Atvirkštinės funkcijos algoritmas atvirkštinei funkcijai nustatyti. Atvirkštinės funkcijos samprata
Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas ir jos savybės: tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų tarpusavio monotoniškumo lema; tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų simetrija; teoremos apie atvirkštinės funkcijos egzistavimą ir tęstinumą funkcijai, kuri yra griežtai monotoniška atkarpoje, intervale ir pusės intervale. Atvirkštinių funkcijų pavyzdžiai. Problemos sprendimo pavyzdys. Savybių ir teoremų įrodymai.
Apibrėžimas ir savybės
Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
Tegul funkcija turi domeną X ir reikšmių rinkinį Y. Ir tegul turi turtą:
visiems .
Tada bet kuriam elementui iš aibės Y galima susieti tik vieną aibės X elementą, kuriam . Šis atitikimas apibrėžia funkciją, vadinamą atvirkštinė funkcijaį . Atvirkštinė funkcija žymima taip:
.
Iš apibrėžimo išplaukia, kad
;
visiems ;
visiems .
Savybė apie tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų simetriją
Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesioginės linijos atžvilgiu.
Teorema apie atvirkštinės funkcijos atkarpoje egzistavimą ir tęstinumą
Tegul funkcija yra nuolatinė ir griežtai didėjanti (mažėjanti) intervale . Tada intervale atvirkštinė funkcija yra apibrėžta ir tolydi, kuri griežtai didėja (mažėja).
Dėl didėjančios funkcijos. Dėl nusileidimo - .
Teorema apie atvirkštinės funkcijos egzistavimą ir tęstinumą intervale
Tegul funkcija yra nuolatinė ir griežtai didėjanti (mažėjanti) atvirame baigtiniame arba begaliniame intervale. Tada atvirkštinė funkcija apibrėžiama ir tęsiasi intervale, kuris griežtai didėja (mažėja).
Dėl didėjančios funkcijos.
Nusileidimui: .
Panašiu būdu galima suformuluoti teoremą apie atvirkštinės funkcijos egzistavimą ir tęstinumą per pusę intervalo.
Jei funkcija yra nepertraukiama ir griežtai didėja (mažėja) per pusę intervalo arba , tai ant pusės intervalo arba apibrėžiama atvirkštinė funkcija, kuri griežtai didėja (mažėja). čia .
Jei jis griežtai didėja, tada intervalai ir atitinka intervalus ir . Jei griežtai mažėja, tada intervalai ir atitinka intervalus ir .
Ši teorema įrodoma taip pat, kaip ir teorema apie atvirkštinės funkcijos egzistavimą ir tęstinumą intervale.
Atvirkštinių funkcijų pavyzdžiai
Arčinas
Sklypai y= nuodėmė x ir atvirkštinė funkcija y = arcsin x.
Apsvarstykite trigonometrinę funkciją sinusas: . Jis yra apibrėžtas ir tęsiamas visoms argumento reikšmėms, bet nėra monotoniškas. Tačiau jei apibrėžimo sritis susiaurinama, galima išskirti monotoniškas dalis. Taigi segmente funkcija yra apibrėžta, nenutrūkstama, griežtai didėjanti ir imanti reikšmes iš -1 prieš +1 . Todėl ji turi atvirkštinę funkciją, kuri vadinama arcsinusu. Arsinusas turi apibrėžimo sritį ir reikšmių rinkinį.
Logaritmas
Sklypai y= 2 x ir atvirkštinė funkcija y = rąstas 2 x.
Eksponentinė funkcija yra apibrėžta, nuolatinė ir griežtai didėjanti visoms argumento reikšmėms. Jo reikšmių rinkinys yra atviras intervalas. Atvirkštinė funkcija yra dviejų bazinių logaritmų. Ji turi apimtį ir vertybių rinkinį.
Kvadratinė šaknis
Sklypai y=x 2 ir atvirkštinė funkcija.
Galios funkcija yra apibrėžta ir nenutrūkstama visiems. Jo reikšmių rinkinys yra pusės intervalas. Tačiau tai nėra monotoniška visoms argumento vertybėms. Tačiau pusės intervale jis yra nuolatinis ir griežtai monotoniškai didėjantis. Todėl, jei kaip domeną imame aibę, tada yra atvirkštinė funkcija, vadinama kvadratine šaknimi. Atvirkštinė funkcija turi apibrėžimo sritį ir reikšmių rinkinį.
Pavyzdys. N laipsnio šaknies egzistavimo ir unikalumo įrodymas
Įrodykite, kad lygtis , kur n yra natūralusis skaičius, yra tikrasis neneigiamas skaičius, turi unikalų realiųjų skaičių aibės sprendimą. Šis sprendimas vadinamas n-ąja a šaknimi. Tai reiškia, kad turite parodyti, kad bet kuris neneigiamas skaičius turi unikalią n laipsnio šaknį.
Apsvarstykite kintamojo x funkciją:
(P1) .
Įrodykime, kad jis yra tęstinis.
Naudodamiesi tęstinumo apibrėžimu, mes tai parodome
.
Taikome Niutono binominę formulę:
(P2)
.
Taikykime funkcijos ribų aritmetines savybes. Nuo tada tik pirmasis narys yra nulis:
.
Tęstinumas įrodytas.
Įrodykime, kad funkcija (P1) griežtai didėja kaip .
Paimkime savavališkus skaičius, sujungtus nelygybėmis:
,
,
.
Turime tai parodyti. Supažindinkime su kintamaisiais. Tada . Kadangi , iš (A2) matyti, kad . Arba
.
Įrodytas griežtas padidėjimas.
Raskite funkcijų reikšmių rinkinį.
Taške,.
Raskime ribą.
Norėdami tai padaryti, pritaikykite Bernulio nelygybę. Kai turime:
.
Nuo tada ir .
Taikydami be galo didelių funkcijų nelygybių savybę, nustatome, kad .
Šiuo būdu, , .
Pagal atvirkštinės funkcijos teoremą atvirkštinė funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale. Tai reiškia, kad bet kuriam yra unikalus dalykas, kuris atitinka lygtį. Kadangi turime , tai reiškia, kad bet kuriai lygtis turi unikalų sprendimą, kuris vadinamas n laipsnio šaknimi iš skaičiaus x:
.
Savybių ir teoremų įrodymai
Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų tarpusavio monotoniškumo lemos įrodymas
Tegul funkcija turi domeną X ir reikšmių rinkinį Y. Įrodykime, kad ji turi atvirkštinę funkciją. Remdamiesi , turime tai įrodyti
visiems .
Tarkime, priešingai. Tegul būna skaičiai, taigi. Leiskite tuo pačiu metu. Kitu atveju pakeičiame žymėjimą taip, kad jis būtų . Tada dėl griežto f monotoniškumo turi galioti viena iš nelygybių:
jei f griežtai didėja;
jei f griežtai mažėja.
T.y . Kilo prieštaravimas. Todėl jis turi atvirkštinę funkciją.
Tegul funkcija griežtai didėja. Įrodykime, kad atvirkštinė funkcija taip pat griežtai didėja. Supažindinsime su užrašu:
. Tai yra, turime įrodyti, kad jei , Tada .
Tarkime, priešingai. Leisk, bet.
Jei tada . Ši byla baigta.
Leisti būti . Tada dėl griežto funkcijos padidėjimo , arba . Kilo prieštaravimas. Todėl galimas tik atvejis.
Įrodyta, kad lema turi griežtai didėjančią funkciją. Šią lemą panašiu būdu galima įrodyti griežtai mažėjančiai funkcijai.
Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų simetrijos savybės įrodymas
Leisti būti savavališkas tiesioginės funkcijos grafiko taškas:
(2.1)
.
Parodykime, kad taškas , simetriškas taškui A tiesės atžvilgiu, priklauso atvirkštinės funkcijos grafikui:
.
Iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo išplaukia, kad
(2.2)
.
Taigi, turime parodyti (2.2).
Atvirkštinės funkcijos y = f grafikas -1 (x) yra simetriškas tiesioginės funkcijos y = f grafikui (x) tiesės atžvilgiu y = x .
Iš taškų A ir S nuleidžiame statmenas ant koordinačių ašių. Tada
,
.
Per tašką A brėžiame tiesei statmeną tiesę. Tegul linijos susikerta taške C. Mes tiesiame tašką S tiesėje taip, kad . Tada taškas S bus simetriškas taškui A tiesės atžvilgiu.
Apsvarstykite trikampius ir . Jie turi dvi vienodo ilgio kraštines: ir , ir lygius kampus tarp jų: . Todėl jie sutampa. Tada
.
Panagrinėkime trikampį. Nuo tada
.
Tas pats pasakytina ir apie trikampį:
.
Tada
.
Dabar randame:
;
.
Taigi (2.2) lygtis:
(2.2)
yra patenkintas, nes , ir (2.1) yra patenkintas:
(2.1)
.
Kadangi tašką A pasirinkome savavališkai, tai taikoma visiems grafiko taškams:
visi funkcijos grafiko taškai, simetriškai atspindėti tiesės atžvilgiu, priklauso atvirkštinės funkcijos grafikui.
Tada galime apsikeisti vietomis. Kaip rezultatas, mes gauname
visi funkcijos grafiko taškai, simetriškai atsispindintys apie tiesę, priklauso funkcijos grafikui.
Iš to seka, kad funkcijų ir grafikai yra simetriški tiesės atžvilgiu.
Turtas įrodytas.
Teoremos apie atvirkštinės funkcijos intervale egzistavimą ir tęstinumą įrodymas
Leisti žymi funkcijos apibrėžimo sritį – segmentą .
1. Parodykime, kad funkcijos reikšmių rinkinys yra intervalas :
,
kur .
Iš tiesų, kadangi funkcija yra ištisinė atkarpoje, tai pagal Weierstrass teoremą joje ji pasiekia savo minimumą ir maksimumą. Tada, pagal Bolzano-Cauchy teoremą, funkcija paima visas reikšmes iš segmento. Tai yra, bet kuriai egzistuoja, kuriai . Kadangi yra minimumas ir maksimumas, funkcija perima tik segmento reikšmes iš rinkinio .
2. Kadangi funkcija yra griežtai monotoniška, tai pagal tai, kas išdėstyta aukščiau, yra atvirkštinė funkcija , kuri taip pat yra griežtai monotoniška (padidėja, jei didėja, ir mažėja, jei mažėja). Atvirkštinės funkcijos domenas yra rinkinys, o reikšmių rinkinys yra rinkinys.
3. Dabar įrodome, kad atvirkštinė funkcija yra tolydi.
3.1. Tegul yra savavališkas atkarpos vidinis taškas: . Įrodykime, kad atvirkštinė funkcija šiuo metu yra tolydi.
Tegul jis atitinka esmę. Kadangi atvirkštinė funkcija yra griežtai monotoniška, tai yra segmento vidinis taškas:
.
Pagal tęstinumo apibrėžimą turime įrodyti, kad bet kuriai yra tokia funkcija, kad
(3.1)
visiems .
Atkreipkite dėmesį, kad galime imtis savavališkai mažų. Iš tiesų, jei radome tokią funkciją, kad nelygybės (3.1) tenkinamos esant pakankamai mažoms reikšmėms, tada jos automatiškai bus patenkintos bet kokioms didelėms reikšmėms, jei nustatysime .
Paimkime jį tokį mažą, kad taškai ir priklausytų segmentui :
.
Supažindinsime ir sutvarkykime užrašą:
.
Transformuojame pirmąją nelygybę (3.1):
(3.1)
visiems .
;
;
;
(3.2)
.
Kadangi tai griežtai monotoniška, iš to išplaukia
(3.3.1)
, jei padidėja;
(3.3.2)
jei jis sumažės.
Kadangi atvirkštinė funkcija taip pat yra griežtai monotoniška, nelygybės (3.3) reiškia nelygybes (3.2).
Bet kokiam ε > 0 egzistuoja δ, taigi |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε visiems |y - y 0 | < δ .
Nelygybės (3.3) apibrėžia atvirą intervalą, kurio galus nuo taško skiria atstumai ir . Tegul yra mažiausias iš šių atstumų:
.
Dėl griežto monotoniškumo , , . Štai kodėl . Tada intervalas bus nelygybių apibrėžtame intervale (3.3). Ir visoms jai priklausančioms vertybėms bus patenkintos nelygybės (3.2).
Taigi, mes nustatėme, kad pakankamai mažas , egzistuoja , todėl
adresu .
Dabar pakeiskime užrašą.
Pakankamai mažiems yra toks, kad
adresu .
Tai reiškia, kad atvirkštinė funkcija yra nuolatinė vidiniuose taškuose.
3.2. Dabar apsvarstykite apibrėžimo srities galus. Čia visi argumentai išlieka tie patys. Reikia atsižvelgti tik į vienpuses šių taškų apylinkes. Vietoj taško bus arba , o vietoje taško - arba .
Taigi, norint padidinti funkciją, .
adresu .
Atvirkštinė funkcija yra nuolatinė , nes bet kuriai pakankamai mažai yra , todėl
adresu .
Mažėjančiai funkcijai , .
Atvirkštinė funkcija yra nuolatinė , nes bet kuriai pakankamai mažai yra , todėl
adresu .
Atvirkštinė funkcija yra nuolatinė , nes bet kuriai pakankamai mažai yra , todėl
adresu .
Teorema įrodyta.
Teoremos apie atvirkštinės funkcijos intervale egzistavimą ir tęstinumą įrodymas
Tegul žymi funkcijos sritį – atvirą intervalą. Leisti būti jo verčių rinkinys. Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, yra atvirkštinė funkcija, kuri turi apibrėžimo sritį, reikšmių rinkinį ir yra griežtai monotoniška (padidėja, jei ji didėja, ir mažėja, jei mažėja). Mums belieka tai įrodyti
1) aibė yra atviras intervalas , ir tai
2) atvirkštinė funkcija joje yra ištisinė.
čia .
1. Parodykime, kad funkcijos reikšmių rinkinys yra atviras intervalas:
.
Kaip ir bet kuris netuščias rinkinys, kurio elementai turi palyginimo operaciją, funkcijų reikšmių rinkinys turi apatinę ir viršutinę ribas:
.
Čia ir gali būti baigtiniai skaičiai arba simboliai ir .
1.1. Parodykime, kad taškai ir nepriklauso funkcijos reikšmių rinkiniui. Tai reiškia, kad verčių rinkinys negali būti segmentas.
Jei arba yra taškas begalybėje: arba , tada toks taškas nėra aibės elementas. Todėl ji negali priklausyti vertybių rinkiniui.
Tegul (arba ) yra baigtinis skaičius. Tarkime, priešingai. Tegul taškas (arba ) priklauso funkcijos reikšmių rinkiniui. Tai yra, yra tokių, kuriems (arba ). Paimkite taškus ir patenkinkite nelygybes:
.
Kadangi funkcija yra griežtai monotoniška, tada
, jei f didėja;
jei f mažėja.
Tai yra, mes radome tašką, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė (didesnė nei
). Bet tai prieštarauja apatinio (viršutinio) veido apibrėžimui, pagal kurį
visiems
.
Todėl taškai
Ir
negali priklausyti vertybių rinkiniui
funkcijas
.
1.2. Dabar parodykime, kad reikšmių rinkinys yra intervalas , o ne intervalų ir taškų sąjunga. Tai yra, bet kokiam taškui egzistuoja , kuriam .
Pagal apatinio ir viršutinio veidų apibrėžimus, bet kurioje taškų kaimynystėje
Ir
yra bent vienas rinkinio elementas
.
Leisti būti
- savavališkas skaičius, priklausantis intervalui
:
.
Tada į apylinkes
egzistuoja
,
kuriam
.
Dėl kaimynystės
egzistuoja
,
kuriam
.
Tiek, kiek
Ir
,
tada
.
Tada
(4.1.1)
jeigu
dideja;
(4.1.2)
jeigu
mažėja.
Nelygybes (4.1) lengva įrodyti prieštaravimu. Bet jūs galite naudoti , pagal kurį rinkinyje
yra atvirkštinė funkcija
,
kuri griežtai didėja, jei
ir griežtai mažėja, jei
.
Tada iš karto gauname nelygybes (4.1).
Taigi turime segmentą
,
kur
jeigu
dideja;
jeigu
mažėja.
Segmento galuose funkcija paima reikšmes
Ir
.
Tiek, kiek
,
tada pagal Bolzano-Cauchy teoremą yra taškas
,
kuriam
.
Tiek, kiek , mes taip parodėme, kad bet kuriai egzistuoja , kuriam . Tai reiškia, kad funkcijos reikšmių rinkinys yra atviras intervalas .
2. Dabar parodykime, kad atvirkštinė funkcija yra ištisinė savavališkame taške intervalas : . Norėdami tai padaryti, kreipkitės į segmentą . Tiek, kiek , tada atvirkštinė funkcija ištisinis segmente , įskaitant taške .
Teorema įrodyta.
Nuorodos:
O.I. Demonai. Matematinės analizės paskaitos. 1 dalis. Maskva, 2004 m.
CM. Nikolskis. Matematinės analizės kursas. 1 tomas. Maskva, 1983 m.
Tarkime, kad turime kokią nors funkciją y = f (x), kuri yra griežtai monotoniška (mažėjanti arba didėjanti) ir tolydi srityje x ∈ a ; b; jo reikšmių diapazonas yra y ∈ c ; d , o intervale c ; d tuo pačiu metu turėsime funkciją x = g (y) su reikšmių diapazonu a ; b. Antroji funkcija taip pat bus nuolatinė ir griežtai monotoniška. y = f (x) atžvilgiu tai bus atvirkštinė funkcija. Tai reiškia, kad galime kalbėti apie atvirkštinę funkciją x = g (y), kai y = f (x) duotame intervale arba mažės, arba padidės.
Šios dvi funkcijos, f ir g , bus viena kitai atvirkštinės.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kam mums apskritai reikalinga atvirkštinių funkcijų sąvoka?
To mums reikia norint išspręsti lygtis y = f (x) , kurios parašytos tik naudojant šias išraiškas.
Tarkime, kad reikia rasti lygties cos (x) = 1 3 sprendimą. Jo sprendiniai yra du taškai: x = ± a r c o c s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z
Atvirkščiai vienas kito atžvilgiu bus, pavyzdžiui, arkosino ir kosinuso funkcijos.
Išanalizuokime keletą problemų, kaip rasti funkcijas, atvirkštines duotoms.
1 pavyzdys
Būklė: kokia yra atvirkštinė funkcija y = 3 x + 2 ?
Sprendimas
Sąlygoje nurodytos funkcijos apibrėžimų sritis ir reikšmių sritis yra visų realiųjų skaičių rinkinys. Pabandykime išspręsti šią lygtį per x, tai yra, išreikšdami x per y.
Gauname x = 1 3 y - 2 3 . Tai mums reikalinga atvirkštinė funkcija, bet čia y bus argumentas, o x bus funkcija. Pertvarkykime juos, kad būtų geriau žinomi užrašai:
Atsakymas: funkcija y = 1 3 x - 2 3 bus atvirkštinė y = 3 x + 2 .
Abi tarpusavyje atvirkštinės funkcijos gali būti nubraižytos taip:
Matome abiejų grafikų simetriją y = x atžvilgiu. Ši linija yra pirmojo ir trečiojo kvadrantų pusiausvyra. Gavome vienos iš abipusiai atvirkštinių funkcijų savybių įrodymą, kurį aptarsime vėliau.
Paimkime pavyzdį, kuriame reikia rasti logaritminę funkciją, atvirkštinę duoto eksponento vertę.
2 pavyzdys
Būklė: nustatyti, kuri funkcija bus atvirkštinė, kai y = 2 x .
Sprendimas
Tam tikros funkcijos apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai. Reikšmių diapazonas yra intervale 0 ; +∞ . Dabar turime išreikšti x per y, tai yra, išspręsti nurodytą lygtį per x. Gauname x = log 2 y . Pertvarkykite kintamuosius ir gaukite y = log 2 x .
Dėl to mes gavome eksponentinę ir logaritmines funkcijas, kurios bus viena kitai atvirkštinės visoje apibrėžimo srityje.
Atsakymas: y = log 2 x .
Diagramoje abi funkcijos atrodys taip:
Pagrindinės abipusiai atvirkštinių funkcijų savybės
Šiame poskyryje išvardijame pagrindines funkcijų y = f (x) ir x = g (y) savybes, kurios yra tarpusavyje atvirkštinės.
1 apibrėžimas
- Pirmąją savybę jau išvedėme anksčiau: y = f (g (y)) ir x = g (f (x)) .
- Antroji savybė išplaukia iš pirmosios: apibrėžimo y = f (x) sritis sutaps su atvirkštinės funkcijos sritimi x = g (y) ir atvirkščiai.
- Atvirkštinių funkcijų grafikai bus simetriški y = x atžvilgiu.
- Jei y = f (x) didėja, tai x = g (y) taip pat didės, o jei y = f (x) mažėja, tai x = g (y) taip pat mažės.
Rekomenduojame atidžiai apsvarstyti apibrėžimo srities ir funkcijų apimties sąvokas ir niekada jų nepainioti. Tarkime, kad turime dvi tarpusavyje atvirkštines funkcijas y = f (x) = a x ir x = g (y) = log a y . Pagal pirmąją savybę y = f (g (y)) = a log a y . Ši lygybė bus teisinga tik esant teigiamoms y reikšmėms, o neigiamoms reikšmėms logaritmas neapibrėžtas, todėl neskubėkite užsirašyti, kad log a y = y . Būtinai patikrinkite ir pridėkite, kad tai galioja tik teigiamam y .
Tačiau lygybė x \u003d f (g (x)) \u003d log a a x \u003d x bus teisinga bet kurioms tikrosioms x reikšmėms.
Nepamirškite apie tai, ypač jei turite dirbti su trigonometrinėmis ir atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis. Taigi, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, nes arcsinuso diapazonas yra π 2 ; π 2 ir 7 π 3 į jį neįtraukti. Teisingas įrašas bus
a r c sin sin 7 π 3 \u003d a r c sin sin 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d kaip a s u l p r i o n i o n \u003d a r c nuodėmė \ π 03 d
Bet sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 yra teisinga lygybė, t.y. sin (a r c sin x) = x x ∈ - 1 ; 1 ir a r c sin (sin x) = x, kai x ∈ - π 2 ; π 2 . Visada būkite atsargūs su atvirkštinių funkcijų apimtimi ir apimtimi!
- Pagrindinės abipusiai atvirkštinės funkcijos: galia
Jei turime laipsnio funkciją y = x a , tai x > 0 laipsnio funkcija x = y 1 a taip pat bus atvirkštinė. Pakeiskime raides ir gaukime atitinkamai y = x a ir x = y 1 a.
Diagramoje jie atrodys taip (atvejai su teigiamu ir neigiamu koeficientu a):
- Pagrindinės abipusiai atvirkštinės funkcijos: eksponentinė ir logaritminė
Paimkime a, kuris bus teigiamas skaičius, nelygus 1 .
Grafikai funkcijoms, kurių a > 1 ir a< 1 будут выглядеть так:
- Pagrindinės tarpusavyje atvirkštinės funkcijos: trigonometrinė ir atvirkštinė trigonometrinė
Jei mums reikia nubraižyti pagrindinę sinuso ir arcsinuso šaką, ji atrodys taip (rodoma paryškintoje šviesoje).
Pamokos tikslai:
Švietimas:
- formuoti žinias nauja tema pagal programos medžiagą;
- ištirti funkcijos neapverčiamumo savybę ir išmokyti rasti funkciją, atvirkštinę duotajai funkcijai;
Kuriama:
- ugdyti savikontrolės įgūdžius, dalykinę kalbą;
- įsisavinti atvirkštinės funkcijos sampratą ir išmokti atvirkštinės funkcijos radimo metodus;
Ugdomasis: formuoti komunikacinę kompetenciją.
Įranga: kompiuteris, projektorius, ekranas, SMART Board interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga (savarankiškas darbas) grupiniam darbui.
Per užsiėmimus.
1. Organizacinis momentas.
Tikslas – mokinių paruošimas darbui klasėje:
Nėra apibrėžimas,
Mokinių požiūris į darbą, dėmesio organizavimas;
Pranešimas apie pamokos temą ir tikslą.
2. Mokinių pagrindinių žinių atnaujinimas. priekinė apklausa.
Tikslas – nustatyti studijuojamos teorinės medžiagos teisingumą ir sąmoningumą, nagrinėjamos medžiagos pasikartojimą.<Приложение 1 >
Funkcijos grafikas rodomas studentams skirtoje interaktyvioje lentoje. Mokytojas suformuluoja užduotį – apsvarstyti funkcijos grafiką ir išvardinti ištirtas funkcijos savybes. Studentai išvardija funkcijos savybes pagal tyrimo projektą. Mokytojas, esantis funkcijos grafiko dešinėje, interaktyvioje lentoje žymekliu užrašo įvardintas savybes.
Funkcijos savybės:
Studijos pabaigoje mokytoja praneša, kad šiandien pamokoje susipažins su dar viena funkcijos savybe – grįžtamumu. Norint prasmingai studijuoti naują medžiagą, mokytojas kviečia vaikus susipažinti su pagrindiniais klausimais, į kuriuos mokiniai turi atsakyti pamokos pabaigoje. Klausimai rašomi ant paprastos lentos ir kiekvienas mokinys turi dalomąją medžiagą (išdalinamą prieš pamoką)
- Kas yra grįžtamoji funkcija?
- Ar kiekviena funkcija yra grįžtama?
- Kas yra atvirkštinė duota funkcija?
- Kaip yra susiję apibrėžimo sritis ir funkcijos bei jos atvirkštinės funkcijos reikšmių rinkinys?
- Jei funkcija pateikta analitiškai, kaip formule apibrėžti atvirkštinę funkciją?
- Jei funkcija pateikta grafiškai, kaip pavaizduoti jos atvirkštinę funkciją?
3. Naujos medžiagos paaiškinimas.
Tikslas - pagal programos medžiagą formuoti žinias nauja tema; ištirti funkcijos neapverčiamumo savybę ir išmokyti rasti funkciją, atvirkštinę duotajai funkcijai; plėtoti temą.
Mokytojas veda medžiagos pristatymą pagal pastraipos medžiagą. Interaktyvioje lentoje mokytojas lygina dviejų funkcijų grafikus, kurių apibrėžimo sritys ir reikšmių rinkiniai yra vienodi, tačiau viena iš funkcijų yra monotoniška, o kita – ne, taip supažindindama mokinius su apverčiamosios funkcijos samprata. .
Tada mokytojas suformuluoja apverčiamosios funkcijos apibrėžimą ir, naudodamas monotoninės funkcijos grafiką interaktyvioje lentoje, atlieka apverčiamosios funkcijos teoremos įrodymą.
1 apibrėžimas: iškviečiama funkcija y=f(x), x X grįžtamasis, jei ji įgauna kurią nors iš jo reikšmių tik viename aibės X taške.
Teorema: Jei funkcija y=f(x) yra monotoniška aibėje X , tai ji yra apverčiama.
Įrodymas:
- Tegul funkcija y=f(x) padidėja iki X Paleisk x 1 ≠ x 2- du rinkinio taškai X.
- Tikslumui leiskite x 1<
x 2.
Tada nuo ko x 1< x 2 seka tuo f(x 1) < f(x 2). - Taigi skirtingos argumento reikšmės atitinka skirtingas funkcijos reikšmes, t.y. funkcija yra grįžtama.
(Teoremos įrodinėjimo metu mokytojas brėžinyje su žymekliu pateikia visus reikiamus paaiškinimus)
Prieš formuluodamas atvirkštinės funkcijos apibrėžimą, mokytojas prašo mokinių nustatyti, kuri iš siūlomų funkcijų yra grįžtama? Interaktyvioje lentoje rodomi funkcijų grafikai ir parašytos kelios analitiškai apibrėžtos funkcijos:
B) 
G) y = 2x + 5
D) y = -x 2 + 7
Mokytojas pristato atvirkštinės funkcijos apibrėžimą.
2 apibrėžimas: tegul apverčiama funkcija y=f(x) apibrėžta rinkinyje X Ir E(f)=Y. Suderinkime kiekvieną y iš Y tada vienintelė prasmė X, kuriame f(x)=y. Tada gauname funkciją, kuri yra apibrėžta Y, bet X yra funkcijos diapazonas
Ši funkcija pažymėta x=f -1 (y) ir vadinama atvirkštine funkcija y=f(x).
Studentai kviečiami padaryti išvadą apie apibrėžimo srities ir atvirkštinių funkcijų reikšmių rinkinio ryšį.
Norėdamas apsvarstyti klausimą, kaip rasti atvirkštinę duotosios funkcijos funkciją, mokytojas įtraukė du mokinius. Dieną prieš tai vaikai gavo mokytojo užduotį savarankiškai išanalizuoti analitinius ir grafinius metodus, kaip rasti atvirkštinę duotąją funkciją. Mokytojas veikė kaip konsultantas ruošiant mokinius pamokai.
Pirmojo mokinio žinutė.
Pastaba: funkcijos monotoniškumas yra pakankamai atvirkštinės funkcijos egzistavimo sąlyga. Bet tai nėra būtina sąlyga.
Studentas pateikė įvairių situacijų pavyzdžių, kai funkcija ne monotoniška, o grįžtama, kai funkcija nemonotoniška ir negrįžtama, kai ji monotoniška ir grįžtama.
Tada studentas supažindina studentus su analitiniu būdu pateiktos atvirkštinės funkcijos nustatymo metodu.
Algoritmo paieška
- Įsitikinkite, kad funkcija yra monotoniška.
- Išreikškite x kaip y.
- Pervardykite kintamuosius. Vietoj x \u003d f -1 (y) jie rašo y \u003d f -1 (x)
Tada išsprendžia du pavyzdžius, kad surastų duotosios atvirkštinės funkcijos funkciją.
1 pavyzdys: Parodykite, kad funkcijai y=5x-3 yra atvirkštinė funkcija, ir raskite jos analitinę išraišką.
Sprendimas. Tiesinė funkcija y=5x-3 apibrėžiama R, didėja R, o jos diapazonas yra R. Vadinasi, atvirkštinė funkcija egzistuoja R. Norėdami rasti jos analitinę išraišką, išsprendžiame lygtį y=5x-3 atsižvelgiant į x; gauname Tai norima atvirkštinė funkcija. Jį apibrėžia ir padidina R.
2 pavyzdys: Parodykite, kad funkcijai y=x 2 , x≤0 yra atvirkštinė funkcija, ir raskite jos analitinę išraišką.
Funkcija yra ištisinė, monotoniška savo apibrėžimo srityje, todėl yra apverčiama. Išanalizavus apibrėžimo sritis ir funkcijos reikšmių rinkinį, daroma atitinkama išvada apie atvirkštinės funkcijos analitinę išraišką.
Antrasis studentas pristato pristatymą apie grafinis kaip rasti atvirkštinę funkciją. Aiškinimo metu mokinys naudojasi interaktyviosios lentos galimybėmis.
Norint gauti funkcijos y=f -1 (x) grafiką, atvirkštinę funkcijai y=f(x), reikia funkcijos y=f(x) grafiką transformuoti simetriškai tiesės atžvilgiu. y=x.
Aiškinimo metu interaktyvioje lentoje atliekama ši užduotis:
Sukurkite funkcijos grafiką ir jos atvirkštinės funkcijos grafiką toje pačioje koordinačių sistemoje. Užrašykite atvirkštinės funkcijos analitinę išraišką.
4. Pirminis naujos medžiagos fiksavimas.
Tikslas – nustatyti studijuojamos medžiagos supratimo teisingumą ir sąmoningumą, nustatyti pirminio medžiagos supratimo spragas, jas ištaisyti.
Mokiniai skirstomi į poras. Jiems duodami lapai su užduotimis, kuriose jie dirba poromis. Darbo atlikimo laikas ribotas (5-7 min.). Viena mokinių pora dirba kompiuteriu, projektorius tam laikui išjungtas, o kiti vaikai nemato, kaip mokiniai dirba kompiuteriu.
Pasibaigus laikui (manoma, kad darbą atliko dauguma mokinių), interaktyvioji lenta (projektorius vėl įsijungia) rodo mokinių darbą, kur testo metu išsiaiškinama, kad užduotis atlikta m. porų. Jei reikia, mokytojas atlieka taisomąjį, aiškinamąjį darbą.
Savarankiškas darbas poromis<2 priedas >
5. Pamokos rezultatas. Apie klausimus, kurie buvo užduoti prieš paskaitą. Pamokos pažymių paskelbimas.
Namų darbai §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)
Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė 2 dalyse švietimo įstaigoms (profilio lygis) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova ir kt.; red. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007
Atitinkami posakiai, kurie virsta vienas kitu. Norint suprasti, ką tai reiškia, verta apsvarstyti konkretų pavyzdį. Tarkime, kad turime y = cos(x). Jei iš argumento paimsime kosinusą, galime rasti y reikšmę. Akivaizdu, kad tam reikia turėti x. Bet ką daryti, jei žaidėjas iš pradžių yra duotas? Štai čia ir patenkama į reikalo esmę. Norint išspręsti problemą, reikia naudoti atvirkštinę funkciją. Mūsų atveju tai yra arckozinas.
Po visų transformacijų gauname: x = arccos(y).
Tai yra, norint rasti funkciją, atvirkštinę duotajai funkcijai, pakanka tiesiog iš jos išreikšti argumentą. Bet tai veikia tik tuo atveju, jei rezultatas turės vieną reikšmę (apie tai vėliau).
Apskritai šį faktą galima užrašyti taip: f(x) = y, g(y) = x.
Apibrėžimas
Tegul f yra funkcija, kurios domenas nustatytas X, o domenas Y. Tada jei yra g, kurio sritys atlieka priešingas užduotis, tada f yra grįžtamasis.
Be to, šiuo atveju g yra unikalus, o tai reiškia, kad yra būtent viena funkcija, kuri tenkina šią savybę (ne daugiau, ne mažiau). Tada ji vadinama atvirkštine funkcija, o raštu žymima taip: g (x) \u003d f -1 (x).
Kitaip tariant, į juos galima žiūrėti kaip į dvejetainį ryšį. Grįžtamumas vyksta tik tada, kai vienas aibės elementas atitinka vieną reikšmę iš kitos.
Ne visada yra atvirkštinė funkcija. Norėdami tai padaryti, kiekvienas elementas y є Y turi atitikti daugiausia vieną x є X. Tada f vadinamas vienas su vienu arba injekcija. Jei f -1 priklauso Y, tai kiekvienas šios aibės elementas turi atitikti kokį nors x ∈ X. Funkcijos su šia savybe vadinamos surjekcijomis. Tai galioja pagal apibrėžimą, jei Y yra vaizdas f, tačiau taip yra ne visada. Kad funkcija būtų atvirkštinė, ji turi būti ir injekcija, ir išmetimas. Tokios išraiškos vadinamos bijekcijomis.
Pavyzdys: kvadrato ir šaknies funkcijos
Funkcija apibrėžta )