Kaip rasti apskritimo perimetrą žinant skersmenį. Kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą, jei nenurodytas apskritimo skersmuo ir spindulys

Apskritimas yra lenkta linija, kuri gaubia apskritimą. Geometrijoje figūros yra plokščios, todėl apibrėžimas reiškia dvimatį vaizdą. Daroma prielaida, kad visi šios kreivės taškai yra vienodu atstumu nuo apskritimo centro.

Apskritimas turi keletą charakteristikų, kurių pagrindu atliekami su šia geometrine figūra susiję skaičiavimai. Tai apima: skersmenį, spindulį, plotą ir apskritimą. Šios charakteristikos yra tarpusavyje susijusios, tai yra, joms apskaičiuoti pakanka informacijos apie bent vieną iš komponentų. Pavyzdžiui, žinodami tik geometrinės figūros spindulį naudodami formulę, galite rasti apskritimą, skersmenį ir jos plotą.

• Apskritimo spindulys yra atkarpa apskritimo viduje, sujungta su jo centru.
• Skersmuo yra linijos segmentas apskritimo viduje, jungiantis jo taškus ir einantis per centrą. Tiesą sakant, skersmuo yra du spinduliai. Būtent taip atrodo jo skaičiavimo formulė: D=2r.
• Yra dar vienas apskritimo komponentas – styga. Tai tiesi linija, jungianti du apskritimo taškus, bet ne visada eina per centrą. Taigi styga, einanti per ją, dar vadinama skersmeniu.

Kaip rasti apskritimo perimetrą? Dabar išsiaiškinkime.

Apimtis: formulė

Šiai savybei apibūdinti pasirinkta lotyniška raidė p. Archimedas taip pat įrodė, kad apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams: tai skaičius π, kuris apytiksliai lygus 3,14159. π apskaičiavimo formulė atrodo taip: π = p/d. Pagal šią formulę p reikšmė lygi πd, tai yra apskritimui: p= πd. Kadangi d (skersmuo) yra lygus dviem spinduliams, tą pačią apskritimo formulę galima parašyti kaip p=2πr. Apsvarstykite formulės taikymą naudodami paprastus uždavinius kaip pavyzdį:

1 užduotis

Caro varpo papėdėje skersmuo yra 6,6 metro. Koks yra varpo pagrindo perimetras?

1. Taigi apskritimo apskaičiavimo formulė yra p= πd
2. Mes pakeičiame esamą reikšmę formulėje: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Atsakymas: Varpo pagrindo perimetras 20,7 metro.

2 užduotis

Dirbtinis Žemės palydovas sukasi 320 km atstumu nuo planetos. Žemės spindulys yra 6370 km. Koks yra palydovo žiedinės orbitos ilgis?

1. 1. Apskaičiuokite Žemės palydovo žiedinės orbitos spindulį: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Apskaičiuokite palydovo žiedinės orbitos ilgį pagal formulę: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Atsakymas: Žemės palydovo žiedinės orbitos ilgis yra 42013,2 km.

Perimetro matavimo metodai

Apskritimo apskritimo apskaičiavimas praktikoje nėra dažnai naudojamas. To priežastis – apytikslė skaičiaus π reikšmė. Kasdieniame gyvenime apskritimo ilgiui nustatyti naudojamas specialus prietaisas – kreivmetras. Apskritime pažymėtas savavališkas atskaitos taškas ir prietaisas nuo jo nukreipiamas griežtai išilgai linijos, kol jie vėl pasiekia šį tašką.

Kaip rasti apskritimo perimetrą? Jums tereikia turėti omenyje paprastas skaičiavimo formules.

Labai dažnai sprendžiant mokyklines ar fizikos užduotis, kyla klausimas – kaip sužinoti apskritimo apskritimą, žinant skersmenį? Tiesą sakant, sprendžiant šią problemą nėra jokių sunkumų, tereikia aiškiai suprasti, ką formules, tam reikalingos sąvokos ir apibrėžimai.

Susisiekus su

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

1. Spindulys yra jungianti linija apskritimo centras ir savavališkas jo taškas. Jis žymimas lotyniška raide r.
2. Akordas yra linija, jungianti dvi savavališkas taškai ant apskritimo.
3. Skersmuo yra linija, jungianti du apskritimo taškai ir einantys per jo centrą. Jis žymimas lotyniška raide d.
4. - tai linija, susidedanti iš visų taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo vieno pasirinkto taško, vadinamo jo centru. Jo ilgis bus žymimas lotyniška raide l.

Apskritimo plotas yra visas plotas uždengtas ratu. Tai išmatuota kvadratiniais vienetais ir žymimas lotyniška raide s.

Naudodamiesi mūsų apibrėžimais, darome išvadą, kad apskritimo skersmuo yra lygus jo didžiausiai stygai.

Dėmesio! Iš apibrėžimo, kas yra apskritimo spindulys, galite sužinoti, koks yra apskritimo skersmuo. Tai yra du spinduliai, išdėstyti priešingomis kryptimis!

Apskritimo skersmuo.

Apskritimo apskritimo ir jo ploto radimas

Jeigu mums duotas apskritimo spindulys, tai apskritimo skersmuo aprašomas formule d = 2*r. Taigi, norint atsakyti į klausimą, kaip rasti apskritimo skersmenį, žinant jo spindulį, pakanka paskutinio padauginti iš dviejų.

Apskritimo perimetro formulė, išreikšta jo spinduliu, yra l \u003d 2 * P * r.

Dėmesio! Lotyniška raidė P (Pi) reiškia apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį, ir tai yra neperiodinė dešimtainė trupmena. Mokyklinėje matematikoje tai laikoma žinoma lentelės reikšme, lygia 3,14!

Dabar perrašykime ankstesnę formulę, kad surastume apskritimo perimetrą pagal jo skersmenį, prisimindami, koks yra jo skirtumas spindulio atžvilgiu. Gaukite: l \u003d 2 * P * r \u003d 2 * r * P \u003d P * d.

Iš matematikos kurso žinoma, kad apskritimo plotą apibūdinanti formulė yra tokia: s = П*r^2.

Dabar perrašykime ankstesnę formulę, kad surastume apskritimo plotą pagal jo skersmenį. Mes gauname

s = P*r^2 = P*d^2/4.

Viena iš sunkiausių užduočių šioje temoje yra nustatyti apskritimo plotą pagal apskritimą ir atvirkščiai. Mes naudojame faktą, kad s = P*r^2 ir l = 2*P*r. Iš čia gauname r = l/(2*П). Gautą spindulio išraišką pakeičiame į srities formulę, gauname: s = l^2/(4P). Visiškai panašiu būdu perimetras nustatomas per apskritimo plotą.

Spindulio ilgio ir skersmens nustatymas

Svarbu! Visų pirma, mes išmoksime išmatuoti skersmenį. Tai labai paprasta – nubrėžiame bet kokį spindulį, pratęsiame priešinga kryptimi, kol susikerta su lanku. Kompasu išmatuojame gautą atstumą ir bet kokio metrinio įrankio pagalba išsiaiškiname, ko ieškome!

Atsakykime į klausimą, kaip sužinoti apskritimo skersmenį, žinant jo ilgį. Norėdami tai padaryti, išreiškiame tai pagal formulę l \u003d P * d. Gauname d = l/P.

Mes jau žinome, kaip rasti jo skersmenį pagal apskritimo perimetrą, taip pat rasime spindulį.

l \u003d 2 * P * r, taigi r \u003d l / 2 * P. Apskritai, norint sužinoti spindulį, jis turi būti išreikštas skersmeniu ir atvirkščiai.

Dabar reikia nustatyti skersmenį, žinant apskritimo plotą. Mes naudojame faktą, kad s \u003d P * d ^ 2/4. Iš čia išreiškiame d. Paaiškėja d^2 = 4*s/P. Norėdami nustatyti patį skersmenį, turite išgauti kvadratinė šaknis iš dešinės pusės. Pasirodo, d \u003d 2 * sqrt (s / P).

Tipinių užduočių sprendimas

1. Sužinokite, kaip rasti skersmenį atsižvelgiant į apskritimo perimetrą. Tegul jis lygus 778,72 kilometro. Reikia surasti d. d \u003d 778,72 / 3,14 \u003d 248 kilometrai. Prisiminkime, koks yra skersmuo, ir iš karto nustatykime spindulį, tam padalijame aukščiau apibrėžtą reikšmę d per pusę. Paaiškėja r = 248/2 = 124 kilometrų.
2. Apsvarstykite, kaip rasti tam tikro apskritimo ilgį, žinant jo spindulį. Tegul r reikšmė yra 8 dm 7 cm. Išverskime visa tai į centimetrus, tada r bus lygus 87 centimetrams. Naudodami formulę raskime nežinomą apskritimo ilgį. Tada mūsų norimas bus lygus l=2*3,14*87=546,36cm. Išverskime gautą vertę sveikaisiais metrinių verčių skaičiais \u200b\u200bl \u003d 546,36 cm \u003d 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Tarkime, kad turime nustatyti tam tikro apskritimo plotą pagal žinomo skersmens formulę. Tegul d = 815 metrų. Prisiminkite apskritimo ploto nustatymo formulę. Pakeitę čia pateiktas reikšmes, gauname s \u003d 3,14 * 815 ^ 2/4 \u003d 521416,625 kv. m.
4. Dabar sužinosime, kaip rasti apskritimo plotą, žinant jo spindulio ilgį. Tegu spindulys 38 cm.Naudojame mums žinomą formulę. Pakeiskite čia vertę, kurią mums suteikia sąlyga. Gaunate: s \u003d 3,14 * 38 ^ 2 \u003d 4534,16 kvadratinių metrų. cm.
5. Paskutinė užduotis yra nustatyti apskritimo plotą iš žinomo apskritimo. Tegul l = 47 metrai. s \u003d 47 ^ 2 / (4P) \u003d 2209 / 12,56 \u003d 175,87 kv. m.

Apimtis

Daugelis mus supančio pasaulio objektų yra apvalūs. Tai ratai, apvalios langų angos, vamzdžiai, įvairūs indai ir daug daugiau. Apskritimo perimetrą galite apskaičiuoti žinodami jo skersmenį arba spindulį.

Yra keletas šios geometrinės figūros apibrėžimų.

• Tai uždara kreivė, susidedanti iš taškų, esančių tokiu pat atstumu nuo nurodyto taško.
• Tai kreivė, susidedanti iš taškų A ir B, kurie yra atkarpos galai, ir visų taškų, iš kurių A ir B matomi stačiu kampu. Šiuo atveju segmentas AB yra skersmuo.
• Tam pačiam segmentui AB ši kreivė apima visus taškus C taip, kad santykis AC/BC būtų pastovus ir nelygus 1.
• Tai kreivė, susidedanti iš taškų, kuriems teisinga: jei atstumų nuo vieno taško kvadratus sudedate prie dviejų kitų nurodytų taškų A ir B, gausite pastovų skaičių, didesnį nei 1/2 atkarpos, jungiančios A ir B. B. Šis apibrėžimas yra kilęs iš Pitagoro teoremos.

Pastaba! Yra ir kitų apibrėžimų. Apskritimas yra sritis apskritime. Apskritimo perimetras yra jo ilgis. Pagal įvairius apibrėžimus, apskritimas gali apimti pačią kreivę, kuri yra jo riba, arba jos ne.

Apskritimo apibrėžimas

Formulės

Kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą naudojant spindulį? Tai atliekama naudojant paprastą formulę:

kur L yra norima vertė,

π yra skaičius pi, maždaug lygus 3,1413926.

Paprastai norint rasti norimą reikšmę, pakanka naudoti π iki antrojo skaičiaus po kablelio, tai yra 3,14, tai suteiks norimą tikslumą. Skaičiuoklėse, ypač inžineriniuose, gali būti mygtukas, kuris automatiškai įveda skaičiaus π reikšmę.

Žymėjimas

Norėdami sužinoti skersmenį, yra ši formulė:

Jei L jau žinoma, spindulį arba skersmenį galite lengvai sužinoti. Norėdami tai padaryti, L turi būti padalintas atitinkamai iš 2π arba π.

Jei apskritimas jau pateiktas, turite suprasti, kaip pagal šiuos duomenis rasti apskritimą. Apskritimo plotas yra S = πR2. Iš čia randame spindulį: R = √(S/π). Tada

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Apskaičiuoti plotą pagal L taip pat lengva: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Apibendrinant galime pasakyti, kad yra trys pagrindinės formulės:

• per spindulį – L = 2πR;
• per skersmenį - L = πD;
• per apskritimo plotą – L = 2√(Sπ).

Pi

Be skaičiaus π nebus įmanoma išspręsti nagrinėjamos problemos. Skaičius π pirmą kartą buvo rastas kaip apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. Tai darė senovės babiloniečiai, egiptiečiai ir indai. Jie tai nustatė gana tiksliai – jų rezultatai nuo dabar žinomos π reikšmės skyrėsi ne daugiau kaip 1%. Konstanta buvo aproksimuota tokiomis trupmenomis kaip 25/8, 256/81, 339/108.

Be to, šios konstantos reikšmė buvo nagrinėjama ne tik geometrijos, bet ir matematinės analizės per eilių sumas požiūriu. Šios konstantos žymėjimą graikiška raide π pirmą kartą panaudojo Williamas Jonesas 1706 m., o išpopuliarėjo po Eulerio darbo.

Dabar žinoma, kad ši konstanta yra begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena, ji yra neracionali, tai yra, jos negalima pavaizduoti kaip dviejų sveikųjų skaičių santykio. 2011 m., pasitelkę skaičiavimus superkompiuteriuose, jie sužinojo 10 trilijonų konstantos ženklą.

Tai yra įdomu! Norint įsiminti keletą pirmųjų skaičiaus π simbolių, buvo išrastos įvairios mnemoninės taisyklės. Kai kurie leidžia atmintyje išsaugoti daug skaitmenų, pavyzdžiui, vienas prancūziškas eilėraštis padės atsiminti pi iki 126 simbolių.

Jei jums reikia apskritimo, internetinė skaičiuoklė jums padės tai padaryti. Tokių skaičiuotuvų yra daug, jiems tereikia įvesti spindulį arba skersmenį. Vieni turi abu šiuos variantus, kiti rezultatą skaičiuoja tik per R. Kai kurie skaičiuotuvai norimą reikšmę gali paskaičiuoti skirtingu tikslumu, reikia nurodyti skaičių po kablelio skaičių. Be to, naudodamiesi internetiniais skaičiuotuvais galite apskaičiuoti apskritimo plotą.

Tokius skaičiuotuvus lengva rasti bet kurioje paieškos sistemoje. Taip pat yra mobiliųjų aplikacijų, kurios padės išspręsti apskritimo apskritimo nustatymo problemą.

Naudingas vaizdo įrašas: apimtis

Praktinis naudojimas

Spręsti tokią problemą dažniausiai prireikia inžinieriams ir architektams, tačiau kasdieniame gyvenime gali praversti ir reikalingų formulių žinojimas. Pavyzdžiui, pyragą, iškeptą 20 cm skersmens formoje, reikia apvynioti popierine juostele.Tuomet bus nesunku rasti šios juostelės ilgį:

L \u003d πD = 3,14 * 20 \u003d 62,8 cm.

Kitas pavyzdys: reikia pastatyti tvorą aplink apskritą baseiną tam tikru atstumu. Jei baseino spindulys yra 10 m, o tvorą reikia statyti 3 m atstumu, tai gautam apskritimui R bus 13 m. Tada jo ilgis:

L \u003d 2πR = 2 * 3,14 * 13 \u003d 81,68 m.

Naudingas vaizdo įrašas: apskritimas - spindulys, skersmuo, apimtis

Rezultatas

Apskritimo perimetrą lengva apskaičiuoti naudojant paprastas formules, apimančias skersmenį arba spindulį. Norimą reikšmę taip pat galite rasti per apskritimo sritį. Šią problemą padės išspręsti internetinės skaičiuoklės ar mobiliosios aplikacijos, kuriose reikia įvesti vieną skaičių – skersmenį arba spindulį.

• 16.11.2014

  Paveikslėlyje parodyta paprasto A klasės galios stiprintuvo su tranzistoriais schema. Stiprintuvo išėjimo galia yra apie 20 W, esant 8 omų apkrovai. Maitinimo įtampa gali būti nuo 22V iki 28V (4A). Šaltinis – http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/

• 29.09.2014

  Šis stiprintuvas skirtas sustiprinti kišeninio radijo siųstuvo galią 144 MHz dažnių juostoje. Kai į jo įvestį tiekiamas 0,05W galios signalas ir 24V maitinimo šaltinis, stiprintuvas sukuria 5-6W galią, o maitinamas 12V įtampa – 3-4W. Įėjimo ir išėjimo varžos yra 50 omų. Aprašymas: Pirmoji kaskada veikia klasėje...

• 04.10.2014

  Pramoniniuose įrenginiuose naudojami skirtingi srovės reguliavimo būdai: manevravimas įvairių tipų droseliais, magnetinio srauto keitimas dėl apvijų mobilumo arba magnetinis manevravimas, aktyvių balastinių varžų saugyklų ir reostatų naudojimas. Tokio reguliavimo trūkumai yra konstrukcijos sudėtingumas, varžų stambumas, stiprus jų įkaitimas veikimo metu ir nepatogumai perjungiant. Dauguma…

• 03.10.2014

  Paveikslėlyje parodyta paprasto TL496 įtampos keitiklio schema. Konverteris paverčia 3 V nuolatinę įtampą į 9 V nuolatinę įtampą. Įtampos keitiklis labai paprastas, susideda iš TL496 lusto ir 50uH kondensatoriaus bei induktoriaus. Inverterio išėjimo srovė gali siekti 400mA (9V išėjimo įtampa negarantuojama). Keitiklio srovės suvartojimas be apkrovos yra 125 μA.

Mus supa daugybė dalykų. Ir daugelis jų yra apvalūs. Jis suteikiamas jiems patogiam naudojimui. Paimkite, pavyzdžiui, ratą. Jei jis būtų kvadrato formos, kaip jis riedėtų keliu?

Norėdami padaryti apvalų objektą, turite žinoti, kaip atrodo apskritimo perimetro formulė per skersmenį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apibrėžiame, kas yra ši sąvoka.

Apskritimas ir apimtis

Apskritimas – tai rinkinys taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo pagrindinio taško – centro. Šis atstumas vadinamas spinduliu.

Atstumas tarp dviejų taškų tam tikroje tiesėje vadinamas styga. Be to, jei styga eina per pagrindinį tašką (centrą), tada jis vadinamas skersmeniu.

Dabar apsvarstykite, kas yra ratas. Visų kontūro viduje esančių taškų rinkinys vadinamas apskritimu.

Koks yra apskritimo perimetras?

Išnagrinėję visus apibrėžimus, galime apskaičiuoti apskritimo skersmenį. Formulė bus aptarta šiek tiek vėliau.

Pirmiausia pabandysime išmatuoti stiklo kontūro ilgį. Norėdami tai padaryti, apvyniokite jį siūlu, tada išmatuokite liniuote ir sužinokite apytikslį įsivaizduojamos linijos aplink stiklą ilgį. Kadangi dydis priklauso nuo teisingo daikto matavimo, o šis metodas nėra patikimas. Nepaisant to, visiškai įmanoma atlikti tikslius matavimus.

Norėdami tai padaryti, dar kartą prisiminkite ratą. Ne kartą matėme, kad padidinus stipiną rate (spindulys), padidės ir rato ratlankio ilgis (apimtis). Ir kaip mažėja apskritimo spindulys, mažėja ir ratlankio ilgis.

Jei atidžiai stebėsime šiuos pokyčius, pamatysime, kad įsivaizduojamos apskritimo linijos ilgis yra proporcingas jos spinduliui. Ir šis skaičius yra pastovus. Tada apsvarstykite, kaip nustatomas apskritimo skersmuo: to formulė bus taikoma toliau pateiktame pavyzdyje. Pažvelkime į tai žingsnis po žingsnio.

Apskritimo formulė pagal skersmenį

Kadangi kontūro ilgis yra proporcingas spinduliui, jis taip pat yra proporcingas skersmeniui. Todėl jo ilgį sąlyginai žymėsime raide C, skersmenį - d. Kadangi kontūro ilgio ir skersmens santykis yra pastovus skaičius, jį galima nustatyti.

Atlikę visus skaičiavimus, nustatysime skaičių, kuris yra maždaug lygus 3,1415 ... Dėl to, kad skaičiavimai nedavė konkretaus skaičiaus, pažymėsime jį raide π . Ši piktograma mums naudinga norint gauti apskritimo perimetro per skersmenį formulę.

Per centrinį tašką nubrėžkime įsivaizduojamą liniją ir išmatuokime atstumą tarp dviejų kraštutinių. Tai bus skersmuo. Jei žinome apskritimo skersmenį, jo ilgio nustatymo formulė atrodys taip: C=d*π.

Jei nustatysime skirtingų kontūrų ilgį, tada, jei žinomas jų skersmuo, bus taikoma ta pati formulė. Nes ženklas π - tai apytikslis skaičiavimas, tada buvo nuspręsta skersmenį padauginti iš 3,14 (skaičius, suapvalintas iki šimtųjų dalių).

Kaip apskaičiuoti skersmenį: formulė

Šį kartą pabandykime pagal šią formulę apskaičiuoti kitas reikšmes, be kontūro ilgio. Norint apskaičiuoti skersmenį pagal apskritimą, naudojama ta pati formulė. Tam mes padalijame jo ilgį iš π . Tai atrodys taip d=C/π.

Pažiūrėkime, kaip ši formulė veikia praktiškai. Pavyzdžiui, žinome šulinio kontūro ilgį, turėtume apskaičiuoti jo skersmenį. Išmatuoti jo neįmanoma, nes dėl oro sąlygų nėra prieiti prie jo. O mūsų užduotis – padaryti viršelį. Ką darysime šiuo atveju?

Reikia naudoti formulę. Paimkime šulinio kontūro ilgį - pavyzdžiui, 600 cm. Į formulę įdedame konkretų skaičių, būtent C \u003d 600 / 3,14. Rezultate gausime maždaug 191 cm. Rezultatą suapvalinkite iki 200 cm. Tada kompasu nubrėžkite apvalią 100 cm spindulio liniją.

Kadangi didelio skersmens kontūras turi būti nubrėžtas tinkamu kompasu, tokį įrankį galite pasigaminti patys. Norėdami tai padaryti, paimkite norimo ilgio bėgelį ir kiekviename gale įkiškite vinį. Vieną vinį įstatome į ruošinį ir lengvai įkalame, kad nepajudėtų iš numatytos vietos. O antrosios pagalba nubrėžiame liniją. Prietaisas yra labai paprastas ir patogus.

Šiuolaikinės technologijos leidžia naudoti internetinį skaičiuotuvą kontūro ilgiui apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, tereikia įvesti apskritimo skersmenį. Formulė bus pritaikyta automatiškai. Taip pat galite apskaičiuoti apskritimo perimetrą naudodami spindulį. Be to, jei žinote apskritimo perimetrą, internetinis skaičiuotuvas pagal šią formulę apskaičiuoja spindulį ir skersmenį.