Abortas

Gauso nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Manekenų sprendimų pavyzdžiai

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip tiesinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo būdas. Metodas yra analitinis, tai yra, jis leidžia parašyti sprendimo algoritmą bendra forma, o tada pakeisti reikšmes iš konkrečių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendinių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia Gauss

Pirmiausia turite užsirašyti mūsų lygčių sistemą į Tai atrodo taip. Sistema paimama:

Koeficientai rašomi lentelės forma, o dešinėje atskirame stulpelyje – laisvieji nariai. Stulpelis su laisvaisiais nariais yra atskirtas dėl patogumo.Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.

Be to, pagrindinė matrica su koeficientais turi būti sumažinta iki viršutinės trikampio formos. Tai yra pagrindinis tikslas sprendžiant sistemą Gauso metodu. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad apatinėje kairiojoje jos dalyje būtų tik nuliai:

Tada, jei naują matricą vėl parašysite kaip lygčių sistemą, pastebėsite, kad paskutinėje eilutėje jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau esančią lygtį, randama kita šaknis ir pan.

Tai yra Gauso metodo sprendimo aprašymas pačiais bendriausiais terminais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų yra be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus sprendime naudojamus elementus Gauso metodu.

Matricos, jų savybės

Matricoje nėra paslėptos prasmės. Tai tiesiog patogus būdas įrašyti duomenis vėlesnėms operacijoms. Net moksleiviai neturėtų jų bijoti.

Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi taikant Gauso metodą, kai viskas susiveda į trikampės matricos sudarymą, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nulių galima praleisti, tačiau jie yra numanomi.

Matrica turi dydį. Jo "plotis" yra eilučių skaičius (m), jo "ilgis" yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios lotyniškos raidės) bus žymimas kaip A m×n . Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilutės ir stulpelio skaičiumi: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai , y - stulpelio numeris, pakeitimai .

B nėra pagrindinis sprendimo taškas. Iš esmės visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas pasirodys daug sudėtingesnis ir jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Sužinokite jo reikšmę dabar neverta, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; ant kiekvieno iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su "pliuso" ženklu, su nuolydžiu į kairę - su "minuso" ženklu.

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galima atlikti taip: iš eilučių skaičiaus ir stulpelių skaičiaus pasirinkti mažiausią (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinę matricą. Jei tokios matricos determinantas yra skaičius, kuris nėra nulis, tada jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos baziniu mažuoju.

Prieš sprendžiant lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks apskaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis yra nulis, galime iš karto pasakyti, kad matrica turi arba begalinį skaičių sprendinių, arba jų iš viso nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra didžiausia jo nenulinio determinanto eilė (atsimindami pagrindinį mažąjį, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka).

Atsižvelgiant į tai, kaip viskas yra su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

Bendras. At jungtinių sistemų pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės (su laisvųjų terminų stulpeliu). Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl jungčių sistemos papildomai skirstomos į:
- tam tikras- turėti unikalų sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
- neterminuota - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Tokių sistemų matricų rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
Nesuderinamas. At tokios sistemos, pagrindinės ir išplėstinės matricų eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas geras tuo, kad leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba bendrą sprendinį sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi.

Elementariosios transformacijos

Prieš pereinant tiesiai prie sistemos sprendimo, jį galima padaryti mažiau sudėtingą ir patogesnį skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Pažymėtina, kad kai kurios iš minėtų elementariųjų transformacijų galioja tik matricoms, kurių šaltinis buvo būtent SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:

Stygos permutacija. Akivaizdu, kad jei pakeisime lygčių tvarką sistemos įraše, tai sprendiniui tai neturės jokios įtakos. Vadinasi, šios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamirštant, žinoma, apie laisvųjų narių stulpelį.
Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Su juo galite sumažinti didelius skaičius matricoje arba pašalinti nulius. Sprendimų rinkinys, kaip įprasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
Ištrinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tada, padauginus / padalijus vieną iš eilučių iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kartą daugiau) visiškai identiškos eilutės, o papildomas galite pašalinti, palikdami tik vienas.
Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijų metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Neaiškiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie jo pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta žingsnis po žingsnio išardyti šį procesą. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Tada matricoje antroji eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad, pridėjus dvi eilutes, vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl sistemoje galima gauti lygtį, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei jūs gaunate dvi tokias lygtis, tada operaciją galima pakartoti ir gauti lygtį, kurioje jau bus du mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą visoms eilutėms, kurios yra žemesnės už pradinę, pasuksime į nulį vieną koeficientą, galime, kaip žingsniai, nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomuoju. Tai vadinama sistemos išsprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite užrašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Laisvųjų narių stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas juostele.

pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 / a 11);
pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečia eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a 21 pakeičiamas 31 . Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse yra lygus nuliui. Dabar turime pamiršti pirmą eilutę ir vykdyti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:

koeficientas k \u003d (-a 32 / a 22);
antroji modifikuota eilutė pridedama prie „dabartinės“ eilutės;
papildymo rezultatas pakeičiamas trečioje, ketvirtoje ir tt eilutėse, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai reiškia, kad algoritmas paskutinį kartą buvo paleistas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apačioje eilutėje yra lygybė a mn × x n = b m . Koeficientas ir laisvasis narys yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x n = b m /a mn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, siekiant rasti x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje kitoje eilutėje yra nauja šaknis ir, pasiekę sistemos „viršų“, galite rasti daugybę sprendimų. Tai bus vienintelis.

Kai nėra sprendimų

Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo taip, kad 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.

Kai sprendinių yra be galo daug

Gali pasirodyti, kad sumažintoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu elementu - lygties koeficientu, o viena - laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Tai reiškia, kad sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai – tai tie, kurie stovi laiptuotos matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi laisvaisiais.

Patogumui matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygčių dalyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jam gauta išraiška. Jei rezultatas vėl yra reiškinys, kuriame yra tik vienas pagrindinis kintamasis, jis išreiškiamas dar kartą ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis užrašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada šiuo konkrečiu atveju apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes. Yra be galo daug konkrečių sprendimų.

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

Yra žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas yra mažiausias - tada pirmieji likusių eilučių elementai po operacijų taps nuliu. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga vietoj pirmosios eilutės dėti antrą.

antroji eilutė: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia užsirašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.

Akivaizdu, kad tokią matricą kai kurių operacijų pagalba galima padaryti patogesnę suvokimui. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“ iš antrosios eilutės, padaugindami kiekvieną elementą iš „-1“.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sumažinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamas reikšmes).

Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis yra pridėti antrą eilutę prie trečios eilės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a 32 taptų lygus nuliui.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 trupmenos ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir išversti į kitą žymėjimo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuotą formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų Gauso metodu nereikia. Ką čia galima padaryti, tai iš trečios eilutės pašalinti bendrą koeficientą „-1/7“.

Dabar viskas gražu. Esmė maža – vėl parašykite matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuokite šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24 – 11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Neribotos sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrinėti atvejį, jei sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos forma kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau lygiai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m = 4, tai yra, didžiausia kvadratinio determinanto eilė yra 4. Tai reiškia, kad sprendinių yra be galo daug, ir reikia ieškoti bendrosios jo formos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma papildyta matrica.

Antroji eilutė: koeficientas k = (-a 21 / a 11) = -3. Trečioje eilutėje pirmas elementas yra prieš transformacijas, tad nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento ir pridėjus juos prie norimų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Kaip matote, antrą, trečią ir ketvirtą eilutes sudaro elementai, kurie yra proporcingi vienas kitam. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra vienodi, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusius padauginti iš koeficiento „-1“ ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl palikite vieną iš dviejų identiškų eilučių.

Pasirodė tokia matrica. Sistema dar nenurašyta, čia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - esant koeficientams 11 \u003d 1 ir 22 \u003d 1, o laisvus - visus kitus.

Antroji lygtis turi tik vieną pagrindinį kintamąjį – x 2 . Vadinasi, jis gali būti išreikštas iš ten, rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Paaiškėjo lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1. Padarykime su juo tą patį, kaip ir su x 2 .

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar galite parašyti atsakymą bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais, kaip taisyklė, laisvųjų kintamųjų reikšmės pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesuderinamos sistemos pavyzdys

Nenuoseklių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu yra greičiausias. Jis baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, gana ilgas ir niūrus etapas su šaknų skaičiavimu išnyksta. Svarstoma tokia sistema:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ir ji sumažinama iki pakopinės formos:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

neturėdamas sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, o atsakymas yra tuščias rinkinys.

Metodo privalumai ir trūkumai

Jei pasirinksite, kurį metodą išspręsti SLAE ant popieriaus rašikliu, tada šiame straipsnyje aptartas metodas atrodo patraukliausias. Elementariose transformacijose susipainioti yra daug sunkiau, nei tai atsitinka, jei reikia rankiniu būdu ieškoti determinanto ar kokios keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzdžiui, skaičiuokles, tuomet paaiškėja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skaičiuoti pagrindinius matricų parametrus – determinantą, mažuosius, atvirkštinius ir pan. Ir jei esate tikri, kad mašina pati apskaičiuos šias reikšmes ir nesuklys, tikslingiau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų taikymas prasideda ir baigiasi determinantų ir atvirkštinių matricų skaičiavimu.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, jį galima naudoti programuojant. Bet kadangi straipsnis save pozicionuoja kaip „manekenų“ vadovą, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: sudėjimas (galima pridėti tik tokio pat dydžio matricas!), Daugyba iš skaičiaus, matricos daugyba (taip pat su tam tikrais apribojimais), atvirkštinių ir perkeltų matricų radimas ir, svarbiausia, , apskaičiuojant determinantą. Jei ši daug laiko reikalaujanti užduotis pakeičiama viena komanda, daug greičiau bus galima nustatyti matricos rangą, taigi ir nustatyti jos suderinamumą ar nenuoseklumą.

1. Tiesinių algebrinių lygčių sistema

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, kai vienu metu vykdomos kelios lygtys keliuose kintamuosiuose. Tiesinių algebrinių lygčių sistema (toliau – SLAE), turinti m lygčių ir n nežinomųjų, yra tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i yra laisvieji nariai, aij ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) yra keletas žinomų skaičių ir x 1 ,…, x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas i reiškia lygties skaičių, o antrasis indeksas j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Atsižvelgiant į skaičių x n . Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

yra nežinomo xj stulpelio vektorius.
yra laisvųjų narių bi stulpelio vektorius.

Apibrėžiama matricų A * X sandauga, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek X matricoje eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų terminų stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkytas skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikrąja lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeitus visos sistemos lygtys virsta tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip matricos stulpelis

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei sprendinių nėra.

Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendruoju sprendimu.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji nuosekli, ar nenuosekli. Jei sistema suderinama, suraskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentiškomis), jei jų bendrasis sprendimas yra toks pat. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurią taikant sistema paverčiama nauja sistema, lygiaverte pradinei, vadinama ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Lygiaverčių transformacijų pavyzdžiais gali pasitarnauti šios transformacijos: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties dalių padauginimas iš ne nulio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai yra lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas niekiniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(Jis taip pat vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laiptuotos (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutiniai (pagal skaičių) kintamieji.

Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis judėjimas.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariomis transformacijomis per eilutes sistema perkeliama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nenuosekli. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirenkamas ne nulis vienetas, jis permutuojant eilutes perkeliamas į aukščiausią padėtį, o pirmoji eilė, gauta atlikus permutaciją, atimama iš likusių eilučių, ją padauginant. reikšme, lygia kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, tokiu būdu nulinant po juo esantį stulpelį.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiami ir tęsiami tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei kai kuriose iteracijose tarp pirmojo stulpelio elementų nebuvo rastas ne nulis, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (į priekį) sistema sumažinama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema yra laipsniška:

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

(jei a11=0, pertvarkykite matricos eilutes taip a 11 nebuvo lygus 0. Tai visada įmanoma, nes kitu atveju matricoje yra nulinis stulpelis, jo determinantas lygus nuliui ir sistema nenuosekli).

Sistemą transformuojame pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementariąsias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

ir sudėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi (arba iš antrosios lygties terminą po termino atimame pirmąjį, padaugintą iš ). Tada abi pirmosios lygties dalis padauginame iš ir pridedame prie trečiosios sistemos lygties (arba atimame pirmąją, padaugintą iš trečiojo nario). Taigi pirmąją eilutę padauginame iš skaičiaus ir pridedame prie i- eilė, už i= 2, 3, …,n.

Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą:

– naujos nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientų reikšmės paskutinėse sistemos m-1 lygtyse, kurios nustatomos pagal formules:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11 sunaikinami

0, antrasis veiksmas sunaikina elementus po antruoju pirmuoju elementu a 22 (1) (jei 22 (1) 0) ir pan. Tęsdami šį procesą toliau, pradinę sistemą pagaliau sumažinsime iki trikampės sistemos (m-1) žingsnyje.

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jei yra formos lygtis

Tai rodo sistemos nesuderinamumą.

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo eigą.

2. Atbulinis judėjimas.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendinių sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai, tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis ir t. t., kylant „pakopomis“.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali būti naudojamas SLAE išspręsti.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Nustatykite koeficientus į nulį

antroje ir trečioje eilutėse. Norėdami tai padaryti, padauginkite juos iš 2/3 ir 1, atitinkamai, ir pridėkite prie pirmosios eilutės:

Pateikiame tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kurią reikia išspręsti (raskite tokias nežinomųjų хi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Žinome, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėkite unikalų sprendimą.

Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netinka tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendinių arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant sprendimų bet kuriai tiesinių lygčių sistemai, kuri kiekvienu atveju veda mus prie atsakymo! Metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Jei Cramerio ir matricos metodai reikalauja determinantų išmanymo, tai Gauso metodo taikymui reikia žinoti tik aritmetines operacijas, todėl jis yra prieinamas net pradinių klasių mokiniams.

Išplėstinės matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio) tiesinių algebrinių lygčių sistemos Gauso metodu:

1) Su trokis matricos gali pertvarkyti vietos.

2) jei matricoje yra (arba yra) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti.

4) matricos eilutė gali padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių, išskyrus nulį.

5) į matricos eilutę, galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio.

Gauso metodu elementarios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

„Tiesioginis judėjimas“ - naudojant elementarias transformacijas, išplėstinę tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricą perkelkite į „trikampę“ laiptuotą formą: išplėstinės matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui (judėjimas iš viršaus į apačią). ). Pavyzdžiui, tokio tipo:

Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos veiksmus:

1) Panagrinėkime pirmąją tiesinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas, esantis x 1, lygus K. Antroji, trečioji ir kt. lygtis transformuojame taip: kiekvieną lygtį (nežinomų, įskaitant laisvuosius narius) padalijame iš kiekvienoje lygtyje esančio nežinomo x 1 koeficiento ir padauginame iš K. Po to atimame pirmąją iš antrosios lygties ( Nežinomųjų ir laisvųjų terminų koeficientai). Antroje lygtyje ties x 1 gauname koeficientą 0. Iš trečios transformuotos lygties atimame pirmąją lygtį, taigi, kol visos lygtys, išskyrus pirmąją, su nežinomu x 1 neturės koeficiento 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai yra antroji lygtis, o koeficientas, esantis x 2, yra lygus M. Su visomis „pavaldžiomis“ lygtimis elgiamės taip, kaip aprašyta aukščiau. Taigi, "po" nežinomu x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereiname prie kitos lygties ir taip toliau, kol lieka paskutinis nežinomas ir transformuotas laisvasis narys.

Gauso metodo „atvirkštinis judėjimas“ yra gauti linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą („judėjimas iš apačios į viršų“). Iš paskutinės „apatinės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendinį – nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame elementariąją lygtį A * x n \u003d B. Aukščiau pateiktame pavyzdyje x 3 \u003d 4. Rastą reikšmę „viršutinėje“ kitoje lygtyje pakeičiame ir išsprendžiame kito nežinomojo atžvilgiu. Pavyzdžiui, x 2 - 4 \u003d 1, t.y. x 2 \u003d 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Pavyzdys.

Kaip kai kurie autoriai pataria, tiesinių lygčių sistemą sprendžiame Gauso metodu:

Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime taip:
1 žingsnis . Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą veiksmą: pirmąją eilutę padauginti iš -1 (pakeisti jos ženklą).

2 žingsnis . Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirma eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

3 žingsnis . Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios eilutės ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą.

4 žingsnis . Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 2.

5 žingsnis . Trečioji eilutė padalinta iš 3.

Ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei žemiau gausime kažką panašaus į (0 0 11 | 23) ir atitinkamai 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada su didele tikimybe galime sakyti, kad pradinio pamokos metu buvo padaryta klaida. transformacijos.

Atliekame atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis žingsnis, primenu, veikia „iš apačios į viršų“. Šiame pavyzdyje dovana pasirodė:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, todėl x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Atsakymas:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Išspręskime tą pačią sistemą naudodami siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Antrąją lygtį padalinkite iš 5, o trečiąją iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Antrąją ir trečiąją lygtis padauginus iš 4, gauname:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atimdami pirmąją lygtį iš antrosios ir trečiosios lygčių, gauname:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Trečiąją lygtį padalykite iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trečiąją lygtį padauginkite iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Iš trečiosios lygties atimkite antrąją lygtį, gausime „pakopinę“ padidintą matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi skaičiavimo procese susikaupė klaida, gauname x 3 \u003d 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 \u003d 3 ir x 1 \u003d -1.

Taip spręsdami niekada nesupainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo būdas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgia į specifinius koeficientų nežinomiesiems ypatumus, nes praktikoje (ekonominiuose ir techniniuose skaičiavimuose) tenka susidurti su nesveikaisiais koeficientais.

Linkime sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Mokytoja.

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Gauso metodas puikiai tinka sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemas (SLAE). Jis turi keletą privalumų, palyginti su kitais metodais:

pirma, nereikia iš anksto tirti lygčių sistemos suderinamumo;
antra, Gauso metodu galima išspręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui;
trečia, Gauso metodas duoda rezultatą su palyginti nedideliu skaičiavimo operacijų skaičiumi.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia pateikiame reikiamus apibrėžimus ir pateikiame tam tikrą žymėjimą.

Toliau aprašome Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, ty tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir sistemos pagrindinės matricos determinantas, nėra lygus nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė, kurią sudaro nuoseklus nežinomų kintamųjų pašalinimas. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Parodykime išsamius kelių pavyzdžių sprendimus.

Apibendrinant, nagrinėjame tiesinių algebrinių lygčių sistemų Gauso sprendimą, kurio pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias detaliau išanalizuosime naudodamiesi pavyzdžiais.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimas.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ):

Kur yra nežinomi kintamieji, yra skaičiai (tikrieji ar kompleksiniai), yra laisvieji nariai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuriame visos sistemos lygtys virsta tapatybėmis, vadinama SLAU sprendimas.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama Bendras, kitaip - nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Sakoma, kad sistema parašyta koordinačių forma jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos formaįrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų narių matrica.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai padidinta matrica žymima raide T, o laisvųjų narių stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs jei jo determinantas lygus nuliui. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei su tiesinių algebrinių lygčių sistema atliekami šie veiksmai

sukeisti dvi lygtis,
padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
prie abiejų bet kurios lygties dalių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališko skaičiaus k,

tada gauname lygiavertę sistemą, kuri turi tuos pačius sprendinius (arba, kaip ir pirminė, neturi sprendinių).

Išplėstinei tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricai šie veiksmai reikš elementariųjų transformacijų atlikimą su eilutėmis:

sukeisti dvi eilutes
visų bet kurios matricos T eilutės elementų padauginimas iš nulinio skaičiaus k ,
prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k .

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą .

Kai kurie taip padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridėję kairę pirmosios lygties pusę prie kairiosios antrosios lygties pusės, o dešinę - prie dešinės pusės, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 \u003d 1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties dalis padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, tada atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 \u003d 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeiskime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis būtų pašalintas iš jų:

Dabar išspręskime antrąją sistemos lygtį x 2 atžvilgiu ir gautą rezultatą pakeiskime trečiąja lygtimi, kad iš jos neįtrauktume nežinomo kintamojo x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties matyti, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo būdas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmas x 1, kitas x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Išimtį vykdėme iki to momento, kai paskutinė lygtis paliko tik vieną nežinomą kintamąjį. Nuosekliojo nežinomųjų pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Baigę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį paskutinėje lygtyje. Jos pagalba iš priešpaskutinės lygties randame kitą nežinomą kintamąjį ir pan. Vadinamas procesas, kai nuosekliai ieškoma nežinomų kintamųjų pereinant nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai pirmoje lygtyje išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3, o gautą išraišką pakeičiame antrąja ir trečiąja lygtimis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia neįtraukti nežinomo kintamojo x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo Gauso metodu niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, koeficientas prieš jį lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios sistemos lygties x 1 atžvilgiu, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš kitų lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada egzistuoja lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdyje pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 jau nėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Išspręskime n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomų formos kintamųjų , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas nėra nulis.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje išreikštume x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie ketvirtosios lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, ir taip toliau, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudojant gautą reikšmę x n randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir taip toliau, randame x 1 iš pirmosios. lygtis.

Išanalizuokime algoritmą su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 skiriasi nuo nulio, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo eigos, ty prie nežinomo kintamojo x 1 pašalinimo iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, į kairę ir dešinę antrosios, trečiosios ir ketvirtosios lygčių dalis pridėkite pirmosios lygties kairę ir dešinę dalis, padaugintas atitinkamai iš , ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie išskyrimo x 2 . Prie sistemos trečiosios ir ketvirtosios lygčių kairės ir dešinės dalių pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties dalis, padaugintas iš ir :

Norėdami užbaigti tolesnę Gauso metodo eigą, turime išskirti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės pridėkite atitinkamai trečiosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš :

Galite pradėti atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname ,
nuo antrojo
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai reiškia, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

O dabar pateiksime to paties pavyzdžio sprendimą Gauso metodu matricos pavidalu.

Pavyzdys.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Virš kiekvieno stulpelio rašomi nežinomi kintamieji, kurie atitinka matricos elementus.

Tiesioginė Gauso metodo eiga čia apima išplėstinės sistemos matricos perkėlimą į trapecijos formą naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų išskyrimą, kurį atlikome su sistema koordinačių forma. Dabar jūs tuo įsitikinsite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 neįtraukimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, prie gautos matricos paskutinės eilutės elementų pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po tiesioginio judėjimo.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricinėje žymėjimo formoje atvirkštinė Gauso metodo eiga apima tokią gautos matricos transformaciją, kad paveiksle pažymėta matrica

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodą, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , vėl ir vėl atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkime atitinkamus trečios eilučių elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame Gauso metodo atvirkštinio judėjimo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš :

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kurių randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

PASTABA.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti absoliučiai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau nuo dešimtainių trupmenų pereiti prie paprastųjų trupmenų.

Pavyzdys.

Išspręskite trijų lygčių sistemą Gauso metodu .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1 , x 2 , x 3 , o x, y, z ). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Pašalinkite nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje antroje lygtyje nėra nežinomo kintamojo y, o trečioje lygtyje yra y, todėl antrąją ir trečiąją lygtis sukeičiame:

Šiuo metu tiesioginė Gauso metodo eiga baigėsi (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Grįžkime.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės

iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi kvadratinė, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendinius (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai panagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio žingsnio.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema po Gauso metodo eigos į priekį įgauna formą ir nė viena iš lygčių nesumažinta iki (šiuo atveju darytume išvadą, kad sistema nenuosekli). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Išrašome nežinomus kintamuosius, kurie yra visų gautos sistemos lygčių pirmoje vietoje:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1 , x 4 ir x 5 . Kairiosiose sistemos lygčių dalyse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra užrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusius narius perkeliame į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Priskirkime savavališkas reikšmes nežinomiems kintamiesiems, kurie yra dešinėje lygčių pusėje, kur - savavališki skaičiai:

Po to skaičiai randami teisingose visų mūsų SLAE lygčių dalyse ir galime pereiti prie atvirkštinės Gauso metodo eigos.

Iš paskutinės sistemos lygties gauname iš priešpaskutinės lygties , iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Duoti skaičius skirtingos reikšmės, gausime skirtingus lygčių sistemos sprendinius. Tai yra, mūsų lygčių sistema turi be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite vienalytę tiesinių algebrinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite kairiąją ir dešiniąją pirmosios lygties dalis atitinkamai prie kairiosios ir dešiniosios antrosios lygties dalių, padaugintų iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties dalis pridėkite kairę ir dešinę pirmoji lygtis, padauginta iš:

Dabar neįtraukiame y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę:

Šiandien mes kalbame apie Gauso metodą, skirtą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti. Apie tai, kas yra šios sistemos, galite perskaityti ankstesniame straipsnyje, skirtame tam pačiam SLAE sprendimui Cramer metodu. Gauso metodas nereikalauja jokių specifinių žinių, reikia tik atidumo ir nuoseklumo. Nepaisant to, kad matematikos požiūriu jos pritaikymui užtenka mokyklinio pasiruošimo, šio metodo įsisavinimas dažnai sukelia mokiniams sunkumų. Šiame straipsnyje mes stengsimės juos sumažinti iki nieko!

Gauso metodas

M Gauso metodas yra universaliausias SLAE sprendimo būdas (išskyrus labai dideles sistemas). Skirtingai nei aptartas anksčiau, jis tinka ne tik sistemoms, kurios turi unikalų sprendimą, bet ir sistemoms, kurios turi be galo daug sprendimų. Čia yra trys variantai.

Sistema turi unikalų sprendimą (sistemos pagrindinės matricos determinantas nelygus nuliui);
Sistema turi begalinį sprendimų skaičių;
Sprendimų nėra, sistema nenuosekli.

Taigi, mes turime sistemą (tegul ji turi vieną sprendimą), ir mes ją išspręsime Gauso metodu. Kaip tai veikia?

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų – tiesioginio ir atvirkštinio.

Tiesioginis Gauso metodas

Pirmiausia parašome išplėstinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, į pagrindinę matricą pridedame laisvų narių stulpelį.

Visa Gauso metodo esmė – elementariųjų transformacijų pagalba duotąją matricą suvesti į laiptuotą (arba, kaip sakoma, trikampę) formą. Šioje formoje po (arba aukščiau) pagrindinės matricos įstrižainės turėtų būti tik nuliai.

Ką galima padaryti:

Galite pertvarkyti matricos eilutes;
Jei matricoje yra identiškų (arba proporcingų) eilučių, galite ištrinti visas jas, išskyrus vieną;
Eilutę galite padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus (išskyrus nulį);
Nulinės linijos pašalinamos;
Prie eilutės galite pridėti eilutę, padaugintą iš ne nulio skaičiaus.

Atvirkštinis Gauso metodas

Po to, kai mes transformavome sistemą tokiu būdu, vienas nežinomas xn tampa žinomas, o visus likusius nežinomuosius galima rasti atvirkštine tvarka, pakeičiant jau žinomus x į sistemos lygtis, iki pirmosios.

Kai internetas visada po ranka, lygčių sistemą galite išspręsti Gauso metodu prisijungęs . Viskas, ką jums reikia padaryti, tai įvesti koeficientą į internetinę skaičiuoklę. Tačiau, pripažinkite, daug maloniau suvokti, kad pavyzdį išsprendė ne kompiuterinė programa, o jūsų pačių smegenys.

Lygčių sistemos sprendimo Gauso metodu pavyzdys

O dabar – pavyzdys, kad viskas taptų aišku ir suprantama. Tegu pateikiama tiesinių lygčių sistema, kurią reikia išspręsti Gauso metodu:

Pirmiausia parašykime išplėstinę matricą:

Dabar pažvelkime į transformacijas. Atminkite, kad turime pasiekti trikampę matricos formą. Padauginkite 1 eilutę iš (3). 2-ą eilutę padauginkite iš (-1). Pridėkime 2 eilutę prie 1 ir gausime:

Tada padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:

Padauginkite 1 eilutę iš (6). 2-ąją eilutę padauginkite iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Voila - sistema įvedama į atitinkamą formą. Belieka surasti nežinomuosius:

Šiame pavyzdyje pateikta sistema turi unikalų sprendimą. Sistemų su begaliniu sprendimų rinkiniu sprendimą nagrinėsime atskirame straipsnyje. Galbūt iš pradžių nežinosite nuo ko pradėti matricų transformacijas, bet po atitinkamos praktikos paimsite į rankas ir kaip riešutus spustelėsite Gauso SLAE. Ir jei staiga susidursite su SLAU, kuris pasirodo per kietas riešutėlis, susisiekite su mūsų autoriais! galite palikę prašymą korespondencijoje. Kartu mes išspręsime bet kokią problemą!