Ovuliacija 

Matrica yra matematinė. Matricos samprata

1 apibrėžimas. Matrica A dydismn yra stačiakampė lentelė iš m eilučių ir n stulpelių, sudaryta iš skaičių arba kitų matematinių išraiškų (vadinamų matricos elementais), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, arba

2 apibrėžimas. Dvi matricos
ir
to paties dydžio vadinami lygus, jei jie atitinka elementą pagal elementą, t.y. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matricų pagalba nesunku užrašyti kai kurias ekonomines priklausomybes, pavyzdžiui, tam tikrų ūkio sektorių išteklių paskirstymo lenteles.

3 apibrėžimas. Jeigu matricos eilučių skaičius sutampa su jos stulpelių skaičiumi, t.y. m = n, tada vadinama matrica kvadratinė tvarkan, kitaip stačiakampio formos.

4 apibrėžimas. Perėjimas nuo matricos A į matricą A m, kurioje eilutės ir stulpeliai sukeičiami išsaugant tvarką, vadinamas perkėlimas matricos.

Matricų tipai: kvadratas (dydis 33) -
,

stačiakampis (dydis 25) -
,

įstrižainė -
, vienišas -
, nulis -
,

matricos eilutė -
, matrica-stulpelis -.

5 apibrėžimas. Kvadratinės n eilės matricos elementai su vienodais indeksais vadinami pagrindinės įstrižainės elementais, t.y. tai elementai:
.

6 apibrėžimas. Kvadratinės n eilės matricos elementai vadinami antriniais įstrižainiais, jeigu jų indeksų suma lygi n + 1, t.y. tai elementai: .

1.2. Operacijos su matricomis.

1 0 . suma dvi matricos
ir
vienodo dydžio matrica С = (с ij), kurios elementai nustatomi lygybe su ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Matricos pridėjimo operacijos ypatybės.

Bet kurioms tokio paties dydžio matricoms A, B, C galioja šios lygybės:

1) A + B = B + A (komutaciškumas),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociatyvumas).

2 0 . dirbti matricos
už skaičių vadinama matrica
tokio pat dydžio kaip A matrica, o b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matricos dauginimo iš skaičiaus operacijos savybės.

    (А) = ()А (daugybos asociatyvumas);

    (А+В) = А+В (daugybos pasiskirstymas matricos sudėjimo atžvilgiu);

    (+)A = A+A (daugybos pasiskirstymas skaičių sudėjimo atžvilgiu).

7 apibrėžimas. Tiesinis matricų derinys
ir
tokio pat dydžio vadinama A + B formos išraiška, kur  ir  yra savavališki skaičiai.

3 0 . Produktas A Matricose Mn ir nk dydžių A ir B atitinkamai vadinama mk dydžio matrica C, kad elementas su ij yra lygus i-osios eilutės elementų sandaugų sumai. matricos A ir j-osios matricos B stulpelio, t.y. su ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produktas AB egzistuoja tik tada, kai A matricos stulpelių skaičius yra toks pat, kaip ir B matricos eilučių skaičius.

Matricos daugybos operacijos ypatybės:

    (АВ)С = А(ВС) (asociatyvumas);

    (А+В)С = АС+ВС (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);

    А(В+С) = АВ+АС (paskirstymas matricos pridėjimo atžvilgiu);

    АВ  ВА (ne komutatyvumas).

8 apibrėžimas. Matricos A ir B, kurioms AB = BA, vadinamos komutavimu arba permutavimu.

Bet kokios eilės kvadratinę matricą padauginus iš atitinkamos tapatybės matricos matrica nekeičiama.

9 apibrėžimas. Elementariosios transformacijos matricos vadinamos tokiomis operacijomis:

    Sukeiskite dvi eilutes (stulpelius).

    Padauginkite kiekvieną eilutės (stulpelio) elementą iš skaičiaus, kuris nėra nulis.

    Prie vienos eilutės (stulpelio) elementų pridedami atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai.

10 apibrėžimas. Matrica B, gauta iš matricos A elementariųjų transformacijų pagalba, vadinama lygiavertis(žymimas BA).

1.1 pavyzdys. Raskite tiesinę matricų 2A–3B kombinaciją, jei

,
.

,
,


.

Pavyzdys 1.2. Raskite matricų sandaugą
, jei

.

Sprendimas: kadangi pirmosios matricos stulpelių skaičius yra toks pat kaip antrosios matricos eilučių skaičius, tada matricos sandauga egzistuoja. Dėl to gauname naują matricą
, kur

Kaip rezultatas, mes gauname
.

2 paskaita. Determinantai. Antros, trečios eilės determinantų skaičiavimas. Kvalifikacinės savybėsn– įsakymas.

Matrica dydis m ? n yra stačiakampė skaičių lentelė, kurioje yra m eilučių ir n stulpelių. Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami elementai matricos.

Matricos žymimos lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ( A, B, C...), o mažosios raidės su dvigubu indeksavimu naudojamos matricos elementams žymėti:

Kur i- eilės numeris, j- stulpelio numeris.

Pavyzdžiui, matrica

Arba sutrumpintai, A=(); i=1,2…, m; j = 1, 2, …, n.

Naudojami kiti matriciniai pavadinimai, pavyzdžiui: , ? ?.

Dvi matricos BET ir AT to paties dydžio vadinami lygus, jei jie atitinka elementą pagal elementą, t.y. = , kur i= 1, 2, 3, …, m, a j= 1, 2, 3, …, n.

Apsvarstykite pagrindinius matricų tipus:

1. Tegul m = n, tada matrica A yra kvadratinė matrica, kurios eilė n:

Elementai sudaro pagrindinę įstrižainę, elementai – antrinę įstrižainę.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainės, jei visi jo elementai, išskyrus galbūt pagrindinės įstrižainės elementus, yra lygūs nuliui:

Vadinama įstrižainė, taigi ir kvadratinė, matrica viengungis, jei visi pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1:

Atkreipkite dėmesį, kad tapatybės matrica yra tapatybės matricos analogas realiųjų skaičių rinkinyje, taip pat pabrėžkite, kad tapatybės matrica apibrėžiama tik kvadratinėms matricoms.

Čia yra tapatybės matricų pavyzdžiai:

Kvadratinės matricos


vadinami atitinkamai viršutiniu ir apatiniu trikampiu.

  • 2. Leiskite m= 1, tada matrica BET yra eilutės matrica, kuri atrodo taip:
  • 3. Leiskite n=1, tada matrica BET yra stulpelio matrica, kuri atrodo taip:

4. Nulinė matrica yra mn eilės matrica, kurios visi elementai lygūs 0:

Atkreipkite dėmesį, kad nulinė matrica gali būti kvadratinė, eilučių matrica arba stulpelių matrica. Nulinė matrica yra nulio matricos analogas realiųjų skaičių rinkinyje.

5. Matrica vadinama perkelta į matricą ir žymima, jei jos stulpeliai yra atitinkamos matricos eilutės.

Pavyzdys. Leisti

Atkreipkite dėmesį, kad jei matrica BET turi tvarką mn, tada perkelta matrica turi tvarką nm.

6. Matrica A vadinama simetriška, jei A=, ir pasvirusiąja, jei A = .

Pavyzdys. Patikrinkite matricos simetriją BET ir AT.

taigi matrica BET yra simetriškas, nes A =.

taigi matrica AT yra pasviręs simetriškas, nes B = -.

Atkreipkite dėmesį, kad simetrinės ir pasvirusios simetriškos matricos visada yra kvadratinės. Bet kokie elementai gali būti pagrindinėje simetrinės matricos įstrižainėje, o identiški elementai turi būti simetriški pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, tai yra, pagrindinėje simetrinės matricos įstrižainėje visada yra nuliai ir simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu.

matricos kvadratinis laplaso atšaukimas

Matrica (matematika)

Matrica- matematinis objektas, parašytas kaip stačiakampė žiedo ar lauko elementų lentelė (pavyzdžiui, sveikieji skaičiai, realieji arba kompleksiniai skaičiai), tai yra eilučių ir stulpelių, kurių sankirtoje yra jo elementai, rinkinys. Matricos eilučių ir stulpelių skaičius lemia matricos dydį. Nors istoriškai buvo svarstomos trikampės matricos, pavyzdžiui, šiuo metu kalbama išskirtinai apie stačiakampes matricas, nes jos yra patogiausios ir dažniausiai pasitaikančios.

Matricos plačiai naudojamos matematikoje kompaktiškai vaizduoti tiesinių algebrinių arba diferencialinių lygčių sistemas. Šiuo atveju matricos eilučių skaičius atitinka lygčių skaičių, o stulpelių skaičius – nežinomųjų skaičių. Dėl to tiesinių lygčių sistemų sprendimas redukuojamas į operacijas su matricomis.

Matricai yra apibrėžtos šios algebrinės operacijos:

Sudėjimo atžvilgiu matricos sudaro Abelio grupę; jei taip pat atsižvelgsime į daugybą iš skaliaro, tai matricos sudaro modulį virš atitinkamo žiedo (vektoriaus erdvė virš lauko). Kvadratinių matricų aibė yra uždara matricos daugybos metu, todėl vienodo dydžio kvadratinės matricos sudaro asociatyvinį žiedą su vienybe matricos sudėties ir matricos daugybos metu.

Įrodyta, kad kiekvienas tiesinis operatorius, veikiantis n-matėje tiesinėje erdvėje, gali būti susietas su unikalia n eilės kvadratine matrica; ir atvirkščiai – kiekviena n eilės kvadratinė matrica gali būti susieta su unikaliu tiesiniu operatoriumi, veikiančiu šioje erdvėje. Matricos savybės atitinka tiesinio operatoriaus savybes. Visų pirma, matricos savosios reikšmės yra operatoriaus savosios reikšmės, atitinkančios atitinkamus savuosius vektorius.

Tą patį galima pasakyti ir apie dvitiesinių (kvadratinių) formų vaizdavimą matricomis.

Matematikoje nagrinėjama daugybė skirtingų tipų ir tipų. matricos. Tokios, pavyzdžiui, yra vienetinės, simetrinės, pasvirusiosios, viršutinės trikampės (apatinės trikampės) ir kt.

Ypatingą reikšmę matricų teorijoje turi visų rūšių normaliosios formos, tai yra kanoninė forma, iki kurios matrica gali būti sumažinta pakeitus koordinates. Svarbiausia (teorine prasme) ir išplėtota yra Jordano normaliųjų formų teorija. Tačiau praktikoje naudojamos normalios formos, kurios turi papildomų savybių, pavyzdžiui, stabilumą.

Istorija

Pirmą kartą matricos buvo paminėtos dar senovės Kinijoje, tuomet vadintoje „stebuklinguoju kvadratu“. Pagrindinis matricų pritaikymas buvo tiesinių lygčių sprendimas. Taip pat magiškieji kvadratai tarp arabų matematikų buvo žinomi kiek vėliau, maždaug tuo metu atsirado matricos sudėjimo principas. XVII amžiaus pabaigoje sukūręs determinantų teoriją, Gabrielis Krameris XVIII amžiuje pradėjo plėtoti savo teoriją ir 1751 m. paskelbė Cramerio valdymą. Maždaug per tą patį laikotarpį atsirado „Gausso metodas“. Matricos teorija savo egzistavimą pradėjo XIX amžiaus viduryje Williamo Hamiltono ir Arthuro Cayley darbuose. Pagrindinius matricos teorijos rezultatus lėmė Weierstrass, Jordan, Frobenius. Terminą „matrica“ 1850 m. sukūrė Jamesas Sylvesteris.

Apibrėžimas

Tegul yra du baigtiniai rinkiniai ir , Kur ir yra natūralūs skaičiai .

Pavadinkime dydžio matricą (skaitykite toliau) su elementais iš kurio nors žiedo ar lauko formos atvaizdu

.

Jis vadinamas matricos elementu, esančiu --osios eilutės ir -stulpelio sankirtoje;

Jei indeksas eina per aibę ir eina per aibę, tada elementų rinkinys visiškai nustato matricą.

Taigi dydžio matricą sudaro būtent iš

Pagal šitą

Pati matrica natūraliai interpretuojama kaip vektorius dimensijos erdvėje. Tai leidžia įvesti matricų sudėtį po komponento ir matricos dauginimą iš skaičiaus (žr. toliau); Kalbant apie matricos dauginimą, jis iš esmės priklauso nuo stačiakampės matricos struktūros.

Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek stulpelių, tada tokia matrica vadinama kvadratas ir skambinama numeriu dydis kvadratinė matrica arba jos tvarka.

Žymėjimas

Matrica paprastai žymima didžiąja lotyniškos abėcėlės raide: tegul

,

tada yra matrica, kuri interpretuojama kaip stačiakampis formos lauko elementų masyvas , kur

taigi, yra matricos elementas, esantis --osios eilutės ir -stulpelio sankirtoje. Atitinkamai, naudojamas toks kompaktiškas dydžio matricos žymėjimas:

arba tiesiog:

jei jums tiesiog reikia nurodyti matricos elementų pavadinimą.

Kartais vietoj , jie rašo , norėdami atskirti indeksus vienas nuo kito ir išvengti painiavos su dviejų skaičių sandauga.

Jei reikia pateikti išsamų matricos vaizdą lentelės pavidalu, naudokite formos įrašą

Galite rasti ir žymėjimus su skliausteliais „(...)“, ir žymėjimus su laužtiniais skliaustais „[...]“. Rečiau galite rasti simbolių su dvigubomis tiesiomis linijomis "||…||").

Kadangi matrica susideda iš eilučių ir stulpelių, joms naudojamas toks žymėjimas:

yra matricos eilutė, yra matricos stulpelis.

Taigi, matrica turi dvigubą vaizdavimą - eilutėmis:

ir pagal stulpelius:

.

Šis vaizdavimas leidžia suformuluoti matricų savybes eilučių arba stulpelių atžvilgiu.

Transponuota matrica

Kiekviena dydžio matrica turi susietą formos dydžio matricą

Tokia matrica vadinama perkelta matrica už ir yra žymimas kaip .

Transponuotą matricą galima gauti sukeitus matricos eilutes ir stulpelius. Dydžio matrica pagal šią transformaciją taps matmenų matrica.

Įstrižainė matrica

Leisti būti savavališkas tiesinis operatorius. Mes veikiame abiejose ankstesnės lygybės pusėse, gauname

.

Taip pat išplečiame vektorius pasirinktame pagrinde, gauname

,

kur yra --oji vektoriaus koordinatė iš .

Išplėtimą pakeitę ankstesne formule, gauname

.

Išraiška, esanti skliausteliuose, yra ne kas kita, kaip formulė, skirta matricai padauginti iš stulpelio, taigi, matrica, padauginta iš stulpelio, gauna vektoriaus koordinates, susidariusias veikiant operatoriui. ant vektoriaus , kurį reikėjo gauti.

Atkreipkite dėmesį, kad matricos elementai gali būti ne tik skaičiai. Įsivaizduokite, kad aprašote knygas, kurios yra jūsų knygų lentynoje. Tegul jūsų lentyna būna tvarkinga ir visos knygos stovi griežtai apibrėžtose vietose. Lentelė, kurioje bus jūsų bibliotekos aprašymas (pagal lentynas ir knygų tvarką lentynoje), taip pat bus matrica. Bet tokia matrica nebus skaitinė. Kitas pavyzdys. Vietoj skaičių yra skirtingos funkcijos, kurias vienija tam tikra priklausomybė. Gauta lentelė taip pat bus vadinama matrica. Kitaip tariant, Matrica yra bet kokia stačiakampė lentelė, sudaryta iš vienalytis elementai. Čia ir toliau kalbėsime apie matricas, sudarytas iš skaičių.

Vietoj skliaustų matricos rašomos naudojant laužtinius skliaustus arba tiesias dvigubas vertikalias linijas.


 (2.1*)

2 apibrėžimas. Jei išraiškoje(1) m = n , tada jie kalba apie kvadratinė matrica, kas, jeigu , kažkas apie stačiakampio formos.

Atsižvelgiant į m ir n reikšmes, yra keletas specialių matricų tipų:

Svarbiausia savybė kvadratas matrica yra jos determinantas arba determinantas, kuris susideda iš matricos elementų ir yra pažymėtas

Akivaizdu, kad D E =1; .

3 apibrėžimas. Jeigu , tada matrica A paskambino neišsigimęs arba neypatingas.

4 apibrėžimas. Jeigu detA = 0, tada matrica A paskambino išsigimęs arba ypatingas.

5 apibrėžimas. Dvi matricos A ir B paskambino lygus ir parašyk A=B jeigu jų matmenys vienodi ir juos atitinkantys elementai yra vienodi, t.y..

Pavyzdžiui, matricos ir yra lygios, nes jie yra vienodo dydžio ir kiekvienas vienos matricos elementas yra lygus atitinkamam kitos matricos elementui. Bet matricų negalima vadinti lygiomis, nors abiejų matricų determinantai yra lygūs, o matricų dydžiai vienodi, tačiau ne visi elementai tose pačiose vietose yra vienodi. Matricos skiriasi, nes yra skirtingo dydžio. Pirmoji matrica yra 2x3, o antroji 3x2. Nors elementų skaičius vienodas – 6, o patys elementai yra tie patys 1, 2, 3, 4, 5, 6, tačiau kiekvienoje matricoje jie yra skirtingose ​​vietose. Tačiau matricos ir yra lygios pagal 5 apibrėžimą.

6 apibrėžimas. Jei pataisysime tam tikrą skaičių matricos stulpelių A ir tiek pat jo eilučių, tada nurodytų stulpelių ir eilučių sankirtoje esantys elementai sudaro kvadratinę matricą n- eilės, kurios determinantas paskambino nepilnametis k- eilės matrica A.

Pavyzdys. Išrašykite tris matricos antrosios eilės mažuosius

Matrica dimensija vadinama skaičių lentele, kurioje yra eilučių ir stulpelių. Skaičiai vadinami šios matricos elementais, kur eilutės numeris yra stulpelio, kurio sankirtoje šis elementas yra, numeris. Matrica, kurioje yra eilučių ir stulpelių, atrodo taip: .

Matricų tipai:

1) prie - kvadratas , ir jie skambina matricos tvarka ;

2) kvadratinė matrica, kurioje visi neįstrižainiai elementai lygūs nuliui

– įstrižainės ;

3) įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs

vienetas - viengungis ir žymimas ;

4) prie - stačiakampio formos ;

5) at - matrica-eilė (vektorinė eilutė);

6) at - matrica-stulpelis (vektorius-stulpelis);

7) visiems – nulinė matrica.

Atkreipkite dėmesį, kad pagrindinė kvadratinės matricos skaitmeninė charakteristika yra jos determinantas. Determinantas, atitinkantis tosios eilės matricą, taip pat turi ir eilę.

1 eilės matricos determinantas vadinamas skaičiumi.

2 eilės matricos determinantas paskambino numeriu . (1.1)

3 eilės matricos determinantas paskambino numeriu . (1.2)

Pateiksime apibrėžimus, reikalingus tolimesnei ekspozicijai.

Nepilnametis M ij elementas a ij matricos n- tvarka A vadinama matricos determinantu ( n-1)- tvarka, gauta iš matricos A išbraukiant i-toji eilutė ir j– stulpelis.

Algebrinis papildymas A ij elementas a ij matricos n- eilės A vadinamas šio elemento minoriniu, paimtu su ženklu .

Suformuluokime pagrindines determinantų savybes, būdingas visų eilių determinantams, ir supaprastinkime jų skaičiavimą.

1. Transponuojant matricą jos determinantas nekinta.

2. Sukeitus dvi matricos eilutes (stulpelius), jos determinantas keičia ženklą.

3. Determinantas, turintis dvi proporcingas (lygias) eilutes (stulpelius), yra lygus nuliui.

4. Bet kurios determinanto eilutės (stulpelio) elementų bendras koeficientas gali būti išimamas iš determinanto ženklo.

5. Jei bet kurios determinanto eilutės (stulpelio) elementai yra dviejų narių suma, tai determinantą galima išskaidyti į dviejų atitinkamų determinantų sumą.

6. Determinantas nepasikeis, jei kurios nors jo eilutės (stulpelio) elementai bus pridėti prie atitinkamų kitos jo eilutės (stulpelio) elementų, anksčiau padaugintų iš bet kurio skaičiaus.

7. Matricos determinantas yra lygus bet kurios iš jos eilučių (stulpelių) elementų ir šių elementų algebrinių papildinių sandaugų sumai.

Paaiškinkime šią savybę naudodami 3 eilės determinanto pavyzdį. Šiuo atveju 7 savybė reiškia, kad – determinanto išplėtimas 1-os eilės elementais. Atkreipkite dėmesį, kad išplėtimui pasirenkama eilutė (stulpelis), kurioje yra nulis elementų, nes juos atitinkantys terminai plėtinyje išnyksta.

7 savybė yra Laplaso teorema apie determinanto skaidymą.

8. Determinanto bet kurios eilutės (stulpelio) elementų ir jos kitos eilutės (stulpelio) atitinkamų elementų algebrinių papildinių sandaugų suma lygi nuliui.

Pastaroji savybė dažnai vadinama determinanto pseudodekompozicija.

Klausimai savityrai.

1. Kas vadinama matrica?

2. Kokia matrica vadinama kvadratine? Ką reiškia jo tvarka?

3. Kokia matrica vadinama įstriža, tapatybe?

4. Kokia matrica vadinama eilučių matrica ir stulpelio matrica?

5. Kokia yra pagrindinė kvadratinės matricos skaitinė charakteristika?

6. Koks skaičius vadinamas 1, 2 ir 3 eilės determinantu?

7. Kas vadinama mažuoju ir algebriniu matricos elemento papildiniu?

8. Kokios yra pagrindinės determinantų savybės?

9. Kokia savybe galima apskaičiuoti bet kurios eilės determinantą?

Matricos veiksmai(2 schema)

Su matricų rinkiniu apibrėžiama keletas operacijų, iš kurių pagrindinės yra šios:

1) perkėlimas – matricos eilučių pakeitimas stulpeliais, o stulpelių – eilutėmis;

2) matricos dauginimas iš skaičiaus atliekamas elementas po elemento, t , kur , ;

3) matricos pridėjimas, apibrėžiamas tik to paties matmens matricoms;

4) dviejų matricų, apibrėžtų tik nuoseklioms matricoms, daugyba.

Dviejų matricų suma (skirtumas). vadinama tokia gauta matrica, kurios kiekvienas elementas yra lygus atitinkamų matricos terminų elementų sumai (skirtumui).

Dvi matricos vadinamos sutiko jei pirmojo stulpelių skaičius lygus kito eilučių skaičiui. Dviejų nuoseklių matricų sandauga ir tokia gauta matrica vadinama , ką , (1.4)

kur, . Iš to išplaukia, kad matricos --osios eilutės ir -osios stulpelio elementas yra lygus matricos --osios eilutės elementų ir matricos -osios stulpelio elementų porinių sandaugų sumai. matrica .

Matricų sandauga nėra komutacinė, tai yra, A . B B . A. Išimtis yra, pavyzdžiui, kvadratinių matricų sandauga pagal tapatybę A . E = E . BET.

1.1 pavyzdys. Padauginkite matricas A ir B, jei:

.

Sprendimas. Kadangi matricos yra nuoseklios (matricos stulpelių skaičius lygus matricos eilučių skaičiui), naudojame formulę (1.4):

Klausimai savityrai.

1. Kokie veiksmai atliekami su matricomis?

2. Kas vadinama dviejų matricų suma (skirtumu)?

3. Kas vadinama dviejų matricų sandauga?

Kramerio metodas kvadratinėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti(3 schema)

Pateiksime keletą būtinų apibrėžimų.

Tiesinių lygčių sistema vadinama nevienalytis , jei bent viena jo laisvoji sąlyga nėra lygi nuliui, ir vienalytis jei visi jo laisvieji nariai lygūs nuliui.

Lygčių sistemos sprendimas vadinama sutvarkyta skaičių aibe, kuri, pakeisdama kintamuosius sistemoje, kiekvieną savo lygtį paverčia tapatybe.

Lygčių sistema vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimų.

Jungtinė lygčių sistema vadinama tam tikras jei jis turi unikalų sprendimą ir neapibrėžtas jei jis turi daugiau nei vieną sprendimą.

Apsvarstykite nehomogenišką kvadratinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kurios bendroji forma yra tokia:

. (1.5) Pagrindinė sistemos matrica tiesinės algebrinės lygtys vadinamos matrica, sudaryta iš nežinomųjų koeficientų: .

Sistemos pagrindinės matricos determinantas vadinamas pagrindinis determinantas ir yra žymimas.

Pagalbinis determinantas gaunamas iš pagrindinio determinanto, i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų terminų stulpeliu.

1.1 teorema (Cramerio teorema). Jei pagrindinis kvadratinės tiesinių algebrinių lygčių sistemos determinantas yra ne nulis, tada sistema turi unikalų sprendimą, apskaičiuotą pagal formules:

Jei pagrindinis determinantas , tada sistema arba turi begalinį sprendinių rinkinį (visiems nuliniams pagalbiniams determinantams), arba visai neturi (jei bent vienas iš pagalbinių determinantų skiriasi nuo nulio)

Atsižvelgiant į aukščiau pateiktus apibrėžimus, Cramerio teorema gali būti suformuluota kitaip: jei pagrindinis tiesinių algebrinių lygčių sistemos determinantas yra nulis, tada sistema apibrėžiama bendrai ir, be to, ; jei pagrindinis determinantas yra nulis, tada sistema yra nuosekli neapibrėžta (visiems ) arba nenuosekli (jei bent vienas iš jų skiriasi nuo nulio).

Po to gautas tirpalas turi būti patikrintas.

1.2 pavyzdys. Išspręskite sistemą Cramerio metodu

Sprendimas. Kadangi pagrindinis sistemos determinantas

skiriasi nuo nulio, tada sistema turi unikalų sprendimą. Apskaičiuokite pagalbinius determinantus

Mes naudojame Cramerio formules (1.6): , ,

Klausimai savityrai.

1. Kas vadinama lygčių sistemos sprendiniu?

2. Kokia lygčių sistema vadinama suderinama, nesuderinama?

3. Kokia lygčių sistema vadinama apibrėžtąja, neapibrėžta?

4. Kokia lygčių sistemos matrica vadinama pagrindine?

5. Kaip apskaičiuoti tiesinių algebrinių lygčių sistemos pagalbinius determinantus?

6. Kokia yra Kramerio metodo, skirto tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, esmė?

7. Kokia gali būti tiesinių algebrinių lygčių sistema, jei jos pagrindinis determinantas lygus nuliui?

Tiesinių algebrinių lygčių kvadratinių sistemų sprendimas atvirkštinės matricos metodu(4 schema)

Vadinama matrica, turinti ne nulį determinantą neišsigimęs ; turintis determinantą, lygų nuliui - išsigimęs .

Matrica vadinama atvirkštine duotai kvadratinei matricai, jei padauginus matricą iš atvirkštinės vertės tiek dešinėje, tiek kairėje, gaunama tapatumo matrica, tai yra, . (1.7)

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju matricų ir sandauga yra komutacinė.

1.2 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga atvirkštinės matricos egzistavimui duotoje kvadratinėje matricoje yra nurodytos matricos determinanto skirtumas nuo nulio

Jei patikrinimo metu pagrindinė sistemos matrica pasirodė išsigimusi, tada jai nėra atvirkštinio ir nagrinėjamas metodas negali būti taikomas.

Jei pagrindinė matrica yra ne vienaskaita, tai yra, determinantas yra 0, tada jai galite rasti atvirkštinę matricą naudodami šį algoritmą.

1. Apskaičiuokite visų matricos elementų algebrinius papildinius.

2. Išrašykite rastus algebrinius papildymus į transponuotą matricą.

3. Sudarykite atvirkštinę matricą pagal formulę: (1.8)

4. Pagal (1.7) formulę patikrinkite rastos matricos A-1 teisingumą. Atminkite, kad šis patikrinimas gali būti įtrauktas į galutinį paties sistemos sprendimo patikrinimą.

Tiesinių algebrinių lygčių sistema (1.5) gali būti pavaizduota kaip matricinė lygtis: , kur yra pagrindinė sistemos matrica, yra nežinomųjų stulpelis ir yra laisvųjų terminų stulpelis. Šią lygtį kairėje padauginame iš atvirkštinės matricos, gauname:

Kadangi pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą lygtis įgauna formą arba . (1.9)

Taigi, norint išspręsti kvadratinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą, kairėje pusėje esantį laisvųjų terminų stulpelį reikia padauginti iš pagrindinės sistemos matricos atvirkštinės matricos. Po to turėtumėte patikrinti gautą sprendimą.

1.3 pavyzdys. Išspręskite sistemą atvirkštinės matricos metodu

Sprendimas. Apskaičiuokite pagrindinį sistemos determinantą

. Todėl matrica nėra vienaskaita ir egzistuoja atvirkštinė matrica.

Raskite visų pagrindinės matricos elementų algebrinius papildinius:

Rašome algebrinius priedus, perkeltus į matricą

. Norėdami rasti sistemos sprendimą, naudojame formules (1.8) ir (1.9).

Klausimai savityrai.

1. Kokia matrica vadinama išsigimusia, neišsigimusia?

2. Kokia duotosios matrica vadinama atvirkštine? Kokia jo egzistavimo sąlyga?

3. Koks yra duotosios matricos atvirkštinės matricos paieškos algoritmas?

4. Kokiai matricinei lygčiai lygi tiesinių algebrinių lygčių sistema?

5. Kaip išspręsti tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudojant atvirkštinę matricą pagrindinei sistemos matricai?

Nehomogeninių tiesinių algebrinių lygčių sistemų tyrimas(5 schema)

Bet kurios tiesinių algebrinių lygčių sistemos tyrimas prasideda nuo jos išplėstinės matricos transformacijos Gauso metodu. Tegul pagrindinės sistemos matricos matmuo yra .

Matrica vadinamas pratęstu sistemos matrica , jei kartu su nežinomųjų koeficientais jame yra laisvųjų terminų stulpelis. Todėl matmuo yra.

Gauso metodas pagrįstas elementarios transformacijos , kuri apima:

– matricos eilučių permutacija;

– matricos eilučių padauginimas iš skaičiaus, kuris skiriasi nuo vairo;

– matricos eilučių pridėjimas pagal elementus;

- nulinės eilutės išbraukimas;

– matricos transpozicija (tokiu atveju transformacijos atliekamos stulpeliais).

Elementariosios transformacijos perkelia pirminę sistemą į jai lygiavertę sistemą. Sistemos vadinami lygiaverčiais jei jie turi tą patį sprendimų rinkinį.

Matricos rangas yra aukščiausia eilė iš jos nepilnamečių. Elementarios transformacijos nekeičia matricos rango.

Ši teorema atsako į klausimą, ar nehomogeninė tiesinių lygčių sistema turi sprendinių.

1.3 teorema (Kronecker-Capelli teorema). Nehomogeniška tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai sistemos išplėstinės matricos rangas yra lygus jos pagrindinės matricos rangui, t.y.

Eilučių, likusių matricoje po Gauso metodo, skaičių pažymėkime kaip (atitinkamai, sistema lieka lygtimis). Šie linijos matricos vadinamos pagrindinis .

Jei , tai sistema turi unikalų sprendimą (jis apibrėžtas bendrai), jos matrica elementariomis transformacijomis redukuojama į trikampę formą. Tokia sistema gali būti išspręsta Cramerio metodu, naudojant atvirkštinę matricą, arba universalų Gauso metodą.

Jei (kintamųjų skaičius sistemoje yra didesnis nei lygtys), elementariomis transformacijomis matrica sumažinama į laiptuotą formą. Tokia sistema turi daug sprendimų ir yra bendrai neapibrėžta. Tokiu atveju, norint rasti sistemos sprendimus, būtina atlikti daugybę operacijų.

1. Palikite kairėje nežinomųjų sistemos lygčių dalis ( baziniai kintamieji ), perkelkite likusius nežinomus į dešinę pusę ( nemokami kintamieji ). Padalijus kintamuosius į pagrindinius ir laisvuosius, sistema įgauna tokią formą:

. (1.10)

2. Iš pagrindinių kintamųjų koeficientų padarykite mažąjį ( pagrindinė nepilnametė ), kuris turi skirtis nuo nulio.

3. Jei sistemos (1.10) pagrindinis minoras yra lygus nuliui, tai vienas iš pagrindinių kintamųjų pakeičiamas laisvuoju; patikrinkite, ar gautas bazinis minoras nėra nulis.

4. Taikant Cramerio metodo formules (1.6), dešiniąsias lygčių puses laikant jų laisvaisiais nariais, rasti pagrindinių kintamųjų išraišką laisvųjų atžvilgiu bendra forma. Gautas sutvarkytas sistemos kintamųjų rinkinys yra jo bendras sprendimas .

5. Suteikdami (1.10) laisviesiems kintamiesiems savavališkas reikšmes, apskaičiuokite atitinkamas pagrindinių kintamųjų reikšmes. Iškviečiama gauta sutvarkyta visų kintamųjų reikšmių rinkinys privatus sprendimas sistemos, atitinkančios nurodytas laisvųjų kintamųjų reikšmes. Sistema turi begalinį konkrečių sprendimų skaičių.

6. Gauk pagrindinis sprendimas sistema yra tam tikras sprendimas, gautas esant nulinėms laisvųjų kintamųjų reikšmėms.

Atkreipkite dėmesį, kad sistemos (1.10) kintamųjų bazinių aibių skaičius yra lygus elementų derinių pagal elementus skaičiui. Kadangi kiekvienas pagrindinis kintamųjų rinkinys turi savo pagrindinį sprendimą, todėl sistema turi ir pagrindinius sprendimus.

Vienalytė lygčių sistema visada yra suderinama, nes ji turi bent vieną – nulinį (trivialų) sprendimą. Kad vienalytė tiesinių lygčių sistema su kintamaisiais turėtų nulinius sprendinius, būtina ir pakanka, kad jos pagrindinis determinantas būtų lygus nuliui. Tai reiškia, kad pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių. Šiuo atveju homogeninės lygčių sistemos, skirtos bendriesiems ir specifiniams sprendiniams, tyrimas atliekamas panašiai kaip ir nehomogeninės sistemos tyrimas. Vienalytės lygčių sistemos sprendiniai turi svarbią savybę: jei žinomi du skirtingi vienarūšės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai, tai jų tiesinė kombinacija taip pat yra šios sistemos sprendimas. Nesunku patikrinti šios teoremos pagrįstumą.

1.4 teorema. Bendras nevienalytės lygčių sistemos sprendinys yra atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygčių sistemos sprendinio suma

1.4 pavyzdys.

Išnagrinėkite pateiktą sistemą ir raskite vieną konkretų sprendimą:

Sprendimas. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir pritaikykime jai elementarias transformacijas:

. Kadangi ir , tada pagal 1.3 teoremą (Kronecker-Capelli) pateikta tiesinių algebrinių lygčių sistema yra suderinama. Kintamųjų skaičius , ty , reiškia, kad sistema yra neapibrėžta. Sistemos kintamųjų bazinių aibių skaičius yra lygus

. Todėl 6 kintamųjų rinkiniai gali būti pagrindiniai: . Panagrinėkime vieną iš jų. Tada Gauso metodu gautą sistemą galima perrašyti į formą

. Pagrindinis determinantas . Kramerio metodu ieškome bendro sistemos sprendimo. Pagalbiniai determinantai

Pagal formules (1.6) turime

. Ši pagrindinių kintamųjų išraiška laisvųjų kintamųjų atžvilgiu yra bendras sistemos sprendimas:

Konkrečioms laisvųjų kintamųjų reikšmėms iš bendro sprendimo gauname konkretų sistemos sprendimą. Pavyzdžiui, konkretus sprendimas atitinka laisvųjų kintamųjų reikšmes . Už , gauname pagrindinį sistemos sprendimą

Klausimai savityrai.

1. Kokia lygčių sistema vadinama vienarūše, nehomogeniška?

2. Kokia matrica vadinama išplėstine?

3. Išvardykite pagrindines elementarias matricų transformacijas. Koks tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdas paremtas šiomis transformacijomis?

4. Kas vadinama matricos rangu? Kokiu būdu tai galima apskaičiuoti?

5. Ką sako Kronecker-Capelli teorema?

6. Į kokią formą galima redukuoti tiesinių algebrinių lygčių sistemą, ją išsprendus Gauso metodu? Ką tai reiškia?

7. Kokios matricos eilutės vadinamos pagrindinėmis?

8. Kurie sistemos kintamieji vadinami pagrindiniais, kurie yra laisvieji?

9. Koks nehomogeninės sistemos sprendimas vadinamas privačiuoju?

10. Koks sprendimas vadinamas baziniu? Kiek pagrindinių sprendinių turi netolygi tiesinių lygčių sistema?

11. Koks nehomogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendinys vadinamas bendruoju? Suformuluokite teoremą apie nehomogeninės lygčių sistemos bendrą sprendimą.

12. Kokios pagrindinės vienalytės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendinių savybės?