Pagrindinės elementarios funkcijos ir jų savybės. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai
1) Funkcijų apimtis ir funkcijų diapazonas.
Funkcijos apimtis yra visų galiojančių argumento reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) apibrėžta. Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y kad funkcija priima.
Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.
2) Funkcijos nuliai.
Funkcijos nulis yra argumento, kuriame funkcijos reikšmė lygi nuliui, reikšmė.
3) Funkcijos ženklų pastovumo intervalai.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra tokie argumentų reikšmių rinkiniai, kuriuose funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.
4) Funkcijos monotoniškumas.
Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) – funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
5) Lyginės (nelyginės) funkcijos.
Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašiai.
Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
6) Ribotos ir neribotos funkcijos.
Funkcija vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija neapribota.
7) Funkcijos periodiškumas.
Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos srities f(x+T) = f(x). Šis mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. (Trigonometrinės formulės).
19. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai. Funkcijų taikymas ekonomikoje.
Pagrindinės elementarios funkcijos. Jų savybės ir grafikai
1. Tiesinė funkcija.
Linijinė funkcija vadinama formos funkcija, kur x yra kintamasis, o b yra realieji skaičiai.
Skaičius a vadinamas tiesės nuolydžiu, jis yra lygus šios tiesės polinkio kampo į teigiamą x ašies kryptį liestinei. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Jis apibrėžiamas dviem taškais.
Tiesinės funkcijos ypatybės
1. Apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė: D (y) \u003d R
2. Reikšmių aibė yra visų realiųjų skaičių aibė: E(y)=R
3. Funkcija įgyja nulinę arba reikšmę.
4. Funkcija didėja (mažėja) visoje apibrėžimo srityje.
5. Tiesinė funkcija yra ištisinė visoje apibrėžimo srityje, diferencijuojama ir .
2. Kvadratinė funkcija.
Formos funkcija, kur x yra kintamasis, koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, vadinama kvadratinis.
Nacionalinis tyrimų universitetas
Taikomosios geologijos katedra
Esė apie aukštąją matematiką
Tema: „Pagrindinės elementarios funkcijos,
jų savybės ir grafikai“
Užbaigta:
Patikrinta:
mokytojas
Apibrėžimas. Funkcija, pateikta formule y=a x (kur a>0, a≠1), vadinama eksponentine funkcija su baze a.
Suformuluokime pagrindines eksponentinės funkcijos savybes:
1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (R).
2. Vertybių diapazonas yra visų teigiamų realiųjų skaičių aibė (R+).
3. Kai a > 1, funkcija didėja visoje realioje eilutėje; 0 val<а<1 функция убывает.
4. Yra bendroji funkcija.
, intervale xн [-3;3]
, intervale xн [-3;3] Funkcija, kurios forma yra y(х)=х n , kur n yra skaičius ОR, vadinama laipsnio funkcija. Skaičius n gali turėti skirtingas reikšmes: ir sveikąjį, ir trupmeninį, ir lyginį, ir nelyginį. Atsižvelgiant į tai, galios funkcija bus kitokia. Apsvarstykite specialius atvejus, kurie yra galios funkcijos ir atspindi pagrindines šio tipo kreivių savybes tokia tvarka: laipsnio funkcija y \u003d x² (funkcija su lyginiu eksponentu - parabolė), galios funkcija y \u003d x³ (funkcija su nelyginiu eksponentu - kubine parabole) ir funkcija y \u003d √ x (x iki ½ laipsnio) (funkcija su trupmeniniu rodikliu), funkcija su neigiamu sveikuoju skaičiumi (hiperbolė).
Maitinimo funkcija y=x²
1. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;
2. E(y)= ir didėja intervale
Maitinimo funkcija y=x³
1. Funkcijos y \u003d x³ grafikas vadinamas kubine parabole. Galios funkcija y=x³ turi šias savybes:
2. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija paima visas reikšmes savo apibrėžimo srityje;
4. Kai x=0 y=0 – funkcija eina per pradžią O(0;0).
5. Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.
6. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei).
, intervale xн [-3;3] Priklausomai nuo skaitinio koeficiento priešais x³, funkcija gali būti stati / plokščia ir didinti / mažėti.
Galios funkcija su sveikuoju neigiamu rodikliu:
Jei rodiklis n yra nelyginis, tai tokios laipsnio funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu turi šias savybes:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bet kuriam n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jei n yra nelyginis skaičius; E(y)=(0;∞) jei n yra lyginis skaičius;
3. Funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje, jei n yra nelyginis skaičius; funkcija didėja intervale (-∞;0) ir mažėja intervale (0;∞), jei n yra lyginis skaičius.
4. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei), jei n yra nelyginis skaičius; funkcija yra net jei n yra lyginis skaičius.
5. Funkcija eina per taškus (1;1) ir (-1;-1), jei n yra nelyginis skaičius ir per taškus (1;1) ir (-1;1), jei n yra lyginis skaičius.
, intervale xн [-3;3] Galios funkcija su trupmeniniu rodikliu
Laipsnio funkcija su formos trupmeniniu rodikliu (paveikslėlis) turi funkcijos grafiką, parodytą paveikslėlyje. Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu turi šias savybes: (paveikslėlis)
1. D(x) нR, jei n yra nelyginis skaičius ir D(x)= 
, intervale xн 
, intervale xн [-3;3]
Logaritminė funkcija y \u003d log a x turi šias savybes:
1. Apibrėžimo sritis D(x)н (0; + ∞).
2. Vertybių diapazonasE(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė (bendra).
4. Funkcija didėja intervalu (0; + ∞), kai a > 1, mažėja, kai (0; + ∞), kai 0< а < 1.
Funkcijos y = log a x grafiką galima gauti iš funkcijos y = a x grafiko, naudojant simetrijos transformaciją apie tiesę y = x. 9 paveiksle pavaizduotas logaritminės funkcijos grafikas, kai > 1, o 10 paveiksle - 0< a < 1.
; intervale xО 
; intervale xО Funkcijos y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x vadinamos trigonometrinėmis funkcijomis.
Funkcijos y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x yra nelyginės, o funkcija y \u003d cos x yra lyginės.
Funkcija y \u003d sin (x).
1. Apibrėžimo sritis D(x) ОR.
2. Reikšmių diapazonas E(y) О [ - 1; vienas].
3. Funkcija yra periodinė; pagrindinis periodas yra 2π.
4. Funkcija nelyginė.
5. Funkcija didėja intervalais [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ir mažėja intervalais [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Funkcijos y \u003d sin (x) grafikas parodytas 11 paveiksle.
Atkarpos ilgis koordinačių ašyje randamas pagal formulę:
Atkarpos ilgio koordinačių plokštumoje ieškoma pagal formulę:
Norint rasti atkarpos ilgį trimatėje koordinačių sistemoje, naudojama ši formulė:
Atkarpos vidurio koordinatės (koordinačių ašiai naudojama tik pirmoji formulė, koordinačių plokštumai - pirmosios dvi formulės, trimatei koordinačių sistemai - visos trys formulės) apskaičiuojamos pagal formules:
Funkcija yra formos atitikimas y= f(x) tarp kintamųjų, dėl kurių kiekviena svarstoma kurio nors kintamojo reikšmė x(argumentas arba nepriklausomas kintamasis) atitinka tam tikrą kito kintamojo reikšmę, y(priklausomas kintamasis, kartais ši reikšmė tiesiog vadinama funkcijos reikšme). Atminkite, kad funkcija daro prielaidą, kad viena argumento reikšmė X priklausomo kintamojo gali būti tik viena reikšmė adresu. Tačiau ta pati vertė adresu galima gauti su įvairiais X.
Funkcijos apimtis yra visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (paprastai funkcijos argumentas X), kuriai apibrėžta funkcija, t.y. jos prasmė egzistuoja. Nurodyta apibrėžimo sritis D(y). Apskritai, jūs jau esate susipažinę su šia sąvoka. Funkcijos apimtis kitaip vadinama galiojančių reikšmių domenu arba ODZ, kurią jau seniai pavyko rasti.
Funkcijų diapazonas yra visos galimos šios funkcijos priklausomo kintamojo reikšmės. Žymima E(adresu).
Funkcija pakyla intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Funkcija mažėja intervale, kuriame didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
Funkcijų intervalai yra nepriklausomo kintamojo intervalai, kuriais priklausomas kintamasis išlaiko teigiamą arba neigiamą ženklą.
Funkcijos nuliai yra tos argumento reikšmės, kurių funkcijos reikšmė lygi nuliui. Šiuose taškuose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (OX ašį). Labai dažnai poreikis rasti funkcijos nulius reiškia tiesiog išspręsti lygtį. Taip pat dažnai poreikis rasti pastovaus ženklo intervalus reiškia poreikį tiesiog išspręsti nelygybę.
Funkcija y = f(x) yra vadinami net X
Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms lyginės funkcijos reikšmės yra lygios. Lyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas operatyvinio stiprintuvo y ašiai.
Funkcija y = f(x) yra vadinami nelyginis, jei ji apibrėžta simetrinėje aibėje ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė įvykdoma:
Tai reiškia, kad bet kokioms priešingoms argumento reikšmėms nelyginės funkcijos reikšmės taip pat yra priešingos. Nelyginės funkcijos grafikas visada yra simetriškas kilmės atžvilgiu.
Lyginių ir nelyginių funkcijų (abscisių ašies OX susikirtimo taškų) suma visada lygi nuliui, nes už kiekvieną teigiamą šaknį X turi neigiamą šaknį X.
Svarbu pažymėti, kad kai kurios funkcijos nebūtinai turi būti lyginės ar nelyginės. Yra daug funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Tokios funkcijos vadinamos bendrosios funkcijos, ir nė viena iš aukščiau nurodytų lygybių ar savybių jiems negalioja.
Linijinė funkcija vadinama funkcija, kurią galima pateikti pagal formulę:
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija ir bendruoju atveju atrodo taip (pavyzdys pateikiamas atvejui, kai k> 0, šiuo atveju funkcija didėja; už bylą k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Kvadratinės funkcijos grafikas (parabolė)
Parabolės grafikas pateikiamas kvadratine funkcija:
Kvadratinė funkcija, kaip ir bet kuri kita funkcija, kerta OX ašį taškuose, kurie yra jos šaknys: ( x vienas; 0) ir ( x 2; 0). Jei šaknų nėra, tai kvadratinė funkcija nekerta OX ašies, jei yra viena šaknis, tai šiame taške ( x 0; 0) kvadratinė funkcija tik paliečia OX ašį, bet jos nekerta. Kvadratinė funkcija visada kerta OY ašį taške, kurio koordinatės: (0; c). Kvadratinės funkcijos (parabolės) grafikas gali atrodyti taip (paveiksle pateikti pavyzdžiai, kurie toli gražu neišnaudoja visų galimų parabolių tipų):
Kur:
- jei koeficientas a> 0, funkcijoje y = kirvis 2 + bx + c, tada parabolės šakos nukreiptos į viršų;
- jeigu a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Parabolės viršūnių koordinates galima apskaičiuoti naudojant šias formules. X viršūnės (p- aukščiau pateiktuose paveiksluose) parabolės (arba taško, kuriame kvadratinis trinaris pasiekia didžiausią arba mažiausią vertę):
Y viršūnės (q- aukščiau pateiktuose paveiksluose) parabolės arba maksimumo, jei parabolės šakos nukreiptos žemyn ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), kvadratinio trinalio vertė:
Kitų funkcijų grafikai
galios funkcija
Štai keletas galios funkcijų grafikų pavyzdžių:
Atvirkščiai proporcinga priklausomybė iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:
Priklausomai nuo skaičiaus ženklo k Atvirkščiai proporcingas grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:
Asimptotė yra tiesė, prie kurios funkcijos grafiko linija priartėja be galo, bet nesikerta. Aukščiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotų atvirkštinio proporcingumo grafikų asimptotės yra koordinačių ašys, prie kurių funkcijos grafikas priartėja be galo, bet jų nekerta.
eksponentinė funkcija su baze a iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:
a eksponentinės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis (taip pat pateiksime pavyzdžių, žr. toliau):
logaritminė funkcija iškvieskite funkciją, pateiktą pagal formulę:
Priklausomai nuo to, ar skaičius didesnis ar mažesnis už vieną a Logaritminės funkcijos grafikas gali turėti dvi pagrindines parinktis:
Funkcijų grafikas y = |x| taip:
Periodinių (trigonometrinių) funkcijų grafikai
Funkcija adresu = f(x) vadinamas periodinis leidinys, jei yra toks ne nulis skaičius T, ką f(x + T) = f(x), bet kam X už funkcijos ribų f(x). Jei funkcija f(x) yra periodinis su tašku T, tada funkcija:
kur: A, k, b yra pastovūs skaičiai ir k nelygu nuliui, taip pat periodiškai su tašku T 1 , kuris nustatomas pagal formulę:
Dauguma periodinių funkcijų pavyzdžių yra trigonometrinės funkcijos. Čia pateikiami pagrindinių trigonometrinių funkcijų grafikai. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta funkcijos grafiko dalis y= nuodėmė x(visas grafikas tęsiasi neribotai į kairę ir į dešinę), funkcijos grafikas y= nuodėmė x paskambino sinusoidinė:
Funkcijų grafikas y= cos x paskambino kosinuso banga. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Nuo sinuso grafiko jis tęsiasi neribotą laiką išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę:
Funkcijų grafikas y=tg x paskambino tangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.
Ir galiausiai funkcijos grafikas y=ctg x paskambino kotangentoidinis. Šis grafikas parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje. Kaip ir kitų periodinių ir trigonometrinių funkcijų grafikai, šis grafikas neribotą laiką kartojasi išilgai OX ašies į kairę ir į dešinę.
Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įgyvendinimas leis jums parodyti puikų KT rezultatą, maksimalų, ką galite.
Radote klaidą?
Jei, kaip jums atrodo, mokymo medžiagoje radote klaidą, parašykite apie tai el. Taip pat galite parašyti apie klaidą socialiniame tinkle (). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, užduoties numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra tariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba paaiškinama, kodėl tai ne klaida.
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), šaknis n laipsnis, galios funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.
Nuolatinė funkcija.
Pastovi funkcija visų realiųjų skaičių aibėje pateikiama pagal formulę , kur C yra tikrasis skaičius. Pastovi funkcija susieja kiekvieną nepriklausomo kintamojo tikrąją reikšmę x ta pati priklausomo kintamojo reikšmė y- prasmė NUO. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.
Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką su koordinatėmis (0,C). Pavyzdžiui, rodome pastovių funkcijų grafikus y = 5,y=-2 ir , kurios žemiau esančiame paveikslėlyje atitinka atitinkamai juodą, raudoną ir mėlyną linijas.
Pastovios funkcijos savybės.
Apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių rinkinys.
Nuolatinė funkcija yra lygi.
Vertybių diapazonas: rinkinys, susidedantis iš vieno skaičiaus NUO.
Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
Asimptoto nėra.
Funkcija eina per tašką (0,C) koordinačių plokštuma.
N-ojo laipsnio šaknis.
Apsvarstykite pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė , kur n yra natūralusis skaičius, didesnis už vieną.
N-ojo laipsnio šaknis n yra lyginis skaičius.
Pradėkime nuo šaknies funkcijos n-tasis laipsnis lyginėms šaknies eksponento reikšmėms n.
Pavyzdžiui, pateikiame paveikslėlį su funkcijų grafikų vaizdais 
ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.
Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią formą kitoms rodiklio reikšmėms.
Šaknies funkcijos savybėsn – lyginis laipsnisn .
N-ojo laipsnio šaknis n yra nelyginis skaičius.
šaknies funkcija n-asis laipsnis su nelyginiu šaknies rodikliu n apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, pateikiame funkcijų grafikus 
ir , juodos, raudonos ir mėlynos kreivės atitinka jas.