Raskite gretimų kampų sumą. Kokie kampai vadinami gretimi? Kokia yra dviejų gretimų kampų suma
I SKYRIUS.
PAGRINDINĖS SĄVOKOS.
§vienuolika. GRETIMAS IR VERTIKALŪS KAMPAI.
1. Gretimi kampai.
Jei tęsiame kurio nors kampo kraštą už jo viršūnės, gausime du kampus (72 pav.): / Saulė ir / SVD, kurioje viena pusė BC yra bendra, o kitos dvi AB ir BD sudaro tiesią liniją.
Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.
Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (neguli ant duotosios tiesės), tai gauname gretimus kampus.
Pavyzdžiui, /
ADF ir /
FDВ - gretimi kampai (73 pav.).
Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).
Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų umma yra 2d.
Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.
Žinodami vieno iš gretimų kampų reikšmę, galime rasti kito gretimo kampo reikšmę.
Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 3/5 d, tada antrasis kampas bus lygus:
2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.
2. Vertikalūs kampai.
Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 brėžinyje kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.
Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.
Leisti / 1 = 7 / 8 d(76 pav.). Šalia jo / 2 bus lygus 2 d- 7 / 8 d, ty 1 1/8 d.
Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra lygi /
3 ir /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(77 pav.).
Mes tai matome / 1 = / 3 ir / 2 = / 4.
Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.
Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.
Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti samprotavimu, įrodymu.
Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):
/
a +/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(nes gretimų kampų suma lygi 2 d).
/ a +/ c = / b+/ c
(kadangi kairioji šios lygybės pusė lygi 2 d, o jo dešinioji pusė taip pat lygi 2 d).
Ši lygybė apima tą patį kampą Su.
Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: / a = / b, t.y., vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.
Svarstydami vertikalių kampų klausimą, pirmiausia paaiškinome, kurie kampai vadinami vertikaliais, t.y. apibrėžimas vertikalūs kampai.
Tada padarėme sprendimą (teiginį) apie vertikalių kampų lygybę ir šio sprendimo pagrįstumu buvome įsitikinę įrodymu. Tokie sprendimai, kurių pagrįstumas turi būti įrodytas, yra vadinami teoremos. Taigi, šiame skyriuje pateikėme vertikalių kampų apibrėžimą, taip pat išdėstėme ir įrodėme teoremą apie jų savybę.
Ateityje studijuodami geometriją nuolat teks susidurti su teoremų apibrėžimais ir įrodymais.
3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.
79 piešinyje /
1, /
2, /
3 ir /
4 yra toje pačioje tiesės pusėje ir turi bendrą šios tiesios viršūnę. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Ant piešinio 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ir / 5 turi bendrą viršų. Sumuojant šie kampai sudaro pilną kampą, t.y. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Pratimai.
1. Vienas iš gretimų kampų yra 0,72 d. Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro šių gretimų kampų pusiausvyros.
2. Įrodykite, kad dviejų gretimų kampų pusiausvyros sudaro statųjį kampą.
3. Įrodykite, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir gretimi jų kampai yra lygūs.
4. Kiek porų gretimų kampų yra 81 brėžinyje?
5. Ar gretimų kampų pora gali susidėti iš dviejų smailiųjų kampų? iš dviejų buko kampų? stačiu ir buku kampu? stačiu ir smailiu kampu?
6. Jei vienas iš gretimų kampų yra teisingas, tai ką galima pasakyti apie kampo, esančio šalia jo, reikšmę?
7. Jei dviejų tiesių susikirtimo vietoje yra vienas stačias kampas, tai ką galima pasakyti apie kitų trijų kampų dydį?
2) Kiek bendrų taškų gali turėti 2 eilutės?
3) Paaiškinkite, kas yra segmentas?
4) Paaiškinkite, kas yra spindulys. Kaip spinduliai žymimi?
5) Kokia figūra vadinama kampu?Paaiškinkite, kas yra kampo viršūnė ir kraštinės?
6) Koks kampas vadinamas dislokuotu?
7) Kokie skaičiai vadinami lygiomis?
8) Paaiškinkite, kaip palyginti 2 segmentus
9) Koks taškas vadinamas atkarpos vidurio tašku?
10) Paaiškinkite, kaip palyginti 2 kampus.
11) Kuris spindulys vadinamas kampo bisektoriumi?
12) Taškas C padalija atkarpą AB į 2 atkarpas.Kaip rasti atkarpos AB ilgį, jei žinomi atkarpų AC ir CB ilgiai?
13) Kokie įrankiai naudojami atstumams matuoti?
14) Koks yra kampo laipsnio matas?
15) Ray OS padalija kampą AOB į 2 kampus. Kaip rasti kampo AOB laipsnio matą, jei žinomi kampų AOC ir COB laipsniai?
16) Koks kampas vadinamas smailiu?Ar tiesa?Buku?
17) Kokie kampai vadinami gretimaisiais?Kokia gretimų kampų suma?
18) Kokie kampai vadinami vertikaliais?Kokią savybę turi vertikalūs kampai?
19) Kokios tiesės vadinamos statmenomis?
20) Paaiškinkite, kodėl 2 tiesės, statmenos 3-ajai, nesikerta?
21) Kokie instrumentai naudojami statant stačius kampus ant žemės?
Kiek bendrų taškų gali turėti dvi linijos?
3 Paaiškinkite, kas yra segmentas
4Paaiškinkite, kas yra spindulys. Kaip spinduliai žymimi?
Kokia figūra vadinama kampu? Paaiškinkite, kas yra kampo viršūnė ir kraštinės
6koks kampas vadinamas išskleidusiu
7 kokie skaičiai vadinami lygiomis
8paaiškinkite, kaip palyginti du segmentus
Kuris taškas vadinamas atkarpos vidurio tašku
10Paaiškinkite, kaip palyginti du kampus
11 kuris spindulys vadinamas kampo bisektoriumi
12taškas c padalija atkarpą ab į dvi atkarpas Kaip rasti atkarpos ab ilgį, jei žinomi atkarpų ac ir sb ilgiai
13Kokios priemonės naudojamos atstumams matuoti
14 koks yra kampo laipsnio matas
Spindulys os dalija kampą aob į du kampus. Kaip rasti kampo aob laipsnio matą, jei kampų aos matai
Koks kampas vadinamas smailiu?, tiesa?, buku?.
17Kokie kampai vadinami gretimaisiais?Kokia gretimų kampų suma?
18Kokie kampai vadinami vertikaliais?kokias savybes turi vertikalieji kampai
19 kurios tiesės vadinamos statmenomis
20Paaiškinkite, kodėl dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta
21 Kokie instrumentai naudojami statant stačius kampus ant žemės?
vertikali, kokią savybę turi vertikalūs kampai 5)
Padėkite plz!! plzz=**7. Įrodykite, kad jei dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė, tai vidiniai kryžminiai kampai yra lygūs, o vidinių vienpusių kampų suma yra 180 laipsnių.
8. Įrodykite, kad dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
9. Įrodykite, kad trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.
10. Įrodykite, kad bet kuris trikampis turi bent du smailiuosius kampus.
11. Koks yra trikampio išorinis kampas?
12. Įrodykite, kad trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų jam negretimų vidinių kampų sumai.
13. Įrodykite, kad trikampio išorinis kampas yra didesnis už bet kurį vidinį kampą, kuris nėra greta jo.
14. Koks trikampis vadinamas stačiu trikampiu?
15. Kokia yra stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma?
16. Kuri stačiojo trikampio kraštinė vadinama hipotenuse? Kokios pusės vadinamos kojomis?
17. Suformuluokite stačiųjų trikampių lygybės ženklą išilgai hipotenuzės ir kojos.
18. Įrodykite, kad iš bet kurio taško, esančio ne ant duotosios tiesės, galima numesti statmeną šiai tiesei ir tik vieną.
19. Kaip vadinamas atstumas nuo taško iki tiesės?
20. Paaiškinkite, koks yra atstumas tarp lygiagrečių tiesių.
Studijuojant geometrijos kursą gana dažnai susiduriama su sąvokomis „kampas“, „vertikalūs kampai“, „gretimi kampai“. Kiekvieno termino supratimas padės suprasti užduotį ir teisingai ją išspręsti. Kas yra gretimi kampai ir kaip juos nustatyti?
Gretimi kampai – sąvokos apibrėžimas
Sąvoka „gretimi kampai“ apibūdina du kampus, sudarytus iš bendro spindulio ir dviejų papildomų puslinijų, esančių toje pačioje linijoje. Visos trys sijos kyla iš to paties taško. Bendroji puslinija tuo pačiu metu yra ir vieno, ir antrojo kampo pusė.
Gretimi kampai – pagrindinės savybės
1. Remiantis gretimų kampų formuluote, nesunku pastebėti, kad tokių kampų suma visada sudaro tiesų kampą, kurio laipsnio matas yra 180 °:
- Jei μ ir η yra gretimi kampai, tai μ + η = 180°.
- Žinant vieno iš gretimų kampų reikšmę (pavyzdžiui, μ), galima nesunkiai apskaičiuoti antrojo kampo (η) laipsnio matą, naudojant išraišką η = 180° - μ.
2. Ši kampų savybė leidžia padaryti tokią išvadą: kampas, esantis greta stačiojo kampo, taip pat bus teisingas.
3. Atsižvelgiant į trigonometrines funkcijas (sin, cos, tg, ctg), remiantis gretimų kampų μ ir η redukcijos formulėmis, yra teisinga:
- sinη = sin (180° - μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° - μ) = -ctgμ.
Gretimi kampai – pavyzdžiai
1 pavyzdys
Duotas trikampis, kurio viršūnės M, P, Q – ΔMPQ. Raskite kampus, esančius greta kampų ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Išplėskime kiekvieną trikampio kraštinę kaip tiesią liniją.
- Žinodami, kad gretimi kampai vienas kitą papildo tiesiu kampu, sužinome, kad:
greta kampo ∠QMP yra ∠LMP,
greta kampo ∠MPQ yra ∠SPQ,
gretimas ∠PQM kampas yra ∠HQP.
2 pavyzdys
Vieno gretimo kampo reikšmė yra 35°. Koks yra antrojo gretimo kampo laipsnio matas?
- Du gretimi kampai sudaro 180°.
- Jei ∠μ = 35°, tai gretimas ∠η = 180° – 35° = 145°.
3 pavyzdys
Nustatykite gretimų kampų reikšmes, jei žinoma, kad vieno iš dugno laipsnio matas yra tris kartus didesnis nei kito kampo laipsnio matas.
- Vieno (mažesnio) kampo reikšmę pažymėkime per – ∠μ = λ.
- Tada pagal uždavinio sąlygą antrojo kampo reikšmė bus lygi ∠η = 3λ.
- Remiantis pagrindine gretimų kampų savybe, μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Taigi pirmasis kampas yra ∠μ = λ = 45°, o antrasis kampas yra ∠η = 3λ = 135°.
Gebėjimas apeliuoti į terminiją, taip pat pagrindinių gretimų kampų savybių žinios padės išspręsti daugelį geometrinių problemų.
Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra vienas kitą papildantys spinduliai. 20 paveiksle kampai AOB ir BOC yra gretimi.
Gretimų kampų suma yra 180°
1 teorema. Gretimų kampų suma lygi 180°.
Įrodymas. OB spindulys (žr. 1 pav.) eina tarp išvysto kampo kraštinių. Štai kodėl ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
Iš 1 teoremos išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai kampai, esantys šalia jų, yra lygūs.
Vertikalūs kampai lygūs
Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kraštinių vienas kitą papildantys spinduliai. Dviejų tiesių sankirtoje susidarę kampai AOB ir COD, BOD ir AOC yra vertikalūs (2 pav.).
2 teorema. Vertikalieji kampai lygūs.
Įrodymas. Apsvarstykite vertikalius kampus AOB ir COD (žr. 2 pav.). Kampas BOD yra greta kiekvieno kampo AOB ir COD. Pagal 1 teoremą ∠ AOB + ∠ BDS = 180°, ∠ COD + ∠ BDS = 180°.
Taigi darome išvadą, kad ∠ AOB = ∠ COD.
Išvada 1. Kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.
Apsvarstykite dvi susikertančias tieses AC ir BD (3 pav.). Jie sudaro keturis kampus. Jei vienas iš jų yra stačias (3 pav. 1 kampas), tai kiti kampai taip pat yra statūs (kampai 1 ir 2, 1 ir 4 yra gretimi, kampai 1 ir 3 yra vertikalūs). Šiuo atveju sakoma, kad šios linijos susikerta stačiu kampu ir vadinamos statmenomis (arba viena kitai statmenomis). Tiesių AC ir BD statmena žymima taip: AC ⊥ BD.
Atkarpos statmuo yra tiesė, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.
AN – statmena linijai
Apsvarstykite tiesę a ir ant jos negulėjusį tašką A (4 pav.). Sujunkite tašką A su atkarpa su tašku H tiesia linija a. Atkarpa AH vadinama statmena, nubrėžta iš taško A į tiesę a, jei tiesės AN ir a yra statmenos. Taškas H vadinamas statmens pagrindu.
Kvadrato piešimas
Ši teorema yra teisinga.
3 teorema. Iš bet kurio taško, kuris nėra tiesėje, galima nubrėžti statmeną šiai tiesei, be to, tik vieną.
Norint nubrėžti statmeną nuo taško iki tiesės brėžinyje, naudojamas piešimo kvadratas (5 pav.).
komentuoti. Teoremos teiginys paprastai susideda iš dviejų dalių. Viena dalis kalba apie tai, kas duota. Ši dalis vadinama teoremos sąlyga. Kitoje dalyje kalbama apie tai, ką reikia įrodyti. Ši dalis vadinama teoremos išvada. Pavyzdžiui, 2 teoremos sąlyga yra vertikalūs kampai; išvada – šie kampai lygūs.
Bet kurią teoremą galima detaliai išreikšti žodžiais, kad jos sąlyga prasidėtų žodžiu „jei“, o išvada – žodžiu „tada“. Pavyzdžiui, 2 teorema gali būti išsamiai išdėstyta taip: „Jei du kampai yra vertikalūs, tada jie yra lygūs“.
1 pavyzdys Vienas iš gretimų kampų yra 44°. Kam tas kitas lygus?
Sprendimas.
Kito kampo laipsnio matą pažymėkite x, tada pagal 1 teoremą.
44° + x = 180°.
Išspręsdami gautą lygtį, nustatome, kad x \u003d 136 °. Todėl kitas kampas yra 136°.
2 pavyzdys Tegul COD kampas 21 paveiksle yra 45°. Kas yra kampai AOB ir AOC?
Sprendimas.
Kampai COD ir AOB yra vertikalūs, todėl pagal 1.2 teoremą yra lygūs, t.y., ∠ AOB = 45°. Kampas AOC yra greta kampo COD, taigi pagal 1 teoremą.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
3 pavyzdys Raskite gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 3 kartus didesnis už kitą.
Sprendimas.
Mažesnio kampo laipsnio matą pažymėkite x. Tada didesnio kampo laipsnio matas bus Zx. Kadangi gretimų kampų suma lygi 180° (1 teorema), tai x + 3x = 180°, iš kur x = 45°.
Taigi gretimi kampai yra 45° ir 135°.
4 pavyzdys Dviejų vertikalių kampų suma yra 100°. Raskite kiekvieno iš keturių kampų vertę.
Sprendimas.
Tegu uždavinio sąlygą atitinka 2 pav.Vertikalūs kampai COD į AOB yra lygūs (2 teorema), vadinasi, ir jų laipsnio matai yra lygūs. Todėl ∠ COD = ∠ AOB = 50° (jų suma yra 100° pagal sąlygą). Kampas BOD (taip pat kampas AOC) yra greta kampo COD, todėl pagal 1 teoremą
∠ BDS = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
1. Gretimi kampai.
Jei tęsiame kokio nors kampo kraštinę už jos viršūnės, gauname du kampus (72 pav.): ∠ABC ir ∠CBD, kuriuose viena BC kraštinė yra bendra, o kitos dvi, AB ir BD, sudaro tiesią liniją. .
Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.
Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (neguli ant duotosios tiesės), tai gauname gretimus kampus.
Pavyzdžiui, ∠ADF ir ∠FDВ yra gretimi kampai (73 pav.).
Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).
Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų suma lygi 180°
Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.
Žinodami vieno iš gretimų kampų reikšmę, galime rasti kito gretimo kampo reikšmę.
Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 54°, tada antrasis kampas bus:
180° - 54° = l26°.
2. Vertikalūs kampai.
Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 paveiksle kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.
Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.
Tegul ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (76 pav.). ∠2 šalia jo bus lygus 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.y. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra ∠3 ir ∠4.
∠3 = 180° – 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (77 pav.).
Matome, kad ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠4.
Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.
Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.
Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti įrodymu.
Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):
∠a +∠c= 180°;
∠b+∠c= 180°;
(kadangi gretimų kampų suma yra 180°).
∠a +∠c = ∠b+∠c
(kadangi kairioji šios lygybės pusė yra 180°, o dešinė taip pat yra 180°).
Ši lygybė apima tą patį kampą Su.
Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: ∠a = ∠b, t.y., vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.
3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.
79 brėžinyje ∠1, ∠2, ∠3 ir ∠4 yra toje pačioje linijos pusėje ir turi bendrą viršūnę šioje tiesėje. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
Brėžinyje 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ir ∠5 turi bendrą viršūnę. Šie kampai sudaro visą kampą, t. y. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Kitos medžiagos