„Monty Hall“ paradoksas nėra loginis galvosūkis silpnaširdžiams. Monty Hall paradoksas: formuluotė ir paaiškinimas, kas yra 3 durų šou
Monty salės paslaptis
Ieškodamas automobilio, žaidėjas pasirenka 1 duris. Tada vedėjas atidaro 3 duris, už kurių yra ožka, ir paragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą į 2 duris. Ar jis turėtų tai padaryti?
Monty Hall paradoksas– viena iš žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Problema suformuluota kaip hipotetinio žaidimo aprašymas pagal amerikiečių televizijos laidą „Leisk sudaryti sandorį“ ir pavadintas šios laidos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta metais žurnale Parado žurnalas, skamba taip:
Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?
Nors ši problemos formuluotė yra geriausiai žinoma, ji yra šiek tiek problemiška, nes palieka neapibrėžtas kai kurias svarbias problemos sąlygas. Toliau pateikiamas išsamesnis pareiškimas.
Spręsdami šią problemą, jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: šeimininkui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti jokios papildomos informacijos apie tai, už kurių durų yra automobilis, tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o pradinio durų pasirinkimo pakeitimas žaidėjui nesuteikia jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas. Jei šeimininkas visada žino, kokios durys yra už, visada atidaro likusias duris, kuriose yra ožka, ir visada ragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų, yra 1/3 ir , atitinkamai tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi pakeitus pradinį pasirinkimą padvigubėja žaidėjo šansai laimėti automobilį. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta užduotis vadinama Monty Hall paradoksas.
Problema ir sprendimas
Tikslesnė problemos formuluotė
Dažniausiai žurnale paskelbtas problemos teiginys Paradas, deja, nėra visiškai tikslus, nes palieka neapibrėžtas kelias esmines sąlygas. Išsamesnė ir tikslesnė problemos formuluotė atrodo maždaug taip:
Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame esate priešais trejas duris, dalyviu. Už vienų durų šeimininkas, žinomas kaip sąžiningas, pastatė automobilį, o už kitų dviejų – ožką. Jūs neturite informacijos apie tai, kas yra už kokių durų. Vadovas jums sako: Pirmiausia turite pasirinkti vieną iš durų. Po to atidarysiu vienas iš likusių durų, už kurių – ožka. Tuomet siūlysiu pakeisti pradinį pasirinkimą ir pasirinkti likusias uždarytas duris, o ne tas, kurias pasirinkote pradžioje. Galite vadovautis mano patarimu ir pasirinkti kitas duris arba patvirtinti savo pirminį pasirinkimą. Po to aš atidarysiu tavo pasirinktas duris ir tu laimėsi tai, kas yra už tų durų“.
Jūs pasirenkate duris Nr. 3. Vedėjas atidaro duris Nr. 1 ir parodo, kad už jų yra ožka. Tada vedėjas paprašo jūsų pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei laikysitės jo patarimo?
Šioje problemoje taip pat netiesiogiai daroma prielaida, kad vadovui atidarius duris su ožiu, nėra jokios informacijos apie tai, kas yra už durų, kurias žaidėjas pasirinko pirmiausia. Paprasčiausias būdas tai pasiekti – reikalauti, kad automobiliui stovint už žaidėjo pasirinktų durų, šeimininkas atsitiktinai atidarytų vienas iš likusių ožkų durų.
Iš pradžių tikimybė, kad dalyvis atsitrenks į automobilį, yra 1/3. Po to, kai šeimininkas atidaro duris, dauguma žmonių mano, kad tai turėtų būti 1/2, bet taip nėra. Šeimininkas žino, kur yra mašina, todėl su mašina durų neatidaro. O tikimybė būtų 1/2 tik tuo atveju, jei vedėjas nežinotų prizų padėties, o tada durų atidarymas nieko nepakeistų.
Svarbiausias papildymas, palyginti su aukščiau pateikta formuluote, yra tai, kad žaidėjas prieš žaidimo pradžią žino, kad po jo pasirinkimo šeimininkas šiaip atidaryk duris su ožiu ir šiaip pasiūlys žaidėjui pakeisti savo pasirinkimą, tai yra, šeimininko atlikus šiuos veiksmus, nėra jokios informacijos apie tai, ar žaidėjo pirminis pasirinkimas buvo teisingas ar neteisingas.
Sprendimas
Teisingas atsakymas į šią problemą yra toks: taip, tikimybė laimėti automobilį padvigubėja, jei žaidėjas vadovaujasi šeimininko patarimu ir pakeičia pradinį pasirinkimą.
Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi iš karto atspėti duris, už kurių stovi automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių atsitrenks į duris su ožiu už jo (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį persigalvojęs, nes automobilis ir liko vienas ožys, o šeimininkas jau atidarė duris su ožiu.
Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas lieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjas paverčia savo pranašumu du kartus už likusią tikimybę, kad pradžioje neatspėjo teisingai.
Be to, intuityvus paaiškinimas gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis – žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis – papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes papildomų durų atidarymas nesuteikia žaidėjui jokios naujos informacijos (žr. šį straipsnį).
Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje grupėje lieka dvi durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių (sic!). Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris (sic!). Vieną atidaro šeimininkas, o antrąją – pats žaidėjas.
Raktai į supratimą
Nepaisant šio reiškinio paaiškinimo paprastumo, daugelis žmonių intuityviai tiki, kad tikimybė laimėti nepasikeičia žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą. Paprastai neįmanoma pakeisti laimėjimo tikimybės motyvuojama tuo, kad skaičiuojant tikimybę praeityje įvykę įvykiai neturi reikšmės, kaip atsitinka, pavyzdžiui, metant monetą – tikimybė gauti galvų ar uodegų nepriklauso nuo to, kiek kartų anksčiau iškrito galvos ar uodegos. Todėl daugelis mano, kad šiuo metu žaidėjas renkasi vienas duris iš dviejų, nebesvarbu, kad anksčiau buvo galima rinktis vienas duris iš trijų, o keičiant pasirinkimą tikimybė laimėti automobilį yra tokia pati. , ir paliekant pirminį pasirinkimą.
Tačiau, nors tokie svarstymai teisingi monetos metimo atveju, jie galioja ne visiems žaidimams. Šiuo atveju į tai reikėtų nekreipti dėmesio durų atidarytuvas. Žaidėjas iš esmės pasirenka vieną iš jų vienas duris jis pasirinko pirmas, o likusias du- vieno iš jų atidarymas yra skirtas tik nukreipti žaidėjo dėmesį. Yra žinoma, kad yra vienas automobilis ir dvi ožkos. Pradinis žaidėjo pasirinktas vienas iš durų galimus žaidimo rezultatus suskirsto į dvi grupes: arba automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų (tikimybė, kad tai yra 1/3), arba už vienos iš durų. du kiti (to tikimybė yra 2/3). Tuo pačiu jau žinoma, kad už vienų iš dviejų likusių durų bet kokiu atveju yra ožka, o atidaręs šias duris šeimininkas neduodažaidėjas jokios papildomos informacijos apie tai, kas yra už žaidėjo pasirinktų durų. Taigi, lyderiui atidarius duris su ožiu, tikimybė (2/3), kad automobilis yra už vienų iš likusių durų, nekeičia. O kadangi žaidėjas nesirenka jau atidarytų durų, tai visa ši tikimybė susikoncentruoja tuo atveju, jei automobilis yra už likusių uždarytų durų.
Intuityvesnis samprotavimas: leiskite žaidėjui veikti pagal „keisti pasirinkimo“ strategiją. Tada jis pralaimės tik tuomet, jei iš pradžių rinksis automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis. Todėl tikimybė laimėti: 1-1/3=2/3. Jei žaidėjas elgsis pagal „nekeisk pasirinkimo“ strategiją, jis laimės tada ir tik tada, kai iš pradžių pasirinks automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis.
Kita dažna priežastis, kodėl sunku suprasti šios problemos sprendimą, yra ta, kad dažnai žmonės įsivaizduoja kiek kitokį žaidimą – kai iš anksto nežinoma, ar šeimininkas atidarys duris su ožiu ir pasiūlys žaidėjui pakeisti savo pasirinkimą. Tokiu atveju žaidėjas nežino lyderio taktikos (tai yra iš tikrųjų nežino visų žaidimo taisyklių) ir negali pasirinkti optimalaus. Pavyzdžiui, jei tarpininkas pasiūlys pakeisti pasirinkimą tik tuo atveju, jei žaidėjas iš pradžių pasirinko duris kartu su automobiliu, tada akivaizdu, kad žaidėjas visada turėtų palikti pirminį sprendimą nepakeistą. Štai kodėl svarbu nepamiršti tikslios Monty Hall problemos formuluotės. (Nors net ir pasirinkus šį variantą teisinga strategija būtų pakeisti durų pasirinkimą (su sąlyga, kad žaidėjas nežino „gudrumo). “ lyderio). Kadangi šiuo atveju pralaimėjimas reikš 1/3 tikimybės realizavimą.)
Padidinti durų skaičių
Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime svarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Tuo pačiu metu už vienų durų stovi automobilis, o už kitų – ožkos 99. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, tuo tarpu 99% atvejų jis rinksis duris su ožka, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to šeimininkas atidaro 98 duris su ožkomis ir paprašo žaidėjo pasirinkti likusias duris. Šiuo atveju 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iš karto pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.
Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje problemoje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (tai yra 1/3 viso durų skaičiaus), tai kodėl turėtume manyti, kad tuo atveju iš 100 durų lyderis atidarys 98 duris su ožkomis, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas kertasi su intuityviu situacijos suvokimu. Būtų teisinga manyti, kad atidaromos 98 durys, nes esminė problemos sąlyga yra ta, kad žaidėjui yra tik vienas alternatyvus pasirinkimas, kurį siūlo šeimininkas. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir t. kurį žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę Monty Hall užduotį.
Atkreiptinas dėmesys, kad esant daugybei durų, net jei šeimininkas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir siūlo žaidėjui pasirinkti vieną iš jų, tuomet keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjo šansai laimėti automobilį sumažės. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada vedėjas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati - 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar yra platinamas ne ant 99 durų, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybės padidėjimas bus maždaug 0,01%.
sprendimų medis
Galimas žaidėjo ir šeimininko sprendimų medis, parodantis kiekvieno rezultato tikimybę
Formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį.
Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.
Bendra tikimybė, kad pakeitus pasirinkimą laimės, yra lygi pirmųjų dviejų baigčių tikimybių sumai, ty . Atitinkamai, tikimybė, kad atsisakymas pakeisti pasirinkimą lems laimėjimą, yra lygi .
Yra paprastas būdas įsitikinti, kad pakeitus pradinį pasirinkimą vidutiniškai laimima du kartus iš trijų. Norėdami tai padaryti, galite imituoti žaidimą, aprašytą „Monty Hall“ uždavinyje, naudodami žaidimo kortas. Vienas asmuo (dalinantis korteles) šiuo atveju atlieka vadovaujančio Monty Hall vaidmenį, o antrasis - žaidėjo vaidmenį. Žaidimui paimamos trys kortos, iš kurių vienoje pavaizduotos durys su automobiliu (pavyzdžiui, pikų tūzas), o kitos dvi identiškos (pavyzdžiui, dvi raudonos dvikovos) – durys su ožkomis.
Šeimininkas išdėlioja tris kortas užverstas, pakviesdamas žaidėją paimti vieną iš kortų. Po to, kai žaidėjas pasirenka kortelę, šeimininkas žiūri į dvi likusias kortas ir atskleidžia raudoną dvikovą. Po to atplėšiamos žaidėjo ir lyderio paliktos kortos, o jei žaidėjo pasirinkta korta yra kasų tūzas, tai taškas įrašomas varianto naudai, kai žaidėjas nekeičia savo pasirinkimo, o jei žaidėjas turi raudoną dvikovą, o lyderis – pikų tūzą, tada už variantą, žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą, skiriamas taškas. Jei žaidžiame daug tokių žaidimo raundų, tai taškų santykis abiejų variantų naudai gana gerai atspindi šių variantų tikimybių santykį. Pasirodo, balų skaičius už pradinio pasirinkimo keitimą yra maždaug dvigubai didesnis.
Toks eksperimentas ne tik įsitikina, kad pakeitus pasirinkimą tikimybė laimėti yra dvigubai didesnė, bet ir gerai iliustruoja, kodėl taip nutinka. Kai žaidėjas pasirenka kortelę, jau apibrėžta ar pikų tūzas yra jo rankoje, ar ne. Tolesnis vienos iš savo kortų šeimininko atvertimas situacijos nekeičia – žaidėjas kortą jau laiko rankoje, ir ji ten lieka, nepaisant šeimininko veiksmų. Tikimybė žaidėjui pasirinkti pikų tūzą iš trijų kortų akivaizdžiai yra 1/3, taigi tikimybė jo nepasirinkti (o tada žaidėjas laimės, jei pakeis pradinį pasirinkimą) yra 2/3.
Įrodymas su lentele
Atliekant daugybę eksperimentų, automobilis už kiekvieno durų turėtų būti rastas tiek pat kartų, tai yra, labai arti 1/3 viso skaičiaus.
| durys 1 | durys 2 | durys 3 |
|---|---|---|
| Pasirinkimo mašina | Ožka | atvira ožka |
| Pasirinkimas | Mašina | atvira ožka |
| Pasirinkimas | atvira ožka | Mašina |
Pagal tikimybių skirstinio dėsnius pasirenkate neteisingos durys 2 kartus iš 3. Tai reiškia, kad 2 kartus iš 3 gausite automobilį tiesiog persigalvoję. Lentelėje matyti, kad greičiausiai suklysite pirmuoju pasirinkimu, tokiu atveju atsidursite kitose dviejose lentelės eilutėse. Ir čia jie parodys, kurias duris pasirinkti.
Trijų kalinių problema
Kitą paradokso formuluotę rubrikoje pateikė Martinas Gardneris Matematikos žaidimai, prie kurio prisidėjo prie Scientific American, c.
Trys kaliniai A, B Ir C nuteistas mirties bausme, tačiau žinoma, kad vienas bus atleistas. Nuosprendis draudžia nusikaltėliui pasakyti, ar jam bus atleista, ar ne. Aįtikina sargybinį pasakyti, kuriam iš kitų dviejų kalinių bus įvykdyta mirties bausmė. Kadangi klausimas ne A sargybinis nusprendžia pranešti, kad jiems bus įvykdyta mirties bausmė B. Kaip pasikeitė vykdymo tikimybė A Ir C? Arba, pateikus analogiją su Monty Hall problema, turėtų A apsikeisti vietomis su NUO jei jis turi galimybę?
Atsakymas
Lentelėje parodyta tikimybė, kuris kalinys bus atleistas prieš ir po sargybinio pranešimo.
Kurio sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui.
Enciklopedinis „YouTube“.
-
1 / 5
Problema suformuluota kaip žaidimo, paremto amerikiečių televizijos žaidimu „Sudarom sandorį“, aprašymas ir pavadinta šios programos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, publikuota 1990 m. žurnale Parado žurnalas, skamba taip:
Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis jūsų klausia – ar norėtumėte pakeisti pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2? Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą? Po publikacijos iš karto paaiškėjo, kad problema suformuluota neteisingai: surašytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali laikytis „pragariškos Monty“ strategijos: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pirmuoju ėjimu pasirinko automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis (žr. toliau).
Populiariausia yra problema su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:
- automobilis taip pat gali būti pastatytas už bet kurių iš trijų durų;
- bet kuriuo atveju šeimininkas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą;
- jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su tokia pačia tikimybe.
Šiame tekste šioje formuluotėje aptariama Monty Hall problema.
Analizuojama
Laimėjimo strategijai svarbu: jei po lyderio veiksmų pakeisite durų pasirinkimą, tai laimite, jei iš pradžių pasirinkote pralaimėjusias duris. Tikėtina, kad taip nutiks 2 ⁄ 3 , nes iš pradžių prarandančias duris galite pasirinkti 2 būdais iš 3.
Tačiau dažnai spręsdami šią problemą jie ginčijasi maždaug taip: šeimininkas galiausiai visada pašalina vienas prarandamas duris, o tada tikimybė, kad automobilis atsiras už dviejų neatidarytų, tampa lygus ½, nepriklausomai nuo pradinio pasirinkimo. Bet tai netiesa: nors iš tiesų yra dvi pasirinkimo galimybės, šios galimybės (atsižvelgiant į foną) nėra vienodai tikėtinos! Tai tiesa, nes iš pradžių visos durys turėjo vienodas galimybes laimėti, bet vėliau turėjo skirtingą tikimybę būti pašalintos.
Daugeliui žmonių ši išvada prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui, todėl dėl atsiradusio neatitikimo tarp loginės išvados ir atsakymo, į kurį linksta intuityvi nuomonė, užduotis vadinama. Monty Hall paradoksas.
Situacija su durimis tampa dar akivaizdesnė, jei įsivaizduosime, kad yra ne 3 durys, o, tarkime, 1000, o pasirinkus žaidėją vedėjas pašalina 998 papildomas, palikdamas 2 duris: tas, kurias žaidėjas pasirinko. ir dar vienas. Atrodo akivaizdžiau, kad tikimybė rasti prizą už šių durų yra skirtinga ir nėra lygi ½. Kur kas didesnė tikimybė jį rasti, būtent 0,999, įvyks pakeitus sprendimą ir pasirinkus duris, pasirinktas iš 999. 3 durų atveju išsaugoma logika, tačiau pakeitus sprendimą tikimybė laimėti yra mažesnė. būtent 2 ⁄ 3 .
Kitas samprotavimo būdas – sąlygą pakeisti lygiaverte. Įsivaizduokime, kad vietoj to, kad žaidėjas iš pradžių pasirinktų (tegul tai visada bus durys Nr. 1), o paskui atidarytų duris su ožiu tarp likusių (tai yra visada tarp #2 ir #3), įsivaizduokime, kad žaidėjas reikia atspėti duris pirmu bandymu, tačiau jam iš anksto pranešama, kad už durų Nr.1 su pradine tikimybe (33%) gali būti automobilis, o tarp likusių durų nurodoma, kurioms iš durelių automobilio tikrai neatsilieka (0%). Atitinkamai, paskutinės durys visada sudarys 67%, todėl pageidautina jų pasirinkimo strategija.
Kitas lyderio elgesys
Klasikinė Monty Hall paradokso versija teigia, kad šeimininkas ragins žaidėją pakeisti duris, nesvarbu, ar jis pasirinko automobilį, ar ne. Tačiau galimas ir sudėtingesnis šeimininko elgesys. Šioje lentelėje trumpai aprašomi keli elgesio būdai.
Galimas lyderio elgesys Šeimininko elgesys Rezultatas „Infernal Monty“: šeimininkas siūlo pasikeisti, jei durys yra tinkamos. Pokyčiai visada duos ožką. „Angeliškasis Montis“: šeimininkas pasiūlo persirengti, jei durys netinkamos. Pokyčiai visada duos automobilį. „Nežinantis Monty“ arba „Monty Buch“: šeimininkas netyčia krenta, atsidaro durys, o iš paskos paaiškėja, kad automobilio nėra. Kitaip tariant, pats šeimininkas nežino, kas yra už durų, duris atidaro visiškai atsitiktinai, ir tik atsitiktinai už jų nebuvo automobilio. Pakeitimas suteikia laimėjimą ½ atvejų.
Taip surengtas amerikietiškas šou „Deal or No Deal“ – tačiau žaidėjas pats atidaro atsitiktines duris, o jei už jo nėra automobilio, vedėjas siūlo jas pakeisti.Šeimininkas pasirenka vieną iš ožkų ir atidaro, jei žaidėjas pasirinko kitas duris. Pakeitimas suteikia laimėjimą ½ atvejų. Šeimininkas visada atidaro ožką. Jei pasirenkamas automobilis, kairioji ožka atidaroma su tikimybe p ir teisingai su tikimybe q=1−p. Jei lyderis atidarė kairiąsias duris, pamaina duoda laimėjimą su tikimybe 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Jei teisus 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Tačiau subjektas negali daryti įtakos tikimybei, kad bus atidarytos tinkamos durys – nepaisant jo pasirinkimo, tai įvyks su tikimybe 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))). tas pats, p=q= ½ (klasikinis atvejis). Pakeitimas suteikia laimėjimą su tikimybe 2 ⁄ 3 . tas pats, p=1, q=0 („bejėgis Monty“ – pavargęs vedėjas atsistoja prie kairiųjų durų ir atidaro arčiau esančią ožką). Jei vedėjas atidarė tinkamas duris, pakeitimas suteikia garantuotą laimėjimą. Jei paliekama - tikimybė ½. Šeimininkas visada atidaro ožką, jei pasirenkamas automobilis, o su ½ tikimybe kitaip. Pakeitimas suteikia laimėjimą su ½ tikimybe. Bendras atvejis: žaidimas kartojamas daug kartų, tikimybė paslėpti automobilį už vienų ar kitų durų, taip pat atidaryti tas ar kitas duris yra savavališka, tačiau šeimininkas žino, kur yra automobilis ir visada pasiūlo pakeisti atidarydamas vieną iš ožkos. Nash pusiausvyra: būtent Monty Hall paradoksas klasikine forma yra naudingiausias šeimininkui (tikimybė laimėti 2 ⁄ 3 ). Automobilis slepiasi už bet kurių durų su ⅓ tikimybe; jei yra pasirinkimas, atsitiktine tvarka atidarykite bet kurią ožką. Tas pats, bet šeimininkas gali išvis neatidaryti durų. Nešo pusiausvyra: šeimininkui naudinga neatidaryti durų, tikimybė laimėti yra ⅓. taip pat žr
Pastabos
- Tierney, John (1991 m. liepos 21 d.), „Už Montio salės durų: galvosūkis, diskusijos ir atsakymas? ", „New York Times“.,
1975 metais UCLA mokslininkas Steve'as Selvinas susimąstė, kas nutiktų, jei tą akimirką, pravėrus duris be prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą problemos forma jis nusiuntė „The American Statistician“ („Amerikos statistikas“), taip pat pačiam Monty Hallui, kuris į jį atsakė gana kurioziškai. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.
Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:
„Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?
Po publikacijos iš karto paaiškėjo, kad problema suformuluota neteisingai: surašytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali laikytis „pragariškos Monty“ strategijos: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pirmuoju ėjimu pasirinko automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.Populiariausia yra problema su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:
- automobilis taip pat gali būti pastatytas už bet kurių iš 3 durų;
- bet kuriuo atveju šeimininkas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą;
- jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su tokia pačia tikimybe.
Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų numeris 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?
Sprendimas
Kaip siūloma patarime, apsvarstykite žmones, kurie pasirinko kitaip. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Tarkime, kad turime šešis žmones, o kiekvienas duris išsirinko du žmonės, ir iš kiekvienos poros vienos vėliau pakeitė sprendimą, o kitos – ne.
Atkreipkite dėmesį, kad Šeimininkas, pasirinkęs duris Nr. 1, pagal savo skonį atidarys vienas iš dviejų durų, o nepaisant to, Automobilį gaus tas, kuris nepakeis savo pasirinkimo, o tas, kuris pakeitė pradinį pasirinkimą. liks be Prizo. Dabar pažiūrėkime į tuos, kurie rinkosi duris Nr.2 ir Nr.3. Kadangi už durų Nr.1 yra Automobilis, tai Šeimininkas negali jų atidaryti, todėl jam nelieka pasirinkimo – joms jis atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tuo pačiu metu kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo išrinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų apsigalvojusių, Prizą gaus du, o ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.
Atkreiptinas dėmesys, kad jei Automobilis būtų už durų #2 arba #3, rezultatas būtų toks pat, pasikeistų tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, gauname, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.
Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad kiekvienos iš durų pirminio pasirinkimo tikimybė yra vienoda, taip pat tikimybė būti už kiekvienų Automobilio durų. Be to, pravartu padaryti išlygą, kad Lyderis, kai gali atidaryti dvejas duris, kiekvieną iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad po pirmojo sprendimo tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Tuo pačiu metu, šeimininkui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa 2/3 tikimybė tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins laimėjimo tikimybę. 2 kartus. Kas, žinoma, jokiu būdu to negarantuoja vienu konkrečiu atveju, bet leis pasiekti sėkmingesnių rezultatų pakartotinio eksperimento kartojimo atveju.
Pokalbis
Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Konkrečiai, 1959 m. Martinas Gardneris žurnale „Scientific American“ paskelbė panašią problemą „apie tris kalinius“ (Trijų kalinių problema) su tokia formuluote: „Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė nepasidarė. 1/3, bet 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C tvirtina, kad jo pabėgimo tikimybė tapo 2/3, o A niekas nepasikeitė. Kuris teisus?"
Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo Tikimybių skaičiavime prancūzų matematikas Josephas Bertrand'as (nepainioti su anglu Bertrand'u Russell'u!) siūlo panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): „Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje – dvi auksinės, antrojoje – dvi sidabrinės, trečioje – dvi skirtingos.
Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad vienetas iškrito ant įprasto kauliuko, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad susuktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau yra 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi minėtos problemos, rodo, kad su sąlyginėmis tikimybėmis reikia elgtis atsargiai.
Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hallo paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju toje pačioje knygoje pateiktu Bertrando paradoksu, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokso“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja pašalinto vidurio dėsniui). Tačiau šiuo atveju griežtiems teiginiams neprieštaraujama. Tačiau yra aiškus prieštaravimas „viešajai nuomonei“ arba tiesiog „akivaizdžiui problemos sprendimui“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žiūrėdami į problemą, mano, kad atidarius vienas iš durų, tikimybė rasti Prizą už bet kurių iš dviejų likusių uždarų yra 1/2. Taip elgdamiesi jie tvirtina, kad nėra jokio skirtumo, ar jie sutinka, ar nesutinka, kad pakeistų savo nuomonę. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.
Monty Hall atsakymas Steve'ui Selwynui
Ponas Steve'as Selvinas,
biostatistikos docentas,
Kalifornijos universitetas, Berklis.Gerbiamas Steve,
Dėkojame, kad atsiuntėte man problemą iš Amerikos statistikos.
Nors universitete statistikos nestudijavau, žinau, kad skaičiais visada galiu pasinaudoti, jei noriu jais manipuliuoti. Jūsų samprotavime neatsižvelgiama į vieną esminę aplinkybę: po to, kai pirmasis langelis yra tuščias, dalyvis nebegali pakeisti savo pasirinkimo. Taigi tikimybės išlieka tos pačios: viena iš trijų, tiesa? Ir, žinoma, vienai iš dėžių ištuštėjus, šansai netampa 50/50, o išlieka tokie patys – vienas iš trijų. Tik dalyviui atrodo, kad atsikratęs vienos dėžės jis gauna daugiau šansų. Visai ne. Du prieš vieną prieš jį, kaip buvo, ir lieka. O jei staiga ateisi į mano laidą, taisyklės tau išliks tos pačios: po atrankos jokių keitimo langelių.
„Yra trijų rūšių melas: melas, prakeiktas melas ir statistika. Ši frazė, kurią Markas Tvenas priskyrė Didžiosios Britanijos ministrui pirmininkui Benjaminui Disraeli, gerai atspindi daugumos požiūrį į matematinius dėsnius. Iš tiesų, tikimybių teorija kartais išmeta nuostabių faktų, kuriais iš pirmo žvilgsnio sunku patikėti – ir kuriuos vis dėlto patvirtina mokslas. „Teorijos ir praktika“ priminė garsiausius paradoksus.
Monty Hall problema
Būtent šią užduotį gudrus MIT profesorius pasiūlė studentams filme „Dvidešimt vienas“. Pateikęs teisingą atsakymą, pagrindinis veikėjas patenka į puikių jaunų matematikų komandą, kuri įveikia kazino Las Vegase.
Klasikinė formuluotė skamba taip: „Tarkime, tam tikras žaidėjas buvo pakviestas dalyvauti garsioje Amerikos televizijos laidoje „Susidarom“, kurią veda Monty Hall, ir jam reikia pasirinkti vieną iš trijų durų. Už dviejų durų – ožkos, už vienų – pagrindinis prizas, automobilis, prizų vietą vedėjas žino. Žaidėjui pasirinkus, vedėjas atidaro vienas iš likusių durų, už kurių yra ožka, ir pakviečia žaidėją persigalvoti. Ar žaidėjas turėtų sutikti, ar geriau išlaikyti savo pradinį pasirinkimą?
Čia yra tipiškas samprotavimas: po to, kai šeimininkas atidaro vienas iš durų ir parodė ožką, žaidėjas turi pasirinkti vieną iš dviejų durų. Automobilis yra už vieno iš jų, todėl tikimybė jį atspėti yra ½. Taigi jokio skirtumo – keisti pasirinkimą ar ne. Ir vis dėlto tikimybių teorija teigia, kad pakeitę savo sprendimą galite padidinti savo šansus laimėti. Pažiūrėkime, kodėl taip yra.
Norėdami tai padaryti, grįžkime žingsniu atgal. Tuo metu, kai padarėme pirminį pasirinkimą, duris padalinome į dvi dalis: vieną, kurią pasirinkome, ir kitas dvi. Akivaizdu, kad tikimybė, kad automobilis slepiasi už „mūsų“ durų, yra ⅓ – atitinkamai, automobilis yra už vienų iš dviejų likusių durų su ⅔ tikimybe. Kai vedėjas nurodo, kad už vienų iš šių durų yra ožka, paaiškėja, kad ši ⅔ tikimybė patenka ant antrųjų durų. Ir tai sumažina žaidėjo pasirinkimą iki dviejų durų, už kurių vienų (iš pradžių pasirinktas) automobilis yra su ⅓, o už kitų - su ⅔ tikimybe. Pasirinkimas tampa akivaizdus. Kas, žinoma, nepaneigia fakto, kad žaidėjas nuo pat pradžių galėjo rinktis duris su automobiliu.
Trijų kalinių užduotis
„Trijų kalinių paradoksas“ panašus į Monty Hall problemą, nors veiksmas vyksta dramatiškesnėse aplinkose. Trys kaliniai (A, B ir C) nuteisti mirties bausme ir patalpinti į izoliatorių. Gubernatorius atsitiktinai pasirenka vieną iš jų ir suteikia jam malonę. Prižiūrėtojas žino, kuriam iš trijų atleista, bet jam liepta tai laikyti paslaptyje. Kalinys A prašo sargybinio pasakyti antrojo kalinio vardą (be jo paties), kuriam tikrai bus įvykdyta mirties bausmė: „Jei B bus atleista, pasakyk, kad C bus įvykdyta. Jei C bus atleista, pasakyk, kad B bus įvykdyta mirties bausmė. Jei jiems abiem bus įvykdyta mirties bausmė, bet aš pasigailiu, meskite monetą ir pasakykite bet kurį iš šių dviejų vardų. Prižiūrėtojas sako, kad kaliniui B bus įvykdyta mirties bausmė. Ar kalinys A turi būti laimingas?
Atrodytų, taip. Juk iki šios informacijos gavimo kalinio A mirties tikimybė buvo ⅔, o dabar jis žino, kad vienam iš kitų dviejų kalinių bus įvykdyta mirties bausmė, vadinasi, mirties bausmės vykdymo tikimybė sumažėjo iki ½. Bet iš tikrųjų kalinys A nieko naujo nesužinojo: jei nebus atleistas, jam būtų pasakytas kito kalinio vardas, o jis jau žinojo, kad vienam iš dviejų likusių bus įvykdyta mirties bausmė. Jei jam pasisekė ir egzekucija buvo atšaukta, jis išgirs atsitiktinį vardą B arba C. Todėl jo išsigelbėjimo galimybės niekaip nepasikeitė.
Dabar įsivaizduokite, kad vienas iš likusių kalinių sužinos apie kalinio A klausimą ir gautą atsakymą. Tai pakeis jo mintis apie malonės tikimybę.
Jei kalinys B išgirs pokalbį, jis žinos, kad jam tikrai bus įvykdyta mirties bausmė. Ir jei kalinys yra B, tada jo atleidimo tikimybė bus ⅔. Kodėl taip atsitiko? Kalinys A negavo jokios informacijos ir tikimybė, kad jam bus atleista, vis dar yra ⅓. Kalinys B tikrai nebus atleistas, o jo šansai yra nuliniai. Tai reiškia, kad tikimybė, kad trečiasis kalinys bus paleistas, yra ⅔.
Dviejų vokų paradoksas
Šis paradoksas tapo žinomas matematiko Martino Gardnerio dėka ir suformuluotas taip: „Tarkime, jums ir draugui siūlomi du vokai, kurių viename yra tam tikra pinigų suma X, o kitame – dvigubai didesnė suma. Savarankiškai atplėšiate vokus, skaičiuojate pinigus, po to galite juos pakeisti. Vokai yra vienodi, todėl yra ½ tikimybė, kad gausite voką su mažesne suma. Tarkime, atplėšėte voką ir radote jame 10 USD. Todėl jūsų draugo voke taip pat gali būti 5 arba 20 USD. Jei nuspręsite keistis, galite apskaičiuoti matematinį galutinės sumos lūkestį - tai yra jos vidutinę vertę. Tai yra 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Taigi mainai jums naudingi. Ir, greičiausiai, jūsų draugas ginčysis lygiai taip pat. Tačiau akivaizdu, kad mainai negali būti naudingi jums abiem. kokia klaida?
Paradoksas yra tas, kad tol, kol neatplėšiate voko, tikimybė veikia gana gerai: iš tikrųjų turite 50 procentų tikimybę rasti X savo voke ir 50 procentų tikimybę, kad voke rasite 2X. O sveikas protas diktuoja, kad informacija apie turimą sumą negali turėti įtakos antrojo voko turiniui.
Tačiau vos atplėšus voką situacija kardinaliai pasikeičia (šis paradoksas kažkuo panašus į istoriją su Šriodingerio kate, kur pats stebėtojo buvimas įtakoja reikalų būklę). Faktas yra tas, kad norint atitikti paradokso sąlygas, tikimybė antrame voke rasti didesnę ar mažesnę sumą nei jūsų turi būti tokia pati. Bet tada bet kuri šios sumos reikšmė nuo nulio iki begalybės yra vienodai tikėtina. Ir jei yra vienodai tikėtinas galimybių skaičius, jie sumuojasi iki begalybės. Ir tai neįmanoma.
Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti, kad savo voke rasite vieną centą. Akivaizdu, kad antrame voke negali būti pusė sumos.
Įdomu, kad diskusijos dėl paradokso sprendimo tęsiasi ir šiuo metu. Tuo pačiu metu bandoma ir paradoksą paaiškinti iš vidaus, ir sukurti geriausią elgesio strategiją tokioje situacijoje. Visų pirma, profesorius Thomas Coveris pasiūlė originalų požiūrį į strategijos formavimą – keisti ar nekeisti voką, vadovaujantis tam tikru intuityviu lūkesčiu. Tarkime, jei atplėšiate voką ir radote jame 10 USD – jūsų skaičiavimais nedidelė suma – verta jį iškeisti. Ir jei voke yra, tarkime, 1000 USD, o tai viršija jūsų drąsiausius lūkesčius, tada keisti nereikia. Ši intuityvi strategija, jei reguliariai siūloma rinktis du vokus, leidžia padidinti bendrą laimėjimą labiau nei nuolat keičiant vokus.
Berniuko ir mergaitės paradoksas
Šį paradoksą taip pat pasiūlė Martinas Gardneris ir jis suformuluotas taip: „Ponas Smithas turi du vaikus. Bent vienas vaikas yra berniukas. Kokia tikimybė, kad antrasis taip pat yra berniukas?
Atrodytų, užduotis paprasta. Tačiau pradėjus suprasti, paaiškėja kurioziška aplinkybė: teisingas atsakymas skirsis priklausomai nuo to, kaip skaičiuosime kito vaiko lyties tikimybę.
1 variantas
Apsvarstykite visus galimus derinius šeimose su dviem vaikais:
Mergina/Mergina
Mergina berniukas
Berniukas/Mergaitė
Berniukas/Berniukas
Mergaitės/merginos variantas mums netinka pagal problemos sąlygas. Todėl P. Smitho šeimai yra trys vienodai tikėtini variantai – tai reiškia, kad tikimybė, kad kitas vaikas taip pat bus berniukas, yra ⅓. Iš pradžių tokį atsakymą pateikė pats Gardneris.
2 variantas
Įsivaizduokime, kad sutinkame poną Smithą gatvėje, kai jis vaikšto su sūnumi. Kokia tikimybė, kad antrasis vaikas taip pat yra berniukas? Kadangi antrojo vaiko lytis nepriklauso nuo pirmojo, akivaizdus (ir teisingas) atsakymas yra ½.
Kodėl taip nutinka, nes, atrodytų, niekas nepasikeitė?
Viskas priklauso nuo to, kaip sprendžiame tikimybės apskaičiavimo klausimą. Pirmuoju atveju mes apsvarstėme visus galimus Smithų šeimos variantus. Antroje – mes įvertinome visas šeimas, kurioms taikoma privaloma sąlyga „turi būti vienas berniukas“. Antrojo vaiko lyties tikimybė buvo apskaičiuota esant šiai sąlygai (tikimybių teorijoje tai vadinama „sąlygine tikimybe“), todėl gautas rezultatas, kuris skyrėsi nuo pirmosios.
Formuluotė
Populiariausia problema su papildoma sąlyga Nr.6 iš lentelės – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:
- automobilis yra vienodai tikėtinas už bet kurių iš 3 durų;
- Šeimininkas bet kuriuo atveju privalo atidaryti duris su ožiu ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą, bet ne žaidėjo pasirinktas duris;
- jei vadovas turi pasirinkimą, kurias iš 2 durų atidaryti, jis pasirenka bet kurias iš jų su tokia pačia tikimybe.
Šiame tekste šioje formuluotėje aptariama Monty Hall problema.
Analizuojama
Sprendžiant šią problemą dažniausiai ginčijamasi maždaug taip: šeimininkas galų gale visada pašalina vienas pamestas duris, o tada tikimybė, kad automobilis atsiras už dviejų neatidarytų durų, tampa 1/2, nepriklausomai nuo pradinio pasirinkimo.
Esmė ta, kad savo pirminiu pasirinkimu dalyvis padalija duris: išrinktasis A ir dar du - B Ir C. Tikimybė, kad automobilis yra už pasirinktų durų = 1/3, kad už kitų = 2/3.
Kiekvienos iš likusių durų dabartinė padėtis aprašoma taip:
P(B) = 2/3*1/2 = 1/3
P(C) = 2/3*1/2 = 1/3
Kur 1/2 yra sąlyginė tikimybė, kad automobilis yra už duotų durų, su sąlyga, kad automobilis nėra už žaidėjo pasirinktų durų.
Šeimininkas, atidaręs vienas iš likusių durų, kurios visada pralaimi, tokiu būdu praneša žaidėjui tiksliai 1 bitą informacijos ir atitinkamai pakeičia sąlygines B ir C tikimybes į „1“ ir „0“.
Dėl to išraiškos yra tokios formos:
P(B) = 2/3*1 = 2/3
Taigi dalyvis turėtų pakeisti savo pradinį pasirinkimą – tokiu atveju jo laimėjimo tikimybė bus lygi 2/3.
Vienas iš paprasčiausių paaiškinimų yra toks: jei pakeisite duris po GM veiksmų, tada jūs laimėsite, jei iš pradžių pasirinkote pralaimėjusias duris (tada GM atidarys antras pralaimėjusias duris ir turėsite pakeisti savo pasirinkimą, kad laimėtumėte). O pralaimėjusias duris iš pradžių galima rinktis 2 būdais (tikimybė 2/3), t.y. jei pakeisite duris, laimite 2/3 tikimybe.
Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta užduotis vadinama Monty Hall paradoksas, t.y. paradoksas kasdienine prasme.
O intuityvus suvokimas toks: atidaręs duris su ožiu, šeimininkas iškelia žaidėjui naują užduotį, kuri niekaip nesusijusi su ankstesniu pasirinkimu – juk ožka bus už atvirų durų nepaisant to, ar žaidėjas anksčiau pasirinko ožką arba automobilį. Atidarius trečiąsias duris, žaidėjas turi pasirinkti dar kartą – ir pasirinkti arba tas pačias duris, kurias pasirinko anksčiau, arba kitas. Tai yra, kol jis nekeičia savo ankstesnio pasirinkimo, o daro naują. Matematinis sprendimas mano, kad dvi iš eilės einančios lyderio užduotys yra susijusios viena su kita.
Tačiau reikėtų atsižvelgti į veiksnį nuo sąlygos, kad šeimininkas atidarys duris su ožiu iš likusių dviejų, o ne žaidėjo pasirinktas duris. Todėl likusios durys turi didesnę galimybę automobiliui, nes jos nebuvo pasirinktos šeimininku. Jei vertintume atvejį, kai lyderis, žinodamas, kad už žaidėjo pasirinktų durų yra ožka, vis dėlto atidaro šias duris, tai darydamas sąmoningai sumažina žaidėjo galimybes pasirinkti tinkamas duris, nes. teisingo pasirinkimo tikimybė bus jau 1/2. Tačiau tokio žaidimo taisyklės bus skirtingos.
Pateikime dar vieną paaiškinimą. Tarkime, kad žaidžiate pagal aukščiau aprašytą sistemą, t.y. iš dviejų likusių durų visada pasirenkate kitas duris, kurios skiriasi nuo pradinio pasirinkimo. Kuriuo atveju tu pralaimėsi? Praradimas ateis tada ir tik tada, kai nuo pat pradžių pasirinksite duris, už kurių stovi automobilis, nes vėliau neišvengiamai apsigalvosite durų su ožiu naudai, visais kitais atvejais laimėti, ty jei nuo pat pradžių Neteisingas durų pasirinkimas. Bet tikimybė iš pat pradžių pasirinkti duris su ožiuku yra 2/3, todėl išeina, kad norint laimėti reikia klaidos, kurios tikimybė yra dvigubai didesnė už teisingą pasirinkimą.
Pamini
- Filme „Dvidešimt vienas“ mokytoja Miki Rosa siūlo pagrindiniam herojui Benui išspręsti problemą: už trijų durų stovi du motoroleriai ir viena mašina, reikia atspėti duris kartu su mašina. Po pirmojo pasirinkimo Miki pasiūlo pasirinkimą pakeisti. Benas sutinka ir matematiškai pagrindžia savo sprendimą. Taigi jis nevalingai išlaiko testą Mikio komandai.
- Sergejaus Lukjanenkos romane „Kluttyopa“ pagrindiniai veikėjai šios technikos pagalba laimi vežimą ir galimybę tęsti kelionę.
- Televizijos seriale „4isla“ (1 sezono „Mano medžioklė“ 13 serija) vienas pagrindinių veikėjų Charlie Eppsas populiarioje matematikos paskaitoje paaiškina Monty Hall paradoksą, aiškiai iliustruodamas jį žymeklių pagalba. , kurio kitose pusėse nupieštos ožkos ir automobilis. Čarlis automobilį suranda pakeisdamas pasirinkimą. Tačiau reikia pažymėti, kad jis vykdo tik vieną eksperimentą, o valiutos keitimo strategijos nauda yra statistinė, o norint teisingai iliustruoti, reikia atlikti keletą eksperimentų.
- Monty Holo paradoksas aptariamas Marko Haddono istorijos „Keistas įvykis apie šunį naktį“ herojaus dienoraštyje.
- „MythBusters“ išbandytas „Monty Hall“ paradoksas
taip pat žr
- Bertrano paradoksas
Nuorodos
Monty Hall paradoksas Vikiknygose Monty Hall paradoksas„Wikimedia Commons“. - Interaktyvus prototipas: tiems, kurie nori kvailioti (karta atsiranda po pirmojo pasirinkimo)
- Interaktyvus prototipas: tikras žaidimo prototipas (kortelės generuojamos prieš atranką, prototipo darbas skaidrus)
- Paaiškinamas vaizdo įrašas Smart Videos.ru
- Weissteinas, Ericas W.„Monty Hall Paradox“ (anglų kalba) Wolfram MathWorld svetainėje.
- „Monty Hall“ paradoksas televizijos laidos „Sudaryk sandorį“ svetainėje
- Ištrauka iš S. Lukjanenkos knygos, kurioje naudojamas Monty Hall paradoksas
- Kitas Bajeso sprendimas Kitas Bajeso sprendimas Novosibirsko valstybinio universiteto forume
Literatūra
- Gmurmanas V.E. Tikimybių teorija ir matematinė statistika, - M .: Aukštasis išsilavinimas. 2005 m
- Gnedin, Sasha "Mondee Gills žaidimas". Žurnalas Matematinis intelektas, 2011 m. http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
- Parado žurnalas vasario 17 d.
- vos Savant, Marilyn. Klauskite Marilyn rubrikos, žurnalo Parado žurnalas vasario 26 d.
- Bapeswara Rao, V. V. ir Rao, M. Bhaskara. „Trejų durų žaidimo šou ir kai kurie jo variantai“. Žurnalas Matematikos mokslininkas, 1992, № 2.
- Tijms, Henkas. Tikimybių, atsitiktinumo taisyklių supratimas kasdieniame gyvenime. Cambridge University Press, Niujorkas, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)
Pastabos
Wikimedia fondas. 2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „Monty Hall paradoksas“ kituose žodynuose:
Ieškodamas automobilio, žaidėjas pasirenka 1 duris. Tada šeimininkas atidaro 3 duris, už kurių yra ožka, ir paragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą į 2 duris. Ar jis turėtų tai padaryti? Monty Hall paradoksas yra viena iš gerai žinomų teorijos problemų ... ... Wikipedia
- (Kaklaraiščio paradoksas) yra gerai žinomas paradoksas, panašus į dviejų vokų problemą, kuris taip pat parodo subjektyvaus tikimybių teorijos suvokimo ypatumus. Paradokso esmė: du vyrai vienas kitam dovanoja kalėdinius jų nupirktus kaklaraiščius ... ... Vikipedija