotė iš rusiškos Vikipedijos:

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

(Tuo pačiu žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:
  1. automobilis taip pat gali būti pastatytas už bet kurių iš 3 durų;
  2. bet kuriuo atveju šeimininkas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą;
  3. jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš 2 durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su tokia pačia tikimybe)

Iš pirmo žvilgsnio šansai neturėtų keistis (atsiprašau, man tai nebėra paradoksas ir nebesugalvoju neteisingo paaiškinimo, kodėl koeficientai nepasikeis, kas iš pirmo žvilgsnio atrodytų logiška).

Paprastai šio paradokso pasakotojai pradeda leistis į sudėtingus samprotavimus arba bombarduoja skaitytoją formulėmis. Bet jei mokate nors šiek tiek programuoti, jums to nereikia. Galite vykdyti modeliavimo eksperimentus ir pamatyti, kaip dažnai laimite ar pralaimite naudodami tam tikrą strategiją.

Tiesą sakant, kas yra tikimybė? Kai jie sako „naudojant šią strategiją, tikimybė laimėti yra 1/3“ - tai reiškia, kad jei atliksite 1000 eksperimentų, laimėsite maždaug 333 iš jų. Kitaip tariant, „1 iš 3“ tikimybė yra vienas iš trijų eksperimentų. „Tikimybė 2/3“ yra lygiai tokia pati dviem atvejais iš trijų.

Taigi atlikime Monty Hall eksperimentą. Vienas eksperimentas nesunkiai telpa vienoje Excel lentelės eilutėje: štai (failą verta atsisiųsti, kad pamatytumėte formules), čia pateiksiu aprašymą stulpeliais:

A. Eksperimento numeris (patogumui)

B. Sugeneruojame atsitiktinį sveikąjį skaičių nuo 1 iki 3. Tai bus durys, už kurių paslėptas automobilis

C-E. aiškumo dėlei į šias kameras įdėjau „ožius“ ir „automobilius“.

F. Dabar parenkame atsitiktines duris (tiesą sakant, visada galite rinktis tas pačias duris, nes jau yra pakankamai atsitiktinumo renkantis duris automobiliui modeliui - patikrinkite!)

G. Dabar šeimininkas pasirenka duris iš likusių dviejų, kad jas jums atidarytų

H. Ir čia svarbiausia: neatidaro durelių, už kurių važiuoja mašina, o jei iš pradžių rodei į duris su ožiu, tai atidaro kitas tik įmanomas duris su ožiu! Tai jo patarimas jums.

I. Na, o dabar paskaičiuokime tikimybę. Kol nepakeisime durų – t.y. skaičiuokime atvejus, kai stulpelis B lygus stulpeliui F. Tebūnie „1“ – laimėjo, o „0“ – pralaimėjo. Tada langelių suma (ląstelė I1003) yra laimėjimų skaičius. Turėtumėte gauti skaičių, artimą 333 (iš viso atliekame 1000 eksperimentų). Iš tiesų, rasti automobilį už kiekvienos iš trijų durų yra gana tikėtinas įvykis, o tai reiškia, kad pasirinkus vienas duris, galimybė atspėti yra vienas iš trijų.

J. Neužteks! Pakeiskime savo pasirinkimą.

K. Panašiai: „1“ – pergalė, „0“ – pralaimėjimas. Ir kokia suma? O suma yra skaičius lygus 1000 atėmus skaičių iš langelio I1003, t.y. arti 667. Ar tai jus nustebina? Bet ar galėjo nutikti dar kažkas? Juk kitų uždarų durų nėra! Jei iš pradžių pasirinktos durys jus laimi 333 kartus iš 1000, tai kitos durys turėtų laimėti kas antrą kartą!


Ar tu dabar mane supranti, kodėl aš čia nematau paradokso? Jei yra dvi ir tik dvi viena kitą paneigiančios strategijos, o viena duoda atsipirkimą su tikimybe p, tai kita turi duoti atsipirkimą su tikimybe 1-p, koks čia paradoksas?

Jei jums patiko šis įrašas, dabar pabandykite sukurti panašų failą berniukų ir mergaičių paradoksui tokia formuluote:

P. Smithas yra dviejų vaikų tėvas. Sutikome jį einant gatve su mažu berniuku, kurį jis išdidžiai mums pristatė kaip savo sūnų. Kokia tikimybė, kad kitas pono Smitho vaikas taip pat yra berniukas?

Linkėjimai iš saulėtojo Vietnamo! :) Ateik dirbti su mumis! :)

Žmonės yra įpratę pripažinti, kad tai, kas akivaizdu, yra teisinga. Dėl šios priežasties jie dažnai patenka į bėdą, neteisingai vertina situaciją, pasitiki savo intuicija ir neskirdami laiko kritiškai apmąstyti savo pasirinkimą ir jo pasekmes.

Monty aiškiai iliustruoja žmogaus nesugebėjimą pasverti savo sėkmės šansų pasirenkant palankų rezultatą, esant daugiau nei vienam nepalankiam.

Monty Hall paradokso formuluotė

Taigi, kas yra šis gyvūnas? Apie ką tiksliai mes kalbame? Žymiausias Monty Hall paradokso pavyzdys – praėjusio amžiaus viduryje Amerikoje išpopuliarėjusi televizijos laida „Padarykime lažybas!“. Beje, būtent šios viktorinos vedėjo dėka Monty Hall paradoksas vėliau gavo savo pavadinimą.

Žaidimą sudarė taip: dalyviui buvo parodytos trys visiškai vienodai atrodančios durys. Tačiau už vieno iš jų žaidėjo laukė brangus naujas automobilis, o už kitų dviejų nekantriai merdėjo ožka. Kaip dažniausiai būna TV viktorinose, tai, kas buvo už konkurso dalyvio pasirinktų durų, tapo jo laimėjimu.

Kokia gudrybė?

Tačiau ne viskas taip paprasta. Pasirinkus, vedėjas, žinodamas, kur paslėptas pagrindinis prizas, atidarė vienas iš likusių dvejų durų (žinoma, už kurių slypėjo artiodaktilis), o tada paklausė žaidėjo, ar jis nori persigalvoti.

1990 m. mokslininkų suformuluotas Monty Hall paradoksas yra tas, kad, priešingai nuojautai, kad nėra jokio skirtumo priimant pagrindinį sprendimą remiantis klausimu, reikia sutikti pakeisti savo pasirinkimą. Žinoma, jei norite įsigyti puikų automobilį.

Kaip tai veikia?

Yra keletas priežasčių, kodėl žmonės nenori atsisakyti savo pasirinkimo. Intuicija ir paprasta (bet neteisinga) logika sako, kad nuo šio sprendimo niekas nepriklauso. Be to, ne visi nori sekti kito pavyzdžiu – tai tikra manipuliacija, ar ne? Ne ne taip. Bet jei viskas būtų iš karto intuityviai aišku, tada jie to nepavadintų. Nėra nieko keisto, jei kyla abejonių. Kai šis galvosūkis pirmą kartą buvo paskelbtas viename iš pagrindinių žurnalų, tūkstančiai skaitytojų, tarp jų ir pripažinti matematikai, išsiuntė laiškus redaktoriui, teigdami, kad numeryje išspausdintas atsakymas nėra teisingas. Jeigu į laidą patekusiam žmogui tikimybių teorijos egzistavimas nebūtų naujiena, tai galbūt jam pavyktų išspręsti šią problemą. Ir taip padidinkite tikimybę laimėti. Tiesą sakant, Monty Hall paradokso paaiškinimas priklauso nuo paprastos matematikos.

Pirmasis paaiškinimas yra sudėtingesnis

Tikimybė, kad prizas yra už iš pradžių pasirinktų durų, yra viena iš trijų. Tikimybė jį rasti už vieno iš dviejų likusių yra dvi iš trijų. Logiška, tiesa? Dabar, kai atidaromos vienos iš šių durų ir už jos randama ožka, antrajame komplekte lieka tik vienas variantas (tas, kuris atitinka 2/3 sėkmės tikimybės). Šios parinkties vertė išlieka ta pati ir yra lygi dviems iš trijų. Taigi tampa akivaizdu, kad pakeitęs savo sprendimą žaidėjas padvigubins tikimybę laimėti.

Paaiškinimas numeris du, paprastesnis

Po tokio sprendimo aiškinimo daugelis vis dar tvirtina, kad tokiame pasirinkime nėra prasmės, nes yra tik du variantai ir vienas iš jų tikrai laimi, o kitas neabejotinai veda į pralaimėjimą.

Tačiau tikimybių teorija turi savo požiūrį į šią problemą. Ir tai tampa dar aiškiau, jei įsivaizduosime, kad iš pradžių buvo ne trys durys, o, tarkime, šimtas. Šiuo atveju galimybė atspėti kur prizas, pirmą kartą, yra tik nuo vieno iki devyniasdešimt devynių. Dabar dalyvis pasirenka, o Monty pašalina devyniasdešimt aštuonias ožkų duris, palikdamas tik dvi, iš kurių vieną pasirinko žaidėjas. Taigi, iš pradžių pasirinkus variantą, tikimybė laimėti yra 1/100, o antrasis siūlomas variantas yra 99/100. Pasirinkimas turėtų būti akivaizdus.

Ar yra atsikirtimų?

Atsakymas paprastas: ne. Nėra nei vieno pakankamai pagrįsto Monty Hall paradokso paneigimo. Visi „atskleidimai“, kuriuos galima rasti internete, yra susiję su neteisingu matematikos ir logikos principų supratimu.

Visiems, kurie gerai išmano matematinius principus, tikimybių neatsitiktiškumas yra visiškai akivaizdus. Su jais gali nesutikti tik tie, kurie nesupranta, kaip veikia logika. Jei visa tai, kas pasakyta, vis dar skamba neįtikinamai – paradokso pagrindimas buvo patikrintas ir patvirtintas garsiojoje „MythBusters“ programoje, o kuo kitu tikėti, jei ne jais?

Galimybė įsitikinti

Gerai, skambėsim įtikinamai. Bet tai tik teorija, ar galima kaip nors į šio principo veikimą pažvelgti ne tik žodžiais, bet ir veiksmais? Pirma, niekas neatšaukė gyvų žmonių. Susiraskite partnerį, kuris imsis lyderio vaidmens ir padės jums realiai atlikti minėtą algoritmą. Patogumui galite pasiimti dėžutes, dėžutes ar net piešti ant popieriaus. Pakartoję procesą keliasdešimt kartų, palyginkite laimėjimų skaičių pasikeitus pirminiam pasirinkimui su tuo, kiek laimėjimų atnešė užsispyrimo, ir viskas paaiškės. Ir jūs galite tai padaryti dar lengviau ir naudotis internetu. Internete yra daugybė Monty Hall paradokso simuliatorių, kuriuose galite viską patikrinti patys ir be nereikalingų rekvizitų.

Kokia šių žinių nauda?

Gali atrodyti, kad tai tik dar vienas galvosūkis, skirtas įtempti smegenis, ir jis tarnauja tik pramoginiais tikslais. Tačiau Monty Hall paradoksas randa savo praktinį pritaikymą pirmiausia azartiniuose lošimuose ir įvairiuose loterijose. Tie, kurie turi didelę patirtį, puikiai žino įprastas strategijas, kaip padidinti tikimybę rasti vertės statymą (iš angliško žodžio value, kuris pažodžiui reiškia „vertė“ – tokia prognozė išsipildys su didesne tikimybe, nei įvertino lažybų agentai) . Ir viena iš tokių strategijų tiesiogiai įtraukia Monty Hall paradoksą.

Pavyzdys dirbant su krepšiu

Sportinis pavyzdys mažai skirsis nuo klasikinio. Tarkime, iš pirmojo diviziono yra trys komandos. Per artimiausias tris dienas kiekviena iš šių komandų turi sužaisti po vienerias lemiamas rungtynes. Tas, kuris rungtynių pabaigoje surinks daugiau taškų nei kiti du, liks pirmame divizione, o likusieji bus priversti jį palikti. Bukmekerių pasiūlymas paprastas: reikia statyti už vieno iš šių futbolo klubų pozicijų išsaugojimą, o statymų koeficientai yra vienodi.

Patogumo dėlei priimamos tokios sąlygos, kurioms esant atrankoje dalyvaujančių klubų varžovai yra maždaug vienodo stiprumo. Taigi iki žaidimų pradžios vienareikšmiškai nustatyti favorito nepavyks.

Čia reikia prisiminti istoriją apie ožius ir automobilį. Kiekviena komanda turi galimybę likti savo vietoje vienu atveju iš trijų. Išrenkamas bet kuris iš jų, ant jo atliekamas statymas. Tebūnie tai „Baltika“. Pagal pirmosios dienos rezultatus vienas iš klubų pralaimi, o du dar turi žaisti. Tai ta pati „Baltika“ ir, tarkime, „Shinnik“.

Didžioji dalis išsaugos pradinį akcijų paketą – „Baltika“ liks pirmajame divizione. Tačiau reikia atsiminti, kad jos šansai išliko tokie patys, tačiau „Shinnik“ šansai padvigubėjo. Todėl logiška padaryti kitą, didesnį statymą dėl „Shinnik“ pergalės.

Ateina kita diena, o rungtynės su „Baltika“ dalyvauja lygiosiomis. Toliau žaidžia „Shinnik“, kurio žaidimas baigiasi pergale 3:0. Pasirodo, jis liks pirmajame divizione. Todėl, nors pirmasis statymas už „Baltika“ yra pralaimėtas, šis nuostolis padengiamas iš naujo „Shinnik“ statymo pelno.

Galima manyti, ir dauguma taip elgsis, kad „Shinnik“ laimėjimas tėra atsitiktinumas. Tiesą sakant, tikimybės pavertimas atsitiktinumu yra didžiausia sporto loterijose dalyvaujančio žmogaus klaida. Juk profesionalas visada sakys, kad bet kokia tikimybė pirmiausia išreiškiama aiškiais matematiniais šablonais. Jei žinote šio požiūrio pagrindus ir visus su juo susijusius niuansus, pinigų praradimo rizika bus sumažinta iki minimumo.

Naudingumas prognozuojant ekonominius procesus

Taigi sporto lažybose Monty Hall paradoksą žinoti tiesiog būtina. Tačiau jo taikymo sritis neapsiriboja vienu loteriju. Tikimybių teorija visada glaudžiai susijusi su statistika, todėl politikoje ir ekonomikoje paradokso principų supratimas yra ne mažiau svarbus.

Ekonominio neapibrėžtumo sąlygomis, su kuriomis dažnai susiduria analitikai, reikėtų prisiminti tokią išvadą, kylančią iš problemos sprendimo: nebūtina tiksliai žinoti vienintelio teisingo sprendimo. Sėkmingos prognozės tikimybė visada padidėja, jei žinote, kas tiksliai nenutiks. Tiesą sakant, tai pati naudingiausia išvada iš Monty Hall paradokso.

Kai pasaulis atsidūrė ant ekonominių sukrėtimų slenksčio, politikai visada stengiasi atspėti teisingą veiksmų kryptį, siekdami sumažinti krizės pasekmes. Grįžtant prie ankstesnių pavyzdžių, ekonomikos srityje užduotį galima apibūdinti taip: prieš šalių vadovus – trejos durys. Vienas veda į hiperinfliaciją, antras – į defliaciją, trečias – į trokštamą nuosaikų ekonomikos augimą. Bet kaip rasti teisingą atsakymą?

Politikai tvirtina, kad vienaip ar kitaip jų veiksmai paskatins daugiau darbo vietų ir ekonomikos augimą. Tačiau pirmaujantys ekonomistai, patyrę žmonės, tarp kurių net ir Nobelio premijos laureatai, jiems aiškiai demonstruoja, kad vienas iš šių variantų tikrai nepasieks norimo rezultato. Ar po to politikai pakeis savo pasirinkimą? Tai mažai tikėtina, nes šiuo požiūriu jie nedaug skiriasi nuo tų pačių televizijos laidos dalyvių. Todėl, padidėjus patarėjų skaičiui, klaidų tikimybė tik didės.

Ar tai išsemia informaciją šia tema?

Tiesą sakant, kol kas čia buvo svarstoma tik „klasikinė“ paradokso versija, tai yra situacija, kai vedėjas tiksliai žino, už kurių durų yra prizas, ir duris atidaro tik su ožiu. Tačiau yra ir kitų lyderio elgesio mechanizmų, nuo kurių priklausys algoritmo principas ir jo vykdymo rezultatas.

Vadovo elgesio įtaka paradoksui

Taigi, ką vadovas gali padaryti, kad įvykių eiga pasikeistų? Turėkime įvairių variantų.

Vadinamasis „Devil Monty“ yra situacija, kai šeimininkas visada pasiūlys žaidėjui pakeisti savo pasirinkimą, jei jis iš pradžių buvo teisus. Tokiu atveju sprendimo pakeitimas visada sukels pralaimėjimą.

Priešingai, „Angelic Monty“ vadinamas panašiu elgesio principu, tačiau tuo atveju, jei žaidėjo pasirinkimas iš pradžių buvo neteisingas. Logiška, kad tokioje situacijoje sprendimo pakeitimas atves į pergalę.

Jei šeimininkas duris atidaro atsitiktinai, neįsivaizduodamas, kas slypi už kiekvienos iš jų, tada tikimybė laimėti visada bus lygi penkiasdešimčiai procentų. Šiuo atveju už atidarytų priekinių durų gali būti ir automobilis.

Šeimininkas gali 100% atidaryti duris su ožiu, jei žaidėjas pasirinko automobilį, ir su 50% tikimybe, jei žaidėjas pasirinko ožką. Su šiuo veiksmų algoritmu, jei žaidėjas pakeis pasirinkimą, jis visada laimės vienu atveju iš dviejų.

Kai žaidimas kartojamas vėl ir vėl, o tikimybė, kad tam tikros durys laimės, visada yra savavališka (taip pat ir kokias duris atidarys šeimininkas, kol jis žino, kur slepiasi mašina, o duris visada atidaro su ožiuku ir pasiūlo pakeisti pasirinkimą) – šansas laimėti visada bus vienas iš trijų. Tai vadinama Nešo pusiausvyra.

Kaip ir tuo pačiu atveju, bet su sąlyga, kad šeimininkas iš viso neprivalo atidaryti vienos iš durų, tikimybė laimėti vis tiek bus 1/3.

Nors klasikinę schemą išbandyti gana lengva, praktiškai eksperimentuoti su kitais galimais lyderio elgesio algoritmais yra daug sunkiau. Tačiau eksperimentatoriaus kruopštumo dėka tai taip pat įmanoma.

Ir vis dėlto, kam visa tai?

Žmogui, jo smegenims labai naudinga suprasti bet kokių loginių paradoksų veikimo mechanizmus ir suprasti, kaip pasaulis iš tikrųjų gali veikti, kiek jo įtaisas gali skirtis nuo įprasto individo įsivaizdavimo apie jį.

Kuo daugiau žmogus žino, kaip veikia tai, kas jį supa kasdieniame gyvenime ir apie ką jis apskritai nėra įpratęs galvoti, tuo geriau veikia jo sąmonė, tuo jis gali būti efektyvesnis savo veiksmuose ir siekiuose.

Monty Hall paradoksas – viena iš žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Problema suformuluota kaip hipotetinio žaidimo aprašymas pagal amerikiečių televizijos laidą „Leisk sudaryti sandorį“ ir pavadintas šios laidos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:
Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą? Nors ši problemos formuluotė yra geriausiai žinoma, ji yra šiek tiek problemiška, nes palieka neapibrėžtas kai kurias svarbias problemos sąlygas. Toliau pateikiamas išsamesnis pareiškimas.
Spręsdami šią problemą, jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: šeimininkui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti jokios papildomos informacijos apie tai, už kurių durų yra automobilis, tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o pradinio durų pasirinkimo pakeitimas žaidėjui nesuteikia jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas. Jei šeimininkas visada žino, kokios durys yra už, visada atidaro likusias duris, kuriose yra ožka, ir visada ragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų, yra 1/3 ir , atitinkamai tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi pakeitus pradinį pasirinkimą padvigubėja žaidėjo šansai laimėti automobilį. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta problema vadinama Monty Hall paradoksu.

žodinis sprendimas
Teisingas atsakymas į šią problemą yra toks: taip, tikimybė laimėti automobilį padvigubėja, jei žaidėjas vadovaujasi šeimininko patarimu ir pakeičia pradinį pasirinkimą.
Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi iš karto atspėti duris, už kurių stovi automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių atsitrenks į duris su ožiu už jo (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį persigalvojęs, nes automobilis ir liko vienas ožys, o šeimininkas jau atidarė duris su ožiu.
Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas lieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjas paverčia savo pranašumu du kartus už likusią tikimybę, kad pradžioje neatspėjo teisingai.
Be to, intuityvus paaiškinimas gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis – žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis – papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes atidarius papildomas duris žaidėjas nesuteikia jokios naujos informacijos (žr. šį straipsnį).
Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje grupėje lieka dvi durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro šeimininkas, o antrąją – pats žaidėjas.
Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Suformuluok problemą iš naujo: Sąžiningas šeimininkas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pakviečia jį pirmiausia parodyti vienas iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris ( senąja formuluote, tai vadinama „nekeisk savo pasirinkimo“ arba atidarykite kitas dvi (senąja formuluote tai būtų tik „pakeisk pasirinkimą“. Pagalvokite, tai yra raktas į supratimą!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. Ir ta smulkmena, kad vadovas dar prieš pasirinkdamas veiksmą „parodė ožką“ nepadeda ir netrukdo rinktis, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir vadovas būtinai bet kada parodys. žaidimo metu, todėl žaidėjas gali ant šio ožio ir nežiūrėti. Žaidėjo reikalas, jei jis pasirinko antrąjį veiksmą, yra pasakyti „ačiū“ šeimininkui už tai, kad jis išgelbėjo jį nuo vargo pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o atidaryti kitas. Na, arba dar lengviau. Įsivaizduokime šią situaciją iš šeimininko, kuris panašią procedūrą atlieka su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas iš studijos išvažiuos nauju automobiliu.
Pagaliau pats „naiviausias“ įrodymas. Tas, kuris laikosi savo pasirinkimo, tebūna vadinamas „Užsispyrusiu“, o tas, kuris vykdo vadovo nurodymus, vadinasi „Dėmesingu“. Tada Laimi Užsispyrėlis, jei iš pradžių atspėjo automobilį (1/3), o Atidus – jei pirmas nepataikė ir atsitrenkė į ožką (2/3). Juk tik tokiu atveju jis paskui su mašina parodys į duris.
Raktai į supratimą
Nepaisant šio reiškinio paaiškinimo paprastumo, daugelis žmonių intuityviai tiki, kad žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą tikimybė laimėti nesikeičia. Paprastai neįmanoma pakeisti laimėjimo tikimybės motyvuojama tuo, kad skaičiuojant tikimybę praeityje įvykę įvykiai neturi reikšmės, kaip atsitinka, pavyzdžiui, metant monetą – tikimybė gauti galvų ar uodegų nepriklauso nuo to, kiek kartų anksčiau iškrito galvos ar uodegos. Todėl daugelis mano, kad šiuo metu žaidėjas renkasi vienas duris iš dviejų, nebesvarbu, kad anksčiau buvo galima rinktis vienas duris iš trijų, o keičiant pasirinkimą tikimybė laimėti automobilį yra tokia pati. , ir paliekant pirminį pasirinkimą.
Tačiau, nors tokie svarstymai teisingi monetos metimo atveju, jie galioja ne visiems žaidimams. Tokiu atveju reikia ignoruoti kapitono durų atidarymą. Žaidėjas iš esmės pasirenka vienas duris, kurias pasirinko pirmiausia, ir kitas dvi – atidarius vieną iš jų, žaidėjo dėmesys tik nukreipiamas. Yra žinoma, kad yra vienas automobilis ir dvi ožkos. Žaidėjo pirminis pasirinkimas dėl vienos iš durų galimus žaidimo rezultatus suskirsto į dvi grupes: arba automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų (tikimybė, kad tai yra 1/3), arba už vienos iš kitų dviejų (tikimybė). iš to yra 2/3). Tuo pačiu jau žinoma, kad už vienų iš dviejų likusių durų bet kokiu atveju yra ožka, o atidaręs šias duris šeimininkas nesuteikia žaidėjui jokios papildomos informacijos apie tai, kas yra už durų, kurias pasirinko žaidėjas. Taigi, lyderiui atidarius duris su ožiu, tikimybė (2/3), kad automobilis yra už vienų iš likusių durų, nekeičia. O kadangi žaidėjas nesirenka jau atidarytų durų, tai visa ši tikimybė susikoncentruoja tuo atveju, jei automobilis yra už likusių uždarytų durų.
Intuityvesnis samprotavimas: leiskite žaidėjui veikti pagal „pakeitimo pasirinkimo“ strategiją. Tada jis pralaimės tik tuomet, jei iš pradžių rinksis automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis. Todėl tikimybė laimėti: 1-1/3=2/3. Jei žaidėjas elgsis pagal „nekeisk pasirinkimo“ strategiją, jis laimės tada ir tik tada, kai iš pradžių pasirinks automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis.
Įsivaizduokime šią situaciją iš šeimininko, kuris panašią procedūrą atlieka su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas iš studijos išvažiuos nauju automobiliu.
Kita dažna priežastis, kodėl sunku suprasti šios problemos sprendimą, yra ta, kad dažnai žmonės įsivaizduoja kiek kitokį žaidimą – kai iš anksto nežinoma, ar šeimininkas atidarys duris su ožiu ir pasiūlys žaidėjui pakeisti savo pasirinkimą. Tokiu atveju žaidėjas nežino lyderio taktikos (tai yra iš tikrųjų nežino visų žaidimo taisyklių) ir negali pasirinkti optimalaus. Pavyzdžiui, jei tarpininkas pasiūlys pakeisti pasirinkimą tik tuo atveju, jei žaidėjas iš pradžių pasirinko duris kartu su automobiliu, tada akivaizdu, kad žaidėjas visada turėtų palikti pirminį sprendimą nepakeistą. Štai kodėl svarbu nepamiršti tikslios Monty Hall problemos formuluotės. (su šiuo variantu skirtingų strategijų lyderis gali pasiekti bet kokią tikimybę tarp durų, bendru (vidutiniu) atveju tai bus 1/2 x 1/2).
Padidinti durų skaičių
Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime svarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Tuo pačiu metu už vienų durų stovi automobilis, o už kitų – ožkos 99. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, tuo tarpu 99% atvejų jis rinksis duris su ožka, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to šeimininkas atidaro 98 duris su ožkomis ir paprašo žaidėjo pasirinkti likusias duris. Tokiu atveju 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iš karto pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.
Svarstant padidėjusį durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje problemoje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (tai yra 1/3 viso durų skaičiaus), tai kodėl turėtume manyti, kad tuo atveju iš 100 durų lyderis su ožkomis atidarys 98 duris, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas kertasi su intuityviu situacijos suvokimu. Būtų teisinga manyti, kad atidaromos 98 durys, nes esminė problemos sąlyga yra ta, kad žaidėjui yra tik vienas alternatyvus pasirinkimas, kurį siūlo šeimininkas. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir t. kurį žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę Monty Hall užduotį.
Atkreiptinas dėmesys, kad esant daugybei durų, net jei šeimininkas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir siūlo žaidėjui pasirinkti vieną iš jų, tuomet keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjo šansai laimėti automobilį sumažės. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada vedėjas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati - 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar yra platinamas ne ant 99 durų, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybės padidėjimas bus maždaug 0,01%.
sprendimų medis


Galimas žaidėjo ir šeimininko sprendimų medis, parodantis kiekvieno rezultato tikimybę
Formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį.
Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas baigiasi pralaimėjimu.
Bendra tikimybė, kad pasirinkimo pakeitimas lems laimėjimą, yra lygi pirmųjų dviejų rezultatų tikimybių sumai, ty

Atitinkamai, tikimybė, kad atsisakymas pakeisti pasirinkimą lems laimėjimą, yra lygi

Panašaus eksperimento vykdymas
Yra paprastas būdas įsitikinti, kad pakeitus pradinį pasirinkimą vidutiniškai laimima du kartus iš trijų. Norėdami tai padaryti, galite imituoti žaidimą, aprašytą „Monty Hall“ uždavinyje, naudodami žaidimo kortas. Vienas asmuo (dalinantis korteles) šiuo atveju atlieka vadovaujančio Monty Hall vaidmenį, o antrasis - žaidėjo vaidmenį. Žaidimui paimamos trys kortos, iš kurių vienoje pavaizduotos durys su automobiliu (pavyzdžiui, pikų tūzas), o kitos dvi identiškos (pavyzdžiui, dvi raudonos dvikovos) – durys su ožkomis.
Šeimininkas išdėlioja tris kortas užverstas, pakviesdamas žaidėją paimti vieną iš kortų. Po to, kai žaidėjas pasirenka kortelę, šeimininkas žiūri į dvi likusias kortas ir atskleidžia raudoną dvikovą. Po to atplėšiamos žaidėjo ir lyderio paliktos kortos, o jei žaidėjo pasirinkta korta yra kasų tūzas, tai taškas įrašomas varianto naudai, kai žaidėjas nekeičia savo pasirinkimo, o jei žaidėjas turi raudoną dvikovą, o lyderis – pikų tūzą, tada už variantą, žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą, skiriamas taškas. Jei žaidžiame daug tokių žaidimo raundų, tai taškų santykis abiejų variantų naudai gana gerai atspindi šių variantų tikimybių santykį. Pasirodo, balų skaičius už pradinio pasirinkimo keitimą yra maždaug dvigubai didesnis.
Toks eksperimentas ne tik įsitikina, kad pakeitus pasirinkimą tikimybė laimėti yra dvigubai didesnė, bet ir gerai iliustruoja, kodėl taip nutinka. Tuo momentu, kai žaidėjas išsirenka sau kortą, jau nustatoma, ar kasų tūzas yra jo rankoje, ar ne. Tolesnis vienos iš savo kortų šeimininko atvertimas situacijos nekeičia – žaidėjas kortą jau laiko rankoje, ir ji ten lieka, nepaisant šeimininko veiksmų. Tikimybė žaidėjui pasirinkti pikų tūzą iš trijų kortų akivaizdžiai yra 1/3, taigi tikimybė jo nepasirinkti (o tada žaidėjas laimės, jei pakeis pradinį pasirinkimą) yra 2/3.
Paminėti
Filme „Dvidešimt vienas“ mokytoja Miki Rosa siūlo pagrindiniam veikėjui Benui išspręsti galvosūkį: už trijų durų stovi du motoroleriai ir viena mašina. Norėdami laimėti automobilį, turite atspėti duris. Po pirmojo pasirinkimo Miki pasiūlo pasirinkimą pakeisti. Benas sutinka ir matematiškai pagrindžia savo sprendimą. Taigi jis nevalingai išlaiko testą Mikio komandai.
Sergejaus Lukjanenkos romane „Nedotepa“ pagrindiniai veikėjai, naudodami šią techniką, laimi vežimą ir galimybę tęsti kelionę.
Televizijos seriale „4isla“ (13 „Man Hunt“ sezono 13 serija) vienas pagrindinių veikėjų Charlie Eppsas populiarioje matematikos paskaitoje paaiškina Monty Hall paradoksą, aiškiai iliustruodamas jį žymeklių pagalba. kurių galinėse pusėse nupieštos ožkos ir automobilis. Čarlis automobilį suranda pakeisdamas pasirinkimą. Tačiau reikia pažymėti, kad jis vykdo tik vieną eksperimentą, o valiutos keitimo strategijos nauda yra statistinė, o norint teisingai iliustruoti, reikia atlikti keletą eksperimentų.

1963 metų gruodį per Amerikos televizijos kanalą NBC pirmą kartą išleista programa Susitarkime(„Sudaryk sandorį!“), kuriame iš studijos publikos atrinkti konkurso dalyviai derėjosi tarpusavyje ir su vedėju, žaidė mažus žaidimus ar tiesiog atspėjo atsakymą į klausimą. Transliacijos pabaigoje dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš jas buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Didysis prizas (pvz., automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos) . Žaidėjui apsisprendus, programos vedėjas Monty Hall atidarė vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra Prizo ir leido dalyviui pasidžiaugti, kad turi galimybę laimėti.

1975 metais UCLA mokslininkas Steve'as Selvinas paklausė, kas atsitiktų, jei tuo metu, atidarius duris be Prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą jis pateikė žurnalui Amerikos statistikas(„The American Statistician“), taip pat pačiam Monty Hallui, kuris jam pateikė gana smalsų atsakymą. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.


Užduotis

„Monty Hall“ šou atsidūrėte kaip dalyvė – ir paskutinę akimirką, atidaręs duris su ožiu, vedėjas pasiūlė pakeisti pasirinkimą. Ar jūsų sprendimas – sutikti ar ne – turės įtakos tikimybei laimėti?


Užuomina

Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų numeris 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?

Sprendimas

Kaip siūloma patarime, apsvarstykite žmones, kurie pasirinko kitaip. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Tarkime, kad turime šešis žmones, o kiekvienas duris pasirinko du žmonės, ir iš kiekvienos poros vienos vėliau pakeitė sprendimą, o kitos – ne.

Atkreipkite dėmesį, kad šeimininkas, pasirinkęs duris Nr. 1, pagal savo skonį atidarys vienas iš dviejų durų, o nepaisant to, Automobilį gaus tas, kuris nepakeis savo pasirinkimo, o tas, kuris pakeitė pradinį pasirinkimą. liks be Prizo. Dabar pažiūrėkime į tuos, kurie rinkosi duris Nr.2 ir Nr.3. Kadangi už durų Nr.1 ​​yra Automobilis, tai Šeimininkas negali jų atidaryti, todėl jam nelieka pasirinkimo – joms jis atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tuo pačiu metu kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo išrinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų apsigalvojusių, Prizą gaus du, o ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.

Pažymėtina, kad jei Automobilis būtų už durų #2 arba #3, rezultatas būtų toks pat, keistųsi tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, gauname, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.

Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad kiekvienos iš durų pirminio pasirinkimo tikimybė yra vienoda, taip pat tikimybė būti už kiekvienų Automobilio durų. Be to, pravartu daryti išlygą, kad Lyderis, kai gali atidaryti dvejas duris, kiekvieną iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad po pirmojo sprendimo tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Tuo pačiu metu, šeimininkui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa 2/3 tikimybė tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins laimėjimo tikimybę. 2 kartus. Kas, žinoma, jokiu būdu to negarantuoja vienu konkrečiu atveju, bet leis pasiekti sėkmingesnių rezultatų pakartotinio eksperimento kartojimo atveju.

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Visų pirma, 1959 m. Martinas Gardneris paskelbė žurnale Mokslinis amerikietis panaši problema „apie tris kalinius“ (Trijų kalinių problema) su tokia formuluote: „ Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė nepasidarė. 1/3, bet 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C tvirtina, kad jo pabėgimo tikimybė tapo 2/3, o A niekas nepasikeitė. Kuris iš jų teisus?»

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo Tikimybių skaičiavime prancūzų matematikas Josephas Bertranas (nepainioti su anglu Bertrandu Russellu!) siūlo panašią problemą (žr. Bertrano langelio paradoksą): „ Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje – dvi auksinės, antroje – dvi sidabrinės, trečioje – dvi skirtingos. Iš atsitiktinai parinktos dėžutės atsitiktinai buvo ištraukta moneta, kuri pasirodė auksinė. Kokia tikimybė, kad dėžutėje likusi moneta yra auksinė?»

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvyko B įvykis. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad vienetas iškrito ant įprasto kauliuko, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad susuktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau yra 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi minėtos problemos, rodo, kad su sąlyginėmis tikimybėmis reikia elgtis atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hallo paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju toje pačioje knygoje pateiktu Bertrando paradoksu, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokso“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja pašalinto vidurio dėsniui). Tačiau šiuo atveju griežtiems teiginiams neprieštaraujama. Tačiau yra aiškus prieštaravimas „viešajai nuomonei“ arba tiesiog „akivaizdžiui problemos sprendimui“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žvelgdami į problemą, mano, kad atidarius vienas iš durų, tikimybė rasti Prizą už bet kurios iš dviejų likusių uždarų yra 1/2. Taip elgdamiesi jie tvirtina, kad nėra jokio skirtumo, ar jie sutinka, ar nesutinka, kad pakeistų savo nuomonę. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.