Bendroji trigonometrinių lygčių forma. Sudėtingesnės trigonometrinės lygtys

Trigonometrinių lygčių sprendimo samprata.

• Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, konvertuokite ją į vieną ar daugiau pagrindinių trigonometrinių lygčių. Trigonometrinės lygties sprendimas galiausiai yra keturių pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

• Yra 4 pagrindinių trigonometrinių lygčių tipai:
• sin x = a; cos x = a
• įdegis x = a; ctg x = a
• Sprendžiant pagrindines trigonometrines lygtis, reikia pažvelgti į skirtingas x padėtis vieneto apskritime, taip pat naudoti konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą).
• 1 pavyzdys. sin x = 0.866. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: 2π/3. Atminkite: visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai yra, jų reikšmės kartojasi. Pavyzdžiui, sin x ir cos x periodiškumas yra 2πn, o tg x ir ctg x – πn. Taigi atsakymas parašytas taip:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2 pavyzdys cos x = -1/2. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = 2π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• 3 pavyzdys. tg (x - π/4) = 0.
• Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn.
• 4 pavyzdys. ctg 2x = 1,732.
• Atsakymas: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacijos, naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis.

• Trigonometrinėms lygtims transformuoti naudojamos algebrinės transformacijos (faktorizavimas, vienarūšių dėmenų redukcija ir kt.) ir trigonometrinės tapatybės.
• 5 pavyzdys. Naudojant trigonometrines tapatybes, lygtis sin x + sin 2x + sin 3x = 0 paverčiama lygtimi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Taigi, šios pagrindinės trigonometrinės lygtys reikia išspręsti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Kampų paieška pagal žinomas funkcijų reikšmes.

  • Prieš išmokdami išspręsti trigonometrines lygtis, turite išmokti rasti kampus pagal žinomų funkcijų reikšmes. Tai galima padaryti naudojant konvertavimo lentelę arba skaičiuotuvą.
  • Pavyzdys: cos x = 0,732. Skaičiuoklė pateiks atsakymą x = 42,95 laipsniai. Vienetinis apskritimas duos papildomų kampų, kurių kosinusas taip pat lygus 0,732.

• Atidėkite tirpalą ant vieneto apskritimo.

  • Galite pateikti trigonometrinės lygties sprendinius vienetiniame apskritime. Vienetinio apskritimo trigonometrinės lygties sprendiniai yra taisyklingo daugiakampio viršūnės.
  • Pavyzdys: Vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/3 + πn/2 yra kvadrato viršūnės.
  • Pavyzdys: vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/4 + πn/3 yra taisyklingo šešiakampio viršūnės.

• Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

  • Jei pateiktoje trigonometrinėje lygtyje yra tik viena trigonometrinė funkcija, išspręskite šią lygtį kaip pagrindinę trigonometrinę lygtį. Jei ši lygtis apima dvi ar daugiau trigonometrinių funkcijų, tai yra 2 būdai tokiai lygčiai išspręsti (priklausomai nuo jos transformacijos galimybės).
    • 1 būdas
  • Paverskite šią lygtį į tokios formos lygtį: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) yra pagrindinės trigonometrinės lygtys.
  • 6 pavyzdys. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formulę sin 2x = 2*sin x*cos x, pakeiskite sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos x = 0 ir (sin x + 1) = 0.
  • 7 pavyzdys cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Sprendimas: Naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2cos x + 1) = 0.
  • 8 pavyzdys. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Sprendimas: Naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2sin x + 1) = 0.
    • 2 būdas
  • Konvertuokite pateiktą trigonometrinę lygtį į lygtį, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija. Tada šią trigonometrinę funkciją pakeiskite kokia nors nežinoma, pavyzdžiui, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t ir tt).
  • 9 pavyzdys. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Sprendimas. Šioje lygtyje (cos^2 x) pakeiskite (1 - sin^2 x) (pagal tapatybę). Transformuota lygtis atrodo taip:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x pakeiskite t. Dabar lygtis atrodo taip: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tai kvadratinė lygtis su dviem šaknimis: t1 = -1 ir t2 = 9/5. Antroji šaknis t2 neatitinka funkcijos diapazono (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10 pavyzdys. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Sprendimas. Pakeiskite tg x į t. Perrašykite pradinę lygtį taip: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Dabar raskite t ir raskite x, jei t = tg x.

Kompleksinio žinių taikymo pamoka.

Pamokos tikslai.

1. Apsvarstykite įvairius trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.
2. Mokinių kūrybinių gebėjimų ugdymas sprendžiant lygtis.
3. Mokinių skatinimas savikontrolei, tarpusavio kontrolei, savo ugdomosios veiklos savianalizei.

Įranga: ekranas, projektorius, informacinė medžiaga.

Per užsiėmimus

Įžanginis pokalbis.

Pagrindinis trigonometrinių lygčių sprendimo būdas yra paprasčiausias jų redukavimas. Šiuo atveju naudojami įprasti metodai, pavyzdžiui, faktorizavimas, taip pat metodai, naudojami tik trigonometrinėms lygtims spręsti. Šių gudrybių yra gana daug, pavyzdžiui, įvairūs trigonometriniai keitimai, kampinės transformacijos, trigonometrinių funkcijų transformacijos. Beatodairiškas bet kokių trigonometrinių transformacijų taikymas paprastai nesupaprastina lygties, bet ją pražūtingai apsunkina. Norint bendrais bruožais parengti lygties sprendimo planą, nubrėžti būdą, kaip lygtį redukuoti iki paprasčiausio, pirmiausia reikia išanalizuoti kampus – į lygtį įtrauktų trigonometrinių funkcijų argumentus.

Šiandien kalbėsime apie trigonometrinių lygčių sprendimo būdus. Teisingai pasirinktas metodas dažnai leidžia gerokai supaprastinti sprendimą, todėl visi mūsų tyrinėti metodai visada turi būti mūsų dėmesio zonoje, kad trigonometrines lygtis būtų išspręsta tinkamiausiu būdu.

II. (Naudodami projektorių pakartojame lygčių sprendimo būdus.)

1. Trigonometrinės lygties redukavimo į algebrinę metodas.

Visas trigonometrines funkcijas reikia išreikšti vienu, tuo pačiu argumentu. Tai galima padaryti naudojant pagrindinę trigonometrinę tapatybę ir jos padarinius. Gauname lygtį su viena trigonometrine funkcija. Laikydami jį kaip naują nežinomąjį, gauname algebrinę lygtį. Surandame jo šaknis ir grįžtame į seną nežinomybę, išspręsdami paprasčiausias trigonometrines lygtis.

2. Faktorizacijos metodas.

Norint pakeisti kampus, dažnai praverčia redukcinės formulės, argumentų sumos ir skirtumai, taip pat trigonometrinių funkcijų sumos (skirtumo) konvertavimo į sandaugą formulės ir atvirkščiai.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Papildomo kampo įvedimo būdas.

4. Universalaus pakeitimo panaudojimo būdas.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 formos lygtys redukuojamos į algebrines lygtis, naudojant universalųjį trigonometrinį pakaitalą

Išreiškiant sinusą, kosinusą ir liestinę pusės kampo liestine. Šis triukas gali sukelti aukštesnės eilės lygtį. Kurio sprendimas yra sunkus.

Sudėtingesnės trigonometrinės lygtys

Lygtys

nuodėmė x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

yra paprasčiausios trigonometrinės lygtys. Šiame skyriuje, naudodami konkrečius pavyzdžius, nagrinėsime sudėtingesnes trigonometrines lygtis. Jų sprendimas, kaip taisyklė, sumažinamas iki paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo.

Pavyzdys 1 . išspręsti lygtį

nuodėmė 2 X= cos X nuodėmė 2 x.

Perkeldami visas šios lygties sąlygas į kairę pusę ir gautą išraišką išskaidę į veiksnius, gauname:

nuodėmė 2 X(1 – cos X) = 0.

Dviejų išraiškų sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, o kitas įgauna bet kokią skaitinę reikšmę, jei ji yra apibrėžta.

Jeigu nuodėmė 2 X = 0 , tada 2 X=n π ; X = π / 2n.

Jeigu 1 - cos X = 0 , tada cos X = 1; X = 2kπ .

Taigi, gavome dvi šaknų grupes: X = π / 2n; X = 2kπ . Antroji šaknų grupė akivaizdžiai yra pirmoje, nes n = 4k išraiška X = π / 2n tampa
X = 2kπ .

Todėl atsakymą galima parašyti viena formule: X = π / 2n, kur n- bet koks sveikasis skaičius.

Atkreipkite dėmesį, kad šios lygties nepavyko išspręsti sumažinus nuodėme 2 x. Iš tiesų, po redukavimo gautume 1 - cos x = 0, iš kur X= 2k π . Taigi, pavyzdžiui, prarastume kai kurias šaknis π / 2 , π , 3π / 2 .

2 PAVYZDYS. išspręsti lygtį

Trupmena lygi nuliui tik tada, kai jos skaitiklis lygus nuliui.
Štai kodėl nuodėmė 2 X = 0 , iš kur 2 X=n π ; X = π / 2n.

Iš šių vertybių X turėtų būti atmestos kaip pašalinės tos vertės, kurioms nuodėmėX išnyksta (trumpos su nuliniais vardikliais yra beprasmės: dalyba iš nulio neapibrėžta). Šios reikšmės yra skaičiai, kurie yra kartotiniai π . Formulėje
X = π / 2n jie gaunami už net n. Todėl šios lygties šaknys bus skaičiai

X = π / 2 (2k + 1),

kur k yra bet koks sveikasis skaičius.

Pavyzdys 3 . išspręsti lygtį

2 nuodėmė 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Express nuodėmė 2 X per cosx : nuodėmė 2 X = 1 - cos 2x . Tada šią lygtį galima perrašyti kaip

2 (1 – cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , arba

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

reiškiantis cosx per adresu, gauname kvadratinę lygtį

2 m. 2 - 7 m + 3 = 0,

kurių šaknys yra skaičiai 1/2 ir 3. Vadinasi, arba cos x= 1/2 arba cos X= 3. Tačiau pastarasis neįmanomas, nes bet kurio kampo kosinuso absoliuti reikšmė neviršija 1.

Belieka tai pripažinti cos x = 1 / 2 , kur

x = ± 60° + 360° n.

Pavyzdys 4 . išspręsti lygtį

2 nuodėmė X+ 3 cos x = 6.

Nes nuodėmė x ir cos x neviršija 1 absoliučia verte, tada išraiška
2 nuodėmė X+ 3 cos x negali prisiimti didesnių vertybių nei 5 . Todėl ši lygtis neturi šaknų.

Pavyzdys 5 . išspręsti lygtį

nuodėmė X+ cos x = 1

Padėdami abi šios lygties puses kvadratu, gauname:

nuodėmė 2 X+ 2 nuodėmė x cos x+ cos2 x = 1,

bet nuodėmė 2 X + cos 2 x = 1 . Štai kodėl 2 nuodėmė x cos x = 0 . Jeigu nuodėmė x = 0 , tada X = nπ ; jeigu
cos x , tada X = π / 2 + kπ . Šias dvi sprendinių grupes galima parašyti vienoje formulėje:

X = π / 2n

Kadangi abi šios lygties dalis pabrėžėme kvadratu, neatmetama galimybė, kad tarp mūsų gautų šaknų yra pašalinių. Štai kodėl šiame pavyzdyje, skirtingai nei visuose ankstesniuose, būtina atlikti patikrinimą. Visos vertybės

X = π / 2n galima suskirstyti į 4 grupes

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

At X = 2kπ nuodėmė x+ cos x= 0 + 1 = 1. Todėl X = 2kπ yra šios lygties šaknys.

At X = π / 2 + 2kπ. nuodėmė x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ taip pat yra šios lygties šaknys.

At X = π + 2kπ nuodėmė x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Todėl reikšmės X = π + 2kπ nėra šios lygties šaknys. Panašiai parodyta, kad X = 3π / 2 + 2kπ. nėra šaknys.

Taigi ši lygtis turi šias šaknis: X = 2kπ ir X = π / 2 + 2 mπ., kur k ir m- bet kokie sveikieji skaičiai.

Pamoka ir pranešimas tema: „Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje „Integral“ 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arccotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys – lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartojame paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1) Jei |а|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |а|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visose formulėse k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: Т(kx+m)=a, T- bet kuri trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Sprendimas:

A) Šį kartą iš karto pereisime prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir suraskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Išspręskime savo lygtį bendra forma: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Jei k Kai k=0, x= π/16, esame duotame segmente .
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, jie pataiko dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, nepataikysime ir dėl didelio k.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes apsvarstėme paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti savo lygtį, naudojame naujo kintamojo įvedimo metodą, žymimą: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskite kvadratinės lygties šaknis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gavome paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis tampa tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin(x)+b cos(x) formos lygtis vadinama pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalijame ją iš cos (x): Neįmanoma padalyti iš kosinuso, jei jis lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nėra lygūs nuliui tuo pačiu metu, gavome prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimkite bendrą koeficientą: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a \u003d 0, mūsų lygtis bus tokia forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesniame. skaidrė

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties dalis iš kosinuso kvadrato, gauname:

Pakeitę kintamąjį t=tg(x), gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį #:3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkite iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskite kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį #:4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį #:5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įvedame pakeitimą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo užduotys.

1) Išspręskite lygtį

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešaisiais interesais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.